Как находить неопределенный интеграл: Найти неопределённый интеграл: начала начал, примеры решений

Урок 5. Неопределённый интеграл | Уроки математики и физики для школьников и родителей

ВИДЕО УРОК

Нахождение производных и нахождение неопределённых интегралов (дифференцирование и интегрирование) – это два взаимно обратных действия. Как, например, сложение и вычитание или умножение и деление.

В чём сложность изучения неопределённых интегралов ? Если в производных имеют место строго  5  правил дифференцирования, таблица производных и довольно чёткий алгоритм действий, то в интегралах всё иначе. Существуют десятки способов и приёмов интегрирования. И, если способ интегрирования изначально подобран неверно, то интеграл нельзя решить.

В первую очередь следует хорошо разобраться в простейших интегралах. Посмотрим на таблицу интегралов.


Свойства неопределённого интеграла.

Таблица интегралов. Метод интегрирования частями. Как и в производных, видно несколько правил интегрирования и таблицу интегралов от некоторых элементарных функций.

Любой табличный интеграл (и вообще любой неопределённый интеграл) имеет вид:

f(x)dx = F(x)  + C,

где  C = const

Обозначения и термины.

– значок интеграла.

f(x) – подынтегральная функция.

dxзначок дифференциала.

f(x)dx – подынтегральное выражение.

F(x) – первообразная функция.

F(x) + С – множество первообразных функций.

Самое важное, что в любом неопределённом интеграле к ответу приплюсовывается константа  С.

Решить неопределённый интеграл

– это значит превратить его в определённую функцию 

F(x) + С,

пользуясь некоторыми правилами, приёмами и таблицей.

Например, табличный интеграл

превратился в функцию

–cos x  + C

Как и в случае с производными, для того, чтобы научиться находить интегралы, не обязательно быть в курсе, что такое интеграл, первообразная функция с теоретической точки зрения.

Достаточно просто осуществлять превращения по некоторым формальным правилам. Так, в случае

совсем не обязательно понимать, почему интеграл

превращается именно в

–cos x  + C.

Пока  можно принять эту и другие формулы как данность. Все пользуются электричеством, но мало кто задумывается, как там по проводам бегают электроны.

Так как дифференцирование и интегрирование – противоположные операции, то для любой первообразной, которая найдена правильно, справедливо следующее:

(F(x) + С) = F (x) + 0 = f(x).

Другими словами, если продифференцировать правильный ответ, то обязательно должна получиться исходная подынтегральная функция.

ПРИМЕР:

Возьмём табличный интеграл:

Убедимся в справедливости данной формулы. Для этого возьмём производную от правой части

.

(–cos x + C) = –(cos x) + (C) = –(– sin x) + 0 = sin x.

Получилась исходная подынтегральная функция.

Теперь стало понятнее, почему к функции  F(x)  всегда приписывается константа  С. При дифференцировании константа всегда превращается в ноль.

Решить неопределённый интеграл – это значит найти множество всех первообразных, а не какую-то одну функцию.

ПРИМЕР:

При решении интеграла 

∫ sin xdx = –cos x + C.

Получается бесконечно много решений, например

–cos x + 5,

–cos x4/7,

–cos x + sin 2,

–cos x + е3.

Поэтому записывают коротко

:

∫ sin xdx = –cos x + C.

где  С – const.

Таким образом, любой неопределённый интеграл можно легко проверить в отличии от производных.

ПРИМЕР:

Найти неопределённый интеграл. РЕШЕНИЕ: ПРИМЕР:

Найти неопределённый интеграл:

РЕШЕНИЕ: ПРИМЕР:

Найти неопределённый интеграл:

РЕШЕНИЕ:

Анализируя интеграл, видно, что имеется произведение двух функций и возведения в степень целого выражения. Так как нет хороших и удобных формул для интегрирования произведения и частного надо попытаться преобразовать подынтегральную функцию в сумму. ПРИМЕР:

Найти неопределённый интеграл. РЕШЕНИЕ:

Используем формулу сокращённого умножения.

ПРИМЕР:

Найти неопределённый интеграл:

РЕШЕНИЕ:

В данном примере подынтегральная функция представляет собой дробь. Когда в подынтегральном выражении дробь, то сначала необходимо попытаться избавиться от этой дроби или упростить её. Сначала делим числитель на знаменатель. ПРИМЕР:

Найти неопределённый интеграл:

РЕШЕНИЕ:

§ 2 Методы интегрирования

Рассмотрим три основных метода интегрирования: метод непосредственного интегрирования; метод замены переменной, метод интегрирования по частям.

1) Метод непосредственного интегрирования.

Метод непосредственного интегрирования основан на предположении о возможном значении первообразной функции с дальнейшей проверкой этого значения дифференцированием, а также на свойстве 4, 5 неопределенного интеграла. Вообще, заметим, что дифференцирование является мощным инструментом проверки результатов интегрирования.

Рассмотрим применение этого метода на примере:

Пример 2.1. Требуется найти значение интеграла . На основе известной формулы дифференцирования можно сделать вывод, что искомый интеграл равен , где – некоторое постоянное число. Однако, с другой стороны . Таким образом, окончательно можно сделать вывод:

.

Пример 2.2. Требуется найти интеграл .

Решение.

При вычислении данного интеграла были использованы 1 и 2 формулы табличных интегралов.

Пример 2.3. Требуется найти интеграл .

Решение.

Пример 2.4. Требуется найти интеграл .

Решение. Подынтегральная функция представляет собой неправильную рациональную дробь. Необходимо числитель разделить на знаменатель по правилу деления многочленов (это правило подробным образом рассматривается далее в разделе «Интегрирование рациональных дробей»).

.

Заметим, что в отличие от дифференцирования, где для нахождения производной использовались четкие приемы и методы, правила нахождения производной, наконец, определение производной, для интегрирования такие методы недоступны. Если при нахождении производной мы пользовались, так сказать, конструктивными методами, которые, базируясь на определенных правилах, приводили к результату, то при нахождении первообразной приходится в основном опираться на знания таблиц производных и первообразных.

Что касается метода непосредственного интегрирования, то он применим только для некоторых весьма ограниченных классов функций. Функций, для которых можно с ходу найти первообразную очень мало. Поэтому в большинстве случаев применяются способы, описанные ниже.

2) Метод замены переменных или метод подстановки. Данный метод основан на следующей теореме.

Теорема 2.1. Если первообразная функции , а – дифференцируемая функция, то функция также имеет первообразную, причем .

Доказательство.

По правилу дифференцирования сложной функции

, т.е. функция имеет в качестве одной из своих первообразных функцию . Следовательно, , что и требовалось доказать.

Поскольку , то

. (2.1)

По формуле (1.2.1) осуществляется замена переменной в неопределенном интеграле.

Пример 2.5. Найти неопределенный интеграл .

Решение.

Сделаем замену . Тогда данный интеграл сводится к интегралу .

Пример 2.6. Найти неопределенный интеграл .

Решение.

Замена Получаем:

.

Ниже будут рассмотрены другие примеры применения метода подстановки для различных типов функций.

3) Метод интегрирования по частям.

Метод основан на следующей формуле:

(2. 2)

Поскольку или . Проинтегрировав обе части последнего равенства и применив свойства неопределенного интеграла, получим требуемую формулу .

Формула интегрирования по частям позволяет находить интегралы многих элементарных функций. Она применяется к интегрированию выражений, которые можно так представить в виде произведения двух сомножителей и , чтобы отыскание функции по ее дифференциалу и вычисление интеграла составляли в совокупности задачу более простую, чем непосредственное вычисление интеграла . Умение разбивать разумным образом данное подынтегральное выражение на множители и вырабатывается в процессе решения задач. Мы покажем на ряде примеров как применяется данный метод.

Пример 2.7. Найти неопределенный интеграл .

Решение.

.

Замечание 2.1. При определении функции по дифференциалу мы можем брать любую произвольную постоянную, так как в конечный результат она не входит (что легко проверить, подставив в равенство (2. 2) вместо выражение ). Поэтому удобно считать эту постоянную равной нулю.

Метод интегрирования по частям применяется, как правило, при нахождении интегралов следующего вида:

, ,

, .

Также этот метод применяется к интегралам, содержащим некоторые обратные тригонометрические функции такие как .

Пример 2.8. Вычислим следующие неопределенные интегралы:

1)

.

2)

.

3)

= .

4)

.

5)

.

6) Рассмотрим так называемые «круговые интегралы», которые находятся дважды интегрированием по частям.

.

Видно, что в результате повторного применения интегрирования по частям функцию не удалось упростить к табличному виду. Однако, последний полученный интеграл ничем не отличается от исходного. Поэтому перенесем его в левую часть равенства. В результате имеем:

.

.

Таким образом, интеграл найден вообще без применения таблиц интегралов.

Прежде чем рассмотреть подробно методы интегрирования различных классов функций, приведем еще несколько примеров нахождения неопределенных интегралов приведением их к табличным интегралам. Среди них рассмотрим применение частного случая метода подстановки – «внесение функции под знак дифференциала».

Пример 2.9. Вычислим следующие неопределенные интегралы:

1)

.

2)

.

3)

.

4)

.

5)

.

Метод внесения функции под знак дифференциала был применен в первом, третьем и четвертом случаях примера 9.

Неопределенные интегралы – Photomath

Исследуйте Интегралы

Производные? Был там. Поиск производных? Сделано это.

А как же интегралы? Как насчет нахождения неопределенных интегралов?

Не волнуйтесь — вы у нас есть.

Что такое неопределенный интеграл?

Пусть $$f(x)$$ — функция. Первообразной $$f(x)$$ является любая функция $$F(x)$$ такая, что:

$$F'(x) = f(x)$$

Так как первообразных много одной функции, неопределенный интеграл от f дает нам все свои первообразные:

$${\int f(x) dx = F(x) + C}$$

где $$C$$ — любая константа, называемая константой интегрирования.

Хммм, ладно, но как нам найти этот интеграл?

Используем свойства и правила интегралов!

Свойства интегралов используются для упрощения процесса интегрирования путем разделения процедуры на несколько шагов. Вот список всех свойств и правил, которые вы захотите держать под рукой:

 

{\ простое число} (t) dt = \ int {f (x)} dx $ $
Постоянное кратное интегралов $$\int{(c\times f(x))}dx=c\times \int{f(x)}dx$$
Правило сумм для интегралов $$\int{(f(x) + g(x))}dx=\int{f(x)}dx + \int{g(x)}dx$$
Правило сумм для интегралов
Интеграция по частям $$\int{u}dv=uv-\int{v}du$$

Почему неопределенный интеграл так полезен?

Нахождение неопределенного интеграла — своего рода «первый шаг» во многих математических вычислениях, например, при решении дифференциальных уравнений или даже при нахождении определенного интеграла! 92}+C, C\in \mathbb{R}$$

Отличная работа!

Вы можете применить этот процесс к любой проблеме, которую выберете. Просто помните об этих шагах:

Резюме исследования

  1. Упростите выражение, если это возможно.
  2. Используйте свойства интеграла.
  3. Оцените интеграл.
  4. 9{4x}}{4}+C, C \in \mathbb{R}$$

    Нужна помощь? Были здесь! Просто отсканируйте проблему с помощью приложения Photomath, и мы поможем вам выполнить каждый шаг.

    Вот краткий обзор того, что вы увидите:

    /

    Есть домашнее задание по математике?

    Зайдите в приложение Photomath, чтобы быстро найти пошаговые решения всех ваших математических задач.

    Неопределенные интегралы — исчисление 2

    Все ресурсы исчисления 2

    9 Диагностические тесты 308 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept

    ← Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 … 25 26 Следующая →

    Исчисление 2 Помощь » Интегралы » Нахождение интегралов » Неопределенные интегралы

    Решите:  

    Возможные ответы:

    Правильный ответ:

    Пояснение:

    Неопределенный интеграл можно разбить на два отдельных интеграла.

    Вычислите каждый интеграл.

    Ответ на первый интеграл:  

    Будьте осторожны, так как ответ на   не  так как это производная от . Чтобы решить этот интеграл, нам нужно будет использовать интегрирование по частям.

    Если мы позволим, то получим путем дифференцирования, а если позволим, то получим путем интегрирования. Константу можно добавить в конце задачи.

    Напишите формулу интегрирования по частям.

    Подставьте члены в формулу.

    Упростите члены внутри интеграла и оцените.

    Ответ на второй интеграл:  

    Объедините два ответа. Константы  могут быть объединены в один постоянный термин  в конце.

    Ответ:  

    Сообщить об ошибке

    Оценка:  

    Возможные ответы:

    Правильный ответ:

    Объяснение:

    В этом интеграле необходимо заменить оба термина  и  .

    Если допустим , то  .

    Дифференциация  относительно .

    Подставим все члены обратно в интеграл.

    Термин также совпадает с , который может быть умножен в скобках. Упростите интеграл.

    Вычислите этот интеграл.

    Замена .

    Ответ:

    Сообщить об ошибке Объяснение:

    Знаменатель неприводим, а это значит, что мы не можем использовать частичные дроби для определения коэффициентов разделимых дробей. Единственный метод, который мы можем использовать, — это завершить квадрат и использовать тождество обратной тригонометрии.

    Заполните квадрат знаменателя. Это делается путем возведения в квадрат половины среднего члена, а затем вычитания этой цифры в конце.

    Разложите параболическую функцию в скобках и упростите.

    Перепишите интеграл и вытащите шестерку перед интегралом.

    Запишите интегральное свойство арктангенса.

    По этому правилу подставляем термины и упрощаем, чтобы получить термины и .

    Подставьте члены и в правило арктангенса.

    Рационализируйте знаменатель коэффициента.

    Если подставить это обратно в исходный интеграл, это означает, что:  

    Не забудьте умножить шесть, которая находится вне интеграла.

    Ответ:  

    Сообщить об ошибке

    Найти интеграл от

    Возможные ответы:

    Правильный ответ:

    Объяснение:

    Упрощение:

    Интеграция:

    Отчет о ошибке

    Возможные ответы:

    Правильный ответ:

    . Объяснение:

    Использование Интеграция по частям:

    =

    Сообщить об ошибке. Объяснение:

    Чтобы найти неопределенный интеграл, мы используем правило обратной степени, которое гласит:

    Для задачи в этом вопросе:0003

    Найдите неопределенный интеграл. Объяснение:

    Поскольку интегрирование является линейной операцией, мы можем антидифференцировать функцию почленно.

    Мы используем свойства, которые

    • Антипроизводная    равна  
    • Антипроизводная от    равна     

    решить неопределенный интеграл

    Сообщить об ошибке

    Вычислить следующий интеграл:

    Возможные ответы:

    Правильный ответ:

    2 9 Пояснение:

    Чтобы проинтегрировать, мы должны проинтегрировать по частям, по формуле

    Теперь выбираем наши u (из которых получаем du) и dv (из которых получаем v):

    Правила вывода и интегрирования:

    (Обратите внимание, что мы не включаем константу интегрирования. )

    Используйте приведенную выше формулу и проинтегрируйте:

    Интегрирование было выполнено по тому же правилу, что и выше.

     

    Сообщить об ошибке

    Вычислить неопределенный интеграл.

    Возможные ответы:

    Ни один из других ответов

    Правильный ответ:

    Объяснение:

    Этот интеграл можно вычислить с помощью разложения на неполные дроби следующим образом.

    . Старт

    . Полностью факторизовать знаменатель.

    Теперь используйте метод разложения на неполные дроби

    Умножьте обе части на  и упростите.

    Распределить .

    Приравняв подобные коэффициенты, мы можем переписать приведенное выше в виде системы уравнений

    Решая эту систему уравнений любым способом, получаем .

Оставить комментарий