Математика: Справ. материалы
Математика: Справ. материалы
ОглавлениеГЛАВА I. ЧИСЛА3. Деление с остатком. 4. Признаки делимости. 5. Разложение натурального числа на простые множители. 6. Наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел. 7. Наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел. 8. Употребление букв в алгебре.  Переменные.11. Приведение дробей к общему знаменателю. 12. Арифметические действия над обыкновенными дробями. 13. Десятичные дроби. 14. Арифметические действия над десятичными дробями. 15. Проценты. 16. Обращение обыкновенной дроби в бесконечную десятичную периодическую дробь. 17. Обращение бесконечной десятичной периодической дроби в обыкновенную дробь. 18. Координатная прямая. 19. Множество рациональных чисел. § 3. Действительные числа § 4. Комплексные числа ГЛАВА II. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ § 6. Целые рациональные выражения 52. Многочлены. Приведение многочленов к стандартному виду. § 7. Дробные рациональные выражения Глава III. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ § 10. Виды функций 95. Обратная функция. График обратной функции. 96. Логарифмическая функция. 96. Определение тригонометрических функций. § 11. Преобразования графиков ГЛАВА IV. ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ § 12.  Преобразование выражений, содержащих переменную под знаком логарифма§ 13. Формулы тригонометрии и их использование для преобразования тригонометрических выражений ГЛАВА V. УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ § 14. Уравнения с одной переменной § 15. Уравнения с двумя переменными § 16. Системы уравнений § 17. Решение неравенств с переменной § 18. Доказательство неравенств ГЛАВА VII. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА § 19. Числовые последовательности § 20. Предел функции § 21. Производная и ее применения § 22. Первообразная и интеграл ГЛАВА I. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ НА ПЛОСКОСТИ § 1. О строении курса геометрии § 2. Основные свойства простейших геометрических фигур § 3. Геометрические построения на плоскости § 4. Четырехугольники § 5. Многоугольники § 6. Решение треугольников 34. Теорема косинусов. Теорема синусов. § 7. Площади плоских фигур 38. Площади подобных фигур. ГЛАВА II. Прямые и плоскости в пространстве  Аксиомы стереометрии и некоторые следствия из них§ 9. Параллельность прямых и плоскостей § 10. Перпендикулярность прямых и плоскостей 45. Перпендикуляр и наклонная к плоскости. ГЛАВА III. ТЕЛА В ПРОСТРАНСТВЕ § 11. Многогранники § 12. Тела вращения § 13. Изображение пространственных фигур на плоскости § 14. Объемы тел § 15. Площади поверхностей тел ГЛАВА IV. ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ § 16. Координаты на плоскости и в пространстве § 17. Уравнения фигур на плоскости § 18. Уравнения фигур в пространстве § 19. Движение § 20. Подобие фигур ГЛАВА VI. ВЕКТОРЫ § 21. Введение понятия вектора § 22. Операции над векторами ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ И СООТНОШЕНИЯ I. Основные законы алгебры ГЕОМЕТРИЯ |
Производная функция | Calc Medic
Цели обучения
Определить производную как график наклона исходной функции
Поймите, что производная сама по себе является функцией, которая выводит наклон кривой при любом значении x
Найдите уравнение для производной функции, используя предельное определение производной
Используйте нотацию производной для ссылки на производные функции и производные, вычисленные в точке
Краткий план урока
Первый опыт
Это всегда один из моих любимых уроков! Приготовьтесь к большим радостным моментам от ваших учеников.
В этом уроке мы переходим от расчета мгновенной скорости изменения в различных точках к «графику уклонов», который дает мгновенную скорость изменения (названную одним из наших студентов «IROC») при любом значении x. Учащиеся покидают класс сегодня с твердым, осязаемым, хорошо концептуализированным пониманием производной как функции, а не только как отдельных наклонов. Артефакты этого урока хранятся на наших стенах в течение года и будут упоминаться во многих будущих уроках.
Чтобы подготовиться к сегодняшнему уроку, подготовьте два листа плакатной бумаги с масштабированной диаграммой. Пометьте ось Y «Наклоны f(x)» на первом плакате и «Наклоны g(x)» на втором плакате. Вам также понадобятся точечные наклейки.
На первой странице учащиеся смотрят на линейную функцию и вычисляют мгновенную скорость изменения при x=1 и x=3. В 1c учащиеся обобщают свои выводы и делают прогноз о том, как будет выглядеть график уклонов, если мы нанесем уклон в любой точке.
Поскольку функция линейна, наклон при любом значении x, даже при x=55, будет равен -2. Студенты впервые видят, что график наклона линейной функции представляет собой горизонтальную линию при значении наклона.
После разбора первой страницы присвойте каждому учащемуся свой номер от -8 до 8 (можно использовать меньший или больший интервал в зависимости от размера вашего класса). Студенты должны записать это значение в пропуске в 3а.
В ответе на вопрос 2 группы начнут с описания наклонов квадратичной родительской функции, особенно в тех случаях, когда наклоны отрицательные, положительные и нулевые.
В вопросе 3 каждый учащийся рассчитывает уклон в отдельной точке, используя определение предела, а затем отмечает свой уклон на графике уклонов точечной наклейкой. График класса должен выглядеть как линия y=2x. Вопросы 3b и 3c побуждают учащихся найти уравнение графика наклонов. Помните, что на сегодняшний день это довольно новая идея — тот факт, что существует уравнение, которое «выдает» наклон при любом значении x, довольно радикален! Почему так полезно иметь уравнение для наклонов? Потому что мы можем предсказать наклон при другом значении x (например, x = 55) без необходимости оценивать предел разностного отношения при a = 55.
Формализация позже
Примите участие в серии замечаний и размышлений о графике наклонов и исходной функции. Где g(x) имеет положительный наклон? Как мы можем сказать это по графику наклонов? Склоны становятся более крутыми или более пологими? Почему имеет смысл то, что выходные данные графика наклонов становятся выше с увеличением x? Что происходит с наклонами на левой стороне оси x? Как мы видим это на графике наклонов?
После того, как точки/наклоны будут нанесены на график, сообщите учащимся, что график наклонов имеет специальное имя. Это называется производной и обозначается f’(x) (произносится как «F простое число от x»). Добавьте это обозначение в свой постер. Затем укажите на конкретную точку и спросите, кто из учащихся поставил эту точку. Попросите учащихся объяснить, что представляет их точка. Сделайте это несколько раз в течение урока и в последующие дни, чтобы учащиеся ознакомились с идеей о том, что точка на производной представляет собой наклон исходной кривой при x=___».
Настаивайте на слове «наклон», конкретном значении x и на том, что наклон исходной функции. Очень важно, чтобы учащиеся не использовали расплывчатые формулировки, такие как «это», «график» или даже «наклон». Научите своих учеников использовать точный язык, такой как «график f» или «наклон исходной кривой, f (x)».
Спросите учащихся, смогут ли они составить уравнение для производной g. Если учащиеся застряли, посмотрите на шаблоны в упорядоченных парах. «При x=1 наклон g равен 2, при x=2 наклон g равен 4, при x=3 наклон g равен 6. Какая связь между значением x и наклон при этом значении x?»
Мы решили использовать ньютоновскую нотацию (простую нотацию) для обозначения производных вместо нотации Лейбница (dy/dx). В Precalculus акцент делается на построении концептуальной идеи производной, и мы обнаруживаем, что использование одной последовательной записи помогает в этом. В AP Calculus мы добавляем нотацию Лейбница.
Производная функция Excel
Рассмотрим функцию:
f(x)=x⁢sin(x2)+1
Аналитические производные от f(x) до четвертого порядка:
f'(x)=sin(x2)+2⁢x2⁢cos(x2)
f”(x)=6⁢x⁢cos(x2)-4⁢x3⁢sin(x2)
f”'(x)=6⁢cos(x2)-8⁢x4⁢cos(x2)-24⁢x2⁢sin(x2)
f””(x)=16⁢x5⁢sin(x2)-80⁢x3⁢cos(x2)-60⁢x⁢sin(x2)
Мы вычисляем численные производные при x = 0 92)+1 2 =ПРОИЗВОДНАЯ(A1,X1,0) 3 =ПРОИЗВОДНАЯ(A1,X1,0,2) 4 =ПРОИЗВОДНАЯ(A1,X1,0,3) 5 =ПРОИЗВОДНАЯ(A1,X1,0,4)
⇒
| А | Б | |
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 3. 18603Е-15 | 0 |
| 3 | 0 | 0 |
| 4 | 6 | 6 |
| 5 | 1.27896Е-15 | 0 |
При
х=1| А | |
| 6 | |
| 7 | =ПРОИЗВОДНАЯ(A1,X1,1,2) |
| 8 | =ПРОИЗВОДНАЯ(A1,X1,1,3) |
| 9 | =ПРОИЗВОДНАЯ(A1,X1,1,4) |
⇒
.