Системы счисления. Перевод из одной системы в другую.
1. Порядковый счет в различных системах счисления.
В современной жизни мы используем позиционные системы счисления, то есть системы, в которых число, обозначаемое цифрой, зависит от положения цифры в записи числа. Поэтому в дальнейшем мы будем говорить только о них, опуская термин «позиционные».
Для того чтобы научиться переводить числа из одной системы в другую, поймем, как происходит последовательная запись чисел на примере десятичной системы.
Поскольку у нас десятичная система счисления, мы имеем 10 символов (цифр) для построения чисел. Начинаем порядковый счет: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Цифры закончились. Мы увеличиваем разрядность числа и обнуляем младший разряд: 10. Затем опять увеличиваем младший разряд, пока не закончатся все цифры: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. Увеличиваем старший разряд на 1 и обнуляем младший: 20. Когда мы используем все цифры для обоих разрядов (получим число 99), опять увеличиваем разрядность числа и обнуляем имеющиеся разряды: 100.
Попробуем сделать то же самое в 2-ной, 3-ной и 5-ной системах (введем обозначение для 2-ной системы, для 3-ной и т.д.):
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 10 | 3 |
| 4 | 100 | 11 | 4 |
| 5 | 101 | 12 | 10 |
| 6 | 110 | 20 | 11 |
| 7 | 111 | 21 | |
| 8 | 1000 | 22 | 13 |
| 9 | 1001 | 100 | 14 |
| 10 | 1010 | 101 | 20 |
| 11 | 1011 | 102 | 21 |
| 12 | 1100 | 110 | 22 |
| 13 | 1101 | 111 | 23 |
| 14 | 1110 | 112 | 24 |
| 15 | 1111 | 120 | 30 |
Если система счисления имеет основание больше 10, то нам придется вводить дополнительные символы, принято вводить буквы латинского алфавита.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 3 |
| 4 | 4 |
| 5 | 5 |
| 6 | 6 |
| 7 | 7 |
| 8 | 8 |
| 9 | 9 |
| 10 | |
| 11 | |
| 12 | 10 |
| 13 | 11 |
| 14 | 12 |
| 15 | 13 |
2.Перевод из десятичной системы счисления в любую другую.
Чтобы перевести целое положительное десятичное число в систему счисления с другим основанием, нужно это число разделить на основание. Полученное частное снова разделить на основание, и дальше до тех пор, пока частное не окажется меньше основания.
В результате записать в одну строку последнее частное и все остатки, начиная с последнего.
Пример 1. Переведем десятичное число 46 в двоичную систему счисления.
Пример 2.
Пример 3. Переведем десятичное число 934 в шестнадцатеричную систему счисления.
3. Перевод из любой системы счисления в десятичную.
Для того, чтобы научиться переводить числа из любой другой системы в десятичную, проанализируем привычную нам запись десятичного числа.
Например, десятичное число 325 – это 5 единиц, 2 десятка и 3 сотни, т.е.
Точно так же обстоит дело и в других системах счисления, только умножать будем не на 10, 100 и пр., а на степени основания системы счисления. Для примера возьмем число 1201 в троичной системе счисления. Пронумеруем разряды справа налево начиная с нуля и представим наше число как сумму произведений цифры на тройку в степени разряда числа:
Это и есть десятичная запись нашего числа, т.
е.
Пример 4. Переведем в десятичную систему счисления восьмеричное число 511.
Пример 5. Переведем в десятичную систему счисления шестнадцатеричное число 1151.
4. Перевод из двоичной системы в систему с основанием «степень двойки» (4, 8, 16 и т.д.).
Для преобразования двоичного числа в число с основанием «степень двойки» необходимо двоичную последовательность разбить на группы по количеству цифр равному степени справа налево и каждую группу заменить соответствующей цифрой новой системы счисления.
Например, Переведем двоичное 1100001111010110 число в восьмеричную систему. Для этого разобьем его на группы по 3 символа начиная справа (т.к. ), а затем воспользуемся таблицей соответствия и заменим каждую группу на новую цифру:
Таблицу соответствия мы научились строить в п.1.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
Т.
е.
Пример 6. Переведем двоичное 1100001111010110 число в шестнадцатеричную систему.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
| 1000 | 8 |
| 9 | |
| 1010 | A |
| 1011 | B |
| 1100 | C |
| 1101 | D |
| 1110 | E |
| 1111 | F |
5.Перевод из системы с основанием «степень двойки» (4, 8, 16 и т.д.) в двоичную.
Этот перевод аналогичен предыдущему, выполненному в обратную сторону: каждую цифру мы заменяем группой цифр в двоичной системе из таблицы соответствия.
Пример 7. Переведем шестнадцатеричное число С3A6 в двоичную систему счисления.
Для этого каждую цифру числа заменим группой из 4 цифр (т.к. ) из таблицы соответствия, дополнив при необходимости группу нулями вначале:
Системы счисления. Перевод из одной системы счисления в другую. — Сайт учителя информатики Лосева А.В.
Тип статьи:
Авторская
Текст статьи:
ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЫ В ДЕСЯТИЧНУЮ
Для перевода двоичного числа в десятичное необходимо это число представить в виде суммы произведений степеней основания двоичной системы счисления на соответствующие цифры в разрядах двоичного числа.
Например, требуется перевести двоичное число 110101 в десятичное. В этом числе 6 цифр и 6 разрядов (разряды считаются, начиная с нулевого, которому соответствует младший бит). В соответствии с уже известным нам правилом представим его в виде суммы степеней с основанием 2:
1101012 = (1х25)+(1х24)+(0х23)+(1х22)+(0х21)+(1х20) = 32+16+4+1 = 5310
ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ ВОСЬМЕРИЧНОЙ СИСТЕМЫ В ДЕСЯТИЧНУЮ
Перевод производится по аналогии с переводом из двоичной в десятичную систему счисления.
Например, требуется перевести восьмеричное число 4754 в десятичное. В этом числе 4 цифры и 4 разряда ( разряды считаются, начиная с нулевого, которому соответствует младший бит). В соответствии с уже известным нам правилом представим его в виде суммы степеней с основанием 8:
47548 = (4х83)+(7х82)+(5х81)+(4х80) = 2048 + 448 + 40 + 4 = 254010
Переводы из других систем счисления в десятичную происходят по аналогии с вышеописанными способами.
ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ ДЕСЯТИЧНОЙ СИСТЕМЫ В ВОСЬМЕРИЧНУЮ
Для перевода чисел из десятичной системы счисления в восьмеричную используют тот же «алгоритм замещения», что и при переводе из десятичной системы счисления в двоичную, только в качестве делителя используют 8, основание восьмеричной системы счисления:
- Делим десятичное число х на 8.
Частное у запоминаем для следующего шага, а остаток z записываем как младший разряд восьмеричного числа. - Если частное у не равно 0, принимаем его за новое делимое и повторяем процедуру, описанную в первом шаге. Каждый новый остаток записывается в разряды восьмеричного числа в направлении от младшего разряда к старшему.
- Алгоритм продолжается до тех пор, пока в результате выполнения шагов 1 и 2 не получится частное у = 0 и остаток z меньше 8.
Частное у запоминаем для следующего шага, а остаток z записываем как младший разряд восьмеричного числа.Например, требуется перевести десятичное число 450 в восьмеричное. В соответствии с приведенным алгоритмом получим:
| 45010: 8 = 5610 |
| 56 x 8 = 448 |
45010 — 44810 = 2, остаток 2 записываем в младший разряд восьмеричного числа. |
| 5610: 8 = 710 |
| 5610 — 5610 = 0, остаток 0 записываем в следующий разряд восьмеричного числа. |
| 710: 8 = 010 |
| остаток 0, записываем 7 в самый старший разряд восьмеричного числа. |
| Таким образом, искомое восьмеричное число равно 7028. |
ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ ДЕСЯТИЧНОЙ СИСТЕМЫ В ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНУЮ
Для перевода используется алгоритм, аналогичный переводу из десятичной в восьмеричную.Например, требуется перевести десятичное число 450 в шестнадцатеричное. В соответствии с приведенным алгоритмом получим:
45010: 16 = 2810 |
| 28 х 16 = 448 |
45010 — 44810 = 2, остаток 2 записываем в младший разряд шестнадцатеричного числа. |
| 2810: 16 = 110 |
| 2810 — 1610 = 12, остаток 12 в виде C записываем в следующий разряд шестнадцатеричного числа. |
| 110: 16 = 010, остаток 1 записываем в старший разряд шестнадцатеричного числа. |
Таким образом, искомое шестнадцатеричное число равно 1C216.
Остальные переводы из десятичной системы счисления происходят по аналогии с вышеописанными способами.
Перевод из двоичной системы счисления в десятичную, шестнадцатеричную, и восьмеричную.
Для осуществления такого перевода удобно использовать таблицу триад и тетрад.
Строится она очень просто. Сначала записывается в столбик восемь нолей и 8 единиц. Затем в два раза меньше единиц и нолей с повтором.
Затем ещё в два раза меньше. И так до тех пор, пока не получим столбик со значениями 1 0 1 0 1 0…
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 2 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 3 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 4 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 5 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 6 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 7 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 8 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 9 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | A |
| 1 | 0 | 1 | 1 | B |
| 1 | 1 | 0 | 0 | C |
| 1 | 1 | 0 | 1 | D |
| 1 | 1 | 1 | 0 | E |
| 1 | 1 | 1 | 1 | F |
Таким образом можно получить двоичные значения каждого числа в десятичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системе счисления.
Например, из таблицы видно, что значение числа 9 в десятичной и шестнадцатеричной системе счисления равно 1001 в двоичной системе счисления.
Статью подготовил учитель информатики МБОУ «Школа №7» города Богородска Лосев Антон Владимирович.
информатика, перевод чисел, системы счисления, перевод, двоичная, десятичная, восьмеричная, шестнадцатеричная, триады, тетрады, 10 класс, 11 класс, егэ
- Сайт учителя информатики Лосева А.В. © 2022
- Работает на InstantCMS
Компьютерные системы счисления 101: Двоичные и шестнадцатеричные преобразования
Главная/Блог/Компьютерные системы счисления 101: Двоичные и шестнадцатеричные преобразования
01 октября 2020 г. – 9 минут чтения
Аманда Фосетт
Когда мы печатаем слова на компьютере, переведет их в числа. На самом деле для компьютера вся информация записывается в виде последовательности единиц и нулей.
Компьютерные системы счисления — это то, как мы представляем числа в архитектуре компьютерной системы.
Системы счисления — одна из самых фундаментальных концепций, которую должны изучить специалисты по информатике. Это важный шаг для всех, кто хочет стать компьютерщиком или программистом.
Сегодня мы познакомим вас с системами счисления, необходимыми для компьютерного ученого. Мы углубимся в двоичную и шестнадцатеричную системы счисления.
Сегодня мы узнаем:
- Что такое система счисления в информатике?
- Что такое двоичная система счисления?
- Что такое шестнадцатеричная система счисления?
- Как преобразовать между двоичным и шестнадцатеричным
- Что такое восьмеричная система счисления?
- Что узнать дальше
Узнайте, как представлять числа в двоичном формате, и поймите, как числа хранятся и представляются в компьютерах.
Никаких знаний в области программирования не требуется!
Системы счисления для компьютерных ученых
Что такое система счисления в информатике?
Люди давно умеют считать. Для этого мы используем системы, которые связывают уникальные символы с конкретными значениями. это называется система счисления , и это метод, который мы используем для представления и обработки чисел
Система счисления должна иметь уникальные символы для каждого значения, быть последовательной, предоставлять сопоставимые значения и быть легко воспроизводимой.
Вероятно, вы лучше всего знакомы с десятичной системой , которая лежит в основе того, как люди считают. Десятичная система имеет основание 10 , потому что она предоставляет 10 символов для представления всех чисел:
Люди используют десятичную систему, потому что у нас есть 10 пальцев, чтобы считать, но у машин нет такой роскоши.
Итак, мы создали другие системы счисления, выполняющие те же функции. Компьютеры представляют информацию не так, как люди, поэтому нам нужны разные системы для представления чисел.
Компьютеры поддерживают следующие системы счисления:
- Двоичная
- Окталь
- Десятичный
- Шестнадцатеричный
Знакомство с двоичной системой счисления
Компьютер использует бит для представления информации. Бит — это самая основная единица хранения данных в компьютере. Важный компонент компьютеров называется транзистором . Подобно выключателю света, транзистор либо позволяет, либо предотвращает протекание тока. Итак, у него всего два состояния: на и на .
Каждое число в компьютере представляет собой электрический сигнал. На заре компьютеров электрические сигналы представлялись в состоянии «включено» (отрицательный заряд) и в состоянии «выключено» (положительный заряд).
Это формирует своего рода двоичный переключатель.
Эти два состояния могут быть представлены одним из двух символов: 1 и 0 . Это означает, что двоичная система счисления имеет основание 2. Для представления каждого числа нужны только символы.
Базовые цифры для двоичной системы просты: 0 соответствует низкому уровню, а 1 соответствует высокому уровню.
Вместо того, чтобы представлять числа как отдельные единицы (например, число 10 или 400), мы используем группы единиц и нулей. Например, вот как это выглядит, когда компьютер считает от 0 до 10:
Это называется двоичной системой счисления. Каждая двоичная цифра обозначается как бит . Например, 011001100110 состоит из 4 битов: 000, 111, 111 и 000. Когда дело доходит до размещения значений битов (то есть цифр) в этой системе, мы размещаем значения, соответствующие возрастающим степеням числа 2, справа налево. оставил.
Крайний правый бит называется младшим битом (LSB) , а крайний левый бит — старшим значащим битом (MSB) .
Вы можете манипулировать битами слева и справа с помощью побитовых операторов для эффективного изменения значения числа на уровне машинного кода.
Преобразование из десятичной в двоичную
Теперь, когда мы знаем основы двоичной системы, давайте узнаем, как мы будем преобразовывать десятичную в двоичную. Начнем с преобразования двоичного кода в десятичный.
Мы знаем, что в двоичной системе есть разрядные значения степеней двойки. Эти значения являются весами цифр (0 или 1) в этих разрядах. Вот как это работает:
- Мы умножаем каждую цифру на ее вес (ее положение умножается на 2)
- Суммируем их все, чтобы получить десятичное число
Итак, возьмем двоичное число 11111010 и переведем его в десятичную систему счисления.
1 из 4
1 из 4
1 из 4
1 из 4
А теперь попробуем наоборот. Как преобразовать десятичное число в двоичное? Одним из способов сделать это является повторное деление, которое является удобным сокращением.
Итак, возьмем число 19. Начнем с деления его на два и записи остатка. Когда мы делим 19 на 2, мы получаем 9 с остатком 1.
Затем мы берем 9 и делим его на 2, что дает нам результат 4 с остатком 1. Этот процесс продолжается до тех пор, пока мы не достигнем нуля. Остатки, которые мы собрали, образуют наше двоичное число!
Многократное деление на 2 и отслеживание остатков — это быстрый способ преобразования десятичного числа в двоичное!
Попробуйте сами!
Каково двоичное представление числа 94?
A)
1001110
B)
0111101
C)
101110
Вопрос
1
из
из
из
20
из
20
.
0047
Теперь, когда мы немного узнали о двоичной системе, давайте узнаем о другой распространенной системе, используемой компьютерами: , шестнадцатеричной системе счисления .
Двоичные числа просты для компьютеров, но не так просты для понимания людьми. А когда вы работаете с большими числами, становится трудно писать без ошибок. Итак, чтобы решить эту проблему, мы можем организовать двоичные числа в группы по четыре бита, образуя шестнадцатеричную систему счисления.
Шестнадцатеричная система представляет собой более компактный способ представления чисел на компьютере, поскольку для представления значения цифры требуется всего 4 бита.
Шестнадцатеричная система (часто называемая «шестнадцатеричной») состоит из 16 символов , поэтому ее основание равно 16. Шестнадцатеричная система использует 10 чисел десятичной системы и шесть дополнительных символов, A, B, C, D , E и F.
Значения разрядов в шестнадцатеричном формате представляют собой степени 16.
Давайте посмотрим, каким будет шестнадцатеричное число XYZ в десятичном виде. Как вы можете видеть ниже, шестнадцатеричным числам предшествует #, чтобы указать, что они имеют основание 16.
Изучите основы информатики.
Познакомьтесь с системами счисления, не просматривая видео или документацию. Текстовые курсы Educative легко просматриваются и включают живую среду кодирования, что делает обучение быстрым и эффективным.
Системы счисления для компьютерных ученых
Преобразование между двоичной и шестнадцатеричной системами счисления
Теперь, когда мы понимаем как двоичную, так и шестнадцатеричную системы счисления, давайте узнаем, как преобразовать двоичное число в шестнадцатеричное число. Начнем с двоичного в шестнадцатеричный.
Мы сгруппируем двоичные цифры в наборы по четыре (начиная справа). Затем мы заменяем каждый квартет соответствующим шестнадцатеричным представлением.
1 из 4
1 из 4
1 из 4
1 из 4
9 1
из 4 для двоичного числа! Давайте рассмотрим пример.
Ниже мы расширяем каждую шестнадцатеричную цифру, заменяя ее эквивалентным двоичным квартетом.
1 из 3 93 = 823=8.
Мы используем восемь основных символов для восьмеричной системы, которые заимствованы из десятичной системы. Двоичные триплеты могут иметь значения в диапазоне от 0–70 до 70–7.
Итак, значения разрядов будут возрастать в степенях числа 888 справа налево.
Чтобы преобразовать из двоичного числа в восьмеричное , мы следуем этой базовой методике:
- Группируем двоичное число в наборы по три (аналогично тому, что мы делали с шестнадцатеричным)
- Довести каждую группу цифр до числа, кратного трем, путем добавления нулей
- Напишите соответствующий восьмеричный символ под каждой группой
- Теперь у вас будет восьмеричное число .
Преобразование восьмеричного числа в двоичное аналогично, но немного проще:
- Напишите двоичное представление для каждой восьмеричной цифры
- Соедините эти числа вместе
- У вас не будет двоичного числа
Что узнать дальше
Поздравляем! Теперь у вас есть основательное введение в системы счисления для информатики.
Вы сделали свой первый фундаментальный шаг в мир компьютерного программирования. Однако предстоит еще многому научиться. Ваши следующие шаги — научиться:
- Как создать свою систему счисления
- Двоичные операции
- Двоичные числа со знаком
- Представление с фиксированной точкой
- Основы битов и байтов
- ASCII-код
- Юникод
- Основы компьютерной памяти
Как только вы изучите эти темы, вы станете на путь понимания компьютеров! Чтобы начать работу с этими понятиями и более подробно изучить двоичные, шестнадцатеричные и восьмеричные числа, ознакомьтесь с курсом 9 Educative.0009 Системы счисления для компьютерных ученых , который охватывает все это и многое другое.
Вы познакомитесь с основными системами счисления и узнаете, как представлять и обрабатывать положительные, отрицательные и дробные числа в двоичном формате. Никаких знаний в области программирования не требуется, так что начните сегодня и начните свою карьеру в качестве компьютерного ученого.
Приятного обучения!
Продолжить чтение по информатике
- Руководство для начинающих по компьютерам и программированию
- Научитесь программировать: руководство для начинающих по программированию и синтаксису
- Руководство для начинающих по 5 самым популярным языкам программирования
НАПИСАЛ Аманда Фосетт
Присоединяйтесь к сообществу, насчитывающему более 1,5 миллионов читателей. Бесплатное электронное письмо раз в два месяца с обзором лучших статей и советов по программированию на сайте Educative.
Информатика: Двоичный
Урок 3: Двоичный
/en/computer-science/hardware-and-software/content/
Двоичный
На протяжении всей истории почти каждая цивилизация использовала десятичную систему счисления с 10 цифрами : от нуля до девяти. Все числа, которые мы можем придумать, используют некоторую комбинацию этих 10 цифр.
Однако компьютеры работают иначе. Вместо этого они используют систему счисления, в которой состоит всего из двух цифр : единицы и нуля. Эта система называется двоичной , и ваш компьютер использует ее все время.
Посмотрите видео ниже, чтобы узнать больше о том, как компьютеры используют двоичные файлы.
Компьютерам нужна информация, чтобы делать то, что они делают. Эта цифровая информация, или данных , состоит из чего-то, называемого битами . Бит — это сокращение от двоичной цифры , что означает, что каждый бит на самом деле представляет собой просто одно число: либо один , либо ноль .
Эти биты можно комбинировать для создания более крупных единиц, таких как байты, мегабайты и т. д., которые мы используем для измерения наших файлов.
Чем больше файл, тем больше в нем битов. Так что что-то вроде видео высокого разрешения на самом деле состоит из миллионов и миллионов единиц и нулей.
Но как именно эти единицы и нули объединяются и позволяют компьютеру функционировать? Давайте подумаем о двоичном коде как о выключателе . Представьте, что единица представляет собой выключатель света, представляющий собой на , а ноль представляет собой на . В бинарном режиме свет либо включен, либо выключен, без каких-либо других возможных состояний.
Эти биты связаны вместе как различные комбинации единиц и нулей, и они образуют своего рода код . Затем ваш компьютер быстро обрабатывает этот код и переводит его в данные, сообщая ему, что делать.
Вам может быть интересно, почему компьютеры используют двоичную систему вместо десятичной, которую мы используем для счета в нашей повседневной жизни.