Как находить первообразную функции примеры: Алгебра – 11 класс. Первообразная функция

Содержание

Алгебра – 11 класс. Первообразная функция

Дата публикации: .

Урок и презентация на тему: “Первообразная функция. График функции”

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.



Скачать: Первообразная функция (PPTX)

Первообразная функция. Введение


Ребята, вы умеем находить производные функций, используя различные формулы и правила. Сегодня мы будем изучать операцию, обратную вычислению производной. Понятие производной часто применяется в реальной жизни. Напомню: производная – это скорость изменения функции в конкретной точке. Процессы, связанные с движением и скоростью, хорошо описываются в этих терминах.

Давайте рассмотрим вот такую задачу: “Скорость движения объекта, по прямой, описывается формулой $V=gt$.

2}{2})’+c’=g*t+0=g*t$.

Ребята, обратите внимание: наша задача имеет бесконечное множество решений!
Если в задаче не задано начальное или какое-то другое условие, не забывайте прибавлять константу к решению. Например, в нашей задаче может быть задано положение нашего тела в самом начале движения. Тогда вычислить константу не трудно, подставив ноль в полученное уравнение, получим значение константы.

Как называется такая операция?
Операция обратная дифференцированию называется – интегрированием.
Нахождение функции по заданной производной – интегрирование.
Сама функция будет называться первообразной, то есть образ, то из чего была получена производная функции.
Первообразную принято записывать большой буквой $y=F'(x)=f(x)$.

Определение. Функцию $y=F(x)$ называется первообразной функции $у=f(x)$ на промежутке Х, если для любого $хϵХ$ выполняется равенство $F’(x)=f(x)$.

Давайте составим таблицу первообразных для различных функции. Ее надо распечатать в качестве памятки и выучить. {\frac{3x+1}{6}}$.
3. По заданному закону изменения скорости тела от времени $v=4cos(6t)$ найти закон движения $S=S(t)$, если в начальный момент времени тело имело координату равную 2.

Таблица первообразных и правила их нахождения

На этой странице вы найдёте:

1. Собственно, таблицу первообразных — её можно скачать в формате PDF и распечатать;

2. Видео, посвящённое тому, как этой таблицей пользоваться;

3. Кучу примеров вычисления первообразной из различных учебников и контрольных работ.

В самом видео мы разберём множество задач, где требуется посчитать первообразные функций, зачастую довольно сложных, но главное — не являющихся степенными. Все функции, сведённые в таблицу, предложенную выше, необходимо знать наизусть, подобно производным. Без них невозможно дальнейшее изучение интегралов и их применение для решения практических задач.

Сегодня мы продолжаем заниматься первообразными и переходим у чуть более сложной теме. Если в прошлый раз мы рассматривали первообразные только от степенных функций и чуть более сложных конструкций, то сегодня мы разберем тригонометрию и многое другое.

Как я говорил на прошлом занятии, первообразные в отличие от производных, никогда не решаются «напролом» с помощью каких-либо стандартных правил. Более того, плохая новость состоит в том, что в отличие от производной, первообразная вообще может не считаться. Если мы напишем совершенно случайную функцию и попытаемся найти ее производную, то это с очень большой вероятностью у нас получится, а вот первообразная практически никогда в этом случае не посчитается. Но есть и хорошая новость: существует довольно обширный класс функций, называемых элементарными, первообразные от которых очень легко считаются. А все прочие более сложные конструкции, которые дают на всевозможных контрольных, самостоятельных и экзаменах, на самом деле, составляются из этих элементарных функций путем сложения, вычитания и других несложных действий.

{2}}}}\]

\[M=\left( \frac{1}{2};\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ } \right)\]

Здесь также речь идет о тригонометрических функциях. Если мы посмотрим в таблицу, то, действительно, так и получится:

\[F\left( x \right)=\arcsin x+C\]

Нам нужно среди всего множества первообразных найти ту, которая проходит через указанную точку:

\[\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }=\arcsin \frac{1}{2}+C\]

\[\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }=\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6}+C\]

\[C=\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }-\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6}=\frac{6\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }-\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6}=\frac{5\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6}\]

Давайте окончательно запишем:

\[F\left( x \right)=\arcsin x+\frac{5\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6}\]

Вот так все просто. Единственная проблема состоит в том, для того чтобы считать первообразные простых функций, нужно выучить таблицу первообразных. Однако после изучения таблицы производных для вас, я думаю, это не будет проблемой.

{2}}+1}\]

Теперь найдем то, что искали:

\[F\left( x \right)=x-\text{arctg}x+C\]

Вот и все вычисления. Несмотря на кажущуюся большую сложность, чем в предыдущей задаче, объем вычислений получился даже меньшим.

Нюансы решения

И вот в этом кроется основная сложность работы с табличными первообразными, особенно это заметно на второй задаче. Дело в том, что для того чтобы выделить какие-то элементы, которые легко считаются через таблицу, нам нужно знать, что конкретно мы ищем, и именно в поиске этих элементов и состоит все вычисление первообразных.

Другими словами, недостаточно просто зазубрить таблицу первообразных — нужно уметь видеть что-то, чего пока еще нет, но что подразумевал автор и составитель этой задачи. Именно поэтому многие математики, учителя и профессора постоянно спорят: «А что такое взятие первообразных или интегрирование — это просто инструмент либо это настоящее искусство?» На самом деле, лично на мой взгляд, интегрирование — это никакое не искусство — в нем нет ничего возвышенного, это просто практика и еще раз практика.

{x}}}{\ln \frac{3}{2}}+C\]

Несмотря на кажущуюся большую сложность показательных функций по сравнению со степенными, общий объем вычислений и выкладок получился гораздо проще.

Конечно, для знающих учеников то, что мы только что разобрали (особенно на фоне того, что мы разобрали до этого), может показаться элементарными выражениями. Однако выбирая именно две эти задачи для сегодняшнего видеоурока, я не ставил себе цель рассказать вам еще один сложный и навороченный прием — все, что я хотел вам показать, так это то, что не стоит бояться использовать стандартные приемы алгебры для преобразования исходных функций.

Использование «секретного» приема

В заключение хотелось бы разобрать еще один интересный прием, который, с одной стороны выходит за рамки того, что мы сегодня в основном разбирали, но, с другой стороны, он, во-первых, отнюдь не сложный, т.е. его могут освоить даже начинающие ученики, а, во-вторых, он довольно часто встречается на всевозможных контрольных и самостоятельных работах, т.

{n}}\]

Это то самое выражение, которое изначально и было. Таким образом, эта формула тоже верна, и ею можно дополнить таблицу первообразных, а лучше просто запомнить всю таблицу.

Выводы из «секретного: приема:

  • Обе функции, которые мы только что рассмотрели, на самом деле, могут быть сведены к первообразным, указанным в таблице, путем раскрытия степеней, но если с четвертой степенью мы еще более-менее как-то справимся, то вот девятую степень я бы вообще не рискнул раскрывать.
  • Если бы мы раскрыли степени, то мы бы получили такой объем вычислений, что простая задача заняла бы у нас неадекватно большое количество времени.
  • Именно поэтому такие задачи, внутри которых стоят линейные выражения, не нужно решать «напролом». Как только вы встречаете первообразную, которая отличается от той, что в таблице, лишь наличием выражения $kx+b$ внутри, сразу вспоминайте написанную выше формулу, подставляйте ее в вашу табличную первообразную, и все у вас получится намного быстрее и проще.

Естественно, в силу сложности и серьезности этого приема мы еще неоднократно вернемся к его рассмотрению в будущих видеоуроках, но на сегодня у меня все. Надеюсь, этот урок действительно поможет тем ученикам, которые хотят разобраться в первообразных и в интегрировании.

До новых встреч!

Смотрите также:

  1. Первообразная функции
  2. Интегрирование по частям
  3. Пробный ЕГЭ 2012. Вариант 3 (без логарифмов)
  4. Что такое ЕГЭ по математике 2011 и как его сдавать
  5. Что такое ЕГЭ по математике 2012
  6. Быстрое возведение чисел в квадрат без калькулятора

Первообразная и интеграл: формулы с примерами решения

Ранее вы ознакомились с операцией дифференцирования: нахождения производной по данной функции. Не менее важна и обратная ей операция — интегрирование: нахождение функции по её производной.

Пусть дано функцию такую, что в каждой точке х некоторого промежутка . В этом случае функцию f(x) называют производной функции F(x), a — первообразной для f(x).

Функция F(x) называется первообразной функции на промежутке , если для каждого значения х из этого промежутка F'(x) = f(x).

Например, на всей числовой оси (т. е. на R] функция F(x) = является первообразной для f(x) = 2х, ибо = 2х; F(x) = sin х есть первообразной для f(x) = cos х, ибо (sin х)’ = cos х.

Функция F(x) является первообразной для например на [1; 5]. Но не на R, поскольку F'(O) не существует, и не на , поскольку это не промежуток.

Одна ли функция является первообразной для Нет. Ведь и и и т. д. Каким бы ни было число С (произвольная постоянная), функция — первообразная для, ибо ()

Существуют ли другие функции, отличные от , первообразные для ? Нет.

Теорема. (Основное свойство первообразных.) Каждая первообразная для функции ) имеет вид F(x) + С, где — одна из этих первообразных, а С — произвольная постоянная.

Доказательство 1. Пусть—одна из первообразных для функции на промежутке , т. е. для каждого :.

По правилу нахождения производной суммы

Этим доказано» что какая бы ни была постоянная С, если — первообразная для , то и — первообразная для

Пусть и — две любые первообразные для функции

на промежутке, т. е. и для каждого . Тогда

Как видим, функция такая, что в каждой точке её производная равна 0.

Такое свойство имеет только определённая на функция, которая ни возрастает, ни убывает на этом промежутке. Ведь если бы на некоторой части промежутка эта функция возрастала или убывала, то там её производная была бы соответственно положительная или отрицательная. (Подробнее обоснование этого факта даётся в строгих курсах математического анализа.) Итак, , где С — постоянная, т. е. .

Этим доказано, что если — одна из первообразных для функции , то каждая из функций также её первообразная и других первообразных для ) не существует. Геометрически это означает, что графики любых двух первообразных для функции такие, что их можно совместить параллельным переносом вдоль оси ординат (рис. 102).

общий вид первообразных для функции .

Каждая первообразная рассматривается на некотором промежутке. Если же для краткости его не указывают, то имеют в виду промежуток максимально возможной длины. В частности, если функция ) определена на и промежуток не указано, то речь идет о её первообразной также на .

Операцию нахождения производной данной функции называют дифференцированием. Обратная ей операция — нахождение первообразной — называется интегрированием.

Используя формулы дифференцирования (с. 218), составим таблицу первообразных. Советуем запомнить её.

Обосновать эту таблицу можно дифференцированием функции из её второй строки. Пользуясь таблицей, можно сразу писать, что, например, для функции первообразной есть и т.д.

Множество всех первообразных функции часто называют неопределённым интегралом этой функции и обозначают символом (читают: интеграл эф от икс де икс).

Выражение «проинтегрировать функцию» обозначает то же, что и «найти первообразную для функции » .

То есть, если — первообразная для функции , а —произвольное число, то .

Слово интеграл в переводе с латинского языка означает целый. Почему его так назвали, вы поймёте, когда ознакомитесь с определённым интегралом (см. с. 241).Неопределённым его называют потому, что он при заданной функции и данном значении имеет не одно числовое значение, а бесконечно много.

Таблицу первообразных, с помощью символа неопредёлен-ного интеграла можно записать так:

Примеры с решением
Пример №1

Докажите, что функция является первообразной для функции .

Доказательство..

Имеем . Итак, по определению, функция — первообразная для функции

Пример №2

Найдите первообразную для функции : а) ; б) ;

Решение:

Воспользуемся таблицей первообразных.

а) Первообразной для функции есть функция .

Для функции , поэтому .


б) Первообразной для функции есть функция

Для функции поэтому .

Пример №3

Найдите для функции такую первообразную, чтобы её график проходил через точку Р (2; 5).

Решение:

Пользуясь таблицей, найдём общий вид первообразных: Поскольку график искомой первообразной проходит через точку Р (2; 5), то , отсюда С = 3.

Следовательно, .

Ответ..

Пример №4

Проинтегрируйте функцию .

Решение:

Нахождение первообразных

Выведем несколько правил, подобных правилам дифференцирования, которые облегчают нахождение первообразных.

I. Если и — первообразные для функций ) и, то — первообразная для функции .

Действительно, если и . то

. Если — первообразная для функции , a — произвольное число, то — первообразная для функции .

Ведь .

Если —первообразная для функции , a ,b — произвольные числа , то — первообразная для функции .

»

Ведь

Пример №5

Найдите первообразную для функции:

а) ; б) ; в) .

Решение:

а) Для функций и первообразными являются соответственно и .

Поэтому для суммы данных функций общий вид первообразных


б) По правилу II: .

в) Одной из первообразных для функции ,согласно правилу III, является функция . Общий вид первообразных для данной функции

К нахождению первообразных сводятся прежде всего задачи, обратные тем, которые решаются с помощью производной. Рассмотрим пример..

Если известен закон прямолинейного движения тела ,то для нахождения его скорости в момент t нужно найти производную: . Здесь дан закон движения и требуется найти его скорость. Для механики не менее важно уметь решать обратную задачу: по заданной в каждый момент скорости определять закон движения.

Задача №1.

Точка движется прямолинейно с переменной скоростью . За перые 4 с она прошла 80 м. Найдите закон движения точки.

Решение:

Искомый закон движения выражается такой функцией, что . Здесь s(t) — первообразная для функции . Общий вид всех таких первообразных . Поскольку за 4 с точка прошла 80м, то 80 = 5-16 + С, отсюда С = 0.

Ответ. Искомый закон движения точки , где t — время в секундах, — расстояние в метрах.

Примеры других применений первообразной рассмотрим в следующих параграфах.

С помощью неопределённого интеграла правила интегрирования записываются так:

Пример №6

Найдите одну из первообразных для функции:

а); б).

Решение:

а) Для функции одной из первообразных есть функция . Учитывая то, что первообразной для функции есть функция , запишем искомую первообразную: ;

б) преобразуем сначала формулу, задающую функцию:

Тогда .

Пример №7

Тело движется прямолинейно с ускорением .

Определите скорость данного движения как функцию от времени f, если в момент t = 0 она равнялась 3 м/с.

Решение:

Ускорение — производная скорости. Поэтому если — искомая скорость, то . Следовательно,) — первообразная для функции , поэтому . Поскольку , то .

Ответ. .

Первообразная и площадь криволинейной трапеции

Пусть на координатной плоскости задан график непрерывной функции , принимающей на промежутке [а; Ь) только неотрицательные значения. Фигуру, ограниченную таким графиком, осью абсцисс и прямыми х = а и х = Ь, называют криволинейной трапецией.

Криволинейную трапецию называют также под графиком функции на [а; Ь].

Несколько криволинейных трапеций изображено на (рис. 105).

Каждая криволинейная трапеция имеет определённую площадь (это доказано в строгих курсах математического анализа). Эти площади можно находить с помощью первообразных.

Теорема. Площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции ) на промежутке [а; Ь], равна , где — первообразная для функции на [а; b].

Доказательство. Рассмотрим произвольную криволинейную трапецию, образованную графиком функции на (риc. 106). Пусть х — произвольная точка отрезка , а S(x) — площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции на . Понятно, что — функция от х. Докажем, что для каждого .

Дадим переменной х приращение , тогда функция получит приращение (pиc. 107). Это — площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции на промежутке , она приближённо равна площади прямоугольника с основанием , и высотой f(t), где t — некоторое число из промежутка . Поскольку функция f(x) непрерывна, такое число t обязательно найдётся.

Следовательно, откуда .

Если , то и , ибо функция непрерывна. Поэтому если , то , т. е. .

Как видим, функция S(x) — первообразная для на [а; Ь]. Поэтому если F(x) — какая-либо другая первообразная для ) на [a; b], то S(x) = F(x) + С, где С — постоянная. Чтобы определить С, учтём, что S(a) 0, ибо при х а криволинейная трапеция, образованная графиком функции f(x) на [a; х], вырождается в отрезок; его площадь равна 0. Имеем: 0 = F(a) + С, отсюда С = -F(a). Следовательно,= F(х) — F(a). Если в это равенство подставим значение х = Ь, то получим площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции f(x) на [а; Ь]:

Значение выражения F(b) — F(a) вычисляют часто, поэтому для удобства его записывают ещё и так:..Итак, формула (1) приобретает вид:

Задача №2.

Найдите площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции на промежутке [1; 3].

Решение:

На (рис) 108 изображена фигура, площадь которой нужно найти. Для функции первообразной есть . Следовательно, искомая площадь

Задача №3.

Найдите площадь фигуры, ограниченной одной аркой синусоиды и осью абсцисс (риc. 109).

Решение:

Надо найти площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции на промежутке . Для функции первообразной есть функция . Следовательно, искомая площадь= 1 — (-1) — 2 (кв. ед.).

Пользуясь термином «криволинейная трапеция следует иметь в виду, что «криволинейная трапеция» не всегда является трапецией (риc. 109) и не всегда она криволинейная(риc. 105, б). А вообще она — не геометрическая фигура в научном понимании. Любое движение отображает каждую фигуру на равную ей фигуру такого же вида. А если «криволинейную трапецию *, например, изображенную на (рис 108), повернуть на 90°, она отображается на фигуру, которая не является криволинейной трапецией. Поэтому вместо «криволинейная трапеция» говорят и пишут «подграфик функции».

Задача №4.

Найдите площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции у = х на [0; 2].

Решение:

Данная криволинейная трапеция — прямоугольный треугольник с катетами 2 и 2 (риc. 110). Его площадь (кв. ед.).

Ответ. 2кв. ед.

Задача №5.

Найдите площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции у -3 на [1,2].

Заданная криволинейная трапеция — прямоугольник с измерениями 1 и 3 (риc. 111). Его площадь (кв. ед.).

Ответ. 3 кв. ед.

Задача №6.

Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции и осью абсцисс.

Решение:

Найдем абсциссы точек пересечения графика данной функции с осью Ох. В этих точках ордината функции равна нулю:, отсюда , (риc. 112). Значит, надо найти площадь криволинейной трапеции, образованной

графиком функции на [-2; 2].Одна из первообразных для данной функции.Поэтому искомая площадь кв,ед.

Ответ. кв.ед.

Определённый интеграл

Рассмотрим другой подход к определению площади криволинейной трапеции.

Пусть дана криволинейная трапеция, образованная графиком функции f(x) на [a;b] (рис. 117). Разобьём отрезок [а; Ь] точками на n равных отрезков:

Построим на первом из этих отрезков прямоугольник высотой , на втором — прямоугольник высотой ,…, на nм — прямоугольник высотой . В результате получим ступенчатый многоугольник, составленный из n прямоугольников. Пусть основание каждого из построенных прямоугольников равно ; тогда площадь всего ступенчатого многоугольника

Суммы такого вида называют интегральными суммами функции f(x) на [а; Ь]. Полученную интегральную сумму можно считать приближённым значением площади S криволинейной трапеции, образованной графиком функции f(x) на [а; Ь]. При этом если то (риc. 118). Пишут: .

He только задача о нахождении площади криволинейной трапеции, но и много других важных прикладных задач приводят к вычислению пределов подобных интегральных сумм. Поэтому для такого понятия введено специальное название и обозначение.

Предел интегральной суммы функции f(x) на отрезке [а; Ь], если , называют определённым интегралом функции f(x) от а до Ь.

Его обозначают символом (читают: интеграл от а до b эф от икс де икс). Здесь числа а и b пределы интегрирования, — знак интеграла, f(x) — подинтегральная функция, хпеременная интегрирования.

Следовательно, площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции f(x) на [а; Ь], равна , т. е.. Как доказано в предыдущем пункте, эта площадь равна , где — первообразная для функции f(x). Поэтому

Это — формула Ньютона—Лейбница, основная формула математического анализа. Она даёт возможность решать много разных интересных и содержательных задач — абстрактных и прикладных, в частности — и очень важных. Решали такие задачи сотни математиков еще задолго до создания математического анализа. Но для каждой задачи раньше они находили отдельный оригинальный способ решения. Найдя и обосновав формулу Ньютона—Лейбница, учёные получили общий и очень эффективный способ решения таких задач. Не случайно открытие формулы Ньютона—Лейбница специалисты считают самым важным открытием XVII века.Рационализировать вычисления определённых интегралов часто помогает такое их с в о й с т в о:

Справедливость этой формулы вытекает из следующих преобразований:

Задача №7.

Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций и

Решение:

Построим графики данных функций (рис. 119). Надо найти площадь закрашенной фигуры. Она равна разности площадей фигур ОВАК и ОВАР. Границы интегрирования — абсциссы точек О и А, в которых пересекаются графики функций, т. е. значения х удовлетворяющие системе уравнений и . Из системы получим уравнение корни которого и

Следовательно, искомая площадь

Ответ. кв. ед.

Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:

Предмет высшая математика

Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:

Понятие первообразной. Алгебра, 11 класс: уроки, тесты, задания.

1. Первообразная для функции

Сложность: лёгкое

1
2. Первообразная тригонометрической функции

Сложность: лёгкое

1
3. Первообразные степенной функции

Сложность: лёгкое

1
4. Первообразные дробной функции

Сложность: среднее

4
5. Первообразные функции, содержащей квадратные корни

Сложность: среднее

4
6. Первообразные сложной функции

Сложность: среднее

4
7. Первообразные сложной тригонометрической функции

Сложность: среднее

3
8. Первообразные тригонометрической функции

Сложность: среднее

3
9. Разность первообразных

Сложность: сложное

2
10. Закон движения точки

Сложность: сложное

4
11. Первообразная функции, содержащей квадратный корень, график кот. проходит через данную точку

Сложность: сложное

4

Mathway | Популярные задачи

1 Trovare la Derivata – d/dx натуральный логарифм x
2 Вычислим интеграл интеграл натурального логарифма x по x
3 Trovare la Derivata – d/dx e^x
4 Вычислим интеграл интеграл e^(2x) относительно x
5 Trovare la Derivata – d/dx 1/x
6 Trovare la Derivata – d/dx x^2
7 Trovare la Derivata – d/dx 1/(x^2)
8 Trovare la Derivata – d/dx sin(x)^2
9 Trovare la Derivata – d/dx sec(x)
10 Вычислим интеграл интеграл e^x относительно x
11 Вычислим интеграл интеграл x^2 относительно x
12 Вычислим интеграл интеграл квадратного корня x по x
13 Trovare la Derivata – d/dx cos(x)^2
14 Вычислим интеграл интеграл 1/x относительно x
15 Вычислим интеграл интеграл sin(x)^2 относительно x
16 Trovare la Derivata – d/dx x^3
17 Trovare la Derivata – d/dx sec(x)^2
18 Вычислим интеграл интеграл cos(x)^2 относительно x
19 Вычислим интеграл интеграл sec(x)^2 относительно x
20 Trovare la Derivata – d/dx e^(x^2)
21 Вычислим интеграл интеграл в пределах от 0 до 1 кубического корня 1+7x по x
22 Trovare la Derivata – d/dx sin(2x)
23 Trovare la Derivata – d/dx tan(x)^2
24 Вычислим интеграл интеграл 1/(x^2) относительно x
25 Trovare la Derivata – d/dx 2^x
26 График натуральный логарифм a
27 Trovare la Derivata – d/dx cos(2x)
28 Trovare la Derivata – d/dx xe^x
29 Вычислим интеграл интеграл 2x относительно x
30 Trovare la Derivata – d/dx ( натуральный логарифм x)^2
31 Trovare la Derivata – d/dx натуральный логарифм (x)^2
32 Trovare la Derivata – d/dx 3x^2
33 Вычислим интеграл интеграл xe^(2x) относительно x
34 Trovare la Derivata – d/dx 2e^x
35 Trovare la Derivata – d/dx натуральный логарифм 2x
36 Trovare la Derivata – d/dx -sin(x)
37 Trovare la Derivata – d/dx 4x^2-x+5
38 Trovare la Derivata – d/dx y=16 корень четвертой степени 4x^4+4
39 Trovare la Derivata – d/dx 2x^2
40 Вычислим интеграл интеграл e^(3x) относительно x
41 Вычислим интеграл интеграл cos(2x) относительно x
42 Trovare la Derivata – d/dx 1/( квадратный корень x)
43 Вычислим интеграл интеграл e^(x^2) относительно x
44 Вычислить e^infinity
45 Trovare la Derivata – d/dx x/2
46 Trovare la Derivata – d/dx -cos(x)
47 Trovare la Derivata – d/dx sin(3x)
48 Trovare la Derivata – d/dx 1/(x^3)
49 Вычислим интеграл интеграл tan(x)^2 относительно x
50 Вычислим интеграл интеграл 1 относительно x
51 Trovare la Derivata – d/dx x^x
52 Trovare la Derivata – d/dx x натуральный логарифм x
53 Trovare la Derivata – d/dx x^4
54 Оценить предел предел (3x-5)/(x-3), если x стремится к 3
55 Вычислим интеграл интеграл от x^2 натуральный логарифм x по x
56 Trovare la Derivata – d/dx f(x) = square root of x
57 Trovare la Derivata – d/dx x^2sin(x)
58 Вычислим интеграл интеграл sin(2x) относительно x
59 Trovare la Derivata – d/dx 3e^x
60 Вычислим интеграл интеграл xe^x относительно x
61 Trovare la Derivata – d/dx y=x^2
62 Trovare la Derivata – d/dx квадратный корень x^2+1
63 Trovare la Derivata – d/dx sin(x^2)
64 Вычислим интеграл интеграл e^(-2x) относительно x
65 Вычислим интеграл интеграл натурального логарифма квадратного корня x по x
66 Trovare la Derivata – d/dx e^2
67 Trovare la Derivata – d/dx x^2+1
68 Вычислим интеграл интеграл sin(x) относительно x
69 Trovare la Derivata – d/dx arcsin(x)
70 Оценить предел предел (sin(x))/x, если x стремится к 0
71 Вычислим интеграл интеграл e^(-x) относительно x
72 Trovare la Derivata – d/dx x^5
73 Trovare la Derivata – d/dx 2/x
74 Trovare la Derivata – d/dx натуральный логарифм 3x
75 Trovare la Derivata – d/dx x^(1/2)
76 Trovare la Derivata – d/[email protected] f(x) = square root of x
77 Trovare la Derivata – d/dx cos(x^2)
78 Trovare la Derivata – d/dx 1/(x^5)
79 Trovare la Derivata – d/dx кубический корень x^2
80 Вычислим интеграл интеграл cos(x) относительно x
81 Вычислим интеграл интеграл e^(-x^2) относительно x
82 Trovare la Derivata – d/[email protected] f(x)=x^3
83 Вычислим интеграл интеграл 4x^2+7 от 0 до 10 относительно x
84 Вычислим интеграл интеграл от ( натуральный логарифм x)^2 по x
85 Trovare la Derivata – d/dx логарифм x
86 Trovare la Derivata – d/dx arctan(x)
87 Trovare la Derivata – d/dx натуральный логарифм 5x
88 Trovare la Derivata – d/dx 5e^x
89 Trovare la Derivata – d/dx cos(3x)
90 Вычислим интеграл интеграл x^3 относительно x
91 Вычислим интеграл интеграл x^2e^x относительно x
92 Trovare la Derivata – d/dx 16 корень четвертой степени 4x^4+4
93 Trovare la Derivata – d/dx x/(e^x)
94 Оценить предел предел arctan(e^x), если x стремится к 3
95 Вычислим интеграл интеграл (e^x-e^(-x))/(e^x+e^(-x)) относительно x
96 Trovare la Derivata – d/dx 3^x
97 Вычислим интеграл интеграл xe^(x^2) относительно x
98 Trovare la Derivata – d/dx 2sin(x)
99 Вычислить sec(0)^2
100 Trovare la Derivata – d/dx натуральный логарифм x^2

Внеклассный урок – Первообразная. Интегрирование

Первообразная. Интегрирование.

 

Первообразная.

Первообразную легко понять на примере.

Возьмем функцию у = х3. Как мы знаем из предыдущих разделов, производной от х3 является 3х2:

(х3)’ = 3х2.

Следовательно, из функции у = х3 мы получаем новую функцию: у = 3х2.
Образно говоря, функция у = х3 произвела функцию у = 3х2 и является ее «родителем». В математике нет слова «родитель», а есть родственное ему понятие: первообразная.

То есть: функция у = х3 является первообразной для функции у = 3х2.

Определение первообразной:

Если F‘(x) = f(x), то функцию у = F(x) называют первообразной для функции у =  f(x).

В нашем примере (х3)’ = 3х2, следовательно у = х3 – первообразная для у = 3х2.

 

Интегрирование.

Как вы знаете, процесс нахождения производной по заданной функции называется дифференцированием. А обратная операция называется интегрированием.

Интегрирование – это процесс нахождения функции по заданной производной.

 
Приведенный выше пример как раз является примером интегрирования: по производной (х3)’ мы вычислили функцию у = 3х2.

 

Правила и формулы для первообразной.

(1)

Первообразная суммы равна сумме первообразных.

 

Пример-пояснение:

Найдем первообразную для функции у = 3х2 + sin x.

Решение:

Мы знаем, что первообразной для 3х2 является х3.

Первообразной для sin x является –cos x.

Складываем два первообразных и получаем первообразную для заданной функции:

у = х3 + (–cos x),

у = х3 – cos x.

Ответ:
для функции у = 3х2 + sin x первообразной является функция у = х3 – cos x.

 

(2)

kF(x) является первообразной для kf(x), если F(x) является первообразной для f(x).

 

Пример-пояснение:

Найдем первообразную для функции у = 2 sin x.

Решение:

Замечаем, что k = 2. Первообразной для sin x является –cos x.

Следовательно, для функции у = 2 sin x первообразной является функция у = –2 cos x.
Коэффициент 2 в функции у = 2 sin x соответствует коэффициенту первообразной, от которой эта функция образовалась.

 

(3)

Если  у = F(x) является первообразной для функции y = f(x), то для функции y = f(kx + m) первообразной является функция:

                                                                             1
                                                                      y = — F (kx + m)
                                                                             k

 

Пример-пояснение:

Найдем первообразную для функции y = sin 2x.

Решение:

Замечаем, что k = 2. Первообразной для sin x является –cos x.

Применяем нашу формулу при нахождении первообразной для функции y = cos 2x:

       1
y = — · (–cos 2x),
       2

            cos 2x
y = – ————
               2

                                                                                                                       cos 2x
Ответ: для функции y = sin 2x первообразной является функция y = – ————
                                                                                                                           2


(4)

Если у = F(x) является первообразной для функции y = f(x), то функция y = f(x) имеет бесконечное множество первообразных, имеющих вид:

y = F(x) + C

 

Пример-пояснение.

Возьмем функцию из предыдущего примера: y = sin 2x.

Для этой функции все первообразные имеют вид:

            cos 2x
y = – ———— + C.
               2

 

Пояснение.

Возьмем первую строчку. Читается она так: если функция y = f(x) равна 0, то первообразной для для нее является 1. Почему? Потому что производная единицы равна нулю: 1′ = 0.

В таком же порядке читаются и остальные строчки.

Как выписывать данные из таблицы? Возьмем восьмую строчку:

(-cos x)’ = sin x

Пишем вторую часть со знаком производной, затем знак равенства и производную.

Читаем: первообразной для функции sin x является функция -cos x.

Или: функция -cos x является первообразной для функции sin x.

 

Одновременное изучение производной и первообразной функции

Одновременное изучение производной и первообразной функции
Л. Саютина,
школа № 104 “ЮНЕСКО”,
г. Челябинск
производной и первообразной функции

Взаимообратные действия, к которым относятся вычисление производной и первообразной, должны изучаться по возможности одновременно и совместно, на одном уроке и на одной странице тетради.

Психологическая полнота ассоциации достигается в системе упражнений общностью приемов вычислений, формул, таблиц.

Первое задание – вычисление производной – дается, а второе – вычисление первообразной – проверяет решение первой задачи, так как известное в первой задаче становится неизвестным, искомым во второй задаче. За счет всего этого идет саморазвитие мысли ученика, творчество, меньше делается ошибок при вычислении первообразной, что часто бывает при раздельном изучении этих тем; кроме того, экономится время.

До одновременного изучения производной и первообразной обязательно нужно дать историческую справку о дифференциальном и интегральном исчислениях; объяснить смысл предела функции, понятия приращения функции, аргумента, понятия средней скорости изменения функции, мгновенной скорости изменения функции.

Производная

1. Определение. Производной функции f(x) в точке x0 называется предел (если он существует) отношения приращения функции Df(x) в этой точке к приращению Dx аргумента, когда Dx стремится к нулю

2. Вычисление производной из определения.

  • Находим приращение функции в точке x0  D f = f(x0 + Dx) – f(x0)

или в точке x  D f = f(x + Dx) – f(x).

  • находим разностное отношение
  • Вычисляем предел этого отношения при  Dx ® 0 (если он существует)

Пример. f(x) = . Найти f  ‘(x)

Решение.

.

3. Правила вычисления производных.

  • Производная суммы двух или нескольких функций равна сумме производных этих функций, если производные всех слагаемых существуют.

 

Пример 1. f  ‘(x) = (x2 + x + 2) ‘ = (x2) ‘ + (x) ‘ + 2 ‘ = 2x + 1 + 0 = 2x + 1.

Пример 2. –

или можно

  • Производная степенной функции f(x) = xn, где n О Z, равна произведению показателя n на степень xn–1, т. е.

(xn) ‘ = nxn–1.

(Доказательство методом математической индукции.)

Пример 1.  

 

  • Производная произведения вычисляется по формуле (fg) ‘ = f ‘g + g ‘f, если каждая из производных f  ‘ и g ‘ существует.

Пример 1. f  ‘(x) = (x2(x3 + 1)) ‘ = x2(x3 + 1) ‘ + (x3 + 1)(x2) ‘ = x2*3x2 + (x3 + 1)*2x = 3x4 + 2x4 + 2x = 5x4 + 2x.

Пример 2. F ‘(x) = (2x2 – 3x + C) ‘ = (2x2) ‘ – (3x) ‘ + C ‘ = 2(x2) ‘ – 3(x) ‘ + 0 = 2*2x – 3 = 4x – 3 = f(x).

  • Производная сложной функции.

Если функция f имеет производную в точке x0, а функция g имеет производную в точке y0 = f(x0), то сложная функция h(x) = g(f(x)) имеет производную в точке x0, при этом   h ‘(x0) = g ‘(f(x0))*f  ‘(x0).

Пример 1. h(x) = (3x – 1)5, Обозначим 3x – 1 = y, тогда h(x) = y5.

y ‘(x) = (3x – 1) ‘ = 3, hy ‘ = 5y4.

Тогда  h ‘(x) = 5(3x – 1)4*3 = 15(3x – 1)4  или проще h ‘(x) = ((3x – 1)5) ‘ = 5(3x – 1)4(3x – 1)’ = 3*5(3x – 1)4 = 15(3x – 1)4.

Пример 2.

Решение.

Пример 3. h(x) = (2x + 3)100,

h ‘(x) = ((2x + 3)100) ‘ = 100(2x + 3)99(2x + 3)’ = 100(2x + 3)99*2 = 200(2x + 3)99.

Первообразная

1. Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на заданном промежутке J, если для всех x из этого промежутка выполняется равенство F ‘(x) = f(x).

Нахождение первообразной – интегрирование – операция, обратная операции дифференцирования.

2. Алгоритм вычисления первообразной. Любая первообразная для функции f(x) на промежутке J может быть записана в виде F(x) + C, где F(x) – одна из первообразных для функции f(x) на промежутке J, а C – постоянная.

  • F(x) – первообразная для f(x), следовательно, по определению F ‘(x) = f(x) для ” x О J.

Тогда (F(x) + C) ‘ = F ‘(x) + C ‘ = f(x) + 0 = f(x), т. е. F(x) + C – тоже первообразная для f(x).

Пример 1. Для функции на интервале (0; + Ґ) найти первообразную.

Решение. Первообразной для является функция

так как

Пример 2. Известны значения производных, найти сами функции:

(   ) ‘ = 2; (   ) ‘ = x2; (   ) ‘ = 2x;

(   ) ‘ = 1; (   ) ‘ = x3;

(   ) ‘ = x3 + x2 + 1; (   ) ‘ = x + 3,5.

3. Правила нахождения первообразных.

  • Первообразная суммы двух или нескольких функций равна сумме первообразных этих функций на данном промежутке.

Пример 1. f(x) = 2x + 1. F(x) – ?

Решение. где C может быть равно 2.

Пример 2.

Решение.

  • Первообразная степенной функции f(x) = xn, где n О Z, равна

так как

Пример 1.

Решение.

Пример 2.

Решение.

Постоянный множитель можно выносить за знак производной/первообразной. Пусть k – постоянное число.

(kf) ‘ = k ‘f + f ‘k = 0*f + kf ‘ = kf ‘, т. е. (kf) ‘ = kf ‘.

F ‘(x) = f(x), то kF – первообразная для kf, так как (kF) ‘ = kF ‘ = kf.

Пример 1. f(x) = 5x4 + 2x. F(x) – ?

Решение.

x2(x3 + 1) + C, так как F ‘(x) = f(x).

Пример 2. f(x) = 4x – 3. F(x) – ?

Решение.

  • Первообразная сложной функции.

Если F(x) есть первообразная для f(x), а k и b – постоянные, причем

есть одна из первообразных для f(kx + b).

Если F ‘(x) = f(x), то по правилу нахождения производной сложной функции:

f(kx + b).

Пример 1. f(x) = 15(3x – 1)4. F(x) – ?

Решение.

(3x – 1)5 + C, так как F ‘(x) = f(x).

Пример 2.

Решение.

Для первообразной является а функция f(x) –

Пример 3. f(x) = 200(2x + 3)99. F(x) – ?

Исходя из рассмотренных правил и аналогично разобранным примерам составим таблицу нахождения производных и первообразных элементарных функций:


Затем изучается применение производной в физике, геометрии, для исследования функций, а также применение первообразной в вычислении площади криволинейной трапеции.

Первоначальное: правила, формулы и примеры – видео и стенограмма урока

Формула первообразной

Теперь, когда мы понимаем физическую основу первообразной, пришло время раскрыть формулу, которую мы будем использовать для их вычисления. Использовать эту формулу для поиска первообразной функции довольно просто, потому что вам не нужно беспокоиться о том, как выглядит ее график. А для нетригонометрических функций это действительно довольно просто:

Возможно, вы впервые видите некоторые из этих обозначений.В математике f (x) – это просто общий способ обозначения функции. a используется в качестве заполнителя для любого постоянного числа, а n обозначает показатель степени. Термин C также является постоянным, но он служит другой цели, которая будет объяснена позже в уроке. Наконец, мы используем F (x) для представления первообразной функции f (x).

Первый пример

Пришло время для нашего первого момента «эй, я только что провел вычисления».Давайте воспользуемся этой новой формулой в примере задачи.

Пример 1: Учитывая функцию f (x) = 3x², найдите F (x).

Решение. Помните, что запрос F (x) – это то же самое, что просить нас найти первообразную функции f (x).

Шаг первый : Определите части исходной функции: константа a = 3, n = 2.

Шаг второй : подставьте значения из первого шага в формулу первообразной:

Шаг третий : Сообщите свой окончательный ответ: f (x) = x³ + C.

Шаг четвертый : Проверьте свой ответ, взяв производную от x³.

Основные правила антипроизводных

Давайте расширим то, что мы только что узнали, пройдя по некоторым дополнительным рекомендациям, которые вам понадобятся для решения проблем первообразных.

Правило первое : Не все константы обрабатываются одинаково в задачах антидифференциации.

  • Первообразная автономной константы – , равно ax .
  • Константа множителя, такая как a в ax , умножается на первообразную, как это было в исходной функции. Например, если f (x) = ax, F (x) = ½ * a * x².

Правило второе : Первообразная нуля – это неизвестное постоянное число C , если вам не предоставили более конкретную информацию.

Например, в предыдущем примере мы сообщали наш ответ как F (x) = x³ + C. Если бы нам была предоставлена ​​дополнительная информация, например, функция проходит через точку (0, 5), мы могли бы вывести, что C = 5, поскольку F (0) = 5.Тогда мы могли бы сообщить полный ответ: F (x) = x³ + 5.

Правило третье : Первообразную полиномиальной функции можно найти, просто взяв первообразные каждого из отдельных членов, а затем сложив или вычитая, как указано .

Пример второй: использование правила 3 ​​

Найдите F (x), если f (x) = 3x² + x – 8.

Шаг первый : Обратите внимание, что проблему можно решить, применив правило 3:

Шаг второй : Найдите первообразную каждого члена.

Шаг третий : Сложите или вычтите термины для объединения; не забывай о константе!

Первообразные специальных функций

Есть несколько других функций, которые могут возникнуть по мере того, как вы продолжите изучение первообразных. К счастью, когда вы научитесь работать с деривативами, вы можете думать о своих вычислениях с первообразными как о работе в обратном порядке.Например, если вы знаете, что производная sin (x) равна cos (x), то вы знаете, что первообразная cos (x) равна sin (x).

Давайте рассмотрим некоторые общие функции и их первообразные. Формула первообразной, которую мы узнали ранее, не применима к этим функциям. Если вы продолжите продвигаться в своем изучении математического анализа, вы увидите, как были получены эти отношения.

Пример третий: специальные функции

Давайте рассмотрим еще один пример.

Шаг первый : Найдите общее решение для первообразной.

Шаг второй : Выберите точку, например (0, 2), и замените F (x).

Шаг третий : Сообщите о своем решении.

Резюме урока

В этом уроке мы узнали о важной концепции исчисления – первообразной.После определения первообразного как области под функцией в пределах определенной границы мы продемонстрировали, как выполнить вычисление антидифференцировки. Вместе с нашей новой формулой мы узнали три основных правила, которым следует следовать при решении первообразной задачи. Наконец, мы определили ограничения нашей новой формулы и правил, используемых для решения задач, которые включают тригонометрические и другие специальные функции. Для этого требуется другой подход, например справочная таблица.

Calculus II – Интеграция по частям

Показать уведомление для мобильных устройств Показать все заметки Скрыть все заметки

Похоже, вы используете устройство с “узкой” шириной экрана (, т.е. , вероятно, вы используете мобильный телефон). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме.Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (вы сможете прокручивать их, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана. {6x}} \) сам по себе, мы могли бы сделать интеграл достаточно легко.\ prime} \, dx}} = \ int {{f ‘\, g + f \, g’ \, dx}} \]

Левая часть достаточно проста для интегрирования (мы знаем, что интегрирование производной просто «отменяет» производную), и мы разделим правую часть интеграла.

\ [fg = \ int {{f ‘\, g \, dx}} + \ int {{f \, g’ \, dx}} \]

Обратите внимание, что технически у нас должна была отображаться константа интегрирования слева после выполнения интегрирования. Мы можем отбросить его на этом этапе, поскольку другие константы интеграции будут отображаться в будущем, и они просто поглотят эту.

Наконец, перепишите формулу следующим образом, и мы придем к формуле интегрирования по частям.

\ [\ int {{f \, g ‘\, dx}} = fg – \ int {{f’ \, g \, dx}} \]

Однако это не самая простая формула. Итак, сделаем пару замен.

\ [\ begin {align *} u = f \ left (x \ right) \ hspace {0,5in} v = g \ left (x \ right) \\ & du = f ‘\ left (x \ right) \, dx \ hspace {0,5 дюйма} dv = g ‘\ left (x \ right) \, dx \ end {align *} \]

Обе из них – стандартные замены Calculus I, к которым, надеюсь, вы уже привыкли.Не радуйтесь тому факту, что мы используем здесь две замены. Они будут работать так же.

Использование этих замен дает нам формулу, которую большинство людей считают формулой интегрирования по частям.

Интеграция по частям

\ [\ int {{u \, dv}} = uv – \ int {{v \, du}} \]

Чтобы использовать эту формулу, нам нужно будет идентифицировать \ (u \) и \ (dv \), вычислить \ (du \) и \ (v \), а затем использовать формулу. Также обратите внимание, что вычислить \ (v \) очень просто.Все, что нам нужно сделать, это интегрировать \ (dv \).

\ [v = \ int {{dv}} \]

Одна из самых сложных вещей при использовании этой формулы – это то, что вам нужно правильно идентифицировать как \ (u \), так и \ (dv \). Не всегда будет ясно, каков правильный выбор, и иногда мы делаем неправильный выбор. Это не повод для беспокойства. Если мы сделаем неправильный выбор, мы всегда можем вернуться и попробовать другой набор вариантов.

Это приводит к очевидному вопросу: как узнать, правильно ли мы сделали выбор для \ (u \) и \ (dv \)? Ответ на самом деле довольно прост.{6x}} \, dx}} \] Показать решение

Итак, на некотором уровне проблема здесь в \ (x \), стоящем перед экспонентой. Если бы этого не было, мы могли бы сделать интеграл. Также обратите внимание, что при выполнении интеграции по частям все, что мы выбираем для \ (u \), будет дифференцироваться. Таким образом, кажется, что выбор \ (u = x \) будет хорошим выбором, поскольку при дифференцировании \ (x \) выпадет.

Теперь, когда мы выбрали \ (u \), мы знаем, что \ (dv \) будет всем остальным, что останется.{6x}} + c \ end {align *} \]

После того, как мы сделали последний интеграл в задаче, мы добавим константу интегрирования, чтобы получить окончательный ответ.

Также обратите внимание, что, как отмечалось выше, мы знаем, что сделали правильный выбор для \ (u \) и \ (dv \), когда получили новый интеграл, который мы фактически вычисляем после применения формулы интегрирования по частям.

Теперь давайте посмотрим на интегрирование по частям для определенных интегралов.b \) в первом члене – это просто стандартное обозначение интегральной оценки, с которым вы должны быть знакомы на этом этапе. Все, что мы делаем, это оцениваем член, в данном случае uv , в \ (b \), затем вычитаем оценку члена в \ (a \).

На каком-то уровне нам здесь действительно не нужна формула, потому что мы знаем, что при вычислении определенных интегралов все, что нам нужно сделать, это вычислить неопределенный интеграл, а затем выполнить вычисление. На самом деле, это, вероятно, будет немного проще, поскольку нам не нужно отслеживать таким образом оценку каждого термина.{- 6}} \ end {align *} \]

Любой из методов вычисления определенных интегралов с интегрированием по частям довольно прост, так что выбор, который вы выберете, в значительной степени зависит от вас.

Поскольку нам нужно иметь возможность вычислить неопределенный интеграл, чтобы вычислить определенный интеграл, а выполнение определенного интеграла сводится к не более чем вычислению неопределенного интеграла в паре точек, мы сконцентрируемся на вычислении неопределенных интегралов в остальной части этого раздел.Фактически, на протяжении большей части этой главы так и будет. Мы будем делать гораздо больше неопределенных интегралов, чем определенных интегралов.

Давайте взглянем еще на несколько примеров.

Пример 3 Вычислите следующий интеграл. \ [\ int {{\ left ({3t + 5} \ right) \ cos \ left ({\ frac {t} {4}} \ right) \, dt}} \] Показать решение

Есть два способа продолжить этот пример. Для многих первое, что они пробуют, – это умножить косинус на скобки, разделить интеграл и затем выполнить интегрирование по частям для первого интеграла.

Хотя это вполне приемлемый способ решения проблемы, это больше работы, чем нам действительно нужно. Вместо того, чтобы разделять интеграл, давайте вместо этого воспользуемся следующими вариантами для \ (u \) и \ (dv \).

\ [\ begin {align *} u & = 3t + 5 & \ hspace {0,5 дюйма} dv & = \ cos \ left ({\ frac {t} {4}} \ right) \, dt \\ du & = 3 \, dt & \ hspace {0,5 дюйма} v & = 4 \ sin \ left ({\ frac {t} {4}} \ right) \ end {align *} \]

Тогда интеграл равен

. \ [\ begin {align *} \ int {{\ left ({3t + 5} \ right) \ cos \ left ({\ frac {t} {4}} \ right) \, dt}} & = 4 \ left ({3t + 5} \ right) \ sin \ left ({\ frac {t} {4}} \ right) – 12 \ int {{\ sin \ left ({\ frac {t} {4}} \ right) \, dt}} \\ & = 4 \ left ({3t + 5} \ right) \ sin \ left ({\ frac {t} {4}} \ right) + 48 \ cos \ left ({\ frac {t} {4}} \ right) + c \ end {align *} \]

Обратите внимание, что мы вытащили все константы из интеграла, когда использовали формулу интегрирования по частям.2}}} {{10}} \ cos \ left ({10w} \ right) + \ frac {1} {5} \ int {{w \ cos \ left ({10w} \ right) \, dw}} \]

В этом примере, в отличие от предыдущих примеров, новый интеграл также потребует интегрирования по частям. Для этого второго интеграла мы будем использовать следующие варианты.

\ [\ begin {align *} u & = w & \ hspace {0,5 дюйма} dv & = \ cos \ left ({10w} \ right) \, dw \\ du & = \, dw & \ hspace {0,5 дюйма } v & = \ frac {1} {{10}} \ sin \ left ({10w} \ right) \ end {align *} \]

Итак, интеграл принимает вид

\ [\ begin {align *} \ int {{{w ^ 2} \ sin \ left ({10w} \ right) \, dw}} & = – \ frac {{{w ^ 2}}} {{10 }} \ cos \ left ({10w} \ right) + \ frac {1} {5} \ left ({\ frac {w} {{10}} \ sin \ left ({10w} \ right) – \ frac {1} {{10}} \ int {{\ sin \ left ({10w} \ right) \, dw}}} \ right) \\ & = – \ frac {{{w ^ 2}}} {{ 10}} \ cos \ left ({10w} \ right) + \ frac {1} {5} \ left ({\ frac {w} {{10}} \ sin \ left ({10w} \ right) + \ frac {1} {{100}} \ cos \ left ({10w} \ right)} \ right) + c \\ & = – \ frac {{{w ^ 2}}} {{10}} \ cos \ left ({10w} \ right) + \ frac {w} {{50}} \ sin \ left ({10w} \ right) + \ frac {1} {{500}} \ cos \ left ({10w} \ вправо) + c \ end {align *} \]

Будьте осторожны с коэффициентом интеграла для второго применения интегрирования по частям.Поскольку интеграл умножается на \ (\ frac {1} {5} \), нам нужно убедиться, что результаты фактического выполнения интеграла также умножаются на \ (\ frac {1} {5} \). Забыть об этом – одна из наиболее распространенных ошибок при интеграции по частям.

Как показал этот последний пример, иногда нам потребуется несколько приложений интегрирования по частям, чтобы полностью оценить интеграл. Это то, что произойдет, поэтому не волнуйтесь, когда это произойдет.

В следующем примере нам нужно признать важный момент, касающийся методов интеграции. Некоторые интегралы могут быть получены с использованием нескольких различных методов. Так обстоит дело с интегралом в следующем примере.

Пример 5 Вычислите следующий интеграл \ [\ int {{х \ sqrt {x + 1} \, dx}} \]
  1. Использование интеграции по частям.
  2. Использование стандартной замены Calculus I.
Показать все решения Скрыть все решения a Использование интеграции по частям.Показать решение

Прежде всего, обратите внимание на то, что в этом интеграле нет триггерных функций или экспонент. Хотя довольно много интегралов по частям будет включать триггерные функции и / или экспоненты, не все из них будут слишком зациклены на идее ожидания их появления.

В этом случае мы будем использовать следующие варианты для \ (u \) и \ (dv \).

\ [\ begin {align *} u & = x & \ hspace {0,5 дюйма} dv & = \ sqrt {x + 1} \, dx \\ du & = dx & \ hspace {0.{\ frac {5} {2}}} + c \ end {align *} \]
b Используя стандартную замену Calculus I. Показать решение

Теперь займемся интегралом с заменой. Мы можем использовать следующую замену.

\ [u = x + 1 \ hspace {0,5 дюйма} x = u – 1 \ hspace {0,5 дюйма} du = dx \]

Обратите внимание, что на самом деле мы будем использовать замену дважды: один раз для количества под квадратным корнем и один раз для \ (x \) перед квадратным корнем. {\ frac {3} {2}}} + c \ end {align *} \]

Итак, в этом примере мы использовали два разных метода интеграции и получили два разных ответа.Тогда возникает очевидный вопрос: мы сделали что-то не так?

На самом деле, мы не сделали ничего плохого. Нам необходимо помнить следующий факт из исчисления I.

\ [{\ rm {If}} \, \, f ‘\ left (x \ right) = g’ \ left (x \ right) \, \, \, {\ rm {then}} \, \, \ , е \ влево (х \ вправо) = г \ влево (х \ вправо) + с \]

Другими словами, если две функции имеют одинаковую производную, то они будут отличаться не более чем на константу. Итак, как это применимо к указанной выше проблеме? Сначала определите следующее:

\ [f ‘\ left (x \ right) = g’ \ left (x \ right) = x \ sqrt {x + 1} \]

Затем мы можем вычислить \ (f \ left (x \ right) \) и \ (g \ left (x \ right) \) путем интегрирования следующим образом:

\ [е \ left (x \ right) = \ int {{f ‘\ left (x \ right) \, dx}} \ hspace {0.5in} g \ left (x \ right) = \ int {{g ‘\ left (x \ right) \, dx}} \]

Мы будем использовать интегрирование по частям для первого интеграла и замену для второго интеграла. Тогда согласно тому, что \ (f \ left (x \ right) \) и \ (g \ left (x \ right) \) должны отличаться не более чем на константу. Давайте проверим это и посмотрим, так ли это. Мы можем убедиться, что они различаются не более чем на константу, если мы посмотрим на разницу между ними и сделаем небольшие алгебраические манипуляции и упрощения.{\ frac {3} {2}}} \ left (0 \ right) \\ \ hspace {2.0in} = 0 \ end {array} \]

Итак, в этом случае оказывается, что две функции – это одна и та же функция, поскольку разница равна нулю. Учтите, что это происходит не всегда. Иногда разница дает ненулевую константу. Пример этого можно найти в разделе «Константа интеграции» в примечаниях к исчислению I.

Итак, что мы узнали? Во-первых, иногда будет несколько методов вычисления интеграла.Во-вторых, мы увидели, что разные методы часто приводят к разным ответам. Наконец, даже несмотря на то, что ответы разные, иногда с большим трудом можно показать, что они отличаются не более чем на константу.

Когда мы сталкиваемся с интегралом, первое, что нам нужно решить, – это то, есть ли более одного способа сделать интеграл. Если существует несколько способов, нам нужно будет определить, какой из них следует использовать. Общее практическое правило, которое я использую в своих классах, заключается в том, что вы должны использовать метод, который вы, , найдете наиболее простым.Возможно, это не самый простой способ, но это не значит, что это неправильный метод.

Одна из наиболее распространенных ошибок интеграции по частям – это слишком сильная привязанность людей к воспринимаемым шаблонам. Например, во всех предыдущих примерах использовался базовый шаблон, согласно которому \ (u \) принимался за многочлен, стоящий перед другой функцией, а затем позволял \ (dv \) быть другой функцией. Это не всегда будет происходить, поэтому нам нужно быть осторожными и не связываться с какими-либо шаблонами, которые, как нам кажется, мы видим.

Давайте взглянем на некоторые интегралы, которые не вписываются в приведенный выше шаблон.

Пример 6 Вычислите следующий интеграл. \ [\ int {{\ ln x \, dx}} \] Показать решение

Итак, в отличие от любого другого интеграла, который мы сделали до этого момента, в интеграле есть только одна функция и нет полинома перед логарифмом.

Первый выбор многих здесь – попытаться вписать это в шаблон сверху и сделать следующие выборы для \ (u \) и \ (dv \).

\ [u = 1 \ hspace {0,5 дюйма} dv = \ ln x \, dx \]

Однако это приводит к реальной проблеме, поскольку это означает, что \ (v \) должно быть,

\ [v = \ int {{\ ln x \, dx}} \]

Другими словами, нам нужно знать ответ заранее, чтобы решить проблему. Так что этот выбор просто не сработает.

Следовательно, если логарифм не принадлежит \ (dv \), он должен принадлежать \ (u \).Итак, давайте использовать следующие варианты вместо

\ [\ begin {align *} u & = \ ln x & \ hspace {0,5 дюйма} dv & = \, dx \\ du & = \ frac {1} {x} dx & \ hspace {0,5 дюйма} v & = х \ конец {выравнивание *} \]

Тогда интеграл равен

. \ [\ begin {align *} \ int {{\ ln x \, dx}} & = x \ ln x – \ int {{\ frac {1} {x} \, x \, dx}} \\ & = x \ ln x – \ int {{dx}} \\ & = x \ ln x – x + c \ end {align *} \] Пример 7 Вычислите следующий интеграл.{\ frac {5} {2}}} + c \ end {align *} \]

Итак, в двух предыдущих примерах мы видели случаи, которые не совсем вписывались в какой-либо воспринимаемый шаблон, который мы могли бы получить из первых двух примеров. Это всегда то, к чему мы должны обращать внимание при интеграции по частям.

Давайте взглянем на другой пример, который также иллюстрирует другой метод интеграции, который иногда возникает из-за проблем интеграции по частям.

Пример 8 Вычислите следующий интеграл.\ theta} \ cos \ theta \, d \ theta}} \] Показать решение

Хорошо, до сих пор мы всегда выбирали \ (u \) таким образом, чтобы при дифференцировании эта часть исчезла или, по крайней мере, превратила ее в интеграл в форму, которая упростила бы работу с . В этом случае, какую бы часть мы ни делали \ (u \), она никогда не уйдет в процессе дифференцирования.

Не имеет большого значения, какой мы выбираем \ (u \), поэтому мы выберем следующий способ.\ theta} \ sin \ theta} \ right) + c \]

Обратите внимание, что после деления на два мы добавляем константу интегрирования в этой точке.

Эту идею интегрирования до тех пор, пока вы не получите одинаковый интеграл по обе стороны от знака равенства, а затем простое решение для интеграла, неплохо запомнить. Это не так уж и часто, но когда это происходит, это может быть единственный способ на самом деле выполнить интеграл.

Также обратите внимание, что это на самом деле просто алгебра, по общему признанию, сделанная таким образом, что вы, возможно, не привыкли к этому, но на самом деле это просто алгебра.

На данном этапе вашей математической карьеры каждый может решить,

\ [x = 3 – x \ hspace {0,5 дюйма} \ to \ hspace {0,5 дюйма} x = \ frac {3} {2} \]

Мы все еще решаем «уравнение». Единственное отличие состоит в том, что вместо решения для \ (x \) в мы решаем для интеграла, и вместо хорошей константы «3» в приведенной выше задаче алгебры мы получили функцию «беспорядка».

У нас есть еще один пример. Как мы увидим, некоторые проблемы могут потребовать от нас выполнять интеграцию по частям много раз, и существует короткий метод, который позволит нам быстро и легко выполнять несколько приложений интеграции по частям.{\ frac {x} {2}}} \, dx}} \] Показать решение

Мы начинаем с выбора \ (u \) и \ (dv \), как всегда. Однако вместо вычисления \ (du \) и \ (v \) мы помещаем их в следующую таблицу. Затем мы дифференцируем столбец, соответствующий \ (u \), пока не дойдем до нуля. В столбце, соответствующем \ (dv \), мы интегрируем один раз для каждой записи в первом столбце. Существует также третий столбец, который мы немного объясним, и он всегда начинается со знака «+», а затем чередуются знаки, как показано.{\ frac {x} {2}}} + c \ end {align *} \]

Мы получили интеграл. Это намного проще, чем записывать все различные \ (u \) и \ (dv \), которые нам пришлось бы делать в противном случае.

Итак, в этом разделе мы увидели, как выполнять интеграцию по частям. На более поздних уроках математики это, вероятно, будет одним из наиболее частых методов интеграции, с которыми вы столкнетесь.

Важно не зацикливаться на шаблонах, которые, как вам кажется, вы видели.В большинстве случаев любой шаблон, который, как вы думаете, вы видели, может (и будет) нарушен в какой-то момент времени. Будь осторожен!

Как интегрировать по частям: формулы и примеры

Первообразные могут быть достаточно сложными для самостоятельного решения, но когда у вас есть две умноженные вместе функции, от которых нужно взять первообразную, может быть трудно понять, с чего начать. Вот где на помощь приходит формула интегрирования по частям!

Эта удобная формула может значительно облегчить домашнее задание по расчету, помогая найти первообразные, разработка которых в противном случае была бы сложной и трудоемкой.В этом руководстве мы объясним формулу, проведем вас через каждый шаг, который необходимо предпринять для интеграции по частям, и решим примеры задач, чтобы вы сами могли стать экспертом по интеграции по частям.

Что такое формула интеграции по частям?

Интегрирование по частям – это метод, используемый в исчислении для нахождения интеграла произведения функций через интеграл от их производной и первообразной. В принципе, если у вас есть уравнение с первообразной двумя функциями, умноженными вместе, и вы не знаете, как найти первообразную, формула интегрирования по частям преобразует первообразную функций в другую форму, чтобы было легче найти упростить / решить. Вот формула:

∫ f (x) g ’(x) dx = f (x) g (x) – ∫ f’ (x) g (x) dx

Вы начинаете с левой части уравнения (первообразной произведения двух функций) и преобразуете ее в правую часть уравнения.

Формулу интегрирования по частям можно также записать более компактно: с u вместо f (x), v вместо g (x), dv вместо g ‘(x) и du вместо f’ (x):

∫ u dv = uv – ∫ v du

Вы можете использовать интегрирование по частям, когда вам нужно найти первообразную сложной функции, которую трудно решить, не разбивая ее на две функции, умноженные вместе.Поначалу это может показаться не очень полезной формулой, поскольку ни одна из сторон уравнения не является значительно более упрощенной, чем другая, но, работая с примерами, вы увидите, насколько полезной может быть формула интегрирования по частям для решения первообразных.

Как решать проблемы с помощью интеграции по частям

Существует пять шагов для решения проблемы с использованием формулы интегрирования по частям:

# 1: Выберите свои u и v

# 2: Дифференцируйте вас, чтобы найти du

# 3: Интегрируйте v, чтобы найти ∫v dx

# 4: подставьте эти значения в уравнение интегрирования по частям

# 5: Упростите и решите

Может показаться сложным интегрировать по частям, но использовать формулу на самом деле довольно просто.Все первые три шага связаны с выбором / поиском различных переменных, чтобы их можно было включить в уравнение на четвертом шаге. Вам нужно хорошо понимать, как дифференцировать и интегрировать, но если вы это сделаете, эти шаги просты.

В общем, ваша цель состоит в том, чтобы du был проще, чем u , а первообразное dv не было сложнее, чем v . По сути, вы хотите, чтобы правая часть уравнения оставалась как можно более простой, чтобы вам было легче ее упростить и решить.Тем не менее, не слишком переживайте, выбирая u и v. Если ваш первый выбор не работает, просто поменяйте их местами и интегрируйте по частям с вашими новыми u и v, чтобы увидеть, работает ли это лучше.

После того, как у вас есть переменные, все, что вам нужно сделать, это упростить, пока у вас не останется никаких первообразных, , и вы не получите ответ! Продолжайте читать, чтобы увидеть, как мы используем эти шаги для решения реальных проблем с образцами.

Интеграция по примерам деталей

Вот три примера задач разной сложности.Попробуйте решить каждую из них самостоятельно, а затем посмотрите, как мы использовали интеграцию по частям, чтобы получить правильный ответ.

Пример №1: Найти ∫ xsin (x) dx

Если бы вы просто взглянули на эту проблему, вы, возможно, не знали, как взять первообразную xsin (x). Вот тут и приходит на помощь интеграция по частям! Первый шаг – выбрать u и dv . Используя «x» как u , легко получить du , так что давайте начнем с этого.

u = x

dv = sin (x)

Для шагов 2 и 3 мы выделим и и интегрируем dv , чтобы получить du и v . Производная x равна dx (легко!), А первообразная sin (x) равна -cos (x).

du = dx

v = -cos (x)

Теперь пора подставить эти переменные в формулу интегрирования по частям: ∫ u dv = uv – ∫ v du.Это дает нам:

∫ xsin (x) dx = x (-cos (x)) – ∫ -cos (x) dx

Затем обработайте правую часть уравнения, чтобы упростить его. Сначала раздайте негативы:

= -xcos (x) + ∫ cos (x) dx

Первообразной cos (x) является sin (x), и не забудьте добавить произвольную константу C в конце:

= -xcos (x) + sin (x) + C

Вот и все, первообразную вы нашли!

Пример № 2: Найти ∫ x

2 ln (x) dx

Опять же, сначала мы выберем u и dv .

u = ln (x)

dv = x 2

Затем мы используем эту информацию для определения du и v . Производная ln (x) равна (1 / x) dx, а первообразная x 2 равна (⅓) x 3 .

du = (1 / x) dx

v = (⅓) x 3

Теперь, когда у нас есть все переменные, давайте включим их в уравнение интегрирования по частям:

∫x 2 ln (x) dx = ln (x) ⋅ (⅓) x 3 −∫ (⅓) x 3 ⋅ (1 / x) dx

Теперь осталось упростить! Сначала перемножьте все:

= (x 3 ln (x)) / 3 – ∫x 2 /3 dx

Затем возьмем первообразную ∫x 2 /3.Добавьте константу, и все готово; в уравнении больше не осталось первообразных:

= (x 3 ln (x)) / 3 – (1/9) x 3 + C

Пример № 3: Найти ∫ ex sin (x) dx

Снова выберите u и dv :

u = sin (x)

dv = ex

Найдите du и v (производная sin (x) равна cox (x), а первообразная ex по-прежнему равна ex.

du = cos (x)

v = ex

Введите эти переменные в уравнение:

∫ex sin (x) dx = sin (x) ex -cos (x) ex dx

Все еще довольно запутано, и часть уравнения «∫cos (x) ex dx» по-прежнему включает две функции, перемноженные вместе. Иногда, когда вы используете формулу интегрирования по частям, и все выглядит так же сложно, как и раньше, когда две функции умножаются вместе, может помочь снова использовать интеграцию по частям. Давай попробуем.

Ориентируясь только на часть уравнения «∫cos (x) ex dx», выберите другие u и dv . Производная cos (x) равна -sin (x), а первообразная ex по-прежнему ex (по крайней мере, это легко!).

u = cos (x)

dv = ex

du = -sin (x)

v = ex

Снова подставьте эти новые переменные в формулу:

∫ex sin (x) dx = sin (x) ex – (cos (x) ex −∫ − sin (x) ex dx)

Теперь упростим:

∫ex sin (x) dx = ex sin (x) – ex cos (x) −∫ ex sin (x) dx

Мы можем переместить «−∫ ex sin (x) dx» из правой части уравнения в левую:

2∫ex sin (x) dx = ex sin (x) – ex cos (x)

Упростите это снова и добавьте константу:

∫ex sin (x) dx = ex (sin (x) – cos (x)) / 2 + C

В правой части уравнения больше нет первообразных, так что вот вам ответ! Мы смогли найти первообразную этого запутанного уравнения, дважды проработав формулу интегрирования по частям.

Резюме: как интегрировать по частям

Формула интегрирования по частям может быть отличным способом найти первообразную произведения двух функций, которую вы иначе не знали бы, как взять первообразную. Вам необходимо хорошо знать производные и первообразные, чтобы использовать ее, но это простая формула, которая может помочь вам решать различные математические задачи. Шаги:

# 1: Выберите свои u и v

# 2: Дифференцируйте вас, чтобы найти du

# 3: Интегрируйте v, чтобы найти ∫v dx

# 4: подставьте эти значения в уравнение интегрирования по частям

# 5: Упростите и решите

Что дальше?

Хотите знать, какие уроки математики вам следует посещать? Узнайте, какие уроки математики следует посещать старшеклассникам, прочитав наше руководство.

Заинтересованы в математических соревнованиях, таких как Международная математическая олимпиада ? Прочтите наше руководство, чтобы узнать, как пройти квалификационные тесты.

Проблемы с математическим разделом SAT или ACT? У нас есть полные руководства по SAT Math и ACT Math, которые научат вас всему, что вам нужно, чтобы пройти эти разделы.

Определение первообразных – Концепция

Первообразные противоположны производным. Первообразная – это функция, которая меняет то, что делает производная.Одна функция имеет много первообразных , но все они принимают форму функции плюс произвольная константа. Первообразные являются ключевой частью неопределенных интегралов.

Вы изучаете производные в течение долгого времени, это огромная часть исчисления, но действительно большая часть исчисления заключается в изучении первообразных, так что же такое первообразное? Давайте посмотрим, давайте рассмотрим взаимосвязь между двумя функциями, которые я написал здесь, заглавная буква F x = x в кубе минус 5x + 2 маленькая f x равна 3x в квадрате минус 5, и обратите внимание, что я дал этим функциям ту же букву для имя, но это заглавная буква, а это строчная буква, поэтому считайте их разными функциями.Какая связь между этими двумя, вы, вероятно, узнаете, что маленькая f является производной от капитала f, если я различаю эту функцию, я получаю ту. Так что это одна вещь, которую вы сразу поймете, как капитал F, простое число равно малому f, так что маленькая f является производной от капитала F, так каково же первообразное отношение?
Что ж, большая F была бы первообразной маленькой f. Итак, если функция является производной другой, эта первая функция является первообразной второй. Таким образом, это в основном обратная связь производной связи, но есть одно различие между первообразной производной и производной связью, а именно: существует более одной первообразной.Итак, если вы рассматриваете это как нашу функцию, я только что объяснил, что одна первообразная равна x в кубе минус 5x + 2, потому что производная этого парня равна 3x в квадрате минус 5. Но производная этой функции также равна 3x в квадрате минус 5, так что это будет первообразная. немного f и это будет.
И на самом деле каждая функция вида x в кубе минус 5x + c имеет производную 3x в квадрате минус 5, и поэтому все они будут первообразными этой функции. Итак, в общем, существует бесконечно много первообразных данной функции.Если у него есть первообразное, у него бесконечно много, и поэтому мы обычно представляем этот факт с помощью a + c, это c означает, что это константа, это может быть любое значение, любое действительное числовое значение. Таким образом, любая функция этой формы будет первообразной 3x в квадрате минус 5.

Сайтама, также известный как Ванпанчмен, – чрезвычайно могущественный человек, способный уничтожать планеты одним взмахом кулака. Как он обрел силу? Никто не знает.2 $$

Используя силу исчисления, мы можем определить, что брошенный камень достигает максимальной высоты 17 километров за 2 секунды. Ага.

Как мы это выяснили? Давайте разберемся.

Если бы мы изобразили функцию, это выглядело бы примерно так:

Как видите, в случае гладкого непрерывного графика функции максимальная высота – это самая высокая точка, что наводит нас на мысль, что минимум – это самая низкая точка графика относительно точки $ p $. , что это такое.

Эти самые высокие и самые низкие точки называются максимумами и минимумами, и в случае этого сообщения в блоге мы сосредоточимся на более сжатом спектре, соответствующем точке $ p $, поэтому мы будем называть их локальными максимумами и минимумами . Их вместе называют локальными экстремумами.

Глядя на график, можно увидеть, что локальные максимумы и минимумы – это точки, в которых график сглаживается и изменяется от увеличения к уменьшению или наоборот. Если график плоский, это означает, что наклон равен нулю.Мы можем узнать, когда наклон равен нулю, используя производную.

(Источник изображения: Просто созерцая несколько вещей. Цифровое изображение. Gfycat.com )

Производные инструменты

Первая концепция, которую мы должны иметь в своем арсенале для определения таких вещей, как максимальная высота камня, брошенного Сайтамой (при минимальной мощности), является производной. 2 $$

находим производную по ранее упомянутым правилам:

$$ h ‘(t) = 12 – 6t $$

, затем мы устанавливаем производную равной $ 0 $, чтобы найти значение $ t $, время, когда наклон равен $ 0 $.2 $$

$$ ч (2) = 5 + 24 – 12 $$

$$ h (2) = 17 км / сек $$

Вот как мы можем получить локальные максимумы, если нам задана функция. Теперь давайте углубимся в эту концепцию, рассмотрев графики и их взаимосвязь с первой и второй производной.

Мы знаем, что

, если $ f ‘(x)> 0 $ на интервале, то $ f (x) $ равно , увеличивая на этом интервале.

, если $ f ‘(x) <0 $ на интервале, то $ f (x) $ равно , уменьшаясь на на этом интервале.

, если $ f ”(x)> 0 $ на интервале, то $ f (x) $ – это , вогнутое вверх на этом интервале.

, если $ f ”(x) <0 $ на интервале, то $ f (x) $ - это вогнутых вниз на этом интервале.

Зная это, мы можем сделать то, что называется тестом второй производной , чтобы определить, есть ли на графике функции локальные максимумы или минимумы.

Когда производная функции равна $ 0 $ в точке $ p $, то мы можем определить, является ли она локальным максимумом или минимумом, в зависимости от того, меньше ли вторая производная, больше или равна $ 0 $.Согласно принципам, упомянутым выше, если оно меньше, график будет вогнутым вниз, а точка – локальным максимумом. Если больше, график вогнут вверх, а точка является локальным минимумом. Например, давайте рассмотрим функцию с производной $ f (t) = 12 – 9t $, которая имеет отрицательный наклон.

Вторая производная будет $ -9 $, что меньше $ 0 $, что будет означать, что исходная функция вогнута вниз и что существует локальный максимум, который, глядя на график, кажется истинным

Также можно использовать тест первой производной, который говорит, что если $ f ‘(t) $ переходит с положительного значения на отрицательное после прохождения точки, где наклон равен $ 0 $, то это локальный максимум.3 + 2 $

Хотя есть критическая точка, потому что есть точка, где наклон равен $ 0 $, нет ни минимума, ни максимума, потому что наклон не меняется с положительного на отрицательный или с отрицательного на положительный.

Помня все эти правила, мы можем определить, когда и на какой высоте брошенный Сайтамой камешек достигает максимальной высоты.

(источник изображения: Saitama. Digital Image. Konbini.com )

Источники

Прикладное исчисление, 5-е издание .John Wiley & Sons
Глава 4, Использование производной
https://learning.oreilly.com/library/view/applied-calculus-5th/9781118174920/06_chapter07.html#

Графический калькулятор Desmos. (2015). Графический калькулятор Desmos . [онлайн] Доступно по адресу: https://www.desmos.com/calculator?create_account

Нахождение конкретных первообразных с использованием начальных условий, включая приложения к движению по линии

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в качестве ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса – изображению, ссылке, тексту и т. д. – относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

Q: Почему интегральная / первообразная область под функцией?

Физик : Если вы занимались исчислением, то в какой-то момент вы узнали, что для определения площади под функцией (обычно записываемой) вам нужно найти антипроизводную этой функции.Наиболее естественный ответ на теоремы такого типа – «подожди… что?… Почему?».

Эта теорема настолько важна и широко используется, что ее называют «фундаментальной теоремой исчисления», и она связывает воедино интеграл (площадь под функцией) с первообразной (противоположной производной) настолько тесно, что эти два слова по существу взаимозаменяемы. . Однако есть математики, которые могут не согласиться с тем, чтобы смешать эти два термина.

Это возвращается (окольным путем) к тому факту, что производная функции – это наклон этой функции или «скорость изменения».Далее «f» – это функция, а «F» – ее антипроизводная (то есть: F ’= f).


Интуитивно : Допустим, у вас есть функция f (x), а площадь под f (x) (до некоторого значения x) задается A (x).

Тогда утверждение «площадь A задается антипроизводной f» эквивалентно утверждению «производная A задается f».

Другими словами, скорость увеличения площади (при перемещении x вправо) определяется высотой f (x).

Для постоянной функции площадь задается как A = cx, а скорость увеличения (величина, на которую площадь увеличивается при увеличении x на 1) равна c.Не имеет значения, перемещается функция или нет. От момента к моменту скорость увеличения всегда равна высоте (значению f).

Например, если высота функции равна 3, то на мгновение площадь под функцией увеличивается на 3 на каждую единицу расстояния, которое вы сдвигаете вправо. Имейте в виду, что функция может перемещаться вверх и вниз сколько угодно. Насколько функция «знает», в любой конкретный момент она также может быть постоянной (пунктирная линия на рисунке выше).

Итак, если высота функции (которая является просто функцией) – это скорость, с которой изменяется площадь, то f является производной площади: A ’= f. Но это в точности то же самое, что сказать, что площадь является антипроизводной функции.


Математически : Существует теорема, называемая теоремой о среднем значении, которая утверждает, что если у вас есть «гладкая» функция без резких изгибов или изгибов, то на любом интервале производная будет равна среднему наклону хотя бы один раз.Для этого нужна картинка:

Для гладкой функции f существует точка c, в которой функция имеет тот же наклон, что и общий средний наклон.

Точнее, если у вас есть функция на интервале [A, B], то есть точка c между A и B такая, что. Вы можете так же легко написать это как или (поскольку F ’= f).

Итак, если вы проезжаете 60 миль за один час, то в какой-то момент вы должны были ехать со скоростью ровно 60 миль в час, хотя почти всю поездку вы могли ехать намного быстрее или намного медленнее, чем 60 миль в час.

Держите это в уме на мгновение, а вместо этого подумайте, как приблизить площадь под функцией.

Вы можете аппроксимировать площадь под функцией, разделив ее на множество крошечных прямоугольников. Площадь каждого из них – это ширина, умноженная на высоту, где высота – это любое значение f в этом конкретном интервале. Выбор разных значений действительно меняет площадь этого прямоугольника, но оказывается, что это не имеет значения.

Вы можете разделить область между x = A и x = B под функцией, поместив под ней беспорядок прямоугольников.Разделите интервал [A, B], выбрав строку точек x 0 , x 1 , x 2 ,…, x N , и используйте их как левую и правую стороны ваших прямоугольников ( и установите x 0 = A и x N = B).

Точка c i , которую вы выбираете между каждыми x i-1 и x i , не имеет значения. Чтобы получить точную площадь, вы позволите N, общему количеству прямоугольников, улететь в бесконечность, и вы обнаружите, что наибольшее значение f и наименьшее значение f в каждом крошечном интервале сжимаются.

Итак, почему бы не выбрать значение c i , чтобы в каждом прямоугольнике можно было сказать?

Вот дерьмо! Площадь под функцией (интегралом) задается первообразной! Опять же, это приближение становится равенством, поскольку количество прямоугольников становится бесконечным.


Кстати (для тех из вас, кто действительно хотел прочитать статью об интегралах целиком), интегралы на удивление надежны. То есть, если в вашей функции есть излом (например, | x | имеет излом в нуле), вы не можете найти производную в этом изломе, но с интегралами такой проблемы нет.Если есть перегиб или даже разрыв; нет проблем!

Вы можете просто поместить край прямоугольника в проблемную точку, а затем проигнорировать его. Фактически, подумайте (почти) о любой функции в своей голове … Вы можете взять ее интеграл. Он может иметь бесконечное значение или что-то в этом роде, но вы все равно можете взять интеграл.

Чтобы сделать функцию, которую нельзя интегрировать, нужно сделать ее бесконечно беспорядочной. Математики живут такими вещами. В мире почти нет ничего, что им нравилось бы больше, чем придумывать способы разрушить теории друг друга.Один из классических примеров – функция

.

В любом интервале, который вы выбираете, f по-прежнему бесконечно часто скачет, так что вся идея «все станет лучше по мере увеличения количества прямоугольников» никогда не сможет сдвинуться с мертвой точки.

Оставить комментарий