Информатика матрица: Что такое матрица? Что такое двоичная матрица? - Санкт-Петербургское государственное бюджетное учреждение социального обслуживания населения

Содержание

Матрицы

Вопросы:

· Что такое матрицы?

· Реализация матриц в языке Python.

· Операции обработки матриц.

Часто в программировании бывает полезным использование прямоугольных таблиц. Пример такой таблицы – таблица Пифагора или таблица для игры в крестики-нолики. Очевидно, ячейку такой таблицы можно идентифицировать по номерам её строки и столбца. Такие таблицы называются матрицами. Матрица – это прямоугольная таблица, состоящая из элементов одного типа. Каждый элемент матрицы имеет два индекса: номер строки и номер столбца. Обычно при программировании матрицы реализуются через двухмерные массивы. Но так как в языке Python нет массивов, то при реализации матриц к нам на помощь снова приходят списки. Однако мы знаем, что у каждого элемента списка всего один индекс, а у каждого элемента матрицы их должно быть два. Это можно исправить, если в качестве элементов списка будут выступать другие списки.

Таким образом, внешний список будет хранить строки матрицы, а внутренние списки – элементы этих строк.

Рассмотрим наиболее распространённые операции над матрицами. Самый простой способ задать матрицу – это в квадратных скобках, обозначающих внешний список, перечислить значения его элементов, то есть внутренние списки. Таким образом, в других, внутренних квадратных скобках мы будем задавать значения элементов внутренних списков.

a = [[1, 2, 3],

[4, 5, 6],

[7, 8, 9]]

Эту же запись можно сделать и в одну строку. На несколько строк она была разделена лишь для наглядности.

Попробуем вывести на экран заданную матрицу. Сначала попробуем вывести её как одну переменную, задав в качестве аргумента функции

print. Так вся матрица выводится в одну строку, причём вместе с квадратными скобками. Используем другой способ. Для этого создадим новый модуль. Назовём его Matix и сохраним в корневом каталоге интерпретатора, которым мы пользуемся.

В этом модуле опишем функцию, которую назовём PrintMatrix. Аргументом этой функции будет список списков. Назовём его a. В теле функции запишем цикл для перебора индексов элементов внешнего списка. Это будет цикл с параметром i, изменяющимся от 0 до длины списка a, не включая последнюю. Внутри этого цикла запишем ещё один цикл для перебора индексов элементов внутреннего списка. Это будет цикл с параметром j, который изменяется от нуля до длины списка a[i], не включая последнюю. Параметр j будет принимать значения индексов элементов этого списка. Внутри этого цикла запишем инструкцию print. Она будет выводить элемент с индексом j строки матрицы a с индексом i. Чтобы сформировать ровные столбцы элементов матрицы, будем для вывода каждого из них выделять по четыре знаковые позиции. Выводить элементы одной строки будем без перехода на следующую строку.

После внутреннего цикла в теле внешнего запишем пустую инструкцию print. Она будет выводить на экран символ перехода на следующую строку, чтобы разделить строки матрицы между собой.

def PrintMatrix (a):

for i in range (len (a)):

for j in range (len (a[i])):

print (‘{:4d}’.format (a[i][j]))

print ()

Сохраним описанный модуль, но не будем запускать его на выполнение. Для того, чтобы протестировать описанную функцию, загрузим её из описанного модуля. В интерактивном режиме среды разработки функции можно загружать из модулей, которые находятся в корневом каталоге интерпретатора. Загрузив функцию, вызовем её для вывода заданной матрицы

a. Как видим, при таком выводе матрица поделена на строки и столбцы.

Однако, код описанной функции вывода можно сократить. Для этого во внешнем цикле, в параметре row, будем перебирать элементы внешнего списка, а не их индексы, а во внутреннем цикле, в параметре «Икс», будем перебирать элементы списка «Роу».

Тогда в инструкции print заменим элемент матрицы a[i][j] на значение параметра x.

def PrintMatrix (a):

for row in a:

for x in row:

print (‘{:4d}’.format (x))

print ()

Сохраним модуль и снова загрузим из него описанную функцию. Вызовем загруженную функцию для матрицы. Как видим, результат совпадает с изначальным.

Как же можно создать новую матрицу, заполненную некоторыми значениями, например, нулями? Кому-то придёт в голову мысль о том, чтобы сначала создать список из одного элемента, после чего с помощью умножения этого списка на количество столбцов матрицы создать его строку. А затем с помощью умножения на количество строк матрицы получить необходимое количество таких строк в списке.

a = [0] * 3

a = [a] * 3

Теперь попробуем изменить значение одного из элементов матрицы. Для этого обратимся к нему по его индексам, и выведем на экран изменённую матрицу.

a[0][1] = 0

PrintMatrix (a)

0 1 0

Оказывается, в ней изменился не только указанный элемент, но и весь столбец. Почему так случилось? Вспомним о том, что мы узнали ранее о копировании списков. Если попытаться передать имя списка в любую инструкцию, то в неё будет передана не копия исходного списка, а ссылка на область памяти, в которой хранится исходный список. То есть при выполнении второго оператора мы заполнили внешний список не копиями внутреннего, а лишь ссылками на область памяти, в которой он хранится, и при обращении к любой строке внешнего списка мы изменяем именно эту область оперативной памяти.

Для того, чтобы создать полноценный список списков, создадим сперва пустой список, после чего запишем цикл, который будет повторяться столько раз, сколько строк должно быть в матрице. В этом цикле будем в конец созданного списка добавлять список, состоящий из элементов, равных нулю, в количестве, равном количеству столбцов матрицы.

a = []

for i in range (3):

a = a + [[0] * 3]

Снова попробуем изменить один из элементов матрицы и просмотреть её. На этот раз изменился только тот элемент, который мы указали. Также такую матрицу можно создать с помощью выражения-генератора, в котором в качестве элементов создаваемого списка укажем списки, созданные с помощью повторения одного элемента, равного нулю. Попробуем изменить один из элементов созданной матрицы и просмотрим её. Действительно, изменился лишь указанный элемент.

Рассмотрим несколько алгоритмов обработки матриц. В созданный модуль «Матрикс» добавим функцию расчёта суммы элементов матрицы. Назовём её sumMatrix. У неё будет один параметр – матрица, сумму элементов которой нужно вычислить. В теле функции объявим переменную s = 0, в которой будем вычислять сумму элементов матрицы. Теперь для перебора элементов матрицы мы можем воспользоваться вложенным циклом. Просто скопируем такой цикл из функции

PrintMatrix, которую мы описали ранее. В цикле же будем увеличивать s на значение параметра x.

def SumMatrix (a):

s = 0

for row in a:

for x in row:

s = s + x

return s

Сохраним модуль и в интерактивном режиме среды разработки подключим функцию SumMatrix. Создадим матрицу из 2 строк и 4 столбцов, заполненную тройками. Теперь применим для этой матрицы описанную функцию SumMatrix. В этой матрице каждый элемент равен трём, и всего в ней две строки и четыре столбца. Значит сумма элементов матрицы равна 24. Функция вернула именно это значение. Она работает правильно, но её код можно сократить. Мы можем убрать внутренний цикл, а на его месте записать инструкцию, увеличивающую

s на значение функции sum (row). Таким образом, для вычисления суммы элементов строки матрицы мы будем использовать стандартную функцию вычисления суммы элементов списка, уже определённую в языке Python.

def SumMatrix (a):

s = 0

for row in a:

s = s + sum (row)

return s

Сохраним модуль. Снова подключим из него тестируемую функцию и используем её для вычисления суммы элементов той же матрицы. Результат не изменился. Функция работает правильно.

Рассмотрим несколько определений. Квадратной матрицей называется матрица, в которой количество строк равно количеству столбцов. Элементы квадратной матрицы, у которых номер строки равен номеру столбца, называются её главной диагональю. Противоположная главной диагонали линия элементов называется побочной диагональю. В ней номер строки элемента равен разности размерности матрицы, уменьшенной на единицу, и номера столбца элемента.

Есть целый ряд задач, связанных с этими определениями. Рассмотрим пример. Очевидно, что главная и побочная диагонали квадратной матрицы делят её на сектора. Создать квадратную матрицу размерностью n строк на n столбцов, заполненную нулями, и заполнить в ней верхний сектор единицами, левый – двойками, правый – тройками и нижний – четвёрками.

Рассмотрим, как делит матрицу главная диагональ. Она делит матрицу на 3 части. Элементы, которые находятся на диагонали, нас не интересуют. В элементах, которые выше главной диагонали, то есть в верхнем и правом секторах, номер строки меньше номера столбца, в элементах ниже её, то есть в левом и нижнем секторах, наоборот, номер строки больше номера столбца. Также матрицу делит побочная диагональ. В элементах, которые выше побочной диагонали, номер строки всегда меньше, чем разность размерности матрицы, уменьшенной на единицу, и номера столбца. Ниже побочной диагонали, наоборот, номер строки больше разности размерности матрицы, уменьшенной на единицу, и номера столбца. Зная, что верхний сектор квадратной матрицы находится выше и главной, и побочной диагоналей, мы можем соединить два соответствующих условия союзом И, получив таким образом условие принадлежности элемента матрицы к верхнему сектору. Аналогично выводятся условия принадлежности элемента матрицы и к остальным секторам.

Напишем программу для решения задачи. Организуем ввод размерности матрицы. Для этого запишем бесконечный цикл, а в нём – инструкцию для вывода на экран запроса на ввод n без перехода на следующую строку. Дальше запишем инструкцию для считывания значения n. Запишем выражение–генератор для создания матрицы a из n строк и n столбцов, заполненной нулями.

Теперь будем перебирать элементы матрицы и проверять, к какому сектору они принадлежат. Так как мы будем анализировать индексы элементов матрицы, то в циклах будем перебирать именно индексы, а не сами элементы. Номер строки будет в параметре i, а номер столбца – в j. В цикле запишем ветвление с условием принадлежности текущего элемента списка к верхнему сектору, то есть то, что i < j and i < n – 1 – j. Если это условие выполняется, присвоим текущему элементу матрицы значение 1. Если элемент списка не принадлежит к верхнему сектору – проверим его принадлежность к левому сектору. Если он принадлежит к левому сектору – присвоим ему значение 2. Точно так же будем проверять принадлежность элементов к правому и нижнему секторам. И в случае принадлежности к одному из них будем присваивать элементу соответствующее значение. После цикла выведем элементы матрицы на экран. Для этого загрузим из описанного ранее модуля Matrix функцию PrintMatrix и вызовем её для матрицы a.

print (‘n =’)

n = int (input ())

a = []

for i in range (n):

a = a + [[0] * n]

for i in range (n):

for j in range (n):

if i < j and i < n – 1 – j:

a[i] = 1

elif i < j and i > n – 1 – j:

a[i] = 2

elif i > j and i > n – 1 – j:

a[i] = 3

elif i > j and i < n – 1 – j:

a[i] = 4

from Matrix import PrintMatrix

PrintMatrix (a)

Сохраним описанный модуль в одном каталоге с модулем Matrix и запустим его на выполнение. Введём размерность, равную 10. Матрица с пронумерованными секторами была выведена на экран. Программа работает правильно. Задача решена.

Для работы с многомерными массивами и проведения сложных математических расчётов есть расширение для языка Python, которое называется NumPy. Его вы можете рассмотреть самостоятельно, если захотите.

Мы узнали:

· Матрицей называется прямоугольная таблица из элементов одного типа. Каждый элемент матрицы имеет 2 индекса – номер строки и номер столбца матрицы, в которых он располагается.

· Для реализации матриц в языке Python используются списки, элементами которых являются списки.

Графы

Информатика. Учебник для 9 класса (по учебнику К. Ю. Полякова, Е.А. Еремина, базовый уровень)

§17. Графы.

Что такое граф?

Ключевые слова:

• граф	
• вершина	
• ребро	
• матрица смежности	
• степень вершины	
• связный граф
• взвешенный граф
• весовая матрица
• ориентированный граф
• оптимальный путь
• количество путей

Давайте подумаем, как можно наглядно представить такую информацию:

От пос. Васюки три дороги идут в Солнцево, Грибное и Ягодное. Между Солнцевом и Грибным и между Грибным и Ягодным также есть дороги. Кроме того, есть дорога, которая идет из Грибного в лес и возвращается обратно в Грибное.
Нарисуйте в тетради схему дорог по этому описанию.

Можно, например, нарисовать такую схему (рис. 3.17, а).

Рис. 3.17

В информатике для исследования таких схем используют графы.

Граф — это набор вершин (узлов) и связей между ними — рёбер.

Граф, соответствующий нашей схеме дорог, показан на рис. 3.17, б, для краткости населённые пункты обозначены латинскими буквами.

Матрица смежности графа

Для хранения информации об узлах и связях показанного выше графа можно использовать таблицу такого вида (рис. 3.18).

Рис. 3.18

Единица на пересечении строки А и столбца В означает, что между вершинами А и В есть связь. Ноль указывает на то, что связи нет. Такая таблица называется матрицей смежности. Она симметрична относительно главной диагонали (см. закрашенные клетки в таблице).

Исследуйте матрицу смежности и сравните её с графом на рис. 3.17, б. Что означает единица на пересечении столбца С и строки С?

В этом графе есть петля — ребро, которое начинается и заканчивается в одной и той же вершине.

Степенью вершины называют количество рёбер, с которыми связана вершина. При этом петля считается дважды (с вершиной связаны оба конца ребра!).

Подсчитайте по матрице смежности, сколько ребёр в графе. Определите степени всех вершин. Как вы рассуждали?

Строго говоря, граф — это математический объект, а не рисунок. Конечно, его можно нарисовать на плоскости (например, как на рис. 3.17, б), но матрица смежности не даёт никакой информации о том, как именно располагать вершины друг относительно друга. Для таблицы, приведённой выше, возможны, например, такие варианты (рис. 3.19).

Рис. 3.19

Нарисуйте по матрице смежности (рис. 3.20) два разных изображения графа.

Рис. 3.20

Граф имеет 4 вершины, причём каждая вершина связана рёбрами со всеми остальными. Нарисуйте этот граф. Сколько всего рёбер в этом графе?

Граф имеет N вершин, причём каждая вершина связана рёбрами со всеми остальными. Сколько всего рёбер в этом графе?

Граф имеет 4 ребра. Чему равна сумма степеней вершин в этом графе? Зависит ли она от количества вершин?

Граф имеет N рёбер. Чему равна сумма степеней вершин в этом графе?

Попробуйте нарисовать граф с пятью вершинами, где все вершины имеют степень 3. Получилось ли у вас? Почему?

Связный граф

В графе на рис. 3.17, б все вершины связаны: между любой парой вершин существует путь — последовательность вершин, в которой каждая следующая связана ребром с предыдущей. Такой граф называется связным.

Связный граф — это граф, между любыми вершинами которого существует путь.

Теперь представьте себе, что дороги Васюки-Солнцево, Васю- ки-Грибное и Грибное-Ягодное завалило снегом (или размыло дождём) так, что по ним ни пройти, ни проехать (рис. 3.21).

Рис. 3.21

Эту схему тоже можно считать графом (она соответствует определению), но в таком графе есть две несвязанные части, каждая из которых — связный граф. Такие части называют компонентами связности.

Постройте матрицу смежности графа, изображённого на рис. 3.21.

Граф имеет 4 вершины и две компоненты связности. Какое наибольшее количество рёбер может быть в этом графе, если в нём нет петель? Нарисуйте этот граф.

Вспоминая материал предыдущего параграфа, можно сделать вывод, что дерево — это частный случай связного графа. Но у него есть одно важное свойство — в дереве нет замкнутых путей — циклов, т. е. путей, которые начинаются и заканчиваются в одной и той же вершине.

Найдите все циклы в графе на рис. 3.17.

Дерево — это связный граф, в котором нет циклов.

Если в нашем примере нас заинтересует не только наличие дорог между посёлками, но ещё и расстояния между ними, каждой связи нужно сопоставить число — вес ребра (рис. 3.22).

Рис. 3.22

Взвешенный граф — это граф, с каждым ребром которого связано некоторое число — вес ребра.

Весом может быть не только расстояние, но и, например, стоимость проезда или другая величина.

Как хранить информацию о таком графе? Ответ напрашивается сам собой — нужно в таблицу записывать не 1 или 0, а вес ребра. Если связи между двумя узлами нет, на бумаге можно оставить ячейку таблицы пустой, а при хранении в памяти компьютера записывать в неё условный код, например, число -1 или очень большое число. Такая таблица называется весовой матрицей, потому что содержит веса рёбер. В данном случае она выглядит так (рис. 3.23).

Рис. 3.23

Так же как и матрица смежности, весовая матрица симметрична относительно диагонали.

Что означают пустые ячейки в весовой матрице?

Как по весовой матрице сразу определить, сколько рёбер в графе?

Определите по весовой матрице (рис. 3.24) длины путей ADBEC, ABDCE, DEBAC. Как вы рассуждали?

Рис. 3.24

Оптимальный путь в графе

Для того чтобы определить оптимальный (наилучший) путь между двумя вершинами графа, нужно ввести какой-то числовой показатель, по которому можно сравнивать пути — определять, какой из них лучше. Обычно для оценки пути используют сумму весов ребёр, входящих в этот путь. Например, при поиске кратчайшего пути чем меньше это значение, тем лучше.

Какие показатели вы используете в жизни для определения оптимального пути? Всегда ли самый короткий путь — самый лучший?

Если в графе немного узлов, по весовой матрице можно легко определить оптимальный путь из одной вершины в другую простым перебором вариантов. Рассмотрим граф, заданный весовой матрицей на рис. 3.25 (числа определяют стоимость поездки между соседними пунктами).

Рис. 3.25

Найдём наилучший путь из А в В — такой, при котором общая стоимость поездки минимальная.

Для решения задачи будем строить дерево перебора вариантов. Видим, что из пункта А напрямую

Рис. 3.26

Числа около рёбер обозначают стоимость поездки по этому участку, а индексы у названий узлов показывают общую стоимость проезда в данный узел из узла А. Теперь разберём варианты дальнейшего движения из узла С I tM lt;pb р (рис. 3.27).

Рис. 3.27

Почему, на ваш взгляд, на схеме не показана возможность движения из С в А?

Видим, что из С сразу можно попасть в В, стоимость проезда в этом случае равна 7.

Почему нельзя на этом остановиться, ведь путь из А в В найден?

Проверяя пути через узел В, выясняем, что можно сократить стоимость до 6 (рис. 3.28)

Рис. 3.28

Нужно ли исследовать дальше путь, содержащий цепочку ACED? Сравните стоимость этого пути и стоимость уже найденного пути из А в В.

Аналогично строим вторую часть схемы (рис. 3.29).

Рис. 3.29

Таким образом, оптимальный (наилучший) путь — ADEB, его стоимость — 3.

Нужно ли проверять пути ACED и ADEC, не дошедшие до узла В? Могут ли они улучшить результат?

Конечно, для более сложных графов метод перебора работает очень долго, поэтому используются более совершенные (но значительно более сложные) методы.

Ориентированный граф

Наверное, вы заметили, что при изображении деревьев, которые описывают иерархию (подчинение), мы ставили стрелки от верхних уровней к нижним. Это означает, что для каждого ребра указывается направление, и двигаться можно только по стрелкам, но не наоборот.

Ориентированный граф (орграф) — это граф, в котором каждое ребро имеет направление.

Орграф может служить, например, моделью системы дорог с односторонним движением. Матрица смежности и весовая матрица для орграфа уже не обязательно будут симметричными.

На схеме на рис. 3.30 всего две дороги с двусторонним движением, по остальным можно ехать только в одну сторону.

Рис. 3.30

Рёбра в орграфе называют дугами. Дуга, в отличие от ребра, имеет начало и конец.

Нарисуйте граф по весовой матрице, показанной на рис. 3.31. С помощью дерева перебора найдите все возможные пути из вершины А в вершину Е, не проходящие дважды через одну и ту же вершину, и стоимости проезда по каждому из этих путей. Определите оптимальный путь из вершины А в вершину Е.

Рис. 3.31

Количество путей

Определим количество возможных путей из вершины А в вершину К для ориентированного графа, показанного на рис. 3.32.

Рис. 3.32

Так как граф ориентированный, переходить в другую вершину можно только по стрелкам.

В графе на рис. 3.32 есть одна начальная вершина А, из которой дуги только выходят. Такая вершина называется истоком. Вершина, в которую дуги только входят (и ни одна не выходит), называется конечной вершиной или стоком. В нашем графе сток — это вершина К.

По весовой матрице на рис. 3.31 найдите исток и сток в графе. Как вы рассуждали?

Будем двигаться по стрелкам от начальной вершины А. Около каждой вершины запишем количество возможных путей из вершины А в эту вершину. В вершину А существует единственный путь — пустой (никуда не ехать). Найдём все вершины, в которые можно приехать только из А: это вершины Б и Г, записываем около них количество путей 1 (рис. 3.33).

Рис. 3.33

Теперь ищем вершины, в которые можно попасть только из уже отмеченных вершин. Например, в вершину В есть один путь из А напрямую, а также по одному пути через Б и Г (так как эти вершины отмечены числом 1). Общее количество путей из А в Б равно сумме отметок предыдущих вершин: для вершины В получаем 3 пути. В вершину Ж можно попасть только из Г, поэтому число путей в Г и Ж совпадает (рис. 3.34).

Рис. 3.34

В вершину Д идёт один путь через Б и три пути через В, поэтому общее число путей — 4. Аналогично получаем 4 пути в вершину Е: 3 пути через В и один через Ж (рис. 3.35).

Рис. 3.35

Далее находим один путь из А в И (только через Ж) и 4 пути из А в 3 (все через Д). В конечную вершину К можно приехать через вершины Д (4 пути), 3 (4 пути), Е (4 пути) и И (1 путь), таким образом, общее количество различных путей равно 13 (рис. 3.36).

Рис. 3.36

Выводы

• Граф — это набор вершин (узлов) и связей между ними — рёбер.
• Матрица смежности — это таблица, в которой единица на пересечении строки и столбца обозначает ребро между соответствующими вершинами, а ноль — отсутствие ребра.
• Связный граф — это граф, между любыми вершинами которого существует путь.
• Цикл — это замкнутый путь в графе.
• Дерево — это связный граф, в котором нет циклов.
• Взвешенный граф — это граф, с каждым ребром которого связано некоторое число — вес ребра. Взвешенный граф описывается весовой матрицей.
• Ориентированный граф (орграф) — это граф, в котором каждое ребро имеет направление. Рёбра орграфа называют дугами. Матрица смежности и весовая матрица орграфа могут быть несимметричными.

Нарисуйте в тетради интеллект-карту этого параграфа.

Вопросы и задания

1. Можно ли сказать, что лес (множество деревьев) — это граф? Почему?
2. Как по матрице смежности определить, есть ли петли в графе?
3. Как по весовой матрице определить длину пути в графе?
4. Когда для представления данных используются орграфы? Приведите примеры.
5. Выполните по указанию учителя задания в рабочей тетради.

Подготовьте сообщение

а) «Задача о Кёнигсбергских мостах»
б) «Решение логических задач с помощью графов»

Оглавление

§16. Списки и деревья.

§17. Графы.

§18. Игровые стратегии.

Задание №19. Работа с массивами

Автор материалов – Лада Борисовна Есакова.

Массив – это тип или структура данных в виде набора компонентов (элементов массива), расположенных в памяти непосредственно друг за другом. При этом доступ к отдельным элементам массива осуществляется с помощью индексации, то есть ссылки на массив с указанием номера (индекса) нужного элемента. Размерность массива — это количество индексов, необходимое для однозначного доступа к элементу массива

Одномерный массив представляет собой пронумерованную последовательность элементов одного и того же типа, имеющих общее имя. Для обращения к элементу массива используют имя и порядковый номер элемента в квадратных скобках: A[i].

Двумерный массив представляет собой матрицу элементов одного и того же типа в которой элемент, расположенный на пересечении i-й строки и j-го столбца, обозначается A[i,j].

Одномерные массивы

Пример 1.

В программе описан одномерный целочисленный массив A с индексами от 0 до 10. Ниже представлен фрагмент этой программы, записанный на разных языках программирования, в котором значения элементов массива сначала задаются, а затем меняются.

Бейсик	Паскаль
FOR i=0 TO 10 A(i)=i-1 NEXT i FOR i=1 TO 10 A(i-1)=A(i) NEXT i A(10)=10	for i:=0 to 10 do A[i]:=i-1; for i:=1 to 10 do A[i-1]:=A[i]; A[10]:=10;
Си	Алгоритмический язык
for (i = 0; i <= 10; i++) A[i]=i-1; for (i = 1; i <= 10; i++) A[i-1]=A[i]; A[10]=10;	нц для i от 0 до 10 A[i]:=i-1 кц нц для i от 1 до 10 A[i-1]:=A[i] кц A[10]:=10

Как изменятся элементы этого массива после выполнения фрагмента программы?

1) все элементы, кроме последнего, окажутся равны между собой

2) все элементы окажутся равны своим индексам

3) все элементы, кроме последнего, будут сдвинуты на один элемент вправо

4) все элементы, кроме последнего, уменьшатся на единицу

Решение:

Выполним последовательно все действия, описанные в программе. После первого цикла массив примет вид:

Индекс	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Значение	-1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9

Второй цикл сдвигает элементы массива на один влево:

i=1, A[0]:=A[1] = 0

i=2, A[1]:=A[2] = 1,

…

i=10, A[9]:=A[10] = 9.

А затем десятому элементу присваивается значение 10: A[10]:=10:

Индекс	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Значение	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

Правильный ответ указан под номером 2.

Ответ: 2

Пример 2.

В программе используется одномерный целочисленный массив A с индексами от 0 до 9. Значения элементов равны 4, 7, 3, 8, 5, 0, 1, 2, 9, 6

соответственно, т.е. A[0] = 4, A[1] = 7 и т.д.

Определите значение переменной c после выполнения следующего фрагмента этой программы (записанного ниже на пяти языках программирования).

Решение:

Если i-й элемент массива меньше нулевого, то программа меняет их местами и увеличивает значение переменной c на 1.

Индекс	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Значение	4	7	3	8	5	0	1	2	9	6

Первый раз условие «i-й элемент массива меньше нулевого» выполнится при i=2. Массив примет вид:

Индекс	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Значение	3	7	4	8	5	0	1	2	9	6

А переменная с примет значение 1.

Второй раз условие «i-й элемент массива меньше нулевого» выполнится при i=5. Массив примет вид:

Индекс	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Значение	0	7	4	8	5	3	1	2	9	6

А переменная с примет значение 2.

Больше условие «i-й элемент массива меньше нулевого» не выполнится ни разу. Значит, с = 2.

Ответ: 2

Пример 3.

В программе описаны одномерный целочисленный массив А с индексами от 0 до 10 и целочисленные переменные i и t. Ниже представлен фрагмент этой программы, записанный на разных языках программирования.

Бейсик	Паскаль
FOR i = 0 TO 10 A(i) = i NEXT i t = A(10) FOR i = 9 TO 0 STEP -1 A(i+1) = A(i) NEXT i A(0) = t	for i := 0 to 10 do A[i] := i; t := A[10] for i := 9 downto 0 do A[i+1] := A[i]; A[0] := t;
Си	Алгоритмический язык
for (i = 0; i <= 10; i++) A[i] = i; t = A[10]; for (i = 9; i >= 0; i–) A[i+1] = A[i]; A[0] = t;	нц для i от 0 до 10 A[i] := i кц t := A[10] нц для i от 9 до 0 шаг -1 A[i+1] := A[i] кц A[0] := t

Чему окажутся равны элементы этого массива после выполнения фрагмента программы?

1) 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

2) 10 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10

3) 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

4) 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Решение:

Выполним последовательно все действия, описанные в программе. После первого цикла массив примет вид:

Индекс	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Значение	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

Второй цикл работает в обратном порядке, от 9 до 0:

i = 9: A[10] := A[9] = 9,

i = 8: A[9] := A[8] = 8,

…

i = 1: A[2] := A[1] = 1

i = 0: A[1] := A[0] = 0,

А затем нулевому элементу присваивается значение 10 (A[0] := 10):

Индекс	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Значение	10	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9

Правильный ответ указан под номером 4.

Ответ: 4

Двумерные массивы

Пример 4.

Значения элементов двумерного массива A размером 5×5 задаются с помощью вложенного цикла в представленном фрагменте программы:

for i:=1 tо 5 do

for j:=1 tо 5 do begin

A[i,j] := i*j;

end;

Сколько элементов массива будут иметь значения больше 10?

Решение:

Выполним последовательно все действия, описанные в программе:

i=1 (Заполняем первую строку матрицы)

j=1, A[1,1]:= 1*1 =1

j=2, A[1,2]:= 1*2 =2

j=3, A[1,3]:= 1*3 =3

j=4, A[1,4]:= 1*4 =4

j=5, A[1,5]:= 1*5 =5

	1	2	3	4	5
1	1	2	3	4	5
2
3
4
5

i=2 (Заполняем вторую строку матрицы)

j=1, A[2,1]:= 2*1 =2

j=2, A[2,2]:= 2*2 =4

j=3, A[2,3]:= 2*3 =6

j=4, A[2,4]:= 2*4 =8

j=5, A[2,5]:= 2*5 =10

	1	2	3	4	5
1	1	2	3	4	5
2	2	4	5	8	10
3
4
5

…. .

i=5 (Заполняем пятую строку матрицы)

j=1, A[5,1]:= 5*1 =5

j=2, A[5,2]:= 5*2 =10

j=3, A[5,3]:= 5*3 =15

j=4, A[5,4]:= 5*4 =20

j=5, A[5,5]:= 5*5 =25

Значение элементов матрицы равно произведению номеров его строки и столбца

	1	2	3	4	5
1	1	2	3	4	5
2	2	4	5	8	10
3	3	6	9	12	15
4	4	8	12	16	20
5	5	10	15	20	25

Значение больше 10 имеют 8 элементов матрицы.

Ответ:8

Презентация Матрица в Maxima доклад, проект

Главная
Разное
Образование
Спорт
Естествознание
Природоведение
Религиоведение
Французский язык
Черчение
Английский язык
Астрономия
Алгебра
Биология
География
Геометрия
Детские презентации
Информатика
История
Литература
Математика
Музыка
МХК
Немецкий язык
ОБЖ
Обществознание
Окружающий мир
Педагогика
Русский язык
Технология
Физика
Философия
Химия
Шаблоны, фоны, картинки для презентаций
Экология
Экономика

Презентация на тему Презентация Матрица в Maxima, предмет презентации: Информатика. Этот материал в формате pptx (PowerPoint) содержит 30 слайдов, для просмотра воспользуйтесь проигрывателем. Презентацию на заданную тему можно скачать внизу страницы, поделившись ссылкой в социальных сетях! Презентации взяты из открытого доступа или загружены их авторами, администрация сайта не отвечает за достоверность информации в них, все права принадлежат авторам презентаций и могут быть удалены по их требованию.

Слайд 1Текст слайда:

Определение, виды, операции

Матрицы

Слайд 2Текст слайда:

В деятельности каждого инженера существенное значение имеют упрощенные методы расчета. Большинство инженерных задач можно упростить, используя математический аппарат. С этой целью в электротехнике применяют матричные методы расчёта сложных электрических цепей.
Существует несколько матричных методов расчёта, один из них метод контурных токов в матричной форме, который применяется на практике. Для этого необходимо знать, что представляет собой матрица.

Слайд 3Текст слайда:

Матрица

Матрицей размера m × n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов.

Слайд 4Текст слайда:

Матрица

Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.
Матрицы обозначаются заглавными буквами латинского алфавита, элементы – малыми буквами; i – номер строки, j – номер столбца

Слайд 5Текст слайда:

Виды матриц

Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей – строкой, а из одного столбца – матрицей – столбцом

Матрица называется квадратной , если число ее строк равно числу столбцов.

матрица – строка

Матрица
столбец

Слайд 6Текст слайда:

Элементы матрицы, у которых номер столбца равен номеру строки, называются диагональными и образуют главную диагональ матрицы

Диагональная матрица

Виды матриц

Слайд 7Текст слайда:

Если у диагональной матрицы все диагональные элементы равны единице, то матрица называется единичной – Е

Если все элементы равны нулю – это нулевая матрица

Виды матриц

Слайд 8Текст слайда:

матрица противоположная матрице А

Виды матриц

Слайд 9Текст слайда:

верхняя треугольная матрица

нижняя треугольная матрица

Виды матриц

Слайд 10Текст слайда:

Транспонирование матриц

Транспонирование матрицы – это операция над матрицей, при которой ее строки и столбцы меняются местами:

Определение

Слайд 11Текст слайда:

Свойства транспонирования:

Слайд 12Текст слайда:

Произведением матрицы А = (аij) на число k называется матрица С = (сij) тех же размеров, у которой сij = k·aij для любых i,j. C = k A

Произведение матрицы на число:

Операции над матрицами

Слайд 13Текст слайда:

Свойства умножения матрицы на число:

для любых А, В одинаковых размеров, любых α, β

Слайд 14Текст слайда:

Операции над матрицами

Умножение матрицы на число
Произведением матрицы А на число k называется матрица C =kА

Слайд 15Текст слайда:

Суммой матриц А = (аij) и В = (bij) одинаковых размеров называется матрица С = (сij) тех же размеров, у которой сij = аij + bij, для любых i, j.
C = A + B

Операции над матрицами

Слайд 16Текст слайда:

Операции над матрицами

Слайд 17Текст слайда:

Операции над матрицами

Даны матрицы А и В одинакового размера;
Найти: матрицу С = А + В

Сложение матриц

Слайд 18Текст слайда:

Разность двух матриц одинакового размера определяется через предыдущие операции:
А – В = А + (-1)В.

Вычитание матриц

Операции над матрицами

Слайд 19Текст слайда:

Самостоятельная работа

1. Транспонировать данную матрицу
Найти матрицу 2Мт и 3М
3Nт и 2N

Вариант 1 Матрица M

Вариант 2 Матрица N

Слайд 20Текст слайда:

3. Найти А+В, А – В, 3А +2В, 2А-3В

Слайд 21Текст слайда: