Инертность формула: 6. Инертность. Масса. Инерция. Сила. Законы Ньютона.

Цели обучения Вращательная инерция и момент инерции

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете делать следующее:

• Понимать взаимосвязь между силой, массой и ускорением
• Изучение поворотного эффекта силы
• Изучить аналогию между силой и крутящим моментом, массой и моментом инерции, а также линейным ускорением и угловым ускорением

Информация, представленная в этом разделе, поддерживает следующие цели обучения AP® и научные практики:

• 4.D.1.1 Учащийся может описать представление и использовать его для анализа ситуации, в которой несколько сил действуют на вращающаяся система жестко связанных тел изменяет угловую скорость и момент импульса системы. (СП 1.2, 1.4)
• 4. D.1.2 Учащийся может планировать стратегии сбора данных, предназначенные для установления того, что крутящий момент, угловая скорость, угловое ускорение и угловой момент могут быть точно предсказаны, когда переменные обрабатываются как по часовой стрелке или против часовой стрелки по отношению к четко определенную ось вращения и уточнить вопрос исследования на основе изучения данных. (СП 3.2, 4.1, 5.1, 5.3)
• 5.E.2.1 Учащийся способен описать или рассчитать угловой момент и инерцию вращения системы в терминах местоположения и скорости объектов, составляющих систему. Ожидается, что учащиеся будут делать качественные рассуждения с составными объектами. Ожидается, что учащиеся будут выполнять вычисления с фиксированным набором протяженных объектов и точечных масс. (СП 2.2)

Если вам когда-либо приходилось крутить велосипедное колесо или толкать карусель, вы знаете, что для изменения угловой скорости необходима сила, как показано на рис. 10.10. На самом деле, ваша интуиция надежно предсказывает многие из задействованных факторов. Например, мы знаем, что дверь открывается медленно, если мы прислоняем ее слишком близко к петлям. Кроме того, мы знаем, что чем массивнее дверь, тем медленнее она открывается. Первый пример подразумевает, что чем дальше приложена сила от оси вращения, тем больше угловое ускорение; другое следствие состоит в том, что угловое ускорение обратно пропорционально массе. Эти отношения должны казаться очень похожими на знакомые отношения между силой, массой и ускорением, воплощенные во втором законе движения Ньютона. На самом деле существуют точные вращательные аналоги как силы, так и массы.

Рисунок 10.10 Для вращения колеса велосипеда требуется сила. Чем больше сила, тем больше угловое ускорение. Чем массивнее колесо, тем меньше угловое ускорение. Если надавить на спицу ближе к оси, угловое ускорение будет меньше.

Чтобы установить точное соотношение между силой, массой, радиусом и угловым ускорением, рассмотрим, что произойдет, если мы приложим силу FF размером 12{F} {} к точке массой мм размером 12{m} {}, которая находится на расстояние rr size 12{r} {} от точки вращения, как показано на рисунке 10. 11. Поскольку сила перпендикулярна rr размером 12{r} {}, ускорение a=Fma=Fm размера 12{a= {{F} над {m} } } {} получается в направлении FF размера 12{F } {}. Мы можем изменить это уравнение так, что F=maF=ma size 12{F= ital “ma”} {}, а затем искать способы связать это выражение с выражениями для вращательных величин. Заметим, что a=rαa=rα size 12{a=rα} {}, и подставим это выражение в F=maF=ma size 12{F= ital “ma”} {}, что даст

10,40 F=mrα.F=mrα. size 12{F= ital “mr”α”.”} {}

Вспомним, что крутящий момент – это вращательная эффективность силы. В этом случае, поскольку размер FF 12{“F”} {} перпендикулярен размеру RR 12{r} {}, крутящий момент просто τ=Frτ=Fr размер 12{τ=rα} {}. Итак, если мы умножим обе части приведенного выше уравнения на размер rr 12{r} {}, мы получим крутящий момент в левой части. То есть,

10,41 rF=mr2αrF=mr2α размер 12{ ital “rF”= ital “mr” rSup { размер 8{2} } α} {}

или

10,42 τ=mr2α.τ=mr2α. size 12{τ= ital “mr” rSup { size 8{2} } α. } {}

Последнее уравнение является вращательным аналогом второго закона Ньютона (F=maF=ma size 12{F= ital “ma”} {}), где крутящий момент аналогичен силе, угловое ускорение аналогично поступательному ускорению, а mr2mr2 size 12{ ital “mr” rSup { size 8{2} } } {} аналогичен массе или инерции. Величина mr2mr2 размером 12{ ital “mr” rSup { size 8{2} } } {} называется инерцией вращения или моментом инерции точки массой mm размером 12{m} {} расстоянием rr размером 12{r} {} от центра вращения.

Рис. 10.11 Объект поддерживается горизонтальным столом без трения и прикреплен к точке поворота шнуром, создающим центростремительную силу. Сила FF размером 12{F} {} приложена к объекту перпендикулярно радиусу rr размером 12{r} {}, заставляя его ускоряться относительно точки поворота. Сила удерживается перпендикулярно размеру rr 12{r} {}.

Создание соединений: динамика вращательного движения

Динамика вращательного движения полностью аналогична линейной или поступательной динамике. Динамика занимается силой и массой и их влиянием на движение. Для вращательного движения мы найдем прямые аналоги силы и массы, которые ведут себя именно так, как мы и ожидали, исходя из нашего предыдущего опыта.

Инерция вращения и момент инерции

Прежде чем мы сможем рассмотреть вращение чего-либо, кроме точечной массы, подобной той, что изображена на рис. 10.11, мы должны распространить идею инерции вращения на все типы объектов. Чтобы расширить наше понятие инерции вращения, мы определяем момент инерции II размер 12{I} {} объекта должен быть суммой mr2mr2 size 12{ ital “mr” rSup { size 8{2} } } {} для всех точечных масс, из которых он состоит. То есть, I=∑mr2I=∑mr2 size 12{I= Sum {} ital “mr” rSup { size 8{2} } } {}. Здесь II размер 12{I} {} аналогичен мм размером 12{м}{} в поступательном движении. Из-за расстояния rr size 12{r} {}, момент инерции любого объекта зависит от выбранной оси. Собственно, расчет Размер II 12{I} {} выходит за рамки этого текста, за исключением одного простого случая – обруча, вся масса которого находится на одном и том же расстоянии от его оси. Таким образом, момент инерции кольца вокруг своей оси равен MR2MR2 размер 12{ ital “MR” rSup { размер 8{2} } } {}, где Размер MM 12{M} {} – это его полная масса, а размер RR 12{R} {} – его радиус. Мы используем размер MM 12{M} {} и размер RR 12{R} {} для всего объекта, чтобы отличить их от размера 12{m} {} мм и размера rr 12{r} {} для точечных масс. Во всех других случаях мы должны обращаться к рисунку 10.12 (обратите внимание, что таблица представляет собой произведение искусства, в котором есть формы, а также формулы) для формул для размера II 12{I} {}, которые были получены путем интегрирования по непрерывному телу. Обратите внимание, что размер II 12{I} {} имеет единицы массы, умноженные на квадрат расстояния (кг⋅м2кг⋅м2 размер 12{“кг” cdot “м” rSup { размер 8{2} } } {}), как мы могли бы ожидать от его определения.

Общее соотношение между крутящим моментом, моментом инерции и угловым ускорением:

10,43 net τ=Iαnet τ=Iα размер 12{τ=Iα} {}

или

10,44 α=net τI,α=net τI, размер 12{α= { { ital “net”τ} над {I } } “,”} {}

где чистый размер ττ 12{τ} {} — это суммарный крутящий момент от всех сил относительно выбранной оси. Для простоты мы будем рассматривать только крутящие моменты, создаваемые силами в плоскости вращения. Такие крутящие моменты бывают положительными или отрицательными и складываются как обычные числа. Соотношение в τ=Iα, α=net τIτ=Iα, α=net τI size 12{τ=Iα,““`α= { { ital “net”τ} over {I} } } {} является вращательный аналог второго закона Ньютона и очень широко применим. Это уравнение действительно справедливо для любой крутящий момент, приложенный к любому объекту относительно любой оси .

Как и следовало ожидать, чем больше крутящий момент, тем больше угловое ускорение. Например, чем сильнее ребенок толкает карусель, тем быстрее она разгоняется. Кроме того, чем массивнее карусель, тем медленнее она разгоняется при том же крутящем моменте. Основное соотношение между моментом инерции и угловым ускорением заключается в том, что чем больше момент инерции, тем меньше угловое ускорение. Но есть дополнительный нюанс. Момент инерции зависит не только от массы тела, но и от его распределение массы относительно оси, вокруг которой он вращается. Например, будет намного легче разогнать карусель, полную детей, если они будут стоять близко к ее оси, чем если все они будут стоять на внешнем краю. Масса в обоих случаях одинакова, но момент инерции намного больше, когда дети находятся на краю.

Эксперимент на вынос

Вырежьте круг радиусом около 10 см из плотного картона. Рядом с краем круга напишите числа от одного до двенадцати, как часы на циферблате. Расположите круг так, чтобы он мог свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через его центр, как колесо. Вы можете свободно прибить круг к стене. Держите круг неподвижно и с цифрой 12, расположенной вверху, прикрепите кусок синей замазки, липкого материала, используемого для крепления постеров к стенам, к цифре три. Насколько большим должен быть комок, чтобы просто повернуть круг? Опишите, как можно изменить момент инерции окружности. Как это изменение повлияет на количество синей замазки, необходимое для числа три, чтобы просто повернуть круг? Измените момент инерции круга, а затем попробуйте вращать круг, используя разное количество синей замазки. Повторите этот процесс несколько раз.

В каком направлении вращался круг, когда вы добавляли замазку в номер три, по часовой или против часовой стрелки? В каком из этих направлений была результирующая угловая скорость? Была ли угловая скорость постоянной? Что мы можем сказать о направлении по часовой стрелке или против часовой стрелки углового ускорения? Как можно изменить положение замазки, чтобы создать угловую скорость в противоположном направлении?

Стратегия решения задач по динамике вращения

1. Изучите ситуацию, чтобы определить, участвуют ли крутящий момент и масса во вращении . Нарисуйте тщательный набросок ситуации.
2. Определить интересующую систему .
3. Нарисуйте диаграмму свободного тела . То есть нарисуйте и обозначьте все внешние силы, действующие на интересующую вас систему.
4. Применить сеть τ=Iα, α=net τI net τ=Iα, α=net τI size 12{τ=Iα,“`α= { { ital “net”τ} over {I} } } {}, вращательный эквивалент второго закона Ньютона, чтобы решить проблему . Необходимо соблюдать осторожность, чтобы использовать правильный момент инерции и учитывать крутящий момент вокруг точки вращения.
5. Как всегда, проверьте правильность решения .

Выполнение соединений

В статике чистый крутящий момент равен нулю, а угловое ускорение отсутствует. При вращательном движении чистый крутящий момент является причиной углового ускорения, точно так же, как во втором законе движения Ньютона для вращения.

Рисунок 10.12 Некоторые инерции вращения.

Пример 10.7 Расчет влияния распределения массы на карусель

Рассмотрим отца, толкающего карусель на детской площадке на рис. 10.13. Он прикладывает силу 250 Н к краю 50-килограммовой карусели, имеющей радиус 1,50 м. Вычислите угловое ускорение, создаваемое (а), когда на карусели никого нет, и (б), когда ребенок массой 18 кг сидит на расстоянии 1,25 м от центра. Считайте саму карусель однородным диском с пренебрежимо малым тормозящим трением.

Рис. 10.13. Отец толкает игровую карусель за ее край и перпендикулярно ее радиусу для достижения максимального крутящего момента.

Стратегия

Угловое ускорение задается непосредственно выражением .

10,45 α=τIα=τI размер 12{α= {{τ} над {I} } } {}

Чтобы определить αα размера 12{α} {}, мы должны сначала вычислить крутящий момент ττ размера 12{τ } {}, который в обоих случаях одинаков, и момент инерции II величиной 12{I} {}, который во втором случае больше. Чтобы найти крутящий момент, заметим, что приложенная сила перпендикулярна радиусу, а трением можно пренебречь, так что

10,46 τ=rFsin θ=(1,50 м)(250 Н)=375 Н⋅м. τ=rFsin θ=(1,50 м)(250 Н)=375 Н⋅м. размер 12{τ=”rFsinθ”= \( 1 “.” “50м” \) \( “250Н” \) =”375Н” “.” “m.”} {}

Решение для (a)

Момент инерции твердого диска относительно этой оси на рисунке 10.12 равен

10.47 12MR2,12MR2, размер 12{ { {1} свыше {2} } итал. “MR” rSup {размер 8{2} } “,”} {}

, где M=50 кгM=50 кг размер 12{M=”50″ “.” 0 итал. “кг”} {} и R=1,50 мR=1,50 м размер 12{R=1 “.” “50”м} {}, так что

10,48 I=(0,500)(50 кг)(1,50 м)2=56,25 кг⋅м2.I=(0,500)(50 кг)(1,50 м)2=56,25 кг⋅м2. размер 12{I=0 “.” 5 \( “50” “.” “0kg” \) \( 1 “.” “50m” \) rSup { size 8{2} } =”56″ “.” “25кг” “.” “m” rSup { size 8{2} } “.”} {}

Теперь, после подстановки известных значений, находим угловое ускорение равным

10,49 α=τI=375 Н⋅м56,25 кг⋅ m2=6,67рад2.α=τI=375 Н⋅м56,25 кг⋅м2=6,67рад2. размер 12{α= {{τ} над {I} } = {{“375″`”N” “.” “м”} более {“56” “.” “25”`”кг” “.” “m” rSup {размер 8{2} } } } =6 “.” “67”` {{“rad”} over {s rSup {size 8{2} } } } “. “} {}

Решение для (b)

Мы ожидаем, что угловое ускорение системы будет меньше в этой части, потому что момент инерции больше, когда ребенок находится на карусели. Чтобы найти общий момент инерции II размера 12{I} {}, мы сначала найдем момент инерции ребенка IcIc размера 12{I rSub { размер 8{c} } } {}, считая ребенка эквивалентным точке массы на расстоянии 1,25 м от оси. Тогда

10,50 Ic=MR2=(18 кг)(1,25 м)2=28,13 кг⋅м2. Ic=MR2=(18 кг)(1,25 м)2=28,13 кг⋅м2. размер 12{I rSub { размер 8{c} } =”MR” rSup { размер 8{2} } = \(“18” “.” 0`”кг” \) \( 1 “.””25″` м \) rSup {размер 8{2}} =”28” “.” “13”`”кг” “.” m rSup {размер 8{2} } “.”} {}

Суммарный момент инерции равен сумме моментов инерции карусели и ребенка относительно одной оси. Чтобы оправдать для себя эту сумму, изучите определение II размера 12{I}{}.

10,51 I=28,13 кг⋅м2+56,25 кг⋅м2=84,38 кг⋅м2I=28,13 кг⋅м2+56,25 кг⋅м2=84,38 кг⋅м2 размер 12{I=”28″ “.” “13”`”кг” “.” m rSup {размер 8{2}} +”56″ “. ” “25”`”кг” “.” m rSup { размер 8{2} } =”84″ “.” “38”`”кг” “.” m rSup { размер 8{2} } } {}

Подстановка известных значений в уравнение для размера αα 12{α} {} дает

10,52 α=τI=375 Н⋅м84,38 кг⋅м2=4,44рад2.α=τI=375 Н⋅м84,38 кг⋅м2=4,44рад2. размер 12{α= {{τ} над {I} } = {{“375N” “.” м} более {“84” “.” “38кг” “.” m rSup {размер 8{2} } } } =4 “.” “44” { {“rad”} over {s rSup { size 8{2} } } } “.”} {}

Обсуждение

Угловое ускорение меньше, когда ребенок находится на карусели. круглый, чем когда карусель пуста, как и ожидалось. Найденные угловые ускорения довольно велики, отчасти из-за того, что трение считалось пренебрежимо малым. Если бы, например, отец продолжал толкать перпендикулярно в течение 2 с, он придал бы карусели угловую скорость 13,3 рад/с, когда она пуста, а только 8,89.рад/с, когда на нем находится ребенок. В пересчете на обороты в секунду эти угловые скорости составляют 2,12 об/с и 1,41 об/с соответственно. В первом случае отец будет бежать со скоростью около 50 км/ч. Летние Олимпийские игры, вот и он! Подтверждение этих цифр оставлено читателю в качестве упражнения.

Создание соединений: воздействие нескольких сил на одну систему

Большой гончарный круг диаметром 60 см и массой 8 кг. Он приводится в действие двигателем мощностью 20 Н, воздействующим на внешний край. Также имеется тормоз, способный оказывать усилие 15 Н в радиусе 12 см от оси вращения, на нижней стороне.

Каково угловое ускорение при работе двигателя?

Крутящий момент находится по формуле τ = rF sin θ = (0,300 м)(20 Н) = 6 Н·мτ = rF sin θ = (0,300 м)(20 Н) = 6 Н·м.

Момент инерции рассчитывается как I = 12 MR2 = 12(8 кг)(0,300 м)2 = 0,36 кг⋅м2I = 12 MR2 = 12(8 кг)(0,300 м)2 = 0,36 кг⋅м2.

Таким образом, угловое ускорение будет α = τI = 6 Н⋅м0,36 кг⋅м2 = 17 рад/с2α = τI = 6 Н⋅м0,36 кг⋅м2 = 17 рад/с2.

Обратите внимание, что трение всегда действует в направлении, противоположном вращению, происходящему в данный момент в этой системе. Если гончар ошибается и включает одновременно и тормоз, и двигатель, сила трения тормоза создаст крутящий момент, противоположный крутящему моменту двигателя.

Крутящий момент от тормоза τ = rF sin θ = (0,120 м)(15 Н) = 1,80 Н⋅мτ = rF sin θ = (0,120 м)(15 Н) = 1,80 Н.

Таким образом, чистый крутящий момент равен 6 Н·м – 1,80 Н·м = 4,20 Н·м. 6 Н·м – 1,80 Н·м = 4,20 Н·м..

А угловое ускорение равно α = τI = 4,20 Н⋅м0,36 кг⋅м2 = 12 рад/с2α = τI = 4,20 Н⋅м0,36 кг⋅м2 = 12 рад/с2.

Проверьте свое понимание

Крутящий момент является аналогом силы, а момент инерции является аналогом массы. Сила и масса — физические величины, зависящие только от одного фактора. Например, масса связана исключительно с количеством атомов различных типов в объекте. Являются ли крутящий момент и момент инерции такими же простыми?

Решение

Нет. Крутящий момент зависит от трех факторов: величины силы, направления силы и точки приложения. Момент инерции зависит как от массы, так и от ее распределения относительно оси вращения.