1.2. Таблица основных неопределенных интегралов
Неопределенные интегралы от основных элементарных функций приведены в следующей таблице.
, если . | |||
Частные случаи: | |||
Теперь сформулируем
правила, которые позволяют интегрировать
функции, получающиеся из простейших
элементарных функций с помощью умножения
на число, сложения и вычитания.
Постоянный множитель в подынтегральной функции можно выносить за знак интеграла, т.е.
.
Интеграл от суммы или разности функций равен сумме (или соответственно разности ) интегралов от этих функций, т.е.
.
К сожалению, нет единых правил для интегрирования произведения и частного функций. Также нет единого правила интегрирования сложной функции. По этой причине приходится признать, что интегрирование функций – операция более сложная, чем дифференцирование.
1.3. Интегрирование с помощью тождественных преобразований подынтегральной функции
Пусть требуется найти интеграл . Как правило, исходный вид функции не подходит ни под один табличный интеграл. Нужно попытаться с помощью тождественных преобразований подынтегральной функции и использования свойств интеграла привести искомый интеграл к сумме табличных интегралов.
Пример 1. Найти неопределенный интеграл .
Решение. Подынтегральная функция является дробью. В числителе есть разность и сумма функций. Поделим почленно числитель на знаменатель.
.
Ответ. .
Пример 2 . Найти неопределенный интеграл
Решение. В преобразованиях используем формулы тригонометрии.
.
Ответ. .
Пример 3. Найти неопределенный интеграл
Решение. Перемножим скобки в подынтегральном выражении, чтобы избавиться от произведения.
Ответ.
Пример 4. Найти неопределенный интеграл .
Решение. Нетрудно убедиться, что в таблице такого интеграла нет. Есть интеграл , т.е. от косинуса в первой степени. Поэтому полезно вспомнить две тригонометрические формулы понижения степени.
и .
Ответ.
1.4 Замена переменной (или подведение под знак дифференциала)
Сведения из теории
Вспомним правило дифференцирования сложной функции.
Пусть дана сложная функция . Ее производная функция вычисляется по формуле . Из формулы видно, что сначала вычисляется производная внешней функции , а потом эта производная умножается на производную внутренней функции .
Вернемся к задаче интегрирования. Как правило, искомый интеграл всегда дается в виде . Вы сами должны увидеть, имеет ли подынтегральная функция структуру или, хотя бы, близкую к ней. Если Вы эту структуру увидели, то Вы поняли, какую формулу имеет внутренняя функция . После этого Вы обозначаете внутреннюю функцию как новую переменную . Тогда .
.
Замечание В учебной литературе этот процесс замены переменной часто называется подведением под знак дифференциала. Поясним смысл этого названия. Пусть увидели в интеграле нужную структуру, т.е.
.
По определению произведение вида равно дифференциалу функции , т.е. . Тогда процесс замены переменной интегрирования будет выглядеть так:
Образно говоря, производная перемещается вправо за символ , превращаясь при этом в свою первообразную , и становится новой переменной интегрирования вместо . В этом и заключается подведение под знак дифференциала.
Пример 5. Найти интеграл .
Решение. Выделим нужную структуру . Замена . Заготовка . После подстановки в искомый интеграл получаем
.
Ответ. .
Пример 6. Найти интеграл .
Решение. Единственный
табличный интеграл, содержащий
показательную функцию, это интеграл .
.
Ответ.
Пример 7. Найти интеграл .
Решение. Имеем табличный интеграл . В искомом интеграле обозначим . Подготовим . После подстановки в искомый интеграл получим
.
Ответ. .
Пример 8. Найти интеграл .
Решение. Будем ориентироваться на табличный интеграл
.
В нем аргумент синуса и переменная интегрирования должны быть абсолютно одинаковыми. В искомом интеграле изменить аргумент синуса мы не можем. Значит надо сделать так, чтобы переменной интегрирования стал . Выясним, что мы должны иметь, чтобы написать : . В искомом интеграле умножим числитель и знаменатель на 2 и выполним цепочку преобразований:
Ответ. .
Пример 9. Найти интеграл .
Решение.
В таблице имеем интеграл .
Попытаемся искомый интеграл свести к
данному табличному. Не будем изменять
знаменатель. Сделаем замену переменной,
обозначив .
Вычислим формулу, выражающую дифференциал
новой переменной
Ответ. .
Проанализируем полученный результат. Первообразная осталась та же, что и в табличном интеграле – натуральный логарифм модуля. Логарифмируемое выражение совпало со знаменателем в искомом интеграле. Перед первообразной функцией добавился сомножитель обратный коэффициенту при х.
Все это является проявлением общего правила, полученного на основе замены переменной.
Пусть известно, что (как правило, из таблицы интегралов). Тогда .
Из него, в частности, следует расширение таблицы интегралов:
,
если .
Применение этого правила можно видеть на следующих примерах:
Помогите решить / разобраться (М)
| nortonouls |
| ||
16/09/17 |
| ||
| |||
04.2018, 21:59 | wrest |
| ||
05/09/16 |
| ||
| |||
04.2018, 22:09 | Dan B-Yallay |
| |||
11/12/05 |
| |||
| ||||
04.2018, 22:16 | nortonouls |
| ||
16/09/17 |
| ||
| |||
04.2018, 00:00 | mihaild |
| |||
16/07/14 |
| |||
| ||||
04.2018, 00:09 | nortonouls |
| ||
16/09/17 |
| ||
| |||
04.2018, 00:17 | mihaild |
| |||
16/07/14 |
| |||
| ||||
04.2018, 00:19 | nortonouls |
| ||
16/09/17 |
| ||
| |||
04.2018, 00:35 | nortonouls |
| ||
16/09/17 |
| ||
| |||
04.2018, 09:45 | wrest |
| ||
05/09/16 |
| ||
| |||
04.2018, 10:12 | nortonouls |
| ||
16/09/17 |
| ||
| |||
04.2018, 19:04 | wrest |
| ||
05/09/16 |
| ||
| |||
04.2018, 19:47 | nortonouls |
| ||
16/09/17 |
| ||
| |||
04.2018, 20:21 | Показать сообщения за: Все сообщения1 день7 дней2 недели1 месяц3 месяца6 месяцев1 год Поле сортировки АвторВремя размещенияЗаголовокпо возрастаниюпо убыванию |
| Страница 1 из 1 | [ Сообщений: 13 ] |
Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы
Исчисление
.
Почему для интегрирования нет правила произведения/частного?Спросил
Изменено 4 года, 8 месяцев назад
Просмотрено 7к раз
$\begingroup$
Итак, известно, что для интеграции не существует правила произведения и частного правила. Но есть ли причина, по которой их не существует, а существуют правила дифференциации?
- 9xf(t)\,g'(t)\,\mathrm dt+C
$$
где $C=f(a)\,g(a)$.
$\endgroup$
0
$\begingroup$
Прежде всего, наиболее “аналогичным” правилу продукта является интегрирование по частям:
$$ \int u \, dv = uv – \int v \, du $$
Эту формулу можно установить, начав с правила произведения:
$$ d(uv) = v \cdot du + u \cdot dv $$
Теперь объедините обе стороны и немного переставьте.
Это упускает из виду некоторые детали, но на высоком уровне это то, что происходит. 9{\sin x}$ очень легко отличить по цепному правилу. Но нет никакой формулы, чтобы интегрировать это.
$\endgroup$
$\begingroup$
Редактировать: В свете комментария Кармейстера хотелось бы уточнить, что (на мой взгляд) существует ли интегральный аналог правила произведения, и этот аналог — интегрирование по частям.
К сожалению, вы не можете прокомментировать изображение, но я думаю, что это изображение очень хорошо дополнит приведенные выше ответы: 9{v_2} u\,dv$$
Примечание: я ненавижу , выполняющий интегрирование по частям с $u$ и $v$ — они слишком похожи! Вот почему я предпочитаю использовать $w$ и $z$.
$\endgroup$
11
$\begingroup$
Интегрирование не следует какому-либо общему правилу в случае дробей.
Однако для интегрирования функций произведения имеем следующую разбивку –
Пусть есть две функции $u(x)$ и $v'(x)$ (далее обозначаемые как $u$ и $v$) , такой что $\displaystyle \int v'(x) \; дх = v(x)$,
Тогда по правилу произведения $$d(uv)=u’v+uv’$$
Интегрируя обе стороны
$$uv=\int u’v+\int uv’ $$
$$\implies \color{blue}{\int uv’=uv-\int u’v}$$
Это называется интеграцией по частям
$\endgroup$
3
$\begingroup$
Я попытаюсь подойти к этому вопросу более абстрактно. Я знаю, что не буду на 100% точен в своих заявлениях, но я думаю, что это главное. 9х\sqrt{х}$.) И это, на мой взгляд, похоже на интегралы, где произведение двух функций с интегралами, выразимыми в элементарных функциях, может не иметь такого интеграла. (Работают те же два примера.)
Итак, каким-то образом эта проблема связана с тем, что когда какая-то операция хорошо работает на продуктах, обратная ей не требуется, неявно.
$\endgroup$
$\begingroup$
Согласен с @yo’, но подумал, что стоит сказать больше. Из-за цепного правила и правила произведения, а также формул производных для основных функций производные в целом можно вычислять механически. Алгебраически интегрирование, конечно, является обратным процессом, и иногда обратные операции могут быть вычислены так же механически, как и прямые операции, но обычно это не так.
Думаю, идея энтропии здесь уместна, по крайней мере, в качестве метафоры. Существует гораздо больше способов сделать формулу более сложной (можно даже сказать, беспорядочной, хотя она определяется лежащим в ее основе математическим порядком), чем упростить ее. Таким образом, большинство операций дифференцирования (особенно правило произведения) усложняют формулы. Это означает, что обратная операция вряд ли имеет простой вид.
В конкретном случае правила произведения простое правило произведения для интеграции невозможно, потому что правило произведения для производных переходит от произведения двух функций к сумме двух произведений.
Для обращения операции требуется осторожно отменить лишнее произведение функций, а это не всегда возможно. Но эта «тщательная отмена» – это просто процесс интеграции по частям, о котором говорилось в нескольких других ответах.
$\endgroup$
Твой ответ
Зарегистрируйтесь или войдите в систему
Зарегистрируйтесь с помощью Google
Зарегистрироваться через Facebook
Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но никогда не отображается
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie
.
2}$$ 92} – \dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{x+1}$.и т. д.
$\endgroup$
$\begingroup$
Ваши A, B и C неверны. Предполагая, что ваши A, B и C верны, интегрирование верно
$\endgroup$
Твой ответ
Зарегистрируйтесь или войдите в систему
Зарегистрируйтесь с помощью Google
Зарегистрироваться через Facebook
Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль
Опубликовать как гость
Электронная почта
Обязательно, но не отображается
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie
Частное поле целостной области
Частное поле целостной области Рациональные числа строятся из целых чисел
«составляя дроби».
Это составляет
делая все ненулевые элементы обратимыми. В
на самом деле, вы можете выполнить эту конструкцию для произвольного интеграла
домен.
Теорема. Пусть R — область целостности.
(a) Есть поле Q, частное поле из R и инъективное кольцевое отображение .
(b) Если F — поле и инъективное кольцевая карта, существует уникальная кольцевая карта такая, что следующая диаграмма коммутирует:
Эвристически это означает, что Q — это «минимальный» способ обращая ненулевые элементы R.
Доказательство. Первым шагом является формирование дроби. Позволять
(Думайте, что это соответствует дроби . Элементы Q на самом деле не дроби, а классы эквивалентности дробей. Подумайте о ситуации в рациональные числа : и действительно являются одним и тем же элементом .)
Две рациональные дроби и равны тогда и только тогда, когда . Я воспользуюсь этой идеей, чтобы установить отношение эквивалентности
на С.
Если , напишите тогда и только тогда, когда . Я утверждаю, что это отношение эквивалентности.
(а) Так как у меня есть .
б) Если , то . Итак, а значит.
(c) Предположим и . Тогда и . Я хочу показать это. Первое уравнение дает , а второе уравнение дает . Следовательно, . Теперь подразумевает , а поскольку R является доменом, я может отменить d для получения . Отсюда , что завершает доказательство транзитивность.
Пусть Q — множество классов эквивалентности. Обозначим класс эквивалентности . Я хочу показать, что Q — это поле с соответствующие свойства.
Во-первых, я определю операции. Для , определите
Обратите внимание, что в каждом случае так и выражения справа по крайней мере делают смысл.
Теперь у меня есть рутинные, но чрезвычайно утомительные проверки для
выполнять. Поскольку эти операции определены на классах эквивалентности, я
должны убедиться, что они четко определены — т.
е. что они
не зависит от выбора представителей эквивалентности
классы.
Когда у меня есть четко определенные операции, я должен проверить все аксиомы. для поля. Это влечет за собой проверку всех кольцевых аксиом, коммутативность и существование инверсий для ненулевых элементов. Например, я покажу, что функции аддитивное тождество, а мультипликативное личность.
Вероятно, слишком много ожидать, что вы проберетесь через все некрасивые расчеты. Тем не менее, ниже я покажу всю работу. я предложить вам, по крайней мере, убедиться, что одна из двух операций четко определены, и что вы работаете над доказательством хотя бы одного из аксиомы кольца.
Во-первых, я докажу, что сложение и умножение корректно определены. Предположим, что так и так.
1. Сложение четко определено.
В настоящее время
Следовательно, .
2. Умножение четко определено.
В настоящее время
Следовательно, .
Далее я проверю, что Q является полем. Я должен проверить кольцо аксиомы, что умножение коммутативно, и что ненулевые элементы иметь инверсии.
3. Сложение ассоциативно.
4. Сложение коммутативно.
5. является аддитивным тождеством.
6. .
Однако, поскольку .
7. Умножение ассоциативно.
8. Умножение коммутативно.
9. является мультипликативным тождеством.
10. Умножение опережает сложение.
По коммутативности умножения достаточно проверить это на одном сторона.
Однако,
Следовательно, .
11. Ненулевые элементы имеют мультипликативные обратные.
Полагаю, что так . Затем, используя , у меня есть
Следовательно, .
Это завершает проверку того, что Q является полем.
Далее я
построить вложение R в Q.
Определить по . Я проверю, что я кольцевая карта. Первый, .
Следующий,
Далее я покажу, что я инъективен. Предположим (так как это нулевой элемент Q). Тогда или . Поэтому , поэтому я инъективный.
Наконец, я завершу доказательство проверкой универсального свойства. Предположим, что F — поле и инъективное кольцевое отображение. Определить по
Заметим, что поскольку , (инъективность), поэтому обратим в поле F.
Я должен проверить, что карта четко определена. Предположим, что так. затем
Далее я проверю, что это кольцо карта. Первый,
Следующий,
Окончательно,
Мне нужно проверить, что делает схема проезда. Если ,
Наконец, я покажу, что это единственный
карта, удовлетворяющая этим условиям.
Если бы была другая инъективная кольцевая карта, заполняющая
диаграмма, то для ,
Следовательно, .
Теперь пусть , . Поскольку это кольцевая карта,
является инъективным, поэтому , и это обратим в F. Следовательно, .
Теперь соедините результаты последних двух абзацев, снова используя тот факт, что это кольцевая карта:
Таким образом, единственная карта, заполняющая диаграмму, и доказательство (наконец!) завершено.
Стандартный аргумент для объектов, определяемых универсальными свойствами показывает, что фактор-поле области целостности единственно с точностью до кольцевой изоморфизм. То есть, если R является доменом, а Q и являются полями, удовлетворяющими универсальному свойству для частное поле R, то .
Если R — поле, то это собственное поле частных. Чтобы доказать это,
использовать уникальность частного поля и тот факт, что тождество
карта удовлетворяет универсальному
имущество.