Интегралы сложные: Сложные интегралы, примеры решений

Развитие алгоритмов для вычисления многопетлевых фейнмановских интегралов и их применение в задачах физики элементарных частиц и квантовой теории поля

Краткое описание проекта

Интегралы Фейнмана, или петлевые интегралы, являются фундаментальными величинами при построении квантово-полевых амплитуд в рамках теории возмущений. Они естественно возникают в теоретических расчётах в физике элементарных частиц. Петлевые интегралы представляют собой сложные математические объекты. 

Характерной чертой современных методов вычисления фейнмановских интегралов является привлечение методов компьютерной алгебры и реализация методов в виде компьютерных программ, многие из которых становятся публичными. Хотя за последние семьдесят лет было предложено большое количество методов, на практике используются лишь немногие из них, поскольку в подходе, основанном на компьютерной алгебре, особенно критичными становятся вычислительная сложность алгоритма и конкретная его реализация.

Задача вычисления фейнмановских интегралов требует привлечения методов из различных разделов современной математики. Соответственно, данный проект посвящен развитию алгоритмов для вычисления многопетлевых фейнмановских интегралов и применению алгоритмов и соответствующих методов в задачах физики элементарных частиц и квантовой теории поля. Мы работаем как над задачами, посвященными развитию алгоритмов, так и над применением алгоритмов в конкретных вычислениях.

Ключевым результатом проекта является построение алгоритма для перехода к оптимальному базису мастер-интегралов, исходя из базиса, который возникает при применении компьютерной программы для сведения интегралов данного семейства к мастер-интегралам. Этот алгоритм может применяться не только при использовании кода FIRE, но и для других программ, как публичных (AIR, REDUZE, KIRA), так и частных. Значимость данной задачи обусловлена тем, что выбор оптимального базиса мастер-интегралов может сильно влиять на время редукции, что существенно для всех расчетов, возникающих в физике элементарных частиц и связанных с фейнмановскими интегралами. Задача была успешно решена, алгоритм реализован в виде компьютерного кода и встроен в программу редукции FIRE, а описание алгоритма опубликовано в статье «How to choose master integrals». Мы считаем данный результат ключевым для развития программ редукции интегралов Фейнмана на современном уровне.

Перечень публикаций, подготовленных при поддержке проекта (2020 г.):

[1] «How to choose master integrals», A.V. Smirnov, V.A. Smirnov в журнале Nuclear Physics B, издательствоElsevier BV (Netherlands), том 960, с. 115213 (DOI: http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevD.102.054008)

[2] «Constructing d-log integrands and computing master integrals for three-loop four-particle scattering», J. Henn, B. Mistlberger, V.A. Smirnov, P. Wasser, в журнале Journal of High Energy Physics, издательство IOP Publishing ([Bristol, UK], England), том 4, с. 167 (DOI: http://dx.doi.org/10.1007/JHEP04(2020)167)

[3] «Two-loop mixed QCD-EW corrections to gg→Hg”», M. Bonetti, E. Panzer, V. A. Smirnov, L. Tancredi, вжурнале Journal of High Energy Physics, издательство IOP Publishing ([Bristol, UK], England), том 11, с. 045. (DOI: https://doi.org/10.1007/JHEP11(2020)045)

[4] «Matching the heavy-quark fields in QCD and HQET at four loops», A.G. Grozin, P. Marquard, A.V. Smirnov, V.A. Smirnov, M. Steinhauser, в журнале Physical Review D, издательство American Physical Society (United States), том 102, № 5, с. 054008 (DOI: http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevD.102.054008)

Руководитель проекта 

Смирнов Александр Владимирович

УПРЗА Эколог | Интеграл – все для экологов

Унифицированная Программа Расчёта Загрязнения Атмосферы (УПРЗА «Эколог») предназначена для проведения расчётов рассеивания загрязняющих веществ в атмосферном воздухе.

Методическая основа:

• Приказ Минприроды РФ от 06.06.2017 № 273 «Об утверждении методов расчётов рассеивания выбросов вредных (загрязняющих) веществ в атмосферном воздухе» (далее — МРР-2017)
• «Методика расчёта концентраций в атмосферном воздухе вредных веществ, содержащихся в выбросах промышленных предприятий (ОНД-86)». Л., Гидрометеоиздат, 1987 г.

Новое в версии 4.70 по сравнению с 4.60.8:

• Новый тип источника выбросов — передвижной. Пригодится для расчётов рассеивания при оформлении проекта СЗЗ и решения других задач.
• Новый тип источника выбросов — неорганизованный источник сложной формы. Поможет более точно учесть в расчёте рассеивания неорганизованные выбросы.
• Можно видеть содержимое метеофайла.
• Можно вводить данные для расчета долгопериодных средних концентраций непосредственно в программу без метеофайла
• Отказались от расчёта средних концентраций по группам суммации
• Концентрация по группе суммации не рассчитывается, если хотя бы у одного входящего в группу вещества нет ПДКмр. Последние два момента соответствуют строгому следованию п. 4.2 МРР-2017.

На версию 4.70 получено новое положительное заключение экспертизы Росгидромета, в том числе и на дополнительный расчетный блок «Среднесуточные».

Замена с предыдущих версий осуществляется на льготных условиях: пользователи версии 4.60.8 автоматически получают бесплатно вариант версии 4.70 без новых типов источников. Приобрести такой вариант программы нельзя.

Для работы с версией 4.70 необходимо обновить релизы «ПДВ-Эколог» 5 и «НМУ-Эколог» 2.10. Эти обновления в рамках указанных последних версий бесплатны.

Положительное заключение экспертизы на версию 4.60 по-прежнему действительно.

Сетевая работа:

Версия 4.70 — сетевая, возможна работа с одной и той же базой данных с разных рабочих мест.

Совместимость с «ПДВ-Эколог»:

УПРЗА «Эколог» 4.70 поддерживается программой «ПДВ-Эколог» начиная с вер. 5.10.

Модули и блоки:

Базовый модуль УПРЗА «Эколог» 4.X позволяет рассчитать максимальные приземные концентрации загрязняющих веществ в атмосфере без учета влияния застройки (см. также ниже) в соответствии с МРР-2017 и ОНД-86.
Ограничение на количество источников выброса, выбрасывающих одно вещество — 3000 шт.

Вариант графического модуля ГИС «Эколог», при котором возможен импорт векторных данных из других ГИС-программ:

• AutoCAD (dxf)
• MapInfo (mid/mif)
• ArcGIS (shp)

Общий модуль для УПРЗА «Эколог» 4.х и «Эколог-Шум» 2.х, что учитывается при покупке обеих программ на один ключ.

Расчёт максимальных концентраций с учётом влияния застройки и на произвольной высоте. Реализована глава IX «Метод расчёта рассеивания выбросов ЗВ в атмосферном воздухе с учетом влияния застройки» МРР-2017 и Приложение 2 к ОНД-86, регламентирующее учет влияния застройки, а также расчет концентраций на произвольной высоте над уровнем земли.
См. также «Средние с застройкой» ниже.

Подбор оптимальных предложений по снижению выбросов источников с целью снижения концентраций до желаемого уровня.

Обладает дополнительной возможностью расчёта концентраций от труб компрессорных станций магистральных и других газопроводов, а также подземных хранилищ природного газа по пп. 12.1, 12.2, 12.7 МРР-2017. Также возможен расчет по «Отраслевой методике расчета приземной концентрации загрязняющих веществ, содержащихся в выбросах компрессорных станций магистральных газопроводов». Ограничение на количество источников выброса — 3000 шт.

Модуль расчёта долгопериодных средних (среднегодовых) концентраций упрощённым методом по следующей методике:

• п. 10.6 Главы X «Метод расчёта долгопериодных средних концентраций ЗВ в атмосферном воздухе» МРР-2017.

Модуль расчёта долгопериодных средних (среднегодовых) концентраций полноценным методом по следующим методикам:

• пп. 10.1-10.5 (кроме п. 10.5.5) Главы X «Метод расчёта долгопериодных средних концентраций ЗВ в атмосферном воздухе» (МРР-2017)
• Расчет осреднённых концентраций загрязняющих веществ в атмосфере по «Методическим указаниям по расчету осредненных за длительный период концентраций выбрасываемых в атмосферу вредных веществ», ГГО им. А.И. Воейкова, 2005

Модуль расчёта долгопериодных средних (среднегодовых) концентраций полноценным методом по следующим методикам:

• пп. 10.1-10.5 Главы X «Метод расчёта долгопериодных средних концентраций ЗВ в атмосферном воздухе» (МРР-2017)
• Расчёт осредненных концентраций загрязняющих веществ в атмосфере по «Методическим указаниям по расчету осредненных за длительный период концентраций выбрасываемых в атмосферу вредных веществ», ГГО им. А.И. Воейкова, 2005

Расчёт среднесуточных концентраций загрязняющих веществ в атмосферном воздухе в соответствии с п. 12.12 МРР-2017.
Требует наличия блока «Средние»/«Средние с застройкой» и метеофайла.
Работает с УПРЗА «Эколог» 4.60.8.1 и выше.

Расчёт рисков для здоровья человека по фактору загрязнения атмосферного воздуха в соответствии с Р 2.1.10.1920-04 «Руководство по оценке риска для здоровья населения при воздействии химических веществ, загрязняющих окружающую среду»

Наиболее полнофункциональный вариант комплектации для предприятий с большим количеством источников загрязнения атмосферы, для которых возможностей обычной программы недостаточно. Модуль снимает ограничение на количество источников выброса для одного предприятия. Обратите внимание также на программу «Эколог-Город», которая  позволяет рассчитать одновременно несколько или все предприятия города.
Не поставляется без модулей «ГИС-Стандарт», «Газ» и «Застройка и высота». Эти модули приобретаются отдельно.

Пересчёт координат источников загрязнения атмосферы из прямоугольных в географические.

Представленный калькулятор поможет выбрать нужную комплектацию программы, рассчитать ее стоимость и оформить заказ.

§2.4 Контурные интегралы ‣ Площади ‣ Глава 2 Асимптотические приближения

Содержимое

1. §2.4(i) Лемма Уотсона
2. §2.4(ii) Обратные преобразования Лапласа
3. §2.4(iii) Метод Лапласа
4. §2.4(iv) Седловые точки
5. §2.4(v) Объединение седловых точек: метод Честера, Фридмана и Урселла
6. §2.4(vi) Другие критические точки объединения

§2.4(i) Лемма Ватсона

Результат в §2.3(ii) переносится на комплексный параметр z. За исключением того, что λ теперь разрешено быть комплексным, с ℜ⁡λ>

0, мы предполагаем те же условия на q⁡(t), а также что Лапласов преобразование в (2.3.8) сходится при всех достаточно больших значениях ℜ⁡з. Затем

2.4.1		∫0∞e−z⁢t⁢q⁡(t)⁢dt∼∑s=0∞Γ⁡(s+λμ)⁢asz(s+λ)/μ

при z→∞ в секторе |ph⁡z|≤12⁢π−δ (<12⁢π), где z(s+λ)/μ присвоено его главное значение.

Если q⁡(t) аналитична в секторе α1

Примеры и расширения (включая интегралы по равномерности и петлевым интегралам) см. Олвер (1997b, глава 4) , Вонг (1989, глава 1) и Темме (1985) .

§2.4(ii) Обратные преобразования Лапласа

Пусть на интервале 0

2.4.2		Q⁡(z)=∫0∞e−z⁢t⁢q⁡(t)⁢dt

непрерывна по ℜ⁡z≥c и аналитична по ℜ⁡z>c, и инверсией (§1. 14(iii))

2.4.3		q⁡(t)=12⁢π⁢i⁢limη→∞∫σ−i⁢ησ+i⁢ηet⁢z⁢Q⁡(z)⁢dz,
0

где σ (≥c) — константа.

Теперь предположим, что c>0, и нам дана функция Q⁡(z), которая одновременно аналитична и имеет разложение

2.4.4		Q⁡(z)∼∑s=0∞Γ⁡(s+λμ)⁢asz(s+λ)/μ,
z→∞,

в полуплоскости ℜ⁡z≥c. Здесь ℜ⁡λ>0, µ>0, а z(s+λ)/µ имеет главное значение. Предположим также (2.4.4) дифференцируема. Затем интегрированием по частям интеграл

2.4.5		q⁡(t)=12⁢π⁢i⁢∫σ−i⁢∞σ+i⁢∞et⁢z⁢Q⁡(z)⁢dz,
0

абсолютно сходятся в каждом пределе и не зависят от σ∈[c,∞). Кроме того, при t→0+ q⁡(t) имеет разложение (2.3.7).

Для больших t асимптотическое разложение q⁡(t) может быть получено из (2.4.3) методом Хаара. Это зависит от наличия функции сравнения F⁡(z) для Q⁡(z), имеющей обратное преобразование

2.4.6		f⁡(t)=12⁢π⁢i⁢limη→∞∫σ−i⁢ησ+i⁢ηet⁢z⁢F⁡(z)⁢dz

с известной асимптотикой при t→+∞. Вычитанием из (2.4.3)

2.4.7		q⁡(t)−f⁡(t)=eσ⁢t2⁢π⁢limη→∞∫−ηηei⁢t⁢τ⁢(Q⁡(σ+i⁢τ)−F⁡(σ+i⁢τ) )⁢dτ.

Если этот интеграл сходится равномерно в каждом пределе для всех достаточно больших t, то по лемме Римана–Лебега (§1.8(i))

2.4.8		q⁡(t)=f⁡(t)+o⁡(ec⁢t),
t→+∞.

Если, кроме того, соответствующие интегралы с Q и F заменить их производные Q(j) и F(j), j=1,2,…,m, сходятся равномерно, затем повторным интегрированием по частям

2. 4.9		q⁡(t)=f⁡(t)+o⁡(t−m⁢ec⁢t),
t→+∞.

Наиболее удачные результаты получаются при перемещении контура интегрирования как как можно дальше влево. Примеры см. Олвер (1997b, стр. 315–320) .

§2.4(iii) Метод Лапласа

Пусть 𝒫 обозначает путь контурного интеграла

2.4.10		I⁡(z)=∫abe−z⁢p⁡(t)⁢q⁡(t)⁢dt,

, где a конечно, b конечно или бесконечно, а ω — угол наклона 𝒫 в a, то есть lim(ph⁡(t−a)) при t→a вдоль 𝒫. Предположим, что p⁡(t) и q⁡(t) аналитичны на открытой домен 𝐓, содержащий 𝒫, с возможными исключениями t=a и t=b. Другие предположения:

1. (а)

   По соседству с

   2.4.11		р⁡(т)	=p⁡(a)+∑s=0∞ps⁢(t−a)s+μ,
   		кв⁡(т)	=∑s=0∞qs⁢(t−a)s+λ−1,

   с ℜ⁡λ>0, µ>0, p0≠0 и ветвями (t−a)λ и (t−a)µ непрерывны и построены с ph⁡(t−a)→ω при t→a вдоль 𝒫.

2. (б)

   z колеблется по лучу или по кольцевому сектору θ1≤θ≤θ2, |z|≥Z, где θ=ph⁡z, θ2−θ1<π и Z>0. I⁡(z) сходится в точке b абсолютно и равномерно по z.

3. (с)

   За исключением t=a, ℜ⁡(ei⁢θ⁢p⁡(t)−ei⁢θ⁢p⁡(a)) есть положительна при t∈𝒫 и равномерно отделена от нуля относительно θ∈[θ1,θ2] при t→b вдоль 𝒫.

Затем

2.4.12		I⁡(z)∼e−z⁢p⁡(a)⁢∑s=0∞Γ⁡(s+λμ)⁢bsz(s+λ)/μ

при z→∞ в секторе θ1≤ph⁡z≤θ2. коэффициенты bs определяются как в §2.3(iii), ветвь ph⁡p0 выбирается для удовлетворения

2.4.13		|θ+μ⁢ω+ph⁡p0|≤12⁢π.

См. примеры Olver (1997b, глава 4) . Границы ошибки см. Бойд (1993) .

§2.4(iv) Седловые точки

Теперь предположим, что в (2. 4.10) минимум ℜ⁡(z⁢p⁡(t)) на 𝒫 происходит во внутренней точке t0. Временно предположим, что θ(=ph⁡z) фиксировано, так что t0 не зависит от z. Мы можем подраздел

2.4.14		I⁡(z)=∫t0be−z⁢p⁡(t)⁢q⁡(t)⁢dt−∫t0ae−z⁢p⁡(t)⁢q⁡(t)⁢dt,

и применить результат §2.4(iii) к каждому интегралу на правой части, роль ряда (2.4.11) играет Ряд Тейлора p⁡(t) и q⁡(t) при t=t0. Если p′⁡(t0)≠0, то µ=1, λ — натуральное число, и две результирующие асимптотики расширения идентичны. Таким образом, правая часть (2.4.14) сводится к погрешностям. Однако если p′⁡(t0)=0, то µ≥2 и разные ветви некоторых дробных степеней p0 используются для коэффициенты бс; снова см. §2.3(iii). Как следствие, асимптотическое разложение, полученное из (2.4.14), уже не равно нулю.

Нули p′⁡(t) называются седловыми точками (или столбцами ) из-за форма поверхности |p⁡(t)|, t∈ℂ, в их окрестности. Случаи в которые p′⁡(t0)≠0 обычно обрабатываются путем деформации пути интегрирования в таким образом, что минимум ℜ⁡(z⁢p⁡(t)) достигается в седле точке или в конечной точке. Кроме того, может оказаться целесообразным организовать ℑ⁡(z⁢p⁡(t)) постоянно на пути: обычно это приводит к более широкие области достоверности и более четкие границы ошибок. Пути, по которым ℑ⁡(z⁢p⁡(t)) является постоянным, также являются те, на которых |exp⁡(−z⁢p⁡(t))| снижается наиболее быстро. По этой причине имя метод наибольшего часто используется спуск . Однако для простого вывода асимптотических разложений можно использовать путей с наикрутейшим спуском не имеет существенного значения.

В самом общем случае внутренний минимум t0 функции ℜ⁡(z⁢p⁡(t)) есть простой нуль p′⁡(t). Тогда окончательное расширение имеет вид

2.4.15		∫abe−z⁢p⁡(t)⁢q⁡(t)⁢dt∼2⁢e−z⁢p⁡(t0)⁢∑s=0∞Γ⁡(s+12)⁢b2⁢szs+(1 /2),

в котором

2. 4.16		б0	=q(2⁢p′′)1/2,
		б2	=(2⁢q′′−2⁢p′′′⁢q′p′′+(5⁢(p′′′)26⁢(p′′)2−piv2⁢p′′)⁢q)⁢ 1(2⁢p′′)3/2,

с p,q и их производными, оцененными в t0. Филиал ω0=ph⁡(p′′⁡(t0)) удовлетворяет |θ+2⁢ω+ω0|≤12⁢π, где ω — предельное значение ph⁡(t−t0) при t→t0 из b.

Старшие коэффициенты b2⁢s в (2.4.15) можно найти из (2.3.18) где λ=1, µ=2 и s заменены на 2⁢s. Для интегральных представлений b2⁢s и их асимптотического поведения в виде s→∞ см. Boyd (1995) . Последняя ссылка также включает примеры, как и Olver (1997b, глава 4) , Вонг (1989, глава 2) и Блейстайн и Хандельсман (1975, глава 7) .

§2.4(v) Слияние седловых точек: метод Честера, Фридмана и Урселла

9аналогична проблеме объединения конечная точка и седловая точка, описанные в §2.3(v).

Изменение переменной интегрирования определяется выражением

2. 4.18		p⁡(α,t)=13⁢w3+a⁢w2+b⁢w+c,

, где a и b выбраны так, что нули ∂p⁡(α,t)/∂t соответствуют нулям w1⁡(α),w2⁡(α), скажем, квадратичного ш2+2⁢а⁢ш+б. Затем

2.4.19

9. Для больших |z| I⁡(α,z) равно аппроксимируется равномерно интегралом, соответствующим (2.4.19) когда f⁡(α,w) заменяется константой. Сделав дальнейшее изменение переменная 2.4.21 ш=г-1/3⁢в-а, и присвоив c соответствующее значение для изменения контура, аппроксимирующий интеграл сводится к функции Эйри или функции Скорера (§§9.2, 9.12). Примеры, доказательства и расширения см. в Олвер (1997b, глава 9) , Вонг (1989, глава 7) , Олде Даалхуис и Темме (1994) , Честер и др. (1957) , Блейстейн и Хандельсман (1975, глава 9) и Темме (2015) . За символический метод вычисления коэффициентов в асимптотике расширения см. Vidūnas and Temme (2002) . §2.4(vi) Другие критические точки объединения Проблемы, описанные в §§2.3(v) и 2.4(v) включают только две из многих возможностей для слияния конечных точек, седловые точки и особенности в интегралах, связанные со специальными функции. Для слияния седловой точки и полюса см. Вонг (1989, глава 7) и ван дер Варден (1951) ; в этом случае равномерные аппроксимации являются дополнительными функциями ошибок. Для объединение седловой точки и конечной точки, см. Olver (1997b, Chapter 9) и Вонг (1989, глава 7) ; если конечная точка является алгебраической особенностью то равномерные аппроксимации представляют собой функции параболического цилиндра с фиксированной параметр, а если конечная точка не является особенностью, то униформа аппроксимации являются дополнительными функциями ошибок. О двух сливающихся седловых точках и конечной точке см. Leubner and Ritsch (1986) . О двух сливающихся седловых точках и алгебраической особенности см. Темме (1986) , Джин и Вонг (1998) . Для сливающейся седловой точки полюс и точка разветвления см. Ciarkowski (1989) . Для многих объединяющихся седловые точки см. §36.12. Для двойных интегралов с двумя слияние стационарных точек см. Qiu and Wong (2000) . См. также Khwaja and Olde Daalhuis (2013) и Темме (2015) . Комплексный анализ Комплексный анализ к Джордж Кейн (c) Авторские права 1999, 2001 принадлежат Джорджу Кейну. Все права сдержанный. Учебник для вводного курса сложных анализ. Он был использован для нашего курса комплексного анализа бакалавриата здесь в Технологическом институте Джорджии и еще в нескольких местах, о которых я знаю. Я в особом долгу перед Профессор Матиас Бек кто пользовался книгой в его класс в SUNY Binghamton и нашел много ошибок и сделал много хороших предложений по изменениям и дополнения к книга. Я очень благодарен ему. Большое спасибо также Профессор Сербан Райану из Калифорнийский государственный университет Домингес Хиллз чьи многочисленные полезные предложения значительно улучшили книгу. Я также благодарен Профессор Павел Хитченко Дрекселя университета, который подготовил приятное дополнение к Глава 10 о приложениях теоремы об остатках к реальному интегрированию. Примечания доступны как документы Adobe Acrobat. Если у вас нет Adobe Acrobat Reader, Вы можете скачать копию бесплатно, от Adobe. Титульный лист и оглавление Содержание Глава первая – Комплексные числа 1.1 Введение &nbsp 1.2 Геометрия &nbsp 1.3 Полярные координаты Глава вторая – Сложные функции &nbsp 2.1 Функции вещественной переменной &nbsp 2.2 Функции комплексной переменной &nbsp 2.3 Производные Глава третья – Элементарные функции &nbsp 3. 1 Введение &nbsp 3.2 Экспоненциальная функция &nbsp 3.3 Тригонометрические функции &nbsp 3.4 Логарифмы и комплексные показатели Глава четвертая – Интеграция 4.1 Введение &nbsp 4.2 Вычисление интегралов 90 569 &nbsp 4.3 Первообразная Глава пятая – Теорема Коши &nbsp 5.1 Гомотопия 5.2 Теорема Коши Глава шестая – Дополнительная интеграция &nbsp 6.1 Интегральная формула Коши &nbsp 6.2 Функции, определяемые интегралами 90 569 6.3 Теорема Лиувилля &nbsp 6.4 Максимальные модули Глава седьмая – Гармонические функции 7.1 Уравнение Лапласа 90 569 &nbsp 7.2 Гармонические функции 7.3 Интегральная формула Пуассона Глава восьмая – Серия &nbsp 8.1 Последовательности 90 569 Серия 8.2 &nbsp 8.3 Силовая серия &nbsp 8.4 Интеграция силовой серии &nbsp 8.5 Дифференциация мощностей серии Глава девятая – Тейлор и Лоран Серия 9. Оставить комментарий Отменить ответ Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться. Меню Поиск: