Как матрицу решить методом гаусса: Как решить методом Гаусса СЛАУ (систему линейных уравнений). Правила, примеры

Обратная ⚠️ матрица методом Гаусса: алгоритм вычисления

Понятие обратной матрицы

Матрица A⁻¹ считается обратной для матрицы A, если при умножении A⁻¹ на исходную матрицу получится новая матрица E, на главной диагонали которой расположены единицы, а вокруг них – нули. Образованная матрица E является единичной диагональной матрицей и может быть записана с помощью формулы: E=A×A⁻¹.

Инверсия матрицы существует лишь для квадратных матриц (с одинаковым количеством строк и столбцов) с детерминантом, не равном нулю. Такие матрицы называются невырожденными. 

Наиболее наглядно обратная матрица рассматривается на примере матрицы 3×3. Ее возможно обобщить с аналогичными произвольными матрицами. 

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Свойства обратных матриц

1. Обратное значение обратной матрицы A⁻¹ эквивалентно исходной матрице A: (A⁻¹)⁻¹=A.
2. Определитель исходной матрицы A соответствует обратному значению детерминанта обратной матрицы A⁻¹: |A|=1/|A⁻¹|.
3. Матрица, обратная матрице A, умноженной на коэффициент λ≠0, равна значению, полученному при умножении обратной матрицы A⁻¹ и обратного значения коэффициента λ, то есть (λ×A)⁻¹=A⁻¹/λ.
4. Обратное значение произведения обратимых матриц A и B с одинаковым числом строк и столбцов будет равно значению, полученному при умножении матриц, обратных исходным, то есть (A×B)⁻¹=B⁻¹×A⁻¹.
5. Обратная матрица транспонированной матрицы эквивалентна транспонированной обратной матрице (A⁻¹)^T=(A^T)⁻¹.

Метод Гаусса для решения

Метод Гаусса – это правило, применяющееся в решении СЛАУ (систем линейных алгебраических уравнений). Данный метод имеет следующие плюсы:

1. Не нужно производить проверку системы уравнения на совместность.
2. Можно решать системы уравнений со следующими условиями:

• при равенстве числа определителей и неизвестных переменных;
• при несовпадении количества детерминантов и неизвестных переменных;
• при определителе, равном 0.

3. Ответ можно получить, выполнив относительно небольшое число вычислений.

Алгоритм решения

Исходная матрица имеет вид:

\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&5\end{pmatrix}\)

Нахождение обратной матрицы по правилу Гаусса необходимо выполнить в такой последовательности:

1. Записать матрицу, от которой необходимо выполнить преобразование в обратную. Рядом через вертикальную черту выполнить запись единичной диагональной матрицы аналогичного порядка:

\(\left(\begin{array}{cc}1&2\\3&5\end{array}\left|\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right.\right)\)

2. Произвести поиск верхней треугольной матрицы по методу Гаусса.

Это можно сделать двумя способами: разделить верхнюю строку на ее старший коэффициент или поменять верхнюю строку местами с той, где первый коэффициент равен 1. В данном примере поменяем верхнюю строку с нижней местами и получим:

\(\left(\begin{array}{cc}1&2\\3&5\end{array}\left|\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}\right.\right)\)

3. Выполним умножение верхней строки матрицы на 3 и вычтем полученные произведения из нижней:

\(\left(\begin{array}{cc}1&2\\0&-1\end{array}\left|\begin{array}{cc}0&1\\1&-3\end{array}\right.\right)\)

4. Данный шаг правила Гаусса именуют методом Жордана-Гаусса. В единичной диагонали, полученной в итоге предыдущих манипуляций, обнулим верхние правые элементы. Обнуление производится путем сложения верхней и удвоенной нижней строк:

\(\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&-1\end{array}\left|\begin{array}{cc}2&-5\\1&-3\end{array}\right.\right)\)

Теперь выполним деление нижней строки на −1:

\(\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\left|\begin{array}{cc}2&-5\\-1&3\end{array}\right. {-1}=\begin{pmatrix}2&-5\\-1&3\end{pmatrix}\)

Решение задач методом Гаусса

Пример

Найти инверсию матрицы третьего порядка:

\(A=\begin{pmatrix}2&3&7\\1&-5&2\\3&-1&9\end{pmatrix}\)

Решение:

1. Запишем справа от A единичную диагональную матрицу:

\(\left(\begin{array}{ccc}2&3&7\\1&-5&2\\3&-1&9\end{array}\left|\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right.\right)\)

Теперь необходимо выполнить преобразования, чтобы единичная диагональная матрица оказалась справа.

2. Первую и вторую строку поменяем местами:

\(\left(\begin{array}{ccc}1&-5&2\\2&3&7\\3&-1&9\end{array}\left|\begin{array}{ccc}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{array}\right.\right)\)

3. Вторую строку суммируем с первой, умноженной на −2. Третью строку сложим с первой, умноженной на −3:

\(\left(\begin{array}{ccc}1&-5&2\\0&13&3\\0&14&3\end{array}\left|\begin{array}{ccc}0&1&0\\1&-2&0\\0&-3&1\end{array}\right. \right)\)

4. Вторую сложим с третьей строкой, умноженной на −1:

\(\left(\begin{array}{ccc}1&-5&2\\0&-1&0\\0&14&3\end{array}\left|\begin{array}{ccc}0&1&0\\1&1&-1\\0&-3&1\end{array}\right.\right)\)

5. Выполним умножение второй строки на −1:

\(\left(\begin{array}{ccc}1&-5&2\\0&1&0\\0&14&3\end{array}\left|\begin{array}{ccc}0&1&0\\-1&-1&1\\0&-3&1\end{array}\right.\right)\)

6. Первую строку сложим с рядом чисел, полученных при умножении второй строки на 5. К третьей строке прибавим вторую строку, умноженную на −14:

\(\left(\begin{array}{ccc}1&0&2\\0&1&0\\0&0&3\end{array}\left|\begin{array}{ccc}-5&-4&5\\-1&-1&1\\14&11&-13\end{array}\right.\right)\)

7. Произведем деление третьей строки на 3:

\(\left(\begin{array}{ccc}1&0&2\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\left|\begin{array}{ccc}-5&-4&5\\-1&-1&1\\\frac{14}3&\frac{11}3&\frac{-13}3\end{array}\right.

{-1}=\begin{pmatrix}\frac{-43}3&\frac{-34}3&\frac{41}3\\-1&-1&1\\\frac{14}3&\frac{11}3&\frac{-13}3\end{pmatrix}\)

лекции_1_курс_2_поток_осень_2019 | Кафедра высшей алгебры

1-я лекция 07.09. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса. Теоретические следствия метода Гаусса.

2-я лекция 11.09. Операции над матрицами, их свойства. Правило умножения матриц в терминах линейных комбинаций строк (столобцов) второй (первой) матрицы. Умножение на диагональную матрицу. Единичная матрица. Элементарные преобразования строк (столбцов) матрицы как умножения слева (справа) на «элементарные» матрицы.

Обратная матрица, ее единственность. Обратимость элементарных матриц и произведения обратимых матриц.

3-я лекция 14.09. Критерий обратимрсти квадратной матрицы в терминах ее ступенчатого вида. Практический способ нахождения обратной матрицы.

Абелевы группы, кольца и поля. Подгруппы и подкольца.

4-я лекция 21.09. Понятие изоморфизма алгебраических структур. Аксиоматическое определение и построение поля комплексных чисел.

5-я лекция 25.09. Алгебраическая форма комплексного числа. Комплексное сопряжение.

Геометрическое изображение комплексного числа. Геометрический смысл сложения и вычитания комплексных чисел.

Тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня в тригонометрической форме.

Векторные пространства. Подпространства. Линейная зависимость. Порождающие системы векторов и базисы.

6-я лекция 02.10. Конечномерные векторные пространства, базис и размерность. Описание всех базисов конечномерного векторного пространства. Формула преобразования координат.

Линейная оболочка и ранг системы векторов. Ранг матрицы как ранг системы ее строк, его сохранение при элементарных преобразованиях строк. Ранг ступенчатой матрицы.

7-я лекция 05.10. Теорема о том, что линейные зависимости между столбцами матрицы не меняются при элементарных преобразованиях строк.

Совпадение рангов систем строк и столбцов матрицы.

Критерии совместности и определенности системы линейных уравнений в терминах рангов матриц. Размерность пространства решений системы однородных линейных уравнений. Связь между множествами решений совместной системы линейных уравнений и соответствующей системы однородных линейных уравнений.

Ранг произведения матриц. Критерий обратимости квадратной матрицы в терминах ее ранга.

8-я лекция 09.10. Перестановки. Четность и знак перестановки, их изменение при транспозиции.

Определение определителя квадратной матрицы (явной формулой). Теорема о том, что определитель является кососимметрической полилинейной функцией строк матрицы. Поведение определителя при элементарных преобразованиях строк матрицы. Определитель треугольной матрицы. Критерий обратимости матрицы в терминах ее определителя.

9-я лекция 12.10. Определитель транспонированной матрицы. Определитель матрицы с углом нулей. Разложение определителя по строке (столбцу). p в поле характеристики p. Малая теорема Ферма.

12-я лекция 26.10. Алгебры. Таблица умножения алгебры.

Формальное построение алгебры многочленов K[x} над произвольным полем K. Совпадение формального и функционального равенства многочленов над бесконечным полем.

Степень многочлена. Степень суммы и произведения многочленов. Отсутствие делителей нуля в алгебре K[x].

13-я лекция 30.10. Деление многочленов с остатком. Деление на x-c. Теорема Безу. Схема Горнера. Разложение многочлена по степеням x-c. Формула Тейлора (для многочленов над полем нулевой характеристики).

Кратность корня многочлена. Число корней многочлена с учетом их кратностей. Определение кратности корня по значениям производных (над полем нулевой характеристики).

14-я лекция 06.11. Основная теорема алгебры комплексных чисел. Число корней (с учетом кратностей) многочлена над полем комплексных чисел.

15-я лекция 09.11. Многочлены с вещественными коэффициентами: свойство мнимых корней и разложение на линейные множители и квадратичные множители с отрицательным дискриминантом. Теорема Декарта.

16-я лекция 16.11. Евклидовы кольца: наибольший общий делитель и разложение на простые множители.

17-я лекция 20.11. Многочлены с рациональными коэффициентами: рациональные корни, лемма Гаусса. Неприводимость многочлена деления круга на простое число частей.

Алгебра многочленов от нескольких переменных. Совпадение формального и функционального равенства многочленов в случае бесконечного поля. Отсутствие делителей нуля в алгебре многочленов. Степень многочлена по совокупности переменных. Однородные многочлены. Степень суммы и произведения многочленов.

18-я лекция 23.11. Лексикографическое упорядочение одночленов. Симметрические многочлены, их выражение через элементарные симметрические многочлены.

19-я декция 30.11. Дискриминант (неполного) кубического многочлена. Определение числа вещественных корней кубического многочлена с вещественными коэффициентами.

Поле отношений целостного кольца.

20-я лекция 04.12. Поле рациональных дробей. Представление рациональной дроби в виде суммы многочлена и правильной дроби. Представление правильной рациональной дроби в виде суммы простейших дробей (без доказательства единственности). Явная формула для случая, когда знаменатель данной дроби разложен в произведение различных линейных множителей, ее связь с интерполяционной формулой Лагранжа.

Понятия группы и подгруппы. Простейшие следствия из аксиом группы. Группы преобразований.

21-я лекция 07.12. Разбиение группы на смежные классы по подгруппе. Теорема Лагранжа.

Гомоморфизмы и изоморфизмы групп. Ядро и образ гомоморфизма. Полный прообраз элемента при гомоморфизме.

Знак подстановки. Группа четных подстановок.

Гомоморфизм группы S_4 нв группу S_3, его ядро.

22-я лекция 14.12. Порядок элемента группы. Циклическая подгруппа, порожденнная элементом группы, ее строение. Порядок элемента конечной группы. Группы простого порядка.

Малая теорема Ферма и теорема Эйлера, их групповой смысл.

Подгруппы циклических групп.

23-я лекция 18.12. Квадратичные расширения полей.

линейная алгебра – Как решить матричную систему с помощью исключения Гаусса

спросил 5 лет, 3 месяца назад

Изменено 4 года, 11 месяцев назад

Просмотрено 624 раза

$\begingroup$

$$\left(\begin{массив}{ccc|c} -1 и 2 и 1 и 3\\ 3 & \альфа & -2 & \бета\\ -1 и 5 и 2 и 9\end{array}\right)$$

Я пытаюсь решить эту систему $Ax=b$. Я понимаю основы исключения Гаусса, но не знаю, как справиться с этим с помощью альфы и беты. Ее нужно решить, задав условия для альфы и беты для отсутствия решений, одного решения и бесконечного множества решений.

Мне также нужно вычислить определитель A и указать условие на $\alpha$, при котором $A$ обратимо.

• линейная алгебра
• матрицы
• системы уравнений
• определитель
• исключение Гаусса

$\endgroup$

1

$\begingroup$

Позвольте мне начать с нескольких шагов. Возможно, вы сможете закончить.

$$\left(\begin{массив}{ccc|c} -1 и 2 и 1 и 3\\ 3 & \альфа & -2 & \бета\\ -1 и 5 и 2 и 9 \конец{массив}\справа)\sim \left(\begin{массив}{ccc|c} 1 &-2 &-1 &-3\\ -1 и 5 и 2 и 9\\ 3 & \ альфа & -2 & \ бета \конец{массив}\справа)\sim \left(\begin{массив}{ccc|c} 1 &-2 &-1 &-3\\ 0 и 3 и 1 и 6\\ 0 и \альфа+6 и 1 и \бета+9 \конец{массив}\справа)\sim \left(\begin{массив}{ccc|c} 1 &-2 &-1 &-3\\ 0 и 3 и 1 и 6\\ 0 и \альфа+3 и 0 и \бета+3 \конец{массив}\справа) $$

Примечание: Некоторые комментарии к стратегии для этого: По возможности следует избегать вычислений с использованием параметров. Именно поэтому я поставил строку с параметрами на последнее место. Точно так же по этой причине на последнем шаге я использовал третий столбец, а не второй. (Гораздо проще вычесть вторую строку из третьей, чем вычесть $(\alpha+6)/3$, кратное второй строке. По крайней мере, когда мы делаем что-то вручную, это может помочь, если мы попытаемся получить более простые выражения. )

Если вы посмотрите на приведенную выше матрицу, последняя строка соответствует уравнениям $(\alpha+3)x_2=\beta+3$. Что вы можете сказать о решениях этого уравнения, зависящих от $\alpha$ и $\beta$. (Что произойдет, если $\alpha=-3$? Что произойдет, если $\alpha\ne-3$? Подумайте о подобных возможностях для $\beta$.)

Мы могли бы также ввести новые параметры $c=\alpha+ 3$ и $d=\beta+3$, чтобы немного упростить запись. (Таким образом, у нас есть уравнение $cx_2=d$, и мы рассматриваем, что происходит в зависимости от того, равны ли $c$, $d$ нулю или отличны от нуля.)

---

Если $c\ne0$, то система будет иметь единственное решение. Обозначим $t=d/c$ для упрощения записи: $$\left(\begin{массив}{ccc|c} 1 &-2 &-1 &-3\\ 0 и 3 и 1 и 6\\ 0 и с и 0 и г \конец{массив}\справа)\sim \left(\begin{массив}{ccc|c} 1 &-2 &-1 &-3\\ 0 и 3 и 1 и 6\\ 0 и 1 и 0 и т \конец{массив}\справа)\sim \left(\begin{массив}{ccc|c} 1 & 0 &-1 &-3+2t\\ 0 и 1 и 0 и т\\ 0 и 0 и 1 и 6-3t \конец{массив}\справа)\sim \left(\begin{массив}{ccc|c} 1 и 0 и 0 и 3-t\\ 0 и 1 и 0 и т\\ 0 и 0 и 1 и 6-3t \конец{массив}\справа) $$ где $t=\frac dc = \frac{\beta+3}{\alpha+3}$. (Вы можете проверить прямым вычислением, что это действительно решение.)

Если $c=0$, то имеем $$\left(\begin{массив}{ccc|c} 1 &-2 &-1 &-3\\ 0 и 3 и 1 и 6\\ 0 и 0 и 0 и д \end{array}\right).$$

Что произойдет, если $d\ne0$? Что произойдет, если $d=0$?

---

Вы упомянули, что также хотите вычислить определитель $A$. Это можно сделать, используя в основном те же операции со строками, что и выше, — вам просто нужно знать, как операции со строками влияют на определитель.

$\endgroup$

2

$\begingroup$

$$\det\слева( \начать{массив}{ррр} -1 и 2 и 1 \\ 3&а&-2\ -1 и 5 и 2 \\ \конец{массив} \справа)=-3-\альфа$$ если $-3-\alpha\ne 0$, то есть $\alpha\ne -3$, существует одно и только одно решение

$$\left\{\frac{3 a-b+6}{a +3},\frac{b+3}{a+3},\frac{3 (2 a-b+3)}{a+3}\right\}$$

, если $\alpha=-3 $ определитель матрицы коэффициентов $A$ равен нулю $\text{rank}(A)=2$, поэтому мы должны рассматривать расширенную матрицу $A|B$ $$\слева( \начать{массив}{ррр|р} -1 и 2 и 1 и 3 \\ 3&-3&-2&б\ -1 и 5 и 2 и 9\\ \конец{массив} \right)$$

если $\text{rank}(A|B)\ne \text{rank}(A)$ система не имеет решений, значит, чтобы иметь бесконечные решения, мы должны иметь $\text{rank} (A|B)=2$, поэтому все определители $3-$го порядка, извлеченные из $A|B$, должны быть равны нулю

$$ \det \left( \начать{массив}{ррр} 2 и 1 и 3 \\ -3 и -2 и \бета\\ 5 и 2 и 9 \\ \конец{массив} \справа) =\бета+3 $$

если $\beta\ne -3$ система невозможна

если $\beta+3=0\to \beta=-3$ определитель равен нулю ранг расширенной матрицы равен рангу $A$, и у нас есть бесконечные решения

$\{т,\;т,\;3-т\}$

$\endgroup$

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но никогда не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

.

обратная матрица Gauss Python с примерами кода

Обратная матрица Gauss Python с примерами кода

В этом посте мы рассмотрим, как решить задачу обратной матрицы Гаусса Python, используя примеры из языка программирования.

 обратное определение (а):
    n = len(a) #определение диапазона, через который будут проходить циклы
    #построение расширенной матрицы n X 2n
    P = [[0,0 для i в диапазоне (len (a))] для j в диапазоне (len (a))]
    для я в диапазоне (3):
        для j в диапазоне (3):
            Р [j] [j] = 1,0
    для i в диапазоне (len (a)):
        а[я].extend(P[я])
    #основной цикл исключения Гаусса начинается здесь
    для k в диапазоне (n):
        если abs(a[k][k]) < 1.0e-12:
            для i в диапазоне (k+1, n):
                если абс (а [я] [к]) > абс (а [к] [к]):
                    для j в диапазоне (k, 2 * n):
                        a[k][j], a[i][j] = a[i][j], a[k][j] # перестановка строк
                    ломать
        пивот = a[k][k] #определение пивота
        if pivot == 0: #проверка обратимости матрицы
            print("Эта матрица необратима. ")
            возвращаться
        еще:
            для j в диапазоне (k, 2*n): #индекс столбцов сводной строки
                a[k][j] /= стержень
            for i in range(n): #индексировать вычитаемые строки
                если i == k или a[i][k] == 0: продолжить
                фактор = а [я] [к]
                для j в диапазоне (k, 2*n): #индексировать столбцы для вычитания
                    a[i][j] -= коэффициент * a[k][j]
    for i in range(len(a)): #отображение матрицы
        для j в диапазоне (n, len (a [0])):
            распечатать (а [я] [j], конец = "")
        Распечатать()
 

На множестве иллюстративных примеров мы продемонстрировали, как решать задачу обратной матрицы Гаусса Python.

Как найти обратную матрицу методом исключения Гаусса?

шагов для нахождения обратной матрицы методом Гаусса-Жордана:

• Поменяйте местами любые два ряда.
• Умножить каждый элемент строки на ненулевое целое число.
• Заменить строку на сумму самой себя и константы, кратной другой строке матрицы.

Как найти обратную матрицу в Python?

Python предоставляет очень простой метод вычисления обратной матрицы. Функция numpy. линалг. inv(), который доступен в модуле Python NumPy, используется для вычисления обратной матрицы. 18 августа 2020 г.

Как написать исключение Гаусса на Python?

Метод исключения Гаусса использует матричную алгебру. Во-первых, запишите уравнения 1–3 в матричной форме Ax = b, как показано в уравнении 4. Умножьте строки A на вектор-столбец x, чтобы получить исходные уравнения.

Как вы используете метод Гаусса Джордана в Python?

Эта программа на Python решает системы линейных уравнений с n неизвестными с использованием метода Гаусса-Жордана. В методе Гаусса-Жордана данная система сначала преобразуется в диагональную матрицу с помощью операций со строками, а затем решение получается напрямую.

Как решить методом исключения Гаусса?

(1) Запишите данную систему линейных уравнений в матричной форме AX = B, где A — матрица коэффициентов, X — матрица-столбец неизвестных, а B — матрица-столбец констант. (2) Сократите расширенную матрицу [A : B] с помощью элементарных операций со строками, чтобы получить [A’ : B’]. (3) Мы получаем A’ как верхнюю треугольную матрицу.

Что такое формула метода Гаусса?

Гаусс сложил строки попарно – каждая пара в сумме дает n+1 и всего n пар, поэтому сумма строк также n\times (n+1). Отсюда следует, что 2\times (1+2+\ldots +n) = n\times (n+1), откуда получаем формулу. Формула Гаусса является результатом умного подсчета количества.

Как написать инверсию в Python?

Инверсия матрицы в Python

• А = нп. массив([[3, 7], [2, 5]]) Python. Теперь, когда у нас есть требуемая матрица, мы можем легко вычислить ее обратную:
• А = нп. массив([[3, 7], [2, 5]]) A_inv = np. линалг. инв(А) печать(А_инв)
• I = нп. matmul(A, A_inv) print(I) Python.

Есть ли в Python обратная функция?

инвертировать() в Python. тупой. Функция invert() используется для вычисления побитовой инверсии массива по элементам.