Интегралы как решать примеры: Интегралы: задачи, примеры, решения

Интегрирование по частям

Интегральное исчисление — сложная методика определения первичного вида функций (первообразной), обратная дифференцированию. Но, в отличие от дифференциала, найти интеграл сложнее. Если перед вами табличные интегралы, то можно воспользоваться готовыми формулами и решениями. Но так бывает не всегда. Например, для интегрирования сложных функций таблица не подходит. Вернее подходит, но в том случае, когда сложную функцию можно разложить определенным образом на составные части. Это только один из методов, который называется интегрирование по частям.

Часто использование методе приводит к появлению одного, или даже двух табличных функций. Именно для этого и используют метод. Чтобы использовать формулу, необходимо выучить таблицу интегралов, она не слишком объемна и вполне доступна для запоминания. Зачем учить? На экзамене или контрольной не всегда найдется учебник под рукой, или шпаргалка, где можно подсмотреть. В этом случае разложение интеграла по частям может оказаться бесполезным, вы просто остановитесь на полдороге.

Иногда у учеников и студентов возникает вопрос, что обозначает символ dx? Это наиболее элементарное понятие, которое нужно усвоить. Символ под знаком d показывает, какая из величин в выражении считается переменной для интегрирования. В случае dv интегрирование ведется по переменной v, даже если это функция, если du – то по u.

Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле используется в том случае, когда базовую подынтегральную функцию можно представить, как производную двух функций, u ∙v. Например, x sin x dx. Это произведение двух функций y=x и y= sin x. Именно на этом примере будем рассматривать, как происходит интегрирование по частям. Но сначала выведем формулу, которая используется для этого действия.

Для того чтобы понять суть выражения, необходимо вспомнить базовые правила интегрирования. Вспомним, что дифференциал произведения функций определяется по стандартной формуле:

     1. d(uv) = udv + vdu.

Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен самой функции:

     2. d ( ∫ f (x) dx ) = f (x) dx.

Также припомним табличные интегралы для функций нашего примера:

и

Допустим, что произведение uv — это дифференциал некой первообразной функции, которую нам предстоит найти. Воспользуемся выражениями 1 и 2 и проинтегрируем произведение наших функций:

uv = ∫ udv +  ∫vdu, или, поменяв слагаемые местами, или:∫ udv = uv — ∫vdu.

    3. ∫ udv = uv — ∫vdu.

Это и есть основная формула интегрирования по частям в неопределенном интеграле, которой мы будем пользоваться в дальнейшем.

Интегрирование — процесс творческий и не всегда строго регламентированный. В каждом сложном случае нужно искать свои пути решения. Но базовая формула всегда одна и та же. Рассмотрим, как проинтегрировать нашу функцию, которая приведена выше. Попробуем найти интеграл ∫ x sin x dx.

Распишем выражение, согласно формуле 3:

4. ∫ x sin x dx = — x cos x + ∫ cos x dx. Примем, что х, это u, а — cos x — это v.

Внимательно посмотрев на запись, увидим, что выражение 3 полностью соответствует нашей записи под номером 4.

Но это только половина дела. Дальше интегрируем каждую часть выражения отдельно. Получаем:

— x cos x = — x cos x;

∫ cos x dx = sin x +С.

Результат запишем так — ∫ x sin x dx =  -x cos x + sin x + C.

Просто? Если понять суть метода, правильно расписать сложную функцию в виде произведения более простых и уметь пользоваться  таблицей интегралов, то задания на неопределенный интеграл не покажутся особенно сложными.

Таблица неопределённых интегралов.

В каждом случае интегрирования по частям придется пользоваться данными этой таблицы. Лучше всего выучить ее и запомнить. Это сильно упростит работу по интегрированию.

Рассмотрим еще пример, более сложный, в котором интегрировать по частям нужно дважды:

Найти ∫x²cosxdx

Представим: u=x² , dv=cosxdx, v=sinx, du=2xdx. Правильность хода решения во многом зависит от правильного выбора u и v.

Воспользуемся нашим выбором и запишем:

∫x²cosxdx = x²sinx−∫sinx⋅²xdx = x²sinx−2∫xsinxdx

Как видим, выражение не сильно упростились, одно из слагаемых все еще является интегралом произведения функций. Изменим обозначения:

u=x, du=dx, v=−cosx, dv=sinxdx

после подстановок и преобразований  получим:

x²sinx−2(x⋅(−cos)x−∫(−cosx)dx) = x²sinx+2xcosx−2∫cosxdx = x²sinx+2xcosx−2sinx+C = (x²−1)sinx+2xcosx+C. Это и есть решение нашей задачи, то есть, первообразная функции x²cosx.

Метод довольно сложный для использования, но много задач не получится решить по- другому. Чтобы освоить его необходимо много практиковаться. Для начала берите самые простые примеры, постепенно усложняя задания. Так получится и освоить интегрирование по частям, и выучить таблицу более простых неопределенных интегралов.

 

 

Интегралы в физике как понять

Видеоурок: Применение интегралов в физике и математике

Лекция: Примеры применения интеграла в физике и геометрии

Процесс нахождение первообразной называется интегрированием.

Как и производная, интегралы используются и в физике, и в геометрии, а также в других областях знаний.

Сегодня же мы рассмотрим, каким образом используется интегрирование в физике и геометрии.

Итак, начнем сначала. Мы помним, что скорость – это первая производная перемещения. Но так как мы знаем, что интегрирование и нахождение производной – это два взаимообратных процесса, то мы можем предполагать, что, если для нахождения скорости, нужно было найти производную от перемещения, то для нахождения перемещения по скорости, необходимо произвести интегрирование заданной функции.

Отсюда можно сделать вывод, что перемещение за ограниченный интервал времени – это определенный интеграл скорости по времени:

Пример: Итак, предположим, что некоторое тело двигается со скоростью, заданной функцией:

По условию задачи мы должны определить путь, который пройдет тело за промежуток времени [0;1].

Итак, найдем определенный интеграл данной функции:

Это означает, что за данный промежуток времени, тело прошло 1,3(3) м.

Точно так же можно найти скорость по заданной функции ускорения.

Еще одной физической величиной, которая находится с помощью интегрирования, является работа.

Для нахождения работы необходимо найти определенный интеграл функции силы по перемещению:

Пример: Предположим, что к некоторому телу для его передвижения прикладывают силу, которая изменяется по закону F(x) = x +3. Необходимо найти работу, которую при этом совершает сила для перемещения тела с 1 м до 2 м.

Для нахождения работы следует найти определенный интеграл заданной функции по известным пределам интегрирования:

Это значит, что для передвижения тела потребовалось совершить работу, равную 4,5 Дж энергии.

Кроме рассматриваемых задач, интегрирование в физике используется для нахождения работы по мощности, массы по плотности, заряда по силе тока, количества теплоты по известной теплоемкости, а также многое другое.

Что же касается геометрии, то геометрическим смыслом интегрирования считается нахождение площади фигуры под графиком.

Итак, чтобы найти площадь фигуры, которая ограничена с двух сторон пределами интегрирования и с одной стороны графиком функции, то необходимо найти интеграл данной функции:

Пример: Вычислим площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = 4х – х 2 на пределах рассмотрения х = 0, х = 4.

Итак, найдем интеграл данной функции в заданных пределах и построим полученный график:

За 4 минуты вы узнаете, что такое интегрирование. Как интеграл связан с производными. Чем отличается определенный интеграл от неопределенного. 5 примеров вычисления интегралов

Почему вы не знаете, как решать интегралы

А для чего нужны интегралы? Попробуйте сами себе ответить на этот вопрос.

Объясняя тему интегралов, учителя перечисляют малополезные школьным умам области применения. Среди них:

• вычисление площади фигуры.
• вычисление массы тела с неравномерной плотностью.
• определение пройденного пути при движении с непостоянной скоростью.
• и др.

Связать все эти процессы не всегда получается, поэтому многие ученики путаются, даже при наличии всех базовых знаний для понимания интеграла.

Главная причина незнания – отсутствие понимания практической значимости интегралов.

Интеграл – что это?

Предпосылки. Потребность в интегрировании возникла в Древней Греции. В то время Архимед начал применять для нахождения площади окружности методы, похожие по сути на современные интегральные исчисления. Основным подходом для определения площади неровных фигур тогда был «Метод исчерпывания», который достаточно лёгок для понимания.

Суть метода. В данную фигуру вписывается монотонная последовательность других фигур, а затем вычисляется предел последовательности их площадей. Этот предел и принимался за площадь данной фигуры.

Метод исчерпывания для определения площади круга

В этом методе легко прослеживается идея интегрального исчисления, которая заключается в нахождении предела бесконечной суммы. В дальнейшем эта идея применялась учёными для решения прикладных задач астронавтики, экономики, механики и др.

Современный интеграл. Классическая теория интегрирования была сформулирована в общем виде Ньютоном и Лейбницем. Она опиралась на существовавшие тогда законы дифференциального исчисления. Для её понимания, необходимо иметь некоторые базовые знания, которые помогут математическим языком описать визуальные и интуитивные представления об интегралах.

Объясняем понятие «Интеграл»

Процесс нахождения производной называется дифференцированием, а нахождение первообразной – интегрированием.

Интеграл математическим языком – это первообразная функции (то, что было до производной) + константа «C».

Интеграл простыми словами – это площадь криволинейной фигуры. Неопределенный интеграл – вся площадь. Определенный интеграл – площадь в заданном участке.

Интеграл записывается так:

Каждая подынтегральная функция умножается на компонент «dx». Он показывает, по какой переменной осуществляется интегрирование. «dx» – это приращение аргумента. Вместо X может быть любой другой аргумент, например t (время).

Неопределённый интеграл

Неопределенный интеграл не имеет границ интегрирования.

Для решения неопределённых интегралов достаточно найти первообразную подынтегральной функции и прибавить к ней «C».

Определённый интеграл

В определенном интеграле на знаке интегрирования пишут ограничения «a» и «b». Они указаны на оси X в графике ниже.

Точки A и B на оси X – есть ограничение зоны определения интеграла

Для вычисления определенного интеграла необходимо найти первообразную, подставить в неё значения «a» и «b» и найти разность. В математике это называется формулой Ньютона-Лейбница:

Таблица интегралов для студентов (основные формулы)

Скачайте формулы интегралов, они вам еще пригодятся

Как вычислять интеграл правильно

Существует несколько простейших операций для преобразования интегралов. Вот основные из них:

Вынесение константы из-под знака интеграла

Разложение интеграла суммы на сумму интегралов

Если поменять местами a и b, знак изменится

Можно разбить интеграл на промежутки следующим образом

Это простейшие свойства, на основе которых потом будут формулироваться более сложные теоремы и методы исчисления.

Примеры вычисления интегралов

Решение неопределенного интеграла

Решение определенного интеграла

Базовые понятия для понимания темы

Чтобы вы поняли суть интегрирования и не закрыли страницу от непонимания, мы объясним ряд базовых понятий. Что такое функция, производная, предел и первообразная.

Функция – правило, по которому все элементы из одного множества соотносятся со всеми элементами из другого.

Производная – функция, описывающая скорость изменения другой функции в каждой конкретной точке. Если говорить строгим языком, – это предел отношения приращения функции к приращению аргумента. Он вычисляется вручную, но проще использовать таблицу производных, в которой собрано большинство стандартных функций.

Приращение – количественное изменение функции при некотором изменении аргумента.

Предел – величина, к которой стремиться значение функции, при стремлении аргумента к определённому значению.

Пример предела: допустим при X равном 1, Y будет равно 2. Но что, если X не равен 1, а стремится к 1, то есть никогда её не достигает? В этом случае y никогда не достигнет 2, а будет только стремиться к этой величине. На математическом языке это записывается так: limY(X), при X –> 1 = 2. Читается: предел функции Y(X), при x стремящемся к 1, равен 2.

Как уже было сказано, производная – это функция, описывающая другую функцию. Изначальная функция может быть производной для какой-либо другой функции. Эта другая функция называется первообразной.

Заключение

Найти интегралы не трудно. Если вы не поняли, как это делать, прочитайте статью еще раз. Со второго раза становится понятнее. Запомните! Решение интегралов сводится к простым преобразованиям подынтегральной функции и поиска её в таблице интегралов.

Если текстовое объяснение вам не заходит, посмотрите видео о смысле интеграла и производной:

Решение интегралов – задача легкая, но только для избранных. Эта статья для тех, кто хочет научиться понимать интегралы, но не знает о них ничего или почти ничего. Интеграл. Зачем он нужен? Как его вычислять? Что такое определенный и неопределенный интегралы?

Если единственное известное вам применение интеграла – доставать крючком в форме значка интеграла что-то полезное из труднодоступных мест, тогда добро пожаловать! Узнайте, как решать простейшие и другие интегралы и почему без этого никак нельзя обойтись в математике.

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Изучаем понятие « интеграл »

Интегрирование было известно еще в Древнем Египте. Конечно, не в современном виде, но все же. С тех пор математики написали очень много книг по этой теме. Особенно отличились Ньютон и Лейбниц, но суть вещей не изменилась.

Как понять интегралы с нуля? Никак! Для понимания этой темы все равно понадобятся базовые знания основ математического анализа. Сведения о пределах и производных, необходимые и для понимания интегралов, уже есть у нас в блоге.

Неопределенный интеграл

Пусть у нас есть какая-то функция f(x).

Неопределенным интегралом функции f(x) называется такая функция F(x), производная которой равна функции f(x).

Другими словами интеграл – это производная наоборот или первообразная. Кстати, о том, как вычислять производные, читайте в нашей статье.

Первообразная существует для всех непрерывных функций. Также к первообразной часто прибавляют знак константы, так как производные функций, различающихся на константу, совпадают. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.

Простой пример:

Чтобы постоянно не высчитывать первообразные элементарных функций, их удобно свести в таблицу и пользоваться уже готовыми значениями.

Полная таблица интегралов для студентов

Определенный интеграл

Имея дело с понятием интеграла, мы имеем дело с бесконечно малыми величинами. Интеграл поможет вычислить площадь фигуры, массу неоднородного тела, пройденный при неравномерном движении путь и многое другое. Следует помнить, что интеграл – это сумма бесконечно большого количества бесконечно малых слагаемых.

В качестве примера представим себе график какой-нибудь функции.

Как найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции? С помощью интеграла! Разобьем криволинейную трапецию, ограниченную осями координат и графиком функции, на бесконечно малые отрезки. Таким образом фигура окажется разделена на тонкие столбики. Сумма площадей столбиков и будет составлять площадь трапеции. Но помните, что такое вычисление даст примерный результат. Однако чем меньше и уже будут отрезки, тем точнее будет вычисление. Если мы уменьшим их до такой степени, что длина будет стремиться к нулю, то сумма площадей отрезков будет стремиться к площади фигуры. Это и есть определенный интеграл, который записывается так:

Точки а и b называются пределами интегрирования.

Бари Алибасов и группа

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Правила вычисления интегралов для чайников

Свойства неопределенного интеграла

Как решить неопределенный интеграл? Здесь мы рассмотрим свойства неопределенного интеграла, которые пригодятся при решении примеров.

• Производная от интеграла равна подынтегральной функции:

• Константу можно выносить из-под знака интеграла:

• Интеграл от суммы равен сумме интегралов. Верно также для разности:

Свойства определенного интеграла

• Линейность:

• Знак интеграла изменяется, если поменять местами пределы интегрирования:

• При любых точках a, b и с:

Как считать определенный интеграл? С помощью формулы Ньютона-Лейбница.

Мы уже выяснили, что определенный интеграл – это предел суммы. Но как получить конкретное значение при решении примера? Для этого существует формула Ньютона-Лейбница:

Примеры решения интегралов

Ниже рассмотрим неопределенный интеграл и примеры с решением. Предлагаем самостоятельно разобраться в тонкостях решения, а если что-то непонятно, задавайте вопросы в комментариях.

Для закрепления материала посмотрите видео о том, как решаются интегралы на практике. Не отчаиваетесь, если интеграл не дается сразу. Обратитесь в профессиональный сервис для студентов, и любой тройной или криволинейный интеграл по замкнутой поверхности станет вам по силам.

Решение интегралов подстановкой — исчисление 2

Все ресурсы исчисления 2

9 Диагностические тесты 308 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept

← Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Следующая →

Исчисление 2 Помощь » Интегралы » Нахождение интегралов » Решение интегралов подстановкой

Решите следующий интеграл.

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы решить эту проблему, нам нужно использовать u-подстановку. Ключ к пониманию этого заключается в том, чтобы заметить, что у нас есть и термин, и термин, и что гипотетически, если бы мы могли взять производное от термина, это могло бы аннулировать термин. Давайте посмотрим поближе.

Давайте выберем, кем в этой задаче быть. Нам потребуется вычислить термин, поскольку мы переключаемся с переменной x на переменную u.

Давайте вернемся к исходной задаче и начнем делать замены.

Обратите внимание на то, что x уравновешиваются, оставляя нам интеграл с полностью переменной u.

Это хороший простой интеграл, который дает

. Теперь все, что нам нужно сделать, это заменить это u на исходную переменную.

 

Сообщить об ошибке

Оценка:  

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Проблема заключается в вопросе на U-подстановку. Термин  может быть нелегко увидеть, но термин  должен равняться .

Разложите знаменатель на множители, приняв  в качестве общего множителя.

Перепишите интеграл.

Замена .

Сообщить об ошибке

Что такое Объяснение:

Хотя интеграл может показаться сложным, мы видим возможную связь между полиномом экспоненты и полиномом перед экспонентой.

Давайте составим наши

Теперь давайте посмотрим исходный интеграл, чтобы сделать замены.

.

На первый взгляд может показаться, что ничто не аннулируется, но при ближайшем рассмотрении мы видим, что термин можно упростить до , который теперь может сокращаться со знаменателем.

 это наш новый интеграл, который просто приводит к

. Теперь замените u на то, что у нас было раньше.

Сообщить об ошибке. Объяснение:

Для оценки используйте U-подстановку.

Пусть , что также означает . Возьми производную и найди.

Перепишем интеграл через и и разделим на два интеграла.

Вычислите два интеграла.

Замена.

Вытяните общий множитель .

 

Сообщить об ошибке

Решите следующий интеграл: 

.

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы решить эту проблему, мы должны использовать -подстановку.

Потому что мы должны позволить, чтобы можно было отменить.

Теперь мы можем изменить наш интеграл на .

Мы это знаем, значит, что означает.

Мы можем заменить это на на в интеграле, чтобы получить .

Можно отменить, чтобы получить.

Пределы интеграла были опущены, потому что теперь интеграл относится к , поэтому пределы изменились. Теперь этот интеграл можно решить с помощью степенного правила 9.0005

который даст вам .

Теперь мы можем подставить обратно вместо получить. Теперь мы можем вернуть наши ограничения и оценить, потому что мы снова находимся в терминах   , а это то, к чему относились наши первоначальные ограничения.

  

СОВЕТ: при выполнении -подстановки не используйте ограничения, пока не перейдете к исходной переменной.

Сообщить об ошибке

Решите следующий интеграл.

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Здесь мы можем использовать u-подстановку. Мы установим и вынесем за пределы интеграла.

Теперь посчитаем

И найдем dx.

.

Подставляя эти значения в интеграл, мы получаем

.

Теперь мы видим, что s сокращаются, и у нас остается интеграл целиком с u.

.

Нам просто нужно заменить u его исходным значением, это приведет к нашему окончательному решению.

Сообщить об ошибке

Решите следующий неопределенный интеграл:

Возможные ответы:

Правильный ответ:

6 Пояснение:

Чтобы решить следующий интеграл, мы должны сделать замену, чтобы получить следующую общую форму:

Мы делаем следующую замену:

Производная была найдена по следующему правилу:

Теперь интеграл выглядит так:

Обратите внимание, что он имеет ту же форму, что и интеграл, который нам нужен.

Теперь используйте форму выше, чтобы интегрировать:

Чтобы закончить задачу, замените u на 2x:

.

Сообщить об ошибке

Упростите следующий неопределенный интеграл.

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Мы можем упростить

 

, сначала выполнив замену на , что дает нам , что означает, что . Таким образом, интеграл становится равным

. Интеграл можно решить с помощью двух интегрирований по частям, что даст нам

Итак, теперь мы просто вставляем в и получаем

Сообщаем об ошибке Вычислить интеграл

05

5 :  

Возможные ответы:

Правильный ответ:

 

Объяснение:

Вытяните константу перед интегралом.

Используйте U-подстановку для решения.

Отчет о ошибке

Решите следующую непрекращающуюся интеграл:

Возможные ответы:

Правильный ответ:

9005

669 . Правильный ответ:

9005

66669 . Объяснение:

Интеграл можно решить с умной заменой:

Производная находилась по следующим правилам:

,

Тогда, переписывая интеграл через u, получаем:

Интегрирование проводилось по следующему правилу:

Наконец, замените u нашим первоначальным термином.

Сообщить об ошибке

← Назад 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 След.0003

9 Диагностические тесты 308 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept

исчисление – Примеры “сложных” интегралов с помощью ряда легче решить?

спросил

8 лет, 7 месяцев назад

Изменено 8 лет, 7 месяцев назад

Просмотрено 613 раз 9{m}\ dx = \frac{1}{m + 1}$$

было использовано.