Интеграл примеры решения неопределенный интеграл: Интегралы от многочленов

Содержание

Примеры интегрирования по частям логарифма и обратных тригонометрических функций

Формула интегрирования по частям

Ниже, при решении примеров, применяется формула интегрирования по частям:
;
.
Подробнее >>>

Примеры интегралов, содержащих логарифм и обратные тригонометрические функции

Вот примеры интегралов, которые интегрируются по частям:
,   ,   ,   ,   ,   ,   .

При интегрировании ту часть подынтегрального выражения, которая содержит логарифм или обратные тригонометрические функции обозначают через u, остальное – через dv.

Ниже приведены примеры с подробными решениями этих интегралов.

Простой пример с логарифмом

Вычислим интеграл, содержащий произведение многочлена и логарифма:

Решение

Здесь подынтегральное выражение содержит логарифм. Делаем подстановки
u = ln x, dv = x2 dx. Тогда
,
.

Интегрируем по частям.
.

Вычисляем оставшийся интеграл:
.
Тогда
.
В конце вычислений добавим постоянную C.

Ответ

Пример логарифма в степени 2

Рассмотрим пример, в котором в подынтегральное выражение входит логарифм в целочисленной степени. Такие интегралы также могут интегрироваться по частям.

Решение

Делаем подстановки
u = (ln x)2, dv = x dx. Тогда
,
.

.

Оставшийся интеграл также вычисляем по частям:
.
Подставляем
.

Ответ

Пример, в котором аргумент логарифма является многочленом

По частям могут вычисляться интегралы, в подынтегральное выражение которого входит логарифм, аргумент которого является многочленом, рациональной или иррациональной функцией. В качестве примера, вычислим интеграл с логарифмом, аргумент которого является многочленом.
.

Решение

Делаем подстановки
u = ln( x2 – 1), dv = x dx.
Тогда
,
.

.

Вычисляем оставшийся интеграл:
.
Мы здесь не пишем знак модуля ln |x2 – 1|, поскольку подынтегральное выражение определено при x2 – 1 > 0. Подставляем
.

Ответ

Пример с арксинусом

Рассмотрим пример интеграла, в подынтегральное выражение которого входит арксинус.
.

Решение

Делаем подстановки
u = arcsin x,
.
Тогда
,
.

.

Далее замечаем, что подынтегральное выражение определено при |x| < 1. Раскроем знак модуля под логарифмом, учитывая что 1 – x > 0 и 1 + x > 0.

Ответ

Пример с арктангенсом

Решим пример с арктангенсом:
.

Решение

Интегрируем по частям.
.
Выделим целую часть дроби:
x8 = x8 + x6 – x6 – x4 + x4 + x2 – x2 – 1 + 1 = (x2 + 1)(x6 – x4 + x2 – 1) + 1;
.
Интегрируем:
.
Окончательно имеем:
.

Ответ

Еще один пример с арксинусом

Решить интеграл:
.

Решение

Интегрируем по частям.
.

Вычисляем оставшийся интеграл. При x > 0 имеем:
.
.
.

При x < 0 сделаем подстановку x = – t,   t > 0:
.

Окончательно имеем:

Ответ

.

Определенный интеграл. Примеры решений

Download 85.45 Kb.

bet1/8
Sana29.10.2022
Hajmi85.45 Kb.
#884628
TuriУрок

  1   2   3   4   5   6   7   8

Bog’liq
Определенный интеграл
BIOS dasturiga kirish yo’llari, 3072111667, O’zbekistоn respublikаsi оliy vа o’rtа mахsus tа’lim vаzirligi g-fayllar.org, 1-Obektga yo`nzltirilgan dasturity taminot, 2304138, faktura 30 800 000, 10-sinf monitoring testi, Buyuk geografik kashfiyotlar, Mavzu; Innovatsion iqtisodiyotni mohiyati va shakllanish modella, 1618 (1), Презентация Microsoft PowerPoint (2), zbekstan Respublikas nda qorshagan ortal qt qorgaw boy nsha ko, 1618, Kompyuter tashkillashtirish 4chi ish, Ecology

    Bu sahifa navigatsiya:
  • Неопределенный интеграл. Примеры решений
  • Что такое определенный интеграл
  • Есть ли у определенного интеграла геометрический смысл
  • Что значит решить определенный интеграл

Определенный интеграл. Примеры решений
И снова здравствуйте. На данном уроке мы подробно разберем такую замечательную вещь, как определенный интеграл. На этот раз вступление будет кратким. Всё. Потому что снежная метель за окном.
Для того чтобы научиться решать определенные интегралы необходимо:
1) Уметь находить неопределенные интегралы.
2) Уметь вычислить определенный интеграл.
Как видите, для того чтобы освоить определенный интеграл, нужно достаточно хорошо ориентироваться в «обыкновенных» неопределенных интегралах. Поэтому если вы только-только начинаете погружаться в интегральное исчисление, и чайник еще совсем не закипел, то лучше начать с урока Неопределенный интеграл. Примеры решений. Кроме того, есть pdf-курсы для сверхбыстрой подготовки – если у вас в запасе буквально день, пол дня.
В общем виде определенный интеграл записывается так:

Что прибавилось по сравнению с неопределенным интегралом? Прибавились 

пределы интегрирования.


Нижний предел интегрирования стандартно обозначается буквой  .
Верхний предел интегрирования стандартно обозначается буквой  .
Отрезок  называется отрезком интегрирования.
Прежде чем мы перейдем к практическим примерам, небольшое faq по определенному интегралу.
Что такое определенный интеграл? Считаю немного преждевременным рассказать про разбиения отрезка и предел интегральных сумм, поэтому пока я скажу, что определенный интеграл – это ЧИСЛО. Да-да, самое что ни на есть обычное число.
Есть ли у определенного интеграла геометрический смысл?
 Есть. И очень хороший. Самая популярная задача – вычисление площади с помощью определенного интеграла.
Что значит решить определенный интеграл? Решить определенный интеграл – это значит, найти число.
Как решить определенный интеграл? С помощью знакомой со школы формулы Ньютона-Лейбница:

Формулу лучше переписать на отдельный листочек, она должна быть перед глазами на протяжении всего урока.
Этапы решения определенного интеграла следующие:
1) Сначала находим первообразную функцию  (неопределенный интеграл). Обратите внимание, что константа  в определенном интеграле 

не добавляется. Обозначение  является чисто техническим, и вертикальная палочка не несет никакого математического смысла, по сути – это просто отчёркивание. Зачем нужна сама запись  ? Подготовка для применения формулы Ньютона-Лейбница.
2) Подставляем значение верхнего предела в первообразную функцию:  .
3) Подставляем значение нижнего предела в первообразную функцию:  .
4) Рассчитываем (без ошибок!) разность  , то есть, находим число.
Готово.

Download 85.45 Kb.


Do’stlaringiz bilan baham:

  1   2   3   4   5   6   7   8


Ma’lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar. org 2023
ma’muriyatiga murojaat qiling

Численность, математика и статистика – набор академических навыков

Интеграция (экономика)

ContentsToggle Главное меню 1 Интеграция 2 Неопределенная интеграция 3 Определенная интеграция 4 Правила нахождения неопределенного интеграла 4.1 Правило константы 4.2 Степенное правило 4.3 Мультипликатив Правило константы 4.4 Правило суммы или разности 4.5 Функция функции Правило 4.6 Экспоненциальная функция 5 Нахождение определенного интеграла 6 Применение интегрирования в экономике 6.1 Вывод функции общего дохода из функции предельного дохода 7 Внешние ресурсы

Интеграция

Интеграция — процесс, противоположный дифференциации.

Неопределенный интеграл

Неопределенный интеграл функции $f(x)$ по $x$ обозначается: \[\int f(x) \mathrm{d} x.\] внутри интеграла $f(x)$ известен как подынтегральная функция . Мы можем найти неопределенный интеграл функции, используя правила нахождения неопределенного интеграла. {\large{b} }=F(b)-F(a).\], где $F(x)$ — неопределенный интеграл от $f(x)$.

Примечание : При вычислении определенных интегралов нет необходимости включать постоянную интегрирования $C$, которая возникает при неопределенном интегрировании.

Правила нахождения неопределенного интеграла

Поскольку интегрирование — это процесс, противоположный дифференцированию, правила интегрирования — это правила дифференцирования в обратном порядке.

Постоянное правило

См. постоянное правило дифференцирования. \[\инт а\; \mathrm{d} x=ax+C\], где $a$ — 9{~\frac{1}{4}~}+C \end{align}

Правило мультипликативной константы

См. степенное правило дифференцирования.

\[\int af(x) \mathrm{d} x= a\int f(x) \mathrm{d} x=aF(x)+C\], где $a$ – ненулевая константа.

На словах это означает, что мы можем вывести мультипликативные константы (в данном случае $a$) за пределы интеграла. Затем мы интегрируем функцию $f(x)$, умножаем результат на мультипликативную константу и прибавляем константу интегрирования.

9Таким образом, 3$ между $x=0$ и $x=4$ равны 256$. `

Применение интеграции в экономике
Получение функции общего дохода из функции предельного дохода

По определению, функция предельного дохода фирмы ($MR$) может быть найдена путем дифференцирования функции общего дохода фирмы ($TR$) . Поскольку интегрирование является обратным дифференцированию, для заданной функции MR мы можем получить соответствующую функцию TR, найдя неопределенный интеграл от функции предельного дохода. Мы можем использовать этот же метод для получения функции общих издержек с учетом функции предельных издержек фирмы. 92+2\\ &=30 002 фунтов стерлингов \end{align}

Внешние ресурсы
  • Введение в интеграцию в Maths is Fun
  • Правила интеграции на уроке математики — это весело
  • Определенная интеграция по математике — это весело
  • Интеграция путем замены по математике — это весело
  • Интегрирование как рабочая тетрадь, обратная дифференциации, в математическом центре
  • Правила линейности интегрирования рабочей тетради в mathcentre

дифференциальных уравнений – Неопределенный интеграл, содержащий функции, являющиеся решениями линейного ОДУ 2-го порядка

Задать вопрос

спросил

Изменено 5 лет, 10 месяцев назад

Просмотрено 144 раза

$\begingroup$

Я пытаюсь вычислить неопределенный интеграл вида 92}$, где $W$ — вронскиан $u_1$ и $u_2$, который здесь всегда постоянен.

В этой конкретной ситуации (из-за формы $F(z)$) другой способ записи решений $u$ таков:

$u = \sqrt{p} y$

, где $y$ удовлетворяет условию задача Штурма-Лиувилля

$-(py’)’ = \lambda \omega y$

, но мы не обязательно имеем $\lambda \geq 0$.

Можно ли вообще что-нибудь сказать о вышеприведенном интеграле? Меня особенно интересует, при каких условиях первообразная а) выразима в замкнутой форме и б) обратима в замкнутой форме. 92 + C u_1 u_2}$$

$\endgroup$

2

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

.

Оставить комментарий