вычисление последовательности пределов
Вы искали вычисление последовательности пределов? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и вычисление предела последовательности, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели – у нас уже есть решение. Например, «вычисление последовательности пределов».
Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей
жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек
использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на
месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который
может решить задачи, такие, как вычисление последовательности пределов,вычисление предела последовательности,вычисление предела последовательности примеры,вычисление пределов последовательностей,вычисление пределов последовательности,вычисление пределов числовых последовательностей,вычислить предел последовательности,вычислить пределы последовательностей,вычислить пределы числовых последовательностей,как вычислить предел последовательности,как вычислять пределы последовательностей,как найти предел последовательности,как найти предел последовательности примеры,как находить пределы последовательности,как считать пределы последовательностей,найти предел последовательности,найти пределы последовательностей,нахождение предела последовательности,определение предела числовой последовательности,последовательности и пределы,последовательности пределы,предел арифметической прогрессии,предел последовательности,предел последовательности вычислить,предел последовательности для чайников,предел последовательности и предел функции,предел последовательности как вычислить,предел последовательности примеры,предел последовательности примеры решения,предел последовательности примеры решения для чайников,предел последовательности что такое,предел последовательности это,предел функции предел последовательности,предел числа,предел числовой последовательности,предел числовой последовательности для чайников,предел числовой последовательности это,пределы и последовательности,пределы последовательностей,пределы последовательности,пределы последовательности для чайников,пределы последовательности примеры решения,пределы числовой последовательности,пределы числовых последовательностей,свойства последовательности пределов,свойства пределов последовательностей,свойства пределов последовательности,числовая последовательность и ее предел,числовая последовательность предел числовой последовательности,что называется пределом числовой последовательности.
Где можно решить любую задачу по математике, а так же вычисление последовательности пределов Онлайн?
Решить задачу вычисление последовательности пределов вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать – это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.
3. Основные свойства пределов
1. Последовательность называется постоянной, если все её члены равны постоянному числу , т.
е. , при всех . Предел постоянной последовательности равен постоянному числу , т. е. если , то .
2. Если , то , где – бесконечно малая последовательность.
3. Если последовательность имеет предел, то она ограничена, т. е. если , то , где – некоторое положительное число.
4. Если последовательность имеет предел, то он один.
5. Предел суммы двух последовательностей равен сумму их пределов, если предел каждого слагаемого существует, т. е.
,
Если пределы справа существуют.
Следствие. Предел суммы конечного числа последовательностей, имеющих предел, равен сумме их пределов.
6. Предел произведения двух сходящихся последовательностей равен произведению их пределов, т. е.
,
Если пределы справа существуют.
Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела, т. е.
.
Следствие 2. Предел произведения конечного числа сходящихся последовательностей равен произведению пределов сомножителей.
Следствие 3. Предел степени последовательности, имеющей предел, равен степени предела последовательности, т. е.
,
Если существует и – конечное число.
Следствие 4. Предел корня из сходящейся последовательности равен корню той же степени из предела последовательности, т. е.
,
Если предел справа существует (предполагается также, что корни слева и справа существуют, т. е. если корни являются корнями четной степени, то подкоренные выражения неотрицательны).
7. Предел частного двух сходящихся последовательностей равен частному их пределов, если предел делителя не равен нулю, т. е.
,
Если пределы справа существуют и .
В тех случаях, когда пределы отдельных последовательностей, над которыми производятся действия, не существуют, то это еще не означает, что не существует общий предел (предел результата действий). Последний может существовать, только он не может быть найден с помощью указанных свойств пределов; его следует находить в каждом отдельном случае особыми приемами.
То же самое можно сказать и о пределе частного, когда пределы делимого и делителя равны нулю.
Рассмотрим примеры на нахождение пределов последовательностей.
Пример 7. Дана последовательность . Доказать, что .
Доказательство. Пусть задано . Найдём разность
.
По определению предела должно выполняться неравенство
,
Откуда
.
Следовательно, , если . Поэтому .
Находить пределы последовательностей, пользуясь непосредственно определением предела, нецелесообразно. Рассмотренный предел можно найти, применяя свойства пределов:
.
Обычно все промежуточные выкладки опускают, и решение выглядит так:
.
Пример 8. Найти предел .
Решение. Рассмотрим отдельно три случая:
.
а) Пусть ; тогда
.
б) Пусть ; тогда
.
в) Пусть ; тогда
.
Ответ:
Пример 9. Найти предел .
Решение. Вынося старшие степени числителя и знаменателя за скобки, имеем:
.
Пример 10. Найти предел .
Решение. Применить непосредственно свойства пределов здесь нельзя. Чтобы найти данный предел, умножим и разделим выражение, стоящее под знаком предела, на сопряженное ему, тогда
(второй предел равен нулю).
Следовательно, числитель есть общий член бесконечно малой последовательности. Так как знаменатель – общий член бесконечно большой последовательности, то последовательность бесконечно мала, а ее предел равен нулю.
Ответ: .
Пример 11. Найти предел .
Решение. Частное от деления ограниченной последовательности на бесконечно большую есть бесконечно малая последовательность (свойство 6 бесконечно малых последовательностей). Поэтому предел равен нулю.
Ответ: .
Иногда при нахождении пределов формальные преобразования не достигают цели и нужно рассмотрение по существу. Например, при изучении выражений, содержащих , при , надо иметь в виду, что при значение при , а при значение неограниченно растет.
Пример 12. Найти .
Решение. Рассмотрим отдельно три случая:
.
а) Пусть ; тогда
.
б) Пусть ; тогда
.
в) Пусть ; тогда
.
Ответ:
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
Питон | Метод sympy.limit() – GeeksforGeeks
Улучшить статью
Сохранить статью
- Последнее обновление: 11 авг, 2021
Улучшить статью
Сохранить статью
С помощью метода sympy.limit() можно найти предел любого математического выражения,
например,
(1)
Синтаксис: limit, variable
Параметры:
выражение – Математическое выражение, над которым должна выполняться операция ограничения, т.е. е., f(x).
переменная – Это переменная в математическом выражении, т.е. е., х
значение – Это значение, к которому стремится предел, т.е. е., а.
Возвращает: Возвращает предел математического выражения при заданных условиях.
Пример №1:
Python3
|
Вывод:
Выражение: sin(x)/x Предел выражения стремится к 0 : 1
Пример #2:
Python3
|
Вывод: 7* 90
Предел выражения стремится к 0 : 3
Статьи по теме
Что нового
Мы используем файлы cookie, чтобы обеспечить вам максимальное удобство просмотра нашего веб-сайта. Используя наш сайт, вы подтверждаете, что вы прочитали и поняли наши Политика в отношении файлов cookie и Политика конфиденциальности
4.
3 Жесткий предел
Мы хотим вычислить этот предел: $$\lim_{\Delta x\to0} {\sin\Delta x\over \Delta x}.$$ Эквивалентно, чтобы немного упростить запись, мы можем вычислить $$\lim_{x\to0} {\sin x\over x}.$$ В исходном контексте нам нужно разделить $x$ и $\Delta x$, но здесь не помешает переименовать $\Delta x$ во что-то большее удобный.
Для этого мы нужно быть весьма умным и использовать некоторые косвенные рассуждения. косвенное рассуждение воплощено в теореме, часто называемой теорема сжатия .
Теорема 4.3.1 (теорема сжатия) Предположим, что $g(x) \le f(x) \le h(x)$ для всех $x$, близких к $a$, но не равно $a$. Если $\lim_{x\to a}g(x)=L=\lim_{x \to a}h(x)$, то $\lim_{x\to a}f(x)=L$. $\qed$
Эту теорему можно доказать, используя официальное определение предела. Мы
не буду доказывать это здесь, но отметим, что это легко понять и
верить графически. Условие говорит о том, что $f(x)$ заперта между
$g(x)$ внизу и $h(x)$ вверху, а при $x=a$ и $g$, и $h$
приблизиться к одному и тому же значению.
2/2$. С небольшой алгеброй
это превращается в $(\sin x)/x \le 1/\cos x$, что дает нам $h$, который мы ищем.
Рисунок 4.3.2. Визуализация $\sin x / x$.
Чтобы найти $g$, заметим, что круговой клин полностью содержится
внутри большего треугольника. Высота треугольника от $(1,0)$
точки $B$, равно $\tan x$, поэтому, сравнивая площади, получаем
$x/2 \le (\tan x)/2 = \sin x / (2\cos x)$. С небольшой алгеброй это
становится $\cos x \le (\sin x)/x$. Итак, теперь у нас есть
$$ \cos x \le {\sin x\over x}\le {1\over\cos x}.$$
Наконец, два предела $\lim_{x\to0}\cos x$ и $\lim_{x\to0}1/\cos x$
легко, потому что $\cos(0)=1$. По теореме сжатия
$\lim_{x\to0} (\sin x)/x = 1$.
92 х\над х(\cos х+1)}=
- {\ грех х \ над х} {\ грех х \ над \ потому что х + 1}. $ $
Для вычисления желаемого предела достаточно вычислить пределы
две последние дроби, когда $x$ становится 0. Первая из них — это
жесткое ограничение, которое мы только что сделали, а именно 1. Второй оказывается
просто, потому что знаменатель не представляет проблемы:
$$\lim_{x\to0}{\sin x\over \cos x + 1}={\sin 0\over \cos 0+1}=
{0\больше 2} = 0.