Решение неопределенного интеграла это обратный процесс нахождения первообразных дифференциального уравнения. Мы находим функцию, производная которой является интегралом, и не забываем добавлять “+ C” в конце.
Принципы интегрального исчесления были сформулированы независимо друг от друга Исааком Ньютоном и Готфридом Лейбницем в конце 17-го века. Бернхард Риман дал строгое математическое определение интегралов. Первым документированным систематическим методом, способным определять интегралы, является метод исчесления древнегреческого астронома Евдокса , который пытался найти площади и объемы, разбив их на бесконечное число известных площадей и объемов. Этот метод был далее разработан и использован Архимедом в 3-м веке до н. э. и использовался для расчета площадей парабол и приближения к площади круга.
Аналогичный метод был независимо разработан в Китае около 3-го века нашей эры Лю Хуэем, который использовал его, чтобы найти площадь круга. Этот метод позже был использован в 5-м веке китайскими математиками-отцом и сыном ЗУ Чунчжи и ЗУ Генгом, чтобы найти объем сферы.
Следующие значимые достижения в интегральном исчислении не появлялись до 17-го века. В это время работы Кавальери и Ферма начали закладывать основы современного исчисления.
В частности, фундаментальная теорема исчисления интегралов позволяет решать гораздо более широкий класс задач. Равным по важности является комплексная математическая структура, которую разработали Ньютон и Лейбниц. Эта структура интегралов взята непосредственно из работы Лейбница и стала современным интегральным исчислением.Исчисление было изменено Риманом, используя пределы. Впоследствии были рассмотрены более общие функции, особенно в контексте анализа Фурье, к которым определение Римана не применяется. Лебег сформулировал другое определение интеграла, основанное в теории мер (подполе реального анализа).
Современное обозначение неопределенного интеграла было введено Готфридом Лейбницем в 1675 году.
Интегралы широко используются во многих областях математики. Например, в теории вероятностей интегралы используются для определения вероятности попадания некоторой случайной величины в определенный диапазон.
Интегралы могут быть использованы для вычисления площади двумерной области, имеющей криволинейную границу, а также для вычисления объема трехмерного объекта, имеющего криволинейную границу.
Интегралы используются в физике, в таких областях, как кинематика, чтобы найти перемещение, время и скорость.
Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы “Альфа”. Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!
Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!
Нажимая кнопку “Записаться” принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности
Наши преподаватели
Наталья Петровна Меркулова
Репетитор по математике
Стаж (лет)
Образование:
БГПУ им. Танка
Проведенных занятий:
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Иван Николаевич Лукашин
Репетитор по математике
Стаж (лет)
Образование:
Тульский Государственный Университет
Проведенных занятий:
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Анжелика Салаватовна Ахметшина
Репетитор по математике
Стаж (лет)
Образование:
Астраханский государственный педагогический университет
Проведенных занятий:
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Предметы
- Математика
- Репетитор по физике
- Репетитор по химии
- Репетитор по русскому языку
- Репетитор по английскому языку
- Репетитор по обществознанию
- Репетитор по истории России
- Репетитор по биологии
- Репетитор по географии
- Репетитор по информатике
Специализации
- Подготовка к ОГЭ по математике
- Репетитор по геометрии
- Подготовка к олимпиадам по химии
- Репетитор для подготовки к ОГЭ по физике
- Репетитор по русскому языку для подготовки к ЕГЭ
- Подготовка к олимпиадам по английскому языку
- ВПР по математике
- Подготовка к ЕГЭ по географии
- Подготовка к ОГЭ по литературе
- Scratch
Похожие статьи
- Касательная к окружности.
Точка касания окружности
- Пирамида
- Смежные углы
- Как перевести метры в миллиметры?
- НИУ ВШЭ (МИЭМ): Прикладная математика
- Как по заданным функции, точке и вектору вычислить градиент в точке и производную функции в точке по направлению вектора
- ОГЭ по математике, базовый уровень. Алгебраические дроби
- Как легко обмануться, если не знаешь математики
Нажимая кнопку “Записаться” принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности
Текст с ошибкой:
Расскажите, что не так
Что такое интеграл — это умножение
Интегралы чаще всего описываются как “площадь под кривой”. Это описание сбивает с толку. Точно также, как если сказать, что умножение — это “нахождение площади прямоугольника”. Нахождение площади — это одно из полезных применений умножения, но не его суть. Интегралы помогают нам комбинировать числа тогда, когда умножение бессильно.
Так я размышлял про себя на парах математики в ВУЗе:
“Интегралы позволяют нам ‘умножать’ изменяющиеся числа. Мы привыкли к “3 × 4 = 12”, но что если одно из чисел изменяется? Мы не можем умножать меняющиеся числа, поэтому используем интегралы вместо умножения.
Вы услышите много разговоров насчет площади — но это всего лишь один из способов визуализировать умножение. Ключом является не площадь, а идея объединения множеств воедино. Конечно, мы можем интегрировать (“умножать”) длину и ширину, чтобы получить площадь на плоскости. Но мы также можем интегрировать скорость и время, чтобы получить расстояние, или длину, ширину и высоту для получения объема.
Когда мы хотим использовать обычное умножение, но не можем, мы достаем свое оружие и начинаем интегрировать. Площадь — это всего лишь прием визуализации, не зацикливайтесь на нем слишком сильно. А теперь давайте учить математику!”
И вот он, мой момент истины: интегрирование — это улучшенная версия умножения, которая работает с изменяющимися величинами. Давайте изучать интегралы в таком свете.
Понятие умножения
Вот как во все времена и эпохи понимали умножение:
- Если речь идет о натуральных числах (3 × 4), умножение — это повторяющееся сложение.
- С вещественными числами (3.12 × √2 ), умножение — это масштабирование.
- В случае с отрицательными числами (-2.3 × 4.3), умножение — это поворот и масштабирование.
- С комплексными числами (3 × 3i), умножение выступает вращением и масштабированием.
Мы ходим вокруг да около “применения” одного числа к другому, и действия, которые мы применяем (повторное суммирование, масштабирование, зеркальное отображение или вращение), могут быть разными. Интегрирование — это всего лишь еще один шаг в этом направлении.
Понятие площади
Площадь — очень тонкое понятие. На данный момент, давайте представим площадь как визуальную интерпретацию умножения:
Мы можем “применять” числа на разных осях друг к другу (3 применяется к 4) и получить результат (12 единиц площади). Свойства каждого вводного значения (длина и длина) превратились в результат (единицы площади).
Легко, правда? Не так, как кажется на первый взгляд. Умножение может привести к “отрицательному результату” (3×(-4) = -12), которого не существует.
Мы понимаем график как представление умножения, и используем эту аналогию из-за удобства. Если бы все были слепыми, и в мире не существовало диаграмм, мы бы все равно хорошо справлялись с умножением. Площадь — это всего лишь интерпретация.
Умножение по частям
А теперь давайте умножим 3 × 4.5:
Что происходит? Ну, 4.5 — это не целочисленное число, но мы же можем воспользоваться “частичным” умножением. Если 3×4 = 3 + 3 + 3 + 3, то
3 × 4. 5 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3×0.5 = 3 + 3 + 3 + 3 + 1.5 = 13.5
Мы берем 3 (значение) 4.5 раза. Таким образом, мы объединили 3 с 4 полными сегментами (3 × 4 = 12), а также одним частичным сегментом (3 × 0.5 = 1.5).
Мы так привыкли к умножению, что даже забываем, как здорово оно работает. Мы можем разбить число на единицы (целые или частичные), умножать каждый кусочек и складывать результаты. Заметьте, как мы легко расправились с дробной частью? Это и есть начало интегрирования.
Проблема с числами
Числа не всегда ведут себя постоянно для наших расчетов. Сценарии типа “Вы ехали 3 часа со скоростью 30 км/ч” не имеют ничего общего с реальностью. Так условия описываются просто для удобства.
Формулы по типу “расстояние = скорость × время” только маскируют проблему; нам все еще нужно брать постоянные числа и умножать. А как узнать пройденное расстояние, если наша скорость постоянно изменялась во времени?
Описываем изменение
Первым испытанием для нас будет описание изменяющегося числа. Мы можем просто сказать: “Моя скорость менялась с 0 до 30 км/ч”. Это не совсем точно: как быстро она изменялась? Были ли изменения плавными?
Давайте будем точны: моя скорость в каждый момент времени равнялась удвоенному количеству секунд. В 1 секунду я двигался со скоростью 2 км/ч. Во 2 секунду скорость уже была 4 км/ч, в 3 секунду — уже 6 км/ч, и так далее:
Вот теперь у нас есть хорошее описание, достаточно подробное, чтобы знать свою скорость в каждый момент времени. Формальное описание звучит как “скорость — это функция времени”, и оно означает, что мы можем взять любой момент времени (t) и узнать нашу скорость в тот момент (“2t” км/ч).
(Это, конечно, не дает ответа на вопрос, почему скорость и время связаны. Я могу ускоряться за счет гравитации, или ослик может толкать меня сзади. Мы всего лишь установили, что с изменением времени изменяется и скорость).
Наше произведение “расстояние = скорость × время”, возможно, лучше написать так:
расстояние = скорость(t) × t
где скорость (t) — это скорость в любой момент времени. В нашем случае скорость (t) = 2t, так что мы пишем:
расстояние = 2t × t
Но это уравнение выглядит странно! “t” по-прежнему выглядит как единичный момент, который нужно выбирать (например, t=3 секунды), а значит и скорость (t) примет единичное значение (6 км/ч). А это нехорошо.
При обычном умножении, мы можем взять одну скорость и предположить, что она одинаковая во всем прямоугольнике. Но изменяющаяся скорость требует совмещения скорости и времени по частям (секунда за секундой). В каждый момент ситуация может быть разной.
Вот как это выглядит в большой перспективе:
- Обычное умножение (прямоугольник): берем расстояние, на которое мы продвинулись за секунду, предполагая, что эта величина была постоянной во все последующие секунды движения, и “масштабируем ее”.
- Интегрирование (по частям): рассматриваем время как ряд мгновений, в каждое из которых скорость разная. Суммируем расстояния, пройденные посекундно.
Мы видим, что обычное умножение — это частный случай интегрирования, когда количество пройденных метров не изменяется.
Насколько большая эта “часть”?
Насколько велика “часть”, при прохождении дистанции по частям? Секунда? Миллисекунда? Наносекунда?
Ответ навскидку: достаточно мала, чтобы значение было постоянным все время. Нам не нужна идеальная точность.
Более длинный ответ: такие понятия, как пределы, были придуманы, чтобы помочь в покусочном умножении. Принося пользу, они просто решают проблему и отвлекают от сути “объединения величин”. Мне очень не нравится, что пределы проходят в самом начале матанализа, еще перед тем, как студенты вникнут в проблему, которую они решают.
А что по поводу начала и конца?
Скажем, мы исследуем интервал от 3 до 4 секунд.
Скорость вначале (3×2 = 6 км/ч) отличается от скорости в конце (4×2 = 8 км/ч). Так какое же значение мне брать при вычислении “скорости × время”?
Решением будет разбить наши кусочки времени на достаточно мелкие отрезки (от 3.00000 до 3.00001 секунд), пока разность скоростей от начала до конца интервала будет для нас незначительной. Опять же, это более длинный разговор, но “поверьте мне”, что это временной отрезок, который делает разницу незначительной.
На графике представьте, что каждый интервал — это одна точка на прямой. Вы можете нарисовать ровную линию к каждой скорости, и ваша “площадь” будет представлять собой множество отрезков, которое и будет измерять умножение.
Где же “часть”, и каково ее значение?
Разделение части и ее значения далось мне нелегко.
“Часть” — это интервал, который мы рассматриваем (1 секунда, 1 миллисекунда, 1 наносекунда). “Позиция” — это то, где начинается секундный, миллисекундный или наносекундный интервал. Значение — это наша скорость в той позиции.
Например, рассмотрим интервал от 3.0 до 4.0 секунд:
- “Ширина” отрезка времени составляет 1.0 секунду
- Позиция (начальное время) равно 3.0
- Значение (скорость(t)) — это скорость(3.0) = 6.0 км/ч
Опять же, матанализ учит нас сокращать интервал до тех пор, пока разница между значениями в начале и конце интервала будет на столько мала, что ею можно пренебречь, считая этот интервал “точкой”. Не выпускайте из вида большую картинку: мы умножаем набор частей.
Понимание записи интеграла
У нас есть здравая идея “покусочного умножения”, но мы никак не можем ее выразить. “Расстояние = скорость(t) × t” все еще выглядит, как обычное уравнение, где t и скорость(t) принимают одно единственное значение.
В матанализе мы пишем это соотношение как
расстояние = ∫скорость(t)dt
- знак интеграла (s-образная кривая) означает, что мы умножаем покусочно и суммируем значения в одно.
- dt представляет временной “интервал”, который мы рассматриваем. Его называют “дельта t” а не “d раз по t”.
- t представляет положение dt (если dt — это промежуток от 3.0 до 4.0, то t равно 3.0)
- скорость(t) — это значение, на которое мы умножаем (скорость(3.0) = 6.0))
У меня есть парочка претензий к этой записи:
- То, как здесь используются буквы, немного смущает. “dt” выглядит как “d раз по t” в отличие от любого уравнения, которое вы ранее видели.
- Мы пишем скорость(t) × dt, вместо скорость(t_dt) × dt. Последний вариант четко указывает, что мы исследуем “t” на конкретном участке “dt”, а не какое-то глобальное “t”
- Вы часто встретите ∫скорость(t), без dt. Это вообще помогает легко забыть, что мы выполняем покусочное умножение двух элементов.
Похоже, уже поздно менять форму записи интегралов. Просто запомните эту идею насчет “умножения” чего-то, что изменяется.
Как это понимать
Когда я вижу вот это:
расстояние = ∫скорость(t)dt
Я думаю “Расстояние равно скорости t раз (читая левую часть первой) или “совместите скорость и время, чтобы получить расстояние” (читая правую часть первой).
В уме я перевожу “скорость(t)” как скорость и “dt”, и это превращается в умножение, при условии, что скорости позволено изменяться. Представление интегрирования подобным образом помогает мне сконцентрироваться на том, что на самом деле происходит (“Мы совмещаем скорость и время, чтобы получить расстояние!”) вместо зацикливания на деталях действия.
Бесплатный сюрприз: новые идеи
Интегралы — это очень глубокая идея, также, как и умножение. У вас могло появиться много вопросов, основанных на этой аналогии:
- Если интегралы умножают изменяющиеся величины, есть ли что-то, что делит их? (ДА — производные).
- Являются ли интегралы (умножение) и производные (деление) взаимообратными? (Да, с некоторыми тонкостями).
- Можем ли мы преобразовать уравнение “расстояние = скорость × время” в “скорость = расстояние / время”? (Да).
- Можем ли мы совмещать несколько величин одновременно? (Да — это называется многократное интегрирование).
- Влияет ли как-то порядок совмещения на результат? (Обычно нет).
Как только вы начнёте воспринимать интегралы как “улучшенное умножение”, вы сразу начнете задумываться о таких вещах, как “улучшенное деление”, “повторное интегрирование” и так далее. Застряв на “площади под кривой”, вы не уловите связи между этими темами. (Математических заучек видение “площади под кривой” и “угла наклона кривой” обратными понятиями ставит в тупик).
Как читать интегралы
У интегралов масса применений. Одним из них является объяснение того, что две величины были “умножены” для получения результата.
Вот как мы представляем площадь круга с помощью интегралов:
Площадь = ∫Длина окружности (r) · dr = ∫2πr · dr = π · r2
Нам бы очень хотелось взять площадь кривой умножением. Но мы не можем — высота изменяется в каждой ее точке. Если мы “развернем” круг, мы увидим, что частичка площади под каждой порцией радиуса будет равна “радиус × отрезок окружности”. Мы можем описать эту связь с помощью интеграла (как описано выше).
А вот как интеграл описывает идею, что “масса = плотность × объем”:
масса = ∫V ρ(r) ∙ dv
Что здесь сказано? Греческая буква “ро” (“ρ”) — это функция плотности, которая говорит нам, насколько плотен материал в определенном положении. Так, r∙dv — это частичка объема, который мы рассматриваем. Так что мы умножаем маленький кусочек объема (dv) на плотность в том интервале ρ(r), и потом складываем все эти части, чтобы получить массу.
Мы привыкли просто умножать плотность на объем, но если плотность изменяется, то нужно интегрировать. Индекс V просто означает “интеграл объема”, что по сути является тройным интегралом длины, ширины и высоты! Интеграл предполагает четыре “умножения”: 3 для поиска объема, и еще одно для умножения на плотность.
Что это нам дало?
Сегодняшней целью было не научное понимание интегральных исчислений. Наша цель — расширить модель мышления, и получить представление об интеграле как о надстройке над такими низкоуровневыми операциями как сложение, вычитание, умножение и деление.
Рассматривайте интегралы как улучшенный способ умножения: вычисления станут проще, и вам под силу станут понятия типа кратного интеграла и производной. Приятных вычислений!
Перевод статьи “A Calculus Analogy: Integrals as Multiplication”.
Определениев кембриджском словаре английского языка
Примеры интеграла
интеграла
Портреты умерших составляли неотъемлемую часть процесса скорби.
Из ВРЕМЕНИ
Это неотъемлемая часть фильма; вы не можете представить фильм без этой партитуры.
Из ВРЕМЕНИ
Он стал
Из журнала The New Yorker
Разница в возрасте неотъемлемая часть уважения.
Из Fast Company
Награда отражает тот факт, что видео и фирменные развлечения стали неотъемлемой частью маркетинговых стратегий и возможностью установить связь с потребителями.
Из разнообразия
Делать предметы актуальными и практическими — это 9По ее словам, 0009 является неотъемлемой частью , чтобы поддерживать интерес некоторых учащихся к учебе.
От OregonLive.com
Язык фермера стал настолько неотъемлемой частью сюжета шоу, что мы слышим его в каждой серии.
От Арс Техника
Хотя следующее может быть не столь важным, как, скажем, питьевая вода, они по-прежнему являются неотъемлемой частью нашей повседневной жизни.
От Гизмодо
Хотя роение сильно зависит от аппаратного и программного обеспечения, роение сохраняет человеческие чувства и мораль как неотъемлемую часть процессов.
От VentureBeat
они интеграл часть того, как он связывает язык своих образов с языком более широкого мира.
Из Нью-Йоркского обозрения книг
Несколько постоянных абонентов казались неотъемлемой частью шоу, пока оно не переросло их.
От А.В. Клуб
Хороший наставник играет неотъемлемую роль в формировании вашей жизни как в профессиональном, так и в личном плане.
От Хаффингтон Пост
Это абсолютно неотъемлемая часть трансляции.
Из Сиэтл Таймс
Исследование рекомендует, чтобы социальное смешение составляло неотъемлемую часть развития социального интеллекта у подростков.
От Phys.Org
Его разработанная помощь является неотъемлемой частью до самого его возникновения.
Из Атлантики
Эти примеры взяты из корпусов и источников в Интернете. Любые мнения в примерах не отражают мнение редакторов Кембриджского словаря, издательства Кембриджского университета или его лицензиаров.
Переводы integer
на китайский (традиционный)
構成整體所必需的, 內置的…
Подробнее
на китайском (упрощенном)
构成整体所必需的, 内置的…
Подробнее
на испанском
Incorporado, esencial [мужской-женский…
Увидеть больше
на португальском языке
intrínseco, integrante, integrado…
Увидеть больше
на других языкахна польском языке
на турецком языке
на французском языке
на норвежском языке
на русском языке
интегральный, неодлонный…
Подробнее
tamamlayıcı, bütünleyici, asli…
Узнать больше Подробнее
vesentlig…
Подробнее
неотъемлемый, существенный…
Увидеть больше
Нужен переводчик?
Получите быстрый бесплатный перевод!
Как произносится целое ?
Обзор
неосязаемый
интарсия
целое число
интегрируемый БЕТА
встроенный
интегральное преобразование БЕТА
полностью БЕТА
интегрировать
интегрированный
Проверьте свой словарный запас с помощью наших веселых викторин по картинкам
- {{randomImageQuizHook.
copyright1}}
- {{randomImageQuizHook.copyright2}}
Авторы изображений
Пройди тест сейчас
Слово дня
ключ к разгадке
Соединенное Королевство
Ваш браузер не поддерживает аудио HTML5
/ kluː /
НАС
Ваш браузер не поддерживает аудио HTML5
/ kluː /
знак или некоторая информация, помогающая найти ответ на проблему, вопрос или загадку
Об этом
Блог
Контрольники и непоседы (Слова, которые мы используем для детей)
Подробнее
Новые слова
отставание места
Больше новых слов
добавлено в список
Наверх
Содержание
EnglishIntermediateBusinessExamplesTranslations
Что такое интеграл и почему правила интегрирования так важны?
Интегрирование — это вычислительный метод, позволяющий найти площадь под кривой. Он включает в себя применение предельной функции и тесно связан с концепцией производных.
Интеграл – Определение
Интегрирование выполняется для нахождения масс, объемов. Это процесс вычисления интегралов. Интеграл может быть определен как:
«Это либо числовое значение, равное площади под графиком функции для некоторого интервала, либо новая функция, производная которой является исходной функцией».
Для лучшего понимания посмотрите на график ниже. Если мы хотим вычислить площадь под ним, что нам делать?
Один из способов — использовать технику Римана, разбивая площадь на небольшие блоки и добавляя их площади.
Этот метод не очень эффективен, так как оставляет некоторые области нерассчитанными. Поэтому его нужно немного изменить. Мы делим его на блоки очень маленьких площадей:
Но вы все равно можете увидеть некоторое свободное пространство. Здесь мы используем ограничения. К каждому блоку применяется предельная функция, так что разница между двумя сторонами блока приблизительно равна нулю.
При этом будет бесконечное количество блоков, что, если вы помните, является противоположностью производной концепции.
Определенные и неопределенные интегралы
Интегралы делятся на два типа: определенные и бесконечные. Определенные интегралы используются для нахождения площади между двумя конкретными точками кривой. В то время как неопределенные интегралы используются для нахождения всей площади под кривой.
Неопределенные интегралы также известны как первообразные. Бесконечное интегрирование ранее производной функции дает исходную функцию.
Для интегрирования используется символ « ». Это причудливые s . Применительно к функции функция выглядит так:
∫ fx.dx + c
На месте любой константы используется буква «с». В производных дифференцирование постоянного числа равно нулю.
При вычислении неопределенного интеграла функции вы не можете знать, существовало ли ранее постоянное число. Например:
Производная функции, скажем, 2x + 4 :
= 2 (с использованием правила мощности)
Интеграция 2:
= 2x
Как видите, это не исходная функция. Если мы добавим к нему константу, мы получим исходную функцию.
Но проблема здесь в том, что вы не можете знать, «каким было постоянное число?» Производная от 2x + 1 или 2x + 50 также равна 2.
Таким образом, чтобы удалить любую ошибку, мы просто используем « c ». Например:
= 2x + c
Если вы подставите выражение 2x + 4 в интегральный калькулятор, вы получите интеграл как x 2 +4x+пост.
Правила интегрирования с примерами
Если вы хотите найти интеграл без какого-либо правила или помощи, вам придется очень внимательно разобраться в функции и потратить некоторое время на обдумывание возможных решений.
Для простой функции, такой как 2x, вы можете легко предположить, что исходная функция была x 2 , используя производные правила. Но по мере того, как функции становятся сложными и сложными, интеграция становится трудоемкой и трудоемкой.
И ваши расчеты могут быть ошибочными. Вот почему важно использовать правила интегрирования. Некоторые из наиболее часто используемых правил приведены ниже.
- Силовое правило
Степенное правило используется, когда вы видите коэффициент или переменную, например, 3, 8x, 4x 3 . При дифференцировании мы применяем правило степени. Поэтому, чтобы найти его обратную, другими словами, интеграл, мы должны вернуться назад.
В правиле мощности мы вычитаем «1» из степени переменной и умножаем на исходная степень переменной, например, 4x 3 → 12x 2 .
Чтобы вернуться назад, нам нужно будет прибавить единицу к степени, а затем разделить переменную с полученной степенью.
∫ fx.dx = (x n+1 )/n+1
Применив это к 12x 2 , мы получим исходную функцию 4x 3 .
Пример:
Интегрировать x 2 .
Решение:
Это включает в себя мощность, поэтому правило применения мощности:
∫ fx.dx = (x N+1 )/N+1
∫ x 2 .dx = (x 2+ 1 )/2 + 1
= (x 3 )/3
= x 3 /3 + C
- Правило постоянной
Когда в функции есть постоянное значение, то при интегрировании эта константа выносится за пределы интегральной записи и в конце умножается.
∫K.FX DX = K ∫FX DX
Пример:
9x 2
Раствор:
75
.
∫9.x 2 .DX = 9. x 2 .DX
Применение правила мощности:
= 9.∫ (x 2+1 ) /3.dx
= 9. (x 2+1 ) /3.dx
= 9. x 3 /3)
= 3x 3 + c
Проверьте приведенную выше функцию с помощью калькулятора первообразных.
- Правило суммы и разности
Это правило используется, когда между двумя функциями выполняются операции суммирования и разности.
В обоих этих правилах интеграция применяется отдельно к функциям, а затем они соответственно вычитаются или добавляются.
∫ (fx +/- gx).dx = ∫ fx.dx +/- ∫ gx.dx
Example:
y 3 + 2
Solution:
Применение правила сумм .dy
= Y 3 /3 + 0 (применяя мощность и постоянное правило)
= Y 3 /3 + C
. немного сложное правило. Его можно применять, когда две функции находятся в умножении. Он выводится из правила дифференцирования произведения.
Составим уравнение интегрирования по частям. Правило продукта:
(ab) ‘= ab’ + a’b
при применении интеграции:
∫ (ab) ‘. Dx = ∫ab’.dx + ∫a’b.dx
ab = ∫ab’.dx + ∫a’b.dx
∫ab’.dx = ab – ∫ab’.dx
Пример:
1 – x.sinx
Решение:
Применение правила разности:
= ∫ 1.dx – ∫ x.sinx.dx
= 0 – ∫ x.sinx.dx
Решение x.sinx.dx отдельно.
- Определите a и b’:
- Найдите a’ и b .
Для a’ найдите производную от a .
a = x
a’= 1
Для b найдите интеграл от b’ .
b’ = sinx
∫b’.dx = ∫ sinx.dx = – cosx
- Решить.
∫x.sinx.dx = x.-cosx-∫1. -cosx.dx
= x.-cosx + sinx
= sinx-x.cosx
. функции:
= 0 – sinx + x.cosx + c
- Правило подстановки
Наконец, у нас есть правило обратной цепочки. Оно применяется в конкретных ситуациях, и иногда функция формируется таким образом, что это правило может быть применено.
∫ f((bx)).b’(x).dx = ∫f(b).db
Применяется, когда при умножении присутствуют производная и исходная функция. Например здесь;
Производная = b’(x)
Исходная функция = b(x)
В таких случаях функция сначала интегрируется в общем случае, а затем подставляются значения.
Пример:
(x 2 + 2).2x
Решение:
Наблюдая за приведенным выше вопросом, мы можем видеть, что 2x является производной от x 2 +2. Это завершает условие для правила подстановки.