Гаусса решение: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Гаусса

Цель : оптимизировать ваши инвестиции в поисковую, медийную, социальную и видеорекламу . Это позволяет рекламодателям предоставлять дополнительные сигналы, которые алгоритмы Smart Bidding не могут собрать вовремя или в достаточном объеме. Таким образом, вы можете определяет приоритет аудитории с помощью стратегий назначения ставок на основе ценности.  

Благодаря этим прогнозам оценки лидов или потребительской ценности мы помогли нашим клиентам увеличить конверсию более чем на 20% и снизить цену за конверсию примерно на 15%.

Мы разрабатываем и выбираем лучшую модель атрибуции , адаптированную к вашим бизнес-целям. Таким образом, ваши инвестиции в рекламу остаются в соответствии с теми конкретными действиями, которые привели к лучших результатов: от показов к конверсиям к продажам.  

Атрибуция Гаусса позволяет взвешивать сигналы, отправляемые в Google Реклама. Этот значительно увеличивает количество конверсий, предоставляемых алгоритму , для каждой из кампаний, участвующих в стратегии клиента.

Это решение, которое интегрирует собственные данные, а также данные из CRM и колл-центра среди прочих. Вы можете добавить данные, связанные с продажами, возвратами или отменами офлайн, и интегрировать их с поведением пользователя в Интернете. Это обогащает аудиторию в режиме реального времени, позволяя маркетинговой платформе оптимизировать ваши кампании по активации.

С помощью Gauss Offline Conversions один из наших клиентов добился 50-процентного снижения цены за конверсию без потери объема в Google Ads.

Безусловно, крупнейшие игроки на рынке рекламы (Google, Facebook и Amazon и многие другие) предлагают невероятные предложения, позволяющие лучше понять вашу ключевую аудиторию. Поскольку эти компании постоянно обрабатывают огромные объемы данных, вы можете упустить дополнительную информацию . Учтите:

• Окна отслеживания у этих рекламодателей относительно короткие, но можно расширить этот диапазон дат
• В этих крупных компаниях невозможно изначально интегрировать данные об офлайн-конверсиях
• Интеграция улучшенных и настраиваемых алгоритмов в ваши кампании может помочь вам оптимизировать расходы на рекламу.

Если вы хотите вывести свои рекламные инвестиции на новый уровень, свяжитесь с нашей командой, посетив сайт www.makingscience.com/contact.

Редукция Гаусса-Жордана

Редукция Гаусса-Жордана является расширением алгоритма исключения Гаусса. Он создает матрицу, называемую , сокращенной формой эшелона строк , следующим образом: после выполнения исключения Гаусса продолжайте, заменяя все ненулевые элементы выше

Приведенная выше матрица дает представление о том, чего мы хотим. Обратите внимание, что линия лестницы, проведенная через матрицу, имеет все элементы под ней, равные нулю. Записи, отмеченные символом \(*\), могут принимать любое значение.

Определение 2.6.2. Эшелонная форма уменьшенного ряда.

Матрица представляет собой сокращенную ступенчатую форму строки , если

• Каждая ведущая запись является ведущей.

• Каждая запись ниже и выше начинается с \(0\text{.}\)

• По мере продвижения вниз по матрице ведущие перемещаются вправо.

• Любые все нулевые строки находятся внизу.

Для полноты картины мы подробно опишем алгоритм редукции Гаусса-Жордана. Как и при исключении Гаусса, столбцы матрицы обрабатываются слева направо.

1. Начните с первого столбца. Если все записи равны нулю, перейдите к следующему столбцу справа.

2. Если, наоборот, в столбце есть ненулевые записи, при необходимости поменять местами строки, чтобы получить ненулевую запись сверху.

3. Умножьте верхнюю строку на константу, чтобы изменить ненулевую запись на (начальную) единицу.

4. Если выше или ниже этой (первой) единицы есть ненулевые записи, используйте элементарную операцию со строками для каждой из них, чтобы изменить ее на ноль.

5. Теперь рассмотрим часть матрицы ниже верхней строки и правее рассматриваемого столбца: если таких строк или столбцов нет, останавливаемся и алгоритм завершается. В противном случае выполните ту же процедуру на новой матрице.

Пример 2.6.3. Приведение матрицы к сокращенному эшелонированному виду строк.

\(\ начало {выравнивание} \amp \begin{bmatrix} 1\амп 2\амп 3\ 4\амп 5\амп 6\ 7\амп 8\амп 9\ 10 А 12 А 15 \end{bmatrix} \amp \amp \начать{массив}{л} R_2\получает R_2-4R_1\\ R_3\получает R_3-7R_1\\ R_4\получает R_4-10R_1 \конец{массив}\\[6pt] \amp \begin{bmatrix} 1\амп 2\амп 3\ 0 \ампер -3 \ампер -6 ​​\\ 0 \ампер -6 ​​\ампер -12 \\ 0 \амп -8 \ампер -15 \end{bmatrix} \amp \amp \начать{массив}{л} R_2\gets -\tfrac13 R_2 \конец{массив}\\[6pt] \amp \begin{bmatrix} 1\амп 2\амп 3\ 0 \ампер 1 \ампер 2 \\ 0 \ампер -6 ​​\ампер -12 \\ 0 \амп -8 \ампер -15 \end{bmatrix} \amp \amp \начать{массив}{л} R_1\получает R_1-2R_2\\ R_3\получает R_3+6R_2\\ R_4\получает R_4+8R_2 \конец{массив}\\[6pt] \amp \begin{bmatrix} 1 \ампер 0 \ампер -1 \\ 0 \ампер 1 \ампер 2 \\ 0 \ампер 0 \ампер 0 \\ 0 \амп 0 \ампер 1 \end{bmatrix} \amp \amp \начать{массив}{л} R_3\стрелка влево и вправо R_4 \\ \конец{массив}\\[6pt] \amp \begin{bmatrix} 1 \ампер 0 \ампер -1 \\ 0 \ампер 1 \ампер 2 \\ 0 \ампер 0 \ампер 1 \\ 0 \амп 0 \ампер 0 \end{bmatrix} \amp \amp \начать{массив}{л} R_1 \получает R_1+R_3 \\ R_2\получает R_2-2R_3 \конец{массив}\\[6pt] \amp \begin{bmatrix} 1 \ампер 0 \ампер 0 \\ 0 \амп 1 \ампер 0 \\ 0 \ампер 0 \ампер 1 \\ 0 \амп 0 \ампер 0 \end{bmatrix} \end{выравнивание} \)

Пример 2.

\(\ начало {выравнивание} \amp \begin{bmatrix} 1 \усилитель 2 \усилитель 6 \усилитель 1 \усилитель 4 \усилитель 6\ 2 \усилитель 4 \усилитель 9 \усилитель 2 \усилитель 8 \усилитель 9\ 1 \amp 2 \amp 9 \amp 2 \amp 10 \amp 9 \end{bmatrix}\усилитель \усилитель \начать{массив}{с} R_2 \получает R_2-2R_1\ R_3 \получает R_3-R_1 \конец{массив}\\[6pt] \amp \begin{bmatrix} 1 \усилитель 2 \усилитель 6 \усилитель 1 \усилитель 4 \усилитель 6\ 0 \amp 0 \amp -3 \amp 0 \amp 0 \amp -3 \\ 0 \ амп 0 \ амп 3 \ амп 1 \ амп 6 \ амп 3 \end{bmatrix}\усилитель \усилитель \начать{массив}{с} R_2 \получает -\tfrac13R_2 \конец{массив}\\[6pt] \amp \begin{bmatrix} 1 \усилитель 2 \усилитель 6 \усилитель 1 \усилитель 4 \усилитель 6\ 0 \amp 0 \amp 1 \amp 0 \amp 0 \amp 1 \\ 0 \ амп 0 \ амп 3 \ амп 1 \ амп 6 \ амп 3 \end{bmatrix}\усилитель \усилитель \начать{массив}{с} R_1 \получает R_1 -6R_2\\ R_3 \получает R_3 -3R_2 \конец{массив}\\[6pt] \amp \begin{bmatrix} 1 \amp 2 \amp 0 \amp 1 \amp 4 \amp 0 \\ 0 \amp 0 \amp 1 \amp 0 \amp 0 \amp 1 \\ 0 \amp 0 \amp 0 \amp 1 \amp 6 \amp 0 \end{bmatrix}\усилитель \усилитель \начать{массив}{с} R_1 \получает R_1 – R_3 \конец{массив}\\[6pt] \amp \begin{bmatrix} 1 \amp 2 \amp 0 \amp 0 \amp -2 \amp 0 \\ 0 \amp 0 \amp 1 \amp 0 \amp 0 \amp 1 \\ 0 \amp 0 \amp 0 \amp 1 \amp 6 \amp 0 \end{bmatrix} \конец{выравнивание}\)

Обратите внимание на шаблон нулевых, 1 и ненулевых записей после редукции Гаусса-Жордана (с ведущими красными):

\begin{уравнение*} \left[\begin{массив}{ccccccc} {{\color{red}1}} \amp 0 \amp 0 \amp * \amp 0 \amp \cdots \amp *\\ 0 \amp {\color{red}1} \amp 0 \amp * \amp 0 \amp \cdots \amp *\\ 0 \amp 0 \amp {\color{red}1}\amp * \amp 0 \amp \cdots \amp *\\ 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \amp {\color{red}1} \amp\cdots \amp *\\ \конец{массив}\справа] \end{уравнение*}

Теперь, когда мы можем представить матрицу в виде сокращенного эшелона строк, давайте посмотрим, что это означает для нахождения всех решений связанной системы линейных уравнений. Помните, что первые столбцы \(n\) соответствуют коэффициентам переменных \(x_1,x_2,\dots,x_n\text{,}\), а последний столбец соответствует константам в правой части уравнений. Каждый столбец либо содержит ведущий, либо нет. Если да, то соответствующая переменная называется ограниченной или базовый . Если нет, переменная называется свободной. Каждой свободной переменной назначается параметр, который может принимать любое число при поиске решения. Значения переменных с ограничениями затем определяются формой сокращенного эшелона строк.

В качестве примера предположим, что у нас есть система линейных уравнений, расширенная матрица которой имеет следующую сокращенную ступенчатую форму строк:

\begin{уравнение*} \begin{bmatrix} {\ color {red} 1} \amp 2 \amp 0 \amp 1 \amp 0 \amp 1\\ 0 \amp 0 \amp {\color{red}1}\amp 2 \amp 0 \amp 2\\ 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \amp {\color{red}1} \amp 3 \end{bmatrix} \end{уравнение*}

Обратите внимание, что это означает, что наша система имеет три уравнения и пять неизвестных. Ведущие находятся в столбцах один, три и пять, поэтому \(x_1\text{,}\) \(x_3\) и \(x_5\) являются переменными с ограничениями. Это оставляет \(x_2\) и \(x_4\) свободными переменными. Мы назначаем параметры свободным переменным: \(x_2=s\) и \(x_4=t\text{.}\). Затем строки матрицы определяют ограниченные переменные:

• \(x_5=3\) из нижнего ряда

• \(x_3 = 2-2t\) из среднего ряда

• \(x_1=1-2s-t\) из верхней строки

Компактный способ записи: \((x_1,x_2,x_3,x_4,x_5) = (1-2s-t,s,2-2t,t,3).\)

Обратите внимание на роль нулей над и под каждой ведущей единицей: оценка переменной с ограничениями включает только свободные переменные.

Подводя итог, можно сказать следующее:

1. Если приведенная ступенчатая форма строки имеет строку вида \([0,0,\dots,0,1]\text{,}\), то система линейных уравнений не имеет решения.

2. Если в приведенной эшелонированной форме строк нет свободных переменных, то она выглядит так:

   \begin{уравнение*} \begin{bmatrix} 1 \amp 0 \amp 0 \amp \cdots \amp 0 \amp 0 \amp c_1\\ 0 \amp 1 \amp 0 \amp \cdots \amp 0 \amp 0 \amp c_2\\ 0 \amp 0 \amp 1 \amp \cdots \amp 0 \amp 0 \amp c_3\\ \усилитель \усилитель \усилитель \вдоц \\ 0 \amp 0 \amp 0 \amp \cdots \amp 1 \amp 0 \amp c_{n-1}\\ 0 \amp 0 \amp 0 \amp \cdots \amp 0 \amp 1 \amp c_n \end{bmatrix} \end{уравнение*}

   и существует единственное решение, а именно \(x_1=c_1, x_2=c_2,\dots x_n=c_n\text{. }\)

3. Если редуцированная ступенчатая форма строки имеет свободные переменные, то существует бесконечное число решений. Действительно, параметр, присвоенный любой свободной переменной, может принимать бесконечное количество значений.

Рассмотрим следующую систему линейных уравнений:

\begin{уравнение*} \начать{массив}{rl} х_1-х_2+2х_3-х_4 \amp = -1 \\ 2x_1+x_2-2x_3-2x_4 \амп = -2 \\ -x_1+2x_2-4x_3+x_4 \амп = 1 \\ 3x_1-3x_4 \амп = -3 \конец{массив} \end{уравнение*}

Затем расширенная матрица преобразуется в сокращенную ступенчатую форму строк:

\begin{уравнение*} \begin{bmatrix} 1 \амп -1 \ампер 2 \ампер -1 \ампер -1\\ 2 \амп 1 \амп -2 \амп -2 \амп -2\\ -1 \амп 2 \ампер -4 \ампер 1 \ампер 1\\ 3 \amp 0 \amp 0 \amp -3 \amp -3 \end{bmatrix} \end{уравнение*}

\begin{уравнение*} \начать{массив}{rl} R_2 \усилитель\получает R_2-2R_1\\ R_3 \amp\получает R_3+R_1\\ R_4 \amp\gets R_4-3R_1 \конец{массив} \end{уравнение*}

\begin{уравнение*} \begin{bmatrix} 1 \амп -1 \ампер 2 \ампер -1 \ампер -1\\ 0 \amp 3 \amp -6 \amp 0 \amp 0\\ 0 \amp 1 \amp -2 \amp 0 \amp 0\\ 0 \amp 3 \amp -6 \amp 0 \amp 0 \end{bmatrix} \end{уравнение*}

\begin{уравнение*} \начать{массив}{rl} R_2 \amp\gets\tfrac13 R_2\\ \конец{массив} \end{уравнение*}

\begin{уравнение*} \begin{bmatrix} 1 \амп -1 \ампер 2 \ампер -1 \ампер -1\\ 0 \amp 1 \amp -2 \amp 0 \amp 0\\ 0 \amp 1 \amp -2 \amp 0 \amp 0\\ 0 \amp 3 \amp -6 \amp 0 \amp 0 \end{bmatrix} \end{уравнение*}

\begin{уравнение*} \начать{массив}{rl} R_1 \amp\получает R_1 + R_2\\ R_3 \амп\получает R_3- R_2\\ R_4 \amp\gets R_4- 3R_2 \конец{массив} \end{уравнение*}

\begin{уравнение*} \begin{bmatrix} {\ color {red} 1} \amp 0 \amp 0 \amp -1 \amp -1\\ 0 \amp {\color{красный} 1} \amp -2 \amp 0 \amp 0\\ 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0\\ 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \end{bmatrix} \end{уравнение*}

Поскольку \(x_3\) и \(x_4\) являются свободными переменными, мы назначаем им параметры: \(x_3=s\) и \(x_4=t\text{. }\) Теперь мы можем вычислить ограниченные переменные: \(x_1=-1+t\) (из первой строки) и \(x_2=2s\) (из второй строки). Короче говоря, \((x_1,x_2,x_3,x_4)=(-1+t,2s,s,t)\) для любого выбора \(s\) или \(t\text{.}\)

Теперь для проверки подставим эти решения обратно в исходные уравнения. \(\begin{массив}{rlll} x_1-x_2+2x_3-x_4 \amp =\amp (-1+t) – (2s) + 2(s) – (t) \amp= -1\\ 2x_1+x_2-2x_3-2x_4 \amp=\amp 2(-1+t) + 2s -2s-2t \amp= -2\\ -x_1+2x_2-4x_3+x_4 \amp =\amp -(-1+t) +2(2s) -4s+t \amp= 1 \\ 3x_1-3x_4 \amp =\amp 3(-1+t) -3t \amp= -3 \конец{массив}\)

Пример 2.6.5. Матрица, уменьшающая строку.

Следующий пример представляет собой сокращение строки матрицы. Обратите внимание, как он движется слева направо в столбцах, и каждый столбец с ведущей единицей имеет нули сверху и снизу, когда алгоритм завершает работу.

Подраздел 2.6.1 Ранг матрицы

Определение 2.6.7.

ранг матрицы – это количество старших единиц в сокращенной ступенчатой ​​форме строк.

Начиная с матрицы

\begin{уравнение*} А= \begin{bmatrix} 1\амп 2\амп 3\амп 4\амп 5 \\ 6\амп 7\амп 8\амп 9\амп 10\\ 11\амп 12\амп 13\амп 14\амп 15 \\ \end{bmatrix} \end{уравнение*}

имеет уменьшенную эшелонированную форму ряда

\begin{уравнение*} \begin{bmatrix} 1\амп 0\амп -1\амп -2\амп -3 \\ 0\амп 1\амп 2\амп 3\амп 4 \\ 0\amp 0\amp 0\amp 0\amp 0 \\ \end{bmatrix} \end{уравнение*}

ранг \(A\) равен \(2\text{.}\)

Упражнения 2.6.2 Упражнения

Приведите следующие матрицы к сокращенной ступенчатой ​​форме строк.

1.

\begin{уравнение*} \begin{bmatrix} 2\amp4\amp6\amp8\\ 3\amp6\amp9\amp10 \end{bmatrix} \end{уравнение*}

Решение

\начало{уравнение*} \begin{bmatrix} 2\amp4\amp6\amp8\\ 3\amp6\amp9\amp10 \end{bmatrix}\\ \rowmul1{\frac12}\\ \begin{bmatrix} 1\amp2\amp3\amp4\\ 3\amp6\amp9\amp10 \end{bmatrix}\\ \rowsub231\\ \begin{bmatrix} 1\amp2\amp3\amp4\\ 0\amp0\amp0\amp-2 \end{bmatrix}\\ \rowmul 2{-\frac12}\\ \begin{bmatrix} 1\amp2\amp3\amp4\\ 0\amp0\amp0\amp1 \end{bmatrix}\\ \rowsub142\\ \begin{bmatrix} 1\amp2\amp3\amp0\\ 0\amp0\amp0\amp1 \end{bmatrix} \end{уравнение*}

2.

\begin{уравнение*} \begin{bmatrix} 0 \ампер 1 \ампер -1\\ 1 \ампер 0 \ампер -1\\ 1 амп -1 амп 0 \end{bmatrix} \end{уравнение*}

Решение

\начало{уравнение*} \begin{bmatrix} 0 \ампер 1 \ампер -1\\ 1 \ампер 0 \ампер -1\\ 1 амп -1 амп 0 \end{bmatrix}\\ \Ровинт 12\\ \begin{bmatrix} 1 \ампер 0 \ампер -1\\ 0 \ампер 1 \ампер -1\\ 1 амп -1 амп 0 \end{bmatrix}\\ \rowsub 3{}1\\ \begin{bmatrix} 1 \ампер 0 \ампер -1\\ 0 \ампер 1 \ампер -1\\ 0 \амп -1 \ампер 1 \end{bmatrix}\\ \rowadd3{}2\\ \begin{bmatrix} 1 \ампер 0 \ампер -1\\ 0 \ампер 1 \ампер -1\\ 0 \амп 0 \ампер 0 \end{bmatrix}\\ \end{уравнение*}

3.

\begin{уравнение*} \begin{bmatrix} 1\усилитель 2\усилитель3\\ 4\amp5\amp6\\ 7\amp8\amp9 \end{bmatrix} \end{уравнение*}

Решение

\начало{уравнение*} \begin{bmatrix} 1\усилитель 2\усилитель3\\ 4\amp5\amp6\\ 7\amp8\amp9 \end{bmatrix}\\ \rowsub241\\ \rowsub371\\ \begin{bmatrix} 1\усилитель 2\усилитель3\\ 0\амп-3\амп-6\\ 0\амп-6\амп-12 \end{bmatrix}\\ \rowmul2{-\frac13}\\ \begin{bmatrix} 1\усилитель 2\усилитель3\\ 0\amp1\amp2\\ 0\амп-6\амп-12 \end{bmatrix}\\ \rowsub 122\\ \begin{bmatrix} 1\ампер 0\амп-1\\ 0\amp1\amp2\\ 0\амп-6\амп-12 \end{bmatrix}\\ \rowadd 362\\ \begin{bmatrix} 1\ампер 0\амп-1\\ 0\amp1\amp2\\ 0\amp0\amp0 \end{bmatrix} \end{уравнение*}

4.

\begin{уравнение*} \begin{bmatrix} 1\amp2\\ 1\amp3 \\1\amp4 \end{bmatrix} \end{уравнение*}

Решение

\начало{уравнение*} \begin{bmatrix} 1\amp2\\ 1\amp3 \\1\amp4 \end{bmatrix}\\ \rowsub 2 {} 1\\ \rowsub 3 {} 1\\ \begin{bmatrix} 1\amp2\\ 0\amp1 \\0\amp2 \end{bmatrix}\\ \rowsub 1 2 2\\ \rowsub 3 2 2\\ \begin{bmatrix} 1\amp0\\ 0\amp1 \\0\amp0 \end{bmatrix}\\ \end{уравнение*}

5.

\begin{уравнение*} \begin{bmatrix} 0\амп 1\амп 2\амп 3\амп 4 \\ 4\усилитель 3\усилитель 2\усилитель 1\усилитель 0 \end{bmatrix} \end{уравнение*}

Решение

\начало{уравнение*} \begin{bmatrix} 0\амп 1\амп 2\амп 3\амп 4 \\ 4\усилитель 3\усилитель 2\усилитель 1\усилитель 0 \end{bmatrix}\\ \rowint12\\ \begin{bmatrix} 4\амп 3\амп 2\амп 1\амп 0 \\ 0\амп 1\амп 2\амп 3\амп 4 \end{bmatrix}\\ \rowmul1{\frac14}\\ \begin{bmatrix} 1\amp\frac34\amp\frac12\amp\frac14\amp 0 \\ 0\амп 1\амп 2\амп 3\амп 4 \end{bmatrix}\\ \ rowsub 1 {\ frac34} 2 \\ \begin{bmatrix} 1\амп 0\амп -1\амп -2\амп -3 \\ 0\амп 1\амп 2\амп 3\амп 4 \end{bmatrix} \end{уравнение*}

Рассмотрим систему четырех линейных уравнений с четырьмя неизвестными:

\begin{gather*} а_{1,1}х_1+а_{1,2}х_2+а_{1,3}х_3+а_{1,4}х_4=b_1\\ а_{2,1}х_1+а_{2,2}х_2+а_{2,3}х_3+а_{2,4}х_4=b_2\\ а_{3,1}х_1+а_{2,2}х_2+а_{3,3}х_3+а_{3,4}х_4=b_3\\ а_{4,1}х_1+а_{4,2}х_2+а_{4,3}х_3+а_{4,4}х_4=b_4 \end{gather*}

В каждом случае предположим, что данная матрица представляет собой сокращенную ступенчатую форму расширенной матрицы. Найдите все решения. к исходной системе линейных уравнений.

6.

\(\begin{bmatrix} 1\ампер 0 \амп 0 \амп 0 \амп 1 \\ 0\amp 1 \amp 0 \amp 0 \amp -1 \\ 0\ампер 0 \амп 1 \амп 0 \амп 2 \\ 0\ампер 0 \амп 0 \амп 1 \амп 3 \\ \end{bmatrix}\)

Решение

\(x_1=1\text{,}\) \(x_2=-1\text{,}\) \(x_3=2\) и \(x_4=3\) является единственным решением.

7.

\(\begin{bmatrix} 1\ампер 0 \амп 0 \амп 0 \амп 1 \\ 0\amp 1 \amp 0 \amp 0 \amp -1 \\ 0\ампер 0 \амп 1 \амп 3 \амп 2 \\ 0\amp 0 \amp 0 \amp 0 \amp 1 \\ \end{bmatrix}\)

Решение

Последняя строка удовлетворяет условию отсутствия решения.

8.

\(\begin{bmatrix} 1\ампер 0 \амп 0 \амп 1 \амп 1 \\ 0\amp 1 \amp 0 \amp -1 \amp -1 \\ 0\ампер 0 \амп 1 \амп 3 \амп 2 \\ 0\amp 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \\ \end{bmatrix}\)

Решение

\(x_4=t\), так как это свободная переменная.

Из строки 1 имеем \(x_1=1-t\)

Из строки 2 имеем \(x_2=-1+t\)

Из строки 3 имеем \(x_3=2-3t \)

Другими словами, \((x_1,x_2,x_3,x_4)=(1-t,-1+t,2-3t,t)\text{.}\)

9.

\(\begin{bmatrix} 1\ампер -2 \ампер 0 \ампер 3 \ампер -1 \\ 0\ампер 0 \амп 1 \амп 1 \амп 2 \\ 0\amp 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \\ 0\amp 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \\ \end{bmatrix}\)

Решение

\(x_2=t\) и \(x_4=u\), поскольку они являются свободными переменными.

Из строки 1 имеем \(x_1=-1+2t-3u\)

Из строки 2 имеем \(x_3=2-u\)

Другими словами, \((x_1,x_2, x_3,x_4)=(-1+2t-3u,t,2-u,u)\text{.}\)

Найти все решений следующих систем линейных уравнений

10.

\начать{собирать*} х+2у-г=2\\ х+у-г=0\\ 2х-у+г=3 \конец{собрать*}

Решение

Поместим расширенную матрицу в сокращенную эшелонированную форму строк: \(\begin{bmatrix} 1 \amp 2 \amp -1 \amp 2\\ 1 \amp 1 \amp -1 \amp 0\\ 2 \ампер -1 \ампер 1 \ампер 3\\ \end{bmatrix} \\ \начать{массив}{л} R_2\получает R_2 – R_1\\ R_3\получает R_3-2R_1 \конец{массив} \\ \begin{bmatrix} 1 \amp 2 \amp -1 \amp 2\\ 0 \amp -1 \amp 0 \amp -2\\ 0 \amp -5 \amp 3 \amp -1\\ \end{bmatrix} \\ \начать{массив}{л} R_2\получает -R_2\\ \конец{массив} \\ \begin{bmatrix} 1 \amp 2 \amp -1 \amp 2\\ 0 \усилитель 1 \усилитель 0 \усилитель 2\\ 0 \amp -5 \amp 3 \amp -1\\ \end{bmatrix} \\ R_3\получает R_3-5R_2 \\ \begin{bmatrix} 1 \amp 2 \amp -1 \amp 2\\ 0 \усилитель 1 \усилитель 0 \усилитель 2\\ 0 амп 0 амп 3 амп 9\\ \end{bmatrix} \\ R_3\gets\frac13 R_3 \\ \begin{bmatrix} 1 \amp 2 \amp -1 \amp 2\\ 0 \усилитель 1 \усилитель 0 \усилитель 2\\ 0 \усилитель 0 \усилитель 1 \усилитель 3\\ \end{bmatrix} \\ R_1\получает R_1-2R_2 \\ \begin{bmatrix} 1 \amp 0 \amp -1 \amp-2\\ 0 \усилитель 1 \усилитель 0 \усилитель 2\\ 0 \усилитель 0 \усилитель 1 \усилитель 3\\ \end{bmatrix} \\ R_1 \получает R_1+R_3 \\ \begin{bmatrix} 1 \amp 0 \amp 0 \amp1\\ 0 \усилитель 1 \усилитель 0 \усилитель 2\\ 0 \усилитель 0 \усилитель 1 \усилитель 3\\ \end{bmatrix} \\\) Первая, вторая и третья строки дают нам соответственно

\begin{equation*} \begin{матрица} х=1\\у=2\\г=3 \end{матрица} \end{уравнение*}

11.

\начать{собирать*} х+2у+г=0\\ х+у+2г=5\\ -х+у+г=0 \конец{собрать*}

Решение

\(\begin{bmatrix} 1 \усилитель 2 \усилитель 1 \усилитель 0\\ 1 \усилитель 1 \усилитель 2 \усилитель 5\\ -1 \амп 1 \ампер 1 \ампер 0 \end{bmatrix}\\ \rowsub 211\\ \rowadd 3{}1\\ \begin{bmatrix} 1 \усилитель 2 \усилитель 1 \усилитель 0\\ 0 \amp -1 \amp 1 \amp 5\\ 0 \ ампер 3 \ ампер 2 \ ампер 0 \end{bmatrix}\\ \rowmul 2{-}\\ \begin{bmatrix} 1 \усилитель 2 \усилитель 1 \усилитель 0\\ 0 \amp 1 \amp -1 \amp -5\\ 0 \ ампер 3 \ ампер 2 \ ампер 0 \end{bmatrix}\\ \rowsub122\\ \rowsub332\\ \begin{bmatrix} 1 \амп 0 \амп 3 \ампер 10\\ 0 \amp 1 \amp -1 \amp -5\\ 0 амп 0 амп 5 амп 15 \end{bmatrix}\\ \rowmul3{\frac15}\\ \begin{bmatrix} 1 \амп 0 \амп 3 \ампер 10\\ 0 \amp 1 \amp -1 \amp -5\\ 0 амп 0 амп 1 амп 3 \end{bmatrix}\\ \rowsub 133\\ \rowadd 3{}2\\ \begin{bmatrix} 1 \усилитель 0 \усилитель 0 \усилитель 1\\ 0 \amp 1 \amp 0 \amp -2\\ 0 амп 0 амп 1 амп 3 \end{bmatrix}\\\), поэтому единственным решением является \((x,y,z)=(1,-2,3)\text{. }\)

12.

\начать{собирать*} х+у-z-w=2\\ х-у-г+ш=4\\ 2x+y-z+w=1 \конец{собрать*}

Решение

\(\begin{bmatrix} 1 \amp 1 \amp -1 \amp -1 \amp 2\\ 1 \amp -1 \amp -1 \amp 1 \amp 4\\ 2 \amp 1 \amp -1 \amp 1 \amp 1 \end{bmatrix} \\ \rowsub 2{}1\\ \rowsub 321\\ \begin{bmatrix} 1 \amp 1 \amp -1 \amp -1 \amp 2\\ 0 \amp -2 \amp 0 \amp 2 \amp 2\\ 0 \амп -1 \ампер 1 \ампер 3 \ампер -3 \end{bmatrix} \\ \rowmul2{-\frac12}\\ \begin{bmatrix} 1 \amp 1 \amp -1 \amp -1 \amp 2\\ 0 \amp 1 \amp 0 \amp -1 \amp -1\\ 0 \амп -1 \ампер 1 \ампер 3 \ампер -3 \end{bmatrix} \\ \rowsub1{}2\\ \rowadd3{}2\\ \begin{bmatrix} 1 \amp 0 \amp -1 \amp 0 \amp 3\\ 0 \amp 1 \amp 0 \amp -1 \amp -1\\ 0 амп 0 амп 1 амп 2 амп -4 \end{bmatrix} \\ \rowadd1{}3\\ \begin{bmatrix} 1 \amp 0 \amp 0 \amp 2 \amp -1\\ 0 \amp 1 \amp 0 \amp -1 \amp -1\\ 0 амп 0 амп 1 амп 2 амп -4 \end{bmatrix} \) и поэтому \(w\) является свободной переменной, которую можно установить равной \(t\text{. }\) Это дает \((x,y,z,w)=(- 1-2t, -1+t, -4-2t,t)\text{.}\)

13.

\начать{собирать*} х-у=0\\ у-г=0\\ х-г=0 \конец{собрать*}

Ясно, что если \(x=y\) и \(y=z\text{,}\), то у нас есть решение этой системы. Покажите, что каждое решение имеет этот вид.

Решение

Поместим расширенную матрицу в сокращенную эшелонированную форму строк: \(\begin{bmatrix} 1 \amp -1 \amp 0 \amp 0\\ 0 \amp 1 \amp -1 \amp 0\\ 1 \amp 0 \amp -1 \amp 0\\ \end{bmatrix}\\ \rowsub3{}1\\ \begin{bmatrix} 1 \amp -1 \amp 0 \amp 0\\ 0 \amp 1 \amp -1 \amp 0\\ 0 \amp 1\amp -1 \amp 0\\ \end{bmatrix}\\ \rowadd1{}2\\ \begin{bmatrix} 1 \amp 0\amp -1 \amp 0\\ 0 \amp 1 \amp -1 \amp 0\\ 0 \amp 1\amp -1 \amp 0\\ \end{bmatrix}\\ \rowsub3{}2\\ \begin{bmatrix} 1 \amp 0 \amp -1 \amp 0\\ 0 \amp 1 \amp -1 \amp 0\\ 0 \усилитель 0\усилитель 0 \усилитель 0\\ \end{bmatrix}\) Тогда мы имеем, что \(z\) – свободная переменная, которой можно присвоить значение \(t\text{.}\) Тогда все решения имеют вид \((x,y,z )=(t,t,t)\text{,}\), из чего следует, что \(x=y\) и \(y=z\text{.