Интегрирование решения примеры: Интегралы, примеры решений

Примеры интегрирования функций

Ниже приведены примеры интегрирования, каторые охватывают значительную часть разнообразных способов нахождения неопределенного интеграла. Такого типа примеры интегрирования функций Вы чаще всего увидите на 1,2 курсах учебы из высшей математики. Ниже приведены ответы одновременно и объясняют методику взятия интегралов, и служат инструкцией по их вычислению. Чтобы сэкономить время и место самих условий до примеров мы не выписывали.

Пример 1. Если бы перед интегралом имели множителем “икс”, то его можно было бы внести под дифференциал и провести замену переменных.
Однако интеграл более сложен, потому выражения в скобках подносим к кубу, а дальше выполняем интегрирование каждого из слагаемых.

Пример 2. Задана дробная функция в знаменателе которой содержится иррациональность. Чтобы от нее избавиться функцию под корнем обозначим за новую переменную, дальше находим ее дифференциал и подставляем в интеграл. После незначительных манипуляций с показателями вычисляем интеграл, и вместо переменной подставляем выполненную замену.

Пример 3. Кто часто вычисляет интегралы или хорошо знает теорию интегралов, то в этом и подобных заданиях за новую переменную выбирает логарифм. При дифференцировании логарифма получаем единицу разделенную на “икс”, который значительно упрощает дальнейшее интегрирование.
Напоследок не забывайте в примерах на замену переменных перейти к начальной переменной “икс”.

Пример 4. Выполняем интегрирование частями, для этого синус вносим под дифференциал

После первого раза опять получим интеграл, который вычисляем интегрированием частями.

Пример 5. Имеем задание под правило интегрирования частями u*dv. За переменную выбираем экспоненту, а синус вносим под дифференциал.

После повторного интегрирования частями придем к рекуррентной формуле, из которой и определяем интеграл.

Пример 6. В этом интеграле квадратный трехчлен, который стоит в знаменателе надо возвести к сумме или разнице квадратов.

Дальше за формулами интегрирования получим арктангенс.

Пример 7. Интегрирование произведения тригонометрических функций дается не всем студентам, и здесь нужно учитывать как степени, так и сам вид функций.
В этом примере один косинус нужно внести под дифференциал и свести задание к интегрированию функции от синуса.


Сам интеграл не сложен и находится по правилу степенных функций .

Пример 8. Если имеем синусы или косинусы в показателях больше единицы, то за тригонометрическими формулами их надо расписать вплоть до первой степени. Дальше применяют формулы интегрирования синусов или косинусов.

Пример 9. Чтобы найти интеграл от дробной функции сначала разделим числитель на знаменатель, и полученную в остатке дробь распишем на самые простые дроби. После этого, используя формулы интегрирования, вычисляем значение каждого из интегралов.

Пример 10. Имеем интеграл от дробной функции

Записываем ее через самые простые дроби первого и второго типов.

Дальше возводим дроби под общий знаменатель и из условия равенства числителей складываем систему линейных уравнений для вычисления неизвестных постоянных.


После ее решения возвращаемся к дроби, подставляем сталые и выполняем интегрирование.

Пример 11. Имеем интеграл от дробной иррациональной функции. Для раскрытия иррациональности выполняем следующую замену переменных под интегралом

В результате придем к дробной рациональной функции под интегралом, которую расписав на простые дроби легко проинтегрировать.

Пример 12. В этом задании чтобы избавиться иррациональности под интегралом необходимо использовать одну известную схему.
Она заключается в том, что проведя следующую замену переменных придем к рациональной функции от косинуса.


После интегрирования возвращаемся к выполненной замене и на этом вычислению можно завершить.
Однако, если иметь под рукой тригонометрические формулы то ответ можно упростить и записать в более компактном виде.

Пример 13. Имеем в знаменателе рациональную функцию от косинуса и синуса. Такие интегралы следует находить через универсальную тригонометрическую замену t=tg (x/2)

После подстановки формул синус и косинуса через тангенс половины кута подинтегральная функция превратится к дробной, в знаменателе которой будем иметь квадратный трехчлен. Его возводим к квадрату выражения, которое содержит переменную и интегрируем по правилу степенных функций .

После интегрирования не забываем, что наше t=tg (x/2) и подставляем его в формулу интеграла.

На этом подборка примеров завершается, больше примеров Вы найдете в категории интегрирования.
Для увеличения базы готовых интегралов присылайте интересные примеры на Этот адрес электронной почты защищён от спам-ботов. У вас должен быть включен JavaScript для просмотра. или заказывайте у нас решение контрольных и расчетных работ.

Вычислить определенный интеграл. – примеры, решения

Пример 1:

Вычислить определенный интеграл.

Решение от преподавателя:

Пример 2:

Вычислить определенный интеграл.

Решение от преподавателя:

Пример 3:

Найти определенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 4:

Вычислить определенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Делаем замену переменных: 
4x+2=t² 
Следовательно: 
x=t²/4-1/2 

Пример 5:

Вычислить определенный интеграл.

Решение от преподавателя:

Пример 6:

Вычислить определенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 7:

Найти определенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Рассмотрим интегрирование правильной дроби. Для этого ее надо представить в виде суммы простейших дробей.

Пример 8:

Вычислить определенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 9:

Вычислить определенный интеграл.

Решение от преподавателя:

Пример 10:

Вычислить определенный интеграл.

Решение от преподавателя:

Пример 11:

Вычислить определенный интеграл.

Решение от преподавателя:

Пример 12:

Вычислить определенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 13:

Найти определенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 14:

Вычислить определенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 15:

Найти определенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 16:

Вычислить определенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 17:

Найти определенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 18:

Вычислить определенный интеграл.

Решение от преподавателя:

Пример 19:

Найти определенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 20:

Вычислить определенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 21:

Найти определенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 22:

Вычислить определенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 23:

Вычислить:

Решение от преподавателя:

Пример 24:

Вычислить определенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 25:

Вычислить определенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Применяем универсальную тригонометрическую подстановку:

 = 
Представим выражение в виде простых дробей:

Интегрируя, получаем:

Возвращаясь к замене переменных, получаем:

Вычислим наш интеграл.

Пример 26:

Вычислить определенный интеграл.

Решение от преподавателя:

Пример 27:

Вычислить определенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 28:

Вычислить определенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 29:

Вычислить интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 30:

Вычислить определенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 31:

Найти определенный интеграл.

Решение от преподавателя:

Пример 32:

Вычислить определенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 33:

Вычислить определенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 34:

Вычислить определенный интеграл методом замены переменных:

Решение от преподавателя:

Пример 35:

Вычислить определенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 36:

Вычислить определенный интеграл методом замены переменных:

Решение от преподавателя:

Пример 37:

Вычислить определенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 38:

Вычислить определенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 39:

Вычислить определенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 40:

Вычислить определенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 41:

Вычислить определенные интегралы:

Решение от преподавателя:

Пример 42:

Вычислить определенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 43:

Вычислить определенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 44:

Вычислить определенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 45:

Вычислить интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 46:

Вычислить определенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 47:

Вычислить определенный интеграл или показать расходимость:

Решение от преподавателя:

Пример 48:

Вычислить определенные интегралы:

Решение от преподавателя:

Пример 49:

Вычислить определенный интеграл:

 

Решение от преподавателя:

Пример 50:

Вычислить определенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 51:

Вычислить определенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Работа вам нужна срочно.

Не волнуйтесь, уложимся!

Заполните, пожалуйста, данные для автора:

• 22423 авторов готовы помочь тебе.
• 2402 онлайн

Основные примеры интегрирования и решения

Пример 1:

Проинтегрируйте следующее по x

∫ x ¹¹ dx

900 03 Решение:

∫ x ¹¹  dx =  x ^{(11 + 1)} /(11 + 1) + c

  =  ( x ¹² /12) + c

Пример 2 :

Интегрировать следующее относительно x

∫ (1/x ⁷ ) dx

Решение:

∫  (1/x ⁷ ) dx =   ∫ х ^-7 дх

  =  х ^{(-7 + 1)} /(-7 + 1) + c

=  x ^-6 /(-6) + c

=  (-1/6x ^{6 9001 1 ) + с}

Пример 3:

Проинтегрируйте следующее по x

∫ ∛x ⁴ dx

Решение:

∫ ∛x ⁴  dx  =  ∫ x ^4/3  dx

=  x ^{[(4/3) + 1)]} / [(4/3) + 1) ] + c

=  x ^7/3 /(7/3) + c

=  (3/7) x ^7/3 + c

Пример 4 :

9000 2 Интегрируйте следующее относительно к x

∫ (x ⁵ ) ^1/8 dx

Решение:

∫ (x ⁵ ) 9001 0 1/8 dx =  ∫ x ^5/8  dx

=  x ^{[(5/8) + 1]} /[(5/8) + 1] + c

=  x ^13/8 /(13/8) + c Пример 5 0011 х) дх

Решение:

∫(1/sin ² x) dx = ∫cosec ² x dx

=  -cot x + c

Пример 6 :

Проинтегрируйте следующее по x

∫ (tan x / cos x) dx

Решение:

∫(tan x / cos x) dx  =  ∫tan x (1/cos x) dx

 =  ∫tan х с х дх

=  sec x + c

Пример 7 :

Проинтегрируйте следующее по x

∫ (cos x / sin ² x) dx

Решение: 90 004

∫(cos x / sin ²  x) dx  =  ∫(cosx/sinx) (1/ sinx) dx

=  ∫cot x cosec x dx

=  – cosec x + c

Пример 8 :

Проинтегрируйте следующее по x

∫ (1 / cos ²  x) dx

Решение: 90 006

∫(1 / cos ²  x) dx  =  ∫ sec ²  x dx

= tan x + c

Пример 9 :

Интегрируем следующее по x

∫ 12 ^{3 900 11  dx}

Решение:

∫ 12 ³ дх = 12 ³ х + с

Пример 10:

Проинтегрируйте следующее по x

∫ (x ²⁴ /x ²⁵ ) dx

900 03 Решение:

∫ (x ²⁴ /x ²⁵ ) dx = ∫ x ^{24- 25} dx

= ∫ x ^-1 dx

= ∫ (1/x) dx

9000 2 =  log x + c

Пример 11:

Интегрировать следующее относительно x

∫ e ^x dx

Решение:

∫ e ^x dx = e ^x + c

Пример 12 :

Интегрируем следующее по x

∫ (1 + x ² ) ^-1  dx

Решение:

∫ (1 + x ² ) ^-1  dx  =  ∫ 1/(1 + x ² ) dx

= tan ^-1 x + c

Пример 13 :

Интегрируем следующее по x

∫ (1 – x ² ) ^-1/2 dx

Решение:

∫ (1 – x ² ) 900 10 -1/2 dx =  ∫ 1/(1 – x ² ) ^1/2 dx

= ∫ 1/√(1 – x ² )   dx

= sin ^{-1 90 011 x + c}

Помимо вышеперечисленного, если вы нужны какие-либо другие материалы по математике, пожалуйста, используйте наш пользовательский поиск Google здесь.

Пожалуйста, присылайте свои отзывы на [email protected]

Мы всегда ценим ваши отзывы.

©Все права защищены. onlinemath5all.com

6 Лучшие платформы и инструменты для облачной интеграции

Облачные приложения позволяют маркетинговым командам связываться с клиентами, проводить критические исследования и принимать решения на основе данных, которые могут помочь повысить рентабельность инвестиций.

Вызов? Поскольку другие бизнес-подразделения используют свои собственные наборы облачных приложений и сервисов, быстро возникает разрозненность. И эта разобщенность между отделами растет по мере увеличения объемов приложений: данные недавнего опроса показали, что крупные компании в среднем используют 175 облачных приложений, а небольшие компании в среднем развертывают 73 приложения.

Облачные интеграционные платформы предлагают способ преодолеть этот цифровой разрыв, позволяя ИТ-командам отслеживать и управлять разрозненными приложениями из единой централизованной системы. В этом посте мы расскажем, что такое облачная интеграция и лучшие инструменты, которые вы можете использовать для преодоления разрозненности отделов.

Что такое облачная интеграция?

Облачная интеграция объединяет разрозненные облачные системы в единую платформу. Разбивая разрозненные программные хранилища, облачные интеграционные платформы позволяют вам получать доступ и управлять приложениями и данными из разных программных систем в одном месте.

Интеграция с облачными сервисами: когда и как

Как отмечает исследовательская компания Gartner, рынок решений «программное обеспечение как услуга» (SaaS) в 2021 году должен превысить 122 миллиарда долларов, в значительной степени благодаря спросу на гибкие и гибкие приложения, которые позволяют командам работать в любом месте и в любое время.

Чем больше приложений ежедневно использует ваша компания, тем сложнее становится ваша ИТ-среда. В результате зачастую стоит как можно скорее развернуть облачные интеграционные платформы — компании могут ознакомиться с ключевыми функциями и функциями до того, как объемы приложений начнут расти в геометрической прогрессии.

Саму интеграцию можно выполнить собственными силами, развернув инфраструктуру и службы, поддерживающие облачные подключения, но этот подход требует много времени и средств даже для крупных предприятий. Платформы облачной интеграции, тем временем, предназначены для оптимизации этого соединительного процесса и сокращения времени, необходимого для развертывания.

Преимущества облачной интеграции

Развертывание облачных интеграционных платформ обеспечивает ряд преимуществ для бизнеса, в том числе:

Улучшение совместной работы

Разрозненность создает проблемы для малого бизнеса — если отделы маркетинга используют один набор приложений и данных, а отделы разработки продуктов, производства и управления персоналом используют другой, результаты могут варьироваться от несоответствия бизнес-целей, ограничивающих рентабельность инвестиций, до дублирования. работы, снижающей общую эффективность.

Облачные интеграционные платформы предлагают способ подключения разрозненных приложений и отделов, что позволяет командам использовать одни и те же данные и совместно работать над ними в режиме реального времени.

Повышенная прозрачность

Компании также выигрывают от повышенной прозрачности при использовании облачных интеграционных платформ. Унифицируя среды приложений в рамках единого решения, ИТ-специалисты могут легко видеть, что происходит, когда и почему. В результате компании лучше подготовлены к устранению конфликтов приложений или командных требований по мере их возникновения, а не постфактум.

Расширенный контроль затрат

Облачные приложения, которые не проверяются и не контролируются, со временем приводят к значительным затратам, особенно если они постоянно собирают или используют данные. Интеграция с облаком позволяет компаниям видеть, что работает в их сети, и оценивать, как часто используются приложения, что позволяет им лучше управлять и отслеживать общие затраты на технологии.

Потенциальные подводные камни облачной интеграции

Вообще говоря, облачные интеграционные платформы упрощают развертывание, использование и мониторинг облачных приложений. Эволюция этой рыночной вертикали означает, что существенных проблем немного и они редки, но есть потенциальная ловушка, которую предприятия должны решить: выбор правильной платформы.

Сейчас доступно множество вариантов, каждый из которых предлагает различное сочетание характеристик и функций, поэтому легко увязнуть в деталях. Результат? Предприятия могут в конечном итоге выбрать платформу, которая работает адекватно, а не исключительно, с учетом их конкретного сочетания приложений, услуг и потребностей персонала.

Нужна помощь в поиске лучшей формы? Давайте разберем лучшие платформы для интеграции с облаком по рейтингу надежного сайта обзоров G2.

Облачные интеграционные платформы

1. JitterBit
2. Операционный центр
3. Запир
4. Платформа MuleSoft Anypoint
5. IBM App Connect
6. Делл Буми

1. JitterBit

Рейтинг G2: 4,7/5,0 (228 отзывов)

Как один из лидеров в области iPaaS, JitterBit позволяет объединить тысячи SaaS, облачных и локальных приложений в один интерфейс. Вы также можете использовать их готовые шаблоны и рабочие процессы для автоматизации своих бизнес-процессов. Кроме того, вы можете создавать новые интерфейсы прикладного программирования (API) из существующих корпоративных приложений или данных на их платформе API. Вы даже можете смешивать недавно созданные API-интерфейсы с внешними API-интерфейсами для развертывания новых бизнес-решений.

Что нам нравится:

Jitterbit позволяет компаниям легко подключать приложения и API за несколько дней, а не недель. Решение используется тысячами компаний по всему миру и включает в себя мощные инструменты интеграции приложений и API, которые позволяют предприятиям не только оптимизировать ключевые процессы, но и собирать аналитические данные по запросу.

2. Operations Hub

Рейтинг G2: 4,6/5,0 (297 отзывов)

Operations Hub использует интеллектуальную технологию двусторонней синхронизации от PieSync для обновления любой информации о клиенте в одном приложении после ее изменения в другом. Платформа облачной интеграции также дает вам полный контроль над приложениями, которые вы выбираете для синхронизации, консолидирует информацию о клиентах из нескольких приложений, а также хранит и обновляет все ваши данные в одном месте, чтобы вы могли получить к ним доступ и принимать наиболее точные решения на основе данных для вашего бизнеса. бизнес.

Что нам нравится

Конечно, мы немного предвзяты, но факт остается фактом: Operations Hub — одно из лучших решений для интеграции с облаком в G2. Благодаря множеству инструментов, включая синхронизацию данных, автоматизацию качества данных, а также возможность нарезки данных по запросу, Operations Hub предлагает все необходимое для запуска и развития вашего бизнеса.

3. Zapier

Рейтинг G2: 4,5/5,0 (729 отзывов)

Благодаря возможности подключения и обмена данными с более чем 1000 веб-приложений, таких как Facebook, QuickBooks и Google Drive, Zapier может автоматизировать практически любой тип бизнес-процесс. Все, что вам нужно сделать, это создать рабочий процесс в их редакторе, выбрать приложения, которые вы хотите включить в свой рабочий процесс, и наблюдать, как ваши приложения работают вместе без дополнительного вмешательства.

Что нам нравится

Zapier основывается на трех ключевых принципах: интеграция, автоматизация и инновации. Интеграция связывает веб-приложения всего за несколько кликов, автоматизация передает данные между приложениями с помощью рабочих процессов, называемых «Zap», а инновации позволяют создавать более совершенные процессы без необходимости написания кода. Все говорят? Это беспроигрышный вариант.

4. Платформа MuleSoft Anypoint

Рейтинг G2: 4,5/5,0 (495 отзывов)

Платформа MuleSoft Anypoint, которой доверяют более 1600 корпоративных компаний, позволяет вам управлять всеми вашими API и интеграциями на одной платформе. Вы также можете создавать и интегрировать свои API; интегрироваться с любым приложением, данными или устройством; развертывание локальных интеграций в облаке без перезаписи кода; и защитите свои данные и управляйте доступом для сотрудников, используя пограничные шлюзы и шифрование.

Что нам нравится

Mulesoft — это скорость и простота. Ресурсы API многократного использования упрощают интеграцию приложений всего несколькими щелчками мыши, а рекомендации машинного обучения помогают автоматически преобразовывать данные. Кроме того, предприятия получают представление об API и интеграции в режиме реального времени из единого интерфейса.

5. IBM App Connect

Рейтинг G2: 4,3/5,0 (207 отзывов)

С помощью IBM App Connect вы можете интегрировать свои данные между локальными и облачными приложениями, создавать API на интуитивно понятном, не требующем написания кода интерфейс и создавать рабочие процессы, которые автоматизируют ваши бизнес-процессы в различных приложениях. Вы также можете развернуть IBM App Connect в любой облачной или локальной среде.

What We Like

Частично привлекательность здесь заключается в том, что IBM уже давно является лидером в сфере интеграции технологий и операционной деятельности, но именно особенности решения выделяют ее среди других. Используя готовые соединители приложений и гибкую интеграционную архитектуру (AIA), организации могут легко подключать все приложения во всех средах для максимальной операционной гибкости.

6. Dell Boomi

Рейтинг G2: 4,2/5,0 (222 отзыва)

Dell Boomi, которому доверяют более 8000 брендов, позволяет объединить все ваши цифровые платформы в одну. Объединяя все ваши данные, приложения и процессы, Boomi, по сути, хранит все ваши технологические системы и активы в одном месте. С Boomi вы также можете управлять своими API, поддерживать качество ваших данных, создавать рабочие процессы с минимальными знаниями в области кодирования и разрабатывать приложения.

Что нам нравится

Имея более 15 000 клиентов по всему миру, Boomi остается одной из ведущих платформ для интеграции облачных вычислений. Решение Dell сосредоточено на трех ключевых областях: данные, системы и люди. Он обещает мгновенную интеграцию всех трех, чтобы помочь ускорить и упростить облачные операции.