Интегрирование функций с разрывами и несобственные интегралы
До сих пор мы интересовались в первую очередь интегралами непрерывных функций. Именно для такого случая мы доказали формулу Ньютона — Лейбница: непрерывность подынтегральной функции является важным её условием. Что бывает, когда подынтегральная функция терпит разрывы? Мы не сможем дать полный ответ на этот вопрос, но обсудим некоторые важные частные случаи.
27.1Интегрирование функций с конечным числом скачков
27.1.1Скачки интегралу не помеха
Пусть функция f имеет на отрезке [a,b] конечное число (m штук) разрывов в точках z1,…,zm, во всех остальных точках отрезка она непрерывна, и все разрывы являются скачками, то есть в них определены пределы справа и слева. Можно ли посчитать интеграл по [a,b] от такой функции?
Если воспринимать задачу интегрирования геометрически, это не выглядит проблемой.
Интеграл — это площадь, а площадь обладает свойством аддитивности — если
разрезать фигуру, площадь от которой мы находим, на несколько непересекающихся
кусочков, площадь всей фигуры должна равняться сумме площадей этих кусочков.
Лемма 1. Пусть функции f и g отличаются друг от друга лишь в конечном числе точек z1,…,zm. Тогда их интегралы совпадают (и одновременно существуют или не существуют).
Доказательство. Изменения конечного числа значений не влияет на ограниченность, следовательно, функции f и g либо одновременно неограниченны, либо одновременно ограничены. В первом случае они обе неинтегрируемы и доказывать нечего. Рассмотрим второй случай, пусть обе функции ограничены некоторым числом C>0 (по модулю).
Возьмём произвольное размеченное разбиение P, у которого границами
отрезков разбиения являются точки (x0,…,xn) и отмечены точки
(x∗1,…,x∗n). Поскольку функции f и g различаются лишь в конечном
числе точек, эти точки могут попасть лишь в конечное число отрезков
разбиения.
(В худшем случае точка может оказаться общим концом двух отрезков
разбиения, значит, число затронутых отрезков не более чем в два раза больше
числа точек различия.) Пусть затронуты отрезки с номерами k1,…,kM, M≤2m. Модуль разности между интегральными суммами для функций f и g
равен
∣∣ ∣∣M∑i=1f(x∗ki)−g(x∗ki)Δxki∣∣ ∣∣≤M∑i=1|f(x∗ki)−g(x∗ki)|⋅|Δxki|.
∣∣ ∣∣M∑i=1f(x∗ki)−g(x∗ki)Δxki∣∣ ∣∣≤≤M∑i=1|f(x∗ki)−g(x∗ki)|⋅|Δxki|.
Модуль разности между значениями функций f и g не превосходит 2C, поскольку сами значения ограничены по модулю числом C. (Мы используем неравенство |a−b|≤|a|+|b|.) Длина отрезка разбиения |Δxki| не превосходит диаметра разбиения d(P). Всего слагаемых M штук, где M≤2m. Значит разница между двумя интегральными суммами не превосходит (2m)⋅(2C)⋅d(P)=4mC⋅d(P) и стремится к нулю при d(P) стремящемся к нулю. Значит, пределы интегральных сумм совпадают.∎
Теорема 1. Пусть функция f имеет конечное число точек разрывов z1<z2<…<zm на отрезке [a,b] и все разрывы являются скачками, то есть
в каждой точке разрыва есть конечные односторонние пределы функции справа и
слева.
В остальных точках функция непрерывна. Тогда она интегрируема на
отрезке [a,b].
Доказательство. Воспользовавшись свойством аддитивности (24.5), разобьем интеграл в сумму интегралов:
∫baf(x)dx=∫z1af(x)dx+∫z2z1f(x)dx+…+∫zmzm−1f(x)dx+∫bzmf(x)dx.(27.1)
∫baf(x)dx=∫z1af(x)dx++∫z2z1f(x)dx+…++∫zmzm−1f(x)dx+∫bzmf(x)dx.(27.1)
Рассмотрим любой из получившихся отрезков интегрирования, обозначим его
концы через α и β. Функция f непрерывна на [α,β],
за исключением, быть может, концов отрезка. Но в концах существуют
односторонние пределы (поскольку все точки разрывов — скачки), и
следовательно для вычисления интеграла по [α,β] функцию можно
переопределить в α и β, таким образом, чтобы сделать её
непрерывной на всём отрезке (как обычно, в концах требуется односторонняя
непрерывность). По лемме, значение
интегралов от этого не поменяется, равно как и факт интегрируемости. Но
функция, непрерывная на отрезке, интегрируема на этом отрезке, и значит все
интегралы в правой части равенства (27.
Пример 1. Пусть
sign(x)=⎧⎨⎩1,x>00,x=0−1,x<0
Найдём
F(t):=∫t−2sign(x)dx.
Возможно три варианта: t<0, t=0 или t>0. В первом случае наш интеграл — это площадь прямоугольника высотой 1 и шириной (t−(−2)), взятая со знаком «минус» (потому что значение функции отрицательно), то есть −2−t (см. анимацию на рис. 27.1). При t=0 можно переопределить функцию таким образом, чтобы в точке x=0 она принимала значение (−1) и тем самым сделать её непрерывной на всём отрезке интегрирования. Если же t>0, наш интеграл разбивается в сумму двух интегралов: по отрезку [−2,0] и по отрезку [0,t]. Первый равен −2, второй является площадью прямоугольника с шириной t и высотой 1, то есть t.
Итак,
F(t)=⎧⎨⎩−2−t,t<0;−2,t=0;−2+t,t>0.
Это выражение можно записать короче: F(t)=−2+|t|.
Заметим, что во всех точках t≠0, производная F совпадает с подынтегральной функцией (проверьте!):
F′(t)=sign(t).
Это неудивительно: первая часть формулы Ньютона — Лейбница выполняется для всех точек, в которых подынтегральная функция непрерывна, а разрыв у нас только в нуле. В нуле же функция F не является дифференцируемой, но является непрерывной. Оказывается, так будет всегда.
27.1.2Интеграл с переменным верхним пределом непрерывен
Утверждение 1. Пусть функция f интегрируема на отрезке [a,b]. Тогда функция
F(t)=∫taf(x)dx
непрерывна на отрезке [a,b].
Доказательство. Действительно, для любых точек t,t0∈[a,b]
F(t)−F(t0)=∫taf(x)dx−∫t0af(x)dx=∫tt0f(x)dx.
F(t)−F(t0)=∫taf(x)dx−∫t0af(x)dx==∫tt0f(x)dx.
Иными словами, разность значений F в точках t и t0 равна интегралу от
f по отрезку [t0,t].
Поскольку функция под интегралом интегрируема,
она ограничена, и значит интеграл по маленькому отрезку от неё будет
маленьким. Следовательно, значения функции F в близких точках близки.
Аккуратное доказательство выглядит так. Поскольку функция f ограничена, найдётся такое C, что для всех x∈[a,b]
−C≤f(x)≤C.
Интегрируя эти неравенства по отрезку [t0,t] (будем считать, что t>t0, противоположный случай разбирается аналогично), имеем:
∫tt0(−C)dx≤∫tt0f(x)dx≤∫tt0Cdx.
Считая интегралы в левой и правой части, получаем:
−C(t−t0)dx≤∫tt0f(x)dx≤C(t−t0).
В пределе при t→t0, левая и правая части стремятся к нулю, значит и интеграл посередине стремится к нулю. Но этот интеграл равен разности F(t)−F(t0), следовательно эта разность стремится к нулю, и значит
limt→t0F(t)=F(t0),
то есть F непрерывна в точке t0.∎
Теперь мы можем заключить, что интеграл от кусочно-непрерывной функции f с
конечным числом скачков, если рассматривать его как функцию от верхнего предела,
является непрерывной функцией, дифференцируемой во всех точках, кроме точек
разрывов f; в точках разрывов f у интеграла точки излома и производная не
существует (если только эти разрывы не являются устранимыми, устранимые разрывы
интеграл «не замечает» в силу леммы).
27.2Несобственные интегралы
До сих пор мы рассматривали интегралы, которые отвечали площадям ограниченнух фигур — то есть таких фигур, которые можно поместить в достаточно большой прямоугольник. Действительно, в горизонтальном направлении мы были ограничены отрезком интегрирования, а в вертикальном — ограниченностью подынтегральной функции — мы всегда говорили, что раз функция не является ограниченной, она и не интегрируемая, и даже однажды это доказали.
Однако, можно представить себе фигуру, которая не будет помещаться ни в какой прямоугольник, но тем не менее будет иметь конечную площадь. Как бы нам её найти?
27.2.1Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
Начнём с примера.
Пример 2. Пусть мы хотим найти такой интеграл:
∫+∞11x2dx.(27.2)
Область интегрирования теперь — не отрезок, а бесконечный луч, см.
рис. 27.2.
Рис. 27.2: Интеграл по лучу
Использовать обычное определение нельзя — луч нельзя разбить в конечное число отрезков. Теоретически, можно было бы расширить понятие разбиения, разрешив разбиения на бесконечное число отрезков, но тогда в интегральных суммах было бы бесконечное число слагаемых, и надо было думать, как эти суммы определять…
В общем, мы сделаем иначе. Положим по определению, что интеграл (27.2) равен такому пределу:
∫+∞11x2dx:=limt→+∞∫t11x2dx.
То есть мы считаем интеграл до какой-то конечной границы t, для разных t получаем разные значения интеграла, и дальше устремляем t к бесконечности, см. анимацию на рис. 27.3.
Это выглядит логичным: если мы будем всё сильнее увеличивать верхний предел
интегрирования t, мы будем захватывать всё большую и большую часть нашей
неограниченной фигуры, так что в пределе ничего не останется не захваченным,
и значит площадь захваченного куска должна стремиться к площади всей фигуры.
Рис. 27.3: Несобственный интеграл как предел
Попробуем найти, что получится. Заметим, что первообразной 1/x2 является (−1/x). Воспользуемся формулой Ньютона — Лейбница:
limt→+∞∫t11x2dx=limt→+∞(−1x)∣∣∣t1=limt→+∞(−1t−(−11))=1.
limt→+∞∫t11x2dx=limt→+∞(−1x)∣∣∣t1==limt→+∞(−1t−(−11))=1.
Получилось! Искомая площадь равна 1.
Определение 1. Пусть функция f интегрируема на любом отрезке [a,t], t>a. Интеграл
∫+∞af(x)dx
называется несобственным интеграл по бесконечному промежутку. По определению он равен
∫+∞af(x)dx:=limt→+∞∫taf(x)dx.
Всегда ли предел будет существовать? Конечно, нет — легко придумать пример, когда не будет. Скажем,
∫+∞12dx=limt→+∞2(t−1)=+∞.
Но тут история понятная — подынтегральная функция является константой, наша
фигура — «бесконечный прямоугольник», неудивительно, что у него бесконечная
площадь.
Но что если подынтегральная функция стремится к нулю. Может ли быть
так, чтобы интеграл по лучу не существовал? Давайте рассмотрим ещё один пример.
Пример 3. Найдём
∫+∞11xdx.
Действуя так же, как и раньше, запишем этот интеграл в виде предела. Напомним, что первообразная 1/x при положительных x — это lnx. Имеем:
∫+∞11xdx:=limt→+∞∫t11xdx=limt→+∞lnx|t1=limt→+∞(lnt−ln1)=+∞.
∫+∞11xdx:=limt→+∞∫t11xdx==limt→+∞lnx|t1==limt→+∞(lnt−ln1)=+∞.
Определение 2. Если предел в определении несобственного интеграла существует, говорят, что интеграл сходится, в противном случае он расходится.
Итак, интеграл по одному и тому же лучу [1,+∞) от функции 1/x2
сходится, а от функции 1/x расходится. Почему так? Казалось бы, они обе
стремятся к нулю при x→+∞, и на глаз их графики очень похожи. Однако,
мало стремиться к нулю, нужно делать это ещё достаточно быстро. Функция 1/x
стремится к нулю медленнее, чем 1/x2, и этого стремления не хватает, чтобы
площадь оказалась конечной.
Является ли требование стремления к нулю необходимым для сходимости интеграла? Оказывается, нет.
Упражнение 1. Придумайте пример функции, которая не стремится к нулю при x→+∞, но интеграл от которой по лучу [0,+∞) сходится.
Определение 3. Легко определить интеграл по лучу (−∞,a]:
∫a−∞f(x)dx=limt→−∞∫atf(x)dx.
Интеграл по всей прямой (−∞,∞) определяется так:
∫∞−∞f(x)dx=∫a−∞f(x)dx+∫+∞af(x)dx,
где промежуточную точку a можно выбирать произвольным образом, значение интеграла от этого не изменится (почему?).
27.2.2Признак сравнения
Часто бывает важно даже не найти значение несобственного интеграла, а просто показать, что он сходится. В этом случае полезной оказывается следующая теорема.
Теорема 2. Пусть функции f и g интегрируемы на любом отрезке [a,t], t>a. Пусть также для всякого x≥a
0≤f(x)≤g(x)(27.
3)
и интеграл
∫+∞ag(x)dx(27.4)
сходится. Тогда
∫+∞af(x)dx(27.5)
тоже сходится.
Доказательство. Утверждение выглядит естественным. Фигура, соответствующая интегралу (27.5), содержится внутри фигуры, соответствующей интегралу (27.4). Логично предположить, что если площадь первой конечна, то и второй тоже.
Формальное доказательство выглядит так. Введём обозначения:
G(t):=∫tag(x)dx,F(t):=∫taf(x)dx.
Заметим, что обе функции F и G неубывают на [a,+∞): это следует из того факта, что их производные, равные подынтегральным функциям, неотрицательны. Также интегрируя неравенства (27.3) по отрезку [a,t], имеем:
F(t)=∫taf(t)dt≤∫tag(t)dt=G(t).
По предположению, G(t) имеет предел при t→+∞.
Обозначим его через L. Все значения неубывающей функции не превосходят
предела: действительно, если для какого-то t0, G(t0)>L, то найдётся
такое c>0, что G(t0)>L+c (можно в качестве c взять половину разности
G(t0)−L, тогда L+c — середина отрезка [L,G(t0)]), и значит для всех
t>t0 выполняется такое же неравенство (в силу неубывания G), а значит
предел не меньше L+c, то есть строго больше L — противоречие.
Значит
для всех t≥a:
F(t)≤G(t)≤L.
Итак, функция F неубывает и ограничена. Можно легко адаптировать теорему Вейерштрасса для функций (сделайте это!) и получить, что существует предел
limt→+∞F(t),
то есть интеграл (27.5) сходится.∎
Пример 4. Докажем, что
∫+∞0e−x2dx
сходится.
Действительно, разобьём этот интеграл в сумму двух:
∫+∞0e−x2dx=∫10e−x2dx+∫+∞1e−x2dx.
С первым слагаемым никаких проблем нет: это обычный (собственный) интеграл Римана, подынтегральная функция непрерывна, значит, интеграл существует. Рассмотрим второе слагаемое. Заметим, что при x≥1, x2≥x и
0≤e−x2≤e−x.
Таким образом, если интеграл
∫+∞1e−xdx
сходится, то и наш интеграл сходится. Но e−x легко проинтегрировать
явно: первообразная равна (−e−x).
Таким образом,
∫+∞1e−xdx=limt→+∞∫t1e−xdx=limt→+∞(−e−x)|t1=limt→+∞(−e−t−(−e−1))=1e.
∫+∞1e−xdx=limt→+∞∫t1e−xdx==limt→+∞(−e−x)|t1==limt→+∞(−e−t−(−e−1))=1e.
Мы нашли этот интеграл явно, значит, он сходится, и значит наш исходный интеграл тоже сходится.
В том виде, в котором мы его сформулировали, признак сравнения работает только с неотрицательными подынтегральными функциями.
Вопрос 1. Покажите, что условие неотрицательности здесь существенно. Приведите пример функций f и g, для которых условие f(x)≤g(x) выполняется для всех x, ∫+∞0g(x)dx сходится, а интеграл ∫+∞0f(x)dx расходится.
Следующее утверждение позволяет расширить признак сравнения на случай знакопеременных подынтегральных выражений:
Утверждение 2. Если сходится интеграл
∫+∞a|f(x)|dx,
то сходится и интеграл
∫+∞af(x)dx.
Мы не будем сейчас доказывать это утверждение. Однако, из него мгновенно
следует, что если существует такая функция g(x), что для всех x, |f(x)|≤g(x) и
∫+∞ag(x)dx сходится, то и ∫+∞af(x)dx тоже
сходится.
27.2.3Несобственные интегралы и вертикальные асимптоты
Итак, нам удалось расширить понятие интеграла на случай бесконечных промежутков интегрирования. Может быть, и с неограниченными функциями удастся что-то сделать?
До сих пор мы много раз повторяли мантру «раз функция неограничена, значит, она
и не интегрируема» — и даже доказали утверждение
на эту тему. Однако, значит ли это, что соответствующие площади на самом деле
не определены? Нам уже удалось найти площади некоторых неограниченных фигур, как
в примере 2 выше. Может быть, и с площадями под графиками
неограниченных функций ситуация может быть аналогичной — и наш реузльтат о
неинтегрируемости вызван просто неудачным определением интеграла? Можно ли
модифицировать это определение каким-то образом, чтобы хотя бы некоторые
неограниченные функции стали интегрируемыми? Давайте попробуем.
Пример 5. Попробуем найти интеграл
∫101√xdx.
Подынтегральная функция стремится к бесконечности при x→0+, и значит не является ограниченной — стало быть интеграл в обычном смысле не определён. Однако, давайте воспользуемся тем же приёмом, которым мы воспользовались для нахождения интеграла по бесконечному промежутку. Положим по определению
∫101√xdx:=limt→0+∫1t1√xdx.
Для всякого t>0 интеграл под знаком предела определён. Более того: его можно найти явно — подынтегральная функция 1/√x может быть записана в виде x−1/2, а все степенные функции мы имеем интегрировать. Первообразная имеет вид 2×1/2=2√x (проверьте дифференцированием!) и значит
∫101√xdx:=limt→0+∫1t1√xdx=limt→0+2√x|1t=limt→0+(2√1−2√t)=2.
∫101√xdx:=limt→0+∫1t1√xdx==limt→0+2√x|1t==limt→0+(2√1−2√t)=2.
Интеграл сошёлся, ура!
Определение 4.
Пусть функция f имеет вертикальную асимптоту в точке a и для всякого
t∈(a,b) функция f интегрируема по Риману на отрезке [t,b]. Несобственный интеграл
∫baf(x)dx
определяется следующим образом:
∫baf(x)dx:=limt→a+∫btf(x)dx.
Как обычно, предел может существовать (в этом случае говорят, что интеграл сходится), или не существовать (значит, интеграл расходится).
Пример 6. Сходится ли интеграл
∫101x2dx?
Мы уже считали интеграл от этой функции, но по другой области — по бесконечному промежутку [1,+∞) — и он сошёлся. Может быть, и в этот раз нам повезёт?
∫101x2dx=limt→0+∫1t1x2dx=limt→0+(−1x)∣∣∣1t=limt→0+(−11+1t)=+∞.
∫101x2dx=limt→0+∫1t1x2dx==limt→0+(−1x)∣∣∣1t==limt→0+(−11+1t)=+∞.
Увы, этот интеграл расходится.
Почему такая разница с функцией 1/√x? Дело в том, что √x
стремится к нулю гораздо медленнее, чем x2, и значит 1/√x
стремится к бесконечности гораздо медленнее, чем 1/x2.
Поэтому площадь
под графиком 1/√x оказывается конечной, а под графиком 1/x2 —
бесконечной.
В определении 4 вертикальная асимптота находится на левой границе отрезка интегрирования. Конечно, можно с тем же успехом определить несобственный интеграл для функции с вертикальной асимптотой на правой границе области отрезка интегрирования.
Определение 5. Пусть функция f имеет вертикальную асимптоту в точке b и для всякого t∈(a,b) функция f интегрируема по Риману на отрезке [a,t]. Несобственный интеграл
∫baf(x)dx
определяется следующим образом:
∫baf(x)dx:=limt→b−∫taf(x)dx.
А что если точка бесконечного разрыва попала куда-то внутрь нашего отрезка? Ничего страшного — просто разобьем интеграл на два.
Определение 6. Пусть функция f имеет вертикальную асимптоту в точке c∈(a,b) и
интегрируема на любой отрезке [a,t], t<c и на любом отрезке [t,b],
t>c.
Тогда
∫baf(x)dx:=∫caf(x)dx+∫bcf(x)dx,
где интегралы в правой части — несобственные. Если хотя бы один из этих двух интегралов расходится, интеграл в левой части тоже считается расходящимся.
Пример 7. Что вы можете сказать про интеграл
∫1−11xdx?
Очень хочется сказать, что он равен нулю: ведь это интеграл от нечётной функции по симметричному отрезку, и значит положительная и отрицательные площади должны взаимно уничтожиться. Однако, это не так: по определению,
∫1−11xdx:=∫0−11xdx+∫101xdx,
и оба интеграла в правой части расходятся, значит и исходный интеграл расходится. (Подробнее о том, почему это правильный подход, будет обсуждаться на семинаре.)
27.2.4Несобственные интегралы с несколькими особенностями
Каждое из определений несобственных интегралов, которые мы обсуждали,
рассматривает только одну «особенность» — бесконечный разрыв или бесконечную
границу интегрирования.
Если у интересующего нас интеграла несколько
особенностей, его следует разбить в сумму интегралов, у каждого из которых лишь
одна особенность, и воспользоваться нашими определениями.
Пример 8. Пусть у функции f бесконечные разрывы в точках 2, 5 и 7, и мы хотим посчитать от неё интеграл по всей числовой прямой. Его следует представить в таком виде:
∫∞−∞f(x)dx=∫1−∞f(x)dx+∫21f(x)dx+∫42f(x)dx+∫54f(x)dx++∫65f(x)dx+∫76f(x)dx∫107f(x)dx+∫+∞10f(x)dx.
∫∞−∞f(x)dx==∫1−∞f(x)dx+∫21f(x)dx++∫42f(x)dx+∫54f(x)dx++∫65f(x)dx+∫76f(x)dx+∫107f(x)dx+∫+∞10f(x)dx.
Каждый из получившихся интегралов — один из несобственных интегралов,
которые мы обсуждали. Промежуточные точки 1, 4, 6, 10 выбраны
произвольным образом — можно выбрать какие-то другие точки, лежаще на тех же
промежутках, от этого ничего не изменилось бы. Если хотя бы один из
интегралов в правой части расходится, значит, весь исходный интеграл тоже
расходится.
27.3Заключение
Мы вышли за пределы уютного и безопасного мира, в котором все подыинтегральные
функции непрерывны. И тут много всего интересного! Во-первых, если функция имеет
разрывы типа «скачок», и их конечное число, никаких проблем для интегрирования
это не представляет. Правда, интеграл, если думать о нём как о функции от его
верхнего предела, будет иметь изломы в точках разрывов подынтегральной функции
— но по крайней мере сам останется непрерывным. Случай бесконечных разрывов
подынтегральной функции представляет большую опасность: несобственные интегралы,
которые мы придумали специально для этого случая, существуют не всегда, иногда они сходится, а
иногда расходится. Но тут уж ничего не поделать — площадь под графиком неограниченной функции может быть бесконечной. Мы также обсудили интегралы по бесконечным промежуткам — особенно
важный для нас случай, поскольку такие интегралы сплошь и рядом встречаются в
теории вероятностей, которую вы будете проходить совсем скоро.
На этом наш краткий экскурс в теорию интегрирования заканчивается. Конечно, мы успели обсудить не всё, но фундамент заложен. Время идти дальше!
← Предыдущая глава Следующая глава →
Несобственные интегралы
Репетиторы ❯ Высшая математика ❯ Несобственные интегралы
Автор: Андрей Зварыч
●
12.06.2015
●
Раздел: Высшая математика
Сегодня я подготовил для вас подробную статью о несобственных интегралах.
Определенные интегралы , для которых отрезок [a; b] конечен, а функция f(x) – непрерывна на этом отрезке, называют собственными.
С целью обобщения понятия интеграла рассмотрим:
1) определенные интегралы от непрерывных функций, но с бесконечными пределами интегрирования;
2) определенные интегралы с конечными пределами интегрирования, но от функций, имеющих бесконечный разрыв на промежутке интегрирования. Такие определенные интегралы называют несобственными.
1. Интегралы с бесконечными пределами.
Пусть функция f(x) определена на промежутке [a; +∞) и пусть f(x) интегрирована на любом отрезке [a; b] (b> a– произвольные действительные числа).
Определение 1.1. Предел интеграла при b→+∞ называется несобственными интегралом функции f(x) от а до +∞ и обозначается символом:
Если предел (1.
1) есть конечное число, то несобственный интеграл называют сходящимся. Если предел (1.1) не существует или равен бесконечности, то несобственный интеграл называют расходящимся.
Пример 1.1. Исследовать на сходимость интеграл
Решение. Вычислим определенный интеграл
Имеем
Следовательно, заданный интеграл сходится и он равен
Из рассмотренного следует, что вопрос о сходимости (расходимости) несобственных интегралов решается с помощью первоначальной функции для подынтегральной функции. Это обстоятельство сильно сужает круг практического использования понятия несобственного интеграла. В отдельных случаях вопрос о сходимости (расхождении) несобственного интеграла можно решить, не находя первообразной для подынтегральной функции. При этом пользуются так называемыми признаками сходимости несобственных интегралов. Простейшим признаком сходимости является признак сравнения.
Теорема 1.1. Пусть для всех x ≥ a функции f(x) и g(x) определены и выполняются неравенства 0 ≤ f(x) ≤ g(x). Тогда:
Для функции f(x), непрерывной на бесконечном промежутке -∞ < x ≤ b, определяется несобственный интеграл
Для функции f(x), непрерывной на всей числовой оси, несобственный интеграл определяется равенством:
где с – произвольное действительное число.
2. Интегралы от неограниченных функций.
Пусть функция f(x) такая, что для произвольного малого ɛ>0 она определена, ограничена и интегрирована на отрезке [a+ɛ; b] и неограниченна на (a; b].
Определение 1.2. Предел определенного интеграла при ɛ→0 называется несобственным интегралом функции f(x) на отрезке [a; b] и обозначается символом
Аналогично для функции f(x), определенной, непрерывной и интегрированной на отрезке [a; b- ɛ] и неограниченной на [a; b) обозначается несобственный интеграл:
Если пределы (1.
4), (1.5) есть конечные числа, то несобственные интегралы называются сходящимися, а если эти пределы не существуют, то несобственные интегралы называются расходящимися.
В конце отметим, что для функции f(x), которая имеет на промежутке (a; b) точку с, в окрестности которой f(x) неограниченная, но является ограниченной и интегрированной на каждом из отрезков [a; c- ɛ] и [ñ + ɛ; b], интеграл определяется равенством.
Аналогично обозначается несобственный интеграл на отрезке [a; b] от функции, которая непрерывна на нем всюду, кроме конечного числа точек, и неограниченной вблизи этих точек.
Пример 1.2.Исследовать сходимость интегралов. Для сходящихся интегралов найти их значение:
Решение.
а) функция
ограничена и непрерывна, а потому и интегрируемая.
Предельное значение
существует; таким образом,
ограничена и непрерывна, но
расходится.
Пример 1.3. Исследовать сходимость интегралов. Для сходящихся интегралов найти их значение
Решение.
если α > 0, интеграл сходится; если α ≤ 0, то интеграл расходится;
если α > 1; если 0 < α ≤ 1, интеграл расходится как и при α = 1:
так и при 0 < α < 1:
Пример 1.4. Найти несобственный интеграл
Решение. Функция непрерывна при 0 ≤ x < 2 и имеет бесконечный разрыв в точке x=2, поэтому имеем
Поэтому данный интеграл сходится и равен 2√2.
Пример 1.5. Исследовать сходимость интегралы. Для сходящихся интегралов найти их значение:
Решение.
то есть, несобственный интеграл расходится
то есть, несобственный интеграл I2 сходится и равен .
Пример 1.5. Исследовать на сходимость интегралы:
Решение.
Если у Вас есть ко мне вопросы, или нужна помощь, консультация по решению несобственных интегралов, записывайтесь на мои занятия. Буду рад Вам помочь.
© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Остались вопросы?
Задайте свой вопрос и получите ответ от профессионального преподавателя.
Задать вопрос
Высшая математика
Высшая математика для студентов экономических и гуманитарных специальностей
Высшая математика
Высшая математика для студентов технических специальностей
Информатика и ИКТ
Курс ЕГЭ по информатике
Немецкий язык
Курсы немецкого языка для начинающих
Итальянский язык
Курсы итальянского языка для начинающих
Английский язык
Разговорный английский
Обществознание
Курсы по обществознанию подготовка к ГИА
Интегралы как умножение – BetterExplained
Интегралы часто описываются как нахождение площади под кривой.
Это описание слишком узкое: это все равно, что сказать, что умножение существует для нахождения площади прямоугольников. Нахождение площади является полезным приложением , но не целью умножения.
Основная идея: интегралы помогают нам комбинировать числа, когда умножение не может.
Хотел бы я провести минутку с самим собой в школьном исчислении:
“Псс! Интегралы позволяют “перемножать” изменяющиеся числа. Мы привыкли к “3 x 4 = 12”, но что, если одна величина меняется? Мы не можем умножать изменяющиеся числа, поэтому интегрируем.
Вы’ Я слышал много разговоров о площади — площадь — это просто один из способов визуализировать умножение. Ключ не в площади, а в идее объединения величин в новый результат. Конечно, мы можем интегрировать скорость и время, чтобы получить расстояние, или длину, ширину и высоту, чтобы получить объем.0005
Когда мы хотим использовать обычное умножение, но не можем, мы достаем большую пушку и интегрируем.
Площадь — это всего лишь техника визуализации , не слишком зацикливайтесь на ней. Теперь иди, изучай исчисление!”
Это мой ага-момент: интегрирование – это “лучшее умножение”, которое работает с вещами, которые изменяются. Давайте научимся видеть интегралы в этом свете. время:
- Для целых чисел (3 x 4) умножение равно повторному сложению
- С действительными числами (3,12 x $\sqrt{2}$) умножение равно масштабированию
- С отрицательными числами (-2,3 * 4,3) умножение равно с переворотом и масштабированием
- С комплексными числами (3 * 3i) умножение равно вращению и масштабированию
Мы движемся к общему понятию «применения» одного числа к другому, и свойства, которые мы применяем (повторяющийся счет, масштабирование, переворачивание или вращение), могут различаться. Интеграция — еще один шаг на этом пути.
Понимание области
Область — это детальная тема.
На сегодня давайте рассмотрим площадь как визуальное представление умножения :
С каждым счетом на другой оси мы можем «применить их» (3 применительно к 4) и получить результат (12 квадратных единиц). Свойства каждого входа (длина и длина) переносились в результат (квадратные единицы).
Просто, правда? Ну, становится сложно. Умножение может привести к «отрицательной области» (3 x (-4) = -12), которой не существует.
Мы понимаем, что граф представляет собой представление умножения, и используем аналогию так, как она нам служит. Если бы все были слепы и у нас не было диаграмм, мы все равно могли бы прекрасно умножать. Площадь — это просто интерпретация.
Умножение по частям
Теперь давайте умножим 3 x 4,5:
Что происходит? Ну, 4,5 не считается, но мы можем использовать операцию «по частям». Если 3×4 = 3 + 3 + 3 + 3, то
3 x 4,5 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3×0,5 = 3 + 3 + 3 + 3 + 1,5 = 13,5
Берем 3 (значение) 4,5 раза.
То есть мы объединили 3 с 4 целыми отрезками (3 х 4 = 12) и одним неполным отрезком (3 х 0,5 = 1,5).
Мы так привыкли к умножению, что забыли, насколько хорошо оно работает. Мы можем разбить число на части (целые и частичные), умножить каждую часть и сложить результаты. Заметили, как мы поступили с дробной частью? Это начало интеграции.
Проблема с числами
Числа не всегда остаются на месте, чтобы мы могли их подсчитать. Сценарии типа «Вы едете со скоростью 30 миль в час в течение 3 часов» предназначены для удобства, а не для реализма.
Формулы типа “расстояние = скорость * время” только маскируют проблему; нам все еще нужно подключить статические числа и умножить. Так как же нам найти пройденное расстояние, если наша скорость меняется со временем?
Описание изменения
Наша первая задача — описать изменяющееся число. Мы не можем просто сказать: «Моя скорость изменилась с 0 до 30 миль в час». Это недостаточно конкретно: как быстро это меняется? Это гладко?
Теперь давайте конкретнее: каждую секунду я еду в два раза быстрее, чем в милях в час.
В 1 секунду я еду 2 мили в час. 2 секунды, 4 мили в час. 3 секунды это 6 миль в час, и так далее:
Вот это хорошее описание, достаточно подробное, чтобы знать мою скорость в любой момент. Формальное описание: «скорость есть функция времени», что означает, что мы можем подключить любое время (t) и найти нашу скорость в этот момент («2t» миль в час).
(Это не говорит , почему скорость и время связаны. Возможно, я ускоряюсь из-за гравитации или из-за того, что меня тянет лама. Мы просто говорим, что с изменением времени меняется и наша скорость.)
Итак, наше умножение «расстояние = скорость * время», пожалуй, лучше записать:
где скорость(t) это скорость в любой момент. В нашем случае скорость(t) = 2t, поэтому мы пишем:
Но это уравнение все равно выглядит странно! «t» по-прежнему выглядит как одно мгновение, которое нам нужно выбрать (например, t = 3 секунды), что означает, что скорость (t) примет одно значение (6 миль в час).
Это не хорошо.
При обычном умножении мы можем взять одну скорость и предположить, что она справедлива для всего прямоугольника. Но изменяющаяся скорость требует от нас объединения скорости и времени по частям (посекундно). Ведь каждое мгновение могло быть разным.
Это большой сдвиг перспективы:
- Обычное умножение (прямоугольное): возьмите расстояние, пройденное за одну секунду, предположим, что оно одинаково для всех секунд, и «увеличьте его».
- Интеграция (по частям): смотрите на время как на серию мгновений, каждое из которых имеет свою собственную скорость. Сложите расстояние, пройденное за секунду за секундой.
Мы видим, что регулярное умножение является частным случаем интегрирования, когда величины не меняются.
Насколько велик “кусок”?
Насколько велик “кусок” при сборке по частям? Второй? Миллисекунда? Наносекунда?
Быстрый ответ: Достаточно мало, чтобы значение выглядело одинаково на протяжении всего времени.
Нам не нужна идеальная точность.
Более длинный ответ: такие понятия, как пределы, были изобретены, чтобы помочь нам выполнять кусочное умножение. Хотя они и полезны, они представляют собой решение проблемы и могут отвлечь от понимания «объединения вещей». Меня беспокоит, что ограничения вводятся в самом начале исчисления, до того, как мы понимаем проблему, для решения которой они были созданы (например, показать кому-то ремень безопасности еще до того, как он увидит машину). Конечно, это полезная идея, но Ньютон, похоже, довольно хорошо разбирался в исчислении и без них.
Что насчет начала и конца?
Допустим, мы рассматриваем интервал от 3 до 4 секунд.
Скорость в начале (3×2 = 6 миль в час) отличается от скорости в конце (4×2 = 8 миль в час). Итак, какое значение мы используем, когда делаем «скорость * время»?
Ответ заключается в том, что мы разбиваем наши фрагменты на достаточно маленькие фрагменты (от 3,00000 до 3,00001 секунды) до тех пор, пока разница в скорости в начале и в конце интервала не будет иметь для нас значения.
Опять же, это более длинная дискуссия, но «поверьте мне», что есть период времени, который делает разницу бессмысленной.
На графике представьте каждый интервал как одну точку на линии. Вы можете нарисовать прямую линию для каждой скорости, и ваша «площадь» будет набором линий, которые измеряют умножение.
Где находится “кусок” и какова его стоимость?
Отделить часть от ее значения было для меня проблемой.
“Кусок” – это рассматриваемый нами интервал (1 секунда, 1 миллисекунда, 1 наносекунда). «Позиция» — это место, где начинается этот секундный, миллисекундный или наносекундный интервал. Значение — это наша скорость в этой позиции.
Например, рассмотрим интервал от 3,0 до 4,0 секунд:
- “Ширина” отрезка времени составляет 1,0 секунды
- Позиция (начальное время) 3.0
- Значение (скорость(t)) равно скорости(3,0) = 6,0 миль в час
Опять же, исчисление позволяет нам сжимать интервал до тех пор, пока мы не сможем определить разницу в скорости в начале и в конце интервала.
Следите за более широкой картиной: мы умножаем коллекцию кусочков.
Понимание целочисленного представления
У нас есть неплохое представление о “кусочном умножении”, но мы не можем его выразить. «Расстояние = скорость (t) * t» по-прежнему выглядит как обычное уравнение, где t и скорость (t) принимают одно значение.
В исчислении мы записываем соотношение следующим образом:
Знак интеграла (кривая в форме буквы S) означает, что мы умножаем вещи по частям и складываем их вместе.
dt представляет конкретный «кусок» времени, который мы рассматриваем. Это называется «дельта t», а не «d умножить на t».
t представляет положение dt (если dt — это диапазон от 3,0 до 4,0, t равно 3,0).
скорость(t) представляет значение, на которое мы умножаем (скорость(3.0) = 6.0))
У меня есть несколько претензий к этому обозначению:
- То, как используются буквы, сбивает с толку.
«dt» выглядит как «d, умноженное на t», в отличие от всех уравнений, которые вы видели ранее. - Пишем скорость(t) * dt вместо скорости(t_dt) * dt. Последнее дает понять, что мы рассматриваем «t» в нашем конкретном фрагменте «dt», а не в какой-то глобальной «t» 9.0034
- Вы часто будете видеть $\int speed(t)$ с неявным dt. Это позволяет легко забыть, что мы выполняем пошаговое умножение на два элемента .
«dt» выглядит как «d, умноженное на t», в отличие от всех уравнений, которые вы видели ранее.Слишком поздно менять способ записи интегралов. Просто помните концепцию более высокого уровня «умножения» того, что изменяется.
Чтение в голове
Когда я вижу
, я думаю: «Расстояние равно скорости, умноженной на время» (читая сначала левую часть) или «объединить скорость и время, чтобы получить расстояние» (читая правую часть). первый).
Я мысленно перевожу “скорость(t)” в скорость и “dt” во время, и получается умножение, помня, что скорость может меняться. Такое абстрагирование интеграции помогает мне сосредоточиться на том, что происходит («Мы комбинируем скорость и время, чтобы увеличить расстояние!»), а не на деталях операции.
Бонус: последующие идеи
Интегралы — это глубокая идея, как и умножение. У вас могут возникнуть дополнительные вопросы, основанные на этой аналогии:
- Если интегралы умножают изменяющиеся величины, есть ли что-то, что их делит? (Да — производные)
- А интегралы (умножение) и производные (деление) сокращаются? (Да, с некоторыми оговорками).
- Можем ли мы изменить уравнения с «расстояние = скорость * время» на «скорость = расстояние/время»? (Да.)
- Можем ли мы объединить несколько изменяющихся вещей? (Да — это называется множественной интеграцией)
- Имеет ли значение порядок, в котором мы объединяем несколько вещей? (обычно нет)
Когда вы начинаете рассматривать интегралы как «лучшее умножение», вы начинаете искать такие понятия, как «лучшее деление», «повторное интегрирование» и так далее. Придерживаясь «области под кривой», эти темы кажутся несвязанными. (Для ботаников-математиков, рассматривающих «площадь под кривой» и «наклон» как обратные величины, это многого требует от студента).
Чтение интегралов
Интегралы имеют множество применений. Один из них — объяснить, что две вещи «умножаются» вместе, чтобы получить результат.
Вот как можно выразить площадь круга:
Мы хотели бы получить площадь круга с помощью умножения. Но мы не можем — высота меняется по ходу движения. Если мы «развернём» круг, мы увидим, что площадь, вносимая каждой частью радиуса, равна «радиус * длина окружности». Мы можем записать это соотношение, используя приведенный выше интеграл. (Подробнее см. Введение в исчисление).
А вот и интеграл, выражающий идею “масса = плотность * объем”:
О чем это говорит? Rho: $\rho$ — это функция плотности, говорящая нам, насколько плотен материал в определенном положении, r. dv — это бит объема, на который мы смотрим. Итак, мы умножаем небольшую часть объема (dv) на плотность в этой позиции $\rho(r)$ и складываем их все, чтобы получить массу.
Мы хотели бы умножить плотность и объем, но если плотность меняется, нам нужно интегрировать.
Нижний индекс V означает сокращение от «интеграла объема», который на самом деле представляет собой тройной интеграл длины, ширины и высоты! Интеграл включает четыре «умножения»: 3 для нахождения объема и еще одно для умножения на плотность.
Возможно, мы не решим эти уравнения, но мы можем понять, что они выражают.
Вперед вверх
Сегодняшняя цель не в том, чтобы строго понять исчисление. Это чтобы расширить нашу ментальную модель и понять, что есть другой способ комбинировать вещи: мы можем складывать, вычитать, умножать, делить… и объединять.
Воспринимайте интегралы как лучший способ умножения: вычисления станут проще, и вы будете знать такие понятия, как множественные интегралы и производная. Счастливая математика.
(PS. Зак из SMBC поместил себя в… ммм… комикс об этой интуиции.)
.. = 1Интегральное значение, определение и функция
Исследуйте интегралы
О боже. Интегралы . Исчисление было недостаточно сложным… теперь у нас есть и эти большие закрученные линии?!
Если это то, что сейчас крутится у вас в голове, вы можете остановить эти мысли на ходу. Интегральное исчисление на самом деле не так страшно, как кажется!
Как только мы действительно углубимся в это, вы даже можете подумать, что интегралы — осмелимся сказать — крутые ?
Есть только один способ узнать! Давайте начнем.
Что такое интеграл?
В зависимости от того, на каком этапе обучения вы находитесь, интеграл может представлять собой ответ на несколько разных вопросов.
По своей сути в исчислении интегрирование помогает найти антипроизводную функции; другими словами, нахождение интеграла является обратным нахождением производной.
По мере прохождения уроков по математике вы увидите, что существуют различные типы интегралов, в том числе:
- Неопределенные интегралы
- Определенные интегралы
- Несобственные интегралы
Процесс нахождения интеграла называется «интегрированием», поэтому интеграл также можно рассматривать как результат интегрирования. Существует несколько способов вычисления интегралов, таких как метод подстановки или частичное интегрирование.
Поскольку интегрирование является обратным дифференцированию, интегралы легче понять, если вы уже хорошо разбираетесь в производных. Если вам все еще нужна небольшая помощь в сборке деталей, мы можем сначала помочь вам с деривативами!
Определение интеграла
Как мы уже упоминали, существует несколько различных типов интегралов.
Это означает, что у нас также будет несколько разных определений.
Вот интегральные определения, которые вам, вероятно, понадобятся (и будут использоваться!) больше всего:
| Интегральный тип | Что это? | Как это может выглядеть? |
|---|---|---|
| Неопределенный интеграл | Все антипроизводные функции | $${\int f(x) dx = F(x) + C}$$ |
| Несобственный интеграл | $$\text{Если } f \text{ непрерывно на } [a,b\rangle \text{ и разрывно на } b\text{, то интеграл от } f \text{ по } [a,b\ rangle \text{ является неправильным}$$ 9{b}{f(x,y)~dx~dy}$$ |
Интеграл функции
Поскольку мы сосредоточены на интегральном исчислении, нахождение интеграла функции действительно находится в центре нашего обсуждения. Это основа для всех тех различных типов интегралов и методов, которые мы упоминали ранее.
В зависимости от задачи найти интеграл функции можно несколькими способами:
- Подстановка
- Частичная интеграция
- Интеграция функций абсолютного значения
- Интеграция четных и нечетных функций
У вас есть конкретная проблема? Отсканируйте его с помощью приложения Photomath, чтобы узнать, как найти интеграл в этом конкретном сценарии.
Значение интегралов
Мы рассмотрели все определения и предысторию, но что все это на самом деле означает? Опять же, это зависит от контекста задачи, но интеграл может сказать вам:
- Площадь под кривой на графике
- Область между частью функции и осью $$x$$
- Объем воды в ванне в зависимости от расхода воды из крана
- Центр масс транспортного средства для точной настройки его функций безопасности
- Лучший способ создать 3D-модель
Чем больше вы думаете об этом, тем больше вы начнете видеть вокруг себя все интересные и важные применения интегралов! 9{2}}{2}dx$$
$$a$$ и $$b$$ (или $$-1$$ и $$1$$) — это пределы интегрирования, определяющие интервал, к которому мы ограничены.
В математических терминах мы бы описали определенный интеграл как «интеграл функции $$f(x)$$ по переменной $$x$$ на интервале $$[a, b]$$ ».
Если вы просто посмотрите на все эти математические описания или выражения сразу, это может быть немного ошеломляющим.
Разве не легче, когда вы смотрите на каждую часть в отдельности?
Знак интеграла
Эта волнистая, закрученная, изогнутая линия является признаком интеграла, поэтому, когда вы видите ∫ на странице, вы знаете, что имеете дело с интегралом!
Забавный факт: форма знака интеграла на самом деле представляет собой вытянутую букву «S», обозначающую «сумма» (это римская ∫ вместо греческой ∑). «S» для «суммы» основан на идее добавления площади срезов под кривой — чем на большее количество срезов вы разделите всю площадь под кривой, тем более точную сумму вы получите. Интеграл является наиболее точным, потому что «столбцы» срезов становятся бесконечно тонкими. Так круто!
∫
Просто нужно быстро скопировать и вставить сам знак интеграла? Вот: ∫
Вы также можете использовать эти сочетания клавиш!
- iOS: [Опция] + [B]
- Windows: [Alt] + 8747
Интеграл от dx
В структуре интеграла вы увидите ∫, за которым следует подынтегральная функция, а затем «$$dx$$» в виде точки в конце предложения, например:
$${\int f(x) dx}$$
Этот $$dx$$, известный как дифференциал, говорит нам, что $$x$$ является переменной интегрирования.
2(2x+1)dx$$: 9{2x})dx$$
Застряли? Это нормально! Сделайте глубокий вдох и используйте приложение Photomath, чтобы отсканировать проблему, которая доставляет вам неприятности. Мы проведем вас через каждый шаг в удобном для вас темпе и настолько подробно, насколько вам нужно. Никогда не забывайте: вы не одиноки!
Вот как мы решаем первую практическую задачу в приложении:
/
FAQ
Каково правило для интегралов?
Существует множество различных правил и свойств для интегралов, в том числе:
| Постоянное кратное свойство интегралов | $$\int{(c\times f(x))}dx=c\times \int{f(x)}dx$$ |
| Правило сумм для интегралов | $$\int{(f(x) + g(x))}dx=\int{f(x)}dx + \int{g(x)}dx$$ 9{\ простое число} (т) dt = \ int {f (x)} dx $ $ |
| Сборка по частям | $$\int{u}dv=uv-\int{v}du$$ |
Какие бывают два типа интегралов?
Существует несколько различных видов интегралов, но два основных типа — это определенные и неопределенные интегралы.