Как искать производную: Как найти производную функции, примеры решения

2

24. Производные высших порядков

Билет 24

 Производные высших порядков явно заданной функции

Производная у’=ƒ'(х) функции у=ƒ(х) есть также функция от х и называется производной первого порядка.

Если функция ƒ'(х) дифференцируема, то ее производная называется производной второго порядка и обозначается у”

Итак, у”=(у’)’.

Производная от производной второго порядка, если она существует, называется производной третьего порядка и обозначается у'” (или ƒ'”(х)). Итак, у'”=(y”)’

Производной n-го порядка (или n-й производной) называется производная от производной  (n-1) порядка:

y⁽ⁿ⁾=(y^(n-1)) .

Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.

Начиная с производной четвертого порядка, производные обозначают римскими цифрами или числами в скобках (у^ν или у⁽⁵⁾— производная пятого порядка).

<< Пример 23.1

Найти производную 13-го порядка функции у=sinx.

Решение:

ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА

В определении функции у=ƒ(х) не говорится о том, при помощи каких средств находятся значения у по значениям х. В тех случаях, когда функция является формулой вида у=х³/5-5х+7, значения функции найти легко с помощью четырех арифметических действий. Но как найти значения, например, функций у=sinx, у=ln(1+х) при любых (допустимых) значениях аргумента?

Для того, чтобы вычислить значения данной функции у=ƒ(х), ее заменяют многочленом Р_n(х) степени n, значения которого всегда и легко вычисляемы. Обоснование возможности представлять функцию многочленом дает формула Тейлора.

26.1. Формула Тейлора для многочлена

Пусть функция ƒ(х) есть многочлен Р_n(х) степени n:

ƒ(х)=Р_n(х)=а₀+а₁х+а₂х²+…+а_nхⁿ.

Преобразуем этот многочлен также в многочлен степени n относительно разности х-х₀, где х₀ — произвольное число, т. е. представим Р_n(х) в виде

Р_n(х)=А₀+A₁(x-х₀)+А₂(х-х₀)²+…+А_n(х-х₀)ⁿ        (26.1)

Для нахождения коэффициентов А

0, А₁ ,…, А_n продифференцируем n раз равенство (26.1):

Р’_n(х)=А₁+2А₂(х-x₀)+3A₃(x-x₀)²+…+nA_n(x-x₀)^n-1,

Р_n”(х)=2А₂+2•3А₃(х-х₀)+…+n(n-1)А_n(х-х₀)^n-2,        

Р_n“‘(х)=2•3А₃+2•3•4А₄(х-х₀)+…+n(n-1)(n-2)А_n(х-х₀)^n-3,

– – – – – – – – – – – – – – – – – –

Р_n⁽ⁿ⁾(х)=n(n-1)( n-2)…2•1А_n

Подставляя х=х

0 в полученные равенства и равенство (26.1), имеем:

Подставляя найденные значения A₀,A₁,. ..,An в равенство (26.1), получим разложение многочлена n-й степени Р_n(х) по степеням (х-х0):

Формула (26.2) называется формулой Тейлора для многочлена Р_n(х) степени n.

<< Пример 26.1

 Разложить многочлен Р(х)=-4х³+3х²-2х+1 по степеням х+1.

Решение: Здесь х₀=-1, Р'(х)=-12х²+6х-2, Р”(х)=-24х+6, Р'”(х)=-24. Поэтому Р(-1)=10, Р'(-1)=-20, Р”(-1)=30, Р'”(-1)=-24. Следовательно,

т. е.  -4х³+3х²-2х+1=10-20(х+1)+15(х+1)²-4(х+1)³.

Ряд Тейлора. Разложение функции в ряд Тейлора.

Оказывается, большинство практически встречающихся математических функций могут быть с любой точностью представлены в окрестностях некоторой точки в виде степенных рядов, содержащих степени переменной в порядке возрастания. Например, в окрестности точки х=1:

При использовании рядов, называемых рядами Тейлора, смешанные функции, содержащие, скажем, алгебраические, тригонометрические и экспоненциальные функции, могут быть выражены в виде чисто алгебраических функций.

С помощью рядов зачастую можно быстро осуществить дифференцирование и интегрирование.

Ряд Тейлора в окрестности точки a имеет виды:

1), где f(x) – функция, имеющая при х=а производные всех порядков. R_n – остаточный член в ряде Тейлора определяется выражением 

2)

k-тый коэффициент (при х_k) ряда определяется формулой

3) Частным случаем ряда Тейлора является ряд Маклорена (=Макларена) (разложение происходит вокруг точки а=0)

при a=0 

члены ряда определяются по формуле

Условия применения рядов Тейлора.

1. Для того, чтобы функция f(x) могла быть разложена в ряд Тейлора на интервале (-R;R) необходимо и достаточно, чтобы остаточный член в формуле Тейлора (Маклорена (=Макларена)) для данной функции стремился к нулю при k→∞ на указанном интервале (-R;R).

2. Необходимо чтобы существовали производные для данной функции в точке, в окрестности которой мы собираемся строить ряд Тейлора.

Свойства рядов Тейлора.

1. Если f есть аналитическая функция, то ее ряд Тейлора в любой точке а области определения f сходится к f в некоторой окрестности а.

2. Существуют бесконечно дифференцируемые функции, ряд Тейлора которых сходится, но при этом отличается от функции в любой окрестности а. Например:

Ряды Тейлора применяются при аппроксимации ( приближение – научный метод, состоящий в замене одних объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным, но более простыми) функции многочленами. В частности, линеаризация ((от  linearis — линейный), один из методов приближённого представления замкнутых нелинейных систем, при котором исследование нелинейной системы заменяется анализом линейной системы, в некотором смысле эквивалентной исходной.) уравнений происходит путём разложения в ряд Тейлора и отсечения всех членов выше первого порядка.

Таким образом, практически любую функцию можно представить в виде полинома с заданной точностью.

Как найти производные за 3 шага

В этой статье

1. Что такое производная?

2. 3 шага, чтобы найти деривативы

3. 4 практических упражнения

Что такое производная?

Производные измеряют мгновенную скорость изменения функции. Когда мы говорим о скорости изменения, мы говорим о склонах.

Мгновенная скорость изменения функции в точке равна наклону функции в этой точке. Когда мы находим наклон кривой в одной точке, мы находим наклон касательной. Касательная к функции в точке — это линия, едва касающаяся функции в этой точке.

Таким образом, производная функции в одной точке равна наклону касательной в этой точке.

Чтобы визуализировать касательную, давайте рассмотрим пример, в котором уравнение для касательной уже рассчитано. Рассмотрим функцию f(x)=ln⁡(x)f(x) = \ln{(x)}f(x)=ln(x), обозначенную синей линией.

Предположим, мы хотим найти производную от f(x)f(x)f(x) в точке (1,0)(1,0)(1,0). Касательная линия к кривой f(x)f(x)f(x) в точке (1,0)(1, 0)(1,0) представлена ​​красной линией, f(x)=x−1f( х) = х – 1f(x)=x−1. Обратите внимание, как эта линия касается f(x)=ln⁡(x)f(x) = \ln{(x)}f(x)=ln(x) только в одной точке, (1,0)(1, 0 )(1,0).

Касательная линия f(x)=x−1f(x) = x – 1f(x)=x−1 задается в форме пересечения наклона f(x)=mx+bf(x) = mx +bf(x )=mx+b, где mmm — наклон. Итак, мы можем легко увидеть, что наклон функции f(x)=x−1f(x) = x – 1f(x)=x−1 равен 1,

. Это означает, что мгновенная скорость изменения или производная функции f(x)=ln⁡(x)f(x) = \ln{(x)}f(x)=ln(x) в точке ( 0,1)(0, 1)(0,1) равно 1.

Мгновенная скорость изменения fff при aaa или производная от fffat aaa представлена ​​обозначением f’(a)f’(a)f’(a). Мы читаем вслух символ f’(a)f’(a)f’(a) либо как «производная от fff, оцененная в aaa», либо как «fff простое число в aaa».

Общая производная функция y=f(x)y = f(x)y=f(x) обычно представлена ​​либо f'(x)f'(x)f'(x), либо dydx\frac{dy} {дх}дхди​. (При необходимости вы можете прочитать больше о значении dy/dx.) Эта функция сообщает нам мгновенную скорость изменения fff по отношению к xxx в любой точке кривой.

Ниже вы можете посмотреть, как доктор Ханна Фрай объясняет, что такое производная.

3 шага для поиска производных

Далее мы узнаем, как именно найти производную функции. До сих пор мы узнали, что наклон в точке кривой называется наклоном касательной или мгновенной скоростью изменения.

Напротив, наклон между двумя отдельными точками на кривой называется наклоном секущей. Это значение наклона также называется средней скоростью изменения. Средняя скорость изменения поможет нам вычислить производную функции.

Чтобы найти среднюю скорость изменения, мы делим изменение выходных значений (значения y) на изменение входных значений (значения x). Дельта-символ Δx\Delta{x}Δx представляет «изменение xxx», то есть значение, на которое изменяется xxx. Средняя скорость изменения функции fff на интервале [a,b][a, b][a,b] равна:

Средняя скорость изменения = ΔyΔx = y2−y1x2−x1 = f(b)−f(a)b−a\text{Средняя скорость изменения} = \frac{\Delta{y}}{ \Delta{x}} = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}Средняя скорость изменения=ΔxΔy​=x2​−x1​y2 ​−y1​=b−af(b)−f(a)​

Приблизив Δx\Delta{x}Δx к 0, мы можем найти мгновенную скорость изменения. Взгляните на предельное определение производной ниже.

Производная fff в точке xxx равна пределу средней скорости изменения fff на интервале [x,x+∆x][x, x+\Delta{x}][x,x+∆x] при ∆x\ Delta{x}Δx приближается к 0. Этот предел определяется формулой:

f'(x)=lim⁡Δx→0ΔyΔx=lim⁡Δx→0f(x+Δx)−f(x)Δx=Lf'(x) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta{x } \to 0}\frac{\Delta{y}}{\Delta{x}}=\mathop{\lim }\limits_{\Delta{x} \to 0} \frac{{f\left( {x + \Delta{x} } \right) – f\left( x\right)}}{\Delta{x} }=Lf'(x)=Δx→0lim​ΔxΔy​=Δx→0lim​Δxf(x+ Δx)−f(x)​=L

Если этот предел существует, то f(x)f(x)f(x) дифференцируема, а производная функции fff в точке xxx равна LLL. 2}{\Delta{x}}=Δx→0lim​Δx2(x+Δx)2−2×2​ 92}{\Delta{x}}=Δx→0lim​Δx4xΔx+2Δx2​

=lim⁡Δx→04x+2Δx= \mathop {\lim }\limits_{\Delta{x} \to 0}4x + 2 \Delta{x}=Δx→0lim​4x+2Δx

Шаг 3

Наконец, мы можем оценить предел, когда Δx\Delta{x}Δx приближается к 0. Поскольку у нас осталась полиномиальная функция, а полиномы всегда непрерывной, мы можем просто подставить Δx=0\Delta{x} = 0Δx=0 в функцию, с которой мы остались.

f'(x)=lim⁡Δx→04x+2Δxf'(x)= \mathop {\lim }\limits_{\Delta{x} \to 0}4x + 2\Delta{x}f'(x )=Δx→0lim​4x+2Δx 92f(x)=2×2 равно 4x4x4x. Если вы хотите найти производную в одной точке, вы можете просто подставить x=ax = ax=a в f’(x)=4xf’(x) = 4xf’(x)=4x. Например:

• f’(1)=4(1)=4f’(1) = 4(1) = 4f’(1)=4(1)=4. Это значение представляет собой наклон касательной при x=1x = 1x=1.

• f’(2)=4(2)=8f’(2) = 4(2) = 8f’(2)=4(2)=8. Это значение представляет собой наклон касательной при x=2x = 2x=2.

• f’(100)=4(100)=400f’(100) = 4(100) = 400f’(100)=4(100)=400. Это значение представляет собой наклон касательной при x=100x = 100x=100.

Стандартные правила для производных

Теперь, когда вы знакомы с предельным определением производной, вы можете начать запоминать приведенные ниже стандартные правила для производной. Эти производные правила выводятся из предельного определения производной. Они позволяют нам оценивать производные гораздо быстрее.

Вот некоторые из наиболее распространенных производных правил, которые необходимо знать:

Постоянное правило

ddxc=0\frac{d}{dx}c = 0dxd​c=0

9{n-1}dxd​(xn)=nxn−1

Частный случай степенного правила (где n=1): ddx(x)=1\frac d{dx}(x)=1dxd​(x) =1

Постоянное множественное правило

ddx(c⋅f(x))=c⋅f′(x)\frac d{dx}(c\cdot f(x))=c\cdot f'(x) dxd​(c⋅f(x))=c⋅f′(x)

Цепное правило

ddxf(g(x))=f'(g(x))g'(x)\frac{d} {dx}f(g(x)) = f'(g(x))g'(x)dxd​f(g(x))=f'(g(x))g'(x)

Продукт Правило

ddx[f(x)⋅g(x)]=f'(x)⋅g(x)+f(x)⋅g'(x)\frac{d}{dx}[f(x) \cdot g(x)] = f'(x) \cdot g(x) + f(x)\cdot g'(x)dxd​[f(x)⋅g(x)]=f'(x) ⋅г(х)+f(х)⋅г'(х) 9xdxd​(ex)=ex

Д-р Тим Шартье объясняет больше о производных правилах произведения и частного.

4 практических упражнения

Упражнение 1

Пусть f(x)=7x−1f(x) = 7x – 1f(x)=7x−1. Используя предельное определение производной, найдите f’(x)f’(x)f’(x).

Решение

Подстановка вашей функции в определение предела может оказаться самым трудным шагом для функций с несколькими терминами. Не забудьте перепроверить свой ответ, использовать круглые скобки там, где это необходимо, и правильно распределять отрицательные знаки.

f'(x)=lim⁡Δx→0f(x+Δx)−f(x)Δxf'(x)= \mathop {\lim}\limits_{\Delta{x} \to 0} \frac{ {f\left( {x + \Delta{x}} \right) – f\left( x \right)}}{\Delta{x}}f'(x)=Δx→0lim​Δxf(x+Δx )−f(x)​

=lim⁡Δx→07(x+Δx)−1−(7x−1)Δx= \mathop {\lim }\limits_{\Delta{x} \to 0} \frac {7(x + \Delta{x}) – 1 – (7x – 1)}{\Delta{x}}=Δx→0lim​Δx7(x+Δx)−1−(7x−1)​

= lim⁡Δx→07x+7Δx−1−7x+1Δx= \mathop {\lim }\limits_{\Delta{x} \to 0} \frac{7x + 7\Delta{x} – 1 – 7x + 1} {\Delta{x}}=Δx→0lim​Δx7x+7Δx−1−7x+1​

=lim⁡Δx→07ΔxΔx= \mathop {\lim }\limits_{\Delta{x} \to 0} \frac{7\Delta{x}}{\Delta{x}}=Δx→0lim​Δx7Δx

=lim⁡Δx→07= \mathop {\lim }\limits_{\Delta{x} \to 0} 7=Δx→0lim​7

=7=7=7

Итак, f'(x )=7f'(х) = 7f'(х)=7.

Упражнение 2

Пусть f(x)=1xf(x) = \frac{1}{x}f(x)=x1​. Используя предельное определение производной, найдите f’(x)f’(x)f’(x).

Раствор

После подстановки нашей функции в определение предела нам нужно объединить две дроби в числителе, найдя общий знаменатель, а затем умножив его соответствующим образом.

f'(x)=lim⁡Δx→0f(x+Δx)−f(x)Δxf'(x)= \mathop {\lim}\limits_{\Delta{x} \to 0} \frac{ {f\left( {x + \Delta{x}} \right) – f\left( x \right)}}{\Delta{x}}f'(x)=Δx→0lim​Δxf(x+Δx )−f(x)​

=lim⁡Δx→01x+Δx−1xΔx= \mathop {\lim }\limits_{\Delta{x} \to 0} \frac{\frac{1}{x + \ Delta{x}} – \frac{1}{x}}{\Delta{x}}=Δx→0lim​Δxx+Δx1​−x1​​

=lim⁡Δx→0xx(x+Δx)−( x + Δx) x (x + Δx) Δx = \ mathop {\ lim } \ limits _ {\ Delta {x} \ to 0} \ frac {\ frac {x} {x (x + \ Delta {x})} – \frac{(x+ \Delta{x})}{x(x+ \Delta{x})}}{\Delta{x}}=Δx→0lim​Δxx(x+Δx)x​−x(x+ Δx)(x+Δx)​

= lim⁡Δx→0x−x−Δxx(x+Δx)Δx= \mathop {\lim }\limits_{\Delta{x} \to 0} \frac{\frac{x-x-\Delta{x} }{x(x+\Delta{x})}}{\Delta{x}}=Δx→0lim​Δxx(x+Δx)x−x−Δx​​

=lim⁡Δx→0−Δxx(x +Δx)⋅1Δx= \mathop {\lim }\limits_{\Delta{x} \to 0} \frac{-\Delta{x}}{x(x+ \Delta{x})} \cdot \frac{ 1}{\Delta{x}}=Δx→0lim​x(x+Δx)−Δx​⋅Δx1​

=lim⁡Δx→0−1x(x+Δx)= \mathop {\lim }\limits_ {\Delta{x} \to 0} \frac{-1}{x(x+\Delta{x})}=Δx→0lim​x(x+Δx)−1​

=−1x(x+0 )= \frac{-1}{x(x+0)}=x(x+0)−1​

9{cos{(x)}}f(x)=3×2+ecos(x). Используя правила производных, найдите f’(x)f’(x)f’(x).

Раствор

Для этой задачи нам нужно использовать правило суммы. Правило суммы гласит, что производная суммы функций равна сумме их производных. Чтобы найти производную каждой отдельной функции, мы можем использовать правило степени и правило постоянного множителя для первого члена, а также цепное правило, правила тригонометрии и экспоненциальное правило для второго члена. 9{\cos{(x)}}f'(x)=6x−sin(x)ecos(x).

Упражнение 4

Пусть f(x)=2xsin⁡(5x)f(x) = 2x\sin{(5x)}f(x)=2xsin(5x). Используя правила производных, найдите f’(x)f’(x)f’(x).

Раствор

Для этой задачи нам нужно использовать правило продукта. Правило произведения гласит, что производная произведения функций равна сумме первой функции, умноженной на производную от второй, и второй функции, умноженной на производную от первой.

Первая функция в нашем продукте — 2x2x2x. Чтобы найти производную от этого, мы используем частный случай правила произведения с n = 1n = 1n = 1, а также правило постоянного множителя с c = 2c = 2c = 2. Применяя эти правила, мы находим, что производная 2x2x2x равна

ddx(2x)=2⋅1=2\frac d{dx}\left(2x\right)=2\cdot1=2dxd​(2x)=2⋅1=2

Для второй функции в нашем произведении , у нас есть композиция функций с sin⁡(5x)\sin{(5x)}sin(5x). Цепное правило гласит, что производная композиции функций находится, если сначала взять производную «внешней» функции и оставить «внутреннюю» неизменной, а затем умножить на производную «внутренней» функции.

Таким образом, чтобы найти производную sin⁡(5x)\sin{(5x)}sin(5x), мы можем просто использовать правила тригонометрии для sin, а затем умножить на 555, что является производной внутренней функции 5x5x5x. Производная внутренней функции находится с использованием специального случая степенного правила для n=1n=1n=1 и постоянного кратного правила.

Подставив найденные производные в Правило продукта, мы получим:

f'(x)=2x⋅cos⁡(5x)⋅5+sin⁡(5x)⋅2f'(x) = 2x \cdot \cos{(5x)} \cdot 5 + \sin{(5x) } \cdot 2f'(x)=2x⋅cos(5x)⋅5+sin(5x)⋅2

f'(x)=10xcos⁡(5x)+2sin⁡(5x)f'(x) = 10x\cos{(5x)} + 2\sin{(5x)}f'(x)=10xcos( 5x)+2sin(5x)

Итак, f'(x)=10xcos⁡(5x)+2sin⁡(5x)f'(x) = 10x\cos{(5x)} + 2\sin{(5x) }f'(x)=10xcos(5x)+2sin(5x).

Ознакомьтесь с отмеченными наградами курсами For-Credit от Outlier

Outlier (от соучредителя MasterClass) собрал лучших в мире преподавателей, дизайнеров игр и кинематографистов для создания будущего онлайн-колледжа.

Ознакомьтесь с этими связанными курсами:

Исчисление I

Исследуйте курс

Исчисление I

Математика изменений.

Изучить курс

Предварительное исчисление

Изучить курс

Предварительное исчисление

Освоить строительные блоки исчисления.

Изучить курс

Как найти производную векторной функции — Криста Кинг Математика

Сосредоточьтесь на коэффициентах, чтобы найти производную вектор-функции

Чтобы найти производную вектор-функции, нам просто нужно найти производные коэффициентов, когда вектор-функция имеет вид

???r(t)=r(t)_1\bold i+r( t)_2\жирный j+r(t)_3\жирный k???

Привет! Я Криста.