Интегралы задачи: Основные свойства неопределённого интеграла — урок. Алгебра, 11 класс.

Содержание

Первые интегралы задачи трех тел

Знание десяти первых интегралов задачи трех тел позволяет свести ее к системе восьмого порядка (18—10). Особенности структуры самих уравнений задачи трех тел позволяют свести ее решение к системе шестого порядка (и еще двум квадратурам).  [c.177]

Теорема Брунса о несуществовании алгебраических первых интегралов задачи трех тел, отличных от классических  [c.813]

Можно показать, что полученные векторные первые интегралы задачи трех тел (6,1.7), (6.1.8), (6,1,12) и скалярный первый интеграл (6,1.18) легко обобщаются на произвольное число притягивающих тел и в целом определяют десять первых скалярных интегралов системы.  [c.213]


Первые интегралы задачи трех тел  [c.176]

ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ 177  [c.177]

Полагая число групп равным п, мы получим, написав уравнения движения п центров тяжести, Зл дифференциальных уравнений второго порядка, — по три для каждого центра тяжести.

Эти уравнения, интегрирование которых составляет задачу п тел, допускают семь известных первых интегралов, которые мы укажем как приложения общих теорем о движении системы. Современные средства анализа не допускают выполнения интегрирования этих уравнений. Тем не менее в небесной механике оказалось возможным при помощи этих уравнений вычислить с достаточной степенью точности движение центров тяжести небесных тел благодаря тому, что массы всех тел солнечной системы очень малы по сравнению с массой Солнца. Так, масса Юпитера, наибольшая во всей системе, не составляет тысячной доли массы Солнца, Приведя число тел к трем, получим знаменитую задачу трех тел.  
[c.349]

А. Пуанкаре доказал еще более общую (в определенном смысле) теорему, которая состоит в том, что в задаче трех тел, кроме классических, не существует никаких других однозначных (алгебраических или трансцендентных) первых интегралов, зависящих от некоторого малого параметра, выражаемого через массы тел.[c.109]

После того как математики осознали невозможность решения в замкнутой форме уравнений классической динамики, появились строгие результаты об их неинтегрируемости. Первым среди них была, по-видимому, теорема Лиувилля (1841 г.) о неразрешимости в квадратурах уравнения x+tx = О Более точно, не существует поля, содержащего все решения уравнения Лиувилля, которое можно получить из поля рациональных функций от t последовательностью конечных алгебраических расширений, присоединений интегралов и присоединений экспонент интегралов [207]. В 1887 г. появилась теорема Брунса о несуществовании в задаче трех тел ал-  

[c.15]

Так как, кроме классических первых интегралов, нам до сих пор не известны никакие другие интегралы, то дифференциальные уравнения общей задачи трех тел не могут быть проинтегрированы полностью и общее решение этой задачи мы получить (по крайней мере в настоящее время) не можем.  

[c.738]

Уравнения осредненных схем ограниченной круговой задачи трех тел, определяющие промежуточную орбиту (нулевое приближение). Их первые интегралы  [c.436]

Другие первые интегралы систем (5.2.01) и (5.2.04) неизвестны, поэтому общее решение ограниченной круговой задачи трех тел до настоящего времени не найдено.  [c.534]


Замечание. Методы поиска решений в буквенном виде на ЭВМ являются, строго говоря, не обоснованными, так как они сопровождаются многими ошибками. Они лишь служат средством прогноза в аналитических теориях. Однако они особенно эффективны, если уравнения имеют известные первые интегралы, используемые для контроля вычислений. Именно так обстоит дело в ограниченной круговой задаче трех тел, где имеется интеграл Якоби.  
[c.828]

Интегралы задачи. Канонические уравнения (2), являющиеся уравнениями движения в задаче трех тел, допускают несколько простых первых интегралов.  [c.30]

Примеры свободное вращение твердого тела и задача трех тел.

Рассмотрим сначала задачу Эйлера о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки по инерции (см. п. 2.4 гл. 1). Здесь Л1 = Г50(3) =50(3)X/ , группой симметрий О является группа вращений 50(3) ей соответствует пуассонов-ская алгебра первых интегралов, изоморфная алгебре Ли 50(3). Зафиксируем значение кинетического момента и рассмотрим интегральный уровень Мс=РвСтационарной группой Ос является одномерная группа поворотов 50(2) твердого тела в неподвижном пространстве вокруг постоянного вектора кинетического момента. Приведенное фазовое пространство Л7е = 50(3)/50(2) диффеоморфно двумерной сфере.  [c.110]

Итак, имеется Зп уравнений движения, которые нужно решить, и поскольку каждое уравнение второго порядка, полное число произвольных постоянных, которые должны появиться в общем решении уравнений, равно 6п. Система уравнений (3) обладает только 10 известными первыми интегралами, которые будут получены в 4.03— 4.06. В случае, когда я = 3, такая задача называется задачей трех тел.

[c.66]

Интегрирование системы нелинейных дифференциальных уравнений (14) и (15) при общих начальных условиях (16) — задача чрезвычайно трудная. Она в общем случае начальных условий не решена даже тогда, когда внешними силами являются только сила тяжести самого тела и реакция закрепленной точки. Для тяжелого твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, в трех случаях была указана система первых интегралов дифференциальных уравнений, из которых неизвестные углы Эйлера в зависимости от времени определяются в квадратурах, т. е. путем вычисления интегралов. Эти частные случаи называют случаями интегрируемости уравнений Эйлера.  

[c.481]

Теорема Пуанкаре о несуществовании аналитических интегралов была доказана впервые в знаменитом мемуаре О проблеме трех тел и об уравнениях динамики [13] с использованием невырожденных периодических решений. Другое доказательство неинтегрируемости, данное в пятой главе Новых методов небесной механики [1], отличается от первого, как замечает сам Пуанкаре, только формой.

В том и другом случае используется по существу тот факт, что резонансные торы общего положения невозмущенной задачи распадаются при возмущении.  [c.36]

Если между декартовыми координатами и компонентами скоростей трех взаимно гравитирующих материальных точек существует алгебраическая зависимость, то она обязательно является следствием из известных десяти первых интегралов задачи трех тел.  [c.177]

Значение периодических орбит для астрономии должно быть высоко оценено. С теоретической точки зрения, как замечает Пуанкаре, при помощи периодических орбит сначала удастся вторгнуться в область, до сих пор недоступщ ю анализу — в структуру интегралов задачи трех тел. Основополагающие работы Пуанкаре представляют собой бесценный источник для математиков и астрономов. Периодические решения скоро будут оказывать большую помощь практической астрономии. Как пзвестно в настоящее время, в планетной системе существует один случай, в котором действительно имеет место периодическое решение задачи трех тел (в этом случае проблемы четырех тел), а именно — для трех внутрен1шх спутников Юпитера.

Значение периодических решений для астрономии заключается главным образом не в возможности обнаружить в природе такие случаи (хотя каждый пример такого рода и представляет исключительный интерес), а чтобы с их помощью можно было успешно разрешить различные особенно трудные проблемы небесной механики. В своей основополагающей работе о движении Луны Хилл исходит из периодического решения первого сорта, а относящиеся к этому численные исследования рассматривает не как вычислительные упражнения, а как истинную основу для точного расчета лунной орбиты. Эта исходная точка может с успехом найти при-  [c.462]


D, а В преобразовании Крылова — Боголюбова вида (3.60) но будет отсутствовать. Чтобы преобразование Крылова — Боголюбова давало асимптотические представления для решения нервоначальной системы (62), необходимо, как неоднократно указывалось раньше, решить усредненную систему (70). Моиаю доказать [8, 124], что усредненные по Делоне — Хиллу уравнения плоской ограниченной круговой задачи трех тел интегрируемы в квадратурах, т.
е. известна полная система ее первых интегралов (система уравнений имеет четвертый порядок). То же самое можно утверждать и относительно усредненных но Фату и Моисееву уравнений плоской ограниченной круговой задачи трех тел. Что касается пространственного случая ограниченной круговой задачи трех тел, то известно, что только схема Гаусса (см. (35)) приводит к интегрируемой задаче. Первые интегралы усредненных уравнений можно найти в [7, 8, 124].  
[c.148]

Алгоритмы, реализующие обращение первых интегралов диффереищшльных уравнений ограниченной KpyroBoii задачи трех тел  [c.149]

При 71 = 2 и о О (ограниченная задача трех тел) подобное утверждение не доказано. Более того, известна гипотеза Шази об интегрируемости задачи трех тел при положительных значениях полной энергии [5]. Эта гипотеза связана с более общей концепцией в задаче рассеяния частиц с некомпактным пространством положений данные на бесконечности (скажем, импульсы частиц) являются кандидатами на роль первых интегралов. Однако реализация этой идеи сталкивается с рядом затруднений принципиального характера, связанных с областью определения и гладкостью интегралов рассеяния . Одна из таких трудностей — возможность захвата в задаче многих взаимодействующих частиц.  [c.147]

В ограниченной задаче трех тел известны более слабые результаты о неинтегрируемости. Пуанкаре доказал отсутствие дополнительных интегралов, аналитических по массам / 1 и / г тяжелых точек [225]. Либре и Симо [216], используя метод квазислучайных движений по В. М. Алексееву, доказали несуществование нового аналитического интеграла при условии, что масса одного из тел мала. Кроме этого, известен результат К. Зигеля [229] об отсутствии новых алгебраических первых интегралов это утверждение доказывается методом Брунса. По-видимому, ограниченная задача трех тел не допускает полиномиальных по импульсам первых интегралов, независимых от интеграла энергии.  [c.147]

Итак, компоненты трех векторов С,, С2 и С . , а также скалярная постоянная составляют десять постоянных интегрирования (десять первых интегралов системы). Другие интегралы, если они и существуют в силу исключительно сложной их структуры, для задачи л тел пока не получены. Это обстоятельство определяет выбор методов решения соответствующих уравнений. Учитывая то, что подавляющее большинство их разрабатывалось в XVIII и XIX вв. (задолго до появления электронных цифровых вычислительных машин), существенным фактором являлось требование ограничения объема вычислений.  [c.86]


Применение интегралов в физике и математике

1. Перемещение материальной точки

Пусть точка движется по прямой (по оси ) и известна скорость движения этой точки. Пусть скорость меняется и задан закон этого изменения на некотором отрезке . Тогда перемещение равно

   

2. Зависимость между работой и силой

Зависимость между работой и силой при перемещение материальной точки от значения к значению устанавливается соотношением:

   

Работа за промежуток времени от до , если задан закон изменения мощности , вычисляется по формуле:

   

3.

Масса тонкого стержня

Масса тонкого стержня, если известна его линейная плотность вычисляется по формуле:

   

4. Количество электричества (электрический заряд)

Количество электричества (электрический заряд) за промежуток времени при известной силе тока вычисляется по формуле:

   

5. Количество теплоты за время

Если задана теплоемкость , то количество теплоты за время вычисляется по формуле:

   

6. Зависимость магнитного потока и ЭДС

Математическая зависимость между магнитным потоком , пронизывающим проводящий замкнутый контур, и электродвижущей силой (ЭДС) индукции в этом контуре задается соотношением

   

7. Площадь криволинейной трапеции

Площадь криволинейной трапеции – фигура, ограниченная графиком непрерывной положительной на интервале функции , осью абсцисс и вертикальными прямыми и (рис. 1) – вычисляется по формуле:

   

8. Вычисление длины дуги плоской кривой

Пусть в прямоугольных координатах дана плоская кривая , заданная уравнением (рис. 3).

Если функция и ее производная непрерывны на отрезке , то кривая имеет длину, которая вычисляется по формуле:

   

9. Вычисление объема тела вращения

Пусть вокруг оси вращается криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной линией , прямыми и (рис. 4). Полученная от вращения фигура называется телом вращения. Объем этого тела равен

   

Если криволинейная трапеция ограничена графиком не прерывной функции и прямыми и , то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси , равен

   

10. Вычисление площади поверхности вращения

Пусть кривая задана функцией , которая является непрерывной вместе со своей производной на этом отрезке. Площадь поверхности, образованной вращением кривой вокруг оси (рис. 4) равна

   

Две задачи, приводящие к интегралам

    Структура системы управления показана на рис. IX.9. Более подробно с этой системой управления можно познакомиться в работе [2151. Здесь мы коснемся только вопросов стабилизации рассчитанного оптимального режима реактора. Задача стабилизации может быть сформулирована следующим образом необходимо синтезировать такую систему стабилизации температурного режима в реакционной зоне реактора синтеза аммиака, которая приводила бы к минимуму следующий интеграл путем вариации заданий регуляторам [c.365]
    Вначале предположим, что атом субстрата подвергается атаке Е-реагентом. Приближаясь к молекуле, последний деформирует электронное облако субстрата таким образом, что электроны смещаются к атому j,. Этот эффект можно описать увеличением по абсолютной величине кулоновского интеграла атома j,, т. е. lap, + Дар, 1 > I ар . Поскольку ар электрофиль-ных реакций Да Атака нуклеофильного реагента N приводит к противоположному эффекту, т. е. Да > 0. Преимущественное направление течения реакции характеризуется наименьшим значением АЕ = Е — Ех (см. рис. 2.1). Упрощая задачу, положим, что когда реагенты Е или N атакуют атом л, то A i v = 0. Тогда из (4.21) следует [c.59]

    Присоединенные полиномы Лежандра ортогональны (см. задачу 2.3), поэтому интеграл (2.66) отличен от нуля только при выполнении соотношения 1=Г+ или /=/ —1, что приводит к правилу отбора по орбитальному числу [c.46]

    Вычисление интеграла приводит к возникновению больших логарифмов, подобно тому, что мы уже видели в задаче о релаксации температур. Ограничиваясь главными дважды логарифмическими членами, вместо формулы (64.14) можно записать более простую  [c.295]

    Весьма значительные затраты машинного времени, необходимые для таких вычислений, приводят к естественному стремлению осуществить вычисление термодинамических функций, минуя полное решение динамической задачи. Такую возможность открывает статистическая механика, в которой свободная энергия выражается через соответствующий конфигурационный интеграл. В работе [174] для расчета термодинамических функций молекулярных кристаллов было предложено использовать ячеечную модель [175]. [c.173]

    Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла. В III главе было введено новое действие — дифференцирование нахождение но заданной функции ее производной. Оказывается, что для дифференцирования существует обратное действие — интегрирование отыскание функции но заданной ее производной. К этому приводят многочисленные задачи из физики, химии и других областей науки и техники. Ранее (см. 14, п. 1) было установлено, что если известен закон s = s t) прямолинейного движения материальной точки, выражающий зависимость пути s от времени движения t, то скорость точки выражается производной пути по времени v = s t). Обратная задача известна скорость прямолинейного движения точки [c. 105]

    Задача учета обмена возникает и в любом другом приближенном методе. Всякий раз она приводит к интегро-дифференциальным уравнениям и, кроме того, к увеличению числа членов в матрице Ттт,-Особенно громоздким становится учет обмена в поляризационных поправках (см. ниже). [c.604]


    Вычислим функцию распределения энергии групп осцилляторов АВ и D, к которому приводят одноквантовые процессы (3) (см. 10). Осцилляторы могут быть как гармоническими, так и ангармоническими. В соответствии с интересующей нас задачей предположим, что поступательное и вращательное движения осцилляторов молекул характеризуются общей температурой Т. В изучаемой квазиравновесной статистической системе, кроме энергии и массы, согласно (10.4), есть еще один интеграл движения N. = [c.46]

    При решении многих задач как прикладного, так и теоретического характера приходится суммировать бесконечное число бесконечно малых слагаемых. Эта операция приводит к одному из центральных понятий математики – понятию интеграла (или определенного интеграла). [c.75]

    Многие геометрические задачи и задачи физико-химического содержания приводят к понятию интеграла от функций двух и более переменных (такие интегралы называются кратными), а также к интегралам по длине дуги (или к криволинейным интегралам). Вычисление этих интегралов осуществляется путем сведения их к интегралу от функции, зависящей от одной переменной. Этот способ дает возможность многие кратные и криволинейные интегралы вычислять с помощью известной формулы Ньютона-Лейбница. [c.121]

    Следующие приближения содержат суммы аналогичных интегралов [47]. Описание гидродинамики и теплообмена интегро-дифференциальными уравнениями, интегрируемыми по траекториям движения частиц жидкости, затрудняет применение традиционных конечно-разностных методов численного решения задач. Поэтому стремятся приводить интегральные РУС к эквивалентным релаксационным РУС [47], для которых тензор напряжений в общем случае определяется из системы дифференциальных уравнений, где все локальные величины зависят от параметров течения, взятых только в рассматриваемый момент времени. Эти РУС не разрешены относительно тензора напряжений и содержат по меньшей мере одну производную от него по времени Скорость изменения (релаксации) напряжений, фигурирующая в уравнениях такого типа, обусловливает их название Релаксационные РУС приводят к описанию гидродинамики и теплообмена системами дифференциальных уравнений в частных производных, решаемых традиционными конечно-разностными методами. [c.124]

    Здесь возможны два подхода. Либо интеграл скоростей 5/, и и связанные с ним элементы матрицы Якоби 5о, г вычисляются в начале временного шага, а зависимые переменные уточняются все вместе в конце шага, либо соответствующие значения и и Зо. и вычисляются перед решением отдельного уравнения, а зависимая переменная уточняется после решения этого уравнения. При использовании второго подхода становится существенным порядок решения уравнений. Лучше всего сначала решать уравнения для наиболее активных радикалов, затем для менее активных промежуточных компонентов, потом для исходных компонентов, продуктов сгорания и инертных компонентов и, наконец, для энтальпии. Такой метод в принципе наиболее экономичен с вычислительной точки зрения, но приводит к нарушению химических законов сохранения на отдельных шагах по времени в процессе установления. Как было установлено, это может приводить к потере устойчивости вычислений в некоторых задачах диффузионного горения (разд. 7.2.2). Первый же метод свободен от этих недостатков. [c.92]

    Задача сводится к определению численной величины интеграла /. Графическое интегрирование дает значение / 5 0,82я, что приводит к формуле  [c.336]

    Выбранный чпсленный метод должен обеспечить рациональное время, затрачиваемое на решение задачи и на подготовку программы, а также выполнить решение задачи с заданной точностью. Так, например, для вычисления определенного интеграла по формуле (1.8) точность вычисления пропорциональна шагу интегрирования к = Ах, следовательно, к увеличению точности в два раза приводит уменьшение в два раза шага к = /г/2 и увеличение в два раза числа элементарных отрезков пи времени интегрирования.[c.30]

    Вклад самопересечений в конфигурационный интеграл может быть также получен с помощью рассуждения, аналогичного методу Майера в теории газов первая поправка к ( лг без самопересечений учитывает возможность однократных самопересечений цепи, вторая учитывает двукратные самопересечения и т. д. Такое ис-еледование было проведено Алхимовым [26]. Достоинством метода Алхимова, на наш взгляд, является наличие малого параметра, аналогичного малому параметру Майера, позволяющее сделать оценку точности метода. Недостаток заключается (в отличие от разложений Майера) в зависимости этого параметра от числа звеньев цепи N, а это приводит к тому, что для длинных цепей параметр перестает быть малым и метод оказывается непригодным. В нашем изложении, рассматривая только одномерную задачу, мы будем учитывать только ближние взаимодействия. [c.64]

    В последнее время наблюдается повышенный интерес к вопросам теплообмена при совместном действии излучения и других видов переноса тепла (теплопроводности и коивекции). По своему характеру эффекты взаимодействия указанных видов переноса могут быть подразделены на две основные категории. Эффекты, относящиеся к первой категории, связаны с излучением, проходящим через поглощающую среду, такую, иапример,, как водяной пар или 1кварц. В этом случае суммарный поток лучистой энергии подводится (или отводится) iK каждому элементу среды, и, следовательно, влияние излучения на процессы теплопроводности или конвекции можно уподобить действию внутренних источников или стоков тепла. Поскольку аналитическое выражение, учитывающее влияние этих источников (стоков) тепла, является функцией излучательной способности, то задачи подобного рода оказываются нелинейными. Кроме ТОГО, излучение к элементу или от него характеризуется конечными расстояниями, что приводит к интегральному выражению для члена, учитывающего источники и стоки тепла, и, следовательно, уравнение, выражающее закон сохранения энергии, должно быть интегро-дифференциальным уравнением. [c.140]


    Основная задача статистической теории, в частности теории жидкого состояния, состоит в расчете структуры и термодинамических свойств вещества по известным межмолекулярным силам. Математическое описание подобного рода связи приводит к интегро-дифференциальным уравнениям для корреляционных функций, определяющих термодинамические величины. Эти уравнения можно разбить на две группы. Первая — это точные уравнения типа уравнений Боголюбова, представляющие собой системы зацепляющихся интегро-дифференциальных уравнений [77]. Основная трудность решения этих уравнений состоит в отсутствие общего метода расщепления их в любом порядке. Вторая — это приближенные уравнения типа Перкуса—Иевика и сверхпереплетающих-ся цепочек [1, 3]. В последних двух случаях важным вопросом является физическое обоснование этих уравнений. [c.22]

    Для системы зарянчастиц отдельные групповые интегралы расходятся из-за дальнодействующего характера кулоновских сил. Поэтому, чтобы получить конечные значения термодинамических величин, вообще говоря, необходимо суммировать полные ряды типа (II. 1. 22). В общем случае такая задача является непреодолимой. Возможно, однако, из каждого группового интеграла 6 ( ==1, 2,. . . ) выделить опреде.пенные частные интегралы, бесконечная сумма которых вычисляется до конца. Монтроллом и Уордом [85] построена схема выделения интегралов, играющих основную роль в описании коллективных взаимодействий в системах заряженных частиц. Подсчитанная ими сумма так называемых кольцевых интегралов (которая будет рассмотрена ниже) в классическом предельном случае приводит к теории Дебая—Хюккеля, а в предельном случае низких температур — к формуле Гелл-Манна—Бракнера [76, 77 ]. Развитие указанной схемы в направлении учета более сложных классов интегралов приводит, как показано в работе [98], к расходимостям статистических интегралов, но уже на малых расстояниях. Это указывает [c.244]

    Если же условие получения восстанавливаемой Дг) в виде аналит ческого выражения необязательно, то может быть использована процед ра сведения интегрального уравнения (6.21) к системе линейных алге раических уравнений, основанная на замене интеграла интегрально суммой по какой-либо квадратурной формуле, как описано в 6. 2. Пр использовании формулы трапеций выражение (6.21) приводится к сист ме (6.26), в результате решения которой методом регуляризации получ ются значения искомой ФПРК в выбранном наборе точек г . На рис. 4 приведены результаты решения обратной задачи МЭП по восстановл [c.132]


Неопределённые интегралы задачи с решением по высшей математике

Оглавление:

  • Неопределённые интегралы
  • Свойства неопределённого интеграла
  • Таблица основных интегралов
    • Задача №72.
    • Задача №73.

Неопределённые интегралы

Пусть функции и определены на множестве .

Функция называется первообразной функцией для функции на множестве , если её производная и дифференциал на .

Теорема. Если есть первообразная функция для , то и функция , где — произвольная постоянная, тоже будет первообразной для функции .

Доказательство. .

Отсюда следует, что если функция имеет хотя бы одну первообразную, то она будет иметь бесконечное множество первообразных функций.

Совокупность всех первообразных функций для функции называется неопределённым интегралом функции и обозначается , т. е. .

Свойства неопределённого интеграла

Таблица основных интегралов
Задача №72.

Вычислить интеграл:

Проверка. Чтобы проверить правильность вычисления интеграла, надо от первообразной взять производную и получить подынтегральную функцию:

Задача №73.

Вычислить

Задача №74.

Вычислить

Задача №75.

Вычислить интеграл:

Задача №76.

Вычислить интеграл:

Этот материал взят со страницы кратких лекций с решением задач по высшей математике:

Решение задач по высшей математике

Возможно эти страницы вам будут полезны:

Частные производные высших порядков в высшей математике
Экстремум функции нескольких переменных задачи с решением
Интегрирование заменой переменной (подстановкой) задачи с решением
Интегрирование по частям задача с решением

Интегралы, дифференциальные уравнения, ряды -примеры решения.

Ниже приведены условия и решения задач. Закачка решений в формате doc начнется автоматически через 10 секунд. 

№1 Найти неопределенные интегралы

а) ,   б) ,  в) ,  г)

Решение.

а)

 

При вычислении использовали табличные интегралы

, ,

б)

Используем теорему о «замене типа подведение под знак дифференциала»

 , где t = g(x)

В данном случае . Тогда

 

в)

Для вычисления данного интеграла будем использовать формулу интегрирования по частям

Обозначим: , . Тогда

В итоге получим

Интеграл также вычислим при помощи формулы интегрирования по частям

Обозначим: , . Тогда

В итоге получим

Тогда

г)

Ответ: а) , б) ,в) ,

г)

 

№2 Вычислить определенные интегралы

а) , б)   , в)  ,  г)

Решение.

а)

б)

 

При вычислении использовали табличный интеграл

в) 

Используем метод интегрирования по частям:

Обозначим: , . Найдем v 

Найдем :

Тогда

г)

Применяем подстановку , тогда

При x=0  

При x=  

Переходя к новой переменной, получаем

Ответ: а) , б) , в) , г)

 

№3 Найти общие решения дифференциальных уравнений

а) , б)

Решение.

а)

Данное уравнение является уравнением с разделяющими переменными.

  Постараемся преобразовать уравнение так, чтобы в левой его части было выражение, содержащее только переменную y, а в правой неизвестную функцию x.

Равенство дифференциалов предполагает, что сами функции отличаются друг от друга на некоторую константу С, т.е.

б)

Данное уравнение является уравнением с разделяющими переменными.

Ответ: а) , б)

 

№4 Решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение

Решение.

Разделим уравнение на

Данное уравнение является линейным.

Сделаем подстановку  , где – неизвестные функции   от х. Тогда . Подставляя выражения и в данное уравнение, получаем:

Подберем функцию так, чтобы выражение в скобках было равно нулю, т.е. решим диф. уравнение  . Итак,

Ввиду свободы выбора функции , можно принять с=1. Отсюда   Подставляя найденную функцию в уравнение (*), получаем:

Возвращаясь к переменной , получаем решение

Ответ:

 

№5 Найти решение задачи Коши

,

Решение.

Данное уравнение является уравнением, допускающим понижение порядка.

Полагаем , получим . Подставим данные выражения в исходное уравнение

Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделяем переменные

Заменяя вспомогательную переменную р через , получим уравнение

Чтобы найти указанное частное решение, подставим начальные данные в полученное выражение

Тогда

Таким образом, частное решение имеет вид

Ответ:

 

№6 Решить уранение

Решение.

Найдем сначала общее решение соответствующего однородного уравнения

Составим характеристическое уравнение . Решаем его:

Тогда общее решение исходного уравнения есть

 .

 Переходим к отысканию частного решения исходного уравнения. В данном случае частное решение ищем в виде

           Найдем производные данной функции

 Подставим данные выражения в исходное уравнение, получаем

   

            Следовательно, частное решение имеет вид

 Общее решение имеет вид

Ответ:

 

№7 Исследовать на сходимость ряд

Решение.

Воспользуемся признаком Даламбера.

Так как то ряд – сходится.

Ответ: ряд сходится по признаку Даламбера

 

 

№8 Найти области сходимости степенных рядов:

а) , б)

Решение.

а)

Найдем радиус сходимости по формуле

Где

то     есть  ряд сходится при   ,      отсюда      границы      интервала      сходимости

Исследуем отдельно точки

При х =   имеем ряд

Это знакочередующийся ряд, для которого не выполнены условия признака Лейбница:

Общий член ряда не стремится к нулю:

При х =1   имеем ряд

Данный ряд расходится, так как не выполнено необходимое условие сходимости рядов

Следовательно, областью сходимости исходного ряда является интервал

б)

Интервал сходимости находим из следующего условия:

Тогда

Следовательно, ряд сходится при

  .

Исследуем сходимость ряда на концах этого интервала.

При х =3  имеем ряд

 

Это знакочередующийся ряд, для которого выполнены условия признака Лейбница:

1)    Общий член ряда стремится к нулю:

2)    Последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает:

Следовательно ряд сходится условно по признаку Лейбница.

При х =5  имеем ряд

 

Это знакочередующийся ряд, для которого выполнены условия признака Лейбница.

Следовательно, областью сходимости исходного ряда является отрезок [3,5].

Ответ: а) ,  б) [3,5].

 

 

 

 

 

№9 Разложить функцию в ряд Маклорена и указать область сходимости полученного ряда.

Решение.

Разложим функцию в ряд, для чего воспользуемся формулой

заменив в этой формуле x на . Получим:

Разложение функции имеет вид

 Определим область сходимости. Поскольку разложение экспоненты

сходится при любом х, то область сходимости полученного ряда: 

Ответ: ,

 

сборник задач по физике. Производная и интеграл при решении задач.

Мини – сборник задач по физике.

Производная и интеграл при решении задач.

1. Применение производной для решения задач по физике

Задача 1

Тело массой 4 кг движется прямолинейно по закону х(t) = t2 +t + 1. Какова кинетическая энергия тела в конце третьей секунды движения после начала движения и сила, действующая на тело?

Дано:

m =4 кг

х(t) = t2 +t + 1

t=3 с

Wк ? F?

Решение: Скорость есть функция времени, поэтому

= х’(t)

= 2t + 1

(3) = 7 м/с

В физике скорость изменения скорости называется ускорением.

a(t) = ’(t)

a(t) =2м/с2

Операция нахождения производной функции называется дифференцированием. С физической точки зрения дифференцирование – определение скорости изменения переменной величины. Производная, таким образом, играет роль скорости изменения зависимой переменной y по отношению к изменению независимой переменной х. Последняя не обязана иметь физический смысл времени.

W =

W = 98 Дж

F = ma

F = 8 Н

Ответ: 98 Дж; 8 Н.

Задача 2

Зависимость между массой вещества М, получаемого в химической реакции и временем t выражается уравнением: М(t) = Аt2 +Bt, где А и В – постоянные. Какова скорость реакции?

Дано:

М(t) = Аt2 +Bt

Скорость химической реакции определяется: = М’(t)

= 2 At+ B

Ответ: 2 At+ B

Задача 3

Конденсатор ёмкостью C и зарядом q0 разряжается через резистор R по закону: q = q0 Найти скорость изменения заряда конденсатора. Какова скорость в начале разряда (t = 0)?

Дано:

q = q0

q’(t) ? q’(0) ?

Решение:

q’(t) = (q0’ = q0 (’·(- )’ = q0 = –

q’(0)= –

Ответ: – ; – .

Задача 4

Концентрация некоторого вещества в крови человека вследствие его выведения из организма изменяется по закону: n(t) = 2. Как изменяется скорость выведения вещества из организма с течением времени? Какой смысл имеет знак скорости?

Дано:

n(t) = 2

n’(t) ?

Решение:

n’(t) = (2 = 2 ( · (- 0,05t)’ = 2 · (- 0,05) = -0,1

Ответ: -0,1; знак (-) означает убывание концентрации вещества с течением времени.

Задача 5

В двухэлектродной лампе сила анодного тока зависит от анодного напряжения по закону: I(U) = , где – постоянная, зависящая от формы, размеров, расположения электродов. Получить формулу прироста тока на каждую единицу изменения напряжения.

Дано:

I(U) =

I’(U)?

Решение:

I’(U) = )’ =

Исходя из определения производной I’(U) = tg

I’(U) = lim

Ответ: .

Задача 6

Каково изменение периода колебаний математического маятника при изменении его длины?

Решение:

Период колебаний математического маятника определяется по формуле:

T = 2.

T’(l) = (2)’ = 2(()’ ·( )’ = 2 · (· = · = .

Ответ:

Задача 7

Заряд на пластинах конденсатора колебательного контура с течением времени изменяется по закону: q = 10-6. Записать уравнение зависимости силы тока от времени.

Дано:

q = 10-6

I(t) ?

Решение:

I(t) = q’(t) = 10-6· 104 = 10-2

Ответ: 10-2

Применение интеграла для решения задач по физике

Задача 1

Уравнение скорости материальной точки имеет вид: Напишите уравнение движения x = x(t).

Дано:

x = x(t)?

Решение:

x = = = 6· – 3· = 2t3 –t2.

Ответ: 2t3 –t2

Задача 2

По закону Гука сила упругости пропорциональна растяжению пружины. Сила в 100 Н растягивает пружину на 2 см. Какую работу она при этом совершает?

Дано:

F = 100 H

x = 0,02 м

А?

Решение:

По закону Гука: F = kx, k = .

K = 500

А =

A = = k·

A = 0,1 Дж

Ответ: 0,1 Дж

Задача 3

ЭДС изменяется по закону: = – 0,01 . Как изменяется магнитный поток?

Дано:

= – 0,01

Ф = Ф(t)?

Решение:

Ф = = = – 0,01 · (- =

0,01 .

Ответ: 0,01 .

Задача 4

Электрические заряды q1 = 1 нКл, q2 = 4 нКл расположены на расстоянии 20 см друг от друга. Найти работу по перемещению зарядов, если расстояние увеличилось до 40 см.

Дано:

q1 = 1 нКл

q2 = 4 нКл

r1 = 20 см

r2 = 40 см

А?

Решение:

По закону Кулона F =k .

A = = dr = kq1q2 = kq1q2 dr = kq1q2 ( =

= kq1q2(

A = 90·10-9 Дж = 90 нДж.

Ответ: 90 нДж.

Задача 5

Из шахты глубиной 200 м равномерно поднимают клеть весом 15 кН с помощью каната, намотанного на барабан. Вес каждого метра каната 30 Н. Какова работа, необходимая для поднятия клети.

Дано:

h = 200 м

P = 15 000Н

P0 = 30 Н

А?

Решение:

Работа, необходимая для поднятия клети, равна сумме работ для поднятия самой клети и каната.

А =А1 + А2

Работа по поднятию клети А1 = P h

Работа по поднятию каната А2 = = = P0· = P0· .

А = P h + P0· .

А = 3,6 · 106 Дж

Ответ: 6,6 МДж

Задача 6

На оси ОХ закреплено тело массой 10 кг. В точке с координатой 10 м находится тело массой 20 кг. Найти работу силу тяготения, если тело массой 20 кг перемещается в точку с координатой 20 м.

Дано:

m1 = 10 кг

m2 = 20 кг

r1 = 10 м

r2 = 20 м

А?

Решение:

Так как сила тяготения будет направлена к началу координат, поэтому

F = – .

A = = – = – = – G(- r)– 1 = G().

A =

Задача 7

Найти работу изотермического расширения идеального газа под поршнем цилиндра, если площадь цилиндра S, объём изменяется от V1 до V2, а высота столба газа от L1 до L2.

Дано:

S, V1 ,V2

L1 ,L2

A?

Решение:

Работа силы давления газа равна

A = .

Cилы давления газа равна: F = PS

Из уравнения Менделеева-Клапейрона получается:

P = Обозначим как С. V = SL. Тогда А = = = = c .

dV = SdL, A = C ln = C(ln) = C·ln.

Ответ: C·ln

Исчисление I – Интегралы (практические задачи)

Показать уведомление для мобильных устройств Показать все заметки Скрыть все заметки

Похоже, вы используете устройство с “узкой” шириной экрана (, т.е. , вероятно, вы используете мобильный телефон). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме.Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Глава 5: Интегралы

Вот набор практических задач для главы «Интегралы» в примечаниях к исчислению I.

  1. Если вам нужен документ в формате pdf, содержащий решения, вкладка загрузки выше содержит ссылки на файлы PDF, содержащие решения для полной книги, главы и раздела.В настоящее время я не предлагаю PDF-файлы для решения отдельных проблем.
  2. Если вы хотите просмотреть решения в Интернете, перейдите на веб-страницу с набором задач, щелкните ссылку решения для любой проблемы, и вы перейдете к решению этой проблемы.

Обратите внимание, что в некоторых разделах будет больше проблем, чем в других, а в некоторых будет более или менее разнообразных проблем. В большинстве разделов должны быть заданы разные уровни сложности, хотя от раздела к разделу он будет меняться.

Вот список всех разделов, для которых были написаны практические задачи, а также краткое описание материала, содержащегося в примечаниях к этому конкретному разделу.

Неопределенные интегралы – В этом разделе мы начнем главу с определения и свойств неопределенных интегралов. В этом разделе мы не будем вычислять много неопределенных интегралов. Этот раздел посвящен простому определению того, что такое неопределенный интеграл, и описанию многих свойств неопределенного интеграла.Фактически вычисление неопределенных интегралов начнется в следующем разделе.

Вычисление неопределенных интегралов – В этом разделе мы вычислим некоторые неопределенные интегралы. Интегралы в этом разделе, как правило, будут такими, которые не требуют большого количества манипуляций с функцией, которую мы интегрируем, чтобы фактически вычислить интеграл. Как мы увидим, начиная со следующего раздела, многие интегралы действительно требуют некоторых манипуляций с функцией, прежде чем мы действительно сможем выполнить интеграл.Мы также кратко рассмотрим применение неопределенных интегралов.

Правило замещения для неопределенных интегралов. В этом разделе мы начнем использовать один из наиболее распространенных и полезных методов интеграции – правило замещения. С помощью правила подстановки мы сможем интегрировать более широкий спектр функций. Все интегралы в этом разделе потребуют некоторых манипуляций с функцией перед интегрированием, в отличие от большинства интегралов из предыдущего раздела, где все, что нам действительно нужно, это основные формулы интегрирования.

Дополнительные правила замены – в этом разделе мы продолжим рассмотрение правила замены. Проблемы в этом разделе, как правило, будут немного сложнее, чем в предыдущем разделе.

Проблема с областью – В этом разделе мы начинаем с мотивации определенных интегралов и даем одну из интерпретаций определенных интегралов. Мы будем аппроксимировать площадь, которая находится между функцией и осью \ (x \). Как мы увидим в следующем разделе, эта проблема приведет нас к определению определенного интеграла и будет одной из основных интерпретаций определенного интеграла, которую мы рассмотрим в этом материале.

Определение определенного интеграла – В этом разделе мы формально определим определенный интеграл, дадим многие из его свойств и обсудим несколько интерпретаций определенного интеграла. Мы также рассмотрим первую часть фундаментальной теоремы исчисления, которая показывает очень тесную связь между производными и интегралами

.

Вычисление определенных интегралов – В этом разделе мы рассмотрим вторую часть фундаментальной теоремы исчисления.Это покажет нам, как мы вычисляем определенные интегралы без использования (часто очень неприятного) определения. Все примеры в этом разделе могут быть выполнены с базовыми знаниями неопределенных интегралов и не требуют использования правила подстановки. В примеры этого раздела включены вычисления определенных интегралов от кусочных и абсолютных функций.

Правило подстановки для определенных интегралов – В этом разделе мы еще раз рассмотрим правило подстановки, поскольку оно применяется к определенным интегралам.2 \), что-то столь же простое, как \ (∫x \ sin x \, \, dx \), бросает нам вызов. Многие студенты хотят знать, существует ли правило продукта для интеграции. Нет, но есть метод, основанный на правиле произведения для дифференциации, который позволяет нам заменять один интеграл на другой. Мы называем эту технику интеграцией по частям.

Формула интеграции по частям

Если \ (h (x) = f (x) g (x) \), то, используя правило произведения, получаем

\ [h ′ (x) = f ′ (x) g (x) + g ′ (x) f (x).\ label {eq1} \]

Хотя сначала это может показаться контрпродуктивным, теперь давайте объединим обе стороны уравнения \ ref {eq1}:

\ [∫h ′ (x) \, \, dx = ∫ (g (x) f ′ (x) + f (x) g ′ (x)) \, \, dx. \ nonumber \]

Это дает нам

\ [h (x) = f (x) g (x) = ∫g (x) f ′ (x) \, dx + ∫f (x) g ′ (x) \, \, dx. \ nonumber \]

Теперь решаем относительно \ (∫f (x) g ′ (x) \, \, dx: \)

\ [∫f (x) g ′ (x) \, dx = f (x) g (x) −∫g (x) f ′ (x) \, \, dx. \ nonumber \]

Сделав замены \ (u = f (x) \) и \ (v = g (x) \), которые, в свою очередь, сделают \ (du = f ′ (x) \, dx \) и \ (dv = g ′ (x) \, dx \) имеем более компактную форму

\ [∫u \, dv = uv − ∫v \, du.\ nonumber \]

Интеграция по частям

Пусть \ (u = f (x) \) и \ (v = g (x) \) – функции с непрерывными производными. Тогда формула интегрирования по частям для интеграла, включающего эти две функции, будет:

\ [∫u \, dv = uv − ∫v \, du. \ label {IBP} \]

Преимущество использования формулы интегрирования по частям состоит в том, что мы можем использовать ее для замены одного интеграла на другой, возможно, более простой интеграл. Следующий пример иллюстрирует его использование.

Пример \ (\ PageIndex {1} \): использование интеграции по частям

Используйте интегрирование по частям с \ (u = x \) и \ (dv = \ sin x \, \, dx \) для оценки

\ [∫x \ sin x \, \, dx.\ nonumber \]

Решение

Выбирая \ (u = x \), мы получаем \ (du = 1 \, \, dx \). Поскольку \ (dv = \ sin x \, \, dx \), получаем

\ [v = ∫ \ sin x \, \, dx = – \ cos x. \ nonumber \]

Эти значения удобно отслеживать следующим образом:

  • \ (и = х \)
  • \ (dv = \ sin x \, \, dx \)
  • \ (du = 1 \, dx \)
  • \ (v = ∫ \ sin x \, \, dx = – \ cos x. \)

Применение формулы интегрирования по частям (Equation \ ref {IBP}) дает

\ [\ begin {align} ∫x \ sin x \, \, dx & = (x) (- \ cos x) −∫ (- \ cos x) (1 \, \, dx) \ tag {Substitute} \\ [4pt] & = – x \ cos x + ∫ \ cos x \, \, dx \ tag {Simplify} \ end {align} \]

Затем используйте

\ [∫ \ cos x \, \, dx = \ sin x + C.2 \ соз х \, \, dx. \ nonumber \]

К сожалению, с новым интегралом мы не в лучшем положении, чем раньше. Важно помнить, что когда мы применяем интегрирование по частям, нам может потребоваться попробовать несколько вариантов для \ (u \) и \ (dv \), прежде чем найти подходящий вариант.

Во-вторых, вы можете задаться вопросом, почему, когда мы находим \ (v = ∫ \ sin x \, \, dx = – \ cos x \), мы не используем \ (v = – \ cos x + K. \) Чтобы убедиться, что это не имеет значения, мы можем переработать задачу, используя \ (v = – \ cos x + K \):

\ [\ begin {align *} ∫x \ sin x \, \, dx & = (x) (- \ cos x + K) −∫ (- \ cos x + K) (1 \, \, dx) \\ [4pt] & = – x \ cos x + Kx + ∫ \ cos x \, \, dx − ∫K \, \, dx \\ [4pt] & = – x \ cos x + Kx + \ sin x − Kx + C \\ [4pt] & = – x \ cos x + \ sin x + C.\ end {align *} \]

Как видите, в конечном решении это не имеет значения.

Наконец, мы можем проверить правильность нашей первообразной путем дифференцирования \ (- x \ cos x + \ sin x + C: \)

\ [\ begin {align *} \ dfrac {d} {\, dx} (- x \ cos x + \ sin x + C) = \ cancel {(- 1) \ cos x} + (−x) (- \ sin x) + \ cancel {\ cos x} \\ [4pt] = x \ sin x \ end {align *} \]

Следовательно, первообразная проверяется. {2x} \, \, dx \).{2x} + C \ nonumber \]

Здесь возникает естественный вопрос: как мы узнаем, как выбирать \ (u \) и \ (dv \)? Иногда это результат проб и ошибок; однако аббревиатура LIATE часто помогает избавиться от некоторых догадок в нашем выборе. Этот акроним означает L огарифмических функций, I nverse тригонометрических функций, A алгебраических функций, T ригонометрических функций и E xponential функций.Эта мнемоника помогает определить подходящий выбор для \ (u \). Тип функции в интеграле, который появляется первым в списке, должен быть нашим первым выбором \ (u \).

Например, если интеграл содержит логарифмическую функцию и алгебраическую функцию , мы должны выбрать \ (u \) в качестве логарифмической функции, потому что L стоит перед A в LIATE. Интеграл в примере \ (\ PageIndex {1} \) имеет тригонометрическую функцию (\ (\ sin x \)) и алгебраическую функцию (\ (x \)).Поскольку A стоит перед T в LIATE, мы выбрали \ (u \) в качестве алгебраической функции. Когда мы выбрали \ (u \), \ (dv \) выбирается как оставшаяся часть интегрируемой функции вместе с \ (\, dx \).

Почему эта мнемоника работает? Помните, что все, что мы выбираем как \ (dv \), должно быть чем-то, что мы можем интегрировать. Поскольку у нас нет формул интегрирования, позволяющих интегрировать простые логарифмические функции и обратные тригонометрические функции, имеет смысл не выбирать их в качестве значений для \ (dv \).Следовательно, они должны быть во главе списка как варианты выбора для \ (u \). Таким образом, мы помещаем LI в начало мнемоники. (Мы могли бы так же легко начать с IL, поскольку эти два типа функций не будут появляться вместе в задаче интегрирования по частям.) Экспоненциальные и тригонометрические функции находятся в конце нашего списка, потому что их довольно просто интегрировать и сделать хороший выбор для \ (dv \). Таким образом, у нас есть TE в конце нашей мнемоники. (Мы могли бы так же легко использовать ET в конце, поскольку, когда эти типы функций появляются вместе, обычно не имеет значения, какая из них \ (u \), а какая \ (dv \).2} + С. \ end {align *} \]

Пример \ (\ PageIndex {3C} \): применение интеграции по частям более одного раза

Вычислить \ [∫ \ sin (\ ln x) \, dx. \ nonumber \]

Решение

Этот интеграл, похоже, имеет только одну функцию, а именно \ (\ sin (\ ln x) \), однако мы всегда можем использовать постоянную функцию 1 в качестве другой функции. В этом примере давайте выберем \ (u = \ sin (\ ln x) \) и \ (dv = 1 \, dx \). (Решение использовать \ (u = \ sin (\ ln x) \) легко. Мы не можем выбрать \ (dv = \ sin (\ ln x) \, dx \), потому что, если бы мы могли его интегрировать, мы не будет использовать интегрирование по частям в первую очередь!) Следовательно, \ (du = (1 / x) \ cos (\ ln x) \, dx \) и \ (v = ∫ 1 \, dx = x .\) После применения интегрирования по частям к интегралу и упрощения имеем

\ [∫ \ sin \ left (\ ln x \ right) \, dx = x \ sin (\ ln x) – \ int \ cos (\ ln x) \, dx. \ nonumber \]

К сожалению, этот процесс оставляет нам новый интеграл, очень похожий на исходный. Однако давайте посмотрим, что произойдет, когда мы снова применим интеграцию по частям. На этот раз выберем \ (u = \ cos (\ ln x) \) и \ (dv = 1 \, dx, \), образуя \ (du = – (1 / x) \ sin (\ ln x) \, dx \) и \ (v = ∫ 1 \, dx = x. \)

Подставляя, получаем

\ [∫ \ sin (\ ln x) \, dx = x \ sin (\ ln x) – (x \ cos (\ ln x) -∫ – \ sin (\ ln x) \, dx).\ nonumber \]

После упрощения получаем

\ [∫ \ sin (\ ln x) \, dx = x \ sin (\ ln x) −x \ cos (\ ln x) −∫ \ sin (\ ln x) \, dx. \ nonumber \]

Последний интеграл теперь такой же, как и исходный. Может показаться, что мы просто пошли по кругу, но теперь мы действительно можем вычислить интеграл. Чтобы увидеть, как это сделать более наглядно, подставьте \ (I = ∫ \ sin (\ ln x) \, dx. \). Таким образом, уравнение принимает вид

\ [I = х \ sin (\ ln x) −x \ cos (\ ln x) −I. \ nonumber \]

Сначала добавьте \ (I \) к обеим частям уравнения, чтобы получить

\ [2I = х \ sin (\ ln x) −x \ cos (\ ln x).\ nonumber \]

Далее разделите на 2:

\ [I = \ dfrac {1} {2} x \ sin (\ ln x) – \ dfrac {1} {2} x \ cos (\ ln x). \ nonumber \]

Подставляя снова \ (I = ∫ \ sin (\ ln x) \, dx \), получаем

\ [\ int \ sin (\ ln x) \, dx = \ dfrac {1} {2} x \ sin (\ ln x) – \ dfrac {1} {2} x \ cos (\ ln x). \ nonumber \]

Отсюда мы видим, что \ ((1/2) x \ sin (\ ln x) – (1/2) x \ cos (\ ln x) \) является первообразной от \ (\ sin (\ ln x) \, dx \). Для наиболее общего первообразного прибавьте \ (+ C \):

.

\ [∫ \ sin (\ ln x) \, dx = \ dfrac {1} {2} x \ sin (\ ln x) – \ dfrac {1} {2} x \ cos (\ ln x) + C .\ nonumber \]

Анализ

Если этот метод сначала покажется немного странным, мы можем проверить ответ дифференцированием:

\ [\ begin {align *} \ dfrac {d} {\, dx} \ left (\ dfrac {1} {2} x \ sin (\ ln x) – \ dfrac {1} {2} x \ cos (\ ln x) \ right) \\ [4pt] & = \ dfrac {1} {2} (\ sin (\ ln x)) + \ cos (\ ln x) ⋅ \ dfrac {1} {x} ⋅ \ dfrac {1} {2} x− \ left (\ dfrac {1} {2} \ cos (\ ln x) – \ sin (\ ln x) ⋅ \ dfrac {1} {x} ⋅ \ dfrac {1 } {2} x \ right) \\ [4pt] & = \ sin (\ ln x). 2 \ sin x \, dx.2 \ cos x + 2x \ sin x + 2 \ cos x + C \ nonumber \]

Интеграция по частям для определенных интегралов

Теперь, когда мы успешно использовали интегрирование по частям для вычисления неопределенных интегралов, мы обращаем наше внимание на определенные интегралы. Методика интегрирования на самом деле такая же, только мы добавляем шаг для вычисления интеграла на верхнем и нижнем пределе интегрирования.

Интеграция по частям для определенных интегралов

Пусть \ (u = f (x) \) и \ (v = g (x) \) – функции с непрерывными производными на [\ (a, b \)].{π / 2} _0x \ cos x \, dx = \ dfrac {π} {2} −1 \ nonumber \]

Geneseo Math 221 10 Набор задач интеграции

Geneseo Math 221 10 Набор задач интеграции

SUNY Geneseo Департамент математики

Math 221 10
Осень 2014 г.
Проф. Дуг Болдуин

Завершено к четверг, 4 декабря
Оценка до Вторник, 16 декабря

Цель

Этот урок укрепит ваше понимание определенного интеграла и его приложений.Это упражнение также развивает вашу способность использовать замены для оценки неопределенного (и определенные) интегралы.

Фон

Это упражнение основано на материале разделов 5.4 учебника («Основная теорема Исчисление »), 5.5 (« Неопределенные интегралы и метод подстановки ») и 5.6 («Определенные интегральные замены и площадь между кривыми»), и первые разделы главы 6 («Приложения определенных интегралов»). Мы рассмотрели (или рассмотрим) этот материал на занятиях примерно с 20 ноября. и 8 декабря.

Деятельность

Решите каждую из следующих проблем. Обратите внимание, что я также надеюсь добавить пару дополнительных кредитные проблемы для этой проблемы, установленные на последних классных собраниях, в зависимости от того, как многие применения определенных интегралов мы можем охватить.

Задача 1

Раздел 5.4, упражнение 8 (оцените определенный интеграл от 1 до 32 x -6/5 ).

Задача 2

Часть A. Перед выполнением частей B или C найдите г ′ ( x ), учитывая, что

Часть Б. Возможно, вы не привыкли видеть функции, определенные в терминах параметров, используемых в качестве оценок интегралов, как в Части A. Чтобы убедиться, что такие определения действительно являются функциями более привычного вида, оцените определенный интеграл в Часть A, чтобы получить уравнение для г ( x ) без интеграла. (Уравнение по-прежнему будет определять g как выражение, включающее x .)

Часть C. Определите уравнение, найденное в Части B, и проверьте что он дает тот же результат, что и в Части А.

Задача 3

Раздел 5.5, упражнение 18 (вычислите интеграл от 1 / √ (5 с +4)).

Задача 4

Раздел 5.5, упражнение 34 (вычислите интеграл от (1 / √t) cos ((√t) +3)).

Задача 5

Раздел 5.6, упражнение 2a (оцените интеграл от 0 до 1 от r √ (1- r 2 ) по формуле подстановки определенных интегралов).

Задача 6

Раздел 6.1, упражнение 2 (найдите объем твердого тела, диаметр которого между двумя параболами; подробности см. в учебнике.)

Задача 7

Раздел 6.1, упражнение 16 (найдите объем твердого тела, образованного вращением треугольная область вокруг оси y ; подробности в учебнике.)

Продолжение

Я поставлю оценку этому упражнению при личной встрече с вами. Во время этой встречи я рассмотрим ваше решение, задам любые вопросы, которые у меня возникнут, ответим на ваши вопросы есть и т. д. Пожалуйста, принесите письменное решение упражнения на встречу, так как это ускорит процесс.

Запишитесь на встречу по расписанию вне моего офиса или через календарь Google. если ты работали в группе над этим упражнением, вся группа должна назначить одну встречу со мной. Пожалуйста, сделайте встречу продолжительностью полчаса (два блока в расписании) и запланируйте его завершение до окончания указанной выше даты «Оценка по». \ prime \ left (x \ right) = f \ влево (х \ вправо).\]

Дифференциальное уравнение с начальным условием \ (y \ left ({{x_0}} \ right) = {y_0} \) называется задачей начального значения.

Самая общая первообразная \ (F \ left (x \ right) + C \) функции \ (f \ left (x \ right) \) дает общее решение дифференциального уравнения \ (\ frac {{dy} } {{dx}} = f \ left (x \ right). \)

Частным решением задачи начального значения является функция, которая удовлетворяет как дифференциальному уравнению, так и начальному условию.2} + \ frac {1} {x} + 3. \]

См. Другие проблемы на странице 2.

Интегрируйте функцию с программой «Пошаговое решение математических задач»


Это руководство начинается с обсуждения первообразных, математических объектов. которые тесно связаны с производными финансовыми инструментами. После введения интеграла через проблема площади, интеграл и первообразная связаны соотношением удивительная теорема, названная основной теоремой исчисления. После устанавливая некоторые методы вычисления интегралов, мы показываем важные интерпретировать интеграл как предел некоторой суммы и продемонстрировать разнообразие приложений интеграла к проблемам бизнеса и экономики, геометрия и наука.

Неизвестные

Три примера проблем, возникающих в различных контекстах: следующее: найти функцию затрат C (x), если известны предельные затраты C ‘(x); найти популяция P (t) биологической колонии, если скорость P ‘(r), с которой популяция меняется, как известно; найти смещение s (t) объекта в точке время t, если известна скорость v (t) = s ‘(r).
Обратите внимание, что все эти задачи имеют один и тот же базовый формат: найти f (x), учитывая f ‘(х). Все подобные проблемы решаются антидифференцировкой.Элементарный Пример из бизнеса – это случай производителя, который определяет это в течение начальный период производства. предельные издержки производства линейно возрастают и задается формулой C ‘(x) = 2x. Постараемся найти соответствующую функцию стоимости C (x), для которого C ‘(x) = 2x. Хотя у нас нет аналитических методик для найдя такое C (x), должно быть ясно, что функция стоимости C (x) = x 2 даст нам известные предельные издержки C ‘(x) = 2x. Но другие функции затрат будут тоже работать.Например,

и фактически для любого числа a,


Таким образом, любая функция стоимости вида C (x) = x 2 + a даст желаемый предельный доход C ‘(x) = 2x; требуется больше информации, чтобы определить конкретное значение для. Мы вернемся к этому чуть позже. Процесс, который мы теперь рассмотрение называется антидифференцировкой. В общих условиях это может быть формулируется следующим образом:

Определение
Для данной функции f (x) функция g такая, что


называется первообразной f.Процесс поиска такой функции g есть называется антидифференцировкой. Некоторые математики предпочитают называть этот процесс неопределенная интеграция или просто интеграция по причинам, которые станут очевидно в последующих разделах.

В нашем вводном примере каждая из функций стоимости x 2 , x 2 + 1, а x 2 + 10 является первообразной от f (x) = 2x; кроме того, C (x) = x 2 + a является первообразной f (x) = 2x для любого выбора a. В В общем, если g (x) является первообразной f (x), то же самое и g (x) + a для любого номер а, начиная с

Можно доказать следующий, еще более сильный результат:

Если g является любой первообразной от f, то каждая другая первообразная должна иметь форма g (x) + a для некоторого числа a.
Таким образом, мы можем рассматривать g (x) + a как наиболее общую первообразную f. Следовательно, самая общая первообразная от f – не отдельная функция, а скорее класс функций g (x) + a, которые зависят от a.

Немецкий математик Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716) ввел обозначение

(читается как «первообразная от f» или «неопределенный интеграл от f») представляют собой наиболее общую первообразную f. Таким образом, если g – любая первообразная f, то для любого числа a.

Вкратце:

Пример 1

Пример 2

Пример 3

Число a, возникающее при антидифференцировании, часто называют “произвольным”. постоянный “. (По причинам, которые станут очевидными позже, его также называют «константа интегрирования»). В наших примерах мы использовали букву a для обозначают эту константу, но на практике обычно используется c.(Мы использовали букву a вместо c для нашей первоначальной иллюстрации с учетом затрат, поскольку c использовался для обозначения стоимости.) Следующий пример дает нам представление о значение этой произвольной константы.

Пример 4

Предположим, что на начальных этапах производства предельные затраты до произвести товар стоит C ‘(x) = 2x доллара за единицу. На этот раз предположим, что производитель также знает, что фиксированная стоимость производства C (0) составляет 500 долларов.Находить соответствующая функция стоимости C (x).

Мы уже видели, что любая функция затрат для этих предельных затрат должна иметь форма C (x) = x 2 + a для некоторой константы a. С

С (0) = 500 = 0 2 + а = а,

мы имеем a = 500. Таким образом, функция стоимости определяется как C (x) = x 2 + 500

Из этого примера мы видим, что произвольная константа c является фиксированной стоимостью производство. Зная только предельную стоимость, мы не можем сказать, что это за фиксированная стоимость. является; фиксированная стоимость – дополнительная информация.Каждая из функций стоимости что соответствует предельным затратам C ‘(x) = 2x, будет иметь вид

C (x) = x 2 + (фиксированная стоимость).

Следующие два результата очень полезны при оценке первообразных. Здесь n обозначает действительное число, а c – постоянная интегрирования.

Обратите внимание, что Правило (2) выполняется для n! = – 1, а Правило (3) распространяется на случай, когда n = -1. Для проверки правила (2) воспользуемся определением (1) следующим образом:

Чтобы проверить Правило (3), вспомните, что

Пример 5 Используйте Правило (2) для оценки каждого первообразного:


Решения:

Интегральное исчисление – формулы, методы, примеры

Интегральное исчисление помогает находить антипроизводные функции.Эти антипроизводные также называют интегралами функции. Процесс нахождения антипроизводной функции называется интегрированием. Обратный процесс нахождения производных – нахождение интегралов. Интеграл функции представляет собой семейство кривых. Нахождение как производных, так и интегралов составляет фундаментальное исчисление. В этой теме мы рассмотрим основы интегралов и вычисления интегралов.

Что такое интегральное исчисление?

Интегралы – это значения функции, найденные в процессе интегрирования.Процесс получения f (x) из f ‘(x) называется интегрированием. Интегралы присваивают номера функциям таким образом, чтобы описывать проблемы смещения и движения, проблемы площади и объема и т. Д., Возникающие при объединении всех небольших данных. Зная производную f ’функции f, мы можем определить функцию f. Здесь функция f называется первообразной или интегралом от f ’.

Пример: Дано: f (x) = x 2 .

Производная f (x) = f ‘(x) = 2x = g (x)

если g (x) = 2x, то антипроизводная от g (x) = ∫ g (x) = x 2

Определение интеграла

F (x) называется первообразной или интегралом Ньютона-Лейбница или примитивом функции f (x) на интервале I.F ‘(x) = f (x) для любого значения x в I.

Интеграл – это представление площади области под кривой. Мы аппроксимируем фактическое значение интеграла, рисуя прямоугольники. Определенный интеграл функции можно представить как площадь области, ограниченную ее графиком данной функции между двумя точками на прямой. Площадь области определяется путем разбиения ее на тонкие вертикальные прямоугольники и применения нижнего и верхнего пределов, площадь области суммируется.b f (x) dx \) = f (b) -f (a). Это известно как определенный интеграл от f в диапазоне [a, b], где a – нижний предел, а b – верхний предел.

Типы интегралов

Интегральное исчисление используется для решения задач следующих типов.

а) задача поиска функции, если задана ее производная.

б) задача нахождения области, ограниченной графиком функции при заданных условиях. Таким образом, интегральное исчисление делится на два типа.

  • Определенные интегралы (значения интегралов определены)
  • Неопределенные интегралы (значение интеграла неопределенное с произвольной константой, C)

Неопределенные интегралы

Это интегралы, которые не имеют ранее существовавших значений пределов; таким образом делая окончательное значение интеграла неопределенным. ∫g ‘(x) dx = g (x) + c. Неопределенные интегралы принадлежат семейству параллельных кривых.

Определенные интегралы

Определенные интегралы имеют заранее заданное значение пределов, что делает окончательное значение интеграла определенным.б е (х) дх = е (б) – е (а) \)

Свойства интегрального исчисления

Давайте изучим свойства неопределенных интегралов, чтобы работать с ними.

  • Производная интеграла – это само подынтегральное выражение. ∫ f (x) dx = f (x) + C
  • Два неопределенных интеграла с одинаковой производной приводят к одному и тому же семейству кривых, поэтому они эквивалентны. ∫ [f (x) dx -g (x) dx] = 0
  • Интеграл от суммы или разности конечного числа функций равен сумме или разности интегралов отдельных функций.∫ [f (x) dx + g (x) dx] = ∫ f (x) dx + ∫ g (x) dx
  • Константа вынесена за знак интеграла. ∫ k f (x) dx = k ∫ f (x) dx, где k ∈ R.
  • Два предыдущих свойства объединяются в форму: ∫ [k \ (_ 1 \) f \ (_ 1 \) (x) + k \ (_ 2 \) f \ (_ 2 \) (x) + … k \ (_ n \) f \ (_ n \) (x)] dx = k \ (_ 1 \) ∫ f \ (_ 1 \) (x) dx + k \ (_ 2 \) ∫ f \ (_ 2 \) (x ) dx + … k \ (_ n \) ∫ f \ (_ n \) (x) dx

Формулы интегралов

Мы можем вспомнить формулы производных некоторых важных функций.Вот соответствующие интегралы этих функций, которые запоминаются как стандартные формулы интегралов.

  • ∫ x n dx = x n + 1 / n + 1 + C, где n ≠ -1
  • ∫ dx = x + C
  • ∫ cosxdx = sinx + C
  • ∫ sinx dx = -cosx + C
  • ∫ сек 2 x dx = tanx + C
  • ∫ cosec 2 x dx = -cotx + C
  • ∫ сек 2 x dx = tanx + C
  • ∫ secx tanxdx = secx + C
  • ∫ cscx cotx dx = -cscx + C
  • ∫1 / (√ (1-x 2 )) = sin -1 x + C
  • ∫-1 / (√ (1-x 2 )) = cos -1 x + C
  • ∫1 / (1 + x 2 ) = tan -1 x + C
  • ∫-1 / (1 + x 2 ) = детская кроватка -1 x + C
  • ∫1 / (x√ (x 2 -1)) = сек -1 x + C
  • ∫-1 / (x√ (x 2 -1)) = cosec -1 x + C
  • ∫ e x dx = e x + C
  • ∫dx / x = ln | x | + C
  • ∫ a x dx = a x / ln a + C

Методы поиска интегралов

Существует несколько методов нахождения неопределенных интегралов.Известные методы:

Нахождение интегралов методом подстановки

Несколько интегралов находятся методом подстановки. Если u является функцией x, то u ‘= du / dx.

∫ f (u) u ‘dx = ∫ f (u) du, где u = g (x).

Нахождение интегралов путем интегрирования по частям

Если две функции имеют форму произведения, интегралы находятся методом интегрирования по частям.

∫f (x) g (x) dx знак равно f (x) ∫ g (x) dx – ∫ (f ‘(x) ∫g (x) dx) dx.

Нахождение интегралов интегрированием по дробным частям

Интегрирование рациональных алгебраических функций, числитель и знаменатель которых содержат положительные целые степени x с постоянными коэффициентами, выполняется путем их разделения на частичные дроби.

Чтобы найти f (x) / g (x) dx, разложите эту несобственную рациональную функцию на правильную рациональную функцию и затем проинтегрируйте.

∫f (x) / g (x) dx = ∫ p (x) / q (x) + ∫ r (x) / s (x), где g (x) = a (x). s (x)

Приложения интегрального исчисления

Используя интегрирование, мы можем найти расстояние по скорости. Определенные интегралы образуют мощный инструмент для определения площади под простыми кривыми, площади, ограниченной кривой и линией, площади между двумя кривыми, объема твердых тел.2) dx \)

= х 2 / 2- х 3 /3

= 1 / 2–1 / 3

= 1/6 кв.

Важные примечания

  • Примитивное значение функции, найденное в процессе интегрирования, называется интегралом.
  • Интеграл – это математический объект, который можно интерпретировать как площадь или как обобщение площади.
  • При интегрировании полиномиальной функции степень интеграла увеличивается на 1.

Также проверьте:

Часто задаваемые вопросы по интегральному исчислению

Что такое интегралы?

Интегралы – это значения функции, найденные в процессе интегрирования. Интеграл определяется как площадь области под кривой, которая представлена ​​как функция y = f (x).

Как называется символ интегралов?

Символ интеграла – ∫. Это означает, что он привязан к пределу от меньшего к большему и что интегралы представляют площадь кривой под графиком функции.

Какие типы интегралов?

Есть два типа интегралов: определенный интеграл и неопределенный интеграл. Определенные интегралы ограничены пределами. Неопределенные интегралы не привязаны к уже существующим значениям.

Может ли у интеграла два ответа?

Да, неопределенный интеграл может иметь бесконечные ответы в зависимости от значения постоянного члена; в то время как определенный интеграл будет постоянной величиной.

Для чего используется двойной интеграл?

Двойной интеграл используется для вычисления площадей областей, определения объемов заданной поверхности, а также среднего значения любой заданной функции в плоской области.

Как найти интегралы?

Нахождение интегралов – это операция, обратная нахождению производных. Некоторые интегралы запоминаются как формулы. Например, ∫ x n = x n + 1 / (n + 1) + C. Таким образом, x 6 = x 6 + 1 /6 + 1 = x 7 /7 + C. Некоторые интегралы используют методы интегрирования по частям, интегрирования по частям, метод подстановки и так далее.

Как использовать интегралы в тригонометрии?

Используйте тригонометрические тождества и упростите функцию до интегрируемой функции, а затем примените формулы и примените процедуры интегрирования, чтобы найти интегралы с помощью тригонометрии.

Что такое интеграл sin x?

Интеграл синуса x равен -cos x + C. ∫ sin x dX = -cos x + C.

Для чего используется интегральное исчисление?

Мы используем определенные интегралы, чтобы найти площадь под кривой или между кривыми, которые определяются функциями, мы находим их неопределенные интегралы, используя формулы и методы, а затем находим их разность интегралов, применяя пределы. Мы используем определенные интегралы для вычисления объемов трехмерных тел.Учитывая скорость, мы можем найти расстояние, поскольку расстояние является интегралом скорости.

Задачи с неопределенными интегралами

Решатель неопределенных интегралов от Math20

Определение неопределенного интеграла

Если $ \ frac {dy} {dx} = f (x) $, то y – это функция, производная которой равна $ f (x) $ и называется антипроизводной функции $ f (x) $ или неопределенный интеграл от $ f (x) $, обозначаемый $ \ int f (x) \ dx $. Аналогично, если $ y = \ int f (u) \ du $, то $ \ frac {dy} {du} = f (u) $.Поскольку производная константы равна нулю, все неопределенные интегралы отличаются на произвольную константу.

Процесс нахождения интеграла называется интегрированием .

Общие правила интеграции

Далее $ u, v, w $ – функции от $ x; a, b, p, q, n $ любые константы, с ограничением, если указано; $ e = 2.

Оставить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *