примеры решения интегралов
Интеграл функции является основным понятием интегрального исчисления. Интеграл широко используется при решении целого ряда задач по математике, физике и в других науках. Именно поэтому мы собрали на сайте более 100 примеров решения интегралов и постоянно добавляем новые! Список тем находится в правом меню.
Перед изучением примеров вычисления интегралов советуем вам прочитать теоретический материал по теме: определения, свойства и таблицу интегралов, методы их вычисления и другой материал по интегралам.
Таблица интегралов
Основные ссылки – таблица интегралов и примеры решений (10 шт).
Пример
Задание. Вычислить неопределенный интеграл
Решение. Для решения данного интеграла не нужно использовать свойства неопределенных интегралов, достаточно формулы интеграла степенной функции:
В нашем случае , тогда искомый интеграл равен:
Ответ.
Больше примеров решений →
Метод непосредственного интегрирования
Основные ссылки – метод непосредственного интегрирования и примеры решений (10 шт).
Пример
Задание. Вычислить неопределенный интеграл
Решение. Преобразуем подынтегральное выражение. Для этого вынесем из знаменателя за знак интеграла
далее, используя таблицу интегралов (Формула №11), получим
Ответ.
Больше примеров решений →
Внесение под знак дифференциала
Основные ссылки – внесение под знак дифференциала и примеры решений (10 шт).
Пример
Задание.
Решение. Распишем подынтегральную сумму, используя тригонометрические функции (определение котангенса)
Внесем под знак дифференциала:
Полученный интеграл можно вычислить, используя табличный интеграл
В результате получим
Ответ.
Больше примеров решений →
Интегрирование заменой переменной
Основные ссылки – интегрирование заменой переменной и примеры решений (10 шт).
Пример
Задание. Найти неопределенный интеграл
Решение. Введем замену и полученный интеграл находим как интеграл от степенной функции:
Сделаем обратную замену
Ответ.
Больше примеров решений →
Интегрирование по частям
Основные ссылки – интегрирование по частям и примеры решений (10 шт).
Пример
Задание. Найти неопределенный интеграл
Решение. Воспользуемся методом интегрирования по частям. Для этого положим
Подставим это в формулу для интегрирования по частям, затем воспользуемся формулой интеграла косинуса из таблицы интегралов
Ответ.
Больше примеров решений →
Метод неопределенных коэффициентов
Основные ссылки – метод неопределенных коэффициентов и примеры решений (10 шт).
Пример
Задание. Разложить рациональную дробь на простые дроби.
Решение. Так как корнями знаменателя являются значения , , то его можно разложить на множители следующим образом:
А тогда
Искомое разложение имеет вид:
Приводим к общему знаменателю в правой части равенства и приравниваем числители:
Приравнивая коэффициенты, при соответствующих степенях, получаем:
Отсюда, искомое разложение:
Ответ.
Больше примеров решений →
Интегрирование тригонометрических функций
Основные ссылки – универсальная тригонометрическая подстановка и примеры решений (10 шт).
Пример
Задание.
Найти неопределенный интеграл
Решение. Для вычисления исходного интеграла введем тригонометрическую замену , тогда
Подставляя это в искомый интеграл, получим
Сделаем обратную замену
Ответ.
Больше примеров решений →
Вы поняли, как решать? Нет?
Примеры решения интегралов с ответам
Простое объяснение принципов решения интегралов и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.
Алгоритм решения интеграловТеорема
Неопределённым интегралом функции называется множество всех первообразных этой функции.
Первообразной функции называется такая функция, производная которой равна исходной функции, т.е., если – первообразная функции , то:
Операция интегрирования является операцией обратной операции дифференцирования.
Определённым интегралом функции на отрезке называется разность первообразных функции, вычисленных на концах этого отрезка.
Алгоритм
Определённый интеграл вычисляется при помощи формулы Ньютона-Лейбница:
Для нахождения интегралов функций, используются свойства интегралов, а также таблица интегралов.
Таблица основных интегралов, – постоянная величина
Примеры решений интегралов
Пример 1
Задача
Вычислить интеграл:
Решение
По таблице интегралов находим:
Ответ
Пример 2
Задача
Вычислить интеграл:
Решение
По таблице интегралов находим:
Ответ
Пример 3
Задача
Вычислить интеграл:
Решение
По таблице интегралов находим:
Ответ
Пример 4
Задача
Вычислить интеграл:
Решение
Вынося постоянный множитель 7 за знак интеграла, по таблице интегралов находим:
Ответ
Пример 5
Задача
Вычислить интеграл:
Решение
Интеграл суммы равен сумме интегралов, поэтому:
Ответ
Пример 6
Задача
Вычислить интеграл:
Решение
Интеграл суммы равен сумме интегралов, поэтому:
Ответ
Пример 7
Задача
Вычислить интеграл:
Решение
Преобразуя подынтегральную функцию к виду степенной, находим её интеграл по таблице интегралов:
Ответ
Пример 8
Задача
Вычислить интеграл:
Решение
Преобразуя подынтегральную функцию к виду степенной, находим её интеграл по таблице интегралов:
Ответ
Пример 9
Задача
Решение
Интеграл суммы равен сумме интегралов, поэтому:
Далее найдём каждый интеграл суммы:
Ответ
Пример 10
Задача
Вычислить интеграл:
Решение
Интеграл суммы равен сумме интегралов, поэтому:
Далее, применяя таблицу интегралов, находим интегралы функций синус и косинус:
Ответ
Средняя оценка 3.
1 / 5. Количество оценок: 66
Поставьте вашу оценку
Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!
Позвольте нам стать лучше!
Расскажите, как нам стать лучше?
56727
Закажите помощь с работой
Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке
Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке
Полезно
Интегральное исчисление
Главная
Узнать
Исчисление
- Пределы
- Непрерывность и разрыв
- Дифференциация или производные
- Теорема о цепном правиле
- Интеграция
- Применение Интеграла
дифференциальное исчисление Ссылки
Интегрирование — это метод, используемый для нахождения функции, производная которой задана.
Таким образом, это обратный процесс дифференциации. Вот почему интеграцию также иногда называют антидеривацией .
Прежде чем мы приступим к изучению интеграции, мы сначала обсудим различия переменных, которые будут полезны при разработке методов. методы, используемые для интеграции.
Таким образом, это обратный процесс дифференциации.
Вот почему интеграцию также иногда называют антидеривацией .Пусть `f` будет дифференцируемой функцией в интервале `< x < b ,` и пусть она будет определена как
`у = е(х)`
затем
`δy = f(x+δx) – f(x)`
и
`lim δx → ` 0 ` δy/δx`=`lim δx → 0 (f(x + δx) – f(x))/δx`= ` f ‘(x) `
то есть
`dy/dx= f ‘(x)`
Мы знаем, что до достижения предела `δx → 0` выражение `δy/δx` отличается от `f'(x`) очень незначительно, назовем его `Ԑ`.
Тогда мы можем написать
что
`δy/δx=f ‘(x) + Ԑ`, где Ԑ очень мало
Или
`δy= f ‘(x) δx+ Ԑδx`
Здесь член `f ‘(x)δx` гораздо важнее члена `Ԑδx` и называется дифференциалом зависимой переменной `y` и обозначается `dy`.
Отсюда
`dy = f ‘(x) δx`
И
`dx = (x)’ δx= (1)δx = δx`
т. е. дифференциал `x` обозначается `dx` и определяется соотношением `dx = δx`
Таким образом, приведенное выше соотношение принимает форму
`dy = f ‘(x) dx`
Пример 1:
Вывод:
Этот пример показывает, что `δy` и `dy` отличаются очень незначительно. (0,0401 – 0,04 = 0,0001 в этом примере) 9-1 dx ` = `( 1 )/aln|ax + b | + c ` , `(ax + b) ≠ 0 `
11. `∫ tan (ax + b) dx` = ` ( 1 )/aln|sec (ax + b)| + c ` = ` –( 1 )/aln|cos(ax + b)| + c `
12.
`∫ cot (ax + b) dx ` = ` ( 1 )/aln|sin(ax + b)| + c `
13. `∫ sec (ax + b) dx` = `( 1 )/aln|sec (ax + b) + tan (ax+b)| + c`
14. `∫ cosec (ax + b) dx ` = `( 1 )/aln| cosec (ax + b)– кроватка (ax+b)| + с`
Все эти формулы были представлены в наиболее обобщенном виде. Их конкретный случай, когда `(ax + b) = x;` то есть `a = 1` и `b = 0`. 9x+ c` ` (a > 0, a ≠ 1)`
10. ` ∫1/xdx=ln|x| + c ` , ` x ≠ 0`
11. ` ∫ tan ` x ` dx` = `ln|sec x| + c ` = ` – ln|cosx| + c`
12. ` ∫ cot ` x ` dx ` = `ln|sinx| + c`
13. ` ∫ sec ` x ` dx` = `ln|sec x + tan x| + c `
14. ` ∫ cosec ` x ` dx` = `ln| cosec `x` – раскладушка x| + с`
Теперь мы подошли к решению некоторых примеров интегралов, использующих эти формулы.
Пример 2:
Пример 3:
Во всех этих примерах и формулах `c` является константой интегрирования, и ее значение может быть оценено из начальных условий.
Мы обсудим это позже в
ближайшие темы.
Интеграл от произведения константы на функцию равен произведению константы на интеграл от функция. 9(-1)f ‘(x) dx ` = ` ln f(x) + c ` `( f(x) > 0 )`
Пример 4:
Пример 5:
Пример 6:
Мы используем технику замены всякий раз, когда возможно преобразовать интеграл в стандартную форму или в простой интеграл путем подходящей замены. переменной. Мы представляем несколько простых примеров, которые помогут вам лучше понять эту технику. 92 )`
`x = грех Θ`
`x = сек Θ`
`x = загар Θ`
`√(x+a) = t` `(или √(x-a) = t)`
`x – a = a sin Θ`
`х + а = сек Θ`
Пример:
Далее мы представляем простой метод интегрирования под названием “Интегрирование по частям”.
Он включает в себя использование простой формулы, которая очень помогает при оценке
комплексные интегралы.
Если и u, и v являются функциями некоторой общей переменной, скажем, x,
`∫u dv = uv -∫ v du`
Если
`u = f(x) и v = g(x)`
Тогда вышеуказанная формула может быть выражена как
`∫f(x) g'(x) dx ` = ` f(x) g(x)- ∫g(x) f ‘(x) dx + c `
Пример 1:
Пример 2:
Пример 3:
Если `P(x)` и `Q(x)` являются полиномиальными функциями и знаменатель `Q(x) ≠ 0` в рациональной функции `(P(x) )/(Q(x))` может быть разложить на линейные и квадратичные
факторов, то рациональная функция записывается в виде суммы более простых рациональных функций, каждая из которых может быть проинтегрирована уже известными нам способами.
9bf(x) dx` и имеет определенное значение `Ω(b) – Ω(a)` и называется Определенный интеграл .Интервал [a, b] называется диапазоном интегрирования, а значения a и b известны как нижний и верхний пределы соответственно.
Пример 1:
Пример 2:
- Пределы
- Непрерывность и разрыв
- Дифференциация или производные
- Теорема о цепном правиле
- Интеграция
- Применение Интеграла
Спираль
Станьте участником сегодня!
Зарегистрируйтесь (бесплатно)Вы член? Войти!
Войдите в свою учетную записьВведение в интегральные вычисления: определения, формулы и примеры
В этой статье
Что такое интегральное исчисление?
Стандартные правила интегрирования и теоремы
Неопределенные и определенные интегралы
3 способа вычисления интегралов
Что такое интегральное исчисление?
Вы, вероятно, уже знакомы с дифференцированием, которое представляет собой процесс, используемый для вычисления мгновенной скорости изменения функции.
В чем разница между интеграцией и дифференциацией? Ну, вы можете думать об интеграции как об операции, обратной дифференцированию. Вместе дифференцирование и интегрирование составляют основные операции исчисления и связаны между собой основными теоремами исчисления.
Доктор Ханна Фрай обсуждает фундаментальную теорему исчисления:
Когда вы интегрируете некоторую функцию f(x)f(x)f(x), вы находите ее первообразную функцию, которую часто обозначают F(x)F(x)F(x). Эта функция может вычислять площадь под кривой f(x)f(x)f(x).
Обозначение для интегрирования f(x)f(x)f(x) выглядит следующим образом:
∫f(x) dx=F(x)+C\int f(x)\,dx = F(x) + C∫f(x)dx=F(x)+C
Вот руководство для интерпретируя это интегральное обозначение:
Что такое ∫\int∫?
Символ ∫\int∫ называется знаком интеграла.
Этот символ указывает на то, что мы вычисляем первообразную функцию f(x)f(x)f(x).
Функция f(x)f(x)f(x) называется подынтегральной функцией, и это функция, от которой мы берем интеграл.
Эти буквы обозначают дифференциал dxdxdx. Дифференциал dxdxdx указывает, что мы интегрируем f(x)f(x)f(x) по переменной xxx.
F(x)F(x)F(x) — первообразная функция, которая возвращает f(x)f(x)f(x) при дифференцировании.
Что такое ССС?
Заглавная буква CCC представляет постоянную величину, называемую константой интегрирования. Подробнее о том, что означает константа интегрирования, мы поговорим позже.
Когда вы берете производную от F(x)F(x)F(x), вы снова получаете f(x)f(x)f(x). Чтобы лучше понять связь между функцией fff и ее первообразной, вы можете задать вопрос: «Какая функция F(x)F(x)F(x) имеет производную f(x)f(x)f(x) ?» Их отношения можно представить так: 9x f(t)\,dt = f(x)F′(x)=dxd∫axf(t)dt=f(x)
дифференциация.
Доктор Тим Шартье рассуждает о том, зачем нам нужны первообразные:
Стандартные правила интегрирования и теоремы
Предполагая, что fff и ggg являются непрерывными функциями, вот список наиболее важных правил и свойств интеграции, которые вам следует знать:
Правило сумм
∫[f(x)+g(x)] dx=∫f(x) dx+∫g(x) dx\int [f(x) + g(x)]\,dx = \ int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx∫[f(x)+g(x)]dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx
Правило разности
∫[f(x)−g(x)] dx=∫f(x) dx−∫g(x) dx\int [f(x) – g(x)]\,dx = \int f(x) \,dx – \int g(x)\,dx∫[f(x)−g(x)]dx=∫f(x)dx−∫g(x)dx
Правило постоянного множителя
∫kf( x) dx=k∫f(x) dx\int kf(x)\,dx = k\int f(x)\,dx∫kf(x)dx=k∫f(x)dx для некоторой константы kkk
Степенное правило
∫xn dx=xn+1n+1+C\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C∫xndx=n+1xn+ 1+C для некоторого действительного числа nnn 9{-1}x + C∫1+x2dx=tan−1x+C
∫sin(ax) dx=−cos(ax)a+C\int \sin{(ax)}\,dx = \frac{-\cos{(ax)}}{a}+C∫sin(ax)dx=a−cos(ax)+C для некоторого действительного числа aaa
∫cos(ax) dx=sin(ax)a+C\int \cos{(ax)}\,dx = \frac{\sin{(ax)}}{a}+C∫cos(ax) dx=asin(ax)+C для некоторого действительного числа aaa
Правило абсолютного значения
∫∣x∣ dx=x∣x∣2+C\int |x|\,dx = \frac{x |x|}{2} + C∫∣x∣dx=2x∣ х∣+С
Вот несколько коротких примеров для отработки этих правил интеграции.
9x}{\ln{(3)}} + C∫(x+sin(x)−3x)dx=∫xdx+∫sin(x)dx−∫3xdx=2×2−cosx−ln(3)3x+ С
Неопределенные и определенные интегралы
Интегралы бывают двух видов: неопределенные и определенные.
Доктор Ханна Фрай больше говорит о неопределенных и определенных интегралах:
Неопределенный интеграл находит общую первообразную функцию f(x)f(x)f(x), а определенный интеграл находит площадь под кривой f(x)f(x)f(x) на определенный интервал.
Эти типы интегралов имеют разные выходные значения. Определенный интеграл выводит уникальное число, представляющее площадь, ограниченную кривой функции и осью x на некотором интервале [a,b][a, b][a,b]. Неопределенный интеграл выводит первообразную функции, сопровождаемую константой интегрирования CCC.
5 + C = F(x)∫(5×4)dx=x5+ С=F(х). 94f(x)=5×4.
Это потому, что производная любой константы равна нулю. Помните, что для подынтегральной функции f(x)f(x)f(x) ее первообразная функция отвечает на вопрос: «Какая функция F(x)F(x)F(x) имеет производную f(x)f(x )f(x)?» Любая из приведенных выше функций F(x)F(x)F(x) удовлетворит этот вопрос.
Поскольку существует бесконечное количество постоянных значений, которые мы можем подставить в CCC, константа интегрирования CCC и функция первообразной F(x)F(x)F(x) вместе представляют собой бесконечное семейство функций. Вот почему это называется «неопределенной» интеграцией, поскольку не существует одной уникальной первообразной функции. 9{b} f(x)\,dx = A∫abf(x)dx=A
Буквы aaa и bbb называются интегральными границами или пределами. Буква aaa обозначает нижнюю границу, а bbb — верхнюю границу. Мы можем представить это обозначение как область, ограниченную f(x)f(x)f(x), осью x и линиями x=ax=ax=a и x=bx=bx=b.
Чтобы найти определенный интеграл функции на [a,b][a, b][a,b], мы берем разность между неопределенным интегралом функции, вычисляемой в точке aaa, и неопределенным интегралом функции, вычисляемой в точке ббб.
Это называется Второй фундаментальной теоремой исчисления. 9b = F(b) – F(a)∫abf(x)dx=F(x)∣
∣ab=F(b)−F(a)
Вот четыре шага для оценки определенный интеграл:
Шаг 1. Найдите неопределенный интеграл F(x)F(x)F(x), используя интегральные правила.
Шаг 2. Найдите F(b)F(b)F(b), подставив bbb в F(x)F(x)F(x).
Шаг 3. Найдите F(a)F(a)F(a), подставив aaa в F(x)F(x)F(x).
Шаг 4. Возьмите разность F(b)−F(a)F(b) – F(a)F(b)−F(a). Поскольку мы вычитаем эти значения, константа интегрирования CCC аннулируется, поэтому мы можем ее игнорировать. 92}{2} + 2 = 4F(2)=222+2=4
Шаг 4 – F(4)−F(2)=12−4=8F(4) – F(2) = 12 – 4 = 8F(4)−F(2)=12−4=8
Это значение представляет площадь под кривой f(x)f(x)f(x) на [2,4][2,4][2,4].
3 способа вычисления интегралов
Ниже мы обсудим три основных метода вычисления более сложных интегралов.
1. U-замена
U-подстановка меняет цепное правило для производных и используется для интегрирования составных функций. Нам нужно переписать наш интеграл через ууу и дудуду, чтобы он выглядел так:
∫f(g(x))g'(x) dx=∫f(u) du\int f(g(x))g'(x)\,dx = \int f(u)\,du ∫f(g(x))g'(x)dx=∫f(u)du
Вот четыре шага интегрирования с u-подстановкой:
Выберите uuu, «внутреннюю» часть цепного правила.
Дифференцируйте uuu, чтобы найти dududu. При необходимости перестройте задачу алгебраически, чтобы дудуду полностью соответствовал тому, что осталось внутри интеграла.
Подставляем в подынтегральное выражение ууу и дудуду и интегрируем. 92+1} + C=5×2+1−1+C
2. Интегрирование по частям
Интегрирование по частям использует эту формулу для интегрирования произведения функций:
∫udv=uv−∫v du\int udv = uv – \int v\,du∫udv=uv−∫vdu
Мы должны выбрать одну функцию под интегралом для представления uuu, а другую — для представления dvdvdv.
Вот четыре шага для интеграции с интеграцией по частям:
Разделите подынтегральную функцию на произведение функций, выбрав uuu и dvdvdv.
Разделите uuu, чтобы найти dududu, и интегрируйте dvdvdv, чтобы найти vvv.
Подставьте uuu, vvv и dududu в формулу интегрирования по частям.
Решить и упростить.
Пример
Вычислим ∫xsin(x) dx\int x \sin(x)\,dx∫xsin(x)dx. Положим dv=sin(x) dxdv = \sin{(x)}\,dxdv=sin(x)dx, поскольку интеграл от этой функции найти несложно. Тогда u=xu = xu=x, так как это то, что осталось. Теперь нам нужно дифференцировать uuu, чтобы найти dududu, и интегрировать dvdvdv, чтобы найти vvv.
Используя правило степени для u=xu = xu=x и найдя dududu, мы находим, что du=1dxdu = 1dxdu=1dx. Интегрируя dvdvdv по правилам тригонометрии, мы находим, что v=∫sin(x)=−cos(x)v = \int \sin{(x)} = -\cos{(x)}v=∫sin( х)=-cos(х). Теперь мы можем подставить эти значения в нашу формулу.
∫u dv=uv−∫v du\int u\,dv = uv – \int v\,du∫udv=uv−∫vdu
∫xsin(x) dx=x(−cos(x )−∫−cos(x) dx\int x \sin(x)\,dx = x(-\cos{(x)} – \int -\cos{(x)}\,dx∫xsin(x )dx=x(−cos(x)−∫−cos(x)dx
=-xcos(x)+∫cos(x) dx= -x\cos{(x)} + \int \cos{(x)}\,dx=-xcos(x)+∫cos(x )dx
=-xcos(x)+sin(x)= -x\cos{(x)} + \sin{(x)}=-xcos(x)+sin(x)
3. Интегрирование неполных дробей
Интегрирование неполными дробями используется для интегрирования рациональных функций. Этот метод трудно понять без примера, поэтому обязательно попробуйте упражнение с примером.
Вот девять шагов для интеграции с этим методом:
Фактор знаменателя функции.
Разложите функцию на сумму ее частей, приписав каждому члену знаменателя неизвестную переменную.
Объедините все термины в один, найдя общий знаменатель и правильно умножив каждый числитель.
Умножьте числитель.
Составьте уравнение, которое приравнивает ххх членов числителя исходной функции к ххх членов числителя вашего нового уравнения.
92+x-12}\,dx = \int \frac{x+4}{(x+4)(x-3)}\,dx∫x2+x−12x+4dx=∫(x+4 )(x−3)x+4dxТеперь мы можем выполнить шаги 2–4.
x+4(x+4)(x−3)=Ax+4+Bx−3\frac{x+ 4}{(x+4)(x-3)} = \frac{A}{x+4} + \frac{B}{x-3}(x+4)(x−3)x+4 =x+4A+x−3B
=A(x−3)+B(x+4)(x+4)(x−3)=\frac{A(x-3) + B(x +4)}{(x+4)(x-3)}=(x+4)(x−3)A(x−3)+B(x+4)
=Ax−3A+Bx+ 4B(x+4)(x−3)=\frac{Ax-3A+Bx+4B}{(x+4)(x-3)}=(x+4)(x−3)Ax−3A+ Bx+4B
Теперь мы можем решить для A и B с шагами 5 – 7.
Следуя этим шагам, наше первое уравнение будет Ax+Bx=xAx + Bx = xAx+Bx=x, которое упрощается до A+ В=1А+В=1А+В=1. Наше второе уравнение: -3A+4B=4-3A+4B=4-3A+4B=4. Решая эту систему уравнений, находим, что A=0A = 0A=0 и B=1B = 1B=1.
Теперь мы можем закончить с шагами 8-9:
∫x+4(x+4)(x−3) dx=∫0x+4dx+1x−3 dx\int \frac{x+4}{(x+4)(x-3)}\, dx = \int \frac{0}{x+4}dx + \frac{1}{x-3}\,dx∫(x+4)(x−3)x+4dx=∫x+40 dx+x−31dx
=ln(x−3)= \ln{(x-3)}=ln(x−3)
Ознакомьтесь с отмеченными наградами курсами For-Credit от OutlierOutlier (от соучредителя MasterClass) собрал лучших в мире преподавателей, дизайнеров игр и кинематографистов, чтобы создать онлайн-колледж будущего.
92+x-12}\,dx = \int \frac{x+4}{(x+4)(x-3)}\,dx∫x2+x−12x+4dx=∫(x+4 )(x−3)x+4dx