Интегралы от экспоненты, умноженной на многочлен
Общее правило: за всегда обозначается многочлен
Пример 5
Найти неопределенный интеграл.
Решение:
Используя знакомый алгоритм, интегрируем по частям:
Если возникли трудности с интегралом , то следует вернуться к статье Метод замены переменной в неопределенном интеграле.
Единственное, что еще можно сделать, это «причесать» ответ:
Но если Ваша техника вычислений не очень хороша, то самый выгодный вариант оставить ответом или даже
То есть, пример считается решенным, когда взят последний интеграл. Ошибкой не будет, другое дело, что преподаватель может попросить упростить ответ.
Пример 6
Найти неопределенный
интеграл.
Это пример для самостоятельного решения. Данный интеграл дважды интегрируется по частям. Особое внимание следует обратить на знаки – здесь легко в них запутаться, также помним, что – сложная функция.
Больше про экспоненту рассказывать особо нечего. Могу только добавить, что экспонента и натуральный логарифм взаимно-обратные функции, это я к теме занимательных графиков высшей математики =) Стоп-стоп, не волнуемся, лектор трезв.
Интегралы от тригонометрических функций, умноженных на многочлен
Общее правило: за всегда обозначается многочлен
Пример 7
Найти неопределенный интеграл.
Интегрируем по частям:
Хммм, …и комментировать нечего.
Пример 8
Найти неопределенный интеграл
Это пример для самостоятельного решения
Пример 9
Найти неопределенный интеграл
Еще
один пример с дробью.
Как и в двух
предыдущих примерах за
обозначается
многочлен.
Интегрируем по частям:
Пример 10
Найти неопределенный интеграл
Это пример для самостоятельного решения.
Подсказка: перед использованием метода интегрирования по частям следует применить некоторую тригонометрическую формулу, которая превращает произведение двух тригонометрических функций в одну функцию. Формулу также можно использовать и в ходе применения метода интегрирования по частям, кому как удобнее.
Вот, пожалуй, и всё в данном параграфе. Почему-то вспомнилась строчка из гимна физмата «А синуса график волна за волной по оси абсцисс пробегает»….
Интегралы от обратных тригонометрических функций.
Интегралы от обратных тригонометрических функций, умноженных на многочленОбщее правило: за всегда обозначается обратная тригонометрическая функция.
Напоминаю, что к обратным тригонометрическим функциям относятся арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Для краткости записи я буду называть их «арками»
Пример 11
Найти неопределенный интеграл.
Решаем.
Интегрируем по частям:
Интеграл
найден
методом подведения функции под знак
дифференциала, можно использовать и
метод замены в «классическом» виде.
Аналогичный пример мы разбирали на
уроке
Таким образом, помимо «чистого» интегрирования по частям нередко требуется применять и другие методы, приёмы решения.
Пример 12
Найти
неопределенный интеграл.
Это пример для самостоятельного решения
И заключительный пример сегодняшнего урока под счастливым номером тринадцать: «арк», умноженный на многочлен. Он сложнее, и предназначен для маньяков желающих лучше разобраться в методе интегрирования по частям. Пример, пожалуй, будет тоже для самостоятельного решения, поскольку меня немного утомил тот логарифм в квадрате.
Пример 13
Найти неопределенный интеграл.
Рассмотренный метод часто применяется в комбинации с другими приёмами решения интегралов. Читатели с хорошими навыками могут ознакомиться с такими примерами на уроке Сложные интегралы.
Решения и ответы:
Пример 3: Решение:
Пример 4: Решение:
Интегрируем по частям:
Пример 6: Решение:
Дважды интегрируем по частям:
Пример 8: Решение:
Интегрируем по частям:
Пример 10: Решение:
Интегрируем по частям:
Примечание:
Здесь мы использовали известную
тригонометрическую формулу двойного
угла .
Похожим способом также решаются интегралы вроде , – в них необходимо (сразу или в ходе решения) понизить степень синуса (косинуса) с помощью соответствующих формул. Более подробно – см. Интегралы от тригонометрических функций.
Пример 12:
Интегрируем по частям:
Пример 13:
Интегрируем по частям:
Примечание: Если возникли трудности с интегралом
,
то следует посетить урок Интегрирование некоторых дробей.
5.6: Интегралы с экспоненциальными и логарифмическими функциями
- Последнее обновление
- Сохранить как PDF
- Идентификатор страницы
- 10743
- OpenStax
- OpenStax
Экспоненциальные и логарифмические функции используются для моделирования роста населения, роста клеток и финансового роста, а также износа, радиоактивного распада и потребления ресурсов, и это лишь некоторые из приложений.
x\) является собственной производной и собственным интегралом. 93}+С\)
Распространенная ошибка при работе с экспоненциальными выражениями заключается в том, что показатель степени в \(e\) обрабатывается так же, как мы обращаемся с показателями степени в полиномиальных выражениях. Мы не можем использовать правило степени для экспоненты на \(e\). Это может быть особенно запутанным, когда у нас есть и экспоненты, и полиномы в одном и том же выражении, как в предыдущей контрольной точке. В этих случаях мы всегда должны перепроверять, чтобы убедиться, что мы используем правильные правила для интегрируемых функций. 94}+С\)
Как упоминалось в начале этого раздела, экспоненциальные функции используются во многих реальных приложениях. Число \(e\) часто ассоциируется с составным или ускоряющимся ростом, как мы видели в предыдущих разделах о производной. Хотя производная представляет собой скорость изменения или скорость роста, интеграл представляет собой общее изменение или общий рост.
Функция «цена-спрос» сообщает нам о соотношении между объемом спроса на продукт и ценой продукта. Как правило, цена снижается по мере увеличения объема спроса. Функция предельной цены-спроса является производной от функции цены-спроса и говорит нам, как быстро меняется цена при данном уровне производства. Эти функции используются в бизнесе для определения ценовой эластичности спроса и помогают компаниям определить, будет ли прибыльным изменение уровня производства. 9{0,01t},\), а начальная популяция мух – \(100\) мух. Сколько мух будет в популяции через \(15\) дней?
- Подсказка
Используйте процесс из примера \(\PageIndex{8}\) для решения проблемы.
- Ответить
Есть \(116\) мух.
Пример \(\PageIndex{9}\): вычисление определенного интеграла с помощью подстановки
Вычисление определенного интеграла с помощью подстановки: \[∫^2_1\dfrac{e^{1/x}}{x^2}\ ,дх.
\номер\] 9{−1}\) приводят к абсолютному значению натуральной логарифмической функции, как показано в следующем правиле.
Правило: основной интеграл, приводящий к натуральной логарифмической функции
Следующая формула может использоваться для вычисления интегралов, в которых степень равна \(-1\), а правило степени не работает.
\[ ∫\frac{1}{x}\,dx =\ln |x|+C\]
Фактически, мы можем обобщить эту формулу для работы со многими рациональными подынтегральными выражениями, в которых производная знаменателя ( или его переменная часть) присутствует в числителе. Помните, что когда мы используем цепное правило для вычисления производной \(y = \ln[u(x)]\), мы получаем:
\[\frac{d}{dx}\left( \ln[u(x)] \right) = \frac{1}{u(x)}\cdot u'(x) = \frac{u ‘(x)}{u(x)}\]
Правило: общие интегралы, приводящие к натуральной логарифмической функции
Это дает нам более общую формулу интегрирования,
\[ ∫\frac{u'(x)} {u(x)}\,dx =\ln |u(x)|+C\]
Пример \(\PageIndex{10}\): поиск первообразной, включающей \(\ln x\)
Найдите первообразная функции \[\dfrac{3}{x−10}.
\]
Решение
Сначала разложите \(3\) вне интегрального символа. Затем используйте правило \(u’/u\). Таким образом,
\[∫\dfrac{3}{x−10}\,dx=3∫\dfrac{1}{x−10}\,dx=3∫\dfrac{du}{u}=3\ ln |u|+C=3\ln |x−10|+C,\quad x≠10. \nonumber\]
См. рисунок \(\PageIndex{3}\).
Рисунок \(\PageIndex{3}\): Область определения этой функции: \(x \neq 10.\)
Упражнение \(\PageIndex{8}\)
Найдите первообразная от \[\dfrac{1}{x+2}.\]
- 9{−1}\,dx=\ln |x|+C \nonumber\]
- Наверх
- Была ли эта статья полезной?
- Тип изделия
- Раздел или Страница
- Автор
- ОпенСтакс
- Лицензия
- CC BY-NC-SA
- Версия лицензии
- 4,0
- Показать страницу TOC
- нет
- Включено
- да
- Теги
- расчет: да
- Интегралы показательных функций
- Формулы интегрирования, включающие логарифмические функции
- Интегрирование функций с экспоненциальными функциями
\[ ∫\frac{u'(x)}{u(x)}\,dx =\ln |u(x) |+C \номер\]
Авторы
Интегралы показательных функций | Исчисление II
Результаты обучения
Показательная функция, пожалуй, самая эффективная функция с точки зрения операций исчисления.
{x},[/latex] является собственной производной и собственным интегралом. 9{3}}.[/latex]
Посмотрите следующее видео, чтобы увидеть работающее решение вышеизложенного Попробуйте.
Распространенной ошибкой при работе с экспоненциальными выражениями является обращение с показателем степени в [latex]e[/latex] так же, как мы обращаемся с показателями степени в полиномиальных выражениях. Мы не можем использовать правило степени для экспоненты [latex]e[/latex]. Это может быть особенно запутанным, когда у нас есть и экспоненты, и полиномы в одном и том же выражении, как в предыдущей контрольной точке. В этих случаях мы всегда должны перепроверять, чтобы убедиться, что мы используем правильные правила для интегрируемых функций.
9{4}}dx.[/latex]
Как упоминалось в начале этого раздела, экспоненциальные функции используются во многих реальных приложениях. Число e часто ассоциируется с составным или ускоряющимся ростом, как мы видели в предыдущих разделах о производной. Хотя производная представляет собой скорость изменения или скорость роста, интеграл представляет собой общее изменение или общий рост. Давайте рассмотрим пример, в котором интеграция экспоненциальной функции решает обычное бизнес-приложение.
Функция цена–спрос сообщает нам о соотношении между количеством требуемого продукта и ценой продукта. Как правило, цена снижается по мере увеличения объема спроса. Функция предельной цены-спроса является производной от функции цены-спроса и говорит нам, как быстро цена изменяется при данном уровне производства. Эти функции используются в бизнесе для определения ценовой эластичности спроса и помогают компаниям определить, будет ли прибыльным изменение уровня производства.