Js возведение в квадрат: Как возвести число в квадрат? — efim360.ru

Корень (кубический, квадратный) в степени: решения, таблицы, примеры

Оглавление:

• Степень с натуральным показателем
• Степень с целым показателем
• Кубический корень
• Корень -ной степени
• Сравнение арифметических корней
• Как избавиться от иррациональности в знаменателе
• org/ListItem”> Как упрощать иррациональные выражения, пользуясь формулами сокращенного умножения

Степенью называется выражение вида .

Здесь  — основание степени,  — показатель степени.

к оглавлению ▴

Степень с натуральным показателем

Проще всего определяется степень с натуральным (то есть целым положительным) показателем.

По определению, .

Выражения «возвести в квадрат» и «возвести в куб» нам давно знакомы.
Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя.

.

Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза.

.

Возвести число в натуральную степень  — значит умножить его само на себя раз:

к оглавлению ▴

Степень с целым показателем

Показатель степени может быть не только натуральным (то есть целым положительным), но и равным нулю, а также целым отрицательным.

По определению,

.

Это верно для . Выражение 0⁰ не определено.

Определим также, что такое степень с целым отрицательным показателем.

Конечно, все это верно для , поскольку на ноль делить нельзя.

Например,

Заметим, что при возведении в минус первую степень дробь переворачивается.

Показатель степени может быть не только целым, но и дробным, то есть рациональным числом. В статье «Числовые множества» мы говорили, что такое рациональные числа. Это числа, которые можно записать в виде дроби , где  — целое,  — натуральное.

Здесь нам понадобится новое понятие — корень -степени. Корни и степени — две взаимосвязанные темы. Начнем с уже знакомого вам арифметического квадратного корня.

Определение.

Арифметический квадратный корень из числа  — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен .

Согласно определению,

В школьной математике мы извлекаем корень только из неотрицательных чисел. Выражение    для нас сейчас имеет смысл только при .

Выражение всегда неотрицательно, т.е. . Например, .

Свойства арифметического квадратного корня:

 

Запомним важное правило:

По определению, .

к оглавлению ▴

Кубический корень

Аналогично, кубический корень из  — это такое число, которое при возведении в третью степень дает число .

Например, , так как ;

, так как ;

, так как .

Обратите внимание, что корень третьей степени можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.

Теперь мы можем дать определение корня -ной степени для любого целого .

к оглавлению ▴

Корень -ной степени

Корень -ной степени из числа  — это такое число, при возведении которого в -ную степень получается число .

Например,

Заметим, что корень третьей, пятой, девятой — словом, любой нечетной степени, — можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.

Квадратный корень, а также корень четвертой, десятой, в общем, любой четной степени можно извлекать только из неотрицательных чисел.

Итак, — такое число, что . Оказывается, корни можно записывать в виде степеней с рациональным показателем. Это удобно.

По определению,

в общем случае .

Сразу договоримся, что основание степени больше 0.

Например,

Выражение по определению равно .

При этом также выполняется условие, что больше 0.

Например,

Запомним правила действий со степенями:

— при перемножении степеней показатели складываются;

— при делении степени на степень показатели вычитаются;

— при возведении степени в степень показатели перемножаются;

Покажем, как применяются эти формулы в заданиях ЕГЭ по математике:

1.

Внесли все под общий корень, разложили на множители, сократили дробь и извлекли корень.

2.

3.

Здесь мы записали корни в виде степеней и использовали формулы действий со степенями.
4. Найдите значение выражения при

Решение:

При получим

Ответ: -0,5.

5. Найдите значение выражения при

Решение:

При a = 12 получим

Мы воспользовались свойствами степеней.

Ответ: 144.

6. Найдите значение выражения при b = – 5.

Решение:

При b = – 5 получим:

Ответ: -125.

7. Расположите в порядке возрастания:

Решение:

Запишем выражения как степени с положительным показателем и сравним.

Так как то

Так как то

Сравним и для этого оценим их разность:

значит

Получим : поэтому

Ответ:

8. Представьте выражение в виде степени:

Решение:

Вынесем за скобку степень с меньшим показателем:

Ответ:

9. Упростите выражение:

Решение:

Приведем основания 6 и 12 к основаниям 2 и 3:

(выполним деление степеней с одинаковыми основаниями)

Ответ: 0,25.

10. Чему равно значение выражения при ?

Решение:

При получим

Ответ: 9.

к оглавлению ▴

Сравнение арифметических корней

11. Какое из чисел больше: или ?

Решение:

Возведем в квадрат оба числа (числа положительные):

Найдем разность полученных результатов:

так как

Значит, первое число больше второго.

Ответ:

к оглавлению ▴

Как избавиться от иррациональности в знаменателе

Если дана дробь вида то нужно умножить числитель и знаменатель дроби на :

Тогда знаменатель станет рациональным.

Если дана дробь вида или то нужно умножить числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение, чтобы получить в знаменателе разность квадратов.

Сопряженные выражения – это выражения, отличающиеся только знаками. Например,

и и – сопряженные выражения.

Пример:

12. Вот несколько примеров – как избавиться от иррациональности в знаменателе:

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3.

Пример 4.

Совет. Если в знаменателе дана сумма двух корней, то в разности первым числом пишите то, которое больше, и тогда разность квадратов корней будет положительным числом.

Пример 5.

13. Сравните и

1)

2) Сравним и 14.

то и а значит,

Ответ: меньше.

к оглавлению ▴

Как упрощать иррациональные выражения, пользуясь формулами сокращенного умножения

Покажем несколько примеров.

14. Упростите: выражения:

Пример 5.

т.к.

Пример 6.

Пример 7.

так как

Следующие несколько задач решаются с помощью формулы:

Решение:

Получим уравнение

Ответ:

19. Вычислите значение выражения:

Решение:

Ответ: 1.

20. Вычислите значение выражения:

Решение:

Ответ: 1.

21. Вычислите значение выражения: если

Решение.

Если то следовательно

Ответ: – 1.

22. Вычислите:

Решение:

Ответ: 1.

Рассмотрим уравнение вида где

Это равенство выполняется, только если

Подробно об таких уравнениях – в статье «Показательные уравнения».

При решении уравнений такого вида мы пользуемся монотонностью показательной функции.

23. Решите уравнение:

а)

б)

в)

Решение.

23. Решите уравнение:

Решение:

тогда

Ответ: -1.

24. Решите уравнение:

Решение:

Ответ: 4.

25. Решите уравнение:

Решение:

Значит,

Ответ: -0,2.

Если вы хотите разобрать большее количество примеров – записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Корни и степени» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена: 08.01.2023

Функции Sqrt и Sqr

Раздел: Стандартные функции Паскаля

Основы программирования Каждый профессионал когда-то был чайником. Наверняка вам знакомо состояние, когда “не знаешь как начать думать, чтобы до такого додуматься”. Наверняка вы сталкивались с ситуацией, когда вы просто не знаете, с чего начать. Эта книга ориентирована как раз на таких людей, кто хотел бы стать программистом, но совершенно не знает, как начать этот путь. Подробнее…

Функция Sqrt в Паскале вычисляет квадратный корень числа. Синтаксис функции следующий:

function Sqrt(Х : ValReal) : ValReal;

Эта функция возвращает квадратный корень числа, переданного через параметр Х. Число Х должно быть положительным, иначе произойдёт ошибка во время выполнения программы (так написано в документации, но в моей версии компилятора ошибки не происходит, а функция в случае отрицательного параметра возвращает значение NaN).

Функция Sqr в Паскале вычисляет квадрат числа. Синтаксис функции для разных типов приведён ниже:

function Sqr(Х : LongInt) : LongInt;

function Sqr(Х : QWord) : QWord;

function Sqr(Х : ValReal) : ValReal;

Эта функция возвращает результат вычисления квадрата числа, переданного через параметр. То есть Sqr = х * х.

О типе ValReal я рассказывал здесь.

Квадрат числа

Здесь всё крайне просто. Квадрат числа Х равен произведению Х на Х. То есть функция Sqr на первый взгляд кажется бесполезной. Потому что во многих случаях проще написать так:

Х := Х * Х

чем

Х := Sqr(X)

Единственный случай, когда использование функции Sqr является обоснованным с точки зрения упрощения кода, это когда в качестве параметра передаётся вещественное число (константа) с большим количеством знаков после запятой, или очень большое целое число, или сложное выражение. Например:

Х := Sqr(5.3456753322)

будет написать проще, чем

Х := 5.3456753322 * 5.3456753322

Также возведение в квадрат числа в Паскале сложного выражения тоже будет проще, если использовать функцию Sqr:

X := Sqr(Y + 100 * Z / X)

Вычисление квадратного корня

Когда мы изучали функции вычисления экспоненты и натурального логарифма, то мы узнали, что с их помощью можно возвести число в любую степень. То есть вычислить, в том числе, и корень любой степени.

Однако использование этих функций всё-таки немного сложновато. Поэтому для вычисления квадратного корня в Паскале имеется специальная функция (потому что квадратный корень приходится вычислять намного чаще, чем, например, корень n-й степени).

Эту функцию вы уже знаете – это функция Sqrt.

А здесь я напомню что такое квадратный корень для тех, кто подзабыл математику.

Итак, квадратный корень из числа А (корень 2-й степени) – это решение уравнения:

Х2 = А

То есть квадратный корень из числа А, это число Х, которое при возведении в квадрат даёт число А.

То есть если

Х * Х = √А

то

Х = А

ВАЖНО!
Число А может быть только положительным числом. Извлечение корня из отрицательного числа тоже возможно, но это уже будут комплексные числа.

Как стать программистом 2.0 Эта книга для тех, кто хочет стать программистом. На самом деле хочет, а не просто мечтает. И хочет именно стать программистом с большой буквы, а не просто научиться кулебякать какие-то примитивные программки… Подробнее…

Помощь в технических вопросах Помощь студентам. Курсовые, дипломы, чертежи (КОМПАС), задачи по программированию: Pascal/Delphi/Lazarus; С/С++; Ассемблер; языки программирования ПЛК; JavaScript; VBScript; Fortran; Python и др. Разработка (доработка) ПО ПЛК (предпочтение – ОВЕН, CoDeSys 2 и 3), а также программирование панелей оператора, программируемых реле и других приборов систем автоматизации. Подробнее…

Как получить квадратный корень из числа с помощью Javascript?

---

В этом коротком руководстве мы рассмотрим, как мы можем вычислить квадратный корень в Python. Мы рассмотрим четыре различных метода и разберем их для вас.

Содержание

• Что такое квадратный корень?
• Использование функции pow() для вычисления квадратного корня в Python
• Вычисление квадратного корня в Python с использованием оператора экспоненты
• Использование функции sqrt() для вычисления квадратного корня в Python
• Вычисление квадратного корня в Python с использованием модуля cmath
• Заключительные мысли

Что такое квадратный корень?

Квадратный корень числа — это значение, которое при умножении на себя возвращает то же самое число.

Например, 6 x 6 = 36, поэтому квадратный корень из 36 равен 6. Однако -6 x -6 тоже равно 36, поэтому -6 также является квадратным корнем из 36.

В Python или любом другом языке программирования у нас есть различные методы для вычисления квадратного корня числа. В этом уроке мы рассмотрим четыре различных метода вычисления квадратного корня из числа.

Использование функции pow() для вычисления квадратного корня

Функция pow() — это быстрый метод нахождения квадратного корня в Python.

Давайте сначала разберемся, как функция pow() работает в Python.

функция pow() принимает 2 параметра, первый параметр — числовое значение, а второй параметр — степень числового значения.

Синтаксис:

 pow(x,y) # где y - степень x 

Ввод:

 # Использование функции pow()
импортировать математику
num = float(input("Введите число:"))
sqRoot = math.pow (число, 0,5)
print("Квадратный корень из заданного числа {0} = {1}".format(num, sqRoot))
         

Вывод:

 Введите число: 25
Квадратный корень из заданного числа 25,0 = 5,0
             

Вычисление квадратного корня с использованием оператора экспоненты

Экспоненциальный оператор, обозначенный ** , выполняет операцию извлечения квадратного корня так же, как функция pow() .

Чтобы было интереснее, давайте найдем квадратный корень числа, задав собственную функцию.

Ввод:

 # Использование оператора экспоненты для вычисления квадратного корня в Python
защита sqRoot(n):
    если n 

Вывод:

 6.0 

Мы начали с определения функции с именем sqRoot(n) . Затем мы добавили уравнение n**0,5 , которое должно вычислить квадратный корень и сохранить результат в переменной x . Когда мы вызываем определенную нами функцию, мы вводим число, из которого хотим найти квадратный корень, вместо аргумента или параметра n . Затем вызывается функция для реализации действия и вывода результата.

Использование функции sqrt() для вычисления квадратного корня

Функция sqrt() — это предопределенный метод, используемый для нахождения квадратного корня в Python. Во-первых, мы импортируем модуль math для использования функции sqrt() .

Ввод:

 # Использование функции sqrt() для вычисления квадратного корня в Python
импортировать математику
num = int(input("Введите число:"))
sqRoot = math.sqrt(число)
print (f"Квадратный корень из {num} равен " ,sqRoot)
  

Вывод:

 Введите число:16
Квадратный корень из 16 равен 4,0 

В первой строке мы начинаем с импорта модуля math , затем в следующей строке получаем ввод от пользователя. После этого мы находим квадратный корень числа с помощью метода sqrt() , и результат будет сохранен в переменной sqRoot. Последняя строка кода гарантирует, что результат будет распечатан.

Вычисление квадратного корня в Python с использованием модуля cmath

Модуль cmath используется для вычисления квадратного корня из Действительное или комплексное число в Python. Различные методы, которые мы использовали до сих пор, будут хорошо работать для всех положительных вещественных чисел. Но для отрицательных или комплексных чисел модуль cmath оказывается полезным.

Ввод:

 # Использование модуля cmath для вычисления квадратного корня из действительных или комплексных чисел в Python
импортировать математику
num = eval(input("Введите число: ")
num_sqRoot = cmath.sqrt(число)
print("Квадратный корень из {0} равен {1:0.3f}+{2:0.3f}j".format(num, num_sqRoot.real, num_sqRoot.imag))
        

Вывод:

 Введите число: 4+4j
Квадратный корень из (4+4j) равен 2,197+0,910j 

В этой программе мы использовали функцию sqrt() в модуле cmath. Обратите внимание, что мы также использовали функцию eval() для преобразования входных данных в комплексные числа.

cmath.sqrt() также может использоваться для возврата квадратного корня из отрицательного числа. Например:

Ввод:

 импорт cmath
а = -25
печать (cmath.sqrt (а))
 

Выход:

 5j 

Заключительные мысли

В этом уроке мы научились вычислять квадратный корень числа в Python, используя функцию sqrt() , оператор экспоненты, функцию pow() и функцию модуль cmath.

Если вам нужно работать с целыми числами вместо чисел с плавающей запятой; math.isqrt() выводит квадрат как целое число и округляет до ближайшего целого числа. Функцию sqrt() также можно использовать с библиотеками, отличными от «математической» библиотеки, например numPy — библиотека Python, используемая для работы с массивами.

квадратный – н/мин

Используйте эту библиотеку JavaScript для управления ресурсами Square (такими как платежи, заказы, товары и инвентарь) для вашей собственной учетной записи Square или от имени продавцов Square.

• Требования
• Установка
• Быстрый запуск
• Использование
• Тесты
• Ссылка SDK
• Устаревшие API

Требования

Для использования Square Node.js SDK требуется:

• Node.js 14 или выше

Этот SDK поддерживает версии Node.js, которые либо являются текущими, либо находятся в статусе долгосрочной поддержки (LTS). SDK не поддерживает версии Node.js, срок службы которых истек (EOL). Дополнительные сведения об управлении версиями Node.js см. на странице https://nodejs.org/en/about/releases/.

Этот SDK предназначен только для Node.js. Он не поддерживает другие способы использования, например, для веб-браузеров или интерфейсных приложений.

Установка

Дополнительные сведения см. в разделе Настройка Square SDK для проекта Node.js.

Краткое руководство

Дополнительные сведения см. в разделе Краткое руководство Square Node.js SDK.

Использование

Дополнительные сведения см. в разделе Использование Square Node.js SDK.

Тесты

Сначала клонируйте репозиторий локально и cd в каталог.

 git-клон https://github.com/square/square-nodejs-sdk.git
cd square-nodejs-sdk 

Затем установите зависимости и соберите.

 установка нпм
npm run build 

Перед запуском тестов получите токен доступа к песочнице на панели разработчика и используйте его для установки переменной среды SQUARE_SANDBOX_TOKEN .

 export SQUARE_SANDBOX_TOKEN="ВАШ ТОКЕН ДОСТУПА К ПЕЧАТИ ЗДЕСЬ" 

И запустите тесты.

 Тест npm 

Справочник SDK

Платежи

• Платежи
• Возврат
• Споры
• Касса
• Apple Pay
• Карты
• Выплаты

Терминал

• Терминал

Заказы

• Заказы

Подписки

• Подписки

Счета-фактуры

• Счета-фактуры

Предметы

• Каталог
• Инвентарь

Клиенты

• Клиенты
• Группы клиентов
• Сегменты клиентов

Лояльность

• Лояльность

Подарочные карты

• Подарочные карты
• Действия с подарочными картами

Заказы

• Заказы

Бизнес

• Торговцы
• локаций
• Устройства
• Денежные ящики

Команда

• Команда
• Труд

Финансы

• Банковские счета

Онлайн

• Объекты
• Фрагменты

Авторизация

• Мобильная авторизация
• OAuth

Устаревшие API

Следующие API Square устарели:

• Сотрудники — заменены на Team API.