Как матрицу столбец умножить на матрицу строку: IIS 7.0 Detailed Error – 404.11

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

• Кен Каттлер
• Университет Бригама Янга через Lyryx

Следующей важной операцией с матрицами, которую мы рассмотрим, является умножение матриц. Операция умножения матриц — одна из самых важных и полезных из матричных операций. В этом разделе мы также покажем, как умножение матриц связано с линейными системами уравнений. 9{th}\) столбец матрицы-строки.

Матрица \(n\times 1\) \[X=\left[ \begin{array}{c} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array} \right]\ nonumber \] называется вектор-столбцом . Матрица \(1\times n\) \[X = \left[ \begin{array}{ccc} x_{1} & \cdots & x_{n} \end{array} \right]\nonumber \] называется вектором-строкой .

Мы можем просто использовать термин вектор в этом тексте для обозначения либо столбца, либо вектора-строки. Если мы это сделаем, то из контекста будет ясно, о чем мы говорим.

В этой главе мы снова будем использовать понятие линейной комбинации векторов, как в определении 9.2.2. В этом контексте линейная комбинация представляет собой сумму, состоящую из векторов, умноженных на скаляры. Например, \[\left[ \begin{array}{r} 50 \\ 122 \end{array} \right] = 7\left[ \begin{array}{r} 1 \\ 4 \end{array} \right] +8\left[ \begin{array}{r} 2 \\ 5 \end{array} \right] +9\left[ \begin{array}{r} 3 \\ 6 \end{array} \right]\nonumber \] представляет собой линейную комбинацию трех векторов.

Оказывается, любую систему линейных уравнений можно представить в виде линейной комбинации векторов. На самом деле векторы, которые мы будем использовать, — это всего лишь столбцы соответствующей расширенной матрицы!

Определение \(\PageIndex{2}\): векторная форма системы линейных уравнений

Предположим, что у нас есть система уравнений, заданная \[\begin{array}{c} a_{11}x_{1} +\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1} \\ \vdots \\ a_{m1}x_{1}+\cdots +a_{mn}x_{n}=b_{m} \end {array}\nonumber \] Мы можем выразить эту систему в векторной форме , которая выглядит следующим образом: \[x_1 \left[ \begin{array}{c} a_{11}\\ a_{21}\\ \vdots \\ a_{m1} \end{массив} \right] + x_2 \left[ \begin{array}{c} a_{12}\\ a_{22}\\ \vdots \\ a_{m2} \end{ array} \right] + \cdots + x_n \left[ \begin{array}{c} a_{1n}\\ a_{2n}\\ \vdots \\ a_{mn} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} b_1\\ b_2\\ \vdots \\ b_m \end{array} \right]\nonumber \]

Обратите внимание, что каждый используемый здесь вектор представляет собой один столбец соответствующей расширенной матрицы. Существует один вектор для каждой переменной в системе вместе с постоянным вектором.

Первая важная форма умножения матриц — умножение матрицы на вектор. Рассмотрим произведение, заданное \[\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{r} 7 \\ 8 \\ 9 \end{array} \right]\nonumber \] Вскоре мы увидим, что это равно \[7\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 4 \end{array} \right ] +8\left[ \begin{array}{c} 2 \\ 5 \end{array} \right] +9\left[ \begin{array}{c} 3 \\ 6 \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} 50 \\ 122 \end{array} \right]\nonumber \ ]

В общих чертах, \[\begin{aligned} \left[ \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_ {23} \end{массив} \right] \left[ \begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{массив} \right] &= \ x_ {1}\left[ \begin{array}{c} a_{11} \\ a_{21} \end{array} \right] +x_{2}\left[ \begin{array}{c} a_{ 12} \\ a_{22} \end{массив} \right] +x_{3}\left[ \begin{array}{c} a_{13} \\ a_{23} \end{массив} \right] \\ &=\left[ \begin{array}{c} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3} \\ a_{21}x_{1 }+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3} \end{array} \right] \end{aligned}\] Таким образом, вы берете \(x_{1}\) раз первый столбец, добавьте к \(x_{2}\) раз второй столбец и, наконец, \(x_{3}\) раз третий столбец. {n}x_{j}A_{j}\номер \]

Если мы запишем столбцы \(A\) с точки зрения их записей, они будут иметь вид \[A_{j} = \left[ \begin{array}{c} a_{1j} \\ a_{ 2j} \\ \vdots \\ a_{mj} \end{array} \right]\nonumber \] Тогда мы можем записать произведение \(AX\) как \[AX = x_{1}\left[ \begin {array}{c} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{m1} \end{array} \right] + x_{2}\left[ \begin{array}{c} a_{12} \\ a_{22} \\ \vdots \\ a_{m2} \end{array} \right] +\cdots + x_{n}\left[ \begin{array}{c} a_{1n } \\ a_{2n} \\ \vdots \\ a_{mn} \end{массив} \right]\nonumber \]

Обратите внимание, что умножение матрицы \(m \times n\) на вектор \(n \times 1\) дает вектор \(m \times 1\).

Вот пример.

Пример \(\PageIndex{1}\): вектор, умноженный на матрицу

Вычислить произведение \(AX\) для \[A = \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 1 & -2 \\ 2 & 1 & 4 & 1 \end{array} \right], X = \left[ \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 0 \ \ 1 \end{массив} \right]\nonumber \]

Решение

Мы будем использовать определение \(\PageIndex{3}\) для вычисления произведения. Поэтому мы вычисляем произведение \(AX\) следующим образом. \[\begin{align} & 1\left[ \begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right] + 2\left[ \begin{array}{r} 2 \ \ 2 \\ 1 \end{array} \right] + 0\left[ \begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 4 \end{array} \right] + 1 \left[ \begin{array }{r} 3 \\ -2\\ 1 \end{массив} \right] \\ &= \left[ \begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ 2 \end{массив} \right] + \left[ \begin{array}{r} 4 \\ 4 \\ 2 \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{r} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array } \right] + \left[ \begin{array}{r} 3 \\ -2\\ 1 \end{array} \right] \\ &= \left[ \begin{array}{r} 8 \\ 2 \\ 5 \конец{массив} \справа]\конец{выровнено}\]

Используя описанную выше операцию, мы также можем написать систему линейных уравнений в матричной форме . В этой форме мы выражаем систему как матрицу, умноженную на вектор. Рассмотрим следующее определение.

Определение \(\PageIndex{4}\): матричная форма системы линейных уравнений

Предположим, что у нас есть система уравнений, заданная \[\begin{array}{c} a_{11}x_{1} +\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1} \\ a_{21}x_{1}+ \cdots + a_{2n}x_{n} = b_{2} \\ \vdots \\ a_{m1}x_{1}+\cdots +a_{mn}x_{n}=b_{m} \end{array}\nonumber \] Тогда мы можем выразить эту систему в матрица формы выглядит следующим образом. \[\left[ \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \ \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{массив} \right] = \left[ \begin{массив}{c} b_{1}\\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{m} \end{array} \right]\nonumber \]

Выражение \(AX=B\) также известно как Матрица Форма соответствующей системы линейных уравнений. Матрица \(A\) - это просто матрица коэффициентов системы, вектор \(X\) - вектор-столбец, построенный из переменных системы, и, наконец, вектор \(B\) - это вектор-столбец, построенный из константы системы. Важно отметить, что в таком виде можно записать любую систему линейных уравнений.

Обратите внимание, что если мы запишем однородную систему уравнений в матричной форме, она будет иметь вид \(AX=0\) для нулевого вектора \(0\).

Из этого определения видно, что вектор \[X = \left[ \begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array} \right]\nonumber \] будет удовлетворять уравнению \(AX=B\) только тогда, когда элементы \(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\) вектора \(X\ ) являются решениями исходной системы.

Теперь, когда мы рассмотрели, как умножать матрицу на вектор, мы хотим рассмотреть случай, когда мы умножаем две матрицы более общих размеров, хотя, как мы увидим, эти размеры все еще должны быть подходящими. Например, в примере \(\PageIndex{1}\) мы умножили матрицу \(3 \times 4\) на вектор \(4 \times 1\). Мы хотим исследовать, как умножать другие размеры матриц.

Мы еще не дали никаких условий, когда возможно умножение матриц! Для матриц \(A\) и \(B\), чтобы образовать произведение \(AB\), количество столбцов \(A\) должно равняться количеству строк \(B.\) Рассмотрим произведение \(AB\), где \(A\) имеет размер \(m\times n\), а \(B\) имеет размер \(n \times p\). Затем произведение с точки зрения размера матриц определяется как \[(m\times\overset{\text{они должны совпадать!}}{\widehat{n)\;(n}\times p})=m\ раз p\номер\]

Обратите внимание, что две внешние цифры обозначают размер продукта. Одно из важнейших правил умножения матриц заключается в следующем. Если два средних числа не совпадают, вы не можете умножать матрицы!

Когда количество столбцов \(A\) равно количеству строк \(B\), говорят, что две матрицы созвучны , а произведение \(AB\) получается следующим образом. {th}\) столбец \(AB\).

Рассмотрим следующий пример.

Пример \(\PageIndex{2}\): умножение двух матриц

Найдите \(AB\), если возможно. \[A = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{array} \right], B = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ -2 & 1 & 1 \end{array} \right]\nonumber \]

Решение

Первое, что вам нужно проверить при вычислении произведения, это то, возможно умножение. Первая матрица имеет размер \(2\times 3\), а вторая матрица имеет размер \(3\times 3\). Внутренние числа равны, поэтому матрицы \(A\) и \(B\) созвучны. Согласно приведенному выше обсуждению, \(AB\) будет матрицей \(2\times 3\). Определение \(\PageIndex{5}\) дает нам способ вычислить каждый столбец \(AB\) следующим образом.

\[\left[ \overset{ \text{Первый столбец}}{\overbrace{\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{array} \ right] \left[ \begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ -2 \end{array} \right] }},\overset{\text{Второй столбец}}{\overbrace{\left[ \ begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{r} 2 \\ 3 \\ 1 \end{array} \right] }},\overset{\text{Третий столбец}}{\overbrace{\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{массив} \right ] \left[ \begin{array}{r} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right] }}\right]\nonumber \] Вы знаете, как умножить матрицу на вектор, используя Определение \ (\PageIndex{3}\) для каждого из трех столбцов. Таким образом, \[\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ -2 & 1 & 1 \end{массив} \right] = \ \left[ \begin{массив}{rrr} -1 & 9& 3 \\ -2 & 7 & 3 \end{array} \right]\nonumber \]

Поскольку векторы представляют собой просто \(n \times 1\) или \(1 \times m\) матрицы, мы также можем умножить вектор на другой вектор.

Пример \(\PageIndex{3}\): умножение вектора на вектор

Умножить, если возможно \(\left[ \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right] \ left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 1 & 0 \end{array} \right] .\)

Решение

В этом случае мы умножаем матрицу размера \(3 \times 1\ ) матрицей размера \(1 \times 4.\) Внутренние числа совпадают, поэтому произведение определено. Обратите внимание, что произведение будет матрицей размера \(3 x 4\). Используя определение \(\PageIndex{5}\), мы можем вычислить это произведение следующим образом \(\: \) \[\left[ \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 1 & 0 \end{array} \right] = \left[ \overset{ \text{Первый столбец}}{\overbrace{\left[ \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 1 \end{массив} \right] \left[ \begin{array}{r} 1 \end{массив} \right] }},\overset{\ text{Второй столбец}}{\overbrace{\left[ \begin{array}{r} 1 \\ 2\\ 1 \end{массив} \right] \left[ \begin{array}{r} 2 \end {массив} \right] }},\overset{\text{Третий столбец}}{\overbrace{\left[ \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 1 \end{массив} \right] \ left[ \begin{array}{r} 1 \end{array} \right] }}, \overset {\text{Четвертый столбец}}{\overbrace{\left[ \begin{array}{r} 1\\ 2\\ 1 \end{массив} \right] \left[ \begin{array}{r} 0 \end{массив} \right]}} \right]\nonumber \]

Вы можете использовать определение \(\PageIndex{3}\), чтобы убедиться, что этот продукт является \[\left[ \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 4 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \end{массив} \right]\nonumber \]

Пример \(\PageIndex{4}\): умножение, которое не определено

Найдите \(BA\), если возможно. \[B = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ -2 & 1 & 1 \end{array} \right], A = \left[ \ begin{массив}{ccc} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{массив} \right]\nonumber \]

Решение

Сначала проверьте, возможно ли это. Это произведение имеет вид \(\влево( 3\умножить на 3\вправо) \влево( 2\умножить на 3\вправо).\) Внутренние числа не совпадают, поэтому вы не можете выполнить это умножение.

В этом случае мы говорим, что умножение не определено. Обратите внимание, что это те же матрицы, которые мы использовали в примере \(\PageIndex{2}\). В этом примере мы попытались вычислить \(BA\) вместо \(AB\). Это демонстрирует еще одно свойство матричного умножения. Хотя произведение \(AB\) может быть определено, мы не можем предполагать, что произведение \(BA\) будет возможно. Поэтому важно всегда проверять, определено ли произведение, прежде чем выполнять какие-либо расчеты.

Ранее мы определили нулевую матрицу \(0\) как матрицу (соответствующего размера), содержащую нули во всех элементах. Рассмотрим следующий пример умножения на нулевую матрицу.

Пример \(\PageIndex{5}\): умножение на нулевую матрицу

Вычислить произведение \(A0\) для матрицы \[A= \left[ \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array} \right]\nonumber \] и \(2 \times 2\) нулевая матрица, заданная как \[0= \left[ \begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{массив} \right]\nonumber \]

Решение

В этом продукте мы вычисляем \[\left[ \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rr } 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{массив} \right] = \left[ \begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{массив} \right]\nonumber \]

Следовательно, \(A0=0\).

Обратите внимание, что мы также можем умножить \(A\) на \(2 \times 1\) нулевой вектор, заданный как \(\left[ \begin{array}{r} 0 \\ 0 \end{array} \ Правильно]\). Результатом будет \(2 \times 1\) нулевой вектор. Поэтому всегда имеет место \(A0=0\) для нулевой матрицы или вектора соответствующего размера.

Эта страница под названием 2. 2: Умножение матриц распространяется под лицензией CC BY 4.0 и была создана, изменена и/или курирована Кеном Каттлером (Lyryx) с использованием исходного контента, который был отредактирован в соответствии со стилем и стандартами платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.

1. Наверх

• Была ли эта статья полезной?

1. Тип изделия

   Раздел или страница

   Автор

   Кен Каттлер

   Лицензия

   СС BY

   Версия лицензии

   4,0

   Показать страницу TOC

   нет

2. Теги

   1. источник@https://lyryx. com/first-course-linear-алгебра

Объяснение урока: Умножение матриц | Nagwa

В этом объяснении мы узнаем, как определить условия для матрицы умножение и вычисление произведения двух матриц, если это возможно.

Начнем с того, что вспомним скалярное умножение, которое намного проще, чем умножение матриц. Скалярное умножение включает в себя умножение матрицы скаляром (или числом). Например, рассмотрим матрицу 𝐴=2132.

Если бы мы хотели умножить эту матрицу на скаляр 2, мы бы умножили каждый из компоненты матрицы на 2: 2×𝐴=2×22×12×32×2=4264.

Мы видим, что умножить матрицу на скаляр очень просто. Однако это намного сложнее умножить матрицу на другую матрицу. Прежде чем мы сможем обсуждать, как умножить матрицу на другую матрицу, нам нужно понять когда можно перемножить пару матриц.

Напомним, что порядок матрицы определяется выражением ()×().количество строкколичество столбцов

Например, матрица с 𝑚 строк и 𝑛 столбцов называется матрица 𝑚×𝑛. Чтобы перемножить пару матриц, их порядки должны быть совместимы.

Правило: критерий умножения матриц

Пусть 𝐴 и 𝐵 — матрицы. Чтобы вычислить матрицу умножение 𝐴×𝐵, количество столбцов в 𝐴 должно равняться количеству строк в 𝐵. Если 𝐴 — матрица 𝑚×𝑛 для некоторого положительного целые числа 𝑚 и 𝑛, 𝐵 обязательно быть матрицей 𝑛×𝑝 для некоторого положительного целого числа 𝑝. В этом случае 𝐴×𝐵 является 𝑚×𝑝 матрица.

Из этого критерия умножения матриц видно, что 𝐴×𝐵 не то же самое, что 𝐵×𝐴 для матриц 𝐴 и 𝐵. На самом деле, возможно, что один из них может быть определен, а другой не является. Например, скажем, что матрицы 𝐴 и 𝐵 в порядке 1×2 и 2×3 соответственно. Тогда количество столбцов 𝐴 равно количеству строк 𝐵, который означает, что умножение матриц 𝐴×𝐵 определено. С другой стороны, количество столбцов 𝐵 не равно к количеству рядов 𝐴. Это означает, что матрица умножение 𝐵×𝐴 не определено. Это говорит нам о том, что матрица умножение некоммутативно, а это означает, что порядок матриц в умножении матриц изменить нельзя.

В первом примере мы найдем порядок матрицы, полученной из умножение матриц.

Пример 1. Порядок матриц при умножении матриц

Заполните пропуск: Если 𝐴 — матрица порядка 2×3 и 𝐵 — матрица порядка 1×3, то матрица 𝐴𝐵 имеет порядок .

1. 3×1
2. 2×1
3. 1×2
4. 3×2

Ответ

Напомним, что количество столбцов матрицы 𝐴 должно быть равным количеству строк в матрице 𝐵 для вычисления умножение матриц 𝐴×𝐵. Мы также вспоминаем что порядок матрицы определяется выражением ()×().количество строкколичество столбцов

Поскольку порядок матрицы 𝐴 равен 2×3, это говорит нам о том, что количество столбцов в матрице 𝐴 равно 3. Порядок 𝐵 равно 1×3, что означает эта матрица 𝐵 имеет 1 строку и 3 столбца. 𝐵 является транспонированием 𝐵, и мы знаем, что транспонирование матрицы меняет строки матрицы на столбцы его транспонировать. Поскольку транспонирование 𝐵 имеет 1 строку и 3 столбца, матрица 𝐵 должно быть 3 строки и 1 столбец. Это говорит нам что количество столбцов в матрице 𝐴 и количество строк в матрице 𝐵 равно 3, что означает, что умножение матриц допустимо.

Напомним, что умножение матрицы порядка 𝑚×𝑛 матрицей порядка 𝑛×𝑝 приводит к матрице порядка 𝑚×𝑝. В этом примере мы умножение матрицы 2×3 на Матрица 3×1. Это означает 𝑚×𝑛=2×3,𝑛×𝑝=3×1.

Следовательно, 𝑚=2, 𝑛=3 и 𝑝=1. Порядок матрицы 𝐴𝐵 равен 𝑚×𝑝=2×1. Это вариант B.

В следующем примере мы найдем порядок матрицы умножается на основе порядка матрицы произведения, а также порядка другой матрицы.

Пример 2: Порядок матриц при умножении матриц

Заполните пропуск: Если матрица 𝐴 имеет порядок 2×3 и матрица 𝐴𝐵 имеет порядок 2×1, тогда матрица 𝐵 по порядку.

1. 1×3
2. 2×1
3. 1×2
4. 3×1

Ответ

Напомним, что количество столбцов в матрице 𝐴 должно быть равным количеству строк в матрице 𝐵 до вычислить умножение матриц 𝐴×𝐵. Напомним также, что порядок матрицы определяется выражением ()×().количество строкколичество столбцов

Поскольку порядок матрицы 𝐴 равен 2×3, это говорит нам о том, что количество столбцов в матрице 𝐴 равно 3. Это число должно равняться количество строк в матрице 𝐵. Следовательно, количество строк в матрице 𝐵 должно быть равно 3.

Напомним также, что количество строк в матрице 𝐴𝐵 равно количеству строк в матрице 𝐴, а также количество столбцов в 𝐴𝐵 равно количеству столбцов в матрице 𝐵. Нам дано, что матрица 𝐴 есть порядка 2×3 и матрица 𝐴𝐵 имеет порядок 2×1, и мы видим, что количество строк в матрицах 𝐴 и 𝐴𝐵 одинаковы. Поскольку матрица 𝐴𝐵 имеет 1 столбец, это говорит нам о том, что число столбцов в 𝐵 должно быть равно 1,

Следовательно, матрица 𝐵 имеет порядок 3×1. Это вариант D.

В следующем примере мы проверим критерий умножения матриц на определить, корректно ли определено данное матричное умножение.

Пример 3.

Учитывая, что 𝐴=512−3−4−3,𝐵=1−25−4, определить 𝐴𝐵, если это возможно.

Ответ

Напомним, что количество столбцов в матрице 𝐴 должно равно количеству строк в матрице 𝐵 для вычисления умножение матриц 𝐴×𝐵. Мы также вспоминаем что порядок матрицы определяется выражением ()×().количество строкколичество столбцов

Мы видим, что матрица 𝐴 имеет 2 строки и 3 столбца. а матрица 𝐵 имеет 2 строки и 2 столбца. Поскольку количество столбцов в 𝐴 не равно количеству строк в матрице 𝐵, умножение матриц 𝐴𝐵 не определено.

В предыдущих примерах мы рассмотрели свойство порядка матриц в умножении матриц. Теперь, когда мы знаем, когда пара матриц может быть умножаются, рассмотрим, как перемножать матрицы. Простейший умножение матриц - это умножение матрицы-строки на столбец матрица.

Практическое руководство. Умножение матриц-строк на матрицы-столбцы

Пусть 𝐴 и 𝐵 будут матрицами-строками и матрицами-столбцами соответственно. Тогда матрица 𝐴𝐵 корректно определена и имеет порядок 1×1. Запись этой матрицы получается умножение каждой записи в матрице-строке на соответствующую запись в матрице матрица столбцов, а затем суммирование всех продуктов.

Мы продемонстрируем этот процесс в следующем примере.

Пример 4. Нахождение произведения двух заданных матриц

Рассмотрим матрицы 𝐴=(12−7),𝐵=−46−2.

Найдите 𝐴𝐵, если возможно.

Ответ

Мы знаем, что умножение матриц возможно, только если количество столбцов первой матрицы совпадает с количеством строк вторая матрица. Заметим, что количество столбцов первого матрица 𝐴 и количество строк второго обе матрицы 𝐵 равны 3, поэтому возможно вычислить умножение матриц 𝐴𝐵.

Мы также знаем, что умножение матрица 𝑚×𝑛 на матрица 𝑛×𝑝 дает 𝑚×𝑝 матрица. Мы видим, что заказы матрицы 𝐴 и 𝐵 являются 1×3 и 3×1 соответственно. Следовательно, 𝑚=1, 𝑛=3 и 𝑝=1. Это говорит нам о том, что матрица 𝐴𝐵 имеет порядок 𝑚×𝑝=1×1.

Поскольку матрица 𝐴 имеет только одну строку, это строка матрица. Точно так же матрица 𝐵 является матрицей-столбцом. Напомним, что мы можем умножить матрицу-строку на матрицу-столбец на умножая каждую запись в матрице 𝐴 на соответствующая запись в столбце 𝐵 и суммирование все продукты. В следующем расчете мы выделили соответствующие записи в каждой матрице одного цвета: 𝐴𝐵=(12−7)−46−2=(1×(−4)+2×6+(−7)×(−2))=(−4+12+14)=[22].

Мы видим, что порядок 𝐴𝐵 равен 1×1, как и ожидалось.

Следовательно, 𝐴𝐵=[22].

В предыдущем примере мы умножили матрицу строк на матрицу столбцов, что в результате получилась матрица с одной записью путем умножения 𝑗-й записи матрицу-строку по 𝑗-му элементу матрицы-столбца и суммируя все продукты. В результирующей матрице была только одна запись, потому что первая матрица в умножении матриц была одна строка, а во второй матрице - один столбец.

Этот процесс можно обобщить для умножения любой пары матриц на совместимые заказы, где результирующая матрица может иметь несколько записей. Чтобы умножить матрица с несколькими строками на матрицу с несколькими столбцами, нам нужно выбрать одна строка из первой матрицы и один столбец из второй матрицы. Рассматривая выбранную строку и столбец как матрицы строк и столбцов соответственно, мы можем умножить матрицу строк и матрицу столбцов, используя метод введены ранее. Продолжаем этот процесс до тех пор, пока каждый из рядов первая матрица умножается на каждый из столбцов второй матрица.

Практическое руководство. Перемножение матриц

Пусть 𝐴 и 𝐵 — матрицы порядков 𝑚×𝑛 и 𝑛×𝑝 соответственно. Для каждого 𝑖=1,2,…,𝑚 и 𝑗=1,2,…,𝑝, мы можем вычислить запись в 𝑖-й строке и 𝑗-м столбце матрицы 𝐴𝐵 путем умножения 𝑖-й строки 𝐴 по 𝑗й столбец 𝐵.

Мы знаем, что если умножить матрицу порядка 𝑚×𝑛 на матрицу порядка 𝑛×𝑝, мы получаем матрицу порядка 𝑚×𝑝. Это означает, что нам необходимо вычислить это 𝑚×𝑝 раз, чтобы заполнить матрицу умножение.

Продемонстрируем этот процесс графически, умножив Матрица 3×2 на матрицу 2×3. Мы знаем, что полученная матрица будет порядка 3×3, а это значит, что нам нужно умножить строку столбиком 9 раз. Рассмотрим следующие матрицы: 𝐴=2−42−144,𝐵=5−1−2316.

Мы видим, что матрица 𝐴 имеет 2 столбца и матрицу 𝐵 имеет 2 ряда. Следовательно, мы можем вычислить произведение 𝐴𝐵. Мы также знаем, что товар будет в порядке 3×3. Во-первых, мы можем умножить первую строку на первую столбец, чтобы найти запись в первой строке и первом столбце матрицы 𝐴𝐵:

Далее умножаем первую строку 𝐴 на вторую колонку 𝐵 для получения

Этот процесс продолжается до тех пор, пока мы не закончим умножение матриц:

Пример 5: Нахождение произведения двух заданных матриц

Учитывая, что 𝐴=−3−7−1341,𝐵=6−43, найти 𝐴𝐵 если возможно.

Ответ

Мы знаем, что умножение матриц возможно, только если количество столбцов первой матрицы совпадает с количеством строк второй матрица. Заметим, что количество столбцов первой матрицы 𝐴 и количество строк второй матрицы 𝐵 оба равны 3, поэтому можно вычислить умножение матриц 𝐴𝐵.

Мы также знаем, что умножение матрица 𝑚×𝑛 на матрица 𝑛×𝑝 дает 𝑚×𝑝 матрица. Мы видим, что заказы матрицы 𝐴 и 𝐵 являются 2×3 и 3×1 соответственно. Следовательно, 𝑚=2, 𝑛=3, и 𝑝=1. Это говорит нам о том, что матрица 𝐴𝐵 в порядке 𝑚×𝑝=2×1. Нам нужно вычислить элементов этой матрицы.

Напомним, что запись в 𝑖-й строке и 𝑗й столбец матрицы 𝐴𝐵 равен получается умножением 𝑖-й строки 𝐴 по 𝑗й колонке 𝐵. Начнем с того, что возьмем первый ряд 𝐴, которую можно записать в виде матрицы-столбца (−3−7−1). Так же берем первую (и единственную) столбец 𝐵, который можно записать как столбец матрица 6−43. Умножение каждой записи в матрице строк на соответствующую запись в матрице столбцов, а затем суммируя все продукты, (−3−7−1)6−43=[−3×6+(−7)×(−4)+(−1)×3]=[7].

Так как это произведение первой строки 𝐴 и первый столбец 𝐵, это говорит нам о том, что 7 — это запись в первой строке и первом столбце матрицы 𝐴𝐵.

Далее умножаем вторую строку 𝐴, (341), по первому столбцу 𝐵, 6−43, что приводит к (341)6−43=[3×6+4×(−4)+1×3]=[5].

Следовательно, 5 — это запись во второй строке и первом столбце матрицы 𝐴𝐵. Это ведет к 𝐴𝐵=75.

В предыдущем примере мы перемножили пару матриц, у которых были совместимые заказы. Мы сделали это, взяв подматрицы-строки первой матрицы и подматрицы столбцов второй матрицы, а затем их умножение вместе. Хотя это правильный процесс для умножения двух матриц, неэффективно каждый раз записывать матрицы строк и столбцов. Вместо этого мы можем сократить эти вычисления, написав произведение соответствующие матрицы строк и столбцов в каждой записи результирующего матрица, как видно из следующей формулы.

Определение: умножение матриц

Пусть 𝐴 и 𝐵 — матрицы порядков 𝑚×𝑛 и 𝑛×𝑝, соответственно, заданный 𝐴 = ⎛⎜⎜⎝𝑎𝑎 ⋯ ⋯ 𝑎 ⋮⋮ ⋱ ⋮ 𝑎𝑎 ⋯ 𝑎⎞⎟⎟⎠, 𝐵 = ⎛⎜⎜⎜⎝𝑏𝑏 𝑏𝑏𝑏 ⋯ 𝑏 ⋮⋮ ⋱ ⋮ 𝑏𝑏… 𝑏⎞⎟⎟⎟⎠. Тогда матрица произведения 𝑚×𝑝 и определяется как 𝐴𝐵=⎛⎜⎜⎝𝑐𝑐⋯𝑐𝑐𝑐⋯𝑐⋮⋮⋱⋮𝑐𝑐⋯𝑐⎞⎟⎟⎠, куда 𝑐=𝑎𝑏=𝑎𝑏+⋯+𝑎𝑏.

В следующем примере мы умножим пару матриц по этой формуле.

Пример 6. Нахождение произведения двух заданных матриц

Рассмотрим матрицы 𝐴=11−2−4477,𝐵=−8−96−489.

Найдите 𝐴𝐵, если возможно.

Ответ

Мы знаем, что умножение матриц возможно, только если количество столбцов первой матрицы совпадает с количеством строк второй матрица. Заметим, что количество столбцов первой матрицы 𝐴 и количество строк второй матрицы 𝐵 оба равны 2, поэтому можно вычислить умножение матриц 𝐴𝐵.

Мы также знаем, что умножение матрица 𝑚×𝑛 на матрица 𝑛×𝑝 дает 𝑚×𝑝 матрица. Мы видим, что заказы матрицы 𝐴 и 𝐵 являются 3×2 и 2×3 соответственно. Следовательно, 𝑚=3, 𝑛=2, и 𝑝=3. Это говорит нам о том, что матрица 𝐴𝐵 в порядке 𝑚×𝑝=3×3. Нам нужно вычислить 9 элементов этой матрицы.

Напомним, что запись в 𝑖-й строке и 𝑗й столбец матрицы 𝐴𝐵 равен получается путем умножения каждой записи 𝑖th строку 𝐴 соответствующей записью 𝑗-й столбец 𝐵, а затем суммируя все произведения.

Например, чтобы получить запись в первой строке и первом столбце матрицы 𝐴𝐵 нам нужно умножить первую строку матрица 𝐴, (11−2), на матрица первого столбца 𝐵, −8−4. Это означает, что мы умножаем каждую запись в матрице строк на соответствующую запись в матрице столбцов, а затем просуммировать все продукты. Это дает 11×(−8)+(−2)×(−4)=−80.

Следовательно, запись в первой строке и первом столбце матрицы 𝐴𝐵 равно −80. Мы можем продолжить в таким же образом, пока мы не заполним матрицу 3 × 3: 11−2−4477−8−96−489=11×(−8)+(−2)×(−4)11×(−9)+(−2)×811×6+(−2)×9(−4)×( −8)+4×(−4)(−4)×(−9)+4×8(−4)×6+4×97×(−8)+7×(−4)7×(−9 )+7×87×6+7×9=−80−11548166812−84−7105.

В этом объяснении мы обсудили, как умножить две матрицы совместимых заказы. Заметим, что матричное умножение сильно отличается от умножение двух действительных чисел, так как оно имеет более сложную структуру. Хотя трудно понять, почему нам нужно определить матричное умножение в этом образом, есть веская причина для этого. Эта причина станет яснее по мере того, как мы узнаем о более сложных темах по матрицам. Тем не менее, мы можем видеть проблеск этой причины, когда мы рассматриваем реальный пример, который может быть решен с помощью умножения матриц.

В нашем последнем примере мы рассмотрим реальное применение матрицы умножение.

Пример 7. Решение задач Word путем применения операций над матрицами

В таблице ниже показано количество номеров различных типов в трех отелях, принадлежащих Компания. Если одноместный номер стоит 160 LE за ночь, двухместный номер стоит 430 египетских фунтов за ночь, а люкс стоит 740 LE за ночь, определите ежедневный доход компании, когда все помещения заняты.

Ответ

В этом примере нам нужно определить ежедневный доход компании, когда все комнаты заняты. Эта компания владеет тремя гостиницами, а количество номеров каждого типа указано в данной таблице. Если мы взять только числа в таблице, мы можем составить Матрица 3 × 3, которую мы можем записать как 457415487419499410.

Первый столбец этой матрицы представляет количество одиночных номера в каждом отеле. Чтобы рассчитать доход компании от этих номера, нам нужно умножить эти цифры на 160 LE, что является стоимость одноместного номера. Точно так же нам нужно умножить второе колонка на 430 ЛЭ, это стоимость двухместного номера. Таким же образом записи в третьем столбце следует умножить на 740 LE, что составляет стоимость люкса. В итоге мы можем получить суммарный дневной дохода путем суммирования всех элементов полученной матрицы: 45×16074×43015×74048×16074×43019×74049×16094×43010×740.

Если суммировать записи в каждой строке, мы получим

Запись в каждой строке приведенной выше матрицы показывает нам ежедневный доход от каждый отель. Мы можем закончить вычисление, найдя каждую запись выше и суммирование записей. Но давайте остановимся здесь на секунду, чтобы отметить, что приведенная выше матрица также может быть получена, когда мы умножаем наш исходный матрица 3×3 на матрицу-столбец, содержащую стоимость каждого типа номера: 457415487419499410160430740.

Рассмотрим это умножение. Мы знаем эту матрицу умножение возможно только в том случае, если число столбцов первая матрица совпадает с количеством строк второй матрицы. Мы обратите внимание, что количество столбцов первой матрицы и число строк второй матрицы равны 3, поэтому возможно чтобы вычислить это матричное умножение.

Мы также знаем, что можно умножить пару матриц путем умножения каждой строке первой матрицы по каждому столбцу второй матрицы. Умножим первую строку 3×3 матрица, (457415), по столбцу второй матрицы, 160430740. Это означает, что мы умножаем каждую запись в матрице строк на соответствующую запись в матрице столбцов, а затем просуммируйте все продукты. Это дает 45×160+74×430+15×740, что совпадает с первой строкой матрицы, приведенной в (1). Точно так же мы можем видеть, что умножение вторая и третья строки матрицы 3×3 по матрице столбцов приводит к элементам во втором и третьем строки матрицы в (1). Вычисление каждого запись в (1) дает нам 457415487419499410160430740=501205356055660.

Суммируя все записи, мы имеем 50120+53560+55660=159340.

Следовательно, когда все комнаты заняты, компания Ежедневный доход составляет 159‎ ‎340 LE.

Давайте закончим повторением нескольких важных понятий из этого объяснения.

Ключевые точки

• Пусть 𝐴 и 𝐵 — матрицы. К вычислить умножение матриц 𝐴×𝐵, число столбцов в 𝐴 должно быть равно количеству строк в 𝐵. Если 𝐴 является матрица 𝑚×𝑛 для некоторых натуральных чисел 𝑚 и 𝑛, 𝐵 должны быть матрица 𝑛×𝑝 для некоторого положительного целого числа 𝑝. В этом случае 𝐴×𝐵 является 𝑚×𝑝 матрица:
• Пусть 𝐴 и 𝐵 будут строкой и столбцом матрицы соответственно. Тогда матрица 𝐴𝐵 равна определена и имеет порядок 1×1. Вход этой матрицы получается путем умножения каждой записи в строке матрица соответствующей записью в матрице-столбце, а затем суммируя все произведения.
• Пусть 𝐴 и 𝐵 — матрицы заказы 𝑚×𝑛 и 𝑛×𝑝, соответственно, определяется как 𝐴 = ⎛⎜⎜⎝𝑎𝑎 ⋯ ⋯ 𝑎 ⋮⋮ ⋱ ⋮ 𝑎𝑎 ⋯ 𝑎⎞⎟⎟⎠, 𝐵 = ⎛⎜⎜⎜⎝𝑏𝑏 𝑏𝑏𝑏 ⋯ 𝑏 ⋮⋮ ⋱ ⋮ 𝑏𝑏… 𝑏⎞⎟⎟⎟⎠.  Тогда матрица произведения 𝐴𝐵 имеет порядок 𝑚×𝑝 и определяется как 𝐴𝐵=⎛⎜⎜⎝𝑐𝑐⋯𝑐𝑐𝑐⋯𝑐⋮⋮⋱⋮𝑐𝑐⋯𝑐⎞⎟⎟⎠, куда 100705

Умножение матриц

В этом упражнении мы изучим как строки, так и столбцы изображения умножения матриц. Чтобы добиться успеха в линейной алгебре, крайне важно не ограничивать себя только одной формой умножения матриц. Очень важно, чтобы вы могли легко обрабатывать как строковую, так и столбцовую форму умножения матриц.

Умножение матрицы на вектор-столбец

Мы начинаем изучение умножения матриц с нашего первого примера, умножая матрицу $C$ на вектор-столбец ${\bf x}$.

$$ С {\ бф х} =\begin{bmatrix} 1 и 4 и 7\\ 2 и 5 и 8\\ 3 и 6 и 9 \end{bmatrix} \begin{bматрица} -1\\3\\-5 \end{bmatrix}$$

Введите столбцы матрицы $C$ в виде векторов-столбцов ${\bf c}_1$, ${\bf c}_2$ и ${\bf c}_3$.

>> с1=[1;2;3]
с1 =
     1
     2
     3
 
>> с2=[4;5;6]
с2 =
     4
     5
     6
 
>> с3=[7;8;9]
с3 =
     7
     8
     9
 

Далее возьмем линейную комбинацию векторов-столбцов ${\bf c}_1$, ${\bf c}_2$ и ${\bf c}_3$, используя элементы вектора ${ \bf x}$ как скаляры или веса нашей линейной комбинации.

>> -2*с1+3*с2-5*с3
ответ =
   -25
   -29
   -33
 

Приведенный выше код демонстрирует следующий результат.

$$ -2\начало{bматрица}1\\2\\3\конец{bматрица} +3\begin{bmatrix}4\\5\\6\end{bmatrix} -5\begin{bmatrix}7\\8\\9\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}-25\\-29\\-33\end{bmatrix}$$

Далее мы выполним умножение матрицы на вектор $C{\bf x}$. Сначала создайте матрицу $C$ из векторов-столбцов ${\bf c}_1$, ${\bf c}_2$ и ${\bf c}_3$.

>> С=[с1 с2 с3]
С =
     1 4 7
     2 5 8
     3 6 9
 

Далее введите вектор ${\bf x}$.

>> х=[-2;3;-5]
х =
    -2
     3
    -5
 

Теперь, когда мы ввели матрицу $C$ и вектор ${\bf x}$, мы можем вычислить произведение матрицы на вектор $C{\bf x}$.

>> С*х
ответ =
   -25
   -29
   -33
 

Результат утверждает, что $$ С {\ бф х} =\begin{bmatrix} 1 и 4 и 7\\ 2 и 5 и 8\\ 3 и 6 и 9 \end{bmatrix} \begin{bматрица} -1\\3\\-5 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}-25\\-29\\-33\end{bmatrix} $$

Основная идея здесь состоит в том, чтобы отметить, что это произведение матрицы на вектор идентично линейной комбинации столбцов, вычисленной ранее. То есть

$$ \begin{bматрица} 1 и 4 и 7\\ 2 и 5 и 8\\ 3 и 6 и 9 \end{bmatrix} \begin{bматрица} -1\\3\\-5 \end{bmatrix} =-2\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix} +3\begin{bmatrix}4\\5\\6\end{bmatrix} -5\begin{bmatrix}7\\8\\9\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}-25\\-29\\-33\end{bmatrix}$$

Результат должен быть четким. Чтобы вычислить матрично-векторное произведение $C{\bf x}$, возьмите линейную комбинацию столбцов $C$, используя элементы вектора ${\bf x}$ в качестве скаляров или весов в линейной комбинации.

Если $C=\left[ \mathbf{c}_{1}\,\,\mathbf{c}_{2}\,\,\cdots \,\,\mathbf{c}% _{n}\right] $ и $\mathbf{x=}\left[ \начать{массив}{с} х_{1} \\ х_{2} \\ \vdots\\ х_{п} \конец{массив} \right] $, затем $C\mathbf{x=x}_{1}\mathbf{c}_{1}+x_{2}\mathbf{c}_{2}+\cdots +x_{n}\mathbf{c}_{n}$.

Произведение матриц --- Изображение столбца

Теперь мы рассмотрим произведение двух матриц. Наш конкретный пример — матричный продукт

. $$АВ =\begin{bmatrix} 1 и 2 и 3\\ 4 и 5 и 6\\ 7 и 8 и 9 \end{bmatrix} \begin{bматрица} 1 и 2\\ 1 и -3\\ -1 и 1 \end{bmatrix}$$

При вычислении произведения матриц $A$ и $B$ первый столбец матрицы $AB$ находится путем умножения $A$ на первый столбец $B$, второй столбец $AB$ находится путем умножения $A$ на второй столбец $B$ и т.  д.

Сначала введите матрицу $A$.

>> А=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]
А =
 
     1 2 3
     4 5 6
     7 8 9
 

Теперь введите столбцы матрицы $B$ в виде векторов.

>> b1=[1;1;-1]
б1 =
     1
     1
    -1

>> b2=[2;-3;1]
б2 =
     2
    -3
     1
 

Затем вычислите произведения матриц $A\mathbf{b}_{1}$ и $A\mathbf{b% }_{2}$.

>> А*b1
ответ =
     0
     3
     6

>> А*b2
ответ =
    -1
    -1
    -1
 

Далее для сравнения сформируем матрицу $B=[\mathbf{b}_{1}\,\mathbf{b}_{2}]$,

>> В=[b1 b2]
Б =
     1 2
     1-3
    -1 1
 

Теперь вычислите матричное произведение $AB$.

>> А*Б
ответ =
     0 -1
     3 -1
     6 -1
 

Важно! Столбцы матричного произведения $AB$ идентичны матрично-векторным произведениям $A{\bf b}_1$ и $A{\bf b}_2$, вычисленным выше. Важно отметить, что первый столбец $AB$ — это $A\mathbf{b}_{1}$, а второй столбец $AB$ — это $A\mathbf{b}_{2}$.

В общем, чтобы вычислить матричное произведение $AB$, умножьте матрицу $A$ на каждый столбец матрицы $B$, каждое из этих произведений дает соответствующий столбец в $AB$.

Пусть $A$ и $B$ — матрицы с размерами, позволяющими умноженный. Если $\mathbf{b}_{1},\mathbf{b}_{2},\ldots ,\mathbf{b}_{n}$ векторов, представляющих столбцы матрицы $B$, то \begin{выравнивание*} AB &=&A\left[ \mathbf{b}_{1},\mathbf{b}_{2},\ldots ,\mathbf{b}_{n}\right] \\ &=&\left[ A\mathbf{b}_{1},A\mathbf{b}_{2},\ldots ,A\mathbf{b}_{n}\right] \end{выравнивание*}

Умножение вектора-строки на матрицу

Теперь обратим внимание на картину умножения матриц на строку. В этом примере мы берем произведение вектора-строки ${bf x}$ и матрицы $R$.

$${\bf х}R =\begin{bmatrix}5 & -6 & 4\end{bmatrix} \begin{bматрица} 1 и 2 и 3\\ 4 и 5 и 6\\ 7 и 8 и 9 \end{bmatrix}$$

Сначала введите строки $R$ как векторы-строки ${\bf r}_1$, ${\bf r}_2$ и ${\bf r}_3$.

>> г1=[1 2 3
р1 =
     1 2 3
 
>> г2=[4 5 6]
г2 =
     4 5 6
 
>> г3=[7 8 9]
р3 =
     7 8 9
 

Сформируйте линейную комбинацию векторов-строк $\mathbf{r}_{1}$, $\mathbf{r}_{2}$ и $\mathbf{r}_{3}$, используя элементы вектор-строка $\mathbf{x}$ в качестве весов.

>> 5*r1-6*r2+4*r3
ответ =
     9 12 15
 

Приведенный выше код демонстрирует следующий результат:

$$5\,\begin{bmatrix}1, 2 и 3\end{bmatrix} - 6\,\begin{bmatrix}4 и 5 и 6\end{bmatrix} + 4\,\begin{bmatrix}7 и 8 и 9\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}9, 12 и 15\end{bmatrix}$$

Далее формируем векторно-матричное произведение ${\bf x}R$. Сначала введите вектор-строку ${\bf x}$.

>> х=[5 -6 4]
х =
     5 -6 4
 

Затем создайте матрицу $R$, используя векторы-строки $\mathbf{r}_{1},\mathbf{r}_{2},$ и $\mathbf{r}_{3}$.

>> R=[r1;r2;r3]
Р =
     1 2 3
     4 5 6
     7 8 9
 

Наконец, сформируйте векторно-матричное произведение ${\bf x}R.

>> х*С
ответ =
     9 12 15
 

Результат утверждает, что $${\bf х}R =\begin{bmatrix}5 & -6 & 4\end{bmatrix} \begin{bматрица} 1 и 2 и 3\\ 4 и 5 и 6\\ 7 и 8 и 9 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}9& 12 & 15\end{bmatrix} $$

Ключевая идея здесь состоит в том, чтобы отметить, что это векторно-матричное произведение идентично линейной комбинации строк, вычисленной ранее. То есть

$$ \begin{bmatrix}5 и -6 и 4\end{bmatrix} \begin{bматрица} 1 и 2 и 3\\ 4 и 5 и 6\\ 7 и 8 и 9 \end{bmatrix} =5\,\begin{bmatrix}1 и 2 и 3\end{bmatrix} - 6\,\begin{bmatrix}4 и 5 и 6\end{bmatrix} + 4\,\begin{bmatrix}7 и 8 и 9\end{bmatrix}$$

Результат должен быть четким. Чтобы вычислить векторно-матричное произведение ${\bf x}R$, возьмите линейную комбинацию строк $R$, используя элементы вектора ${\bf x}$ в качестве скаляров или весов в линейной комбинации.

Если $\mathbf{x=}\left[ x_{1}\,\,x_{2}\,\,\cdots \,\,x_{n}\right] $ и $% Р = \ влево [ \начать{массив}{с} \mathbf{r}_{1} \\ \mathbf{r}_{2} \\ \vdots\\ \mathbf{r}_{n} \конец{массив} \right] $, затем $\mathbf{x}R=x_{1}\mathbf{r}_{1}+x_{2}\mathbf{r}_{2}+\cdots +x_{n}\mathbf{r}_{n}$.

Получение матричного произведения --- Изображение строки

Теперь мы рассмотрим изображение строки произведения двух матриц. Наш конкретный пример — матричный продукт

. $$АВ= \begin{bmatrix}1 и 2 и 3\\4 и 5 и 6\\7 и 8 и 9\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 и 2\\1 и -3\\-1 и 1\end{bmatrix}$$

Вы могли заметить, что это идентичное умножение матриц, которое мы выполняли ранее, используя изображение столбца.

При вычислении произведения матриц $A$ и $B$ первая строка матрицы $AB$ равна получается путем умножения первой строки $A$ на $B$, второй строки $AB$ находится путем умножения второй строки $A$ на $B$ и т. д.

Сначала введите строки матрицы $A$ как векторы-строки.

>> г1=[1 2 3]
р1 =
     1 2 3
 
>> г2=[4 5 6]
г2 =
     4 5 6
 
>> г3=[7 8 9]
р3 =
     7 8 9

Далее введите матрицу $B$.

>> В=[1 2;1 -3;-1 1]
Б =
     1 2
     1-3
    -1 1
 

Затем вычислите произведения матриц $\mathbf{r}_{1}B$, $\mathbf{r}% _{2}B$ и $\mathbf{r}_{3}B$.

>> г1*В
ответ =
     0 -1
 
>> г2*В
ответ =
     3 -1
 
>> г3*В
ответ =
     6 -1
 

Теперь вычислите матричное произведение $AB$.

>> А*Б
ответ =
     0 -1
     3 -1
     6 -1
 

Важно! Строки матричного произведения $AB$ идентичны векторно-матричным произведениям ${\bf r}_1B$, ${\bf r}_2B$ и ${\bf r}_3B$, вычисленным выше. Первая строка $AB$ — это $\mathbf{r}_{1}B$, вторая строка $AB$ — это $\mathbf{r}_{2}B$, а третья строка $AB$ равно $\mathbf{r}_{3}B$.

Обычно, чтобы вычислить матричное произведение $AB$, умножьте каждую строку матрицы $A$ на матрицу $B$, каждое из этих произведений дает соответствующую строку в $AB$.

Пусть $A$ и $B$ — матрицы с размерностями, позволяющими умноженный. Если $\mathbf{r}_{1},\mathbf{r}_{2},\ldots ,\mathbf{r}_{n}$ векторов, представляющих строки матрицы $A$, то \begin{выравнивание*} AB &=&\влево[ \начать{массив}{с} \mathbf{r}_{1} \\ \mathbf{r}_{2} \\ \mathbf{\vdots} \\ \mathbf{r}_{n} \конец{массив} \справа]В\\ &=&\влево[ \начать{массив}{с} \mathbf{r}_{1}В \\ \mathbf{r}_{2}В \\ \mathbf{\vdots} \\ \mathbf{r}_{n}B \конец{массив} \Правильно] \end{выравнивание*}

Заключительный комментарий

Время от времени в течение оставшейся части семестра вынимайте этот лист и практиковать эти различные формы умножения. Они очень помогут Ваше изучение линейной алгебры.

Домашнее задание

1. Рассмотрим произведение матрицы на вектор $$A{\bf х}= \begin{bmatrix}1 & 2 & 0\\-1 & -1 & 3\\2 & 0 & -5\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1\\-2\\-2\end{bmatrix}$$ Используйте Matlab для вычисления продукта двумя способами:
   • Введите столбцы $A$ как векторы-столбцы ${\bf a}_1$, ${\bf a}_2$ и ${\bf a}_3$, затем используйте элементы вектора ${\bf x}$, чтобы взять линейную комбинацию столбцов $A$.
   • Введите вектор ${\bf x}$. Создайте матрицу $A$ из векторов-столбцов ${\bf a}_1$, ${\bf a}_2$ и ${\bf a}_3$, затем вычислите произведение матрицы на вектор $A{\bf x }$. Сравните с результатом вашей линейной комбинации.
2. Рассмотрим произведение матриц $$АВ= \begin{bmatrix}3 & 0 & 2\\-1 & -1 & 0\\2 & -4 & -2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 и 2\\-2 и -3\\-4 и 2\end{bmatrix}$$ Используйте Matlab для вычисления продукта двумя способами:
   • Введите матрицу $A$. Введите столбцы $B$ как векторы-столбцы ${\bf b}_1$ и ${\bf b}_2$, затем вычислите матрично-векторные произведения $A{\bf b}_1$ и $A{\bf б}_2$.
   • Создайте матрицу $B$ из векторов-столбцов ${\bf b}_1$ и ${\bf b_2}$, затем вычислите матричное произведение $AB$. Сравните столбцы в вашем результате с предыдущими вычислениями $A{\bf b}_1$ и $A{\bf b}_2$.
3. Рассмотрим векторно-матричное произведение $${\bf х}R= \begin{bmatrix}1 & -1 & 5\end{bmatrix} \begin{bmatrix}2 & -1 & 0\\3 & -2 & -2\\1 & 0 & 4\end{bmatrix}$$ Используйте Matlab для вычисления продукта двумя способами:
   • Введите строки $R$ как векторы-строки ${\bf r}_1$, ${\bf r}_2$ и ${\bf r}_3$, затем используйте записи в векторе ${\bf x}$, чтобы получить линейную комбинацию строк $R$.
   • Введите вектор-строку ${\bf x}$. Создайте матрицу $R$ из векторов-строк ${\bf r}_1$, ${\bf r}_2$ и ${\bf r}_3$, затем вычислите векторно-матричное произведение ${\bf x } реалов. Сравните с результатом вашей линейной комбинации.
4. Рассмотрим произведение матриц $$АВ= \begin{bmatrix}3 & 0 & 2\\-1 & -1 & 0\\2 & -4 & -2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 и 2\\-2 и -3\\-4 и 2\end{bmatrix}$$ Используйте Matlab для вычисления продукта двумя способами:
   • Введите матрицу $B$. Введите строки $A$ как векторы-строки ${\bf r}_1$, ${\bf r}_2$ и ${\bf r}_3$, затем вычислите векторно-матричные произведения ${\bf r }_1 B$, ${\bf r}_2 B$ и ${\bf r}_3 B$.
   • Создайте матрицу $A$ из векторов-строк ${\bf r}_1$, ${\bf r}_2$ и ${\bf r}_3$, затем вычислите матричное произведение $AB$. Сравните строки в вашем результате с предыдущими вычислениями ${\bf r}_1 B$, ${\bf r}_2 B$ и ${\bf r}_3 B$.

Доказательство первой теоремы об определителях

Теорема. Пусть A будет матрицей n на n . затем выполняются следующие условия.

1. Если мы умножим строку (столбец) числа A на число, определитель будет умножено на то же число.
2. Если i -я строка (столбец) в А это сумма i -я строка (столбец) матрицы B и i -я строка (столбец) матрицы C и все остальные строки в B и C равны соответствующим строкам в A (то есть B и C отличаются от A только одной строкой), тогда det( A )=det( B )+det( C ).
3. Если две строки (столбца) в A равны, то det( A )=0.
4. Если мы добавим строку (столбец) числа A , умноженного на скаляр k , к другой строке (столбцу) числа A , то определитель не изменится.
5. Если поменять местами две строки (столбца) в A , определитель изменится его знак.
6. дет( А )=дет( А _Т ).

2. Имеем, что A(i,j)=B(i,j)+C(i,j) для каждых j =1,2,...,n. Рассмотрим выражение для дет( А ). Каждое слагаемое в этом выражении содержит ровно один множитель из я -й ряд А . Рассмотрим один из этих терминов:

( A(i,j) - множитель из i -й строки в этом произведении).

Заменить A(i,j) на B(i,j)+C(i,j) :

Умножить через:

(-1) ^p A(p ₁ ,1) A(p ₂ ,2)...B(i,j)... A(p _n ,n)+
( -1) ^p A(p ₁ ,1) A(p ₂ ,2). ..C(i,j)... A(p _n ,n)

Если мы добавим только члены, содержащие B , мы получим определитель B ; если мы сложим все члены, содержащие C , мы получим определитель С . Таким образом det( A )=det( B )+det( C ).

3. Предположим, что i -я строка в A равна j -й строке A , то есть A(i,k)=A(j,k) для каждых k =1,2,..., n . Рассмотрим произвольное произведение в выражение det( A ):

(используем тот факт, что это произведение содержит один множитель из и -й строки и один множитель из j -й строки, и мы предполагаем, что i стоит перед j ; случай, когда i встречается дальше, чем j , аналогичен). Рассмотрим также произведение, соответствующее перестановке p ', полученное из p путем переключения и и и :

A(p ₁ ,1) A(p ₂ ,2). ..A(j,k1)...A(i,k2)... A(p _n ,n)

Теперь с тех пор

эти условия равны. Но они встречаются в выражении det( A ) с противоположным знаки (помните, что p ' получается из p одной транспозицией). Таким образом, эти продукты убивают друг друга в det( A ). Поэтому каждый член в дет( А ) уничтожается, когда мы объединяем одинаковые члены в det( A ), поэтому det( A )=0.

4. Пусть матрица B получена из матрицы A путем сложения j -й строки, умноженной на k до и -го ряда. Представим A в виде столбца строк:

                     [ р  1  ]
                       ...
                     [ р  я  ]
                       ...
                     [ р  и  ]
                       ...
                     [ р  н  ]
 

Тогда B имеет следующий вид:

                     [ р  1  ]
                       . ..
                     [ г  я  +кр  я  ]
                       ...
                     [ р  дж  ]
                       ...
                     [ р  н  ]
 

По свойству 2 можно заключить, что det( B ) равен сумме определителей из двух матриц:

                     [ р  1  ]
                       ...
                     [ р  я  ]
                       ...
                     [ р  дж  ]
                       ...
                     [ р  н  ]
 

а также

                     [ р  1  ]
                       ...
                     [ кр  j  ]
                       ...
                     [ р  и  ]
                       ...
                     [ р  н  ]
 

Первая из этих матриц A . Обозначим второй через C . Так det( B )=det( A )+det( C ). По свойству 1 det( C ) в k раз больше определителя следующая матрица:

                     [ р  1  ]
                       ...
                     [ р  дж  ]
                       ...
                     [ р  и  ]
                       ...
                     [ р  н  ]
 

Но эта матрица имеет две равные строки, поэтому ее определитель равен 0 (свойство 3). Таким образом, det( C )=0 и det( B )=det( A ). Доказательство завершено.

5. Предположим, что мы поменяли местами i -ю строку и j -ю строку матрицы A . Представьте A в виде столбца строк:

                     [ р  1  ]
                       ...
                     [ р  я  ]
                       ...
                     [ р  дж  ]
                       ...
                     [ р  н  ]
 

1. Добавьте j -ю строку к i -й строке:

                        [ р  1  ]
                          . ..
                        [ р  и  +r  и  ]
                         ...
                        [ р  дж  ]
                          ...
                        [ р  н  ]
    

2. Вычесть i -ю строку полученной матрицы из j -й строки:

                        [ р  1  ]
                          ...
                        [ г  я  + г  j  ]
                          ...
                        [-р  и ]
                          ...
                        [ р  н  ]
    

3. Прибавляем j -ю строку полученной матрицы к i -ой строке:

                        [ р  1  ]
                          ...
                        [ р  дж  ]
                          ...
                        [-r  я ]
                          ...
                        [ р  н  ]
    

4. Умножьте j -ю строку полученной матрицы на -1:

    [ р  1  ]
    .