Интеграл частного – как понять и решать неопределенные и определенные интегралы, правила и примеры

Решение интегралов. Рассказываем, как решать интегралы.

Интегралы и их решение многих пугает. Давайте избавимся от страхов и узнаем, что это такое и как решать интегралы!
Интеграл – расширенное математическое понятие суммы. Решение интегралов или их нахождение называется интегрированием. Пользуясь интегралом можно найти такие величины, как площадь, объем, массу и другое.
Решение интегралов (интегрирование) есть операция обратная диференциированию.
Чтобы лучше представлять, что есть интеграл, представим его в следующей форме. Представьте. У нас есть тело, но пока не можем описать его, мы только знаем какие у него элементарные частицы и как они расположены. Для того, чтобы собрать тело в единое целое необходимо проинтегрировать его элементарные частички – слить части в единую систему.
В геометрическом виде для функции y=f(x), интеграл представляет собой площадь фигуры ограниченной кривой, осью х, и 2-мя вертикальными линиями х=а и х=b .



Так вот площадь закрашенной области, есть интеграл от функции в пределах от a до b.
Не верится? Проверим на любой функции. Возьмем простейшую у=3. Ограничим функцию значениями а=1 и b=2. Построим:

Итак ограниченная фигура прямоугольник. Площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину. В наше случае длина 3, ширина 1, площадь 3*1=3.
Попробуем решить тоже самое не прибегая к построению, используя интегрирование:

Как видите ответ получился тот же. Решение интегралов – это собирание во едино каких-либо элементарных частей. В случае с площадью суммируются полоски бесконечно малой ширины. Интегралы могут быть определенными и неопределенными.
Решить определенный интеграл значит найти значение функции в заданных границах. Решение неопределенного интеграла сводиться к нахождению первообразной.

F(x) – первообразная. Дифференцируя первообразую, мы получим исходное подинтегральное выражение. Чтобы проверить правильно ли мы решили интеграл, мы дифференциируем полученный ответ и сравниваем с исходным выражением.
Основные функции и первообразные для них приведены в таблице:

Таблица первообразных для решения интегралов


Основные приемы решения интегралов:
Решить интеграл, значит проинтегрировать функцию по переменной. Если интеграл имеет табличный вид, то можно сказать, что вопрос, как решить интеграл, решен. Если же нет, то основной задачей при решении интеграла становиться сведение его к табличному виду.
Сначала следует запомнить основные свойства интегралов:

Знание только этих основ позволит решать простые интегралы. Но следует понимать, что большинство интегралов сложные и для их решения необходимо прибегнуть к использованию дополнительных приемов. Ниже мы рассмотрим

основные приемы решения интегралов. Данные приемы охватывают большую часть заданий по теме нахождения интегралов.
Также мы рассмотрим несколько базовых примеров решения интегралов на базе этих приемов. Важно понимать, что за 5 минут прочтения статьи решать все сложные интегралы вы не научитесь, но правильно сформированный каркас понимания, позволит сэкономить часы времени на обучение и выработку навыков по решению интегралов.

Основные приемы решения интегралов

1. Замена переменной.

Для выполнения данного приема потребуется хороший навык нахождения производных.

2. Интегрирование по частям. Пользуются следующей формулой.

Применения этой формулы позволяет казалось бы нерешаемые интегралы привести к решению.

3. Интегрирование дробно-рациональных функций.
– разложить дробь на простейшие
– выделить полный квадрат.
– создать в числителе дифференциал знаменателя.

4. Интегрирование дробно-иррациональных функций.
– выделить под корнем полный квадрат
– создать в числителе дифференциал подкоренного выважения.
5. Интегрирование тригонометрических функций.
При интегрировании выражений вида
применяет формулы разложения для произведения.
Для выражений
m-нечетное, n –любое, создаем d(cosx). Используем тождество sin2+cos2=1
m,n – четные, sin2x=(1-cos2x)/2 и cos2x=(1+cos2x)/2
Для выражений вида:
– Применяем свойство tg2x=1/cos2x – 1

С базовыми приемами на этой всё. Теперь выведем своего рода алгоритм:

Алгоритм обучения решению интегралов:
1. Разобраться в сути интегралов. Необходимо понять базовую сущность интеграла и его решения. Интеграл по сути есть сумма элементарных частей объекта интегрирования. Если речь идет об интегрирование функции, то интеграл есть площадь фигуры между графиком функции, осью х и границами интегрирования. Если интеграл неопределенный, то есть границы интегрирования не указаны, то решение сводиться к нахождению первобразной. Если интеграл определенный, то необходимо подставить значения границ в найденную функцию.
2. Отработать использование таблицы первообразных и основным свойства интегралов. Необходимо научиться пользоваться таблицей первообразных. По множеству функций первообразные найдены и занесены в таблицу. Если мы имеем интеграл, которые есть в таблице, можно сказать, что он решен.
3. Разобраться в приемах и наработать навыки решения интегралов.Если интеграла не табличного вида, то его решение сводиться к приведению его к виду одного из табличных интегралов. Для этого мы используем основные свойства и приемы решения. В случае, если на каких то этапах применения приемов у вас возникают трудности и непонимания, то вы более подробно разбираетесь именно по этому приему, смотрите примеры подобного плана, спрашиваете у преподавателя.
Дополнительно после решения интеграла на первых этапах рекомендуется сверять решение. Для этого мы дифференциируем полученное выражение и сравниваем с исходным интегралом.
Отработаем основные моменты на нескольких примерах:

Примеры решения интегралов

Пример 1:
Решить интеграл:

Интеграл неопределенный. Находим первообразную.

Для этого интеграл суммы разложим на сумму интегралов.

Каждый из интегралов табличного вида. Смотрим первообразные по таблице.
Решение интеграла:

Проверим решение(найдем производную):

Пример 2. Решаем интеграл

Интеграл неопределенный. Находим первообразную.
Сравниваем с таблицей. В таблице нет.
Разложить, пользуясь свойствами, нельзя.
Смотрим приемы. Наиболее подходит замена переменной.
Заменяем х+5 на t5. t5 = x+5 . Получаем.

Но dx нужно тоже заменить на t. x= t5 – 5, dx = (t5 – 5)’ = 5t4. Подставляем:

Интеграл из таблицы. Считаем:

Подставляем в ответ вместо t ,

Решение интеграла:

Пример 3. Решение интеграла:

Для решения в этом случае необходимо выделить полный квадрат. Выделяем:

В данном случае коэфециент ? перед интегралом получился в результате замены dx на ?*d(2x+1). Если вы найдете производные x’ = 1 и ?*(2x+1)’= 1, то поймете почему так.
В результате мы привели интеграл к табличному виду.
Находим первообразную.

В итоге получаем:

Для закрепления темы интегралов рекомендуем также посмотреть видео.


В нем мы на примере физики показываем практическое применение интегрирования, а также решаем еще несколько задач.

Надеюсь вопрос, как решать интегралы для вас прояснился. Мы дорабатываем статью по мере поступления предложений. Поэтому если у вас появились какие то предложения или вопросы по теме решения интегралов, пишите в комментариях.

Рекламная заметка: Для особо пытливых умов советуем Видео-лекции по математическому программированию. Программирование одна из дочек математики!


Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

reshit.ru

Как решать интегралы для чайников, примеры решений

Как решать?

Процесс решения интегралов в науке под названием “математика” называется интегрированием. С помощью интегрирования можно находить некоторые физические величины: площадь, объем, массу тел и многое другое.

Интегралы бывают неопределенными и определенными. Рассмотрим вид определенного интеграла и попытаемся понять его физический смысл. Представляется он в таком виде: $$ \int ^a _b f(x) dx $$. Отличительная черта написание определенного интеграла от неопределенного в том, что есть пределы интегрирования a и b. Сейчас узнаем для чего они нужны, и что всё-таки значит определенный интеграл. В геометрическом смысле такой интеграл равен площади фигуры, ограниченной кривой f(x), линиями a и b, и осью Ох.

Из рис.1 видно, что определенный интеграл – это и есть та самая площадь, что закрашена серым цветом. Давайте, проверим это на простейшем примере. Найдем площадь фигуры на изображении представленном ниже с помощью интегрирования, а затем вычислим её обычным способом умножения длины на ширину.

Из рис.2 видно, что $ y=f(x)=3 $, $ a=1, b=2 $. Теперь подставим их в определение интеграла, получаем, что $$ S=\int _a ^b f(x) dx = \int _1 ^2 3 dx = $$ $$ =(3x) \Big|_1 ^2=(3 \cdot 2)-(3 \cdot 1)=$$ $$=6-3=3 \text{ед}^2 $$ Сделаем проверку обычным способом. В нашем случае длина = 3, ширина фигуры = 1. $$ S = \text{длина} \cdot \text{ширина} = 3 \cdot 1 = 3 \text{ед}^2 $$ Как видим, всё отлично совпало.

Появляется вопрос: как решать интегралы неопределенные и какой у них смысл? Решение таких интегралов – это нахождение первообразных функций. Этот процесс противоположный нахождению производной. Для того, чтобы найти первообразную можно использовать нашу помощь в решении задач по математике или же необходимо самостоятельно безошибочно вызубрить свойства интегралов и таблицу интегрирования простейших элементарных функций. Нахождение выглядит так $$ \int f(x) dx = F(x) + C \text{где} F(x) $ – первообразная $ f(x), C = const $.

Для решения интеграла нужно интегрировать функцию $ f(x) $ по переменной. Если функция табличная, то записывается ответ в подходящем виде. Если же нет, то процесс сводится к получению табличной функции из функции $ f(x) $ путем хитрых математических преобразований. Для этого есть различные методы и свойства, которые рассмотрим далее.

Свойства интегралов

  • Вынос константы из под знака интеграла: $$ $$ $$ \int Cg(x) dx = C\int g(x) dx $$
  • Интеграл суммы/разности двух функций равен сумме/разности интегралов этих функций: $$ \int ( f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx $$
  • Изменение направления интегрирования: $$ \int _a ^b f(x) = -\int _b ^a f(x) dx $$
  • Разбиение отрезка интегрирования: $$ \int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx $$ $$ c \in (a,b) $$
 

Итак, теперь составим алгоритм как решать интегралы для чайников?

Алгоритм вычисления интегралов

  1. Узнаем определенный интеграл или нет.
  2. Если неопределенный, то нужно найти первообразную функцию $ F(x) $ от подынтегральной $ f(x) $ с помощью математических преобразований приводящих к табличному виду функцию $ f(x) $.
  3. Если определенный, то нужно выполнить шаг 2, а затем подставить пределы $ а $ и $ b $ в первообразную функцию $ F(x) $. По какой формуле это сделать узнаете в статье “Формула Ньютона Лейбница”.

Примеры решений

Пример 1
$$ \int x dx $$
Решение

$$ \int x dx = \frac{x^2}{2} + C, C=const $$

Данный интеграл содержит под своим знаком табличную функцию, а это значит, что можно сразу записать ответ взятый из таблицы.

Ответ
$$ \int x dx = \frac{x^2}{2} + C $$
Пример 2
$$ \int 3xdx $$
Решение

$$ \int 3xdx = 3\int xdx = \frac{3x^2}{2}+C $$

Замечаем, что под знаком интеграла есть постоянная 3. По первому свойству можно ее вынести за значок интеграла. Далее, видим, что подынтегральная функция является табличной и получаем из нее первообразную для f(x)=x.

Ответ
$$ \int 3xdx = \frac{3x^2}{2}+C $$
Пример 3
$$ \int (x^3+\frac{1}{2\sqrt{x}}) dx $$
Решение

$$ \int (x^3+\frac{1}{2\sqrt{x}}) dx =$$ $$ = \int x^3 dx + \int  \frac{1}{2\sqrt{x}}dx =$$ $$ = \frac{x^4}{4}+\sqrt{x} + C, C=const $$

Проанализировав неопределенный интеграл заметили, что подынтегральные функции являются табличными. И дана их сумма. Можно воспользоваться свойством номер 2. Значит, производим операции над функцией $ f(x) $ и $ g(x) $ согласно указанным в табличке преобразованиям. Так как интеграл неопределенный, то получаем в ответе первообразную.

Ответ
$$ \int (x^3+\frac{1}{2\sqrt{x}}) dx = \frac{x^4}{4}+\sqrt{x} + C $$

Итак, вы узнали как решать интегралы для чайников, примеры решения интегралов разобрали по полочкам. Узнали физический и геометрический их смысл. О методах решения будет изложено в других статьях.

xn--24-6kcaa2awqnc8dd.xn--p1ai

Частное и общее решение. Частный и общий интеграл. Задачи Коши.

  1. Общее решение – функция, зависящая от независимой переменной и постоянной Y, удовлетворяющая 2ум условиям:

  1. Для любого значения C=C0, Y = U (x, C0).

  2. C=C0, Y = U (x1, C0), что данная функция удовлетворяет начальному условию y(x0) = y0.

  1. Всякое общее решение, найденное при значении С равное С0, называется частным решением диф. Уравнения.

Y = u(x, C0) – частное решение

  1. Общим интегралом диф. Уравнения называется общее решение этого уравнения, записанное в неявном виде.

Ф (x, y, c) = 0 – общий интеграл

  1. Частным интегралом диф. Уравнения называется частное решение диф. Уравнения, записанное в неявном виде.

Ф (х, у, с) = 0 – частный интеграл

Задача Коши:

Нахождение частного решения диф. Уравнения F (x, y, c) = 0 удовлетворяющего начальному условию.

y (x0) = y0

  1. Дифференциальное уравнение с разделенными переменными и его решение.

Диф. Уравнение с разделенными переменными – уравнение вида:

f (x) dx + u (y) dy = 0

∫ f(x) dx + ∫ u (y) dy = C

F(x) + Ф(y) = C – общий интеграл

  1. Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными и его решение.

Диф. Уравнение с разделяющимися переменными – это уравнение вида:

f1(x) * u1(y) dx + f2(x) * u2(y) dy = 0

Решение:

Разделим переменные.

+ = 0+= 0

  1. Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Линейные диф. Уравнения 2ого порядка с постоянными коэф. – это уравнение вида:

a0*y” + a1*y’ + a2*y = f(x)

f(x) 0 – неоднородное

f(x) = 0 – однородное

a0*k2 + a1*k + a2 = 0 – характерное уравнение

Структура общего решения уравнения имеет вид:

y = C1*y1 + C2*y2

  1. Элементы комбинаторики: размещения, перестановки, сочетания, свойство сочетаний.

Комбинаторика – это математическая наука, изучающая вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условием, можно составить.

  1. Размещение.

Размещениями из N по M элементов называют такие соединения, в каждом из которых по M элементов и различаются такие соединения друг от друга только самими элементами и их порядками.

Anm = n (n-m+1) =

  1. Перестановка.

Перестановками из N элементов называются такие соединения, в каждом из которых по N элементов U отличаются такие соединения только порядком самих элементов.

Pn = === n! Pn = n!

  1. Сочетание.

Сочетаниями из N элементов по M называются такие соединения, в каждом из которых по M элементов и отличаются такие соединения только самими элементами.

= Свойство сочетания:=

  1. Виды событий. Примеры.

Виды событий:

  1. Достоверное. Всегда произойдет при данном испытании.

Выстрел.

  1. Невозможное. Никогда не произойдет при данном испытании.

Осечка.

  1. Случайное. Может произойти, а может не произойти.

Попадание и промах.

  1. Совместные. Если появление одного события не исключает появление другого события.

Попадание при 1 выстреле, не исключает промах при 2 выстреле.

  1. Не совместные. Если появление одного из них исключает появление другого.

Попадание при 1 выстреле исключает промах при 1 выстреле.

  1. Полная группа. Появится хотя бы одно из событий.

Кубик кидают, 1 из 6.

  1. Противоположные. Если они не совместимы и образуют полную группу.

Попадание и промах.

  1. Равновозможные. Имеют равные возможности их появления.

Как и в полной группе.

  1. Благоприятствующие. Исходы, при которых случайное событие произойдет.

studfiles.net

Как решать интегралы 🚩 зачем нужны интегралы 🚩 Математика

Автор КакПросто!

Основой математического анализа является интегральное счисление. Это один из наиболее сложных разделов курса высшей математики. Вся трудность состоит в том, что не существует единого алгоритма, по которому можно было бы решать все интегралы.

Статьи по теме:

Инструкция

Интегрирование – это операция, которая противоположна дифференцированию. Поэтому, если вы хотите хорошо научиться интегрировать, то вам сначала необходимо научиться находить от любых функций производные. Научиться этому можно достаточно быстро. Ведь есть специальная таблица производных. При ее помощи уже можно решать простые интегралы. А есть и таблица основных неопределенных интегралов. Она представлена на рисунке. Теперь нужно запомнить самые основные свойства интегралов, приведенные ниже. Интеграл от суммы функций лучше всего раскладывать на сумму интегралов. Это правило чаще всего применяется, когда слагаемые функции достаточно простые, если их можно найти при помощи таблицы интегралов.

Есть один очень важный метод. Согласно этому методу функция вносится под дифференциал. Им особенно хорошо пользоваться в случаях, если перед внесением под дифференциал, от функции берем производная. Затем она ставится вместо dx. Таким способом получается df(x). Этим способом легко можно добиться того, что даже функцией под дифференциалом можно пользоваться как обычной переменной.

Еще одна основная формула, без которой очень часто просто не обойтись – это формула интегрирования по частям: Integral(udv)=uv-Integral(vdu). Эта формула эффективна в том случае, если в задании требуется найти интеграл от произведения двух элементарных функций. Конечно можно использовать обычные преобразования, но это трудно и занимает много времени. Поэтому взять интеграл с помощью этой формулы намного проще.

Полезный совет

Решить интеграл – это значит проинтегрировать по переменной заданную функцию. Если вид интеграла стандартный, то можно сказать, что он почти решен. Если же он имеет более сложную запись, то основной задачей при нахождении интеграла от функции становится приведение его к табличной форме.

www.kakprosto.ru

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о