Как найти частные производные функции: Частные производные и полный дифференциал - Санкт-Петербургское государственное бюджетное учреждение социального обслуживания населения

Содержание

Частные производные функции нескольких переменных

21 сентября 2015

Рассмотрим функцию от двух переменных:

\[f=f\left( x,y \right)\]

Поскольку переменные $x$ и $y$ являются независимыми, для такой функции можно ввести понятие частной производной:

Частная производная функции $f$ в точке $M=\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ по переменной $x$ — это предел
\[{{{f}’}_{x}}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( {{x}_{0}}+\Delta x;{{y}_{0}} \right)}{\Delta x}\]
Аналогично можно определить частную производную по переменной $y$ :
\[{{{f}’}_{y}}=\underset{\Delta y\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}}+\Delta y \right)}{\Delta y}\]

Другими словами, чтобы найти частную производную функции нескольких переменных, нужно зафиксировать все остальные переменные, кроме искомой, а затем найти обычную производную по этой искомой переменной.

{\prime }}_{y}=0+10x=10x. \\\end{align}$

Очевидно, что частные производные по разным переменным дают разные ответы — это нормально. Куда важнее понимать, почему, скажем, в первом случае мы спокойно вынесли $10y$ из-под знака производной, а во втором — вовсе обнулили первое слагаемое. Всё это происходит из-за того, что все буквы, кроме переменной, по которой идёт дифференцирование, считаются константами: их можно выносить, «сжигать» и т.д.

Что такое «частная производная»?

Сегодня мы поговорим о функциях нескольких переменных и о частных производных от них. Во-первых, что такое функция нескольких переменных? До сих пор мы привыкли считать функцию как $y\left( x \right)$ или $t\left( x \right)$, или любую переменную и одну-единственную функцию от нее. Теперь же функция у нас будет одна, а переменных несколько. При изменении $y$ и $x$ значение функции будет меняться. Например, если $x$ увеличится в два раза, значение функции поменяется, при этом если $x$ поменяется, а $y$ не изменится, значение функции точно так же изменится.

Разумеется, функцию от нескольких переменных, точно так же как и от одной переменной, можно дифференцировать. Однако поскольку переменных несколько, то и дифференцировать можно по разным переменным. При этом возникают специфические правила, которых не было при дифференцировании одной переменной.

Прежде всего, когда мы считаем производную функции от какой-либо переменной, то обязаны указывать, по какой именно переменной мы считаем производную — это и называется частной производной. Например, у нас функция от двух переменных, и мы можем посчитать ее как по $x$, так и по $y$ — две частных производных у каждой из переменных.

Во-вторых, как только мы зафиксировали одну из переменных и начинаем считать частную производную именно по ней, то все остальные, входящие в эту функцию, считаются константами. Например, в $z\left( xy \right)$, если мы считаем частную производную по $x$, то везде, где мы встречаем $y$, мы считаем ее константой и обращаемся с ней именно как с константой.

{\prime }}_{y}=\]

\[=\frac{1}{x+\ln y}\left( 0+\frac{1}{y} \right)=\frac{1}{y\left( x+\ln y \right)}\]

Задача решена.

Нюансы решения

Итак, от какой бы функции мы не брали частную производную, правила остаются одними и теми же, независимо от того, работаем ли мы с тригонометрией, с корнями или с логарифмами.

Неизменными остаются классические правила работы со стандартными производными, а именно, производная суммы и разности, частного и сложной функции.

Последняя формула чаще всего и встречается при решении задач с частными производными. Мы встречаемся с ними практически везде. Ни одной задачи еще не было, чтобы там нам она не попадалась. Но какой бы мы формулой не воспользовались, нам все равно добавляется еще одно требование, а именно, особенность работы с частными производными. Как только мы фиксируем одну переменную, все остальные оказываются константами. В частности, если мы считаем частную производную выражения $\cos \frac{x}{y}$ по $y$, то именно $y$ и является переменной, а $x$ везде остается константой.

{z}}\]

Мы посчитали третью производную, на чем решение второй задачи полностью завершено.

Нюансы решения

Как видите, ничего сложного в этих двух примерах нет. Единственное, в чем мы убедились, так это в том, что производная сложной функции применяется часто и в зависимости от того, какую частную производную мы считаем, мы получаем разные ответы.

В последней задаче нам было предложено разобраться с функцией сразу от трех переменных. Ничего страшного в этом нет, однако в самом конце мы убедились, что все они друг от друга существенно отличаются.

Ключевые моменты

Окончательные выводы из сегодняшнего видеоурока следующие:

Частные производные считаются так же, как и обычные, при этом, чтобы считать частную производную по одной переменной, все остальные переменные, входящие в данную функцию, мы принимаем за константы.

При работе с частными производными мы используем все те же стандартные формулы, что и с обычными производными: сумму, разность, производную произведения и частного и, разумеется, производную сложной функции.

Конечно, просмотра одного этого видеоурока недостаточно, чтобы полностью разобраться в этой теме, поэтому прямо сейчас на моем сайте именно к этому видео есть комплект задач, посвященных именно сегодняшней теме — заходите, скачивайте, решайте эти задачи и сверяйтесь с ответом. И после этого никаких проблем с частными производными ни на экзаменах, ни на самостоятельных работах у вас не будет. Конечно, это далеко не последний урок по высшей математике, поэтому заходите на наш сайт, добавляйтесь ВКонтакте, подписывайтесь на YouTube, ставьте лайки и оставайтесь с нами!

Смотрите также:

Работа с формулами в задаче B12
Как решать квадратные уравнения
Площадь круга
Пробный ЕГЭ 2012 от 7 декабря. Вариант 7 (без производной)
Задачи про температуру и энергию звезд

Частные производные первого, второго и третьего порядка: понятия и примеры решений

Чтобы понять частные производные, сначала нужно разобраться с обычными.

И не нужно ничего искать: в нашей отдельной статье мы уже подготовили все для того, чтобы у вас это получилось. А сейчас речь пойдет о частных производных.

Добро пожаловать на наш телеграм-канал за полезной рассылкой и актуальными студенческими новостями.

Функция двух и более переменных

Прежде чем говорить о частных производных, нужно затронуть понятие функции нескольких переменных, без которого нет смысла в частной производной. В школе мы привыкли иметь дело с функциями одной переменной:

Производными таких функций мы и считали раньше. График функции одной переменной представляет собой линию на плоскости: прямую, параболу, гиперболу и т.д.

А что, если добавить еще одну переменную? Получится такая функция:

Это – функция двух независимых переменных x и y. График такой функции представляет собой поверхность в трехмерном пространстве: шар, гиперболоид, параболоид или еще какой-нибудь сферический конь в вакууме. Частные производные функции z по иксу и игреку соответственно записываются так:

Существуют также функции трех и более переменных.

Правда, график такой функции нарисовать невозможно: для этого понадобилось бы как минимум четырехмерное пространство, которое невозможно изобразить.

Частная производная первого порядка

Запоминаем главное правило:

При вычислении частной производной по одной из переменных, вторая переменная принимается за константу. В остальном правила вычисления производной не меняются.

То есть, частная производная по сути ничем не отличается от обычной. Так что, держите перед глазами таблицу производных элементарных функций и правила вычисления обычных производных. Рассмотрим пример, чтобы стало совсем понятно. Допустим, нужно вычислить частные производные первого порядка следующей функции:

Сначала возьмем частную производную по иксу, считая игрек обычным числом:

Теперь считаем частную производную по игреку, принимая икс за константу:

Как видите, ничего сложного в этом нет, а успех с более сложными примерами – лишь дело практики.

Частная производная второго порядка

Как находится частная производная второго порядка? Так же, как и первого. Чтобы найти частные производные второго порядка, нужно просто взять производную от производной первого порядка. Вернемся к примеру выше и посчитаем частные производные второго порядка.

По иксу:

По игреку:

Частные производные третьего и высших порядков не отличаются по принципу вычисления. Систематизируем правила:

При дифференцировании по одной независимой переменной, вторая принимается за константу.
Производная второго порядка – это производная от производной первого порядка. Третьего порядка – производная от производной второго порядка и т.д.

Частные производные и полный дифференциал функции

Частый вопрос в практических заданиях – нахождение полного дифференциала функции. Для функции нескольких переменных полный дифференциал определяется, как главная линейная часть малого полного приращения функции относительно приращений аргументов.

Определение звучит громоздко, но с буквами все проще. Полный дифференциал первого порядка функции нескольких переменных выглядит так:

Зная, как считаются частные производные, нет никакой проблемы вычислить и полный дифференциал.

Частные производные – не такая уж и бесполезная тема. Например, дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка широко используются для математического описания реальных физических процессов.

Здесь мы дали лишь общее, поверхностное представление о частных производных первого и второго порядка. Вас интересует эта тема или остались конкретные вопросы? Задавайте их в комментариях и обращайтесь к экспертам профессионального студенческого сервиса за квалифицированной и скорой помощью в учебе. С нами вы не останетесь один на один с проблемой!

Автор: Иван

Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.

Частные производные, примеры решений

Теория по частным производным

Пусть функция двух переменных – непрерывна и дифференцируема. Частной производной по называется производная от этой функции по при условии, что – константа. Частной производной по называется производная от этой функции по при условии, что – константа.

Полный дифференциал функции , находится по формуле

Частные производные второго порядка находят дифференцированием производных первого порядка:

При нахождении частных производных, правила и таблица производных элементарных функций справедливы и применимы для любой переменной, по которой ведется дифференцирование.

Примеры

ПРИМЕР 4

Задание

Найти все производные второго порядка для функции

Решение

Сначала отыщем все производные первого порядка. При нахождения производной , дифференцируем исходную функцию по ; считается константой. Учитывая свойство линейности производной и формулу для вычисления степенной функции, получим

При нахождения производной , дифференцируем по , а считаем константой, получим:

Теперь перейдем к вычислению производных второго порядка. По определению, вторая производная по равна . Следовательно, от первой производной нужно взять производную по , при этом считаем константой:

Аналогично вычислим частную производную второго порядка по :

Вычислим смешанные производные второго порядка. По определению, смешанная производная равна , то есть от первой производной нужно взять производную по , при этом считаем константой:

Производная , то есть от первой производной берем производную по , а переменную считаем константой:

Ответ

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Частная производная онлайн

Понятие частной производной применимо только к функциям многих переменных. Рассмотрим функцию двух переменных z=f(x,y). Частные производные по переменным x и y записываются в виде ∂z∂x и ∂z∂y соответственно. Сами частные производные ∂z∂x и ∂z∂y также являются функциями двух переменных: ∂z∂xpx,y и ∂z∂yqx,y , поэтому от них тоже можно взять производные:

∂p∂x∂∂x∂z∂x∂2z∂x2

∂q∂y∂∂y∂z∂y∂2z∂y2

∂p∂y∂∂y∂z∂x∂2z∂x∂y

∂q∂x∂∂x∂z∂y∂2z∂y∂x

Производные ∂2z∂x2 и ∂2z∂y2 – являются вторыми частными производными функции z по переменным x и y соответственно. Производные ∂2z∂x∂y и ∂2z∂y∂x – называются смешанными производными функции z по переменным x, y и y, x соответственно. При условии, что функция z и её смешанные производные ∂2z∂x∂y и ∂2z∂y∂x определены в некоторой окрестности точки M(x₀,y₀) и непрерывны в этой точке, выполняется равенство:

∂2z∂x∂y∂2z∂y∂x

По аналогии, можно ввести производные более высоких порядков, например, запись ∂5z∂x2∂y3 означает, что мы должны продифференцировать функцию z по переменной x два раза, а затем по переменной y три раза, т.е. фактически:

∂5z∂x2∂y3∂3∂y3∂2z∂x2∂∂y∂∂y∂∂y∂∂x∂z∂x

Иногда, для обозначения частных производных некоторой функции z=f(x,y) используют запись вида: f_x‘(x,y) и f_y‘(x,y), указывая переменную по которой происходит дифференцирование. Таким образом можно обозначать и смешанные производные: f_xy”(x,y) и f_yx”(x,y) а также вторые производные и производные более высокого порядка: f_xx”(x,y) и f_xxy”'(x,y) соответственно. Следующие обозначения эквиваленты:

В нашем онлайн калькуляторе для обозначения частных производных используются символы: ∂z∂x ; ∂z∂y ; ∂5z∂x2∂y3 . Пример подробного решения, выдаваемого нашим онлайн сервисом, можно посмотреть здесь.

08.3.1. Частные производные функции нескольких переменных. Частные прои

Пусть функция двух переменных Z = F(X, у) определена в некоторой окрестности точки М(X, У) евклидова пространства Е2. Частная производная функции Z = F(X, У) по аргументу X является обыкновенной производной функции одной переменной Х при фиксированном значении переменной У и обозначается как

Аналогичным образом определяется частная производная функции F(X, У) по переменной У в точке М, обозначаемая как

Функция, имеющая частные производные, называется Дифференцируемой.

Совершенно аналогично определяются частные производные функций трех и более переменных. Частная производная функции нескольких переменных характеризует скорость ее изменения по данной координате при фиксированных значениях других координат.

Найти частные производные следующих функций.

Решение. Дифференцируем функцию Z = F(X, Y) сначала по Х, полагая У фиксированной величиной, потом повторяем эту же процедуру, меняя роли X и У. Получаем

Ррешение. Частные производные этой функции трех переменных выражаются следующими формулами:

Пример 4. Найти предельные показатели продукции Q при изменении одного из факторов: затрат капитала К или величины трудовых ресурсов L — по функции Кобба—Дугласа

Решение. Частные производные этой функции

Дают решение сформулированной выше задачи. Очевидно, что в функции Кобба—Дугласа показатели степеней α и l — α представляют собой соответственно коэффициенты эластичности EK(Q) и EL(Q) по каждому из входящих в нее аргументов.

< Предыдущая		Следующая >

x y производная по x

Вы искали x y производная по x? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и вычисление частных производных онлайн, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели – у нас уже есть решение. Например, «x y производная по x».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как x y производная по x,вычисление частных производных онлайн,как найти частную производную,как найти частные производные,калькулятор производных нескольких переменных онлайн,калькулятор производных онлайн нескольких переменных,калькулятор функции нескольких переменных онлайн,калькулятор частной производной онлайн,калькулятор частные производные,калькулятор частных производных,калькулятор частных производных онлайн,матпрофи частные производные,найти частную производную,найти частную производную онлайн,найти частные производные,найти частные производные второго порядка онлайн,найти частные производные второго порядка онлайн калькулятор,найти частные производные онлайн,найти частные производные онлайн с решением,найти частные производные первого порядка,найти частные производные первого порядка онлайн с решением,найти частные производные функции,найти частные производные функции онлайн с решением,нахождение частной производной онлайн,нахождение частных производных,нахождение частных производных онлайн,онлайн вычисление частных производных,онлайн калькулятор производные высших порядков,онлайн калькулятор производных нескольких переменных,онлайн калькулятор функции нескольких переменных,онлайн калькулятор частной производной,онлайн калькулятор частные производные,онлайн калькулятор частных производных,онлайн нахождение частных производных,онлайн решение частных производных,онлайн частные производные функции,по x по y,примеры частная производная,примеры частные производные,производная x y по y,производная двух переменных,производная двух переменных онлайн,производная нескольких переменных,производная онлайн двух переменных,производная онлайн от двух переменных,производная онлайн по x и y,производная от двух переменных,производная от двух переменных онлайн,производная по x и y онлайн,производная функции двух переменных,производная функции двух переменных онлайн,производное частное,производные частные примеры,решение онлайн частных производных,решение частных производных,решение частных производных онлайн,таблица частных производных,функции нескольких переменных калькулятор онлайн,функции нескольких переменных онлайн калькулятор,функции нескольких переменных частные производные,частная производная,частная производная онлайн,частная производная онлайн калькулятор,частная производная функции,частная производная что такое,частная производная это,частное производное,частные производные,частные производные 2 порядка,частные производные второго порядка,частные производные второго порядка онлайн,частные производные второго порядка онлайн калькулятор,частные производные для чайников,частные производные калькулятор,частные производные калькулятор онлайн,частные производные матпрофи,частные производные онлайн,частные производные онлайн калькулятор,частные производные онлайн калькулятор с подробным решением,частные производные первого и второго порядка,частные производные первого порядка,частные производные первого порядка калькулятор онлайн,частные производные первого порядка онлайн калькулятор,частные производные примеры,частные производные примеры с решением,частные производные функции,частные производные функции двух переменных,частные производные функции нескольких переменных,частные производные функции онлайн,частные производные функции с тремя неизвестными,что такое частная производная. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и x y производная по x. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, как найти частную производную).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же x y производная по x Онлайн?

Решить задачу x y производная по x вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать – это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Частная производная функции с примерами решения

Содержание:

Понятие функции многих независимых переменных
Область определения, предел и непрерывность функции двух переменных
Область определения.
Предел функции двух переменных.
Частные производные первого порядка
Частные производные второго порядка
Частные производные высших порядков

Дана функция . Частной производной по этой функции называется ее производная по , вычисленная в предположении, что . Эта частная производная по обозначается , либо , либо , либо .

Поскольку мы считаем, что остается постоянной, то получим функцию одного аргумента . Указанную производную определим известным способом — для данного приращения возьмем приращение рассматриваемой функции. Оно будет частным приращением по , так как: . Согласно определению производной

Частной производной по функции называется ее производная по вычисленная в предположении, что остается постоянной. Эта производная обозначается , либо , либо , либо и по аналогии с предыдущим определяется формулой

где

Аналогично определяются частные производные функций переменных.

Пусть дана функция переменных . Предположим, что изменяется, например, только , а все остальные аргументы остаются постоянными. Тогда мы можем вычислить частную производную по этой функции

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Примеры с решением

Пример 1.

Найти частные производные функции .

Частная ее производная по вычисляется в предположении, что . Тогда получим степенную функцию вида , поэтому Частная производная по этой функции берется при , т. е. мы получим показательную функцию вида , следовательно, z.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Понятие функции многих независимых переменных

Если каждой паре чисел и , называемых независимыми переменными, однозначно соответствует число называемое зависимой переменной, то говорят, что есть функция двух переменных; тогда записывают:

Функции двух и более независимых переменных находят широкое применение в экономике. Приведем примеры лишь некоторых из них:

Издержки производства являются функцией материальных затрат и расходов на оплату рабочей силы
Производительность труда является функцией от уровня квалификации и уровня автоматизации труда
Спрос на товар является функцией цены товара и средней заработной платы .

В трехмерном пространстве оси координат обозначают через

Поэтому функцию двух переменных часто записывают и так:

Такая запись удобна для геометрического ее изображения. Например, графическое представление функции

есть плоскость, проходящая через точки (0, 0, 1), (0, 1, 0), (1, О, 0)

Вообще, функция двух переменных изображается в пространстве некоторой поверхностью (а не линией, как в случае функции одной переменной). Каждой паре чисел и соответствует точка плоскости . В точке проводим прямую, перпендикулярную плоскости , и отмечаем на ней соответствующее значение функции ; получаем в пространстве точку с координатами которая обозначается символом .

Точки , соответствующие разным значениям независимых переменных, и образуют некоторою поверхность в пространстве. Такая поверхность и есть геометрическое изображение функции . Например, геометрическое изображение функции

для переменных и есть полусфера (рис. 14.1).

Покажем это с помощью сечений координатными плоскостями.

Если , то , и, следовательно, сечение плоскостью есть окружность радиуса 1. Если , то ; сечение плоскостью есть полуокружность. Если , то ; сечение плоскостью есть полуокружность.

Как и функцию одной переменной, функцию двух переменных можно представить не только графически, но и аналитически и в виде таблицы.

Аналитическое выражение для плоскости, проходящей через три точки (0,0,1), (0,1,0), (1,0,0),

есть функция

С помощью таблицы функцию можно определить для некоторых значений независимых переменных и следующим образом:

В этой таблице каждой паре значений соответствует значение Например, паре (1, 0) соответствует значение функции , а паре (2, 3) соответствует значение функции .

Представление о функции может дать и метод линий уровня. Геометрическое место точек плоскости, в которых функция принимает постоянное значение, называется линией уровня. Это линия пересечения поверхности плоскостью и ортогонально спроектированная на плоскость . Сделав несколько таких сечений плоскостями , которые отстоят друг от друга на равное расстояние, и вычертив линии уровня, можно составить представление о самой поверхности. Там где линии уровня проходят близко друг к другу, поверхность поднимается круто, а значит, и функция изменяется быстрее по сравнению с изменением функции в тех местах, где расстояние между соседними линиями больше. Поверхность, определяемая уравнением , и ее соответствующие линии уровня изображены на рис. 14.2. Из рисунка видно: чем дальше от начала координат расположены линии уровня, тем они ближе подходят друг к другу. Это означает, что при удалении от начала координат поверхность поднимается все круче. Обратно, чем ближе к началу координат, тем медленнее меняется функция.

Метод линий уровня широко используется в социально-экономической сфере. О его некоторых приложениях изложено в п. 16.5.

Область определения, предел и непрерывность функции двух переменных

Область определения.

Множество всех значений независимых переменных и , для которых определена функция (для которых она вообще имеет смысл), называется областью определения этой функции.

Например, область определения функции

есть вся плоскость , так как соответствующая формула имеет смысл при всех значениях и . Формула

имеет смысл только при тех действительных и , при которых

Поэтому соответствующая функция определена лишь в круге

Предел функции двух переменных.

Говорят, что последовательность точек с координатами стремится к точке с координатами , если последовательность расстояний точек от точки стремится к нулю при . Таким образом, последовательность точек стремится к , если

т. е. если стремится к , a — к .

Говорят, что есть предел функции , где стремится к , если для каждой последовательности точек , отличных от и стремящихся к , последовательность стремится к при .

Это записывается следующим образом:

или

Пример 2.

Найти Решение:

Пример 3.

Найти Решение:

Теоремы о пределе суммы, разности, произведения и частного двух функций, выведенные для функций одной переменной, справедливы и для функций двух переменных. Таким образом, имеют место следующие теоремы.

Теорема 1. Предел суммы, (разности) двух функций в точке равен сумме (разности) пределов этих функций в той же точке, т. е. если при, —> имеет место

то

Теорема 2. Предел произведения двух функций в точке равняется произведению пределов этих функций в этой, точке, т. е. если при —> имеет место

то

Теорема 3. Предел частного двух функций в точке равняется частному пределов этих функций в той же точке (при условии, что ни значение функции-делителя в окрестности этой точки, ни знамение предела этой функции не равны нулю), т. е. если при —> имеет место

то при условии, что и ; имеем:

Говорят, что функция непрерывна в точке , если она определена в этой точке и если

т. е. если значение функции в точке равно пределу функции в этой точке.

Другими словами, функция непрерывна в точке , если бесконечно малым изменениям значений и соответствует бесконечно малое изменение значения .

График непрерывной функции представляет собой поверхность без разрывов и проколов. Функция называется непрерывной в области D, если она непрерывна в каждой точке этой области.

Например, функция непрерывна везде, так как

Частные производные первого порядка

Рассмотрим функцию . Пусть независимая переменная у приняла постоянное значение , а переменная изменяется. Тогда из функции двух переменных получим функцию одной независимой переменной Ее графиком является линия пересечения поверхности и плоскости (рис. 14.3).

Как мы знаем, производной от функции одной переменной называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Поскольку является функцией одной переменной, ее производная в точке вычисляется по формуле

Эта производная называется частной производной от функции двух переменных в точке

Частную производную для функции можно вычистить не только при , но и при других фиксированных значениях . Кроме того, можно также определить и частную производную .

Обозначим через приращение переменной введем также обозначение

Приращение называют частным приращением функции по переменной .

Аналогично, если неременная получает приращение , а остается постоянной, то частное приращение функции по переменной имеет следующий вид:

Если существует предел

то этот предел называется частной производной первого порядка или первой частной производной по переменной она обозначается следующими символами:

Аналогично определяется первая частная производная по переменной

как предел отношения

Обозначение читается «дэ зет по дэ икс», читается «зет штрих по икс». Аналогично читаются обозначения и ‘

Заметим, что обозначения частных производных и отличаются от обозначения производной тем, что для обозначения частных производных используется «круглое» , а для обозначения производной — «прямое» .

Как и производной функции одной переменной, частным производным функции двух переменных также можно придать геометрический, механический и экономический смыслы.

В геометрическом смысле производная представляет собой тангенс угла наклона касательной к кривой в точке . Другими словами, равна тангенсу угла между касательной и линией, параллельной оси и проходящей через точку

В механическом, смысле частная производная показывает, во сколько раз быстрее изменяется функция но сравнению с изменением аргумента, когда второй аргумент зафиксирован.

Частная производная от производственной функции показывает отзывчивость функции выхода продукта. Другими словами, в экономическом смысле частная производная есть количество продукции, приходящееся на единицу величины одного фактора, при условии, что второй фактор остается постоянным.

Поскольку определение частной производной вполне сходно с определением производной для функции одной переменной, теоремы о производных соответствуют и частным производным функции двух переменных.

Так как частная производная по любой переменной является производной но этой переменной, найденной при условии, что другая переменная постоянна, то правила дифференцирования функций одной переменной применимы для нахождения частных производных двух переменных.

Пример 4.

Найти первые частные производные функции .

Решение:

Чтобы найти частную производную по , принимаем за постоянную и находим производную по :

(Производную приняли равной нулю, поскольку считаем постоянным чистом. В первом слагаемом постоянную вынесли за знак производной.)

Чтобы найти частную производную но , принимаем за постоянную и находим производную по :

Пример 5.

Найти первые частные производные функции .

Решение:

Чтобы найти частную производную по принимаем за постоянную и находим производную по :

Чтобы найти частную производную по , принимаем за постоянную и находим производную по :

Пример 6.

Найти первые частные производные функции в точке .

Решение:

В предыдущем примере было найдено

Вычислим значения этих производных в точке :

Пример 7.

Найти первые частные производные функции

Решение:

Чтобы найти частную производную по , принимаем за постоянную и находим производную по :

Задача:

Найти первые частные производные функции

в точке

Ответ:

Частные производные второго порядка

Предположим, что скапярнал функция во всех точках в некоторой окрестности точки имеет частную производную. Эта частная производная сама является функцией многих переменных, определенной в окрестности , и может оказаться, что она имеет частную производную в точке , например по переменному . Частную производную

функции называют частной производной второго порядка функции в точке по переменным и и обозначают*

или

*Иногда используют другой порядок переменных в обозначении частных производных, а именно

Производные в связи с этим называют частными производными первого порядка.

Всего у скалярной функции переменных в заданной точке может быть частных производных второго порядка. При их называют смешанными. При используют обозначения

или .

Если для скалярной функции в точке существуют все частные производные второго порядка, то из них можно составить квадратную матрицу порядка

которую называют матрицей Гессе*.

Пример 8.

У функции трех переменных в первом октанте, т.е. в области

существуют все частные производные первого порядка:

Эта функция в первом октанте имеет и частные производные второго порядка, которые вычисляются как частные производите первого порядка от уже найденных производных.

Вычисляя частные производные первого порядка функции по переменным и , находим

Аналогично, используя частные производные и получаем

Отметим, что смешанные производные во всех точках первого октанта удовлетворяют равенствам

Пример 9.

Найдем все частные производные второго порядка для функции двух переменных и запишем для нее матрицу Гессе.

Решение:

Решение имеет вид

Обратим внимание на то, что в ответе получилась симметрическая матрица, т.е. в данном случае (как, кстати, и в примере 3.1) значение смешанных производных второго порядка не зависит от порядка дифференцирования (последовательности, в которой вычисляются частные производные первого порядка).

Как показывают рассмотренные примеры, в некоторых случаях смешанные производные, которые отличаются лишь порядком дифференцирования, совпадают. Следующая теорема дает достаточные условия для такого совпадения, т.е. условия, при выполнении которых значение смешанной производной не зависит от порядка дифференцирования.

Частные производные высших порядков

Дана функция . Пусть она имеет частные производные , при этом каждая из них в свою очередь есть функция от и . Например,, Поэтому от каждой из указанных частных производных в свою очередь можно взять частные производные как по , так и по , если они существуют. Эти производные называются вторыми частными производными, или частными производными второго порядка от функции и обозначаются так:

В последних обозначениях на первом месте пишется та переменная, по которой вначале проводится дифференцирование.

В качестве примера найдем вторые производные функции . Сначала находим , отсюда .

Производные и называются смешанными производными функции . В рассматриваемом примере , и это, оказывается, не случайно.

Теорема 9.2. Если для функции ее смешанные производные и непрерывны, то они равны друг другу, т.е. .

Принимается без доказательства.

Поскольку вторые частные производные функции в свою очередь являются функциями от и , от них можно снова взять частные производные как по , так и по , если они существуют. Продолжив этот процесс, можем найти производные любого -го порядка этой функции. Они обозначаются (когда мы дифференцируем раз по ). Если вначале раз дифференцируем по , а затем раз — по , то обозначаем это как . Если дифференцируем вначале раз по , а затем раз — по , то получим . Если дифференцируем раз по , то пишем .

Частные производные

Частичная производная – это производная, в которой некоторые переменные остаются постоянными. Как в этом примере:

Пример: функция для поверхности, которая зависит от двух переменных

x и y

Когда мы находим наклон в направлении x (при фиксированном y ), мы нашли частную производную.

Или мы можем найти наклон в направлении y (при сохранении фиксированного x ).

Давайте сначала подумаем о функции одной переменной (x):

f (x) = x ²

Мы можем найти его производную, используя правило мощности:

f ’(x) = 2x

А как насчет функции двух переменных (x и y):

f (x, y) = x ² + y ³

Мы можем найти его частную производную по x , если будем рассматривать y как константу (представьте, что y – это число вроде 7 или что-то в этом роде):

f ’_x = 2x + 0 = 2x

Пояснение:

производная x ² (по x) равна 2x
мы рассматриваем y как константу , поэтому y ³ также является константой (представьте, что y = 7, тогда 7 ³ = 343 также является константой), а производная константы равна 0

Чтобы найти частную производную по y , мы рассматриваем x как константу :

f ’_y = 0 + 3y ² = 3y ²

Пояснение:

мы теперь обрабатываем x как константу , поэтому x ² также является константой, а производная константы равна 0
производная y ³ (по y) равна 3y ²

Вот и все.Просто не забудьте рассматривать со всеми другими переменными, как если бы они были константами .

Удерживающая постоянная переменная

Так как же выглядит «сохранение переменной-константы»?

Пример: объем цилиндра V = π r

² h

Мы можем записать это в “многопеременной” форме как

f (r, h) = π r ² h

Для частной производной по r мы держим h постоянной , а r изменяется:

f ’_r = π (2r) h = 2πrh

(Производная r ² по r равна 2r, а π и h являются константами)

В нем говорится, что «при изменении только радиуса (на минимальную величину) объем изменяется на 2πrh»

Это как если бы мы добавляли скин с окружностью круга (2πr) и высотой h.

Для частной производной по h мы держим r постоянной :

f ’_h = π r ² (1) = πr ²

(π и r ² – константы, а производная h по h равна 1)

В нем говорится: «Поскольку изменяется только высота (на минимальную величину), объем изменяется на πr ²»

Это как если бы мы добавляли сверху самый тонкий диск с площадью круга πr ².

Давайте посмотрим на другой пример.

Пример: площадь поверхности квадратной призмы.

Поверхность включает верхнюю и нижнюю части площадью x ² каждая и 4 стороны площадью xy каждая:

f (x, y) = 2x ² + 4xy

f ’_x = 4x + 4y

f ’_y = 0 + 4x = 4x

Три или более переменных

У нас может быть 3 или более переменных.Просто найдите частную производную каждой переменной по очереди, рассматривая все остальные переменные как константы .

Пример: Объем куба с вырезанной из него квадратной призмой.

f (x, y, z) = z ³ – x ² y

f ’_x = 0 – 2xy = −2xy

f ’_y = 0 – x ² = −x ²

f ’_z = 3z ² – 0 = 3z ²

Когда есть много x и y, это может сбивать с толку, поэтому мысленный трюк состоит в том, чтобы заменить «постоянные» переменные на буквы, такие как «c» или «k», чтобы выглядело как как константы.

Пример: f (x, y) = y

³ sin (x) + x ² tan (y)

У него повсюду крестики и у! Итак, давайте попробуем трюк со сменой букв.

Что касается x, мы можем изменить «y» на «k»:

f (x, y) = k ³ sin (x) + x ² tan (k)

f ’_x = k ³ cos (x) + 2x tan (k)

Но не забудьте снова повернуть его обратно!

f ’_x = y ³ cos (x) + 2x tan (y)

Аналогичным образом по отношению к y мы превращаем «x» в «k»:

f (x, y) = y ³ sin (k) + k ² tan (y)

f ’_y = 3y ² sin (k) + k ² sec ² (y)

f ’_y = 3y ² sin (x) + x ² sec ² (y)

Но делайте это только в том случае, если у вас проблемы с запоминанием, поскольку это небольшая дополнительная работа.

Обозначение : мы использовали f ’_x для обозначения« частной производной по x », но еще одно очень распространенное обозначение – это использование забавного обратного d (∂), например:

∂f ∂x = 2x

Это то же самое, что:

f ’_x = 2x

∂ называется «дель», «ди» или «кудрявый ди»

Так ∂f ∂x можно сказать “del f del x”

Пример: найти частные производные от

f (x, y, z) = x ⁴ – 3xyz , используя обозначение curly dee

f (x, y, z) = x ⁴ – 3xyz

∂f ∂x = 4x ³ – 3yz

∂f ∂y = −3xz

∂f ∂z = −3xy

Возможно, вы предпочтете такую нотацию, она определенно выглядит круто.

Исчисление III – Частные производные

Показать уведомление для мобильных устройств Показать все заметки Скрыть все заметки

Похоже, вы используете устройство с “узкой” шириной экрана (, то есть , вероятно, вы используете мобильный телефон). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме.Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (вы сможете прокручивать их, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 2-2: Частные производные инструменты

Теперь, когда у нас есть краткое обсуждение ограничений, мы можем перейти к взятию производных от функций более чем одной переменной.Прежде чем мы фактически начнем брать производные функций более чем одной переменной, давайте вспомним важную интерпретацию производных функций одной переменной.

Напомним, что для данной функции одной переменной \ (f \ left (x \ right) \) производная \ (f ‘\ left (x \ right) \) представляет скорость изменения функции как \ (x \) меняется. Это важная интерпретация производных, и мы не собираемся терять ее с функциями более чем одной переменной. Проблема с функциями более чем одной переменной заключается в том, что существует более одной переменной.Другими словами, что нам делать, если мы хотим, чтобы изменилась только одна из переменных, или если мы хотим, чтобы изменилось несколько из них? Фактически, если мы позволим более чем одной из переменных измениться, тогда у них будет бесконечное количество способов изменения. Например, одна переменная может изменяться быстрее, чем другие переменные в функции. Также обратите внимание, что функция может изменяться по-разному в зависимости от того, как мы позволяем изменяться одной или нескольким переменным.

Нам нужно будет разработать способы и обозначения для решения всех этих случаев. В этом разделе мы собираемся сконцентрироваться исключительно на изменении только одной из переменных за раз, в то время как оставшиеся переменные остаются фиксированными. Мы рассмотрим возможность изменения нескольких переменных в следующем разделе.

Поскольку мы собираемся разрешить изменение только одной из переменных, взятие производной теперь станет довольно простым процессом. Давайте начнем это обсуждение с довольно простой функции.3} \) и давайте определим скорость, с которой функция изменяется в точке, \ (\ left ({a, b} \ right) \), если мы будем фиксировать \ (y \) и разрешить \ (x \ ), и если мы будем фиксировать \ (x \) и позволить \ (y \) меняться.

Мы начнем с рассмотрения случая, когда \ (y \) фиксируется, а \ (x \) может изменяться. Поскольку нас интересует скорость изменения функции в точке \ (\ left ({a, b} \ right) \) и мы фиксируем \ (y \), это означает, что мы всегда будем иметь \ (y = b \) (если бы у нас этого не было, то в конечном итоге \ (y \) пришлось бы изменить, чтобы добраться до сути…).2} \]

Обратите внимание, что эти две частные производные иногда называют частными производными первого порядка . Так же, как с функциями одной переменной, у нас могут быть производные всех порядков. В следующем разделе мы рассмотрим производные более высокого порядка.

Обратите внимание, что обозначение частных производных отличается от обозначения производных функций одной переменной. С функциями одной переменной мы можем обозначать производную одним штрихом.Однако с частными производными нам всегда нужно помнить переменную, по которой мы дифференцируем, и поэтому мы будем индексировать переменную, по которой мы производили дифференцирование. Вскоре мы увидим некоторые альтернативные обозначения для частных производных.

Также обратите внимание, что мы обычно не используем обозначение \ (\ left ({a, b} \ right) \) для частных производных, поскольку это подразумевает, что мы работаем с определенной точкой, чего мы обычно не делаем. Более стандартная запись – просто продолжать использовать \ (\ left ({x, y} \ right) \).2} \]

Теперь, как показал этот быстрый пример, получение производных от функций более чем одной переменной выполняется почти так же, как и получение производных от одной переменной. Чтобы вычислить \ ({f_x} \ left ({x, y} \ right) \) все, что нам нужно сделать, это рассматривать все \ (y \) как константы (или числа), а затем дифференцировать \ (x \ ) так же, как и всегда. Аналогичным образом, чтобы вычислить \ ({f_y} \ left ({x, y} \ right) \), мы будем рассматривать все \ (x \) как константы, а затем дифференцировать \ (y \), как мы привык делать.

Прежде чем приступить к каким-либо примерам, давайте разберемся с формальным определением частной производной, а также с некоторыми альтернативными обозначениями.

Поскольку мы можем рассматривать две указанные выше частные производные как производные от функций одной переменной, неудивительно, что определение каждой из них очень похоже на определение производной для функций с одной переменной. Вот формальные определения двух частных производных, которые мы рассмотрели выше.

\ [{f_x} \ left ({x, y} \ right) = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{f \ left ({x + h, y} \ right) – f \ left ({x, y} \ right)}} {h} \ hspace {0.5in} {f_y} \ left ({x, y} \ right) = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{f \ left ({x, y + h} \ right) – f \ left ({x, y} \ right)}} {h} \]

Если вы помните определение предела в Исчислении I, оно должно показаться знакомым, поскольку оно очень близко к определению Исчисления I с (возможно) очевидным изменением.

Теперь давайте кратко рассмотрим некоторые из возможных альтернативных обозначений для частных производных.Для функции \ (z = f \ left ({x, y} \ right) \) все следующие обозначения эквивалентны:

\ [\ begin {align *} {f_x} \ left ({x, y} \ right) & = {f_x} = \ frac {{\ partial f}} {{\ partial x}} = \ frac {\ partial } {{\ partial x}} \ left ({f \ left ({x, y} \ right)} \ right) = {z_x} = \ frac {{\ partial z}} {{\ partial x}} = {D_x} f \\ {f_y} \ left ({x, y} \ right) & = {f_y} = \ frac {{\ partial f}} {{\ partial y}} = \ frac {\ partial} { {\ partial y}} \ left ({f \ left ({x, y} \ right)} \ right) = {z_y} = \ frac {{\ partial z}} {{\ partial y}} = {D_y } f \ end {align *} \]

Для дробной записи для частной производной обратите внимание на разницу между частной производной и обычной производной из исчисления одной переменной.

\ [\ begin {align *} & f \ left (x \ right) \ hspace {0,25in} & \ Rightarrow & \ hspace {0,25in} & f ‘\ left (x \ right) & = \ frac {{df }} {{dx}} \\ & f \ left ({x, y} \ right) \ hspace {0,25 дюйма} & \ Rightarrow & \ hspace {0,25 дюйма} & {f_x} \ left ({x, y} \ right) & = \ frac {{\ partial f}} {{\ partial x}} \, \, \, \ & \, \, \, {f_y} \ left ({x, y} \ right) = \ frac {{\ partial f}} {{\ partial y}} \ end {align *} \]

Хорошо, давайте поработаем несколько примеров. При работе с этими примерами всегда помните, что нам нужно очень внимательно следить за тем, по какой переменной мы дифференцируем.3} \]

Обратите внимание, что второй и третий члены в этом случае дифференцируются до нуля. Должно быть понятно, почему третий член дифференцировался до нуля. Это константа, и мы знаем, что константы всегда равны нулю. Это также причина того, что второй член дифференцировался до нуля. Помните, что, поскольку мы дифференцируем по \ (x \), здесь мы будем рассматривать все \ (y \) как константы. Это означает, что термины, которые включают только \ (y \) ‘s, будут рассматриваться как константы и, следовательно, будут дифференцироваться до нуля.3} + 43x – 7 \ tan \ left ({4y} \ right) \) Показать решение

С помощью этой функции у нас есть три производные первого порядка для вычисления. Давайте сначала сделаем частную производную по \ (x \). Поскольку мы производим дифференцирование по \ (x \), мы будем рассматривать все \ (y \) и все \ (z \) как константы. Это означает, что второй и четвертый члены будут дифференцироваться до нуля, поскольку они включают только \ (y \) ’s и \ (z \)’ s.

Этот первый член содержит как \ (x \), так и \ (y \), поэтому, когда мы дифференцируем по \ (x \), \ (y \) будет считаться мультипликативной константой, и поэтому первый член будет дифференцирован так же, как третий член.

Вот частная производная по \ (x \).

\ [\ frac {{\ partial w}} {{\ partial x}} = 2xy + 43 \]

Теперь продифференцируем по \ (y \). В этом случае все \ (x \) ’и \ (z \)’ будут рассматриваться как константы. Это означает, что третий член будет дифференцироваться до нуля, поскольку он содержит только \ (x \), в то время как \ (x \) в первом члене и \ (z \) во втором члене будут рассматриваться как мультипликативные константы.3}}} \) Показать решение

Теперь мы не можем забыть правило продукта с производными финансовыми инструментами. Правило продукта здесь будет работать так же, как и с функциями одной переменной. Нам просто нужно быть внимательными, чтобы помнить, по какой переменной мы производим дифференциацию.

Начнем с дифференцирования по \ (x \). В этом случае и косинус, и экспонента содержат \ (x \) ‘s, и поэтому мы действительно получили произведение двух функций, включающих \ (x \)’ s, и поэтому нам нужно будет это произведение правил.3}}} \ end {выровнять *} \]

Не забывайте цепное правило для функций одной переменной. В следующем разделе мы рассмотрим цепное правило для некоторых более сложных выражений для функций с несколькими переменными. {f \ left (x \ right)}} \]

Теперь давайте продифференцируем по \ (y \).2}}} \) Показать решение

Теперь нам нужно быть осторожными, чтобы не использовать правило частного, если оно не требуется. Однако в этом случае у нас есть частное, поскольку \ (x \) и \ (y \) появляются только в числителе, а \ (z \) – только в знаменателе, это действительно не Это не проблема правила частного.

Давайте сначала сделаем производные по \ (x \) и \ (y \). В обоих этих случаях \ (z \) являются константами, поэтому знаменатель в нем является константой, и нам не нужно особо об этом беспокоиться.{- \ frac {1} {2}}} \ end {align *} \]

Итак, есть несколько примеров частных производных. Надеюсь, вы согласитесь с тем, что если мы не забываем рассматривать другие переменные как константы, они работают точно так же, как производные функций одной переменной. Итак, если вы умеете делать производные в исчислении I, у вас не должно возникнуть особых трудностей в выполнении основных частных производных. 6} = 5 \]

Последний шаг – найти решение относительно \ (\ frac {{dy}} {{dx}} \).3}}} \]

Итак, мы решили эту задачу, потому что неявное дифференцирование работает точно так же с функциями нескольких переменных. Если у нас есть функция в терминах трех переменных \ (x \), \ (y \) и \ (z \), мы будем предполагать, что \ (z \) на самом деле является функцией от \ (x \) и \ (у \). Другими словами, \ (z = z \ left ({x, y} \ right) \). Затем всякий раз, когда мы дифференцируем \ (z \) по отношению к \ (x \), мы будем использовать правило цепочки и добавлять \ (\ frac {{\ partial z}} {{\ partial x}} \). Аналогично, всякий раз, когда мы дифференцируем \ (z \) относительно \ (y \), мы добавляем \ (\ frac {{\ partial z}} {{\ partial y}} \).2} \ cos \ left ({2y – 5z} \ right) \ left ({- 5 \ frac {{\ partial z}} {{\ partial x}}} \ right) = – y \ sin \ left ({ 6zx} \ right) \ left ({6z + 6x \ frac {{\ partial z}} {{\ partial x}}} \ right) \]

Не забудьте применить правило цепочки для каждой из триггерных функций, и когда мы дифференцируем внутреннюю функцию по косинусу, нам также нужно будет использовать правило произведения. 2} \ cos \ left ({2y – 5z} \ right) – 6yx \ sin \ left ({6zx} \ right)}} \ end {align *} \]

Теперь займемся \ (\ frac {{\ partial z}} {{\ partial y}} \).2} \ cos \ left ({2y – 5z} \ right)}} \ end {align *} \]

Над этим довольно много работы. В следующем разделе мы увидим более простой способ неявного дифференцирования.

Правила исчисления – многомерные

Добавленные переменные, те же методы

В реальном мире очень сложно объяснить поведение как функцию только одной переменной, и экономика ничем не отличается.Более конкретные экономические интерпретации будут обсуждаться в следующем разделе, а пока мы просто сконцентрируйтесь на разработке техник, которые мы будем использовать.

Во-первых, чтобы определить сами функции. Мы хотим описать поведение где переменная зависит от двух или более переменных. Каждое правило и обозначения, описанные с этого момента, одинаковы для двух переменных, трех переменных, четыре переменные и так далее, поэтому мы воспользуемся простейшим случаем; функция двух независимые переменные.Обычно z является зависимой переменной (например, y в функциях одной переменной), а x и y – независимые переменные (например, x в одномерных функциях):

Например, предположим, что следующая функция описывает некоторое поведение:

Дифференциация этой функции по-прежнему означает то же самое – мы все еще ищем для функций, которые дают нам наклон, но теперь у нас есть более одной переменной, и более одного ската.

Визуализируйте это, вспомнив из графика, что функция с двумя независимыми переменными выглядит так. В то время как двумерный изображение может представлять одномерную функцию, наша функция z выше может быть представлена как трехмерная форма. Считайте, что переменные x и y измеряются. по сторонам шахматной доски. Тогда каждая комбинация x и y будет карту на квадрат где-нибудь на шахматной доске. Например, предположим, что x = 1 и y = 1. Начните с одного из углов шахматной доски.Тогда двигайся один квадрат на стороне x для x = 1 и один квадрат на доске, чтобы представить у = 1. Теперь вычислите значение z.

Функция z принимает значение 4, которое мы изображаем как высоту 4 над квадрат, представляющий x = 1 и y = 1. Составьте карту всей функции таким образом, и в результате будет форма, обычно похожая на гору. пик типичных задач экономического анализа.

А теперь вернемся к склону.Представьте себе, что вы стоите на форме горы, глядя параллельно в сторону x шахматной доски. Если вы позволите x увеличиться, удерживая y постоянная, то вы двигаетесь вперед по прямой вдоль горы форма. Наклон в этом направлении определим как изменение z переменная или изменение высоты фигуры в ответ на движение вдоль шахматной доски в одном направлении, или изменение переменной x, удерживая y постоянная.

Формально это определение: частная производная z по to x – это изменение z при заданном изменении x при постоянном y. Обозначения, как и раньше, могут быть разными. Вот несколько распространенных вариантов:

Теперь вернитесь к форме горы, поверните на 90 градусов и проделайте тот же эксперимент. Теперь мы определяем второй наклон как изменение высоты функции z в ответ на движение вперед по шахматной доске (перпендикулярно движение, измеренное первым вычислением уклона), или изменение переменной y, сохраняя постоянную переменную x. Типовые обозначения для этой операции будет

Следовательно, исчисление функций многих переменных начинается с взятия частных производных, другими словами, поиск отдельной формулы для каждого из уклонов, связанных с изменениями одной из независимых переменных поочередно.Перед мы обсуждаем экономические приложения, давайте рассмотрим правила частичной дифференциации.

Основные правила частичной дифференциации

Правила частичного дифференцирования следуют той же логике, что и правила одномерного дифференцирования. дифференциация. Единственная разница в том, что мы должны решить, как относиться к другой переменной. Напомним, что в предыдущем разделе наклон был определяется как изменение z для данного изменения x или y, содержащее другую переменную постоянный.Вот наша подсказка, как обращаться с другой переменной. Если мы будем держать его постоянным, это означает, что независимо от того, как мы его называем или какую переменную имя, которое у него есть, мы рассматриваем его как константу. Предположим, например, что у нас есть следующее уравнение:

Если мы берем частную производную z по x, то y равен рассматривается как постоянная величина. Поскольку он умножается на 2 и x и является постоянным, он также определяется как коэффициент при x. Следовательно,

Следовательно, если все другие переменные остаются постоянными, тогда частная производная правила работы с коэффициентами, простыми степенями переменных, константами, и суммы / различия функций остаются неизменными и используются для определения функция наклона для каждой независимой переменной.Давайте использовать функция из предыдущего раздела для иллюстрации.

Во-первых, дифференцируем по x, сохраняя y постоянным:

Обратите внимание, что в первом члене не было переменных y, поэтому дифференцирование было точно так же, как одномерный процесс; в последнем члене не было x переменных, следовательно, производная равна нулю в соответствии с правилом констант, поскольку y равно рассматривается как постоянная величина.

Теперь возьмем частную производную по y при постоянном x:

Снова обратите внимание, что в первом члене не было «переменных», так как x рассматривается как константа, поэтому производная этого члена равна 0.

Чтобы получить четкое изображение более чем одного наклона функции, давайте оценим две частные производные в точке функции, где х = 1 и у = 2:

Как мы интерпретируем эту информацию? Во-первых, обратите внимание, что когда x = 1 и y = 2, то функция z принимает значение 3.На данный момент на нашем “гора” или трехмерная форма, мы можем оценить изменение функция z в 2-х разных направлениях. Во-первых, изменение z относительно к x равно 10. Другими словами, наклон в направлении, параллельном Ось x равна 10. Теперь поверните на 90 градусов. Уклон в перпендикулярном направлении к нашему предыдущему уклону 6, поэтому не такой крутой. Также обратите внимание что, хотя каждый наклон зависит от изменения только одной переменной, положение или фиксированное значение другой переменной имеет значение; так как вам нужны как x, так и y, чтобы фактически вычислить числовые значения наклона.Добро пожаловать назад к этому в следующем разделе и рассмотрим экономический смысл этого родство. Но сначала вернемся к правилам.

Правила произведения и отношения функций следуют точно такой же логике: держать все переменные постоянными, кроме той, которая изменяется, чтобы определить наклон функции по отношению к этой переменной. К проиллюстрируем правило продукта, сначала давайте переопределим правило, используя частичное обозначение дифференцирования:

Теперь используйте правило произведения, чтобы определить частные производные следующих функция:

Чтобы проиллюстрировать правило частного, сначала переопределите правило, используя частичное дифференцирование. обозначение:

Используйте новое правило частного, чтобы взять частные производные следующих функция:

Не очень простые правила частичной дифференциации

Как и в предыдущем одномерном разделе, у нас есть два специализированных правила. что теперь мы можем применить к нашему многомерному случаю.

Во-первых, обобщенная мощность функция правила. Опять же, нам нужно скорректировать обозначения, а затем правило можно применять точно так же, как и раньше.

Когда многомерная функция принимает следующий вид:

Тогда правило взятия производной:

Используйте правило мощности для следующей функции, чтобы найти две частные производные:

Правило цепочки составных функций обозначение также может быть скорректировано для многомерного случая:

Тогда частные производные z по двум независимым переменным определены как:

Давайте сделаем тот же пример, что и выше, на этот раз используя составную функцию обозначение, в котором функции внутри функции z переименовываются.Обратите внимание, что любое правило может использоваться для этой проблемы, поэтому, когда это необходимо к проблеме представления более формальной записи составных функций? По мере усложнения проблемы переименование частей составной функции – лучший способ отслеживать все составляющие проблемы. Это немного отнимает больше времени, но ошибки внутри проблемы менее вероятны.

Последний шаг такой же, замените u на функцию g:

Частные случаи в функциях многих переменных

Последние два частных случая многомерного дифференцирования также следуют та же логика, что и их одномерные аналоги.

Правило дифференцирования многомерных натуральных логарифмических функций, с соответствующими изменениями обозначений выглядит следующим образом:

Тогда частные производные z по независимым переменным определены как:

Сделаем пример. Найдите частные производные следующих функция:

Правило взятия частичных из экспоненциальных функций можно записать как:

Тогда частные производные z по независимым переменным определены как:

В последний раз мы ищем частные производные следующей функции используя экспоненциальное правило:

Частные производные высшего порядка и кросс-частные производные

История усложняется, когда мы берем производные более высокого порядка. многомерных функций.Интерпретация первой производной остается прежним, но теперь необходимо рассмотреть две производные второго порядка.

Во-первых, это прямая производная второго порядка. В этом случае многомерная функция дифференцируется один раз относительно независимого переменная, сохраняющая все остальные переменные постоянными. Затем результат дифференцируется второй раз, снова по той же независимой переменной. В такой функции, как следующая:

Существуют 2 прямые частные производные второго порядка, обозначенные значком следующие примеры обозначений:

Эти вторые производные можно интерпретировать как скорость изменения два наклона функции z.

Теперь история немного усложняется. Кросс-партиалы, f _xy и f _yx определяются следующим образом. Сначала возьмите частная производная z по x. Затем возьмем производную снова, но на этот раз возьмем его относительно y и оставим x постоянным. В пространственном отношении представьте, что крестовина является мерой того, как наклон (изменение in z относительно x) изменяется при изменении переменной y. Следующие примеры обозначений для кросс-партиалов:

Мы обсудим экономический смысл в следующем разделе, а пока мы просто покажем пример и заметим, что в функции, где кросс-частичные непрерывны, они будут идентичны.Для следующей функции:

Возьмем первую и вторую частные производные.

Теперь, начиная с первых частных производных, найдите перекрестные частные производные:

Обратите внимание, что кросс-партиалы действительно идентичны, что будет очень пригодится нам в будущих разделах оптимизации.

[индекс]

Как найти частную производную функции? | by Chi-Feng Wang

Для простых функций, таких как f (x, y) = 3x²y , это все, что нам нужно знать.Однако, если мы хотим вычислить частные производные более сложных функций, например, с вложенными выражениями типа max (0, w ∙ X + b) – нам нужно может использовать правило многомерной цепочки, известное в статье как правило для цепочки полной производной с одной переменной, .

Правило цепочки одной переменной

Давайте сначала рассмотрим правило цепочки одной переменной. Рассмотрим функцию y = f (g (x)) = sin (x²). Чтобы получить производную этого выражения, мы умножаем производную внешнего выражения на производную внутреннего выражения или «соединяем части вместе». Другими словами:

Изображение 6: Правило цепочки одной переменной, где u – промежуточная переменная для вложенных подвыражений

Для нашего примера u = x² и y = sin (u) . Отсюда:

Изображение 7: Производные // Источник

Изображение 8: Производная всего выражения // Источник

Приятно думать о правиле цепочки с одной переменной как о схеме операций, через которые проходит x , вот так :

Изображение 9: Схема цепочки операций для y = sin (x ²)

Эта концепция визуализации уравнений в виде диаграмм окажется чрезвычайно полезной при работе с правилом многопараметрической цепочки.Кроме того, если вы используете Tensorflow (или Keras) и TensorBoard, при построении модели и написании обучающего кода вы можете увидеть схему операций, аналогичную этой.

Правило цепочки многих переменных

Правило цепочки нескольких переменных, также известное как правило цепочки полной производной одной переменной , как оно называется в статье, является вариантом правила скалярной цепочки. В отличие от того, что предполагает его название, его можно применять к выражениям только с одной переменной. Однако в выражении должно быть несколько промежуточных переменных.

Чтобы проиллюстрировать этот момент, давайте рассмотрим уравнение y = f (x) = x + x² . Используя правило скалярной дополнительной производной, мы можем немедленно вычислить производную:

Изображение 10: Производная от x + x ²

Давайте попробуем сделать это с помощью цепного правила. Сначала введем промежуточные переменные: u₁ (x) = x² и u₂ (x, u₁) = x + u₁. Если мы применим правило цепочки одной переменной, мы получим:

Изображение 11: Использование правила цепочки одной переменной

Очевидно, 2x ≠ 1 + 2x, значит, здесь что-то не так.Давайте нарисуем график нашего уравнения:

Изображение 12: Схема цепочки операций для y = x + x ² // // Источник

Диаграмма на изображении 12 больше не является линейной, поэтому мы должны рассматривать все путей на схеме, ведущих к окончательному результату. Поскольку u₂ имеет два параметра, в игру вступают частные производные. Чтобы вычислить производную этой функции, мы должны вычислить частную производную по x от u₂ (x, u₁). Здесь изменение x отражается в u₂ двумя способами: как операнд сложения и как операнд оператора квадрата.В символах ŷ = (x + Δx) + (x + Δx) ² и Δy = ŷ-y , и где ŷ – это значение y при настроенном x.

Следовательно, чтобы вычислить частичное для u₂ (x, u₁) , нам нужно суммировать все возможные вклады от изменений x в изменение y . Полная производная от u₂ (x, u₁) определяется по формуле:

Изображение 13: Производная от y = x + x ² // Источник

Проще говоря, вы суммируете эффекта изменения x непосредственно на u₂ и эффект изменения x через u₁ на u₂.Мне легче визуализировать это с помощью графика:

Изображение 14: График y = x + x ², с включенными частичными числами

И все! Получили правильный ответ: 1 + 2x. Теперь мы можем суммировать этот процесс в одном правиле, правиле цепочки многих переменных (или правиле цепочки полной производной одной переменной):

Изображение 15: Правило цепочки нескольких переменных // Источник

Если мы введем псевдоним для x как x = u (n + 1), то мы можем переписать эту формулу в ее окончательном виде, который будет выглядеть немного аккуратнее:

Изображение 16: Правило многопараметрической цепочки // Источник

Вот и все! В качестве примера рассмотрим другой пример: f (x) = sin (x + x²) .Наши 3 промежуточные переменные: u₁ (x) = x², u₂ (x, u₁) = x + u₁, и u₃ (u₂) = sin (u₂) . Еще раз, мы можем нарисовать наш график:

Изображение 17: График y = sin (x + x ²) с включенными частичными числами

и вычислить наши частичные:

Изображение 18: Частичные для функции y = sin (x + x ²)

Следовательно, производная f (x) = sin (x + x²) равна cos (x + x²) (1 + 2x) .

Частные производные | Безграничное исчисление

Функции нескольких переменных

Многопараметрическое исчисление – это расширение исчисления одной переменной на исчисление более чем одной переменной.

Цели обучения

Определить области применения многомерного исчисления

Основные выводы

Ключевые моменты

Многопараметрическое исчисление может применяться для анализа детерминированных систем, имеющих несколько степеней свободы.
В отличие от функции с одной переменной [latex] f (x) [/ latex], для которой необходимо проверять пределы и непрерывность функции, поскольку [latex] x [/ latex] изменяется на строке ([latex] x [ / latex] -axis) функции с несколькими переменными имеют бесконечное количество путей, приближающихся к одной точке.
В многомерном исчислении градиент, теоремы Стокса, дивергенции и Грина являются конкретными воплощениями более общей теоремы: обобщенной теоремы Стокса.

Ключевые термины

детерминированный : имеющий точно предсказуемую временную эволюцию
дивергенция : векторный оператор, который измеряет величину источника или стока векторного поля в заданной точке в терминах скаляра со знаком

Многопараметрическое исчисление (также известное как многомерное исчисление) – это расширение исчисления одной переменной на исчисление более чем одной переменной: дифференцированные и интегрированные функции включают несколько переменных, а не только одну.Многовариантное исчисление может применяться для анализа детерминированных систем, имеющих несколько степеней свободы. Функции с независимыми переменными, соответствующими каждой из степеней свободы, часто используются для моделирования этих систем, а многомерное исчисление предоставляет инструменты для описания динамики системы.

Скалярное поле : Скалярное поле, показанное как функция [latex] (x, y) [/ latex]. Расширение концепций, используемых для функций с одной переменной, может потребовать осторожности.

Многопараметрическое исчисление используется во многих областях естественных и социальных наук и инженерии для моделирования и изучения многомерных систем, которые демонстрируют детерминированное поведение. Недетерминированные или стохастические системы можно изучать с помощью другого вида математики, например, стохастического исчисления. Количественные аналитики в области финансов также часто используют многомерный расчет для прогнозирования будущих тенденций на фондовом рынке.

Как мы увидим, функции с несколькими переменными могут давать нелогичные результаты при применении к ограничениям и непрерывности.В отличие от функции с одной переменной [latex] f (x) [/ latex], для которой необходимо проверить пределы и непрерывность функции, поскольку [latex] x [/ latex] изменяется на строке ([latex] x [/ latex] -axis) функции с несколькими переменными имеют бесконечное количество путей, приближающихся к одной точке. Аналогичным образом, путь, выбранный для вычисления производной или интеграла, всегда должен быть указан, когда задействованы функции с несколькими переменными.

Мы также изучили теоремы, связывающие производные и интегралы от функций одной переменной.Изученные нами теоремы – это градиентная теорема, теорема Стокса, теорема о расходимости и теорема Грина. При более продвинутом исследовании многомерного исчисления видно, что эти четыре теоремы являются конкретными воплощениями более общей теоремы, обобщенной теоремы Стокса, которая применяется к интегрированию дифференциальных форм по многообразиям.

Пределы и непрерывность

Изучение пределов и непрерывности в исчислении с несколькими переменными дает нелогичные результаты, которые нельзя продемонстрировать с помощью функций с одной переменной.2} [/ latex] имеет разные предельные значения в исходной точке, в зависимости от пути, выбранного для оценки.

Непрерывность в каждом аргументе не подразумевает многомерной непрерывности.

Если разные пути к одной и той же точке дают разные значения для предела, предел не существует.

Ключевые термины

непрерывность : отсутствие прерывания или отключения; качество непрерывности в пространстве или времени
предел : значение, к которому сходится последовательность или функция
скалярная функция : любая функция, область определения которой является векторным пространством, а значение – ее скалярное поле

Изучение пределов и непрерывности в исчислении с несколькими переменными дает множество нелогичных результатов, которые нельзя продемонстрировать с помощью функций от одной переменной.2 [/ latex], он имеет предел [latex] 0,5 [/ latex]. Поскольку разные пути к одной и той же точке дают разные значения предела, предела не существует.

Непрерывность : Непрерывность в функции одной переменной, как показано, довольно очевидна. Однако непрерывность функций многих переменных дает много нелогичных результатов.

Непрерывность каждого аргумента не подразумевает многомерной непрерывности. Например, в случае функции с действительными значениями с двумя параметрами с действительными значениями, [latex] f (x, y) [/ latex], непрерывность [latex] f [/ latex] в [latex] x [/ латекс] для фиксированного [латекса] y [/ латекса] и непрерывности [латекса] f [/ латекса] в [латекс] y [/ латекса] для фиксированного [латекса] x [/ латекса] не подразумевает непрерывности [латекса] f [/ латекс].В качестве примера рассмотрим

[латекс] е (х, y) = \ begin {case} \ displaystyle {\ frac {y} {x}} – y & \ text {if} 1 \ geq x> y \ geq 0 \\ \ displaystyle { \ frac {x} {y}} – x & \ text {if} 1 \ geq y> x \ geq 0 \\ 1-x & \ text {if} x = y> 0 \\ 0 & \ text {else }. \ end {case} [/ latex]

Легко проверить, что все функции с действительным знаком (с одним вещественным аргументом), заданные как [latex] f_y (x) = f (x, y) [/ latex], непрерывны в [latex] x [ / latex] (для любого фиксированного [латекса] y [/ latex]). Точно так же все [latex] f_x [/ latex] являются непрерывными, поскольку [latex] f [/ latex] симметричны относительно [latex] x [/ latex] и [latex] y [/ latex].Однако [latex] f [/ latex] сам по себе не является непрерывным, что можно увидеть, рассматривая последовательность [latex] f \ left (\ frac {1} {n}, \ frac {1} {n} \ right) [ / latex] (для натурального [латекса] n [/ latex]), который должен сходиться к [latex] \ displaystyle {f (0,0) = 0} [/ latex], если [latex] f [/ latex] сплошной . Однако [латекс] \ lim f \ left (\ frac {1} {n}, \ frac {1} {n} \ right) = 1 [/ latex].

Частные производные

Частной производной функции нескольких переменных является ее производная по одной переменной, при этом остальные остаются постоянными.\ prime_x, \ f _ {, x}, \ \ partial_x f, \ text {или} \ frac {\ partial f} {\ partial x} [/ latex].

К каждой точке на этой поверхности, описывающей функцию с несколькими переменными, есть бесконечное количество касательных. Частичная дифференциация – это выбор одной из этих линий и определение ее наклона.

Как обычная производная, частные производные определены в пределе: [latex] \ frac {\ partial} {\ partial a_i} f (\ mathbf {a}) = \ lim_ {h \ rightarrow 0} {f (a_1, \ точки, a_ {i-1}, a_i + h, a_ {i + 1}, \ dots, a_n) – f (a_1, \ dots, a_i, \ dots, a_n) \ over h} [/ латекс].

Ключевые термины

дифференциальная геометрия : изучение геометрии с помощью дифференциального исчисления
Евклидова : соблюдение принципов традиционной геометрии, в которой параллельные линии равноудалены

Частной производной функции нескольких переменных является ее производная по одной из этих переменных, при этом остальные остаются постоянными (в отличие от полной производной, в которой все переменные могут изменяться).2 [/ латекс]. График этой функции определяет поверхность в евклидовом пространстве. К каждой точке на этой поверхности есть бесконечное количество касательных. Частичная дифференциация – это выбор одной из этих линий и нахождение ее наклона . Обычно наибольший интерес представляют линии, которые параллельны плоскости [latex] xz [/ latex], и линии, параллельные плоскости [latex] yz [/ latex] (которые возникают в результате удерживания либо [latex] ] y [/ latex] или [latex] x [/ latex], соответственно).2 [/ latex] : для частной производной в [latex] (1, 1, 3) [/ latex], которая оставляет [latex] y [/ latex] постоянным, соответствующая касательная линия параллельна [latex] xz [/ latex] -самолет.

Чтобы найти наклон прямой, касательной к функции в [latex] P (1, 1, 3) [/ latex], которая параллельна плоскости [latex] xz [/ latex], [latex] y [ / latex] переменная рассматривается как постоянная. Найдя производную уравнения, предполагая, что [латекс] y [/ латекс] является константой, наклон [латекс] f [/ латекс] в точке [латекс] (x, y, z) [/ латекс] оказывается:

[латекс] \ displaystyle {\ frac {\ partial z} {\ partial x} = 2x + y} [/ латекс]

Итак, в [latex] (1, 1, 3) [/ latex], путем замены, наклон равен [latex] 3 [/ latex].n [/ latex] и [latex] f: U \ rightarrow R [/ latex] функция. Частная производная [latex] f [/ latex] в точке [latex] a = (a_1, \ cdots, a_n) \ in U [/ latex] по переменной [latex] i [/ latex] равна определяется как:

[латекс] \ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial a_i} f (\ mathbf {a}) = \ lim_ {h \ rightarrow 0} {f (a_1, \ cdots, a_ {i-1}, a_i + h, a_ {i + 1}, \ cdots, a_n) – f (a_1, \ cdots, a_i, \ cdots, a_n) \ over h}} [/ латекс]

Касательные плоскости и линейные приближения

Касательная плоскость к поверхности в данной точке – это плоскость, которая «только касается» поверхности в этой точке.

Цели обучения

Объясните, почему касательную плоскость можно использовать для аппроксимации поверхности около точки

Основные выводы

Ключевые моменты

Для поверхности, заданной дифференцируемой функцией многих переменных [latex] z = f (x, y) [/ latex], задается уравнение касательной плоскости в [latex] (x_0, y_0, z_0) [/ latex] как fx (x0, y0) (x − x0) + fy (x0, y0) (y − y0) – (z − z0) = 0f_x (x_0, y_0) (x-x_0) + f_y (x_0, y_0) ( y-y_0) – (z-z_0) = 0.
Поскольку касательная плоскость является наилучшим приближением поверхности вблизи точки, где они встречаются, касательную плоскость можно использовать для приближения поверхности около точки.
Плоскость, описывающая линейное приближение для поверхности, описываемой [latex] z = f (x, y) [/ latex], задается как [latex] z = z_0 + f_x (x_0, y_0) (x-x_0) + f_y (x_0, y_0) (y-y_0) [/ латекс].

Ключевые термины

дифференцируемая : имеющая производную, указанная для функции, область определения и ко-домен которой являются многообразиями
дифференциальная геометрия : изучение геометрии с помощью дифференциального исчисления
наклон : также называется градиентом; наклон или уклон линии описывает ее крутизну

Касательная линия (или просто касательная) к плоской кривой в данной точке – это прямая линия, которая «только касается» кривой в этой точке.Точно так же касательная плоскость к поверхности в данной точке – это плоскость, которая «только касается» поверхности в этой точке. Понятие касательной является одним из самых фундаментальных понятий в дифференциальной геометрии и было широко обобщено.

Касательная плоскость к сфере : Касательная плоскость к поверхности в данной точке – это плоскость, которая «только касается» поверхности в этой точке.

Уравнения

Когда кривая задается формулой [latex] y = f (x) [/ latex], наклон касательной равен [latex] \ frac {dy} {dx} [/ latex], поэтому по формуле «точка – наклон» уравнение касательной в [латекс] (x_0, y_0) [/ latex]:

[латекс] \ frac {dy} {dx} (x_0, y_0) \ cdot (x-x_0) – (y-y_0) [/ latex]

, где [latex] (x, y) [/ latex] – координаты любой точки на касательной, а производная оценивается как [latex] x = x_0 [/ latex].

Касательная плоскость к поверхности в данной точке [латекс] p [/ латекс] определяется аналогично касательной линии в случае кривых. Это наилучшее приближение поверхности плоскостью [латекс] p [/ латекс], и может быть получено как предельное положение плоскостей, проходящих через 3 различные точки на поверхности, близко к [латексу] p [/ латексу] поскольку эти точки сходятся в [латекс] п [/ латекс]. Для поверхности, заданной дифференцируемой функцией многих переменных [latex] z = f (x, y) [/ latex], уравнение касательной плоскости в [latex] (x_0, y_0, z_0) [/ latex] задается как:

[латекс] f_x (x_0, y_0) (x-x_0) + f_y (x_0, y_0) (y-y_0) – (z-z_0) = 0 [/ латекс]

где [латекс] (x_0, y_0, z_0) [/ latex] – точка на поверхности.Обратите внимание на сходство уравнений для касательной линии и касательной плоскости.

Линейное приближение

Поскольку касательная плоскость является наилучшим приближением поверхности вблизи точки, где они встречаются, касательную плоскость можно использовать для аппроксимации поверхности около точки. Приближение работает хорошо, пока рассматриваемая точка [latex] (x, y, z) [/ latex] достаточно близка к [latex] (x_0, y_0, z_0) [/ latex], где касательная плоскость касается поверхность. Плоскость, описывающая линейное приближение для поверхности, описываемой [латекс] z = f (x, y) [/ latex], задается как:

[латекс] z = z_0 + f_x (x_0, y_0) (x-x_0) + f_y (x_0, y_0) (y-y_0) [/ латекс].

Правило цепочки

Для функции [latex] U [/ latex] с двумя переменными [latex] x [/ latex] и [latex] y [/ latex] правило цепочки задается как [latex] \ frac {d U} {dt } = \ frac {\ partial U} {\ partial x} \ cdot \ frac {dx} {dt} + \ frac {\ partial U} {\ partial y} \ cdot \ frac {dy} {dt} [/ латекс ].

Цели обучения

Выразите цепное правило для функции с двумя переменными

Основные выводы

Ключевые моменты

Цепное правило можно легко обобщить на функции с более чем двумя переменными.
Для функций с одной переменной цепное правило – это формула для вычисления производной композиции двух или более функций. Например, цепное правило для [latex] f \ circ g (x) ≡ f [g (x)] [/ latex] – это [latex] \ frac {df} {dx} = \ frac {df} {dg} \ cdot \ frac {dg} {dx} [/ latex].
Цепное правило можно использовать, когда мы хотим вычислить скорость изменения функции [латекс] U (x, y) [/ latex] как функцию времени [latex] t [/ latex], где [latex] х = х (т) [/ латекс] и [латекс] у = у (т) [/ латекс].

Ключевые термины

потенциальная энергия : энергия, которой обладает объект из-за его положения (в гравитационном или электрическом поле) или его состояния (в виде растянутой или сжатой пружины, в качестве химического реагента или благодаря наличию массы покоя)

Цепное правило – это формула для вычисления производной композиции двух или более функций. То есть, если [latex] f [/ latex] является функцией, а [latex] g [/ latex] является функцией, то цепное правило выражает производную сложной функции [latex] f \ circ g (x) ≡ f [g (x)] [/ латекс] в терминах производных [латекса] f [/ латекса] и [латекса] g [/ латекса].Например, цепное правило для [latex] f \ circ g [/ latex]: [latex] \ frac {df} {dx} = \ frac {df} {dg} \, \ frac {dg} {dx} [ /латекс].

Приведенное выше правило цепочки предназначено для функций с одной переменной [latex] f (x) [/ latex] и [latex] g (x) [/ latex]. Однако цепное правило можно обобщить на функции с несколькими переменными. Например, рассмотрим функцию [латекс] U [/ latex] с двумя переменными [latex] x [/ latex] и [latex] y [/ latex]: [latex] U = U (x, y) [/ latex] . [латекс] U [/ латекс] может быть электрической потенциальной энергией в местоположении [латекс] (x, y) [/ латекс].Движение тестового заряда на плоскости [latex] xy [/ latex] можно описать как [latex] x = x (t) [/ latex], [latex] y = y (t) [/ latex] где [latex] t [/ latex] – параметр, представляющий время [latex] t [/ latex]. Мы хотим вычислить скорость изменения потенциальной энергии [латекс] U [/ латекс] как функцию времени [латекс] t [/ латекс]. Предполагая, что [latex] x = x (t) [/ latex], [latex] y = y (t) [/ latex] и [latex] U = U (x, y) [/ latex] все дифференцируются в [ latex] t [/ latex] и [latex] (x, y) [/ latex], цепное правило задается как:

[латекс] \ displaystyle {\ frac {d U} {dt} = \ frac {\ partial U} {\ partial x} \ cdot \ frac {dx} {dt} + \ frac {\ partial U} {\ partial y} \ cdot \ frac {dy} {dt}} [/ латекс]

Это соотношение легко обобщается для функций с более чем двумя переменными.2}}} [/ latex]

Производные по направлению и вектор градиента

Производная по направлению представляет собой мгновенную скорость изменения функции, проходящей через [латекс] \ mathbf {x} [/ latex] со скоростью, указанной в [latex] \ mathbf {v} [/ latex].

Цели обучения

Описание свойств функции, представленной производной по направлению

Основные выводы

Ключевые моменты

Производная по направлению определяется пределом [латекс] \ nabla _ {\ mathbf {v}} {f} (\ mathbf {x}) = \ lim_ {h \ rightarrow 0} {\ frac {f (\ mathbf { x} + h \ mathbf {v}) – f (\ mathbf {x})} {h}} [/ латекс].
Если функция [latex] f [/ latex] дифференцируема в [latex] \ mathbf {x} [/ latex], то производная по направлению существует вдоль любого вектора [latex] \ mathbf {v} [/ latex], и получается [латекс] \ набла _ {\ mathbf {v}} {f} (\ mathbf {x}) = \ nabla f (\ mathbf {x}) \ cdot \ mathbf {v} [/ latex].
Многие из знакомых свойств обычной производной сохраняются и для производной по направлению.

Ключевые термины

правило цепочки : формула для вычисления производной композиции двух или более функций.
градиент : функции [латекс] y = f (x) [/ latex] или график такой функции, скорость изменения [латекса] y [/ латекса] относительно [латекса] x [ /латекс]; то есть величина, на которую изменяется [латекс] y [/ латекс] для определенного (часто единичного) изменения в [латексе] x [/ латексе].

Производная по направлению многомерной дифференцируемой функции вдоль данного вектора [latex] \ mathbf {v} [/ latex] в данной точке [latex] \ mathbf {x} [/ latex] интуитивно представляет мгновенную скорость изменения функция, движущаяся через [латекс] \ mathbf {x} [/ latex] со скоростью, указанной в [latex] \ mathbf {v} [/ latex].Таким образом, он обобщает понятие частной производной, в которой скорость изменения берется вдоль одной из координатных кривых, при этом все остальные координаты постоянны.

Определение

Производная по направлению скалярной функции [latex] f (\ mathbf {x}) = f (x_1, x_2, \ ldots, x_n) [/ latex] вдоль вектора [latex] \ mathbf {v} = (v_1, \ ldots, v_n) [/ latex] – функция, определяемая лимитом:

[латекс] \ displaystyle {\ nabla _ {\ mathbf {v}} {f} (\ mathbf {x}) = \ lim_ {h \ rightarrow 0} {\ frac {f (\ mathbf {x} + h \ mathbf) {v}) – f (\ mathbf {x})} {h}}} [/ latex]

Если функция [latex] f [/ latex] дифференцируема в [latex] \ mathbf x [/ latex], то производная по направлению существует вдоль любого вектора [latex] \ mathbf v [/ latex], и у одного есть [latex ] \ nabla _ {\ mathbf {v}} {f} (\ mathbf {x}) = \ nabla f (\ mathbf {x}) \ cdot \ mathbf {v} [/ latex], где [латекс] \ nabla f (\ mathbf {x}) [/ latex] – вектор градиента, а [latex] \ cdot [/ latex] – скалярное произведение.В любой точке [latex] \ mathbf x [/ latex] производная по направлению [latex] f [/ latex] интуитивно представляет скорость изменения [latex] f [/ latex] во времени, когда он движется в скорость и направление, заданные [latex] \ mathbf v [/ latex] в точке [latex] \ mathbf x [/ latex]. Название «производная по направлению» немного вводит в заблуждение, поскольку зависит как от длины, так и от направления [latex] \ mathbf v [/ latex].

Мы можем представить производную по направлению [латекс] \ nabla _ {\ mathbf {v}} {f} (\ mathbf {x}) [/ latex] как наклон касательной к двумерному срезу графика [latex] f [/ latex], лежащий параллельно вектору [latex] \ mathbf {v} [/ latex].2 \ right) [/ latex] изображено как спроецированное векторное поле на нижнюю плоскость. Производная по направлению представляет собой скорость изменения функции вдоль любого направления, указанного в [latex] \ mathbf {v} [/ latex].

Недвижимость

Многие из знакомых свойств обычной производной сохраняются и для производной по направлению.

Правило суммы

[латекс] \ nabla_ \ mathbf {v} (f + g) = \ nabla_ \ mathbf {v} f + \ nabla_ \ mathbf {v} g [/ латекс]

Правило постоянного фактора

Для любого константы [латекс] c [/ latex], [латекс] \ nabla_ \ mathbf {v} (cf) = c \ nabla_ \ mathbf {v} f [/ latex].

Правило произведения (или правило Лейбница)

[латекс] \ nabla_ \ mathbf {v} (fg) = g \ nabla_ \ mathbf {v} f + f \ nabla_ \ mathbf {v} g [/ латекс]

Правило цепочки

Если [latex] g [/ latex] дифференцируем в [latex] p [/ latex] и [latex] h [/ latex] дифференцируем в [latex] g (p) [/ latex], то [latex] \ nabla_ \ mathbf {v} h \ circ g (p) = h ‘(g (p)) \ nabla_ \ mathbf {v} g (p) [/ latex].

Максимальные и минимальные значения

Тест второй частной производной – это метод, используемый для определения того, является ли критическая точка локальным минимумом, максимумом или седловой точкой.2 [/ latex] и [latex] f_ {xx} (a, b) [/ latex], где [latex] (a, b) [/ latex] является критической точкой.

Существуют существенные различия между функциями одной переменной и функциями более чем одной переменной при идентификации глобальных экстремумов.

Максимум и минимум функции, известные вместе как экстремумы, – это наибольшие и наименьшие значения, которые функция принимает в точке либо в данной окрестности (локальный или относительный экстремум), либо во всей области функции (глобальная или абсолютная). экстремум).

Ключевые термины

критическая точка : максимум, минимум или точка перегиба кривой; точка, в которой производная функции равна нулю или не определена
Теорема о промежуточном значении : утверждение, которое утверждает, что для каждого значения между наименьшей верхней границей и наибольшей нижней границей изображения непрерывной функции существует соответствующая точка в ее области, которой функция сопоставляет это значение
Теорема Ролля : теорема, утверждающая, что дифференцируемая функция, которая принимает равные значения в двух разных точках, должна иметь точку где-то между ними, где первая производная (наклон касательной к графику функции) равна нулю

Если [латекс] M (a, b)> 0 [/ latex] и [latex] f_ {xx} (a, b)> 0 [/ latex], то [latex] (a, b) [/ latex ] – это локальный минимум [латекса] f [/ латекса].
Если M (a, b)> 0M (a, b)> 0 и fxx (a, b) <0f_ {xx} (a, b) <0, то [latex] (a, b) [/ latex] это локальный максимум [латекс] ф [/ латекс].
Если [латекс] M (a, b) <0 [/ latex], то [latex] (a, b) [/ latex] является седловой точкой [latex] f [/ latex].
Если [латекс] M (a, b) = 0 [/ latex], то тест второй производной не дает результатов.

Существуют существенные различия между функциями одной переменной и функциями более чем одной переменной при идентификации глобальных экстремумов. Например, если ограниченная дифференцируемая функция [latex] f [/ latex], определенная на отрезке в вещественной строке, имеет единственную критическую точку, которая является локальным минимумом, то она также является глобальным минимумом (используйте теорему о промежуточном значении и теорема Ролля). 3, \, \, x, y \ in \ mathbb { R} [/ latex] показывает.Его единственная критическая точка находится в [latex] (0,0) [/ latex], что является локальным минимумом с [latex] f (0,0) = 0 [/ latex]. Однако он не может быть глобальным, потому что [latex] f (4,1) = 11 [/ latex].

Множители Лагранжа

Метод множителей Лагранжа – это стратегия нахождения локальных максимумов и минимумов функции с ограничениями равенства.

Цели обучения

Описать применение метода множителей Лагранжа

Основные выводы

Ключевые моменты

Чтобы максимизировать [латекс] f (x, y) [/ latex] с учетом [latex] g (x, y) = c [/ latex], мы вводим новую переменную [latex] \ lambda [/ latex], называется множителем Лагранжа, и изучите функцию Лагранжа (или лагранжиан), определенную как [latex] \ Lambda (x, y, \ lambda) = f (x, y) + \ lambda \ cdot \ Big (g (x, y) -c \ Big) [/ латекс].
Когда контурная линия для [латекс] g = c [/ латекс] пересекает контурные линии [латекса] f [/ латекса] по касательной, мы не увеличиваем или уменьшаем значение [латекс] f [/ латекс] – то есть , когда контурные линии соприкасаются, но не пересекаются. Часто это будет ситуация, когда существует решение указанной выше проблемы ограниченного максимума.
Решаем [latex] \ nabla_ {x, y, \ lambda} \ Lambda (x, y, \ lambda) = 0 [/ latex], и мы находим необходимое условие для экстремумов при заданном ограничении.

Ключевые термины

градиент : функции [латекс] y = f (x) [/ latex] или график такой функции, скорость изменения [latex] y [/ latex] по отношению к [latex] x [/латекс]; то есть величина, на которую изменяется [латекс] y [/ латекс] для определенного (часто единичного) изменения в [латексе] x [/ латексе]
контур : линия на карте или диаграмме, очерчивающая те точки, которые имеют одинаковую высоту или другую нанесенную на график величину: контурная линия или изоплета

В математической оптимизации метод множителей Лагранжа (названный в честь Джозефа Луи Лагранжа) представляет собой стратегию нахождения локальных максимумов и минимумов функции с ограничениями равенства.

Например, рассмотрим следующую задачу оптимизации: Максимизировать [латекс] f (x, y) [/ latex] при условии [latex] g (x, y) = c [/ latex]. Нам нужны как [latex] f [/ latex], так и [latex] g [/ latex], чтобы иметь непрерывные первые частные производные. Мы вводим новую переменную ([latex] \ lambda [/ latex]), называемую множителем Лагранжа, и изучаем функцию Лагранжа (или лагранжиан), определяемую следующим образом:

[латекс] \ Lambda (x, y, \ lambda) = f (x, y) + \ lambda \ cdot \ left (g (x, y) -c \ right) [/ latex]

, где термин [латекс] \ лямбда [/ латекс] может быть либо добавлен, либо вычтен.Если [latex] f (x_0, y_0) [/ latex] является максимумом [latex] f (x, y) [/ latex] для исходной ограниченной задачи, то существует [latex] \ lambda_0 [/ latex] такой что [latex] (x_0, y_0, \ lambda_0) [/ latex] является стационарной точкой для функции Лагранжа (стационарными точками являются те точки, в которых частные производные [latex] \ Lambda [/ latex] равны нулю, то есть [ латекс] \ набла \ Лямбда = 0 [/ латекс]). Однако не все стационарные точки дают решение исходной задачи. Таким образом, метод множителей Лагранжа дает необходимое условие оптимальности в задачах с ограничениями.Также существуют достаточные условия для минимума или максимума.

Максимизация f (x, y) : Найдите x и y, чтобы максимизировать f (x, y) с учетом ограничения (показано красным) g (x, y) = c.

Введение

Одна из наиболее распространенных проблем в исчислении – это нахождение максимумов или минимумов (в общем, «экстремумов») функции, но часто бывает трудно найти замкнутую форму для экстремизируемой функции. Такие трудности часто возникают, когда кто-то желает максимизировать или минимизировать функцию при фиксированных внешних условиях или ограничениях.Метод множителей Лагранжа – мощный инструмент для решения этого класса задач без необходимости явно решать условия и использовать их для исключения лишних переменных.

Рассмотрим двумерную задачу, введенную выше. Увеличьте [латекс] f (x, y) [/ latex] при условии [latex] g (x, y) = c [/ latex]. Мы можем визуализировать контуры [латекса] f [/ латекса], заданные как [latex] f (x, y) = d [/ latex] для различных значений [latex] d [/ latex], и контур [латекса] g [/ latex] определяется как [latex] g (x, y) = c [/ latex].Предположим, мы идем по контурной линии с помощью [latex] g = c [/ latex]. В общем, контурные линии [latex] f [/ latex] и [latex] g [/ latex] могут быть разными, поэтому, следуя контурной линии для [latex] g = c [/ latex], можно пересекаться с или пересечь контурные линии [латекс] f [/ латекс]. Это равносильно тому, чтобы сказать, что при перемещении по контурной линии для [latex] g = c [/ latex] значение [latex] f [/ latex] может изменяться. Когда контурная линия для [латекс] g = c [/ латекс] пересекает контурные линии [латекса] f [/ латекса] по касательной, мы не увеличиваем и не уменьшаем значение [латекс] f [/ латекс], то есть когда контурные линии соприкасаются, но не пересекаются.

Контурные линии [latex] f [/ latex] и [latex] g [/ latex] касаются друг друга, когда касательные векторы контурных линий параллельны. Поскольку градиент функции перпендикулярен контурным линиям, это то же самое, что сказать, что градиенты [латекса] f [/ латекса] и [латекса] g [/ латекса] параллельны. Таким образом, мы хотим очков:

[латекс] (x, y) [/ latex] где [латекс] g (x, y) = c [/ latex]

[латекс] \ nabla_ {x, y} f = – \ lambda \ nabla_ {x, y} g [/ latex], где [латекс] \ nabla_ {x, y} f = \ left (\ frac {\ partial f} {\ partial x}, \ frac {\ partial f} {\ partial y} \ right) [/ latex] и [latex] \ nabla_ {x, y} g = \ left (\ frac {\ partial g} {\ partial x}, \ frac {\ partial g} {\ partial y} \ right) [/ latex] – соответствующие градиенты.

Константа требуется, потому что, хотя два вектора градиента параллельны, величины векторов градиента обычно не равны. Обратите внимание, что [latex] \ lambda \ neq 0 [/ latex]; в противном случае мы не можем утверждать, что эти два градиента параллельны.

Чтобы объединить эти условия в одно уравнение, мы вводим вспомогательную функцию [latex] \ Lambda (x, y, \ lambda) = f (x, y) + \ lambda \ cdot \ Big (g (x, y) – c \ Big) [/ latex] и решите [latex] \ nabla_ {x, y, \ lambda} \ Lambda (x, y, \ lambda) = 0 [/ latex].2 = 9 [/ латекс]. Каждая точка [latex] \ left (\ frac {- \ pi} {2}, y \ right) [/ latex] [latex] f = -1 [/ latex] является глобальным минимумом [latex] f [/ latex ] со значением [латекс] -1 [/ латекс]. Следовательно, где ограничение [latex] g = c [/ latex] пересекает контурную линию [latex] f = -1 [/ latex], это локальный минимум [latex] f [/ latex] ограничения. След и контур [латекс] f = -1 [/ латекс] пересекаются как минимум, как мы видим на рисунке. Легко проверить, что [latex] f_x = 0 [/ latex] и [latex] f_y = 0 [/ latex], когда [latex] x = \ frac {\ pi} {2} [/ latex].Поскольку оба [latex] g_x \ neq 0 [/ latex] и [latex] g_y \ neq 0 [/ latex], множитель Лагранжа [latex] \ lambda = 0 [/ latex] как минимум.

Пример пересечения контура и зависимости в экстремуме.

Оптимизация по нескольким переменным

Чтобы решить задачу оптимизации, сформулируйте функцию [latex] f (x, y, \ cdots) [/ latex], которую нужно оптимизировать, и сначала найдите все критические точки.

Цели обучения

Решить простую задачу, требующую оптимизации нескольких переменных

Основные выводы

Ключевые моменты

Математическая оптимизация – это выбор лучшего элемента (с учетом некоторых критериев) из некоторого набора доступных альтернатив.
Процесс оптимизации, который включает только одну переменную, довольно прост. После определения функции [латекс] f (x) [/ latex], которую необходимо оптимизировать, можно легко найти локальные максимумы или минимумы в критических точках. Конечные точки также могут иметь максимальные / минимальные значения.
Для прямоугольной формы куба при фиксированном объеме куб – это геометрическая форма, минимизирующая площадь поверхности.

Ключевые термины

оптимизация : разработка и работа системы или процесса, чтобы сделать их как можно лучше в определенном смысле
кубоид : параллелепипед с шестью прямоугольными гранями

Математическая оптимизация – это выбор лучшего элемента (с учетом некоторых критериев) из некоторого набора доступных альтернатив.Процесс оптимизации, включающий только одну переменную, довольно прост. После определения функции [латекс] f (x) [/ latex], которую необходимо оптимизировать, можно легко найти локальные максимумы или минимумы в критических точках. (Конечно, конечные точки также могут иметь максимальные / минимальные значения.) Та же стратегия применяется для оптимизации с несколькими переменными. В этом атоме мы решим простой пример, чтобы увидеть, как может быть достигнута оптимизация с участием нескольких переменных.

Картонная коробка фиксированного объема

Упаковочной компании нужны картонные коробки прямоугольной формы куба с заданным объемом 1000 кубических сантиметров, и она хотела бы минимизировать затраты на материалы для коробок.Какими должны быть размеры [латекс] x [/ латекс], [латекс] y [/ латекс], [латекс] z [/ латекс] коробки?

Прежде всего, стоимость материала будет пропорциональна площади поверхности [латекса] S [/ латекса] кубоида. Следовательно, цель оптимизации – минимизировать функцию [латекс] S (x, y, z) = 2 (xy + yz + zx) [/ latex]. Ограничение в случае – фиксированный объем: [латекс] V = xyz = 1000 [/ латекс].

Прямоугольный кубоид : Математическая оптимизация может использоваться для решения задач, связанных с поиском нужного размера объема, такого как кубоид.3 = 1000 [/ латекс]

Следовательно, находим:

[латекс] x = y = z = 10 [/ латекс]

То есть коробка, которая минимизирует стоимость материалов при сохранении желаемого объема, должна быть кубом 10 на 10 на 10.

Приложения минимумов и максимумов в функциях двух переменных

Нахождение экстремумов может быть проблемой в отношении функций многих переменных, требующей тщательного расчета.

Цели обучения

Определить шаги, необходимые для нахождения минимума и максимума в функциях с несколькими переменными

Основные выводы

Ключевые моменты

Тест второй производной является критерием для определения того, является ли данная критическая точка реальной функции одной переменной локальным максимумом или локальным минимумом, используя значение второй производной в этой точке.2) [/ latex] имеет седловые точки в [latex] (0, -1) [/ latex] и [latex] (1, -1) [/ latex] и локальный максимум в [latex] \ left (\ frac {3} {8}, -3.4 \ right) [/ latex].

Ключевые термины

многопараметрическая : более чем одна переменная
критическая точка : максимум, минимум или точка перегиба кривой; точка, в которой производная функции равна нулю или не определена

Мы научились находить минимум и максимум в функциях многих переменных.Как упоминалось ранее, поиск экстремумов может быть проблемой в отношении функций с несколькими переменными. В частности, мы узнали о тесте второй производной, который является критерием для определения, является ли данная критическая точка реальной функции одной переменной локальным максимумом или локальным минимумом, используя значение второй производной в этой точке. В этом атоме мы найдем экстремумы для функции с двумя переменными.

Пример

Найдите и обозначьте критические точки следующей функции:

[латекс] z = f (x, y) = (x + y) (xy + xy ^ 2) [/ латекс]

График [латекс] z = (x + y) (xy + xy ^ 2) [/ latex]: Максимумы и минимумы этого графика не могут быть найдены без обширных вычислений.2 (8x-3) \\ \, \ quad = 0} [/ латекс]

Итак, [латекс] x [/ latex] должен быть равен [latex] 0 [/ latex] или для [latex] y = 0 [/ latex] и [latex] y = – \ frac {3} {4} [/ latex ], соответственно.

Перечислим все критические значения:

[латекс] \ displaystyle {(x, y) \ in {(0,0), (0, -1), (1, -1), \ left (\ frac {3} {8}, – \ frac {3} {4} \ right)}} [/ латекс]

Теперь нам нужно пометить критические значения с помощью теста второй производной. Подключив все различные критические значения, которые мы нашли для их маркировки, мы получим:

[латекс] D (0, 0) = 0 [/ латекс]
[латекс] D (0, -1) = -1 [/ латекс]
[латекс] D (1, -1) = -1 [/ латекс]
[латекс] D \ left (\ frac {3} {8}, – \ frac {3} {4} \ right) = 0.210938 [/ латекс]

Теперь мы можем обозначить некоторые точки:

в (0, -1), [латекс] f (x, y) [/ latex] имеет седловую точку
в (1, −1), [латекс] f (x, y) [/ latex] имеет седловую точку
в [latex] \ left (\ frac {3} {8}, – \ frac {3} {4} \ right) [/ latex] [latex] f (x, y) [/ latex] имеет локальный максимум , поскольку [latex] f_ {xx} = – \ frac {3} {8} <0 [/ latex]

На оставшемся этапе нам нужны тесты более высокого порядка, чтобы выяснить, что именно делает функция. {y} \ right) = 0 $

Частные производные | Блестящая вики по математике и науке

Поскольку существует один оператор частной производной для каждой координаты, частные производные функции могут быть расположены в виде вектора, называемого градиентом и обозначаемого ∇⃗f \ vec {\ nabla} f∇f:

∇⃗f = ⟨∂f∂x, ∂f∂y, ∂f∂z⟩.\ vec {\ nabla} f = \ left \ langle \ frac {\ partial f} {\ partial x}, \ frac {\ partial f} {\ partial y}, \ frac {\ partial f} {\ partial z} \ right \ rangle.∇f = ⟨∂x∂f, ∂y∂f, ∂z∂f⟩.

Приведенное выше определение написано для трехмерного случая, но обобщение до произвольных размеров (включая только два измерения) несложно; каждый компонент вектора является частной производной в независимом координатном направлении. Оператор ∇⃗ \ vec {\ nabla} ∇ часто называют оператором градиента или оператором del .Его можно рассматривать как вектор производных операторов:

∇⃗ = ⟨∂∂x, ∂∂y, ∂∂z⟩. \ Vec {\ nabla} = \ left \ langle \ frac {\ partial} {\ partial x}, \ frac {\ partial} {\ partial y}, \ frac {\ partial} {\ partial z} \ right \ rangle.∇ = ⟨∂x∂, ∂y∂, ∂z∂⟩.

Благодаря использованию оператора del в векторных операциях, таких как перекрестное произведение и скалярное произведение, появились новые типы объектов, подобных производным, под названием curl ∇⃗ × F ve \ vec {\ nabla} \ times \ vec {F} ∇ × F и дивергенция ∇⃗⋅F⃗ \ vec {\ nabla} \ cdot \ vec {F} ∇⋅F может быть определена на векторных полях F⃗ = ⟨F1 (x, y, z), F2 (x, y, z), …⟩ \ Vec {F} = \ big \ langle F_1 (x, y, z), F_2 (x, y, z), \ ldots \ big \ rangleF = ⟨F1 (x, y, z), F2 (x, y, z),…⟩ в многомерном исчислении.2} \\ & = 0. \ _ \ квадрат \ end {align} ∇⋅F = ⟨∂x∂, ∂y∂ ⟩⋅⟨x2 + y2x, x2 + y2y⟩ = ∂x∂ (x2 + y2x) + ∂y∂ ( x2 + y2y) = x2 + y22 + (x2 + y2) 2 − x (2x) + (x2 + y2) 2 − y (2y) = 0. □

xyzxyzxyz х + у + zx + y + zx + y + z ху + yz + zxxy + yz + zxxy + yz + zx х + ух + ух + у

Какова дивергенция векторного поля F⃗ = ⟨xy, yz, zx⟩? \ Vec {F} = \ left \ langle xy, yz, zx \ right \ rangle? F = ⟨xy, yz, zx⟩?

Вычисление частных производных высшего порядка также работает так же, как и в исчислении одной переменной; просто примените оператор производной несколько раз:

∂2f∂x2 = ∂∂x∂f∂x = ∂xx2f = fxx, \ frac {\ partial ^ 2 f} {\ partial x ^ 2} = \ frac {\ partial} {\ partial x} \ frac { \ partial f} {\ partial x} = \ partial ^ 2_ {xx} f = f_ {xx}, ∂x2∂2f = ∂x∂ ∂x∂f = ∂xx2 f = fxx,

, где крайнее правое выражение – это другой способ записи второй частной производной по xxx. 2} \ Biggr | _ {y = 0} = x, ∂y f = (x2 + y2) 2×5−4x3y2 − xy4 ∣∣∣∣∣ y = 0 = x,

и ограничено осью yyy (x = 0) (x = 0) (x = 0) вне начала координат, ∂xf \ partial_x f∂x f аналогично выглядит как

∂xf = x4y + 4x2y3 − y5 (x2 + y2) 2 = −y.2_ {xy} f: ∂xy2 f: Различные значения смешанных вторых частных производных соответствуют различным пределам выражения для смешанных вторых частных производных при приближении к началу координат с разных направлений.

Подобно тому, как частные производные первого порядка могут быть расположены для формирования вектора (градиента), частные производные второго порядка могут быть расположены в виде матрицы, называемой матрицей Гессе :

H (f) = (∂2f∂x2∂2f∂x∂y∂2f∂y∂x∂2f∂y2).2} \ end {pmatrix} .H (f) = (∂x2∂2f ∂y∂x∂2f ∂x∂y∂2f ∂y2∂2f).

Определитель гессиана важен для характеристики устойчивости критических точек, в которых одна из частных производных первого порядка обращается в нуль, аналогично использованию теста второй производной в исчислении одной переменной.