Как найти длину формула физика: Выведите длину проводника(l) из формулы сопротивления : R=(p*l)/S 30 птк.

Длина прямоугольника – формула, примеры как найти

4.6

Средняя оценка: 4.6

Всего получено оценок: 88.

4.6

Средняя оценка: 4.6

Всего получено оценок: 88.

В этой статье мы поговорим о длине прямоугольника. Как определить, какая из сторон является длиной и зачем их разделять. Разберем три способа нахождения длины прямоугольника и решим небольшую задачу.

Материал подготовлен совместно с учителем высшей категории Харитоненко Натальей Владимировной.

Опыт работы учителем математики – более 33 лет.

Что такое длина прямоугольника

Довольно часто люди путают местами длину и ширину прямоугольника, как правило, это не критично, но в результате значительно уменьшается наглядность, а от этого страдает качество решения.

Прямоугольник это частный случай параллелограмма. Параллелограмм, каждый угол которого равен 90 градусам, называется прямоугольником. Для наглядного изображения лучше будет, если нижней опорой прямоугольника будет служить длина. Так сложилось, что такой рисунок больше всего напоминает рисунки в учебнике, а потому ученику будет проще разобраться в теме.

Рис. 1. Изображение прямоугольника

Три способа найти длину прямоугольника

Если разделить фигуру на две части диагональю, то можно заметить, что прямоугольник поделится ею на два прямоугольных треугольника. Из этого разделения и вытекают все формулы длины прямоугольника.

Если известна длина диагонали (обозначим ее буквой d) и длина прямоугольника (примем значение за букву a). Тогда корень квадратный из разности квадратов диагонали и длины будет равен ширине прямоугольника.

Чтобы было понятнее, напишем решение в виде нескольких формул.

Согласно теореме Пифагора – квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Гипотенуза – это сторона, противоположная прямому углу, две другие стороны зовутся катетами. В нашем случае гипотенуза это диагональ.

Значит: d²=a²+b² . Из этого выражения выразим квадрат ширины (значение «b»):b²=d²-a²

Для того, чтобы определить значение b, нужно взять корень квадратный из обеих сторон получившегося выражения: b=(d²-a²)^(-1)

В случае необходимости, можно поменять местами а и b, тогда получится формула длины.

• Через площадь

Рассмотрим еще один способ найти длину прямоугольника – через площадь.Площадь прямоугольника равна произведению длины и ширины. То есть, используя уже знакомые обозначения S=a*b. Выразим из этой формулы значение ширины:

b=S/b.

Так же, как и в первом методе, можно поменять местами а и b, чтобы получить формулу для длины: a=S/b.

Один из самых быстрых, но при этом немного сложных способов нахождения длины – воспользоваться тригонометрической функцией.

Если имеется прямоугольный треугольник, то соответственно имеются отношения, известные как синус и косинус.

Выберем угол между длиной и диагональю. Обозначим его α. Тогда sin α равен отношению катета, противоположного углу α к гипотенузе:

Sin α = a/c

Рис. 2. Угол альфа на половине прямоугольника

Значение синуса любого угла можно найти в таблицах Брадиса или с помощью калькулятора. Для удобства можно воспользоваться онлайн-версией, которая найдет значение отношения автоматически. 2=9

25-9=16

Корень квадратный из 16 равен 4.

Значение b=4

Рис. 3. Решение задачи

Что мы узнали?

Мы рассмотрели, как правильно изображать прямоугольник для большей наглядности, рассмотрели как можно найти длину или ширину при различных условиях задачи и решили задачу средней сложности на нахождение длины прямоугольника через теорему Пифагора.

Тест по теме

Доска почёта

Чтобы попасть сюда – пройдите тест.

Пока никого нет. Будьте первым!

Оценка статьи

4.6

Средняя оценка: 4.6

Всего получено оценок: 88.

---

А какая ваша оценка?

Как найти длину окружности? Ответ на webmath.ru

Содержание:

• Формула
• Примеры вычисления длины окружности

Формула

Чтобы найти длину окружности, нужно либо диаметр окружности умножить на $\pi \approx 3,1415926535 \dots$, либо найти удвоенное произведение радиуса и числа $\pi$.

То есть нужно воспользоваться одной из формул:

$l=2 \pi r \text { или } l=\pi d$

Здесь $r$ – это радиус заданной окружности, а $d$ – диаметр, $\pi \approx 3,1415926535 \dots$. Радиусом окружности – отрезок, который соединяет центр окружности с точкой окружности. Диаметром называют отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через её центр. Число $\pi$ – математическая константа , выражающая отношение длины окружности к длине её диаметра.

Примеры вычисления длины окружности

Пример

Задание. Найти длину окружности, диаметр которой равен 3 см.

Решение. Для вычисления длины заданной окружности воспользуемся формулой

$$l=\pi d$$

Подставляя в неё исходные данные, получим:

$l=3 \pi \approx 3.14 \cdot 3=9.42$ (см)

Ответ. $l=3 \pi \approx 9.42$ (см)

Все формулы периметров Калькулятор длины окружности

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Найти длину окружности, описанной около правильного треугольника со стороною $a=4 \sqrt{3}$ дм.

Решение. Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен $R=\frac{a}{\sqrt{3}}$. В нашем случае он будет равен

$R=\frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{3}}=4$ (дм)

Для нахождения длины рассматриваемой окружности воспользуемся формулой

$l=2 \pi r$

Подставляя в нее найденное значение радиуса и значение $\pi \approx 3.14 \ldots$, окончательно получим

$l=2 \cdot \pi \cdot 4 \approx 8 \cdot 3,14=25,12$ (дм)

Ответ. $l=8 \pi \approx 25,12$ (дм)

Остались вопросы?

Здесь вы найдете ответы.

Каким образом можно вычислить длину окружности при условии, что площадь круга (S) является известной величиной?

Площадь круга (S) рассчитывается путем умножения числа Пи на длину его радиуса (R), возведенную в квадратную степень (S = ПR²). Из указанного равенства можно выразить радиус:

R² = S/ П

Если избавиться от квадратной степени, то получится:

R = √(S/П)

Длина окружности (L) рассчитывается путем умножения числа Пи на длину радиуса, и последующего умножения на два полученного в результате числа:

L = 2ПR

Если R = √(S/П), то L = 2П*√(S/П)

Каким образом можно найти длину окружности, диаметр которой составляет 2 см?

Длина окружности (L) представляет собой число, которое получено в результате умножения числа Пи на диаметр данной окружности:

L = П*D

В конкретном случае:

L = 3,14*2 = 6,28 см.

Ответ: Длина окружности с диаметром 2 см составляет 6,28 см.

Дан квадрат, вокруг которого описана окружность. Ее длина составляет 12 Пи см. Как можно найти длину окружности, вписанной в этот же квадрат?

Известно, что длина окружности (L) рассчитывается путем умножения на два произведения числа Пи и длины ее радиуса (R). Формула выглядит так:

2ПиR

Из данной формулы можно выразить радиус

R = 12пи/2пи = 6 см

Радиус окружности, описанной около квадрата, равен 6 см.

Теперь можно вычислить сторону квадрата, вокруг которого описана данная окружность. Ее длина составляет R корней из 2:

а = 6 корней из 2.

Рассчитываем длину малого радиуса (r), который равен половине длины стороны квадрата:

r = а/2 = 6 корней из 2/2 = 3 корней из 2.

Длина окружности, вписанной в квадрат, рассчитывается по той же формуле:

L = 6 корней из 2 Пи.

Каким образом можно вычислить длину окружности, а также найти ее площадь, при условии, что радиус этой окружности равен 30 см?

Радиус окружности, равный 30 см, обозначается как R. 2 * √3 ÷ 4

Зная площадь, мы получаем возможность вычислить длину стороны а. Она будет равна ± √48. Учитывая то, что сторона не может быть отрицательной величиной, можно говорить о том, что сторона а равна √48.

После того как длина стороны стала известна, можно приступить к вычислению площади описанной и вписанной окружности. Для этого не достает еще одного элемента – длины радиуса.

Радиус описанной окружности (R) равен длине стороны треугольника, разделенной на √3:

R = √48 ÷ √3 = 4 см.

Радиус вписанной окружности (r) можно получить, разделив на 2 радиус описанной окружности:

r = 4/2 = 2 см.

Вычисленные длины радиусов вписанной и описанной окружностей позволяют определить ее длину ℓ, которая равна произведению числа Пи и радиуса окружности, умноженному на 2:

ℓ = 2πR

В нашем случае длина описанной окружности рассчитывается как:

ℓ= 2πR = 2π4 = 8π

Длина вписанной окружности будет составлять:

ℓ= 2πR = 2π2 = 4π

Известно, что радиус окружности равен 12 см. Как вычислить ее площадь и длину при Пи=3,14?

В условии задачи говорится о том, что радиус окружности R равен 12 см. Ее длина может быть вычислена посредством умножения на 2 произведения длины радиуса и числа Пи:

C=2πR

Известно, что число Пи – это константа, равная 3,14. Тогда длина окружности (С)высчитывается следующим образом:

C=2*3*12=72 см

Площадь окружности можно найти, умножив число Пи на длину ее радиуса, возведенную в квадратную степень:

S=πR²=3,14*12²=3,14*144=452,16 см кв.

Как можно вычислить радиус окружности и ее диаметр, если известно, что ее длина составляет 20 Пи см?

По условию задачи длина окружности равна 20 Пи см. Зная формулу, по которой вычисляется длина окружности, можно записать следующее равенство:

2Пи = 2ПиR

Можно сократить Пи в обеих частях записанного равенства, в результате чего получится, что:

2R = 20

Теперь высчитаем, чему равна длина радиуса окружности:

R = 20/2 = 10 см.

Длина диаметра равна длине радиуса, умноженной на 2:

D = R*2 = 10*2 = 20 cм.

Длина дуги окружности составляет 6Пи см, при этом ее градусная мера равна 120 градусов. Каким образом можно вычислить радиус окружности?

Полная градусная мера любой окружности равна 360 градусов. В случае, описанном в задании, градусная мера окружности составляет 120 градусов, что равно 1/3 части 360 градусов. Это позволяет сделать вывод о том, что длина окружности (L) может быть рассчитана следующим образом:

L = 6Пи * 3 = 18Пи

Формула, по которой вычисляется длина окружности, выглядит так:

L =2пR

Из данной формулы можно выразить радиус (R):

R = L/2Пи

В заданном случае длина радиуса будет равна:

18Пи/2Пи = 9 см.

Как на радиус окружности повлияет увеличение ее длины на 9,42 см?

Обозначим прежнюю длину окружности как L, а новую – как L₁. Тогда можно записать следующее равенство:

L₁ – L = 9,42 см

Прежний радиус окружности примем за R, а новый ее радиус, который получится в результате увеличения длины, обозначим как R₁. Для того чтобы вычислить ее значение, следует сначала записать формулу, по которой вычисляется прежняя длина данной окружности:

L = 2πR

Тогда формула для вычисления новой длины окружности будет иметь такой вид:

L + 9,42 = 2πR₁

Отнимем от новой длины старую, и в итоге получим:

2πR₁ – 2πR = 9,42 см.

Перенесем 2Пи из левой части равенства в правую:

R₁ – R = 9,42 : 2π = 1,5 см.

Ответ: В результате увеличения длины окружности на 9,42 см ее радиус станет больше на 1,5 см.

Как можно вычислить радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, зная то, что площадь данного треугольника превышает площадь окружности на 27√3-9π?

Радиус окружности, которая вписана в правильный треугольник, обозначим r. Ее площадь (S) является произведением числа Пи и квадрата ее радиуса:

S = πr²

В случае треугольника, все стороны которого одинаковы, радиус вписанной в него окружности равен третьей части высоты, являющейся также и медианой.

Площадь правильного треугольника рассчитывается так:

Sтр = (1/2)*(2r/tg30)*3r = (1/2)*(2r√3)*3r = 3√3r².

Согласно условию задачи 3√3r² = πr² + 27√3 – 9π.

Перенесем πr² из левой части равенства в правую, изменив его знак на противоположный:

3√3r² – πr² = 27√3 – 9π

Вынесем в правой части равенства r² за скобки. То же самое сделаем с числом 9 в левой части равенства:

r²(3√3 – π) = 9(3√3 – π)

Сокращаем в обеих частях одинаковый множитель (3√3 – π) и получаем:

r² = 9

Таким образом, радиус окружности равен корню квадратному из 9:

r =3 см.

Дано две окружности, радиус одной из которых пятикратно превышает радиус другой. Каким образом вычислить радиус каждой из этих окружностей, если известно, что диаметр второй из окружностей на 240 мм меньше, чем диаметр первой?

Обозначим радиус второй окружности буквой х. В данном случае радиус первой окружности нужно обозначить как 5х. Известно, что разница между длинами диаметров двух окружностей равна 240 мм. На основании этого можно составить следующее равенство:

5х-х=240:2, что равно 4х=120

Теперь можно найти значение х:

х=120:4=30 мм.

Таким образом, радиус второй окружности равен 30 мм. Это позволяет вычислить радиус первой окружности, который в 5 раз больше радиуса второй из них:

30*5=150 мм.

Как можно высчитать радиус окружности, когда известна ее градусная мера и длина дуги?

Длина дуги обозначена как L. В качестве обозначения ее градусной меры используется α. Через R обозначена длина радиуса данной окружности. Формула расчета длины дуги выглядит так:

L = πR · α / 180°

Это же равенство может быть переписано следующим образом:

πR · α = L · 180°

Отсюда выведем радиус:

R = L · 180° / (π·α).

Как высчитать радиус окружности, длина дуги которой составляет 3,14 см, а ее градусная мера равна 18 градусам?

Длина окружности (L) равна произведению числа Пи и радиуса, которое умножено на 2:

L = 2Пиr

Согласно заданию, длина дуги равна 3,14, что равно значению константы Пи.

Дуга способна поместиться в длине окружности 2 пи r/пи =2 r раз

Подставив в равенство значения, которые известны, мы получим:

360:18=20 раз

Длина окружности будет равна:

3,14*20=20Пи

2Пиr = 20Пи

Сократим 2Пи в каждой из частей равенства и получим, что:

r=10 см.

Площадь круга составляет 169Пи см. Чему равна длина окружности в данном случае?

Для решения поставленной задачи следует записать формулу расчета площади круга:

S=πr2

Эта величина указана в задании, и составляет 169Пи. Это значит, что:

πr2 = 169π

Можно сократить одинаковый множитель Пи в обеих частях равенства:

r2= 169

r = √169 = 13 см.

Длина окружности обозначена С. Она считается по следующей формуле:

С = 2πr

Длина радиуса уже известна, и ее можно подставить в формулу расчета длины окружности:

С = 2* π*13 = 26π см.

В окружность вписан квадрат площадью 36 дм кв. Чему в этом случае будет равна площадь круга и длина окружности?

Известно, что площадь круга представляет собой величину, равную длине стороны этого квадрата, возведенной во вторую степень Sкв = а². Это значит, что в данном случае а² = 36 дм. Для того чтобы найти значение а, нужно извлечь квадратный корень из 36:

а = √36 = 6 дм.

Длина диагонали (d) квадрата считается по приведенной ниже формуле:

d = a√2 = 6√2 дм.

Радиус (R)окружности, которая описана около квадрата, равен половине длины ее диагонали:

R = d/2 = 3√2 дм.

Площадь круга можно посчитать, умножив число Пи на квадрат его радиуса:

S = πR² = π · (3√2)² = 18π дм. кв.

Длина окружности рассчитывается посредством умножения на два числа Пи, после чего полученное число умножается на длину радиуса окружности:

C = 2πR = 2π · 3√2 = 6√2π дм.

Длина окружности составляет 3,5 дм. Диаметр второй окружности равен 5/7 ее диаметра. Как вычислить длину второй окружности?

Ниже записана формула, которая используется для того, чтобы рассчитать длину окружности:

С = Пи*d,

где Пи – это константа, равная 3,14, а d – это диаметр окружности.

Отношение длины первой окружности к длине второй окружности равно отношению их диаметров:

C/C1 = d/d1

d1 = 5/7 d

В условии сказано, что длина первой окружности С = 3,5 дм. Таким образом:

C1 = 5/7 *C = 5/7 * 3,5 = 2,5 дм.

Длина радиуса окружности составляет 14 см. Какова будет ее длина при условии, что П=22/7?

Для того чтобы узнать длину окружности (C), следует воспользоваться формулой, предназначенной для ее расчета. Она выглядит так:

C = П*R*2

Если подставить в эту формулу величины, которые даны по условию задачи, то получим:

22/7*14*2=22/7*28/1=88 см.

Ответ: Длина окружности равна 88 см.

Какой будет длина окружности при условии, что ее половина составляет 25,5 см?

Длина окружности равна длине ее половины, умноженной на 2. Это значит, что в данном случае нужно умножить число 25,5, обозначающее половину длины окружности, на 2:

25,5*2 = 51 см.

Круг имеет площадь Пи м кв. Какова будет длина окружности данного круга?

Для вычисления длины окружности необходимо число Пи умножить на два и умножить на длину его радиуса (2πR). Для данной задачи это будет выглядеть следующим образом:

2π · 3√2 = 6√2π дм.

Для того чтобы посчитать площадь круга, необходимо умножить число Пи на радиус, взятый в квадрат (S = πR²). По условию задачи площадь круга равна Пи м кв. Это значит, что:

πR² = π

Из данного равенства можно выразить R

R – √π/π = 1

Зная длину радиуса, можно переходить к вычислению длины окружности (С):

C = 2πR = 2π x 1 = 2π

Ответ: Длина окружности равна 2π.

Какова формула длины окружности, при условии, что длина ее радиуса составляет R?

С целью вычисления длины окружности (С) используется приведенная ниже формула:

C=2πR

Ее составляющими является постоянное число Пи и радиус окружности (R), длину которой необходимо вычислить.

Какова формула расчета длины окружности, диаметр которой составляет 15 см?

Если длина диаметра окружности является известной величиной, то его нужно умножить на постоянное число Пи, равное 3,14, для того чтобы найти длину этой окружности. Формула выглядит так:

С = πD

В условии говорится, что диаметр окружности равен 15 см:

С = 3,14 * 15 = 47,1 cм.

Ответ: Длина окружности равна 47,1 см.

В результате деления длины окружности на величину ее диаметра получается число, приблизительно равное 22/7. Каким образом можно высчитать длину окружности с диаметром 10 см?

Для расчета длины окружности (С) нужно знать длину ее радиуса (R) или диаметра (d). Тогда могут быть использованы следующие формулы:

C = 2πR или C = πd

По условию задания d = 10 см, а π = 22/7. Тогда длина окружности будет равна:

C = πd = (22/7) * 10 = 220/7 ≈ 31,4 см.

В каком виде представлены формулы, которые используются для вычисления площади круга и длины окружности (через диаметр и через радиус)?

В случае, если длина диаметра (d) или длина радиуса (R) окружности известны, то эти величины можно использовать для нахождения длины окружности. При этом следует воспользоваться одной из формул:

С=πd или С=2πR.

Эти величины также помогут вычислить площадь круга. Формулы выглядят следующим образом:

S=πr² или S=π(d\2)².

Можно ли вычислить длину диаметра окружности, если известна только ее длина?

Нужно записать формулу расчета длины окружности, для того чтобы понять, существует ли взаимосвязь между этой величиной и диаметром окружности:

L = π·d

Очевидно, что длина окружности является результатом умножения числа Пи на длину ее диаметра.

Если длина окружности известна, то ее можно использовать для определения диаметра (d). Это можно сделать следующим образом:

d = L/π.

Во сколько раз длина окружности превышает ее диаметр, и в каком виде представлена формула ее расчета через диаметр?

Длину окружности (С) можно рассчитать через диаметр (d), если воспользоваться нижеприведенной формулой:

С = π*d

Это формула демонстрирует, что длина окружности больше длины ее диаметра в π раз. Именно отношение длины окружности к величине ее диаметра и является числом π.

Какова формула вычисления отношения длины окружности к величине, означающей ее диаметр?

Число π представляет собой константу, которая получается в результате деления длины окружности (С) на ее диаметр (d). В виде формулы это выглядит так:

π = С/d

Площадь круга составляет 185 см кв. Как вычислить 30% от длины окружности при заданных исходных?

Располагая информацией о том, что площадь круга равна произведению числа Пи и квадрата ее радиуса (S=πr²), можно через нее выразить радиус:

r² = S/π = 185/π

Избавляемся от квадратной степени:

r = √(185/π) см.

Следующим шагом в решении задачи станет вычисление длины окружности, которая находится путем умножения на 2 числа Пи и радиуса окружности:

С=2πr= C=2π√(185/π) = 2√(185π) см.

На последнем этапе находим 30%. Принимаем всю длину окружности за 100%:

2√(185π) – 100%

х – 30%

Тогда х можно найти следующим образом:

х=(30*2√(185π))/100 = 0,6√(185π) см.

Как выглядят формулы определения длины окружности через радиус и через диаметр? В какое количество раз длина диаметра окружности меньше ее длины?

Существует две формулы, которые предназначены для расчета длины окружности (С). Они отличаются друг от друга тем, что элементом одной из них является радиус (r), а другой – диаметр (D):

C=2Пr и C=ПD.

Для того чтобы понять, во сколько раз длина окружности превышает длину ее диаметра, нужно произвести деление этих величин:

С/D

В результате получается число Пи, которое является постоянным и имеет значение примерно 3,14.

Длина окружности, обозначаемая как L, может быть вычислена при условии, что известен ее диаметр (D). При этом следует воспользоваться формулой L = Пи*D. Можно ли использовать данную формулу с целью вычисления длины диаметра окружности, длина которой составляет 126 м. (число Пи считать равным 3)?

Формула расчета длины окружности (С) через диаметр (D) выглядит так:

С = Пи*D

Исходя из условий задания, это равенство может быть записано в следующем виде:

126=3*D

Отсюда можно выразить диаметр:

D=126:3=42 м.

Читать дальше: как найти периметр квадрата.

28.3 Сокращение длины – College Physics

Глава 28 Специальная теория относительности

Резюме

• Опишите правильную длину.
• Рассчитать сокращение длины.
• Объясните, почему мы не замечаем эти эффекты в повседневных масштабах.

Рисунок 1. Люди могут по-разному описывать расстояния, но при релятивистских скоростях расстояния действительно другие. (Фото: Кори Леопольд, Flickr)

Вы когда-нибудь ездили по дороге, которая кажется бесконечной? Если смотреть вперед, то можно сказать, что осталось пройти около 10 км. Другой путешественник мог бы сказать, что впереди дорога длиной около 15 км. Однако если бы вы оба измерили дорогу, вы бы согласились. Путешествуя с обычной скоростью, расстояние, которое вы оба измеряете, будет одинаковым. Однако в этом разделе вы прочтете, что это неверно для релятивистских скоростей. Близкие к скорости света, измеренные расстояния не совпадают, если их измеряют разные наблюдатели.

Одна вещь, с которой соглашаются все наблюдатели, это относительная скорость. Даже если часы измеряют разное прошедшее время для одного и того же процесса, они все же согласны с тем, что относительная скорость, то есть расстояние, деленное на прошедшее время, одинакова. Это означает, что расстояние также зависит от относительного движения наблюдателя. Если два наблюдателя видят разное время, то они должны также видеть разные расстояния, чтобы относительная скорость была одинаковой для каждого из них.

Мюон, рассмотренный в главе 28.2. Пример 1 иллюстрирует эту концепцию. Для наблюдателя на Земле мюон движется со скоростью [латекс]{0,9{-6} \;\text{s}) = 0,627 \;\text{км}}.[/latex]

Расстояние между одними и теми же двумя событиями (рождением и распадом мюона) зависит от того, кто его измеряет и как они движутся относительно него.

Собственная длина

Собственная длина [латекс]{L_0}[/латекс] — это расстояние между двумя точками, измеренное наблюдателем, который находится в покое относительно обеих точек.

Наблюдатель на Земле измеряет правильную длину [латекс]{L_0}[/латекс], потому что точки, в которых рождается и распадается мюон, неподвижны относительно Земли. Для мюона Земля, воздух и облака движутся, поэтому расстояние [латекс]{L}[/латекс], которое он видит, не является правильной длиной.

Рис. 2. (a) Наземный наблюдатель видит, как мюон проходит 2,01 км между облаками. (b) Мюон видит, что движется по тому же пути, но только на расстоянии 0,627 км. Земля, воздух и облака движутся относительно мюона в его системе отсчета, и все они имеют меньшую длину в направлении движения.

Чтобы вывести уравнение, связывающее расстояния, измеренные разными наблюдателями, заметим, что скорость относительно земного наблюдателя в нашем примере с мюоном равна

[латекс] {v =} [/латекс] [латекс] {\ гидроразрыва {L_0} {\ Delta t}}. [/латекс]

Время относительно наблюдателя, связанного с Землей, равно [latex]{\Delta t}[/latex], поскольку измеряемый объект движется относительно этого наблюдателя. Скорость относительно движущегося наблюдателя равна

[латекс] {v =} [/латекс] [латекс] {\ гидроразрыва {L} {\ Delta t_0}}. [/латекс]

Движущийся наблюдатель движется вместе с мюоном и поэтому наблюдает собственное время [latex]{\Delta t_0}[/latex]. Две скорости идентичны; таким образом,

[латекс] {\ гидроразрыва {L_0} {\ Delta t}} [/ латекс] [латекс] {=} [/латекс] [латекс] {\ гидроразрыва {L} {\ Delta t_0}}. [/латекс]

Мы знаем, что [латекс]{\Delta t = \gamma \Delta t_0}[/латекс]. Подстановка этого уравнения в приведенное выше соотношение дает

[латекс] {L =} [/латекс] [латекс] {\ гидроразрыва {L_0} {\ гамма}}. [/латекс]

Замена вместо [латекс]{\гамма}[/латекс] дает уравнение, связывающее расстояния, измеренные разными наблюдателями.

Уменьшение длины 92}}}.[/латекс]

Если мы измерим длину чего-либо, движущегося относительно нашей системы координат, мы обнаружим, что его длина [латекс]{L}[/латекс] меньше правильной длины [латекс]{L_0}[/латекс], которая была бы измерена, если бы объект был неподвижен. Например, в системе отсчета мюона расстояние между точками его рождения и распада меньше. Эти точки неподвижны относительно Земли, но движутся относительно мюона. Облака и другие объекты также стягиваются вдоль направления движения в системе отсчета мюона.

Пример 1. Расчет сокращения длины: расстояние между звездами сокращается, когда вы путешествуете с большой скоростью

Предположим, что астронавт, такой как близнец, описанный в главе 28.2 «Одновременность и замедление времени», движется так быстро, что [латекс]{\gamma = 30,00 }[/латекс]. (a) Она путешествует с Земли к ближайшей звездной системе, Альфа Центавра, на расстоянии 4300 световых лет (световых лет), как было измерено земным наблюдателем. Как далеко друг от друга Земля и Альфа Центавра, измеренные астронавтом? (b) Что касается [латекса]{c}[/латекса], какова ее скорость относительно Земли? Вы можете пренебречь движением Земли относительно Солнца. (См. рис. 3.)

Рис. 3. (a) Находящийся на Земле наблюдатель измеряет правильное расстояние между Землей и Альфой Центавра. (b) Космонавт наблюдает сокращение длины, поскольку Земля и Альфа Центавра движутся относительно ее корабля. Она может преодолеть это более короткое расстояние за меньшее время (ее собственное время), не превышая скорости света.

Стратегия

Во-первых, обратите внимание, что световой год (ly) — это удобная единица измерения расстояния в астрономической шкале — это расстояние, которое свет проходит за год. Для части (a) обратите внимание, что расстояние в 4300 световых лет между Альфой Центавра и Землей является правильным расстоянием [latex]{L_0}[/latex], поскольку оно измерено связанным с Землей наблюдателем, которому обе звезды ( примерно) стационарный. Для астронавта Земля и Альфа Центавра движутся с одинаковой скоростью, поэтому расстояние между ними равно сокращенной длине [латекс]{L}[/латекс]. В части (b) нам дано [латекс]{\gamma}[/латекс], поэтому мы можем найти [латекс]{v}[/латекс], изменив определение [латекс]{\гамма}[/ латекс] для выражения [латекс]{v}[/латекс] через [латекс]{с}[/латекс].

Решение для (а)

1. Определите известные. [латекс]{L_0 – 4.300 \;\text{ly}}[/латекс]; [латекс]{\gamma = 30,00}[/латекс]
2. Определить неизвестное. [латекс]{L}[/латекс]
3. Выберите подходящее уравнение. [латекс]{L = \frac{L_0}{\gamma}}[/латекс]
4. Перестройте уравнение, чтобы найти неизвестное.

   [латекс] \ begin {array} {r @ {{} = {}} l} {L} & {\ frac {L_0} {\ gamma}} \\ [1em] & {\ frac {4.300 \; \ text{ly}}{30.00}} \\[1em] & {0.1433 \;\text{ly}} \end{массив}[/latex] 92}}[/латекс] [латекс]{=}[/латекс] [латекс]{\ гидроразрыва {1}{900,0}}[/латекс]

   и

   [латекс] {\ гидроразрыва {v2} {c2}} [/ латекс] [латекс] {= 1 -} [/латекс] [латекс] {\ гидроразрыва {1} {900,0}} [/ латекс] [латекс] {= 0,99888 \ точек}[/латекс]

   Извлекая квадратный корень, находим

   [латекс] {\ гидроразрыва {v} {c}} [/ латекс] [латекс] {= 0,99944}, [/ латекс]

   , который переставляется для получения значения скорости

   .

   [латекс]{v = 0,9994c}.[/латекс]

Обсуждение

Во-первых, помните, что нельзя округлять расчеты до тех пор, пока не будет получен окончательный результат, иначе можно получить ошибочные результаты. Это особенно верно для расчетов специальной теории относительности, где различия могут быть обнаружены только после нескольких знаков после запятой. Релятивистский эффект здесь велик ([латекс]{\gamma = 30,00}[/латекс]), и мы видим, что [латекс]{v}[/латекс] приближается (не равняется) к скорости света. Поскольку расстояние, измеряемое астронавтом, намного меньше, астронавт может преодолеть его за гораздо меньшее время в своем теле.

Люди могли бы быть отправлены на очень большие расстояния (тысячи или даже миллионы световых лет) и состариться в пути всего на несколько лет, если бы они путешествовали с чрезвычайно высокими скоростями. Но, подобно эмигрантам минувших веков, они навсегда покинут знакомую им Землю. Даже если бы они вернулись, на Земле прошли бы от тысяч до миллионов лет, уничтожив большую часть того, что существует сейчас. Существует также более серьезное практическое препятствие для путешествия с такими скоростями; для достижения таких высоких скоростей потребуются гораздо большие энергии, чем предсказывает классическая физика. Это будет обсуждаться в главе 28.6 «Релятивистская энергия». 92}}}[/latex], мы видим, что при низких скоростях ([latex]{ vРисунок 4.) Когда электрон проходит через детектор, такой как катушка с проволокой, его поле взаимодействует намного короче, эффект, наблюдаемый на частице ускорители, такие как 3-километровый Стэнфордский линейный ускоритель (SLAC). Фактически, для электрона, движущегося по лучевой трубе в SLAC, ускоритель и Земля движутся мимо и сокращаются по длине. Релятивистский эффект настолько велик, что длина ускорителя до электрона составляет всего 0,5 м. На самом деле легче направить электронный луч по трубе, так как луч не должен быть так точно направлен, чтобы пройти по короткой трубе, как по трубе длиной 3 км. Это опять-таки экспериментальная проверка специальной теории относительности.

Рис. 4. Линии электрического поля высокоскоростной заряженной частицы сжимаются вдоль направления движения за счет сокращения длины. Это дает другой сигнал, когда частица проходит через катушку, что является экспериментально подтвержденным эффектом сокращения длины.

правильной длины

[латекс]{L_0}[/латекс]; расстояние между двумя точками, измеренное наблюдателем, покоящимся относительно обеих точек; Наземные наблюдатели измеряют правильную длину при измерении расстояния между двумя точками, стационарными относительно Земли 92}} = \frac{L_0}{\gamma}}[/latex]

Видео-вопрос: расчет времени приложения силы

Стенограмма видео

К объекту приложена сила в восемь ньютонов, и импульс объекта увеличивается на два килограмма в секунду. Как долго действует сила?

Итак, в этом вопросе у нас есть некий объект, и к этому объекту приложена сила величиной восемь ньютонов. Обозначим эту силу как 𝐹, так что 𝐹 равно восьми ньютонам. Затем нам говорят, что в результате действия этой силы импульс объекта увеличивается на два килограмма метров в секунду. Мы обозначим это изменение импульса как Δ𝑝, где Δ означает, что мы измеряем изменение количества 𝑝, импульса объекта.

Итак, мы имеем, что Δ𝑝 равно двум килограммам в секунду, где это значение положительно, так как нам сказали, что импульс объекта увеличивается. Вопрос заключается в том, чтобы выяснить, как долго действует эта сила. Мы обозначим этот отрезок времени как Δ𝑡. И он представляет собой количество времени, которое проходит, или изменение значения времени между моментом, когда сила начинает действовать, и моментом, когда сила прекращает действовать.

Чтобы ответить на этот вопрос, мы можем вспомнить, что второй закон Ньютона говорит нам, что сила, действующая на объект, равна скорости изменения импульса объекта. Другими словами, сила, действующая на объект, равна изменению количества движения этого объекта, деленному на время, необходимое для того, чтобы это изменение произошло. В нашей ситуации мы знаем значение силы 𝐹 и знаем изменение импульса Δ 𝑝. Мы хотим найти значение Δ𝑡. Итак, давайте возьмем это уравнение и перестроим его, чтобы сделать Δ𝑡 субъектом.

Если обе части уравнения умножить на ∆𝑡, то в правой части ∆𝑡 в числителе и знаменателе компенсируют друг друга. Затем, если мы разделим обе части на 𝐹, мы можем сократить 𝐹 в числителе и знаменателе в левой части. Это дает нам уравнение, которое говорит, что Δ𝑡, продолжительность времени, в течение которого сила действует на объект, равна Δ𝑝, изменению импульса этого объекта, деленному на 𝐹, значение силы. Теперь все, что нам нужно сделать, это взять наши значения 𝐹 и Δ𝑝 и подставить их в это уравнение, чтобы вычислить наше значение Δ𝑡.

Подстановка этих значений дает нам, что Δ𝑡 равно нашему изменению импульса в два килограмма метров в секунду, деленному на силу в восемь ньютонов. Давайте на минутку проверим, как работают единицы. В правой части этого уравнения у нас есть величина в числителе с единицами килограмм-метров в секунду, а в знаменателе у нас есть величина с единицами измерения в ньютонах.

Напомним, что второй закон Ньютона также можно записать в виде 𝐹 равно 𝑚𝑎. Другими словами, сила 𝐹, действующая на объект, равна массе 𝑚 этого объекта, умноженной на ускорение 𝑎, испытываемое этим объектом. Сила обычно выражается в ньютонах, но поскольку сила равна произведению массы на ускорение, а масса измеряется в килограммах, а ускорение измеряется в метрах в секунду в квадрате, то мы можем видеть, что единицы в ньютонах должны быть равны единицам килограмм-метров в секунду в квадрате.

Итак, если мы вернемся к нашему уравнению для Δ𝑡, мы увидим, что наша сила в восемь ньютонов также может быть записана как восемь килограммов на метр в секунду в квадрате. Тогда для единиц в правой части уравнения у нас есть килограмм-метры в секунду, деленные на килограмм-метры в секунду в квадрате, что оставляет нам единицы секунд. Это, конечно, имеет смысл, поскольку в левой части уравнения у нас есть значение времени. Оценка этой правой части дает результат 0,25 секунды. Итак, наш ответ на вопрос, как долго действует сила, равен 0,25 секунды.