Интегралы что это: Интегралы для чайников – что это, как решать, примеры

Ученые стремятся любые физические явления выражать в виде математических формул. Когда в руках есть определенная формула, то в дальнейшем уже можно с ее помощью посчитать все, что необходимо. А интеграл является одним из главных инструментов работы с любыми функциями.

К примеру, имея формулу круга, можно посредством интеграла вычислить его площадь. Если есть формула шара, то можно вычислить его объем. Посредством интегрирования можно найти работу, энергию, массу, давление, электрический заряд и прочие важные величины.

Материалы по теме:

Поделиться с друзьями:

определение, история развития, применение интегралов на практике

Содержание:

Имеется несколько типов интегралов: неопределенный и определенный интегралы, интеграл Римана и Римана-Стилтьеса, интеграл Лебега и Лебега-Стилтьеса, интеграл Даниэля. По области интегрирования интегралы подразделяются на кратные, криволинейные и поверхностные интегралы.

Историческая справка

Интегрирование берет свое начало ещё в древнем Египте примерно с 1800 года до н. э., о чем свидетельствует Московский математический папирус (или математический папирус Голенищева). Первым известным методом для расчёта интегралов является метод для исследования площади или объёма криволинейных фигур – метод исчерпывания Евдокса (Евдокс Книдский (ок. 408 г. до н.э. – ок. 355 г. до н.э.) – древнегреческий математик, механик и астроном), который был предложен примерно в 370 до н. э. Суть этого метода заключается в следующем: фигура, площадь или объем которой пытались найти, разбивалась на бесконечное множество частей, для которых площадь или объём уже известны. Этот метод получил свое дальнейшее развитие в работах древнегреческого математика, физика и инженера Архимеда (287 до н.э. – 212 до н.э.) для расчёта площадей парабол и приближенного расчёта площади круга. {a} \sqrt{x} d x$

Используя математическую индукцию, он смог обобщить свои результаты для интегралов от многочленов до четвёртой степени. Таким образом, он был близок к поиску общей формулы для интегралов от полиномов не выше четвёртой степени.

Следующий значительный толчок в исчислении интегралов состоялся лишь в 16 веке в работах итальянского математика Бонавентура Франческо Кавальери (1598 – 1647), в которых описывался предложенный им метод неделимых, а также в работах французского математика Пьера де Ферма (1601 – 1665). Этими учеными были заложены основы современного интегрального исчисления. Дальнейшее развитие связано с деятельностью английского математика, физика и богослова Исаака Барроу (1630 – 1677) и итальянского математика и физика, ученика Галилея Эванджелиста Торричелли (1608 – 1647), которые представили первые намеки на связь между интегрированием и дифференцированием.

За время становления интегрального исчисления менялось и обозначение интеграла. Английский физик, механик, математик и астроном Исаак Ньютон (1643 – 1727) использовал, правда не во всех своих работах, в качестве символа интегрирования значок квадрата перед обозначением функции или вокруг него, а также вертикальную черту над функцией, но эти обозначения не получили широкого распространения. Современное обозначение неопределённого интеграла было введено немецким философом, логиком, математиком, механиком, физиком, юристом, историком, дипломатом, изобретателем и языковедом Готфридом Вильгельмом Лейбницем (1646 – 1716) в 1675 году. Он образовал символ интеграла из буквы “длинная s” (от первой буквы слова Summa – сумма) Современное обозначение определённого интеграла, с указанием пределов интегрирования, было впервые предложено французским математиком и физиком Жаном Батистом Жозефом Фурье (1768 – 1830) в 1819-20 годах. Сам термин “интеграл” придумал швейцарский математик Якоб Бернулли (1654 – 1705) в 1690 году.

Применение интегралов на практике

Основной задачей дифференциального исчисления является определение для заданной функции $F(x)$ ее производной $F^{\prime}(x)=f(x)$ или ее дифференциала $F^{\prime}(x) d x=f(x) d x$ . Обратная задача, состоящая в определении функции $F(x)$ по ее известным производной $f(x)$ или дифференциалу $f(x) d x$, представляет собой основную задачу интегрального исчисления.

Читать дальше: неопределенный интеграл и понятие первообразной.

Обзор методов вычисления интегралов по времени и пространству

Интегрирование — один из важнейших математических инструментов, особенно в численном моделировании. Например, дифференциальные уравнения в частных производных обычно выводятся из интегральных уравнений сохранения. Когда возникает необходимость численного решения уравнения в частных производных, интегрирование также играет важную роль. В этой статье приведен обзор методов и подходов интегрирования, доступных в COMSOL Multiphysics, а также конкретные примеры их использования.

Важность интегралов

В COMSOL используется метод конечных элементов, который преобразует описывающее некоторый процесс уравнение в частных производных в интегральное уравнение — другими словами, в слабую форму (weak form). {t_1}\int_{\Omega}F(u)\ \mathrm{d A} \mathrm{d} t

где [t_0,t_1] — это временной интервал, \Omega — это пространственная область, а F(u) — это произвольное выражение, включающее зависимую переменную u и произвольные функции от нее, в том числе производные по пространству, времени, а также любой другой величине.

Наиболее удобный способ вычисления интегралов — использование узла Derived Values (Расчет выражений) в разделе Results (Результаты) ленты Ribbon или дерева модели (Лента Ribbon отсутствует в том случае, если ваш компьютер работает не под управлением ОС Windows®).

Добавление операций расчета пространственных интегралов по объему, поверхности или линии в узле Derived Values (Расчет выражений)

Вы можете обратиться к любому доступному решению, выбрав соответствующий набор данных (data set). В поле Expression (Выражение) вводится подынтегральная функция, включающая зависимые или производные переменные. Для данных расчета во временной области пространственный интеграл вычисляется на каждом временном шаге. В качестве альтернативы, в окне Settings (Настройки) узла Data Series Operations (Операции с массивами данных) можно выбрать опцию Integral (Интегрирование), что позволит вычислить общий пространственно-временной интеграл.

Пример настроек вычисления интегралов по поверхности (Surface Integration) с дополнительным вычислением интеграла по времени в разделе Data Series Operations.

Оператор Average (Усреднение) — еще одна операция в разделе Derived Values, связанная с вычислением интегралов. Оператор вычисляет интеграл и делит его на объем, площадь или длину выбранной области. Операция Averageв узле Data Series Operations аналогично вводит деление на продолжительность временного диапазона. Операторы узла Derived Values — важный инструмент, однако их можно использовать только во время постобработки, а значит с их помощью можно рассчитать далеко не любой интеграл. Именно поэтому в COMSOL представлены другие более мощные и гибкие инструменты для вычисления интегралов.2. Стационарное и нестационарное решение (в момент времени 100 секунд) представлены на иллюстрациях ниже.

Вычисление пространственного интеграла с использованием операторов узла Component Coupling

Операторы узла Component Coupling (Сопряжение компонентов) используются в тех случаях, когда, например, в одном выражении объединяются несколько интегралов, или интегралы требуются в процессе вычислений, или требуется множество контурных интегралов. Операторы данного узла определяются в разделе Definitions (Определения). На этом этапе режультат использования оператора не просчитывается, а указываются только их название и выборки областей.

Добавление операторов через узел Component Couplings

В нашем примере мы для начала хотим вычислить пространственный интеграл для стационарного распределения температуры, равный

\int_{\Omega}T(x,y)\ \mathrm{d}x\mathrm{d}y = 301.65

В пакете COMSOL оператор вычисления интеграла по умолчанию получает имя intop1.

Теперь давайте рассмотрим, как оператор интегрирования может использоваться непосредственно в процессе расчета модели. С его помощью мы могли бы, например, выяснить, какая нагревательная мощность потребуется для получения средней температуры 303.15 К, то есть температуры, на 10 К превышающей температуру окружающей среды. Прежде всего нам необходимо вычислить разницу между требуемым и действительным средними значениями. Среднее значение вычисляется путем деления интеграла от T на интеграл от постоянной функции 1, который равен площади области. Нетрудно догадаться, что вычисление подобного вида легко выполнить с помощью представленного в COMSOL оператора Average (Усреднение), см. комментарии выше. По умолчанию данный оператор получает название aveop1.2. Т.е. полученное значение можно задать в качестве граничного условия для общего входящего теплового потока, чтобы средняя температура в рассматриваемой области стала равна 303.15 К.

Вычисление неопределенного интеграла посредством оператора интегрирования

В своих обращениях в службу поддержки пользователи часто задают один и тот же вопрос: как рассчитать неопределенный пространственный интеграл? Для этой цели нам также пригодится оператор интегрирования, задаваемый через Component Couplings. Нахождение неопределенного интеграла — операция, обратная дифференцированию. Неопределенный интеграл позволяет вычислять площади произвольных областей, ограниченных графиками функций. Одна из самых важных прикладных задач — вычисление вероятностей в статистическом анализе. Для того чтобы это продемонстрировать, мы зафиксируем y=0 и обозначим неопределенный интеграл от T(x,0) как u(x). Это значит, что \frac{\partial u}{\partial x}=T(x,0). Тогда неопределенный интеграл имеет вид

u(\bar x) = \int_0^{\bar x}T(x,0)\mathrm{d} x

Здесь мы используем \bar x, чтобы отличать переменную интегрирования от внешней переменной.1T(x,0)\cdot(x\leq\bar x)\ \mathrm{d} x

Во-вторых, нам понадобится оператор вычисления интеграла, который будет действовать на нижней границе области из примера. Давайте обозначим его как intop2. В-третьих, мы должны отличать переменную интегрирования от внешней переменной. Принятые обозначения для такого случая: x называется источником (source), а \bar x — точкой назначения (destination). При использовании операторов интегрирования доступен встроенный оператор dest, который позволяет явно оглашать, что соответствующее выражение не относится к переменным интегрирования. Точнее, это значит, что в COMSOL \bar x=dest(x). Объединив логическое выражение с оператором dest, мы получим выражение вида T*(x<=dest(x)), которое является именно тем входным выражением, которое требуется для intop2. Объединив все вместе, мы можем вычислить неопределенный интеграл, воспользовавшись выражением intop2(T*(x<=dest(x))). Результат данной операции можно проиллюстрировать следующим графиком:

Как построить график неопределенного интеграла с помощью оператора интегрирования, оператора dest и логического выражения.

В пакете COMSOL дополнительно доступны еще два оператора вычисления интеграла, а именно общая проекция (general projection) и линейная проекция (linear projection). Эти операторы можно использовать для получения множества контурных интегралов в любом направлении в области. Другими словами, вычисление интеграла производится только вдоль одного измерения. В результате мы получаем функцию размерности на единицу меньше, чем размерность области. Для двухмерного примера результатом будет одномерная функция, которая может быть рассчитана на любой границе. Более подробная информация об использовании данных операторов будет представлена в одной из следующих публикаций в нашем компоративном блоге.

Вычисление пространственного интеграла посредством дополнительного физического интерфейса

Наиболее гибким способом вычисления пространственных интегралов является техника с добавлением дополнительного PDE-интерфейса. Давайте вспомним пример выше с неопределенным интегралом и предположим, что мы хотим вычислить неопределенный интеграл не только для y=0. Данная задача может быть сформулирована в виде дифференциального уравнения в частных производных

\frac{\partial u}{\partial x}=T(x,y)

с граничным условием типа Дирихле u=0 на левой границе. Расчет такого уравнения проще всего реализовать в физическом (математическом) интерфейсе Coefficient Form PDE (Дифференциальное уравнение в частных производных, коэффициентная форма записи), который потребует следующих настроек:

Вычисление пространственного интеграла посредством дополнительного PDE-интерфейса.

Зависимая переменная u представляет собой неопределенный интеграл по x и доступна в процессе расчета модели и в постобработке. Помимо гибкости, дополнительным преимуществом данного подхода является точность, так как интеграл рассчитывается не вспомогательными инструментами на основе уже определенного распределения переменной, а непосредственно в процессе расчета с учетом алгоритмов оценки погрешностей и т.{100}T(x,y,t)\ \mathrm{d} t

На поверхностном графике ниже представлен результирующий интеграл, являющийся функцией пространственных переменных (x,y):

Использование оператора timeavg – оператора вычисления интеграла по времени.

Схожие операторы существуют для вычисления интегралов на сферических зонах, а именно ballint, circint, diskint и sphint.

Вычисление временного интеграла посредством дополнительного физического интерфейса

В случае если временные интегралы нужно использовать непосредственно в модели в процессе расчета, вам будет необходимо задать их как дополнительные зависимые переменные. Аналогично представленному выше примеру с интерфейсом Coefficient Form PDE, это можно сделать, добавив ODE-интерфейс из раздела Mathematics. Предположим, например, что на каждом временном шаге требуется вычислять интеграл от величины общего теплового потока на промежутке от старта до текущего момента, который показывает накопленную энергию. Переменная для общего теплового потока рассчитывается в COMSOL автоматически и называется ht.tfluxMag. Интеграл может быть вычислен как дополнительная зависимая переменная с помощью узла Distributed ODE (Распределенное обыкновенное дифференциальное уравнение) интерфейса Domain ODEs and DAEs. Правой частью (источниковым членом) для доменного ОДЕ должна выступать подынтегральная функция, что и показано на иллюстрации ниже.

Использование дополнительного ODE-интерфейса для вычисления интеграла по времени.

В чем польза подобной техники? Полученный интеграл можно повторно использовать в других физических интерфейсах, поля в которых могут зависеть от накопленной в системе энергии. Более того, полученный резултат будет мгноменно доступен для всех видов постобработки, что удобнее и быстрее, чем использование встроенных операторов. Рекомендуем ознакомится с моделью Carbon Deposition in Hetereogeneous Catalysis (Образование сажевых отложений при гетерогенном катализе), в которой ОДЕ в области используется для вычисления пористости катализатора при наличии химических реакций в виде нестационарной полевой переменной.

Вычисление интеграла от аналитических функций и выражений

До сих пор мы демонстрировали, каким образом вычислять интеграл от искомых переменных в процессе расчета или при постобработке. Но не касались случая взятия интегралов от аналитических функций или выражений. Для этой операции в среде COMSOL доступен встроенный оператор integrate(expression, integration variable, lower bound, upper bound).

Выражение может представлять собой любую одномерную функцию, например sin(x). При этом допускается включение дополнительных переменных, например sin(x*y). Второй параметр определяет, по какой переменной вычисляется интеграл. Например, integrate(sin(x*y),y,0,1) выдает функцию переменной x, потому что интегрирование выполняется только по переменной y. Обратите внимание, что данный оператор также может использоваться для работы с аналитическими функциями, заданными в узле Definitions (Определения) текущего компонента.

Материалы для дальнейшего изучения

Что такое интеграл? + Пример

В математике мы говорим о двух типах интегралов. Определенные интегралы и неопределенные интегралы .

Как правило, интеграл присваивает числа функциям таким образом, чтобы они могли описывать смещение, площадь, объем и даже вероятность.

Определенные интегралы

Этот тип интеграла относится к числовым значениям. Он используется в чистой математике, прикладной математике, статистике, естествознании и многом другом.b f (x) “d” x #, где

# ромб f “называется подынтегральным выражением” #
# ромб a и b “нижняя и верхняя границы” #
# алмаз x “фиктивная переменная” #

Вам может быть интересно, что означает # “d” x #. Формально это ничего не означает, а скорее сообщает вам, по какой переменной вы дифференцируете, или, в нашем случае, сообщает вам переменную интеграции.

Когда мы говорим о площади, определяемой функцией # f # с осью x, мы имеем в виду чистую площадь .n # от # 0 # до # тау #; ну, это называется правилом власти. Существует множество различных формул для интегралов, о которых я не буду рассказывать в этом ответе. Это всего лишь очень общее представление о том, что такое интегралы.

Неопределенные интегралы

Они представлены в виде интегралов с оценками. Пусть # I # – неопределенный интеграл функции # f #.

# I = int f (x) “d” x #

Вы можете думать о неопределенных интегралах как об обобщениях определенных.

Неопределенные интегралы, вместо того чтобы определяться площадями, объемами или чем-то еще, коррелируют с производными. Неопределенный интеграл функции # f # также называется первообразной и часто обозначается как #F (x) #.

Фундаментальная теорема исчисления устраняет разрыв между функцией, ее производной и неопределенным интегралом. 2 #.b f (x) “d” x = F (b) -F (a) #

Надеюсь, этот ответ не был слишком пугающим.

Интегралы | Безграничное исчисление

Нефтепродукты

Первообразная – это дифференцируемая функция [латекс] F [/ латекс], производная которой равна [латекс] f [/ латекс] (то есть [латекс] F ‘= f [/ латекс]).

Цели обучения

Вычислить первообразную (также известную как неопределенный интеграл) для заданной функции

Основные выводы

Ключевые моменты

• Процесс определения первообразных называется антидифференцированием, а его противоположная операция называется дифференцированием, то есть процессом нахождения производной.
• Первообразные связаны с определенными интегралами через фундаментальную теорему исчисления: определенный интеграл функции на интервале равен разнице между значениями первообразной, вычисленной на концах интервала.
• Графики первообразных данной функции представляют собой вертикальные перемещения друг друга, причем положение каждого графа зависит от значения константы [латекс] C [/ латекс]. {b} f (x) dx = F (b) – F (a)} [/ latex]

  Из-за этого правила каждую из бесконечного числа первообразных данной функции [latex] f [/ latex] иногда называют «общим интегралом» или «неопределенным интегралом» [latex] f [/ latex] и записывают с использованием интегрального символа без границ:

  [латекс] \ displaystyle {\ int f (x) dx} [/ латекс]

  Если [латекс] F [/ латекс] является первообразным [латекса] f [/ латекс], и функция [латекс] f [/ латекс] определена на некотором интервале, то все остальные первообразные [латекс] G [/ latex] of [latex] f [/ latex] отличается от [latex] F [/ latex] константой: существует число [latex] C [/ latex] такое, что [latex] G (x) = F (x ) + C [/ latex] для всех [latex] x [/ latex].2} [/ latex] в его естественном домене:

  [латекс] (- \ infty; 0) \ bigcup (0; \ infty) [/ latex].

  Площадь и расстояния

  Определенные интегралы используются во многих практических ситуациях, когда требуется вычисление расстояния, площади и объема. {b} f (x) dx [/ latex] неформально определяется как площадь области на плоскости [latex] xy [/ latex], ограниченная график [latex] f [/ latex], ось [latex] x [/ latex] и вертикальные линии [latex] x = a [/ latex] и [latex] x = b [/ latex], таким образом, что область над осью [latex] x [/ latex] прибавляется к сумме, а область под осью [latex] x [/ latex] вычитается из общей суммы.{b} f (x) dx = F (b) – F (a) [/ латекс].

• Когда практическое приближение не дает достаточно точных результатов для вычислений расстояния, площади и объема, необходимо выполнить интегрирование.

Ключевые термины

• первообразная : неопределенный интеграл
• интеграция : операция поиска области на плоскости [latex] xy [/ latex], связанной заданной функцией
• определенный интеграл : интеграл функции между верхней и нижней границей

Интеграция – важное понятие в математике и, вместе с обратным дифференцированием, одна из двух основных операций в исчислении.{b} f (x) dx = F (b) – F (a) [/ латекс]. Определенные интегралы появляются во многих практических ситуациях, требующих вычислений расстояния, площади и объема.

Площадь

Для начала рассмотрим кривую [латекс] y = f (x) [/ latex] между [latex] 0 [/ latex] и [latex] x = 1 [/ latex] с [latex] f (x) = \ sqrt {x}. [/ latex]

Мы спрашиваем: «Какова площадь под функцией [latex] f [/ latex] в интервале от [latex] 0 [/ latex] до [latex] 1 [/ latex]? »И назовем эту (пока неизвестную) область интегралом [латекса] f [/ латекса].{1} \ sqrt {x} dx} [/ латекс]

В первом приближении посмотрите на единичный квадрат, заданный сторонами [латекс] x = 0 [/ латекс] до [латекс] x = 1 [/ латекс], [латекс] y = f (0) = 0 [/ латекс] и [латекс] y = f (1) = 1 [/ latex]. Его площадь ровно [латекс] 1 [/ латекс]. Как бы то ни было, истинное значение интеграла должно быть несколько меньше. Уменьшение ширины прямоугольников аппроксимации должно дать лучший результат, поэтому мы пересечем интервал за пять шагов, используя точки аппроксимации [latex] 0 [/ latex], [latex] \ frac {1} {5} [/ latex ], [latex] \ frac {2} {5} [/ latex] и так далее, вплоть до [latex] 1 [/ latex].Установите коробку для каждого шага, используя правую конечную высоту каждой части кривой, получив таким образом [латекс] \ sqrt {\ frac {1} {5}} [/ latex], [latex] \ sqrt {\ frac {2} { 5}} [/ latex] и так далее, вплоть до [latex] \ sqrt {1} = 1 [/ latex]. Суммируя площади этих прямоугольников, мы получаем лучшее приближение для искомого интеграла, а именно:

[латекс] \ displaystyle {\ sqrt {\ frac {1} {5}} \ left (\ frac {1} {5} – 0 \ right) + \ sqrt {\ frac {2} {5}} \ left (\ frac {2} {5} – \ frac {1} {5} \ right) + \ cdots + \ sqrt {\ frac {5} {5}} \ left (\ frac {5} {5} – \ гидроразрыв {4} {5} \ right) \ приблизительно 0.7497} [/ латекс]

Обратите внимание, что мы берем конечную сумму многих значений функции [latex] f [/ latex], умноженную на разности двух последующих точек аппроксимации. Легко видеть, что приближение все еще слишком велико. Использование большего количества шагов дает более точное приближение, но никогда не будет точным: заменив подынтервалы [latex] 5 [/ latex] на двенадцать, как показано, мы получим приблизительное значение для площади [latex] 0,6203 [/ latex], что очень маленький. Ключевой идеей является переход от добавления конечного числа разностей точек аппроксимации, умноженных на их соответствующие значения функций, к использованию бесконечного числа мелких или бесконечно малых шагов.{1/2} dx = F (1) – F (0) = \ frac {2} {3}} [/ latex]

Расстояние (определение длины дуги интегрированием)

Если вам известна скорость [latex] v (t) [/ latex] объекта как функция времени, вы можете просто интегрировать [latex] v (t) [/ latex] во времени, чтобы вычислить расстояние, которое прошел объект. . Поскольку это эквивалентно оценке площади под изгибом [латекс] v (t) [/ латекс], мы не будем обсуждать это подробнее.

Однако вы также можете использовать интегралы для вычисления длины – например, длину дуги, описываемую функцией [latex] y = f (x) [/ latex].8} \, dt} [/ латекс]

Определенный интеграл : Определенный интеграл функции может быть представлен в виде области со знаком области, ограниченной ее графиком.

Определенный интеграл

Определенный интеграл – это площадь области на плоскости [latex] xy [/ latex], ограниченная графиком [latex] f [/ latex], осью [latex] x [/ latex] и вертикальные линии [латекс] x = a [/ латекс] и [латекс] x = b [/ латекс].

Цели обучения

Вычислить определенный интеграл функции по заданному интервалу

Основные выводы

Ключевые моменты

• Интегрирование – важное понятие в математике и – вместе с обратным ему дифференцированием – одна из двух основных операций в исчислении.{b} f (x) dx = F (b) – F (a) [/ латекс].
• Определенные интегралы появляются во многих практических ситуациях, и их фактическое вычисление важно в точном машиностроении (любой дисциплины), который требует точных и строгих значений.

Ключевые термины

• определенный интеграл : интеграл функции между верхней и нижней границей
• интеграция : операция поиска области на плоскости [latex] xy [/ latex], связанной функцией
• первообразная : неопределенный интеграл

Интегрирование – важное понятие в математике и, вместе с обратным ему дифференцированием, одна из двух основных операций в исчислении.{b} f (x) dx [/ latex] неофициально определяется как область области на плоскости [latex] xy [/ latex], ограниченная графом [latex] f [/ latex], [ латекс] x [/ latex] -ось, а вертикальные линии [latex] x = a [/ latex] и [latex] x = b [/ latex], так что область над [latex] x [/ latex] -axis прибавляет к итоговому значению, а область под осью [latex] x [/ latex] вычитается из итогового значения. Такие интегралы называются определенными интегралами.

Определенный интеграл : Определенный интеграл функции может быть представлен в виде области со знаком области, ограниченной ее графиком.

Принципы интеграции были независимо сформулированы Исааком Ньютоном и Готфридом Лейбницем в конце 17 века. Через фундаментальную теорему исчисления, которую они независимо разработали, интегрирование связано с дифференцированием: если [latex] f [/ latex] – это непрерывная функция с действительными значениями, определенная на отрезке [latex] [a, b] [/ latex] ], то, как только первообразное [латекс] F [/ латекс] из [латекса] f [/ латекса] известно, определенный интеграл [латекс] f [/ латекс] по этому интервалу будет равен

[латекс] \ displaystyle {\ int_ {a} ^ {b} f (x) dx = F (b) – F (a)} [/ latex]

Определенные интегралы появляются во многих практических ситуациях.Если бассейн прямоугольной формы с плоским дном, то по его длине, ширине и глубине мы можем легко определить объем воды, который он может содержать (чтобы заполнить его), площадь его поверхности (чтобы покрыть его) и длина его края (чтобы закрепить его). Но если она овальная с закругленным дном, все эти величины требуют интегралов. Для таких тривиальных примеров может быть достаточно практических приближений, но точная инженерия (любой дисциплины) требует точных и строгих значений для этих элементов.

Например, рассмотрим кривую [латекс] y = f (x) [/ latex] между 0 и x = 1 с [латексом] f (x) = \ sqrt {x}.{1} \ sqrt {x} dx [/ латекс]

В первом приближении посмотрите на единичный квадрат, заданный сторонами [латекс] x = 0 [/ латекс] до [латекс] x = 1 [/ латекс], [латекс] y = f (0) = 0 [/ латекс] и [латекс] y = f (1) = 1 [/ latex]. Его площадь ровно [латекс] 1 [/ латекс]. Как бы то ни было, истинное значение интеграла должно быть несколько меньше. Уменьшение ширины прямоугольников аппроксимации должно дать лучший результат, поэтому мы пересечем интервал за пять шагов, используя точки аппроксимации [latex] 0 [/ latex], [latex] \ frac {1} {5} [/ latex ], [latex] \ frac {2} {5} [/ latex] и так далее, вплоть до [latex] 1 [/ latex].Установите коробку для каждого шага, используя правую конечную высоту каждой части кривой, получив таким образом [латекс] \ sqrt {\ frac {1} {5}} [/ latex], [latex] \ sqrt {\ frac {2} { 5}} [/ latex] и так далее, вплоть до [latex] \ sqrt {1} = 1 [/ latex]. Суммируя площади этих прямоугольников, мы получаем лучшее приближение для искомого интеграла, а именно:

[латекс] \ displaystyle {\ sqrt {\ frac {1} {5}} \ left (\ frac {1} {5} – 0 \ right) + \ sqrt {\ frac {2} {5}} \ left (\ frac {2} {5} – \ frac {1} {5} \ right) + \ cdots + \ sqrt {\ frac {5} {5}} \ left (\ frac {5} {5} – \ гидроразрыв {4} {5} \ right) \ приблизительно 0.7497} [/ латекс]

Обратите внимание, что мы берем конечную сумму многих значений функции [latex] f [/ latex], умноженную на разности двух последующих точек аппроксимации. Легко видеть, что приближение все еще слишком велико. Использование большего количества шагов дает более точное приближение, но никогда не будет точным: заменив подынтервалы [latex] 5 [/ latex] на двенадцать, как показано, мы получим приблизительное значение для площади [latex] 0,6203 [/ latex], что очень маленький. Ключевой идеей является переход от добавления конечного числа разностей точек аппроксимации, умноженных на их соответствующие значения функций, к использованию бесконечного числа мелких или бесконечно малых шагов.{1/2} dx = F (1) – F (0) = \ frac {2} {3}} [/ latex]

Основная теорема исчисления

Основная теорема исчисления – это теорема, которая связывает понятие производной функции с понятием интеграла.

Цели обучения

Определите первую и вторую фундаментальные теоремы исчисления

Основные выводы

Ключевые моменты

• Первая часть теоремы показывает, что неопределенное интегрирование можно обратить дифференцированием.
• Вторая часть позволяет вычислить определенный интеграл функции, используя любую из ее бесконечного множества первообразных.
• Вторая часть теоремы имеет неоценимые практические применения, поскольку она заметно упрощает вычисление определенных интегралов.

Ключевые термины

• первообразная : неопределенный интеграл
• производная : мера того, как функция изменяется при изменении ее входных данных
• определенный интеграл : интеграл функции между верхней и нижней границей

Основная теорема исчисления – это теорема, которая связывает понятие производной функции с понятием интеграла.

Основная теорема исчисления : Из этого рисунка видно, что основная теорема исчисления работает. По определению, производная [latex] A (x) [/ latex] равна [latex] \ frac {A (x + h) −A (x)} {h} [/ latex] как [latex] h [/ latex] стремится к нулю. Заменив числитель [латекс] A (x + h) -A (x) [/ latex] на [latex] hf (x) [/ latex] и разделив на [latex] h [/ latex], [latex] ] f (x) [/ latex] получается. Ограничение [latex] h [/ latex] стремится к нулю завершает доказательство основной теоремы исчисления.

Теорема состоит из двух частей. Грубо говоря, первая часть посвящена производной первообразной, а вторая часть касается взаимосвязи между первообразными и определенными интегралами.

Первая часть теоремы, иногда называемая первой фундаментальной теоремой исчисления, показывает, что неопределенное интегрирование можно обратить дифференцированием. Эта часть теоремы важна еще и потому, что она гарантирует существование первообразных для непрерывных функций.{b} f (t) dt} [/ латекс]

Теперь [латекс] F [/ латекс] непрерывен на [латекс] [a, b] [/ латекс], дифференцируемый на открытом интервале [латекс] (a, b) [/ латекс] и [латекс] F ‘(x) = f (x) [/ latex] для всех [latex] x [/ latex] в [latex] (a, b) [/ latex].

Вторая часть, иногда называемая второй фундаментальной теоремой исчисления, позволяет вычислить определенный интеграл функции, используя любую из ее бесконечного числа первообразных. Эта часть теоремы имеет неоценимые практические приложения, поскольку она заметно упрощает вычисление определенных интегралов.{b} f (x) dx = F (b) – F (a)} [/ латекс]

Первое опубликованное утверждение и доказательство ограниченной версии фундаментальной теоремы было сделано Джеймсом Грегори (1638–1675). Исаак Барроу (1630–1677) доказал более обобщенную версию теоремы, а ученик Барроу Исаак Ньютон (1643–1727) завершил развитие окружающей математической теории. Готфрид Лейбниц (1646–1716) систематизировал полученные знания в исчисление бесконечно малых величин и ввел обозначения, используемые сегодня. {b} f (x) dx = f (b) – f (a) [/ latex]

Ключевые термины

• первообразная : неопределенный интеграл
• определенный интеграл : интеграл функции между верхней и нижней границей
• интегральный : также иногда называют первообразным; предел сумм, вычисляемых в процессе, в котором область определения функции делится на небольшие подмножества, а возможное номинальное значение функции на каждом подмножестве умножается на меру этого подмножества, после чего все эти продукты суммируются

Неопределенные интегралы и первообразные

Как вы помните из атомов на первообразных, [латекс] F [/ латекс] считается первообразным от [латекса] f [/ латекса], если [латекс] F ‘(x) = f (x) [/ latex ].Однако [латекс] F [/ латекс] не единственное первообразное. Мы можем добавить любую константу [latex] C [/ latex] к [latex] F [/ latex] без изменения производной. Имея это в виду, мы определяем неопределенный интеграл следующим образом: [latex] \ int f (x) dx = F (x) + C [/ latex], где [latex] F [/ latex] удовлетворяет [latex] F ‘ (x) = f (x) [/ latex] и [latex] C [/ latex] – любая константа.

[latex] f (x) [/ latex], интегрируемая функция, называется подынтегральным выражением. Обратите внимание, что неопределенный интеграл дает семейство функций.2} {2} \ right) -x + c [/ latex], показывая три из бесконечного множества решений, которые могут быть получены путем изменения произвольной константы [latex] C [/ latex].

Неопределенные интегралы обладают следующими основными свойствами.

Постоянное правило для неопределенных интегралов

[латекс] \ int cf (x) dx = c \ int f (x) dx [/ латекс]

Правило суммы для неопределенных интегралов

[латекс] \ int (f (x) + g (x)) dx = \ int f (x) dx + \ int g (x) dx [/ latex]

Правило разности неопределенных интегралов

[латекс] \ int (f (x) – g (x)) dx = \ int f (x) dx – \ int g (x) dx [/ latex]

Определенные интегралы и теорема чистого изменения

Интегрирование по заданной области дает так называемый «определенный интеграл» (в том смысле, что область определена).{b} f (x) dx = f (b) – f (a)} [/ латекс]

В основном теорема утверждает, что интеграл или [латекс] F ‘[/ латекс] от [латекса] a [/ латекса] до [латекса] b [/ латекса] представляет собой область между [латексом] a [/ латексом] и [latex] b [/ latex], или разница в площади от положения [latex] f (a) [/ latex] до положения [latex] f (b) [/ latex]. Это можно применять для поиска таких значений, как объем, концентрация, плотность, численность населения, стоимость и скорость.

Правило замены

Интегрирование подстановкой – важный инструмент математиков, используемый для нахождения интегралов и первообразных.

Цели обучения

Используйте [latex] u [/ latex] -замещение (правило замещения), чтобы найти первообразную более сложных функций

Основные выводы

Ключевые моменты

• Замена [латекс] x = g (t) [/ latex] дает [latex] \ frac {dx} {dt} = g ‘(t) [/ latex] и, следовательно, формально [latex] dx = g ‘(t) dt [/ latex], который является необходимой заменой для [latex] dx [/ latex].
• [latex] u [/ latex] -замещение (также называемое [latex] w [/ latex] -замещением) используется для упрощения данного интеграла.
• Замещение можно использовать для определения первообразных.

Ключевые термины

• интеграция : операция поиска области в плоскости [latex] x [/ latex] – [latex] y [/ latex], связанной функцией
• первообразная : неопределенный интеграл

Интегрирование путем подстановки, также известное как [латекс] u [/ латекс] -замещение, представляет собой метод нахождения интегралов. Использование основной теоремы исчисления часто требует поиска первообразной.По этой и другим причинам интегрирование путем подстановки является важным инструментом для математиков. Это аналог цепного правила дифференциации.

Определенный интеграл : Определенный интеграл функции может быть представлен в виде области со знаком области, ограниченной ее графиком.

Пусть [latex] I \ substeq \ mathbb {R} [/ latex] будет интервалом, а [latex] g: [a, b] \ rightarrow 1 [/ latex] будет непрерывно дифференцируемой функцией. Предположим, что [latex] f: I \ rightarrow \ mathbb {R} [/ latex] – непрерывная функция.{b} f (g (t)) g ‘(t) dt} [/ латекс]

Используя обозначения Лейбница, замена [latex] x = g (t) [/ latex] дает:

[латекс] \ displaystyle {\ frac {dx} {dt} = g ‘(t)} [/ латекс]

и, следовательно, формально:

[латекс] dx = g ‘(t) dt [/ латекс]

, который является необходимой заменой для [latex] dx [/ latex].

Формула используется для преобразования одного интеграла в другой, который легче вычислить. Таким образом, формулу можно использовать слева направо или справа налево, чтобы упростить данный интеграл.2 + 1 = 5 [/ latex], преобразование обратно в термины [латекс] x [/ latex] было ненужным.

Подстановка может использоваться для определения первообразных, если выбирается связь между [латексом] x [/ латексом] и [латексом] u [/ латексом], определяется соответствующая связь между [латексом] dx [/ латексом] и [латексом] du. [/ latex] путем дифференцирования и выполняет замены. Можно надеяться, что первообразная замещенной функции может быть определена; исходная замена между [латексом] u [/ латексом] и [латексом] x [/ латексом] отменяется.2 + 1 [/ латекс].

Дополнительные трансцендентные функции

Трансцендентная функция – это функция, не являющаяся алгебраической.

Цели обучения

Определить трансцендентную функцию как функцию, которая не может быть выражена как конечная последовательность алгебраической операции

Основные выводы

Ключевые моменты

• Трансцендентные функции не могут быть выражены как решение полиномиального уравнения, коэффициенты которого сами являются полиномами с рациональными коэффициентами.
• Примеры трансцендентных функций включают экспоненциальную функцию, логарифм и тригонометрические функции.
• Трансцендентные функции могут быть легко обнаруживаемым источником размерных ошибок.

Ключевые термины

• полином : выражение, состоящее из суммы конечного числа членов, каждый член является произведением постоянного коэффициента и одной или нескольких переменных, возведенных в неотрицательную целую степень
• тригонометрическая функция : любая функция угла, выраженная как отношение двух сторон прямоугольного треугольника, имеющего этот угол, или различные другие функции, которые вычитают 1 из этого значения или вычитают это значение из 1 (например, синус)
• экспоненциальная функция : любая функция, в которой независимая переменная представлена ​​в форме экспоненты; они являются обратными функциями логарифмов

Трансцендентная функция – это функция, не являющаяся алгебраической.Такая функция не может быть выражена как решение полиномиального уравнения, коэффициенты которого сами являются полиномами с рациональными коэффициентами. Примеры трансцендентных функций включают экспоненциальную функцию, логарифм и тригонометрические функции.

Тригонометрические функции : Верхняя панель: Тригонометрическая функция sinθ для выбранных углов [латекс] \ тета [/ латекс], [латекс] \ пи – \ тета [/ латекс], [латекс] \ пи + \ тета [/ латекс] , и [латекс] 2 \ pi – \ theta [/ latex] в четырех квадрантах.Нижняя панель: График функции синуса в зависимости от угла.

Формально аналитическая функция [latex] ƒ (z) [/ latex] вещественных или комплексных переменных [latex] z_1, \ cdots, z_n [/ latex] трансцендентна, если [latex] z_1, \ cdots, z_n [/ latex], [latex] ƒ (z) [/ latex] алгебраически независимы, т. е. если [latex] ƒ [/ latex] трансцендентен над полем [latex] C (z_1, \ cdots, z_n) [/ latex] .

Трансцендентная функция – это функция, которая «превосходит» алгебру в том смысле, что она не может быть выражена в терминах конечной последовательности алгебраических операций сложения, умножения, степени и извлечения корня.x [/ latex] – трансцендентная функция. Аналогично, если мы установим [latex] c [/ latex] равным [latex] e [/ latex] в ₅ , то мы обнаружим, что [latex] \ ln (x) [/ latex], натуральный логарифм, это трансцендентная функция.

В анализе размерностей трансцендентные функции примечательны тем, что они имеют смысл только тогда, когда их аргумент безразмерен (возможно, после алгебраической редукции). Из-за этого трансцендентные функции могут быть легко обнаруживаемым источником размерных ошибок. Например, [latex] \ log (5 \ text {meter}) [/ latex] – бессмысленное выражение, в отличие от [latex] \ log \ left (\ frac {5 \ text {meter}} {3 \ text {meter }} \ right) [/ latex] или [latex] \ log (3) \ text {meter} [/ latex].Можно попытаться применить логарифмическую идентичность для получения [latex] \ log (10) + \ log (m) [/ latex], что подчеркивает проблему: применение неалгебраической операции к измерению дает бессмысленные результаты.

Численное интегрирование

Численное интегрирование – это метод приближения значения определенного интеграла. {b} f (x ) dx [/ latex] неофициально определяется как область области на плоскости [latex] xy [/ latex], ограниченная графом [latex] f [/ latex], [latex] x [/ latex] ] ось, а вертикальные линии [латекс] x = a [/ latex] и [latex] x = b [/ latex], так что область над осью [latex] x [/ latex] добавляется к общей , и что область под осью [latex] x [/ latex] вычитается из общей суммы.Эти интегралы называются «определенными интегралами».

Определенный интеграл : Определенный интеграл функции может быть представлен в виде области со знаком области, ограниченной ее графиком.

Численное интегрирование представляет собой широкое семейство алгоритмов для вычисления числового значения определенного интеграла.

Есть несколько причин для проведения численного интегрирования.

Подынтегральное выражение [латекс] f (x) [/ латекс] может быть известно только в определенных точках, например, полученных путем выборки.2) [/ latex], первообразная которого (функция ошибок, умноженная на константу) не может быть записана в элементарной форме. Может быть возможно найти первообразную символически, но может быть проще вычислить численное приближение, чем вычислить первообразную. Это может иметь место, если первообразная дана как бесконечная серия или произведение, или если для ее оценки требуется специальная функция, которая недоступна.

Методы численного интегрирования обычно можно описать как объединение оценок подынтегрального выражения для получения приближения к интегралу.

Подынтегральная функция вычисляется в конечном наборе точек, называемых точками интегрирования, и взвешенная сумма этих значений используется для аппроксимации интеграла. Точки интегрирования и веса зависят от конкретного используемого метода и требуемой точности аппроксимации. Важной частью анализа любого метода численного интегрирования является изучение поведения ошибки аппроксимации в зависимости от количества вычислений подынтегрального выражения. Метод, который дает небольшую ошибку при небольшом количестве оценок, обычно считается лучшим.Уменьшение количества вычислений подынтегрального выражения уменьшает количество задействованных арифметических операций и, следовательно, уменьшает общую ошибку округления. Кроме того, каждая оценка требует времени, и подынтегральное выражение может быть произвольно сложным. Численное интегрирование типа “грубой силы” может быть выполнено, если подынтегральное выражение имеет достаточно хорошее поведение (то есть кусочно-непрерывное и ограниченное изменение), путем вычисления подынтегрального выражения с очень маленькими приращениями.

Самый простой метод численного решения интегралов – использовать правило средней точки или прямоугольника.af (x) dx \ приблизительно (b − a) f \ left (\ frac {a + b} {2} \ right)} [/ latex]

Затем площадь можно приблизительно определить путем сложения площадей прямоугольников. Обратите внимание: чем меньше прямоугольники, тем точнее приближение.

Правило прямоугольника : Иллюстрация правила численного интегрирования прямоугольника. {n -1} \ left (f \ left (a + k \ frac {ba} {n} \ right) \ right) + {f (b) \ over 2} \ right)} [/ latex]

, где подынтервалы имеют вид [latex] [kh, (k + 1) h] [/ latex], где [latex] h = \ frac {(b − a)} {n} [/ latex] и [latex] ] k = 0, 1, 2, \ cdots, n − 1 [/ latex].

Поскольку компьютеры могут выполнять множество арифметических операций за небольшой промежуток времени, они используют численное интегрирование для аппроксимации значений интегралов, а не решают их так, как это сделал бы человек.

Исчисление I – Определение определенного интеграла

Похоже, вы используете устройство с “узкой” шириной экрана ( i.е. вы, вероятно, пользуетесь мобильным телефоном). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (вы сможете прокручивать их, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 5-6: Определение определенного интеграла

В этом разделе мы формально определим определенный интеграл и дадим многие свойства определенных интегралов.*} \ right) \ Delta x} \]

Определенный интеграл определяется как предел и сумма, которые мы рассмотрели в предыдущем разделе, чтобы найти чистую площадь между функцией и осью \ (x \). Также обратите внимание, что обозначение для определенного интеграла очень похоже на обозначение для неопределенного интеграла. Причина этого со временем станет очевидной.

Есть также небольшая терминология, от которой мы должны избавиться. Число «\ (a \)», которое находится внизу знака интеграла, называется нижним пределом интеграла, а число «\ (b \)» в верхней части знака интеграла называется верхним пределом . предел интеграла.Кроме того, несмотря на то, что \ (a \) и \ (b \) были заданы как интервал, нижний предел не обязательно должен быть меньше верхнего. В совокупности мы часто будем называть \ (a \) и \ (b \) интервал интегрирования .

Давайте быстро рассмотрим пример. В этом примере будут использоваться многие свойства и факты из краткого обзора нотации суммирования в главе «Дополнительно».

Из предыдущего раздела мы знаем, что для общего \ (n \) ширина каждого подынтервала составляет

Тогда подынтервалы равны

Теперь нам нужно взять предел этого.Значит, нам нужно будет «оценить» это суммирование. Другими словами, нам придется использовать формулы, приведенные в обзоре нотации суммирования, чтобы исключить фактическое суммирование и получить формулу для этого общего \ (n \).

Для этого нам нужно признать, что \ (n \) является константой в том, что касается обозначения суммирования. По мере того, как мы перебираем целые числа от 1 до \ (n \) в суммировании, изменяется только \ (i \), и поэтому все, что не является \ (i \), будет постоянным и может быть исключено из суммирования.2}}} \\ & = \ frac {{14}} {3} \ end {align *} \]

Мы видели несколько методов решения этой проблемы с ограничением, поэтому оставим вам проверять результаты.

Вау, это было много работы для довольно простой функции. Есть гораздо более простой способ их оценки, и в конце концов мы до него доберемся. Основная цель этого раздела – разъяснить основные свойства и факты об определенном интеграле. Мы обсудим, как мы вычисляем их на практике, начиная со следующего раздела.{{\, b}} {{f \ left (t \ right) \, dt}} \). Смысл этого свойства в том, чтобы заметить, что, пока функция и пределы совпадают, переменная интегрирования, которую мы используем в определенном интеграле, не повлияет на ответ.

Доказательство свойств 1–4 см. В разделе «Доказательство различных интегральных свойств» в главе «Дополнительные возможности». Свойство 5 доказать непросто, поэтому оно здесь не показано. Свойство 6 не является собственностью в полном смысле этого слова. Это сделано только для того, чтобы признать, что до тех пор, пока функция и ограничения одинаковы, не имеет значения, какую букву мы используем для переменной.{{\, 12}} {{f \ left (x \ right) \, dx}} \). Показать решение

Этот пример в основном является примером свойства 5, хотя в решении также есть несколько вариантов использования свойства 1.

Нам нужно выяснить, как правильно разбить интеграл, используя свойство 5, чтобы мы могли использовать заданные фрагменты информации. Во-первых, отметим, что существует интеграл, в одном из пределов которого стоит «-5». Это не нижний предел, но мы можем использовать свойство 1, чтобы в конечном итоге это исправить.{{\, b}} {{\ left | {f \ left (x \ right) \,} \ right | dx}} \)

См. Доказательство этих свойств в разделе «Доказательство различных интегральных свойств» в главе «Дополнительные возможности».

Интерпретации определенного интеграла

Здесь мы можем дать несколько быстрых интерпретаций определенного интеграла.

Во-первых, как мы упоминали в предыдущем разделе, одна из возможных интерпретаций определенного интеграла состоит в том, чтобы дать чистую площадь между графиком \ (f \ left (x \ right) \) и осью \ (x \) на интервал \ (\ left [{a, b} \ right] \).{{\, b}} {{f ‘\ left (x \ right) \, dx}} = f \ left (b \ right) – f \ left (a \ right) \]

– чистое изменение \ (f \ left (x \ right) \) на интервале \ (\ left [{a, b} \ right] \). {{\, {t_2}}} {{v \ left (t \ right) \, dt}} = s \ left ({{t_2}} \ right ) – s \ left ({{t_1}} \ right) \]

Обратите внимание, что в этом случае if \ (v \ left (t \ right) \) одновременно положительно и отрицательно ( i.{{\, {t_2}}} {{\ left | {v \ left (t \ right)} \ right | \, dt}} \]

Здесь важно отметить, что теорема чистого изменения имеет смысл только в том случае, если мы интегрируем производную функции.

Фундаментальная теорема исчисления, часть I

Как указано в названии выше, это только первая часть фундаментальной теоремы исчисления. Мы дадим вторую часть в следующем разделе, так как это ключ к простому вычислению определенных интегралов, и это тема следующего раздела.2} + 1}} \, dt}} \) Показать решение

Над этим нужно немного поработать, прежде чем мы сможем использовать фундаментальную теорему исчисления. Первое, на что следует обратить внимание, это то, что основная теорема исчисления требует, чтобы нижний предел был константой, а верхний предел – переменной. {{\, v \ left (x \ right)}} {{f \ left (t \ right) \, dt }} = – v ‘\ left (x \ right) f \ left ({v \ left (x \ right)} \ right) \]

Наконец, мы также можем получить версию для обоих пределов, являющихся функциями \ (x \).2}} \ right) \ end {align *} \]

Определенные интегралы

  г

                         | |
                       - | - ---- | ---- f (x)
                     / | \ / |
                    / | -------- |
          | / | |
     ----- | ------- | |
          | | |
          | | |
---------- | -------------- + -------------------- | --- -- Икс
        а б
  

  г

                         | |
                       - | - - - | - - f (x)
          | / | \ / |
     ----- | ----------------------------------- | ---- средн. (x)
          | / | |
     - - - | - - - - | |
          | | |
          | | |
---------- | -------------- + -------------------- | --- -- Икс
        а б
  

  г

                           | |
                      | ---- | --- | | ------- | ---- f (x)
                      | | | | |
                      | | | -------- | |
            | | | | | |
       ----- | --------- | | | | |
            | | | | | |
            | | | | | |
  ---------- | --------- | ---- + --- | -------- | ------- | --- -- Икс
            а б
  

1. Интеграл – это сумма произведений функции ($ g $) на небольшое изменение ($ dx $).
2. Суммируя произведение $ g $ на $ dx $, мы создаем функцию (назовем ее $ f $), производная которой равна $ g $.
3. Поскольку интеграл представляет собой сумму произведений, размерность интеграла будет произведением размерности $ g $, умноженной на размерность $ dx $.
4. Обычно интеграл дает только форму функции, производная которой равна $ g $. Поскольку вы можете добавить константу к $ f $, и новая функция будет иметь ту же производную (поскольку производная константы равна 0), чтобы получить функцию, которая представлена ​​интегралом, вы должны знать значение функции вы создаете в одной точке ($ f (x_0) $).х $.
5. Интеграл от $ \ cos {x} $ равен $ \ sin {x} $, а интеграл от $ \ sin {x} $ равен $ – \ cos {x} $

Есть несколько полезных способов рассмотрения интегралов:

• Интеграл как продукт
• Интеграл как шаговое правило
• Интеграл на графике

Интеграл как продукт

Ключевые уравнения для понимания интеграла – умножение на определение производной (помните, $ g = \ frac {df} {dx} $), а затем открытие изменения в $ f $ и решение для окончательного значения.Они записываются в виде трех уравнений, которые легко следуют одно из следующего.

$$ g = \ frac {\ Delta f} {\ Delta x} \ rightarrow \ Delta f = g \ Delta x $$

$$ f_f – f_i \ приблизительно g (x_i) \ Delta x $$

$$ f_f \ приблизительно f_i + g (x_i) \ Delta x $$

, где мы используем индекс «i» для обозначения «начального значения» и «f» для обозначения «конечного значения». Это не так уж и плохо. На самом деле это просто алгебра (с множеством символов, как это принято в науке!).

Уравнение выше говорит, что небольшое изменение в $ f $ = небольшое изменение, $ g \ Delta x $.Интеграл просто складывается с этими небольшими изменениями, чтобы получить большое изменение.

Интеграл как шаговое правило

После того, как у нас появился продукт, в приведенных выше уравнениях мы просто открыли $ \ Delta f $, чтобы показать его как явное изменение. Затем мы переместили начальное значение вправо. Таким образом, правая сторона зависит только от начальной точки и дает нам окончательное значение в ближайшей точке. Если, например, наша «$ g $» означает ускорение, поскольку ускорение является производной скорости, тогда скорость должна быть интегралом ускорения.Если мы знаем ускорение как функцию времени (для любого времени) и знаем начальное значение скорости, мы можем генерировать скорости в более позднее время. Тройка приведенных выше уравнений теперь будет выглядеть так:

$$ a = \ frac {\ Delta v} {\ Delta t} \ rightarrow \ Delta v = a \ Delta t $$

$$ v_f – v_i \ приблизительно a (t_i) \ Delta t $$

$$ v_f \ приблизительно v_i + a (t_i) \ Delta t $$

Мы можем получить скорость в более позднее время из скорости и ускорения в более раннее время – предсказывая будущее путем интегрирования! Этот метод оказался очень ценным способом решения проблемы движения объектов с использованием нашего фундаментального принципа движения, 2-го закона Ньютона.(См. Ньютон 2 как правило шага.)

Интеграл в виде графика и отношение к производной

Мы также можем смотреть на интеграл как на что-то на графике, как на производную. Например, скорость ($ v $) является производной положения ($ x $) по времени, $ v = dx / dt $. Это означает, что положение является интегралом скорости по времени, $ dx = v dt $. Обратите внимание, что интеграл дает нам только изменение функции, которую он создает. Чтобы получить все, вам нужно знать начальное значение.

Эти идеи представлены на следующих графиках с соответствующими уравнениями.

Первый набор представляет, как получить график производной (v) от графика функции (x), взяв наклон («маленькие треугольники» или «подъем за пробегом»)

Эти уравнения показывают, что происходит:

$$ v (t) = \ frac {dx} {dt} $$

$$ v (t) = \ frac {x (t + \ frac {\ Delta t} {2}) – x (t- \ frac {\ Delta t} {2})} {\ Delta t} $$

Начнем с графика x-t.Каждый раз на графике x-t (5 показаны пунктирными линиями) мы рисуем маленькие треугольники, показывающие, как изменяется x в течение небольшого временного интервала вокруг каждого выбранного момента. Отношение этих двух изменений и есть скорость в данный момент.

Чтобы вернуться назад – от скорости к положению – мы должны интегрироваться. Этот процесс представлен этими графиками.

Эти уравнения показывают, что происходит:

$$ dx = v (t) dt $$

$$ \ Delta x = \ sum {dx} = \ int {v (t) dt} $$

Сопоставляя уравнения с графиком, мы начинаем с графика v в определенное время и выбираем небольшой интервал времени, $ dt $.Произведение средней скорости в этом интервале на $ dt $ – это площадь показанного маленького прямоугольника. Эта область имеет размеры [$ v dt $] = (L / T) (T) = L, так что это изменение положения. Если у нас есть начальное значение $ x $ в начальный момент, мы можем использовать область на графике vt, чтобы выяснить изменение $ x $ и, следовательно, какое новое значение $ x $ будет в конце временной интервал.

Используя пример положения и скорости, пара уравнений

$$ v = \ frac {\ Delta x} {\ Delta t} \ quad \ quad \ Delta x = v \ Delta t $$

показывает, как думать о переходе от графика функции к графику производных и обратно.Производная – это отношение (так что … “рост за пробег” или “маленькие треугольники”), а интеграл – это произведение (поэтому площадь равна изменению).

Джо Редиш 9/4/11

5.2 Определенный интеграл – Исчисление Том 1

Цели обучения

• 5.2.1 Сформулируйте определение определенного интеграла.
• 5.2.2 Объясните термины подынтегральное выражение, пределы интегрирования и переменная интегрирования.
• 5.2.3 Объясните, когда функция интегрируема.
• 5.2.4 Опишите взаимосвязь между определенным целым и чистой площадью.
• 5.2.5 Используйте геометрию и свойства определенных интегралов для их вычисления.
• 5.2.6 Вычислить среднее значение функции.

В предыдущем разделе мы определили площадь под кривой в терминах сумм Римана:

A = limn → ∞∑i = 1nf (xi *) Δx.A = limn → ∞∑i = 1nf (xi *) Δx.

Однако это определение имело ограничения. Мы потребовали, чтобы f (x) f (x) была непрерывной и неотрицательной.К сожалению, реальные проблемы не всегда соответствуют этим ограничениям. В этом разделе мы рассмотрим, как применить концепцию площади под кривой к более широкому набору функций с помощью определенного интеграла.

Определение и обозначения

Определенный интеграл обобщает понятие площади под кривой. Мы снимаем требования о непрерывности и неотрицательности функции f (x) f (x) и определяем определенный интеграл следующим образом.

Определение

Если f (x) f (x) – функция, определенная на интервале [a, b], [a, b], определенный интеграл f от a до b равен

∫abf (x) dx = limn → ∞∑i = 1nf (xi *) Δx, ∫abf (x) dx = limn → ∞∑i = 1nf (xi *) Δx,

(5.8)

при наличии ограничения. Если этот предел существует, функция f (x) f (x) называется интегрируемой на [a, b], [a, b] или интегрируемой функцией.

Знак интеграла в предыдущем определении должен показаться знакомым. Мы видели аналогичные обозначения в главе «Применение производных», где мы использовали символ неопределенного интеграла (без a и b сверху и снизу) для представления первообразной. Хотя обозначения для неопределенных интегралов могут выглядеть аналогично обозначениям для определенного интеграла, они не совпадают.Определенный интеграл – это число. Неопределенный интеграл – это семейство функций. Позже в этой главе мы исследуем, как связаны эти концепции. Однако всегда следует уделять пристальное внимание обозначениям, чтобы мы знали, работаем ли мы с определенным интегралом или с неопределенным интегралом.

Интегральная система обозначений восходит к концу семнадцатого века и является одним из вкладов Готфрида Вильгельма Лейбница, которого часто считают соавтором исчисления вместе с Исааком Ньютоном.Символ интегрирования ∫ представляет собой удлиненную букву S, обозначающую сигму или суммирование. На определенном интеграле выше и ниже символа суммирования находятся границы интервала, [a, b]. [A, b]. Числа a и b являются значениями x и называются пределами интегрирования; в частности, a – это нижний предел, а b – верхний предел. Чтобы уточнить, мы используем слово limit двумя разными способами в контексте определенного интеграла.Сначала поговорим о пределе суммы при n → ∞.n → ∞. Во-вторых, границы области называются пределами интеграции .

Мы называем функцию f (x) f (x) подынтегральным выражением, а dx указывает, что f (x) f (x) является функцией относительно x , называемой переменной интегрирования. Обратите внимание, что, как и индекс в сумме, переменная интегрирования является фиктивной переменной и не влияет на вычисление интеграла. В качестве переменной интегрирования мы можем использовать любую понравившуюся переменную:

Abf (x) dx = ∫abf (t) dt = ∫abf (u) du∫abf (x) dx = ∫abf (t) dt = ∫abf (u) du

Ранее мы обсуждали тот факт, что если f (x) f (x) непрерывна на [a, b], [a, b], то предел limn → ∞∑i = 1nf (xi *) ∆xlimn → ∞∑ i = 1nf (xi *) Δx существует и единственно.Это приводит к следующей теореме, которую мы сформулируем без доказательства.

Теорема 5.1

Непрерывные функции интегрируемы

Если f (x) f (x) непрерывна на [a, b], [a, b], то f интегрируема на [a, b]. [A , б].

Функции, которые не являются непрерывными на [a, b] [a, b], могут быть интегрируемыми, в зависимости от характера разрывов. Например, функции с конечным числом скачков на отрезке интегрируемы.

Здесь также стоит отметить, что мы сохранили использование регулярного разбиения в суммах Римана.Это ограничение не является строго необходимым. Любое разбиение можно использовать для образования суммы Римана. Однако, если для определения определенного интеграла используется нерегулярное разбиение, этого недостаточно, поскольку количество подынтервалов стремится к бесконечности. Вместо этого мы должны принять предел, так как ширина самого большого подинтервала стремится к нулю. Это вводит немного более сложные обозначения в наши пределы и усложняет вычисления без особого дополнительного понимания, поэтому мы придерживаемся регулярных разбиений для сумм Римана.

Пример 5.7

Вычисление интеграла по определению

Используйте определение определенного интеграла для вычисления ∫02x2dx.∫02x2dx. Используйте аппроксимацию правой конечной точки, чтобы получить сумму Римана.

Решение

Сначала мы хотим установить сумму Римана. Исходя из пределов интегрирования, имеем a = 0a = 0 и b = 2.b = 2. Для i = 0,1,2,…, n, i = 0,1,2,…, n, пусть P = {xi} P = {xi} – регулярное разбиение [0,2]. [0, 2]. Тогда

Δx = b − an = 2n.Δx = b − an = 2n.

Поскольку мы используем аппроксимацию правой конечной точки для генерации сумм Римана, для каждого i нам нужно вычислить значение функции на правом конце интервала [xi − 1, xi]. [Xi − 1, xi] . Правая конечная точка интервала – xi, xi, и, поскольку P является обычным разделом,

xi = x0 + iΔx = 0 + i [2n] = 2in.xi = x0 + iΔx = 0 + i [2n] = 2in.

Таким образом, значение функции на правом конце интервала равно

. f (xi) = xi2 = (2in) 2 = 4i2n2.f (xi) = xi2 = (2in) 2 = 4i2n2.

Тогда сумма Римана принимает вид

∑i = 1nf (xi) Δx = ∑i = 1n (4i2n2) 2n = ∑i = 1n8i2n3 = 8n3∑i = 1ni2.∑i = 1nf (xi) Δx = ∑i = 1n (4i2n2) 2n = ∑i = 1n8i2n3 = 8n3∑i = 1ni2.

Используя формулу суммирования для ∑i = 1ni2, ∑i = 1ni2, получаем

∑i = 1nf (xi) Δx = 8n3∑i = 1ni2 = 8n3 [n (n + 1) (2n + 1) 6] = 8n3 [2n3 + 3n2 + n6] = 16n3 + 24n2 + 8n6n3 = 83 + 4n + 86n2.∑i = 1nf (xi) Δx = 8n3∑i = 1ni2 = 8n3 [n (n + 1) (2n + 1) 6] = 8n3 [2n3 + 3n2 + n6] = 16n3 + 24n2 + 8n6n3 = 83 + 4n + 86n2.

Теперь, чтобы вычислить определенный интеграл, нам нужно перейти к пределу при n → ∞.n → ∞. Получаем

∫02x2dx = limn → ∞∑i = 1nf (xi) Δx = limn → ∞ (83 + 4n + 86n2) = limn → ∞ (83) + limn → ∞ (4n) + limn → ∞ (86n2) = 83 + 0. + 0 = 83. 02x2dx = limn → ∞∑i = 1nf (xi) ∆x = limn → ∞ (83 + 4n + 86n2) = limn → ∞ (83) + limn → ∞ (4n) + limn → ∞ (86n2 ) = 83 + 0 + 0 = 83.

КПП 5,7

Используйте определение определенного интеграла, чтобы вычислить ∫03 (2x − 1) dx.∫03 (2x − 1) dx. Используйте аппроксимацию правой конечной точки, чтобы получить сумму Римана.

Вычисление определенных интегралов

Вычисление определенных интегралов таким способом может быть довольно утомительным из-за сложности вычислений. Позже в этой главе мы разработаем методы вычисления определенных интегралов без взятия пределов сумм Римана. Однако пока мы можем полагаться на тот факт, что определенные интегралы представляют площадь под кривой, и мы можем вычислять определенные интегралы, используя геометрические формулы для вычисления этой площади.Мы делаем это, чтобы подтвердить, что определенные интегралы действительно представляют собой площади, поэтому мы можем обсудить, что делать в случае, если кривая функции опускается ниже оси x .

Пример 5.8

Использование геометрических формул для вычисления определенных интегралов

Используйте формулу площади круга, чтобы вычислить ∫369− (x − 3) 2dx.369− (x − 3) 2dx.

Решение

Функция описывает полукруг с радиусом 3. Найти

∫369− (x − 3) 2dx, ∫369− (x − 3) 2dx,

мы хотим найти площадь под кривой на интервале [3,6].[3,6]. Формула для вычисления площади круга: A = πr2.A = πr2. Площадь полукруга составляет половину площади круга, или A = (12) πr2.A = (12) πr2. Заштрихованная область на рис. 5.16 покрывает половину полукруга, или A = (14) πr2.A = (14) πr2. Таким образом,

∫369− (x − 3) 2 = 14π (3) 2 = 94π≈7,069. 369− (x − 3) 2 = 14π (3) 2 = 94π≈7,069. Рис. 5.16. Значение интеграла функции f (x) f (x) на интервале [3,6] [3,6] представляет собой площадь заштрихованной области.

КПП 5.8

Используйте формулу площади трапеции, чтобы вычислить ∫24 (2x + 3) dx.∫24 (2x + 3) dx.

Площадь и определенный интеграл

При определении определенного интеграла мы сняли требование неотрицательности f (x) f (x). Но как мы интерпретируем «площадь под кривой», когда f (x) f (x) отрицательно?

Чистая подписанная площадь

Вернемся к сумме Римана. Рассмотрим, например, функцию f (x) = 2−2x2f (x) = 2−2×2 (показанную на рисунке 5.17) на интервале [0,2]. [0,2]. Используйте n = 8n = 8 и выберите {xi *} {xi *} в качестве левой конечной точки каждого интервала.Постройте прямоугольник на каждом подынтервале высотой f (xi *) f (xi *) и шириной Δ x . Когда f (xi *) f (xi *) положительно, произведение f (xi *) Δxf (xi *) Δx, как и раньше, представляет площадь прямоугольника. Однако, когда f (xi *) f (xi *) отрицательно, произведение f (xi *) Δxf (xi *) Δx представляет отрицательных площади прямоугольника. Сумма Римана тогда становится

. ∑i = 18f (xi *) Δx = (Площадь прямоугольников над осью x) – (Площадь прямоугольников ниже оси x) ∑i = 18f (xi *) Δx = (Площадь прямоугольников над осью x) – ( Площадь прямоугольников ниже оси x)

Рисунок 5.17 Для частично отрицательной функции сумма Римана – это площадь прямоугольников над осью x минус площадь прямоугольников под осью x .

Принимая предел при n → ∞, n → ∞, сумма Римана приближается к площади между кривой над осью x и осью x за вычетом площади между кривой под осью x и ось x , как показано на рис. 5.18. Затем

∫02f (x) dx = limn → ∞∑i = 1nf (ci) Δx = A1 − A2.∫02f (x) dx = limn → ∞∑i = 1nf (ci) Δx = A1 − A2.

Величина A1 − A2A1 − A2 называется чистой подписанной областью.

Рисунок 5.18 В пределе определенный интеграл равен площади A ₁ минус площадь A ₂ или чистая подписанная площадь.

Обратите внимание, что чистая подписанная площадь может быть положительной, отрицательной или нулевой. Если область над осью x больше, чистая подписанная область положительна. Если область под осью x больше, чистая подписанная область отрицательна.Если области выше и ниже оси x равны, чистая подписанная область равна нулю.

Пример 5.9

Поиск чистой подписанной области

Найдите чистую площадь со знаком между кривой функции f (x) = 2xf (x) = 2x и осью x на интервале [−3,3]. [- 3,3].

Решение

Функция создает прямую линию, которая образует два треугольника: один от x = −3x = −3 до x = 0x = 0, а другой от x = 0x = 0 до x = 3x = 3 (рисунок 5.19). Используя геометрическую формулу для площади треугольника, A = 12bh, A = 12bh, площадь треугольника A ₁ над осью равна

.

, где 3 – основание, а 2 (3) = 62 (3) = 6 – высота. Площадь треугольника A ₂ ниже оси равна

. A2 = 12 (3) (6) = 9, A2 = 12 (3) (6) = 9,

, где 3 – это основание, а 6 – высота. Таким образом, чистая площадь составляет

. ∫ − 332xdx = A1 − A2 = 9−9 = 0. − 332xdx = A1 − A2 = 9−9 = 0.

Рис. 5.19. Площадь над кривой и под осью x равна площади под кривой и над осью x .

Анализ

Если A ₁ – это область выше оси x , а A ₂ – область ниже оси x , то чистая площадь равна A1 − A2.A1 − A2. Поскольку площади двух треугольников равны, чистая площадь равна нулю.

КПП 5.9

Найдите чистую знаковую площадь f (x) = x − 2f (x) = x − 2 в интервале [0,6], [0,6], как показано на следующем рисунке.

Общая площадь

Одно из применений определенного интеграла – определение смещения при заданной функции скорости.Если v (t) v (t) представляет скорость объекта как функцию времени, тогда площадь под кривой сообщает нам, насколько далеко объект от своего исходного положения. Это очень важное применение определенного интеграла, и мы рассмотрим его более подробно позже в этой главе. А пока мы просто рассмотрим некоторые основы, чтобы понять, как это работает, изучая постоянные скорости.

Когда скорость постоянна, площадь под кривой равна скорости, умноженной на время. Эта идея уже хорошо знакома.Если автомобиль удаляется от исходного положения по прямой со скоростью 70 миль в час в течение 2 часов, то он находится на расстоянии 140 миль от исходного положения (рис. 5.20). В интегральных обозначениях имеем

∫0270dt = 140.∫0270dt = 140. Рис. 5.20. Площадь под кривой v (t) = 75v (t) = 75 показывает, как далеко автомобиль находится от начальной точки в данный момент времени.

В контексте смещения чистая подписанная площадь позволяет нам учитывать направление. Если автомобиль движется прямо на север со скоростью 60 миль в час в течение 2 часов, он находится в 120 милях к северу от своей начальной позиции.Если после этого автомобиль развернется и поедет на юг со скоростью 40 миль в час в течение 3 часов, он вернется в исходное положение (рис. 5.21). Опять же, используя интегральные обозначения, имеем

∫0260dt + ∫25−40dt = 120−120 = 0. 0260dt + ∫25−40dt = 120−120 = 0.

В этом случае смещение равно нулю.

Рисунок 5.21 Площадь над осью и площадь под осью равны, поэтому чистая подписанная площадь равна нулю.

Предположим, мы хотим знать, как далеко автомобиль проехал в целом, независимо от направления.В этом случае мы хотим знать область между кривой и осью x , независимо от того, находится эта область выше или ниже оси. Это называется общей площадью.

С графической точки зрения проще всего рассчитать общую площадь, добавив области над осью и области под осью (вместо вычитания областей под осью, как мы это делали с чистой подписанной областью). Чтобы достичь этого математически, мы используем функцию абсолютного значения. Таким образом, общее расстояние, пройденное автомобилем, составит

. 02 | 60 | dt + ∫25 | −40 | dt = ∫0260dt + ∫2540dt = 120 + 120 = 240.02 | 60 | dt + ∫25 | −40 | dt = ∫0260dt + ∫2540dt = 120 + 120 = 240.

Формально объединяя эти идеи, мы даем следующие определения.

Определение

Пусть f (x) f (x) – интегрируемая функция, определенная на интервале [a, b]. [A, b]. Пусть A ₁ представляет область между f (x) f (x) и осью x , которая лежит на выше оси , и пусть A ₂ представляет область между f (x) f (x) и ось x , которая находится на ниже оси .Тогда чистая подписанная область между f (x) f (x) и осью x будет равна

. Abf (x) dx = A1 − A2. Abf (x) dx = A1 − A2.

Общая площадь между f (x) f (x) и осью x равна

Ab | f (x) | dx = A1 + A2. Ab | f (x) | dx = A1 + A2.

Пример 5.10

Определение общей площади

Найдите общую площадь между f (x) = x − 2f (x) = x − 2 и осью x на интервале [0,6]. [0,6].

Решение

Вычислите точку пересечения x как (2,0) (2,0) (установите y = 0, y = 0, найдите x ).Чтобы найти общую площадь, возьмите область ниже оси x на подынтервале [0,2] [0,2] и добавьте ее к области над осью x на подынтервале [2,6] [2,6] (Рисунок 5.22).

Рис. 5.22. Общая площадь между линией и осью x на [0,6] [0,6] составляет A ₂ плюс A ₁ .

У нас

∫06 | (x − 2) | dx = A2 + A1. 06 | (x − 2) | dx = A2 + A1.

Тогда, используя формулу площади треугольника, получим

A2 = 12bh = 12 · 2 · 2 = 2 A2 = 12bh = 12 · 2 · 2 = 2 A1 = 12bh = 12 · 4 · 4 = 8.A1 = 12bh = 12 · 4 · 4 = 8.

Таким образом, общая площадь составляет

A1 + A2 = 8 + 2 = 10. A1 + A2 = 8 + 2 = 10.

КПП 5.10

Найдите общую площадь между функцией f (x) = 2xf (x) = 2x и осью x на интервале [−3,3]. [- 3,3].

Свойства определенного интеграла

Свойства неопределенных интегралов применимы также к определенным интегралам. Определенные интегралы также имеют свойства, относящиеся к пределам интегрирования. Эти свойства вместе с правилами интегрирования, которые мы рассмотрим далее в этой главе, помогают нам манипулировать выражениями для вычисления определенных интегралов.

Правило: свойства определенного интеграла

1. 
   ∫aaf (x) dx = 0∫aaf (x) dx = 0

   (5.9)

   
   Если пределы интегрирования одинаковы, интеграл представляет собой просто линию и не содержит области.
2. 
   ∫baf (x) dx = −∫abf (x) dx∫baf (x) dx = −∫abf (x) dx

   (5.10)

   
   Если пределы поменяны местами, поставьте знак минус перед интеграл.
3. 
   ab [f (x) + g (x)] dx = ∫abf (x) dx + ∫abg (x) dx∫ab [f (x) + g (x)] dx = ∫abf (x) dx + ∫abg (x) dx

   (5.11)

   
   Интеграл от суммы – это сумма интегралов.
4. 
   ab [f (x) −g (x)] dx = ∫abf (x) dx − ∫abg (x) dx∫ab [f (x) −g (x)] dx = ∫abf (x) dx − ∫abg (x) dx

   (5.12)

   
   Интеграл разности – это разность интегралов.
5. 
   ∫abcf (x) dx = c∫abf (x) ∫abcf (x) dx = c∫abf (x)

   (5.13)

   
   для константы c . Интеграл от произведения константы и функции равен константе, умноженной на интеграл функции.
6. 
   ∫abf (x) dx = ∫acf (x) dx + ∫cbf (x) dx∫abf (x) dx = ∫acf (x) dx + ∫cbf (x) dx

   (5.14)

   
   Хотя эта формула обычно применяется, когда c находится между a и b , формула верна для всех значений a , b и c , при условии, что f (x) f ( x) интегрируемо на наибольшем интервале.

Пример 5.11

Использование свойств определенного интеграла

Используйте свойства определенного интеграла, чтобы выразить определенный интеграл от f (x) = – 3×3 + 2x + 2f (x) = – 3×3 + 2x + 2 в интервале [−2,1] [- 2,1] как сумму трех определенных интегралов.

Решение

В интегральных обозначениях имеем ∫ − 21 (−3×3 + 2x + 2) dx.∫ − 21 (−3×3 + 2x + 2) dx. Применяем свойства 3. и 5., чтобы получить

. ∫ − 21 (−3×3 + 2x + 2) dx = ∫ − 21−3x3dx + ∫ − 212xdx + ∫ − 212dx = −3∫ − 21x3dx + 2∫ − 21xdx + ∫ − 212dx.∫ − 21 (−3×3 + 2x + 2) dx = ∫ − 21−3x3dx + ∫ − 212xdx + ∫ − 212dx = −3∫ − 21x3dx + 2∫ − 21xdx + ∫ − 212dx.

КПП 5.11

Используйте свойства определенного интеграла, чтобы выразить определенный интеграл от f (x) = 6×3−4×2 + 2x − 3f (x) = 6×3−4×2 + 2x − 3 на интервале [1,3] [1,3] как сумму четырех определенных интегралов.

Пример 5.12

Использование свойств определенного интеграла

Если известно, что ∫08f (x) dx = 10∫08f (x) dx = 10 и ∫05f (x) dx = 5, ∫05f (x) dx = 5, найдите значение ∫58f (x) dx.∫58f (x) dx.

Решение

В собственности 6.,

Abf (x) dx = ∫acf (x) dx + ∫cbf (x) dx.∫abf (x) dx = ∫acf (x) dx + ∫cbf (x) dx.

Таким образом,

∫08f (x) dx = ∫05f (x) dx + ∫58f (x) dx10 = 5 + ∫58f (x) dx5 = ∫58f (x) dx.∫08f (x) dx = ∫05f (x) dx + ∫ 58f (x) dx10 = 5 + ∫58f (x) dx5 = ∫58f (x) dx.

Контрольно-пропускной пункт 5.12

Если известно, что ∫15f (x) dx = −3∫15f (x) dx = −3 и ∫25f (x) dx = 4, ∫25f (x) dx = 4, найдите значение ∫12f ( x) dx.∫12f (x) dx.

Сравнительные свойства интегралов

Изображение иногда может рассказать нам о функции больше, чем результаты вычислений. Сравнение функций по их графикам, а также по их алгебраическим выражениям часто может дать новое понимание процесса интеграции. Интуитивно можно сказать, что если функция f (x) f (x) находится над другой функцией g (x), g (x), то область между f (x) f (x) и осью x больше площади между g (x) g (x) и осью x .Это верно в зависимости от интервала, в течение которого производится сравнение. Свойства определенных интегралов действительны независимо от того, a b.a> b. Однако следующие свойства относятся только к случаю a≤b, a≤b и используются, когда мы хотим сравнить размеры интегралов.

Теорема 5.2

Теорема сравнения

1. Если f (x) ≥0f (x) ≥0 для a≤x≤b, a≤x≤b, то
   Abf (x) dx≥0.∫abf (x) dx≥0.
2. Если f (x) ≥g (x) f (x) ≥g (x) для a≤x≤b, a≤x≤b, то
   ∫abf (x) dx≥∫abg (x) dx.∫abf (x) dx≥∫abg (x) dx.
3. Если m и M – константы такие, что m≤f (x) ≤Mm≤f (x) ≤M для a≤x≤b, a≤x≤b, то
   m (b − a) ≤∫abf (x) dx≤M (b − a). m (b − a) ≤∫abf (x) dx≤M (b − a).

Пример 5.13

Сравнение двух функций за заданный интервал

Сравните f (x) = 1 + x2f (x) = 1 + x2 и g (x) = 1 + xg (x) = 1 + x в интервале [0,1]. [0,1].

Решение

Построение графиков этих функций необходимо, чтобы понять, как они сравниваются в интервале [0,1].[0,1]. Первоначально при построении графика на графическом калькуляторе f (x) f (x) оказывается везде выше g (x) g (x). Однако на интервале [0,1], [0,1] графики кажутся поверх друг друга. Нам нужно увеличить масштаб, чтобы увидеть, что на интервале [0,1], g (x) [0,1], g (x) находится выше f (x) .f (x). Две функции пересекаются в точках x = 0x = 0 и x = 1x = 1 (рисунок 5.23).

Рисунок 5.23 (a) Функция f (x) f (x) появляется над функцией g (x) g (x) за исключением интервала [0,1] [0,1] (b) Просмотр того же графика с больший масштаб показывает это более четко.

Из графика видно, что на интервале [0,1] g (x) ≥f (x). [0,1], g (x) ≥f (x). Сравнивая интегралы по заданному интервалу [0,1], [0,1], мы также видим, что ∫01g (x) dx≥∫01f (x) dx∫01g (x) dx≥∫01f (x) dx ( Рисунок 5.24). Тонкая заштрихованная область показывает, насколько велика разница между этими двумя интегралами в интервале [0,1]. [0,1].

Рисунок 5.24 (a) График показывает, что на интервале [0,1] g (x) ≥f (x), [0,1], g (x) ≥f (x), где равенство выполняется только на конечные точки интервала.(b) Просмотр того же графика с большим увеличением показывает это более четко.

Среднее значение функции

Нам часто нужно найти среднее значение набора чисел, например, среднюю оценку за тест. Предположим, вы получили следующие результаты тестов в своем классе алгебры: 89, 90, 56, 78, 100 и 69. Ваша семестровая оценка – это ваше среднее значение результатов теста, и вы хотите знать, какую оценку ожидать. Мы можем найти среднее значение, сложив все оценки и разделив их на количество оценок. В этом случае есть шесть результатов теста.Таким образом,

89 + 90 + 56 + 78 + 100 + 696 = 4826≈80,33,89 + 90 + 56 + 78 + 100 + 696 = 4826≈80,33.

Таким образом, ваша средняя оценка за тест составляет примерно 80,33, что соответствует B- в большинстве школ.

Однако предположим, что у нас есть функция v (t) v (t), которая дает нам скорость объекта в любой момент времени t , и мы хотим найти среднюю скорость объекта. Функция v (t) v (t) принимает бесконечное количество значений, поэтому мы не можем использовать только что описанный процесс. К счастью, мы можем использовать определенный интеграл, чтобы найти среднее значение такой функции, как эта.

Пусть f (x) f (x) непрерывна на интервале [a, b] [a, b] и пусть [a, b] [a, b] разделен на n подинтервалов шириной ∆x = (b −a) /n.Δx= (b − a) / n. Выберите представителя xi * xi * в каждом подынтервале и вычислите f (xi *) f (xi *) для i = 1,2,…, n.i = 1,2,…, n. Другими словами, рассматривайте каждый f (xi *) f (xi *) как выборку функции на каждом подынтервале. Среднее значение функции может быть приблизительно равно

. f (x1 *) + f (x2 *) + ⋯ + f (xn *) n, f (x1 *) + f (x2 *) + ⋯ + f (xn *) n,

, что по сути является тем же выражением, которое используется для вычисления среднего дискретных значений.

Но мы знаем Δx = b − an, Δx = b − an, поэтому n = b − aΔx, n = b − aΔx, и мы получаем

f (x1 *) + f (x2 *) + ⋯ + f (xn *) n = f (x1 *) + f (x2 *) + ⋯ + f (xn *) (b − a) Δx.f (x1 *) + f (x2 *) + ⋯ + f (xn *) n = f (x1 *) + f (x2 *) + ⋯ + f (xn *) (b − a) Δx.

Следуя алгебре, числитель представляет собой сумму, которая представлена ​​как ∑i = 1nf (xi *), ∑i = 1nf (xi *), и мы делим на дробь. Чтобы разделить на дробь, переверните знаменатель и умножьте. Таким образом, приблизительное значение среднего значения функции равно

. ∑i = 1nf (xi *) (b − a) Δx = (Δxb − a) ∑i = 1nf (xi *) = (1b − a) ∑i = 1nf (xi *) Δx.∑i = 1nf (xi *) (b − a) Δx = (Δxb − a) ∑i = 1nf (xi *) = (1b − a) ∑i = 1nf (xi *) Δx.

Это сумма Римана. Затем, чтобы получить точное среднее значение , возьмите предел, поскольку n стремится к бесконечности. Таким образом, среднее значение функции равно

. 1b − alimn → ∞∑i = 1nf (xi) Δx = 1b − a∫abf (x) dx. 1b − alimn → ∞∑i = 1nf (xi) Δx = 1b − a∫abf (x) dx.

Определение

Пусть f (x) f (x) непрерывна на интервале [a, b]. [A, b]. Тогда среднее значение функции f (x) f (x) (или f _ave ) на [a, b] [a, b] равно

fave = 1b − a∫abf (x) dx.fave = 1b − a∫abf (x) dx.

Пример 5.14

Нахождение среднего значения линейной функции

Найдите среднее значение f (x) = x + 1f (x) = x + 1 на интервале [0,5]. [0,5].

Решение

Сначала изобразите функцию на указанном интервале, как показано на Рисунке 5.25.

Рисунок 5.25 На графике показана площадь под функцией f (x) = x + 1f (x) = x + 1 над [0,5]. [0,5].

Область представляет собой трапецию, лежащую на боку, поэтому мы можем использовать формулу площади для трапеции A = 12h (a + b), A = 12h (a + b), где h представляет высоту, а a и b представляют две параллельные стороны.Затем

∫05x + 1dx = 12h (a + b) = 12 · 5 · (1 + 6) = 352. 05x + 1dx = 12h (a + b) = 12 · 5 · (1 + 6) = 352.

Таким образом, среднее значение функции равно

. 15−0∫05x + 1dx = 15 · 352 = 72,15−0∫05x + 1dx = 15 · 352 = 72.

КПП 5.13

Найдите среднее значение f (x) = 6−2xf (x) = 6−2x в интервале [0,3]. [0,3].

Раздел 5.2. Упражнения

В следующих упражнениях пределы выражаются в виде интегралов.

60.

limn → ∞∑i = 1n (xi *) Δxlimn → ∞∑i = 1n (xi *) Δx по [1,3] [1,3]

61.

limn → ∞∑i = 1n (5 (xi *) 2−3 (xi *) 3) ∆xlimn → ∞∑i = 1n (5 (xi *) 2−3 (xi *) 3) ∆x над [0, 2] [0,2]

62.

limn → ∞∑i = 1nsin2 (2πxi *) Δxlimn → ∞∑i = 1nsin2 (2πxi *) Δx на [0,1] [0,1]

63.

limn → ∞∑i = 1ncos2 (2πxi *) Δxlimn → ∞∑i = 1ncos2 (2πxi *) Δx на [0,1] [0,1]

В следующих упражнениях, учитывая L _n или R _n , как указано, выразите свои пределы как n → ∞n → ∞ как определенные интегралы, определяя правильные интервалы.

64.

Ln = 1n∑i = 1ni − 1nLn = 1n∑i = 1ni − 1n

65.

Rn = 1n∑i = 1ninRn = 1n∑i = 1nin

66.

Ln = 2n∑i = 1n (1 + 2i − 1n) Ln = 2n∑i = 1n (1 + 2i − 1n)

67.

Rn = 3n∑i = 1n (3 + 3 дюйма) Rn = 3n∑i = 1n (3 + 3 дюйма)

68.

Ln = 2πn∑i = 1n2πi − 1ncos (2πi − 1n) Ln = 2πn∑i = 1n2πi − 1ncos (2πi − 1n)

69.

Rn = 1n∑i = 1n (1 + дюйм) журнал ((1 + дюйм) 2) Rn = 1n∑i = 1n (1 + дюйм) журнал ((1 + дюйм) 2)

В следующих упражнениях вычислите интегралы функций, изображенных на графике, с помощью формул для площадей треугольников и кругов и вычитания площадей под осью x .

70. 72. 74.

В следующих упражнениях вычислите интеграл, используя формулы площади.

76.

∫03 (3 − x) dx∫03 (3 − x) dx

77.

∫23 (3 − x) dx∫23 (3 − x) dx

78.

∫ − 33 (3− | x |) dx∫ − 33 (3− | x |) dx

79.

∫06 (3− | x − 3 |) dx∫06 (3− | x − 3 |) dx

80.

∫ − 224 − x2dx∫ − 224 − x2dx

81.

∫154− (x − 3) 2dx∫154− (x − 3) 2dx

82.

∫01236− (x − 6) 2dx∫01236− (x − 6) 2dx

83.

∫ − 23 (3− | x |) dx∫ − 23 (3− | x |) dx

В следующих упражнениях используйте средние значения в левой ( L ) и правой ( R ) конечных точках, чтобы вычислить интегралы кусочно-линейных функций с графиками, которые проходят через данный список точек через указанные интервалы.

84.

{(0,0), (2,1), (4,3), (5,0), (6,0), (8,3)} {(0,0), (2,1) , (4,3), (5,0), (6,0), (8,3)} больше [0,8] [0,8]

85.

{(0,2), (1,0), (3,5), (5,5), (6,2), (8,0)} {(0,2), (1,0) , (3,5), (5,5), (6,2), (8,0)} больше [0,8] [0,8]

86.

{(−4, −4), (- 2,0), (0, −2), (3,3), (4,3)} {(- 4, −4), (- 2,0 ), (0, −2), (3,3), (4,3)} над [−4,4] [- 4,4]

87.

{(−4,0), (- 2,2), (0,0), (1,2), (3,2), (4,0)} {(- 4,0), (- 2,2), (0,0), (1,2), (3,2), (4,0)} больше [−4,4] [- 4,4]

Предположим, что ∫04f (x) dx = 5∫04f (x) dx = 5 и ∫02f (x) dx = −3, ∫02f (x) dx = −3 и ∫04g (x) dx = −1 ∫04g (x) dx = −1 и ∫02g (x) dx = 2.∫02g (x) dx = 2. В следующих упражнениях вычислите интегралы.

88.

∫04 (е (x) + g (x)) dx∫04 (f (x) + g (x)) dx

89.

∫24 (е (x) + g (x)) dx∫24 (f (x) + g (x)) dx

90.

∫02 (f (x) −g (x)) dx∫02 (f (x) −g (x)) dx

91.

∫24 (f (x) −g (x)) dx∫24 (f (x) −g (x)) dx

92.

∫02 (3f (x) −4g (x)) dx∫02 (3f (x) −4g (x)) dx

93.

∫24 (4f (x) −3g (x)) dx∫24 (4f (x) −3g (x)) dx

В следующих упражнениях используйте тождество − AAf (x) dx = ∫ − A0f (x) dx + ∫0Af (x) dx∫ − AAf (x) dx = ∫ − A0f (x) dx + ∫0Af (x) dx для вычисления интегралов.

94.

∫ − ππsint1 + t2dt∫ − ππsint1 + t2dt (Подсказка: sin (−t) = – sin (t)) (Подсказка: sin (−t) = – sin (t))

95.

∫ − ππt1 + costdt∫ − ππt1 + costdt

В следующих упражнениях найдите чистую зону со знаком между f (x) f (x) и осью x.

96.

∫13 (2 − x) dx∫13 (2 − x) dx ( Подсказка: Посмотрите на график f .)

97.

∫24 (x − 3) 3dx∫24 (x − 3) 3dx ( Подсказка: Посмотрите на график f .)

В следующих упражнениях, учитывая, что ∫01xdx = 12, ∫01x2dx = 13, ∫01xdx = 12, ∫01x2dx = 13 и ∫01x3dx = 14, ∫01x3dx = 14, вычислите интегралы.

98.

∫01 (1 + x + x2 + x3) dx∫01 (1 + x + x2 + x3) dx

99.

∫01 (1 − x + x2 − x3) dx∫01 (1 − x + x2 − x3) dx

100.

∫01 (1 − x) 2dx∫01 (1 − x) 2dx

101.

∫01 (1-2x) 3dx∫01 (1-2x) 3dx

102.

∫01 (6x − 43×2) dx∫01 (6x − 43×2) dx

103.

∫01 (7−5×3) dx∫01 (7−5×3) dx

В следующих упражнениях используйте теорему сравнения.

104.

Покажите, что ∫03 (x2−6x + 9) dx≥0.∫03 (x2−6x + 9) dx≥0.

105.

Покажите, что ∫ − 23 (x − 3) (x + 2) dx≤0.∫ − 23 (x − 3) (x + 2) dx≤0.

106.

Покажите, что ∫011 + x3dx≤∫011 + x2dx.∫011 + x3dx≤∫011 + x2dx.

107.

Покажите, что ∫121 + xdx≤∫121 + x2dx.∫121 + xdx≤∫121 + x2dx.

108.

Докажите, что ∫0π / 2sintdt≥π4.∫0π / 2sintdt≥π4. (Подсказка: sint≥2tπ (Подсказка: sint≥2tπ над [0, π2]) [0, π2])

109.

Докажите, что ∫ − π / 4π / 4costdt≥π2 / 4.∫ − π / 4π / 4costdt≥π2 / 4.

В следующих упражнениях найдите среднее значение f _ave из f между a и b и найдите точку c , где f (c) = fave.f (c) = любимый.

110.

f (x) = x2, a = −1, b = 1 f (x) = x2, a = −1, b = 1

111.

f (x) = x5, a = −1, b = 1 f (x) = x5, a = −1, b = 1

112.

f (x) = 4 − x2, a = 0, b = 2f (x) = 4 − x2, a = 0, b = 2

113.

f (x) = (3− | x |), a = −3, b = 3f (x) = (3− | x |), a = −3, b = 3

114.

f (x) = sinx, a = 0, b = 2πf (x) = sinx, a = 0, b = 2π

115.

f (x) = cosx, a = 0, b = 2πf (x) = cosx, a = 0, b = 2π

В следующих упражнениях приблизьте среднее значение, используя суммы Римана L ₁₀₀ и R ₁₀₀ .Как ваш ответ соотносится с точным данным ответом?

116.

[T] y = ln (x) y = ln (x) на интервале [1,4]; [1,4]; точное решение ln (256) 3−1.ln (256) 3−1.

117.

[T] y = ex / 2y = ex / 2 в интервале [0,1]; [0,1]; точное решение 2 (e − 1) .2 (e − 1).

118.

[T] y = tanxy = tanx в интервале [0, π4]; [0, π4]; точное решение 2ln (2) π.2ln (2) π.

119.

[T] y = x + 14 − x2y = x + 14 − x2 в интервале [−1,1]; [- 1,1]; точное решение – π6.π6.

В следующих упражнениях вычислите среднее значение, используя левую сумму Римана L _N для N = 1,10,100.N = 1,10,100. Как точность соотносится с заданным точным значением?

120.

[T] y = x2−4y = x2−4 в интервале [0,2]; [0,2]; точное решение -83.-83.

121.

[T] y = xex2y = xex2 в интервале [0,2]; [0,2]; точное решение – 14 (e4−1) .14 (e4−1).

122.

[T] y = (12) xy = (12) x в интервале [0,4]; [0,4]; точное решение – 1564ln (2).1564ln (2).

123.

[T] y = xsin (x2) y = xsin (x2) в интервале [−π, 0]; [- π, 0]; точное решение – cos (π2) −12π.cos (π2) −12π.

124.

Предположим, что A = ∫02πsin2tdtA = ∫02πsin2tdt и B = ∫02πcos2tdt.B = ∫02πcos2tdt. Покажем, что A + B = 2πA + B = 2π и A = B.A = B.

125.

Предположим, что A = ∫ − π / 4π / 4sec2tdt = πA = ∫ − π / 4π / 4sec2tdt = π и B = ∫ − π / 4π / 4tan2tdt.B = ∫ − π / 4π / 4tan2tdt. Покажем, что A − B = π2.A − B = π2.

126.

Покажите, что среднее значение sin2tsin2t на [0,2π] [0,2π] равно 1/2 Без дальнейших вычислений определите, равно ли среднее значение sin2tsin2t на [0, π] [0, π] до 1/2.

127.

Покажите, что среднее значение cos2tcos2t на [0,2π] [0,2π] равно 1 / 2,1 / 2. Без дополнительных вычислений определите, равно ли среднее значение cos2 (t) cos2 (t) по [0, π] [0, π] 1 / 2,1 / 2.

128.

Объясните, почему графики квадратичной функции (параболы) p (x) p (x) и линейной функции ℓ (x) ℓ (x) могут пересекаться не более чем в двух точках. Предположим, что p (a) = ℓ (a) p (a) = ℓ (a) и p (b) = ℓ (b), p (b) = ℓ (b), и что ∫abp (t) dt> Abℓ (t) dt.∫abp (t) dt> ∫abℓ (t) dt. Объясните, почему ∫cdp (t)> ∫cdℓ (t) dt∫cdp (t)> ∫cdℓ (t) dt, когда a≤c 129.

Предположим, что парабола p (x) = ax2 + bx + cp (x) = ax2 + bx + c открывается вниз (a <0) (a <0) и имеет вершину y = −b2a> 0. y = – b2a> 0. Для какого интервала [A, B] [A, B] ∫AB (ax2 + bx + c) dx∫AB (ax2 + bx + c) dx максимально велико?

130.

Предположим, что [a, b] [a, b] можно разделить на подинтервалы a = a0

1. Объясните, почему ∫abf (t) dt = A1 + A2 + ⋯ + AN. Abf (t) dt = A1 + A2 + ⋯ + AN.
2. Затем объясните, почему | ∫abf (t) dt | ≤∫ab | f (t) | dt. | ∫abf (t) dt | ≤∫ab | f (t) | dt.
131.

Предположим, что f и g – непрерывные функции, такие что ∫cdf (t) dt≤∫cdg (t) dt∫cdf (t) dt≤∫cdg (t) dt для каждого подынтервала [c, d] [c , d] из [a, b]. [a, b]. Объясните, почему f (x) ≤g (x) f (x) ≤g (x) для всех значений x .

132.

Предположим, что среднее значение f по [a, b] [a, b] равно 1, а среднее значение f по [b, c] [b, c] равно 1, где a f по [a, c] [a, c] также равно 1.

133.

Предположим, что [a, b] [a, b] можно разбить. взяв a = a0 f на каждом подынтервале [ai − 1, ai] = 1 [ai − 1, ai] = 1 равно 1 для каждого i = 1,…, Ni = 1,…, N. Объясните, почему среднее значение f по [a, b] [a, b] также равно 1.

134.

Предположим, что для каждого i такого, что 1≤i≤N1≤i≤N, имеет место ∫i − 1if (t) dt = i.∫i − 1if (t) dt = i. Покажем, что ∫0Nf (t) dt = N (N + 1) 2. 0Nf (t) dt = N (N + 1) 2.

135.

Предположим, что для каждого i такого, что 1≤i≤N1≤i≤N, имеет место ∫i − 1if (t) dt = i2.∫i − 1if (t) dt = i2. Покажем, что ∫0Nf (t) dt = N (N + 1) (2N + 1) 6.∫0Nf (t) dt = N (N + 1) (2N + 1) 6.

136.

[T] Вычислите левую и правую суммы Римана L ₁₀ и R ₁₀ и их среднее значение L10 + R102L10 + R102 для f (t) = t2f (t) = t2 за [0, 1]. [0,1]. Учитывая, что ∫01t2dt = 0,33–, ∫01t2dt = 0,33–, до скольки десятичных знаков точность L10 + R102L10 + R102?

137.

[T] Вычислите левую и правую суммы Римана, L ₁₀ и R ₁₀ и их среднее значение L10 + R102L10 + R102 для f (t) = (4 − t2) f (t ) = (4 − t2) над [1,2]. [1,2]. Учитывая, что ∫12 (4 − t2) dt = 1.66–, ∫12 (4 − t2) dt = 1.66–, до скольки десятичных знаков точность L10 + R102L10 + R102?

138.

Если ∫151 + t4dt = 41.7133 …, ∫151 + t4dt = 41.7133 …, что такое ∫151 + u4du? ∫151 + u4du?

139.

Оцените ∫01tdt∫01tdt, используя суммы левой и правой конечных точек, каждая с одним прямоугольником.Как соотносится среднее этих сумм левой и правой конечных точек с фактическим значением ∫01tdt? ∫01tdt?

140.

Оцените ∫01tdt∫01tdt путем сравнения с площадью одиночного прямоугольника с высотой, равной значению t в средней точке t = 12.t = 12. Как эта средняя оценка соотносится с фактическим значением ∫01tdt? ∫01tdt?

141.

Из графика sin (2πx) sin (2πx) показано:

1. Объясните, почему ∫01sin (2πt) dt = 0. 01sin (2πt) dt = 0.
2. Объясните, почему в общем случае ∫aa + 1sin (2πt) dt = 0∫aa + 1sin (2πt) dt = 0 для любого значения a .