Как быстро умножать в уме: Урок 6. Умножение в уме любых чисел до 100

Как найти x и зачем это нужно

Среди читателей наверняка найдутся те, кто, познакомившись с этими примерами, скажет: «Ух ты, здо?рово! Но какая от всего этого польза?» Здесь в любом математике проснулся бы художник, и в ответ вы услышали бы: «Разве нужно красоте оправдание иное, нежели сама красота?» Ведь чем лучше мы понимаем числовые закономерности, тем глубже постигаем их красоту. И все-таки иногда они приносят практическую пользу.

Вот простая закономерность, которую мне посчастливилось обнаружить в юности (даже если я и не был первооткрывателем). Я смотрел на пары чисел, которые в сумме давали 20 (10 и 10, например, или 9 и 11), и думал, а какие из них надо перемножить, чтобы получить наибольшее произведение? Логика подсказывала, что это 10 на 10, и моя схема эта подтвердила.

Эта закономерность была несомненна. Чем дальше отстояли друг от друга числа, тем меньше становилось произведение. И насколько они отдалялись от 100? На 1, на 4, на 9, 16, 25… То есть на 1?, 2?, 3?, 4?, 5? и т.  д. А потом мне стало интересно, работает ли эта закономерность для чисел, дающих другую сумму. Я решил попробовать 26:

И я снова увидел, что наибольшее произведение дало умножение двух одинаковых чисел. А потом произведение стало уменьшаться с интервалом сначала 1, потом 4, потом 9 и т. д. Еще несколько подобных примеров убедили меня, что закономерность была строгой (ее алгебраическое выражение я покажу чуть позже). Выяснил я и то, что ее можно применять для быстрого возведения чисел в квадрат.

Допустим, нам нужно знать квадрат 13. Вместо того чтобы умножать 13 ? 13, можно сделать умножение попроще: 10 ? 16 = 160. До правильного ответа уже рукой подать, и чтобы его получить, достаточно будет прибавить возведенное в квадрат 3 – число, составляющее разницу между 13 и числами, которые мы перемножили. То есть:

13? = 10 ? 16 + 3? = 160 + 9 = 169

Можно взять еще один пример, скажем, 98 ? 98. Для удобства к первому числу добавим 2 до 100, а от второго отнимем 2 до 96. Значит, к их произведению нужно будет прибавить 2?. Вот наше уравнение:

98?= 100 ? 96 + 2? = 9600 + 4 = 9604

Особенно легко применять эту схему к числам, которые заканчиваются на 5: если уменьшить и увеличить их на 5, оперировать придется круглыми числами. Например:

35? = 30 ? 40 + 5? = 1200 + 25 = 1225

55? = 50 ? 60 +5? = 3000 + 25 = 3025

85? = 80 ? 90 + 5? = 7200 + 25 = 7225

Теперь попробуем возвести в уме в квадрат 59. Увеличив и уменьшив это число на единицу, получим 59? = (60 ? 58) + 1?. Но как умножить в уме 60 на 58? Простой совет из двух слов: слева направо. Забудем на время про 0 и подсчитаем 6 ? 58: 6 ? 50 = 300 и 6 ? 8 = 48. Потом сложим эти два результата (опять же, слева направо) и получим 348. И добавим ноль в конце, то есть 60 ? 58 = 3480. Поэтому:

59? = 60 ? 58 + 1? = 3480 + 1 = 3481

Отступление

А вот алгебраическое доказательство этого метода (перечитайте это отступление после того, как во второй главе мы поговорим о разнице квадратов):

А? = (A + d) (A–d) + d?

где A – число, возводимое в квадрат, d – разность с ближайшим круглым числом (формула, кстати, справедлива для любого d). Для примера возведем в квадрат 59: А = 59, d = 1, значит, формула превращается в (59 + 1) ? (59 – 1) + 1?, как и в предыдущем вычислении.

Теперь, когда вы профессионально возводите в квадрат двузначные числа, можно попробовать и трехзначные. Если помните, 12? = 144, значит:

112? = (100 ? 124) + 12? = 12 400 + 144 = 12 544

Есть еще одна подобная формула, которая работает для любых двух чисел, близких к сотне. Человек, который становится случайным свидетелем таких вычислений, испытывает чувство, будто наблюдает за трюком фокусника. Вот, например, 104 ? 109. Рядом с каждым из них пишем число, на которое оно превышает сотню (см. пример ниже). В левом столбце сложим первое число со второй разностью и запишем результат: 104 + 9 = 113. В правом столбце перемножим две разности: 4 ? 9 = 36. «Соединим» эти числа, то есть запишем их одно за другим и – тадам! – волшебным образом получим ответ: 11 336.

Другие примеры и алгебраическую формулу такого вычисления я приведу чуть позже, в главе 2. И, раз уж мы об этом заговорили, кое-что еще о вычислениях в уме. Мы тратим уйму времени на то, чтобы научиться считать столбиком, хотя научиться делать это в уме куда быстрее. Задумайтесь: как часто в обычной жизни у нас есть время и возможность достать бумагу и провести все необходимые подсчеты? Для сложных вычислений можно воспользоваться калькулятором, но не будете же вы доставать его в магазине, читая данные об энергетической ценности на упаковке продуктов, или сидя в зале собрания, или дома, включив выпуск экономических новостей. Вот здесь-то, в оценке по-настоящему важных для вас цифр, и становятся очевидными все плюсы устного счета. Увы, в школе нас хорошо учат считать на бумаге, со счетом в уме дела обстоят плохо.

Строго говоря, эта тема достойна отдельной книги, но, раз уж мы говорим о магии, а не о способностях человеческого мозга, коснемся ее вскользь, обозначив лишь самые основные положения. Главный прием, о котором я не устаю говорить: считайте слева направо. Подсчеты в уме – это процесс постоянного упрощения. Вы начинаете с проблемы огромной, неподъемной, кажущейся непомерно сложной, и расщепляете ее на несколько элементарных и очевидных вопросов, пока не получите искомый результат.

Данный текст является ознакомительным фрагментом.

Как умножать большие числа в уме (перекрестное умножение) – World Mental Calculation

При вычислении умножения, где одно из чисел маленькое, например 68435 × 18 , может быть самым быстрым просто сложить кратные меньшего числа:

• 5 × 18 = 90 ⇒ ………… 0
• 9 + 3 × 18 = 63 ⇒ ……… .30
• 6 + 4 × 18 = 78 ⇒ ……..830
• 7 + 8 × 18 = 151 ⇒ …… 1830
• 15 + 6 × 18 = 123 ⇒ 1231830

Фактически, когда я обучаю новичков ментальной математике, одна из первых вещей, над которыми я работаю, – это расширение знаний о таблицах умножения на другие полезные числа, такие как 18, чтобы упростить выполнение этой задачи.

Но при использовании этого базового метода для больших умножений, например 29136 × 5847 , у нас не хватает рабочей памяти для вычисления каждого кратного e.г. 5847 , не забывая уже вычисленные числа! Итак, нам нужен другой метод – более эффективный с точки зрения памяти.

Ниже я покажу вам метод перекрестного умножения, который используют для умножения самые продвинутые ментальные калькуляторы.

Некоторые приятные моменты в этом методе:

• Вам нужно знать только таблицу умножения до 9 × 9
• Какими бы большими ни были умножения, вам никогда не придется запоминать сразу много чисел
• Это очень просто, если вы знаете простой шаблон

Чтобы увидеть, как это работает, возьмем в нашем примере 29136 × 5847 :

1-я цифра – место единиц:

Для начала просто умножим 6 × 7 = 42 . Тогда самая правая цифра ответа – 2, и мы можем «перенести» 4 для следующего шага:

  29136
         × 5847
                    2  (несет 4 из 42) 

2-я цифра – множители с 10:

Далее мы рассматриваем 40 × 6 и 7 × 30, поскольку это произведения цифр (4 × 6 и 7 × 3), которые имеют коэффициент 10, точно так же, как 40, которое мы запомнили из предыдущего шага.

Самый быстрый способ – начать с 4 из 40, которые у нас есть, затем добавить 4 × 6 и 7 × 3:

• 4 + 4 × 6 = 28
• 28 + 7 × 3 = 49

Эти пары сложение-умножение быстро применимы на практике.

Опять же, мы можем записать «9» вместо десятков в окончательном ответе и оставить 4 для следующего шага.

  29136
         × 5847
                  92  (неся 4 из 49) 

3-я цифра – множители на 100:

Мы продолжаем с 800 × 6, 40 × 30 и 7 × 100, так как это цифровые продукты с коэффициентом 100.

Опять же – начните с 4 из 400, которые у нас есть, затем добавьте к остальным товарам:

• 4 + 8 × 6 = 52
• 52 + 4 × 3 = 64
• 64 + 7 × 1 = 71

Запишите «1» в разряде сотен окончательного ответа и сохраните 7 для следующего шага:

  29136
         × 5847
                192  (несет 7 из 71) 

Обратите внимание, что на каждом шаге порядок цветов вверху является зеркальным отображением цветов внизу, поскольку каждая совпадающая пара цифр должна представлять одну и ту же степень 10.

Вы можете складывать цифры в любом порядке, но я считаю полезным всегда начинать с нижнего левого и верхнего правого произведения (здесь 8 × 6) и систематически перемещаться одновременно вправо по нижнему числу и влево по номеру. верхний номер.

4-я цифра – множители с 1000:

К настоящему времени картина должна быть достаточно ясной, поэтому я продолжу с минимальными комментариями:

• 7 + 5 × 6 = 37
• 37 + 8 × 3 = 61
• 61 + 4 × 1 = 65
• 65 + 7 × 9 = 128

  29136
         × 5847
              8192  (с 12 из 128) 

5-я цифра – множители с 10,000:

На этот раз обратите внимание, что цифра «6» уже умножена на каждую цифру нижнего числа, поэтому не будет активна до конца вычисления:

• 12 + 5 × 3 = 27
• 27 + 8 × 1 = 35
• 35 + 4 × 9 = 71
• 71 + 7 × 2 = 85

  29136
         × 5847
            58192  (несет 8 из 85) 

6-я цифра – множители на 100000:

С этого момента расчет становится проще, так как продуктов той же величины становится все меньше и меньше:

• 8 + 5 × 1 = 13
• 13 + 8 × 9 = 85
• 85 + 4 × 2 = 93

  29136
         × 5847
          358192  (несет 9 из 93) 

7-я цифра – множители с 1,000,000:

• 9 + 5 × 9 = 54
• 54 + 8 × 2 = 70

  29136
         × 5847
        0358192  (несёт 7 из 70) 

8-я цифра – множители с 10,000,000:

Поскольку это заключительный этап, нам не нужно ничего нести, а просто записываем оставшиеся цифры:

  29136
         × 5847
    170358192  

Итак, это стандартный метод перекрестного умножения, используемый людьми-любителями-калькуляторами, а также нынешними и прошлыми мировыми рекордсменами по умножению, такими как Фреддис Рейес и Марк Джорнет Санс! (Jeonghee Lee предпочитает метод письма справа налево).

В заключение – метод в целом:

• Начинайте с крайней правой цифры каждого числа:
  • рассчитать свой продукт
  • запишите цифру единиц
  • переносит разряд десятков для следующего этапа
• За каждую последующую цифру ответа:
  • возьмите перенесенный номер до
  • систематически добавляйте все продукты той же величины
  • запишите цифру единиц в окончательном ответе
  • отнести остальное к следующему этапу

На соревнованиях Memoriad и на Кубке мира по интеллектуальным вычислениям участники должны умножить 8-значные числа, например, 12345678 × 98702468, и самые быстрые участники могут сделать это за 15-30 секунд!

Чтобы попрактиковаться в этом, вы можете использовать программное обеспечение Memoriad – хотя я рекомендую начать с продуктов меньшего размера, состоящих из 3- и 4-значных чисел, прежде чем двигаться дальше.

Чтобы связаться со мной (Дэниел Тиммс) по поводу тренировки мысленных вычислений или чего-либо на этом сайте, вы можете связаться со мной здесь.

Ненавижу математику? Эти умственные уловки заставят вас размножаться быстрее, чем когда-либо мог Эйнштейн! «Mind Hacks :: WonderHowTo

2 + 2 = 4.

Это примерно столько математики, с которой я могу справиться без калькулятора каждый день. Я ненавижу заниматься математикой больше всего в жизни, в основном потому, что у меня это плохо получается – и я ненавижу делать то, что у меня не получается.

Итак, когда я натыкаюсь на классную математическую уловку в Интернете, которая утверждает, что облегчает жизнь таким людям, как я, я все слышу. Хотя вычисления (в основном) бесполезны для повседневной жизни среднего человека, умножение, сложение, вычитание и проценты – это все, что мы должны уметь делать – и без калькулятора.

Как большой поклонник TED Talks, я наткнулся на следующее видео, где Гаурав Текривал демонстрирует преимущества того, что называется ведической математикой, которая является базовым набором стратегий, помогающих упростить сложные вычисления.

Хотя происхождение этих учений несколько загадочно, стратегии весьма эффективны, и я буду помнить это каждый день. Может быть, математика все-таки не так уж сложна?

Вот несколько советов и приемов.

Как умножить двузначные числа на 11

Моя таблица умножения остановилась на 10, поэтому, помимо этого, я делаю вычисления, основываясь на памяти или подсчете в уме.Однако, используя ведическую математику, умножить на 11 совсем несложно.

Все, что вам нужно сделать, это сложить цифры числа, которое вы умножаете, на 11 и поместить его в середину исходного числа. Если сумма цифр 10 или больше, просто перенесите ее. Лучше увидеть, чем написать.

Видите, как легко это было? В принципе, если вы умеете складывать, вы знаете, как умножать на 11.

Теперь давайте посмотрим на другой пример.

Просто разделите число, умноженное на 11 (в данном случае также 11 ), чтобы между ними оставалось место для вашего числа.Теперь просто сложите две цифры этого числа вместе ( 1 + 1 = 2 ) и бросьте сумму в то место, которое вы оставили открытым. Это дает вам 121 .

Просто добавьте 5 + 8 , что даст вам 13 . Вставьте его между 5 и 8 , и вы получите 5138 . Но это неправильно, так как вам нужно перенести это. Перенесите его, и вы получите 638 .

Излишне говорить, что теперь, когда я это знаю, я чувствую себя полным задирой.

Как умножать числа, близкие к степени 10

В этом базовом методе используются степени 10 (десятки, сотни, тысячи и т. Д.), А также перекрестное вычитание и умножение сумм. Опять же, гораздо лучше видеть, что я говорю, чем пытаться это прочитать. Вот пример умножения двух двузначных чисел (основание сотен).

То, что делает Гаурав, на самом деле довольно просто.

Он берет разность каждого числа из 100 и помещает эти числа в правый столбец ( 99-100 = -01 и 97-100 = -03 ).

Затем он складывает один набор чисел (подойдет любая пара), чтобы получить первое число ответа. Итак, 99 + -03 или 97 + -01 = 96 . Итак, это будет первая часть ответа.

Теперь умножьте два меньших числа ( -01 x -03 ), чтобы получить вторую часть ответа. -01 х -03 = 03 . Итак, получаем ответ 9603 .

Довольно круто, правда?

Тот же метод работает для любого основания из десяти. 999 x 987 или 9 878 x 9 999 все будут работать с базой 1000 и 10000 соответственно. Вы можете увидеть это примерно на отметке 3:45 на видео.

Как умножить двузначные числа на любые другие двузначные числа

Самое интересное в математике – это наблюдение за тем, как кажущиеся невозможными комбинации кажутся идеальными в конце. Выполняя определенные операции, вы можете превратить чрезвычайно сложные уравнения в простые пошаговые решения.

Используя вертикальный и крестообразный паттерны, мы можем легко умножать большие двузначные числа, как на изображении ниже.

Вместо того, чтобы использовать метод умножения стоя, мы собираемся разделить и победить.

Сначала умножаем вертикально на правую сторону. 2 х 4 = 8 . Итак, 8 будет последней цифрой в нашем ответе.

Далее перемножаем крест-накрест. 3 x 2 = 6 и 4 x 1 = 4 . Теперь добавьте 6 + 4 , чтобы получить 10 . Перенесите 1 , как обычно, и у вас останется 0 , которое будет перед 8 , которые у нас уже есть.

Итак, теперь у вас должно быть 08 в строке ответа.

Наконец, мы вертикально умножаем левую часть. 3 x 1 = 3 и прибавляем перенесенное 1 . Поместите это перед строкой ответа, и мы получим 408 .

Как умножать, используя линии вместо чисел

Если вы больше визуальный ученик, который действительно ненавидит числа, вы также можете использовать их на японском языке и заменить эти цифры на строки, как это делает YouTuber kimelicious.Я не буду объяснять это – просто посмотрите, и вы увидите.

Разве вы не любите математику сейчас?

Есть несколько действительно удивительных математических трюков с использованием ведической математики, поэтому обязательно посмотрите полное видео, чтобы лучше понять это и начать использовать в своей повседневной жизни.

У вас есть какие-нибудь прикольные математические трюки? Дайте нам знать в комментариях.

Хотите освоить Microsoft Excel и вывести свои перспективы работы на дому на новый уровень? Начните свою карьеру с помощью нашего пакета обучения Microsoft Excel Premium от А до Я из нового магазина гаджетов и получите пожизненный доступ к более чем 40 часам инструкций от базового до расширенного по функциям, формулам, инструментам и многому другому.

Купить сейчас (97% скидка)>

Другие выгодные предложения, которые стоит проверить:

Как быстро умножить большие числа | by Maths and Musings

Алгоритм Тоома-Кука

Здесь мы узнаем о гениальном применении алгоритма «разделяй и властвуй» в сочетании с линейной алгеброй для быстрого умножения больших чисел. И введение в нотацию с большим О!

На самом деле этот результат настолько противоречит интуиции, что великий математик Колмогоров предположил, что такого быстрого алгоритма не существовало.

Часть 0: Длинное умножение – это медленное умножение. (И введение в нотацию Big-O)

Мы все помним, как в школе учились умножать. На самом деле, я должен признаться. Помните, это зона без суждения 😉

В школе у ​​нас была «игра по мокрой дороге», когда шел дождь, слишком сильный для игры на детской площадке. В то время как другие дети (нормальные / веселые / позитивно-избранные) играли в игры и возились, я иногда брал лист бумаги и умножал большие числа, просто ради удовольствия.Настоящая радость вычислений! У нас даже было соревнование по умножению, «Супер 144», где нам нужно было как можно быстрее умножать скремблированные 12 на 12 сетку чисел (от 1 до 12). Я практиковал это неукоснительно до такой степени, что у меня были свои собственные заранее подготовленные листы практики, которые я делал фотокопии, а затем использовал по очереди. В конце концов я сократил свое время до 2 минут и 1 секунды, когда был исчерпан физический предел каракулей.

Несмотря на эту одержимость умножением, мне никогда не приходило в голову, что мы можем сделать это лучше.Я потратил столько часов на умножение, но никогда не пытался улучшить алгоритм.

Рассмотрим умножение 103 на 222.

Вычислим 2 раза 3 раза 1 +2 раза 0 раз 10 + 2 раза 1 раз 100 + 20 раз 3 раза 1 + 20 раз 0 раз 10 + 20 раз 1 раз 100 = 22800

Как правило, для умножения на n-значные числа требуется O (n²) операций. Обозначение «большой О» означает, что если бы мы изобразили график числа операций как функцию от n, то значение n² действительно имеет значение.(1/3) то же самое? », И их, вероятно, вырвет в чашку с кофе, и они начнут плакать, и бормочут что-нибудь о топологии. По крайней мере, такова была моя реакция (сначала), а я почти ничего не знаю о топологии.

Ок. Они не одинаковы. Но наш компьютер не заботится о топологии. Компьютеры различаются по производительности во многих отношениях, что я даже не могу описать, потому что я ничего не знаю о компьютерах.

Но настраивать каток нет смысла. Если две функции при больших значениях их входных данных растут на один и тот же порядок величины, то для практических целей это содержит большую часть важной информации.x при x = 100 уже намного больше, чем количество атомов во Вселенной. (10¹⁰⁰ >>>> 10⁸⁰, что является оценкой, числом Эддингтона, числа атомов во Вселенной согласно моему поиску в Google *).

* на самом деле я использовал DuckDuckGo.

Записывать целые числа как полиномы очень естественно и очень неестественно. Написание 1342 = 1000 + 300 + 40 + 2 очень естественно. Запись 1342 = x³ + 3x² + 4x + 2, где x = 10, немного странно.

В общем, предположим, что мы хотим умножить два больших числа с основанием b на n цифр в каждом.Мы записываем каждое n-значное число в виде многочлена. Если мы разделим n-значное число на r частей, этот многочлен будет содержать n / r членов.

Например, пусть b = 10, r = 3, и наше число 142,122,912

Мы можем превратить это в

Это очень хорошо работает, когда r = 3 и наше число, записанное в базе 10, состояло из 9 цифр. Если r не делит n идеально, мы можем просто добавить несколько нулей впереди. Опять же, лучше всего это проиллюстрировать на примере.

27134 = 27134 + 0 * 10⁵ = 027134, что мы представляем как

Почему это может быть полезно? Чтобы найти коэффициенты многочлена P, если многочлен имеет порядок N, то путем выборки его в N + 1 точках мы можем определить его коэффициенты.

Например, если полином x⁵ + 3x³ + 4x-2, который имеет порядок 5, выбирается в 6 точках, мы можем вычислить весь полином.

Интуитивно понятно, что многочлен 5-го порядка имеет 6 коэффициентов: коэффициент при 1, x, x², x³, x⁴, x⁵. Учитывая 6 значений и 6 неизвестных, мы можем узнать значения.

(Если вы знаете линейную алгебру, вы можете рассматривать различные степени x как линейно независимые векторы, создать матрицу для представления информации, инвертировать матрицу и вуаля )

Выборочные полиномы для определения коэффициентов (необязательно)

Здесь мы более подробно рассмотрим логику выборки многочлена для вывода его коэффициентов.Не стесняйтесь переходить к следующему разделу.

Мы покажем, что если два полинома степени N совпадают в N + 1 точках, то они должны быть одинаковыми. Т.е. N + 1 точек однозначно определяют полином порядка N .

Рассмотрим полином порядка 2. Он имеет вид P (z) = az² + bz + c . Согласно фундаментальной теореме алгебры – бесстыдство, вставьте сюда, я потратил несколько месяцев, собирая доказательство этого, а затем записывая его, вот – этот многочлен можно факторизовать.Это означает, что мы можем записать его как A (z-r) (z-w)

Обратите внимание, что при z = r и при z = w полином оценивается как 0 . Мы говорим, что w и r являются корнями полинома.

Теперь покажем, что P (z) не может иметь более двух корней. Предположим, у него есть три корня, которые мы называем w, r, s . Затем мы факторизуем многочлен. P (z) = A (z-r) (z-w). Тогда P (s) = A (s-r) (s-w). Это делает не равным 0, так как умножение ненулевых чисел дает ненулевое число.Это противоречие , потому что наше исходное предположение состояло в том, что s было корнем многочлена P.

Этот аргумент может быть применен к многочлену порядка N по существу идентичным образом.

Теперь предположим, что два полинома P и Q порядка N совпадают с N + 1 точками. Тогда, если они разные, P-Q является полиномом порядка N , который равен 0 при N + 1 точек.По предыдущему, это невозможно, так как полином порядка N имеет не более N корней. Таким образом, наше предположение должно быть ошибочным, и если P и Q совпадают по N + 1 точкам, они являются одним и тем же многочленом.

Увидеть – значит поверить: рабочий пример

Давайте посмотрим на действительно огромное число, которое мы называем p. В базе 10 p состоит из 24 цифр (n = 24), и мы разделим его на 4 части (r = 4). n / r = 24/4 = 6

p = 292 103 243 859 143 157 364 152.

И пусть представляющий его многочлен будет называться P,

P (x) = 292,103 x³ + 243,859 x² +143,157 x + 364,152

с P (10⁶) = p.

Поскольку степень этого полинома равна 3, мы можем вычислить все коэффициенты из выборки в 4 местах. Давайте почувствуем, что происходит, когда мы попробуем это в нескольких точках.

• P (0) = 364,152
• P (1) = 1,043,271
• P (-1) = 172,751
• P (2) = 3,962,726

Поразительно то, что все они имеют 6 или 7 цифр.Это по сравнению с 24 цифрами, изначально найденными на стр.

Умножим p на q. Пусть q = 124,153,913,241,143,634,899,130 ​​и

Q (x) = 124,153 x³ + 913,241 x² + 143,634 x + 899,130 ​​

Вычисление t = pq может быть ужасным. Но вместо того, чтобы делать это напрямую, мы пытаемся вычислить полиномиальное представление t, которое мы обозначаем T. Поскольку P является полиномом порядка r-1 = 3, а Q – полиномом порядка r-1 = 3, T равно полином порядка 2r-2 = 6.

T (10⁶) = t = pq

T (10⁶) = P (10⁶) Q (10⁶)

Хитрость в том, что мы вычислим коэффициентов T вместо прямого умножения p и q вместе.Тогда вычислить T (1⁰⁶) легко, потому что для умножения на 1 мы просто наклеиваем 6 нулей на обороте. Подвести итог по всем частям также легко, потому что добавление – очень дешевое действие для компьютеров.

Чтобы вычислить коэффициенты T, нам нужно выбрать его в 2r-1 = 7 точках, потому что это полином порядка 6. Мы, вероятно, захотим выбрать маленькие целые числа, поэтому мы выбираем

• T (0) = P ( 0) Q (0) = 364,152 * 899,130 ​​
• T (1) = P (1) Q (1) = 1,043,271 * 2,080,158
• T (2) = P (2) Q (2) = 3,962,726 * 5,832,586
• T (-1) = P (-1) Q (-1) = 172751 * 1544584
• T (-2) = P (-2) Q (-2) = -1,283,550 * 3,271,602
• T (3) = P (-3) Q (-3) = –5,757,369 * 5,335,266

Обратите внимание на размер P (-3), Q (-3), P (2), Q (2) и т.д. примерно n / r = 24/4 = 6 цифр.Некоторые из них 6-значные, некоторые – 7. По мере увеличения n это приближение становится все более и более разумным.

До сих пор мы свели проблему к следующим шагам или алгоритму:

(1) Сначала вычислите P (0), Q (0), P (1), Q (1) и т. Д. (малозатратное действие )

(2) Чтобы получить наши 2r-1 = 7 значений T (x), мы должны теперь умножить 2r-1 числа приблизительного размера n / r цифр. А именно, мы должны вычислить P (0) Q (0), P (1) Q (1), P (-1) Q (-1) и т. Д. ( Действие с высокими затратами )

(3) Восстановить T (x) из наших точек данных.(n / r)) в целом для базы b и длины n]

Это хорошо ведет к анализу времени выполнения этого подхода.

Время выполнения

Из вышеизложенного мы выяснили, что, временно игнорируя действия low cost (1) и (3), стоимость умножения двух n-значных чисел с помощью алгоритма Тоома будет подчиняться:

Это то, что мы видели в отработанном примере. Умножение каждого P (0) Q (0), P (1) Q (1) и т. Д. Стоит T (n / r), потому что мы умножаем два числа длины примерно n / r.Мы должны сделать это 2r-1 раз, так как мы хотим выбрать T (x) – многочлен порядка 2r-2 – в 2r-1 местах.

Насколько это быстро? Мы можем решить подобные уравнения явно.

Теперь все, что осталось, – это некоторая беспорядочная алгебра

Поскольку были некоторые другие затраты, связанные с процессом умножения (‘повторной сборки’) матриц и сложением, мы не можем сказать, что наше решение является точным временем выполнения, поэтому вместо этого мы заключаем что мы нашли большой O среды выполнения

Оптимизация r

Эта среда выполнения все еще зависит от r.Исправьте r, и все готово. Но наше любопытство еще не удовлетворено!

Когда n становится большим, мы хотим найти приблизительно оптимальное значение для нашего выбора r. Т.е. мы хотим выбрать значение r, которое изменяется для разных значений n.

Ключевым моментом здесь является то, что при изменении r нам нужно обратить внимание на стоимость повторной сборки – матрица, которая выполняет эту операцию, имеет стоимость O (r²). Когда r было фиксированным, нам не нужно было на это смотреть, потому что по мере увеличения n при фиксированном r именно члены, содержащие n, определяли рост количества требуемых вычислений. Поскольку наш оптимальный выбор r будет увеличиваться с увеличением n, мы больше не можем игнорировать это.

Это различие очень важно. Первоначально наш анализ выбрал значение r, может быть, 3, возможно, 3 миллиарда, а затем посмотрел на большой размер O, когда n стало на произвольно большим. Теперь мы смотрим на поведение, когда n растет произвольно большим и r растет с n с некоторой скоростью, которую мы определяем . Это изменение перспективы рассматривает O (r²) как переменную, тогда как, когда r оставалось фиксированным, O (r²) было константой, хотя мы и не знали.

Итак, мы обновляем наш анализ по сравнению с предыдущим:

, где O (r²) представляет собой стоимость матрицы повторной сборки. Теперь мы хотим выбрать значение r для каждого значения n, что приблизительно минимизирует это выражение. Чтобы минимизировать, сначала попробуем дифференцировать по r. Это дает несколько отвратительно выглядящее выражение

Обычно, чтобы найти точку минимума, мы устанавливаем производную равной 0. Но это выражение не имеет хорошего минимума. Вместо этого мы находим «достаточно хорошее» решение.sqrt (logN), которое было нашим предполагаемым значением. «X» заменяет «r», и на каждом из трех изображений используется различное значение N.

Меня убедило, что наш выбор был удачным. Выбрав r, мы можем подключить его и посмотреть, как наш алгоритм получает последний большой O:

, где мы просто вставили наше значение для r и использовали приближение для log (2r-1) / log (r), которое очень точен для больших значений r.

Возможно, я не заметил этого алгоритма, когда был маленьким мальчиком и делал умножение, и это было разумным.На графике ниже я даю коэффициент нашей функции большого O равный 10 (в демонстрационных целях) и делю его на x² (поскольку исходный подход к умножению был O (n²). Если красная линия стремится к 0, то это будет показывать наше новое время работы асимптотически работает лучше, чем O (n²).

И действительно, хотя форма функции показывает, что наш подход на , в конечном итоге на быстрее, и в конечном итоге намного быстрее, мы должны подождите, пока у нас не будет почти 400-значных чисел, чтобы это имело место! Даже если бы коэффициент был всего 5, числа должны были бы состоять примерно из 50 цифр, чтобы увидеть улучшение скорости.

Для моего 10-летнего «я» умножение 400-значных чисел было бы непростой задачей! Отслеживать различные рекурсивные вызовы моей функции также было бы довольно сложно. Но для компьютера, выполняющего задачу в области искусственного интеллекта или физики, это обычная проблема!

Что мне нравится в этой технике, так это то, что она , а не ракетостроение . Это не самая ошеломляющая математика, которую когда-либо можно было открыть. Оглядываясь назад, возможно, это кажется очевидным!

И все же в этом блеск и красота математики.Я читал, что Колмогоров на семинаре выдвинул гипотезу о том, что умножение – это, по сути, O (n²). Колмогоров в основном изобрел множество современной теории вероятностей и анализа. Он был одним из величайших математиков 20 века. Но когда дело дошло до этой несвязанной области, оказалось, что целый массив знаний, ждущих своего открытия, сидит прямо у него и у всех под носом!

Фактически, алгоритмы Divide and Conquer и сразу приходят в голову сегодня, поскольку они так широко используются. Но они являются продуктом компьютерной революции в том смысле, что человеческий разум сосредоточился именно на скорости вычислений как области математики, достойной изучения как таковой, только благодаря огромной вычислительной мощности.

Вот почему математики не хотят просто признать, что гипотеза Римана верна только потому, что кажется, что она может быть правдой, или что P не равно NP только потому, что это кажется наиболее вероятным. Прекрасный мир математики всегда сохраняет способность опровергать наши ожидания.

Фактически, вы можете найти еще более быстрые способы умножения. Современные лучшие подходы используют быстрое преобразование Фурье. Но я приберегу это на другой день 🙂

Дайте мне знать, что вы думаете ниже. Я недавно в Твиттере под именем ethan_the_mathmo , вы можете подписаться на меня здесь .

Я столкнулся с этой проблемой в замечательной книге, которую использую, под названием «Природа вычислений» физиков Мура и Мертенса, где одна из задач проведет вас через анализ алгоритма Тоома.

10 советов по совершенствованию своих умственных математических способностей

Иллюстрация: Елена Скотти / Gizmodo, Shutterstock

Калькуляторы прекрасны, но не всегда удобны. Более того, никто не хочет, чтобы его видели, когда он тянется к калькулятору на своем мобильном телефоне, когда приходит время рассчитывать 15-процентное вознаграждение. Вот десять советов, которые помогут вам вычислить числа в своей голове.

Мысленная математика не так сложна, как может показаться, и вы можете быть удивлены тем, насколько легко производить, казалось бы, невозможные вычисления, используя только свой прекрасный мозг.Вам просто нужно запомнить несколько простых правил.

Помните, как в школе вас учили складывать и вычитать числа справа налево (не забывайте носить одно!)? Это нормально, когда вы занимаетесь математикой с карандашом и бумагой, но при выполнении мысленной математики лучше делать это, двигаясь слева направо. Переключение порядка таким образом, чтобы вы начинали с самых больших значений, делает его немного более интуитивным и более простым для понимания.Итак, прибавляя 58 к 26, начните с первого столбца и вычислите 50 + 20 = 70, затем 8 + 6 = 14, что в сумме дает 84. Легко, легко.

Столкнувшись со сложным расчетом, попробуйте найти способ упростить задачу, временно изменив значения. Например, при вычислении 593 + 680 прибавьте 7 к 593, чтобы получить 600 (более управляемо). Вычислите 600 + 680, что составляет 1280, а затем уберите эти дополнительные 7, чтобы получить правильный ответ – 1273.

То же самое можно сделать и с умножением. Для 89×6 вместо этого вычислите 90×6, а затем вычтите эти дополнительные 6, так что 540-6 = 534.

Запоминание строительных блоков

Запоминание таблиц умножения – важный аспект умственной математики, и его нельзя сбрасывать со счетов.

Спенсер Гринберг, математик и основатель ClearerThinking. org, говорит, что, запоминая эти базовые «строительные блоки» математики, мы можем мгновенно получить ответы на простые задачи, которые встроены в более сложные.Так что, если вы забыли эти таблицы, было бы полезно поскорее освежить их в памяти. Пока вы это делаете, запоминайте свои таблицы 1 / n, чтобы вы могли быстро вспомнить, что 1/6 – это 0,166, 1/3 – это 0,333, а 3/4 – это 0,75.

Чтобы помочь вам выполнить простое умножение, важно запомнить некоторые изящные приемы. Одно из наиболее очевидных правил состоит в том, что любое число, умноженное на 10, просто должно иметь ноль в конце. При умножении на 5 ваш ответ всегда будет оканчиваться либо на 0, либо на 5.

Кроме того, при умножении числа на 12 всегда получается 10 умножить на два больше этого числа. Например, при вычислении 12×4 сделайте 4×10 = 40 и 4×2 = 8, а затем 40 + 8 = 48. Один из моих любимых – умножение на 15: просто умножьте свое число на 10, а затем добавьте половину к ответу (например, 4×15 = 4×10 = 40, плюс половина этого ответа, 20, что даст вам 60).

Есть еще хитрый способ умножения на 16. Сначала умножьте рассматриваемое число на 10, а затем умножьте половину числа на 10.Затем сложите эти два результата вместе с самим числом, чтобы получить окончательный ответ. Итак, чтобы вычислить 16 x 24, сначала вычислите 10 x 24 = 240, затем вычислите половину 24, которая равна 12, и умножьте на 10, получив 120. Простая математика завершает это: 240 + 120 + 24 = 384.

Подобные уловки существуют и для других номеров, о которых вы можете прочитать здесь.

Квадраты – ваши друзья

Эти простые приемы хороши и хороши, но большие числа представляют собой другую проблему. Для этого физик из аскаматематика.com говорит, что это хорошая идея – использовать разницу квадратов (квадрат – это число, умноженное на само себя).

«Возьмите два числа, которые вы умножаете, и думайте о них как об их среднем, x, плюс и минус разница между каждым и их средним значением, ± y», – говорит он. «Эти два числа возведены в квадрат, поэтому вместо запоминания целых таблиц умножения вы запоминаете только квадраты».

Это может показаться сложной задачей, но запомнить все квадраты от 1 до 20 не так уж и плохо, как кажется.В конце концов, это всего лишь 20 чисел. Вооружившись этими предварительными знаниями, вы можете выполнять довольно невероятные вычисления.

Вот как это работает. Начнем с простого примера. Предположим на мгновение, что мы не знаем ответа на вопрос 10×4. Первый шаг – вычислить среднее число между этими двумя числами, которое равно 7 (т. Е. 10-3 = 7 и 4 + 3 = 7). Затем определите квадрат 7, который равен 49. Теперь у нас есть близкое, но недостаточно близкое число. Чтобы получить правильный ответ, мы должны возвести в квадрат разницу между средним (в данном случае 3) и получить 9.Последний шаг – выполнить простое вычитание, 49–9 = 40, и разве вы не знаете, что у вас есть правильный ответ.

Это может показаться окольным способом вычисления 10×4 (это так), но тот же метод работает для больших чисел. Возьмем, к примеру, 15×11. Еще раз, мы должны найти среднее число между этими двумя, которое равно 13. Квадрат 13 равен 169. Квадрат разницы среднего (2) равен 4. Наконец, 169-4 = 165, правильный ответ. .

Приблизительно

При мысленном вычислении, особенно для больших чисел, часто бывает хорошей идеей сделать осознанную оценку и не беспокоиться о получении точного ответа.Например, еще во время Манхэттенского проекта физик Энрико Ферми хотел приблизительно оценить мощность атомного взрыва до получения диагностических данных. С этой целью он ронял листы бумаги, когда взрывная волна ударила его (с безопасного расстояния, курс). Измерив пройденное расстояние, он оценил силу взрыва примерно в 10 килотонн в тротиловом эквиваленте. Эта оценка была довольно точной, так как истинный ответ был 20 килотонн в тротиловом эквиваленте.

Этот метод, теперь известный как «оценка Ферми», работает, оценивая числа в степени десяти (подробнее см. Видео TED-Ed выше).Поэтому, когда вы пытаетесь придумать, казалось бы, невозможное решение, полезно разбивать элементы таким образом, а затем разбивать их на части. Например, при попытке оценить количество настройщиков пианино в вашем городе, сначала оцените население вашего города (например, 1000000), затем оцените количество пианино (10000), а затем количество настройщиков фортепиано (например, 100). Вы не получите точного ответа, но получите ответ быстро, причем часто достаточно близкий.

Если сомневаетесь, переставьте

Чтобы преобразовать сложные задачи в более простую форму, рекомендуется использовать математические правила.Например, вычисление задачи 5x (14 + 43) само по себе является сложной задачей, но ее можно разбить на три довольно управляемых вычисления. Помня ваш порядок действий, эту задачу можно перефразировать как (5×14) + (5×40) + (5×3) = 285.

Превратите большую проблему в кучу мелких

Если есть сомнения, разбейте ее на части. «Для многих проблем способ быстро решить их – разбить их на подзадачи и решить их», – говорит Гринберг. «Когда вы сталкиваетесь с проблемой, которая кажется сложной, часто бывает полезно найти способы разбить ее на более простые проблемы, которые вы уже знаете, как решать. ”

Например, вы можете умножить на 8, удвоив три раза. Поэтому вместо того, чтобы пытаться вычислить 12×8, просто удваиваю 12 три раза: 24, 48, 96. Или при умножении на 5 я начинаю с умножения на 10, так как это легко, а затем делю на 2, поскольку это тоже обычно довольно легко. Например, для 5×18 вместо этого вычислите 10×18 и разделите на 2, где 180/2 = 90.

Используйте научную запись для неоправданно больших чисел

При вычислении больших чисел в уме помните, что вы можете сначала преобразовать их в экспоненциальную запись.Что получится 44 миллиарда разделить на 400 000? Простой способ справиться с этим – преобразовать 4 миллиарда в 10 ⁹ и 400000 в 10 ⁵ . Теперь мы можем выразить это как 44/4 и 10 ⁹ /10 ⁵ . Как указывает Гринберг, правило деления показателей требует от нас их вычитания (легко!), Поэтому мы получаем 11 x 10 ^(9-5) = 11 x 10 ⁴ = 110 000.

Простейший способ расчета чаевых

Наконец, несколько советов о том, как рассчитать чаевые в уме. Если вы можете подсчитать 10-процентные чаевые в уме (легко), то вы можете рассчитать и 20-процентные, и 15-процентные чаевые.

При расчете 10-процентных чаевых за обед, который стоит 112,23 доллара, просто переместите десятичную запятую на одну позицию влево, получив 11,22 доллара. При подсчете 20-процентных чаевых сделайте то же самое, но просто удвойте ответ (20-процентные чаевые вдвое больше, чем 10-процентные чаевые), который в данном случае составляет 22,44 доллара.

Для 15-процентных чаевых еще раз вычислите 10-процентные чаевые, а затем прибавьте половину (дополнительные 5 процентов составляют лишь половину от 10-процентной суммы).Итак, $ 11,22 + (11,22 / 2). Не волнуйтесь, если вы не можете получить точный ответ. Если не особо беспокоиться о десятичных точках, мы можем быстро подсчитать, что чаевые в размере 15 процентов в размере 112,23 доллара равны 11 + 5,50 доллара, что составляет 16,50 доллара. Достаточно близко. Добавьте четверть или две, если вы беспокоитесь о снижении производительности сервера.

Поделитесь, пожалуйста, другими интересными советами в комментариях!

Умножение × | Основы арифметики

На этой странице описаны основы умножения (×) .

См. Другие наши арифметические страницы для обсуждения и примеров: Сложение (+), Вычитание (-) и Деление ( ÷ ).

Умножение

При записи общий знак умножения – « × ». В электронных таблицах и некоторых других компьютерных приложениях символ « * » (или звездочка) используется для обозначения операции умножения.

Чтобы выполнять вычисления умножения без калькулятора или электронной таблицы, вам необходимо знать, как складывать числа.См. Нашу страницу добавления, чтобы узнать, как добавить.

Когда вы «умножаете» или «умножаете» число, вы добавляете его к самому себе несколько раз, например, умножение 4 на 3 – это то же самое, что сказать 4 + 4 + 4 = 12. Следовательно, умножение – это более быстрый способ сложения одно и то же число много раз, например 3 × 4 = 12. Этот расчет аналогичен выражению, если у меня есть 3 пакета по 4 яблока, сколько всего яблок у меня есть?

Основные правила умножения:

• Любое число, умноженное на 0, равно 0.200 × 0 = 0
• Любое число, умноженное на 1, остается неизменным. 200 × 1 = 200.
• Когда число умножается на два, мы удваиваем число. 200 × 2 = 400.
• Когда целое число умножается на 10, мы можем просто написать 0 в конце (один ноль из 10, потому что это 1 × 10). 200 × 10 = 2000.
• При умножении на 100 мы записываем два нуля в конце, на тысячу записываем три нуля в конце и так далее. Например, 4 × 2000 – это 4 × 2 = 8 с 3 нулями: 8000.

Для простого и быстрого умножения полезно запомнить умножение или «таблицу умножения », как показано ниже. Эта таблица дает ответы на все умножения до 10 × 10. Чтобы получить ответ на 4 × 6, например, найдите 4 в верхней (заштрихованной красным) строке и найдите 6 в левом (заштрихованном красным) столбце – столбец точка пересечения двух линий и есть ответ: 24 .

Неважно, с какой стороны искать числа; если вы найдете 4 в первом столбце и 6 в первой строке, вы получите тот же ответ, 24.

Таблица умножения

Приведенная выше таблица может помочь нам быстро вычислить ответ на следующую проблему. Меган ведет в кинотеатр троих братьев, всего ей нужно купить 4 билета, каждый стоит 8 фунтов. Во сколько обойдется поездка? Нам нужно вычислить 4 лота по 8 фунтов стерлингов, что написано 4 × 8.

Найдите 4 в вертикальном красном столбце и 8 в горизонтальном красном столбце, ответ находится в ячейке, где пересекаются две линии: 32 . Стоимость похода в кинотеатр составит 32 фунтов стерлингов.

Часто бывает необходимо умножать числа больше 10.В этом случае приведенная выше таблица умножения не может дать немедленного ответа. Однако мы все еще можем использовать его, чтобы упростить расчет.

Лиза занимается ресторанным бизнесом. Она должна доставить бутерброды 23 предприятиям, в каждом из которых работает 14 сотрудников. Если предположить, что каждый сотрудник съедает один бутерброд, сколько бутербродов нужно приготовить Лизе?

23 предприятиям нужно 14 бутербродов, что составляет 23 лота по 14 или, другими словами, 23, умноженные на 14. Как мы уже обнаружили, мы можем записать расчет наоборот.14 × 23. Ответ будет таким же.

Нам нужно найти ответ на расчет 23 × 14.

Сначала запишите свои числа в столбцы, представляющие сотни, десятки и единицы (за помощью см. Нашу страницу Числа ).

Шаг 1: Начиная с правого столбца (единицы), умножьте 4 на 3.При необходимости вы можете обратиться к приведенной выше таблице умножения. Напишите ответ (12) под своими вычислениями, стараясь поставить 1 в столбце десятков и 2 в столбце единиц.

Синие числа – это те, над которыми мы сейчас работаем, а розовые числа – это первая часть нашего ответа.

Шаг 2: Затем мы умножаем 4 на следующее число, равное 2 (или 20, потому что оно находится в столбце десятков). Напишите свой ответ внизу в столбце десятков: мы напишем 8 в столбце десятков (4 раза по 2 десятка) и ноль в столбце единиц (4 раза по 2 десятка это то же самое, что 4 × 20 = 80).

Шаг 3: В приведенных выше шагах мы умножили единицы нижнего числа (4) на верхнее число (23).Затем нам нужно умножить десятки в нижнем числе (1) на верхнее число (23). Теперь мы работаем с цифрой в столбце десятков нижнего числа и повторяем шаги, описанные выше. Оглядываясь на наши основные правила умножения, приведенные выше, мы знаем, что, умножая число на 10, мы пишем ноль в конце. На этом этапе, поскольку мы переместились по столбцу и работаем с десятками, мы должны не забыть записать нули в первый столбец (единицы).

Выполните 1 × 3. Как и выше, мы записываем наш ответ (3) в столбец десятков и (0) в столбец единиц.

Шаг 4: Последнее умножение, которое нам нужно выполнить, – 1 × 2.Оба числа находятся в столбце десятков, поэтому мы умножаем один лот из 10 на два лота по 10. Используя правила, которые мы узнали на предыдущих шагах, нам нужно записать ноль в столбец единиц и ноль в столбец десятков. Наш ответ (1 × 2 = 2) записан в столбце сотен, потому что мы фактически вычислили 10 × 20 = 200.

Этап 5: На этом этапе мы закончили умножение; остается только сложить все наши ответы (розовые числа), чтобы найти общее количество необходимых бутербродов. См. Нашу страницу Дополнение , если вам нужна помощь с суммированием чисел.

12 + 80 + 30 + 200 = 322. Мы подсчитали, что Лизе нужно сделать в общей сложности 322 бутербродов.

В приведенном выше примере показано, как выполнить умножение, разделенное на все возможные части, но по мере повышения уверенности можно пропустить шаги.

Мы могли бы, например, умножить 4 на 23, разбив сумму на две части:

4 × 20 = 80
4 × 3 = 12
80 + 12 = 92

Сотни	Десятки	шт.
	2	3
	1	4
	9	2

То же для второго столбца:

10 × 23 = 230

Наконец, мы складываем два наших ответа:

92 + 230 = 322.

Умножение более двух чисел

Если вам нужно перемножить более двух элементов, обычно проще перемножить первые два элемента, получить результат, а затем умножить следующее число на первое число. Например, если Джо хотел вычислить, сколько часов он проработал за четырехнедельный период, то расчет выглядел бы так:

Джо работает 7 часов в день 5 дней в неделю в течение четырех недель.

Шаг первый:

7 × 5 = 35 (количество часов, которые Джо работает за одну неделю).

Шаг второй:

Чтобы узнать, сколько часов Джо работает за четыре недели, мы можем затем умножить этот ответ (35) на 4. 35 × 4 = 140.

Если мы знаем, что Джо платят 12 фунтов в час, мы можем затем подсчитать, сколько денег он заработал за четырехнедельный период: 12 × 140.

Быстрый способ решить это – вычислить:
10 × 140 = 1400 (помните, что если мы умножаем на 10, мы просто добавляем ноль в конец числа, на которое мы умножаем).
2 × 140 = 280 то же, что 2 × 14 (с нулем на конце) или 140 + 140.

Мы складываем наши ответы вместе: 1400 + 280 = 1680.
Таким образом, Джо заработал 1 680 фунтов стерлингов за четырехнедельный период.

Умножение отрицательных чисел

Умножение отрицательного числа на положительное всегда дает отрицательный ответ:

15 × (−4) = −60

Умножение отрицательного числа на другое отрицательное число всегда дает положительный ответ:

(−15) × (−4) = 60

Как умножать большие числа | Более быстрый способ умножить

• Умножать большие числа сложно.В 1971 году два немецких профессора предсказали алгоритм, который упростит задачу, но никто так и не доказал его.
• До сих пор.
• Математики из Австралии и Франции говорят, что их алгоритм может сделать умножение и другие виды арифметики намного более эффективными.

---

Начиная с начальной школы, сложное умножение было головной болью. Но доцент из Сиднейского университета Нового Южного Уэльса в Австралии разработал новый метод умножения гигантских чисел, который более эффективен, чем «длинное умножение», которому многих учат в раннем возрасте.

«Технически мы доказали гипотезу Шёнхаге и Штрассена 1971 года о сложности целочисленного умножения», – говорит доцент Дэвид Харви в видео ниже.

Этот контент импортирован с YouTube. Вы можете найти тот же контент в другом формате или найти дополнительную информацию на их веб-сайте.

Алгоритм Шёнхаге – Штрассена, разработанный двумя немецкими математиками, на самом деле был самым быстрым методом умножения с 1971 по 2007 год.Хотя более быстрый метод был разработан в 2007 году, сегодня он используется редко.

Шёнхаге и Штрассен предсказали, что должен существовать алгоритм, умножающий n -значных чисел с использованием основных операций n * log ( n ), говорит Харви. Его статья – первое известное доказательство того, что это так.

Харви берет пример 314, умноженного на 159 – большое уравнение, конечно, но гораздо более крупные уравнения используются каждый день в реальных сценариях. Чтобы решить эту проблему, большинство людей учат умножать каждое отдельное число вместе, а затем складывать суммы:

9 умножается на 4, 1 и 3; затем 5 умножается на 4, 1, 3 и так далее.В результате получается 9 продуктов с цифрой за цифрой.

Этот метод называется n ² или n в квадрате, потому что нужно умножить n на n несколько раз. Ответ будет правильный, но Шёнхаге и Штрассен разработали более быстрый метод. Он смог перейти от n ² к чему-то меньшему, но проблема все же возникла в виде n * log ( n ).

Некоторым может быть достаточно увидеть слово в середине математической задачи, чтобы глаза потускнели, как на уроке алгебры.Напоминаем: log – это сокращение от logarithm, которое помогает людям расшифровывать показатели, которые возводят числа в квадрат или куб, или даже что-то большее. Итак, 2⁵ равно 32, но при логарифмическом выражении это будет выглядеть как log₂ (32) = 5. Хотя это может показаться скучным, логарифмы имеют решающее значение, когда числа становятся намного больше.

По словам Харви, метод Шёнхаге-Штрассена очень быстр. Если бы компьютер применил метод возведения в квадрат, которому учат в школе, для решения задачи, где у двух чисел есть миллиард цифр каждое, на это потребовались бы месяцы.Компьютер, использующий метод Шенхаге-Штрассена, мог сделать это за 30 секунд.

Но если цифры будут продолжать расти до триллионов и более, алгоритм, разработанный Харви и его соавтором Йорисом ван дер Хувеном из Политехнической школы во Франции, сможет найти решения быстрее, чем алгоритм Шёнхаге-Штрассена 1971 года.

«Это означает, что вы можете более эффективно выполнять всевозможные арифметические операции, например деление и извлечение квадратного корня», – говорит он. «Вы также можете вычислять цифры числа Пи более эффективно, чем раньше. У него даже есть приложения к задачам, связанным с огромными простыми числами.

«Люди охотились за таким алгоритмом почти 50 лет», – продолжает он. Вывод о том, что кто-то в конечном итоге добьется успеха, нельзя было игнорировать. Может оказаться, что Шёнхаге и Штрассен ошибались и что такого алгоритма не было возможно.

«Но теперь мы знаем лучше», – говорит он. Дэвид Гроссман Дэвид Гроссман – штатный автор PopularMechanics.com.

Этот контент создается и поддерживается третьей стороной и импортируется на эту страницу, чтобы помочь пользователям указать свои адреса электронной почты. Вы можете найти дополнительную информацию об этом и подобном контенте на сайте piano.io.

12 математических приемов, которые помогут вам решать задачи без калькулятора | Автор: Эндрю Джеймисон

Разбираем в голове

Фото Крисси Джарвис на Unsplash

1. Дополнение

Первый трюк – упростить задачу, разбив ее на более мелкие части.Например, можно переписать

 567 + 432 
 = 567 + (400 + 30 + 2) 
 = 967 + 30 + 2 
 = 997 + 2 
 =  999  

Switch

Часто проще работать с добавив меньшее число, чтобы вместо 131 + 858 поменять местами числа

 858 + 131 
 = 858 + 100 + 30 + 1 
 =  989  

2.

Вычитание

Использование дополнения числа может помочь сделать вычитание проще. Дополнение – это разница между исходным числом и круглым числом, например 100, 1000.

Вот несколько примеров с числом и его дополнением по сравнению с 100:

 67:33, 45:55, 89:11, 3:97 

Обратите внимание, что вторая цифра в сумме дает 10, а первая цифра добавляет до 9.

Вот как это помогает

 721–387 
 # дополнение 87 равно 13, поэтому мы можем поменять местами 387 на 400 - 13 
 -> 721 - (400-13) 
 = 321 - - 13 
 = 321 + 13 
 =  334  

Другой способ – записать большее число, чтобы оно оканчивалось на 99.В том же примере:

 721 -> (699 + 22) 
 = 699 - 387 + 22 
 = 312 + 22 
 =  334  

Фотография Криса Ливерани на Unsplash

3. Elevens

Для двузначного числа число, сложите цифры и поместите ответ в середину числа, которое вы умножаете:

 35 x 11 
 -> 3  _  5 
 -> 3 + 5 = 8 
 -> 3  8  5 

Если сумма больше 10, добавьте цифру десятков в следующий столбец слева и запишите цифру единиц в ответ. Например, 4 + 8 = 12, запишите 2 и перенесите 1 в следующий столбец.

 48 x 11 
 -> 4_8 
 -> 4 + 8 = 12 
 -> 4,12,8 
 ->  528  

Процесс немного сложнее для трехзначных и больших чисел, но он работает аналогичным образом. На этот раз сохраните первую и последнюю цифру и просуммируйте цифры попарно

 725 X 11 
 -> 7__5 
 -> 7 _, (7 + 2 = 9), (2 + 5 = 7), _5 
 ->  7975  51973 x 11 
 -> 5__3 
 -> 5 _, (5 + 1 = 6), (1 + 9 = 10), (9 + 7 = 16), (7 + 3 = 10), _3 
 # где сумма больше десяти, мы перемещаем цифру десятков в следующий столбец 
 -> 5, (6 + 1), (0 + 1), (6 + 1), (0), 3 
 ->  571703  

4.Девятки

Умножение на девять можно упростить, умножив на 10 и вычтя исходное число

 799 x 9 
 = 799 x (10-1) 
 = 7990-799 
 =  7191  

Используйте тот же метод для всего оканчивается на 9

 72 x 89 
 = 72 x (90–1) 
 = (70 x 90) + (2 x 90) - 72 
 = 6300 + 180–72 
 =  6408  

5.

2
# мы прибавляем 3 к 57, так как 60 легче умножить, чем 57, и вычтите 3 из второго 57
-> 60 x 54 + 9
= 3000 + 240 + 9
= 3249

Конечный пример – когда вы возводите в квадрат число, заканчивающееся на 5, а затем округляете одно число в большую сторону до ближайшего 10, другое число до ближайшего 10 и прибавить 25.2
= 4200 + 25
= 4225

6. Метод близкого совпадения

Аналогичный метод работает для умножения близких чисел. Формула работает для всех чисел, но не может хорошо упрощаться, если числа не похожи.

Вот формула. n – «базовое» число

 (n + a) (n + b) = n (n + a + b) + ab 

Пример:

 47 x 43 
 = (40 + 7) (40 + 3) 
 = 40 x (40 + 3 + 7) + (7 x 3) 
 = (40 x 50) + (7 x 3) 
 = 2000 + 21 
 =  2021  

В этом примере единицы цифры в сумме дают десять, поэтому наше «базовое» число и множитель – круглые числа (40 и 50).

Вот еще пример. Уменьшите меньшее число, чтобы получить ближайшее круглое число – наше базовое число, в данном случае 40. Добавьте разницу к большему числу. Умножьте основание на большее число. Наконец, добавьте произведение разницы между исходными числами и основным числом.

 47 x 42 
 = (40 + 7) x (40 + 2) 
 = (40 + 7 + 2) x 40 + (7 x 2) 
 = (49 x 40) + (7 x 2) 
 = (40 x 40) + (40 x 9) + (7 x 2) 
 = 1600 + 360 + 14 
 =  1974  

Вы также можете округлить до основного числа.Поскольку исходные числа меньше основания, мы складываем произведение двух отрицательных чисел.

 47 x 42 
 = (50 x 39) + (-3 x -8) 
 = (50 x 30) + (50 x 9) + (-3 x -8) 
 = 1500 + 450 + 24 
 =  1974  

Это работает и для трехзначных чисел. В этом случае базовое число находится между нашими числами, поэтому произведение является отрицательным числом.

 497 x 504 
 = (500-3) x (500 + 4) 
 = (500) x (500 + 4-3) + (-3 x 4) 
 = 500 x 501 - 12 
 = 250,000 + 500 - 12 
 =  250,488  

Фотография Сандро Шу на Unsplash

7.

Упростите вычисления

Вы можете упростить некоторые уравнения еще до того, как начнете. Например, разделите делитель и делимое на два.

 898/4 
 = 449/2 
 = 224 и ½ 

Обратите внимание, что с помощью этого метода вы должны записать остаток в виде дроби:

 898/4 имеет остаток 2 - деленный на 4 
 449/2 остаток равен 1 - делится на 2 

Дробь такая же, но абсолютное число другое.

При делении на 5 измените уравнение, умножив на 2.Гораздо проще разделить на 10. Например:

 1753/5 
 = 3506/10 
 =  350,6  

8. Проверка на делимость

Есть много способов быстро определить, является ли число множителем.

2 : Число четное.

 Пример 28790 четный, поэтому он делится на 2. 

3 : Сумма цифр делится на 3.

 Пример: 1281 -> 1 + 2 + 8 + 1 = 12 
 -> 12 кратно 3, поэтому 1281 делится на 3 

4 : Последние две цифры делятся на 4. Почему это работает? 100 кратно 4, поэтому нам нужно проверить только две последние цифры.

 Пример: 1472, 72 делится на 4, поэтому 1472 делится на 4. 

5 : Число заканчивается на 5 или 0.

 Пример: 575 заканчивается на 5, поэтому оно делится на ноль 

6 : Число четное, а сумма цифр делится на 3. 6 равно 3 x 2, поэтому применяются правила 2 и 3.

 Пример: 774 четно и 7 + 7 + 4 = 18 
 -> 18 делится на 3, поэтому 774 делится на 6.

7 : прибавьте или вычтите число, кратное 7, так, чтобы оно оканчивалось нулем. Отбросьте последнюю цифру с нулем и повторите процесс. Продолжайте, пока не определите, делится ли результат на 7.

 Пример: 2702 прибавить 98 (7 x 14) -> 2800, отбросить нули 
 -> 28 кратно 7, поэтому 2702 делится на 7. 

8 : последние три цифры делятся на 8.

 Пример: 79256, 256 делится на 8, поэтому 79256 делится на 8.(Альтернативное правило: если цифра сотен , четная , последние  2  цифры делятся на 8, если цифра сотен  нечетная , последние  2  цифры  + 4  делятся на 8) 

9 : то же правило, что и 3, но с 9. Если сумма цифр делится на 9, то число делится на 9.

 Пример: 13671 -> 1 + 3 + 6 + 7 + 1 = 18 
 -> 18 делится на 9, поэтому 13671 делится на 9 

10 : Число заканчивается на 0.

 Пример: 280 оканчивается на 0, 280 делится на 10 

11 : Правило аналогично 3 и 9, начинайте с правой цифры и попеременно вычитая и складывая оставшиеся цифры. Если ответ равен нулю или кратен 11, то число делится на 11.

 Пример: 12727 -> 1-2 + 7-2 + 7 = 11, поэтому 12727 делится на 11. 

Можно ознакомьтесь с некоторыми дополнительными методами здесь.

9. Разделение больших чисел на 9

 Пример: 
 -> 10520/9 

Напишите первую цифру над уравнением и напишите букву «R» (остаток) над последней цифрой.Добавьте число, которое вы только что написали, и число по диагонали ниже и справа от него. Напишите этот новый номер во втором месте. Добавьте это число к числу по диагонали внизу и справа. Продолжайте этот процесс, пока не дойдете до R.

Сложите числа одного цвета, чтобы получить следующую цифру.

Наконец, добавьте последнюю цифру к числу под R, чтобы получить остаток.

 10520/9 
 =  1168 R8  
 или 1168,889 

Вот еще один пример:

 -> 57423/9 

На этот раз после того, как мы завершили первый шаг, сумма нашего первого числа и числа по диагонали внизу и справа больше десяти (5 + 7 = 12).Ставим единицу над первой цифрой и вычитаем из нее девять . (Мы делим на девять, поэтому мы вычитаем девять, а не десять). Поместите получившееся число на вторую позицию (12–9 = 3). Продолжайте тот же процесс.

В этом примере наш остаток больше 9 (9 + 3 = 12). И снова мы переносим единицу над предыдущей цифрой и вычитаем девять из остатка, в результате чего остается три. Теперь сложите результат и цифры переноса.

 57423/9 
 =  6380 R3 
  или 6380.333 

Фотография Элисон Панг на Unsplash

10. Переверните вопрос

Проценты ассоциативны, поэтому иногда изменение порядка вопросов упрощает расчет.

 Пример: 
 Что 36% от 25 
 -> то же самое, что 25% от 36 
 -> 25% равно ¼ 
 -> 36/4 = 9 
 36% от 25 равно  9  

11. Дроби

Как вы можете видеть, использование ¼ в последнем примере помогает узнать дроби и то, как они соотносятся с процентами.

 1/2 = 50% 1/3 = 33,33%, 2/3 = 66,67%, 1/4 = 25%, 3/4 = 75% 1/5 = 20%, 2/5 = 40%… 1 / 6 = 16,67%, 5/6 = 83,33% (2/6 = 1/3, 3/6 = 1/2, 4/6 = 2/3) 1/7 = 14,2857%, 2/7 = 28,5714% , 3/7 = 42,8571%, 4/7 = 57,1428% (обратите внимание на повторяющийся образец .142857) 1/8 = 12,5%, 3/8 = 37,5%, 5/8 = 62,5%, 7/8 = 87,5% 1 / 9 = 11,11%, 2/9 = 22,22%, 3/9 = 33,33%… 1/10 = 10%, 2/10 = 20%… 1/11 = 9,09%, 2/11 = 18,18%, 3 / 11 = 27,27%… 1/12 = 8,33%, 5/12 = 41,67%, 7/12 = 58,33%, 11/12 = 91,67% 

12. Правило 72

Правило 72 дает оценку того, как Чтобы удвоить стоимость при заданном процентном доходе, потребуется много лет.Он работает путем деления 72 на процент с ответом как количество лет, которое потребуется, чтобы удвоиться.