Как найти общий интеграл дифференциального уравнения: найти общий интеграл дифференциального уравнения

Проинтегрировав по у, найдем саму функцию (у), которая построена так, что выполняется равенство (14). Используя равенства (13) и (14), видим, что

в области (S). (18)

Пример 5. Проверить, является ли данное дифференциальное уравнение уравнением в полных дифференциалах и решить его.

Это дифференциальное уравнение в полных дифференциалах. В самом деле, обозначая, убеждаемся в том, что

а это есть необходимое и достаточное условие того, что выражение

P(x,y)dx+Q(x,y)dy

является полным дифференциалом некоторой функции U(x,y). При этом – непрерывные в R функции.

Следовательно, чтобы проинтегрировать данное дифференциальное уравнение, нужно найти такую функцию, для которой левая часть дифференциального уравнения будет полным дифференциалом. Пусть такой функцией будет U(x,y), тогда

Интегрируя левую и правую части по x, получим:

Чтобы найти ц(y), используем тот факт, что

Подставляя найденное значение ц(y) в (*), окончательно получим функцию U(x,y):

Общий интеграл исходного уравнения имеет вид

Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка (продолжение).

Определение: Линейным уравнением первого порядка называется уравнение вида

y” + P(x)y = f(x), (21)

где P(x) и f(x) – непрерывные функции.

Название уравнения объясняется тем, что производная y” – линейная функция от у, то есть если переписать уравнение (21) в виде y” = – P(x) +f(x), то правая часть содержит у только в первой степени.

Если f(x) = 0, то уравнение

yґ+ P(x) y = 0 (22)

называется линейным однородным уравнением. Очевидно, что однородное линейное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными:

y” +P(x)y = 0; ,

Если f(x) ? 0, то уравнение

yґ+ P(x) y = f(x) (23)

называется линейным неоднородным уравнением.

В общем случае переменные в уравнении (21) разделить нельзя.

Уравнение (21) решается следующим образом: будем искать решение в виде произведения двух функций U(x) и V(x):

Найдем производную:

y” = U”V + UV” (25)

и подставим эти выражения в уравнение (1):

U”V + UV” + P(x)UV = f(x).

Сгруппируем слагаемые в левой части:

U”V + U = f(x). (26)

Наложим условие на один из множителей (24), а именно, предположим, что функция V(x) такова, что она обращает в тождественный нуль выражение, стоящее в квадратных скобках в (26), т.е. что она является решением дифференциального уравнения

V” + P(x)V = 0. (27)

Это уравнение с разделяющимися переменными, находим из него V(x):

Теперь найдем функцию U(x) такую, чтобы при уже найденной функции V(x) произведение U V было решением уравнения (26). Для этого надо, чтобы U(x) была решением уравнения

Это уравнение с разделяющимися переменными, поэтому

Подставляя найденные функции (28) и (30) в формулу (4), получаем общее решение уравнения (21):

Таким образом, рассмотренный метод (способ Бернулли) сводит решение линейного уравнения (21) к решению двух уравнений с разделяющимися переменными.

Пример 6. Найти общий интеграл уравнения.

Это уравнение не является линейным относительно y и y”, но оно оказывается линейным, если считать искомой функцией x, а аргументом y. Действительно, переходя к, получаем

Для решения полученного уравнения воспользуемся способом подстановки (Бернулли). Будем искать решение уравнения в виде x(y)=U(y)V(y), тогда. Получаем уравнение:

Выберем функцию V(y) так, чтобы. Тогда

Имеющее стандартный вид $P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy=0$, в котором левая часть представляет собой полный дифференциал некоторой функции $F\left(x,y\right)$, называется уравнением в полных дифференциалах.

Уравнение в полных дифференциалах всегда можно переписать в виде $dF\left(x,y\right)=0$, где $F\left(x,y\right)$ — такая функция, что $dF\left(x,y\right)=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$.

Проинтегрируем обе части уравнения $dF\left(x,y\right)=0$: $\int dF\left(x,y\right)=F\left(x,y\right) $; интеграл от нулевой правой части равен произвольной постоянной $C$. Таким образом, общее решение данного уравнения в неявной форме имеет вид $F\left(x,y\right)=C$.

Для того, чтобы данное дифференциальное уравнение представляло собой уравнение в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие $\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial Q}{\partial x} $. Если указанное условие выполнено, то существует такая функция $F\left(x,y\right)$, для которой можно записать: $dF=\frac{\partial F}{\partial x} \cdot dx+\frac{\partial F}{\partial y} \cdot dy=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$, откуда получаем два соотношения: $\frac{\partial F}{\partial x} =P\left(x,y\right)$ и $\frac{\partial F}{\partial y} =Q\left(x,y\right)$.

Интегрируем первое соотношение $\frac{\partial F}{\partial x} =P\left(x,y\right)$ по $x$ и получаем $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$, где $U\left(y\right)$ — произвольная функция от $y$.

Подберем её так, чтобы удовлетворялось второе соотношение $\frac{\partial F}{\partial y} =Q\left(x,y\right)$. Для этого продифференцируем полученное соотношение для $F\left(x,y\right)$ по $y$ и приравняем результат к $Q\left(x,y\right)$. Получаем: $\frac{\partial }{\partial y} \left(\int P\left(x,y\right)\cdot dx \right)+U”\left(y\right)=Q\left(x,y\right)$.

Дальнейшее решение таково:

• из последнего равенства находим $U”\left(y\right)$;
• интегрируем $U”\left(y\right)$ и находим $U\left(y\right)$;
• подставляем $U\left(y\right)$ в равенство $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$ и окончательно получаем функцию $F\left(x,y\right)$.{2} +3\cdot x\cdot y-2\cdot y=102$.

  Определение 8.4. Дифференциальное уравнение вида

  где
  называется уравнением в полных дифференциалах.

  Заметим, что левая часть такого уравнения есть полный дифференциал некоторой функции
  .

  В общем случае, уравнение (8.4) можно представить в виде

  Вместо уравнения (8.5) можно рассматривать уравнение

  ,

  решение которого есть общим интегралом уравнения (8.4). Таким образом, для решения уравнения (8.4) необходимо найти функцию
  . В соответствии с определением уравнения (8.4), имеем

  (8.6)

  Функцию
  будем отыскивать, как функцию, удовлетворяющую одному из этих условий (8.6):

  где – произвольная функция, не зависящая от.

  Функция
  определяется так, чтобы выполнялось второе условие выражения (8.6)

  (8.7)

  Из выражения (8.7) и определяется функция
  . Подставляя ее в выражение для
  и получают общий интеграл исходного уравнения.

  Задача 8.3. Проинтегрировать уравнение

  Здесь
  .

  Следовательно, данное уравнение относится к типу дифференциальных уравнений в полных дифференциалах. Функцию
  будем отыскивать в виде

  .

  С другой стороны,

  .

  В ряде случаев условие
  может не выполняться.

  Тогда такие уравнения к рассматриваемому типу приводятся умножением на так называемый интегрирующий множитель, который, в общем случае, является функцией только или.

  Если у некоторого уравнения существует интегрирующий множитель, зависящий только от , то он определяется по формуле

  где отношение должно быть только функцией.

  Аналогично, интегрирующий множитель, зависящий только от , определяется по формуле

  где отношение
  должно быть только функцией.

  Отсутствие в приведенных соотношениях, в первом случае переменной , а во втором – переменной, являются признаком существования интегрирующего множителя для данного уравнения.

  Задача 8.4. Привести данное уравнение к уравнению в полных дифференциалах.

  .

  Рассмотрим отношение:

  .

  Тема 8.2. Линейные дифференциальные уравнения

  Определение 8.5 . Дифференциальное уравнение
  называется линейным, если оно линейно относительно искомой функции, ее производнойи не содержит произведения искомой функции и ее производной.

  Общий вид линейного дифференциального уравнения представляется следующим соотношением:

  (8.8)

  Если в соотношении (8.8) правая часть
  , то такое уравнение называется линейным однородным. В случае, когда правая часть
  , то такое уравнение называется линейным неоднородным.

  Покажем, что уравнение (8.8) интегрируется в квадратурах.

  На первом этапе рассмотрим линейное однородное уравнение.

  Такое уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Действительно,

  ;

  /

  Последнее соотношение и определяет общее решение линейного однородного уравнения.

  Для отыскания общего решения линейного неоднородного уравнения применяется метод вариации производной постоянной. Идея метода состоит в том, что общее решение линейного неоднородного уравнения в том же виде, что и решение соответствующего однородного уравнения, однако произвольная постоянная заменяется некоторой функцией
  , подлежащей определению. Итак, имеем:

  (8.9)

  Подставляя в соотношение (8.8) выражения, соответствующие
  и
  , получим

  Подставляя последнее выражение в соотношение (8.9), получают общий интеграл линейного неоднородного уравнения.

  Таким образом, общее решение линейного неоднородного уравнения определяется двумя квадратурами: общего решения линейного однородного уравнения и частного решения линейного неоднородного уравнения.

  Задача 8.5. Проинтегрировать уравнение
  

  Таким образом, исходное уравнение относится к типу линейных неоднородных дифференциальных уравнений.

  На первом этапе найдем общее решение линейного однородного уравнения.

  ;

  На втором этапе определим общее решение линейного неоднородного уравнения, которое отыскивают в виде-

  ,

  где
  – функция, подлежащая определению.

  Итак, имеем:

  Подставляя соотношения для ив исходное линейное неоднородное уравнение получим:

  ;

  ;

  .

  Общее решение линейного неоднородного уравнения будет иметь вид:

  .

  {(} n)) = 0 $$

  как неявная функция независимой переменной $ x $. В этом случае решение также называется частным интегралом, в отличие от общего интеграла уравнения (1), то есть соотношением

  $$ \ tag {2} \ Phi (x, y, C _ {1} \ dots C _ {n}) = 0, $$

  , из которого можно получить соответствующим выбором констант $ C _ {1} \ dots C _ {n} $ любая интегральная кривая уравнения (1), лежащая в некоторой заданной области $ G $ из $ (x, y) $ – самолет.{(} k), \ C _ {1} \ dots C _ {n-} k) = 0, $$

  , содержащие производные до порядка $ k $, $ 1 \ leq k

  Если рассматривать систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка,

  $$ \ tag {4} \ frac {d x _ {i}} {dt} знак равно f _ {i} (t, x _ {1} \ dots x _ {n}), \ \ я = 1 \ точки п, $$

  , то под его общим интегралом понимается совокупность соотношений

  $$ \ tag {5} \ Phi _ {i} (t, x _ {1} \ dots x _ {n}) = C _ {i}, \ \ я = 1 \ точки п, $$

  , где $ C _ {i} $ – произвольные постоянные, которые в неявной форме описывают все решения системы (4) в некоторой области $ G $ из $ (t, x _ {1} \ dots x _ {n}) $ – Космос.Каждое из соотношений (5) само по себе называется первым интегралом системы (4). Чаще под первым интегралом системы (4) понимают функцию $ u (t, x _ {1} \ dots x _ {n}) $ со свойством постоянства вдоль любого решения системы (4) в области $ G $. В системе (4) ровно $ n $ независимые первые интегралы, знание которых позволяет найти общее решение без интегрирования системы; знание $ k $ независимых первых интегралов позволяет свести решение системы (4) порядка $ n $ решению системы порядка $ n – k $.{n} е _ {я} (т, х _ {1} \ точки х _ {п}) \ frac {\ partial u} {\ partial x _ {i}} = 0. $$

  Аналогичная терминология иногда используется в теории дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. Таким образом, интегралом дифференциального уравнения

  $$ \ tag {6} F \ left (x, y, z, \ \ frac {\ partial z} {\ partial x} , \ \ frac {\ partial z} {\ partial y} \ right) = 0, $$

  Под

  или его частным интегралом понимается решение этого уравнения (интегральная поверхность).Под полным интегралом уравнения (6) понимается семейство решений $ \ Phi (x, y, z, a, b) = 0 $ в зависимости от двух произвольных констант. Общий интеграл уравнения (6) – это отношение, содержащее одну произвольную функцию и дающее решение уравнения для каждого выбора этой функции.

  Список литературы

  [1]	W.W. [В.В. Степанов] Степанов, “Lehrbuch der Differentialgleichungen”, Deutsch. Verlag Wissenschaft. (1956)

  Список литературы

  [a1]	K.Rektorys (ed.), Обзор прикладной математики , Iliffe (1969) pp. Sects. 17.2, 17.8, 17.18, 17.20
  [a2]	E.L. Инс, «Интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений», Оливер и Бойд (1956)

  Как процитировать эту запись:
  Интеграл дифференциального уравнения. Математическая энциклопедия. URL: http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Integral_of_a_differential_equation&oldid=47377

  Эта статья была адаптирована из оригинальной статьи Н.{n} $, и описывая в неявной форме семейство функций, образующих общее решение этой системы в области $ G $. Часто набор функций

  $$ \ tag {3} \ Phi _ {i} (t, x _ {1} \ dots x _ {n}), \ \ я = 1 \ точки п, $$

  называется общим интегралом, а не уравнениями (2). Каждое из уравнений (2) (или каждая функция (3)) называется первым интегралом от. Иногда общий интеграл

  означает более общую систему уравнений, чем (2),

  $$ \ Phi _ {i} (t, x _ {1} \ dots x _ {n}, C _ {1} \ dots C _ {n}) = 0 , \ i = 1 \ точки n.{(} п-1)) $$

  общий интеграл – это одно отношение с $ n $ параметры,

  $$ \ Phi (x, y, C _ {1} \ dots C _ {n}) = 0, $$

  , описывающее общее решение этого уравнения в области $ G $ в виде неявной функции.

  Общий интеграл дифференциального уравнения с частными производными первого порядка – это отношение между переменными в уравнении, включающее одну произвольную функцию, такое, что уравнение удовлетворяется при подстановке в него отношения при любом выборе произвольной функции.

  См. Также Интеграл дифференциального уравнения.

  Для справки см. Общее решение.

  Как цитировать эту запись:
  Общий интеграл. Математическая энциклопедия. URL: http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=General_integral&oldid=47066

  Эта статья была адаптирована из оригинальной статьи Н.Х. Розова (составитель), которая появилась в энциклопедии математики – ISBN 1402006098. См. Оригинальную статью

  Дифференциальные уравнения

  Дифференциальные уравнения

  Эти уравнения, содержащие производную, вовлекают темпы изменения – так часто появляются в инженерном или научном контексте.
  Решение уравнения включает интегрирование.

  Дан порядок дифференциального уравнения. по самой высокой используемой производной.

  Дана степень дифференциального уравнения. по степени мощности высшей производная используется.

  
  Примеры: –

  Типы дифференциальных уравнений: –

  Дифференциальные уравнения первого порядка

  Решение прямым интегрированием

  Общее решение дифференциальных уравнений вида
  можно найти с помощью прямого интегрирования.
  Подстановка значений начальных условий даст
  

  Пример

  Решите уравнение

  Найдите конкретное решение для
  дифференциальное уравнение

  
  при y = 5 при x = 3

  Пример

  Прямая линия с уклоном 2 проходит через
  точка (1,3).Найдите уравнение прямой.

  Разделимые переменные

  Дифференциальное уравнение с разделением переменных равно единице
  в котором уравнение может быть записано со всеми членами
  для одной переменной на одной стороне уравнения, а для другой
  условия с другой стороны.

  Пример

  Найти общее решение дифференциального уравнения

  Пример

  Найти общее решение дифференциального уравнения

  Пример

  Найдите частное решение дифференциального уравнения

  при y = 2 при x = 1

  Частичные дроби необходимы, чтобы преобразовать левую часть уравнения в форму, которая может быть интегрирована.

  так

  , который интегрируется в общее решение

  заменяющие значения для конкретного решения

  Линейные дифференциальные уравнения

  Это дифференциальные уравнения первой степени.

  описывает общее линейное дифференциальное уравнение порядка n,
  где a _n (x), a _n-1 (x) и т. д. и f (x) – заданные функции x или константы.

  Луи Арбогаст представил дифференциальный оператор
  D = d / dx, что упрощает общее уравнение до

  или

  
  

  Если f (x) = 0, уравнение называется однородным.
  Если f (x) ≠ 0, уравнение неоднородно

  Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

  Для решения уравнений вида

  1) Экспресс по стандартной форме

  
  где P и Q – функции x или константы

  2) Умножьте обе части на Интегрирующий коэффициент
  

  3) Напишите

  4) Интегрируйте правую часть,

  при необходимости использовать интеграцию по частям

  5) Разделите обе стороны на коэффициент интегрирования.
  Это дает общее решение.

  6) Используйте любые начальные условия, чтобы найти
  частные решения.

  Пример

  Найдите общее решение уравнения

  так

  Пример

  Найдите общее решение уравнения

  , где x ≠ 2, и, следовательно, найти частное решение
  для y = 1 при x = -1

  Линейные дифференциальные уравнения второго порядка

  Для решения уравнений вида

  
  

  1) Запишите вспомогательное уравнение
  am ² + bm + c = 0

  (почему это работает, UCL.ac.uk)

  2) Исследовать дискриминант вспомогательное уравнение.

  3) Для настоящих и отчетливых корней, м ₁ и м ₂ ,

  общее решение –

  
  

  4) Для настоящих и равных корней
  общее решение –

  5) Для комплексно-сопряженных корней
  m ₁ = p + iq и m ₂ = p – iq,
  общее решение –

  6) Используйте любые начальные условия, чтобы найти конкретное решение.

  Пример

  Найдите общее решение уравнения

  и конкретное решение, для которого
  y = 7, когда x = 0 и dy / dx = 7

  Пример

  Найдите общее решение уравнения

  и частное решение для
  y = 0 и dy / dx = 3, когда x = 0

  Пример

  Найдите общее решение уравнения

  Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка

  Решение уравнений вида

  состоит из двух частей, дополнительная функция (CF)
  и частный интеграл (PI).

  , поэтому Q (x) = CF + PI

  CF – это общее решение, описанное выше
  для решения однородных уравнений.

  Частный интеграл находится путем замены
  форма, аналогичная Q (x) в уравнении левой части,
  и приравнивая коэффициенты.

  • Если Q (x) является линейной функцией, попробуйте y = Cx + D
  • Если Q (x) квадратично, попробуйте Cx ² + Dx + E
  • Если Q (x) – волновая функция, попробуйте CSinx + Dcosx
  • Если Q (x) – константа, попробуйте y = C
  • Если Q (x) равно e ^kx , попробуйте y = Ce ^kx

  PI не может иметь ту же форму, что и любой из терминов в CF,
  , поэтому необходимо соблюдать осторожность чтобы убедиться, что это не так.
  В такой ситуации обычно используется дополнительный член x. введен в ИП.

  Частное решение находится заменой начальные условия в общее решение. Не надо просто использовать CF !!!

  Пример

  Найдите общее решение уравнения

  Пример

  Найдите общее решение уравнения

  и частное решение для
  y = 0 и dy / dx = 5, когда x = 0

  Теперь подставим их обратно в исходное уравнение

  Теперь найдите конкретное решение

  Уф !!

  Подробнее

  http: // en.wikipedia.org/wiki/Differential_equation
  http://en.wikipedia.org/wiki/Ordinary_differential_equation
  http://en.wikipedia.org/wiki/Linear_differential_equation
  http://en.wikipedia.org/wiki/Superposition_principle
  http://en.wikipedia.org/wiki/Integrating_factor

  Некоторые примеры дифференциальных уравнений

  http://en.wikipedia.org/wiki/Examples_of_differential_equations
  http://en.wikipedia.org/wiki/RC_circuit
  http: // en.wikipedia.org/wiki/Classical_mechanics
  http://en.wikipedia.org/wiki/Dynamical_systems
  http://en.wikipedia.org/wiki/Numerical_methods
  http://en.wikipedia.org/wiki/Newton% 27s_Laws
  http://en.wikipedia.org/wiki/Radioactive_decay
  http://en.wikipedia.org/wiki/Wave_equation
  http://en.wikipedia.org/wiki/Schr%C3%B6dinger_equation
  http: //en.wikipedia.org/wiki/Shallow_water_equations
  http://en.wikipedia.org/wiki/Maxwell%27s_equations
  http: //en.wikipedia.org / wiki / Harmonic_oscillator
  http://en.wikipedia.org/wiki/Vector_space
  http://en.wikipedia.org/wiki/Method_of_undetermined_coefficients
  http://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_formula
  http://en.wikipedia.org/wiki/Poisson%27s_equation
  http://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_mechanics
  http://en.wikipedia.org/wiki/Verhulst_equation

  Общие и частные решения

  
  Общие и частные решения
  Здесь научимся находить общее решение дифференциального уравнения, и используйте это общее решение, чтобы найти конкретное решение.Мы будем также примените это к задачам ускорения, в которых мы используем ускорение и начальные условия объекта для определения положения функция.

  Пример 1: Поиск частного решения

  Найдите частное решение дифференциального уравнения, которое удовлетворяет заданному начальному условию:

  Во-первых, нам нужно найти общее решение. Для этого нам нужно проинтегрировать обе стороны, чтобы найти y:

  Это дает нам общее решение.Чтобы найти конкретное решение, нам нужно применить начальные условия, заданные для us (y = 4, x = 0) и решаем относительно C:

  После того, как мы решаем C, у нас есть конкретное решение.

  Пример 2: Поиск частного решения

  Найдите частное решение дифференциального уравнения, которое удовлетворяет заданному начальному условию:

  Во-первых, нам нужно интегрировать обе стороны, что дает нам общее решение:

  Теперь мы применяем начальные условия (x = 1, y = 4) и решаем для C, которое мы используем для создания нашего конкретного решения:

  Пример 3: Поиск частного решения

  Найдите частное решение дифференциала уравнение, которое удовлетворяет заданному начальному условию:

  Сначала мы находим общее решение, интегрируя обе части:

  Теперь, когда у нас есть общее решение, мы можем применить начальные условия и найти конкретное решение:

  Скорость и ускорение

  Здесь мы будем применять конкретные решения для нахождения функций скорости и положения от ускорения объекта.

  Пример 4: Поиск функции положения

  Найдите функцию положения движущейся частицы с заданными ускорением, начальным положением и начальной скоростью:

  У нас есть функция ускорения, начальная скорость 10, и начальное положение 5, и ищем функция положения. Мы знаем, что интеграл ускорения равен скорость, поэтому начнем с этого:

  Теперь у нас есть общее решение для скорости функция.Чтобы получить конкретное решение, нам нужна начальная скорость. Поскольку это начальная скорость, это скорость в момент времени t = 0; следовательно, наше начальное условие v = 10, t = 0:

  Теперь, когда у нас есть конкретное решение скорости, мы можем интегрировать его, чтобы найти положение:

  Теперь мы можем применить наши начальные условия к этому общее решение, чтобы получить частное решение, которое является позицией функция, которую мы хотим.Как и раньше, x ₀ – это начальная позиция
  , что означает, что время t = 0 и x = 5:

  Это функция положения частицы.

  Пример 5: Поиск функции положения

  Найдите функцию положения движущейся частицы с заданными ускорением, начальным положением и начальной скоростью:

  У нас есть уравнение ускорения, начальное скорость 7 и начальное положение 0.Первый шаг – найти частное решение скорости частицы:

  Теперь мы можем использовать функцию скорости, чтобы найти функция положения. Помните, нам нужно будет найти конкретный решение функции положения, а не только общее решение:

  Пример 6: Применение дифференциального уравнения

  Здесь мы будем использовать реальный пример, чтобы применить то, что мы только что узнали.

  Мяч бросается вниз с начальным скорость 20 футов / с от вершины здания высотой 300 футов.Игнорирование воздушного трения, dow долго ли мяч достигает земли, и с какой скоростью это ударило?

  Чтобы решить эту проблему, нам нужно поставить это в терминах, которые мы можем понять. Единицы измерения даны в футах и футов в секунду; ускорение свободного падения в этих устройствах составляет -32 фут / с ² .

  Мы знаем, что мяч был брошен вниз с начальной скоростью (t = 0) 20 футов / с; поскольку он идет вниз, скорость будет отрицательной (v ₀ = -10).

  Наконец, здание достигает 300 футов в высоту, и мяч брошен сверху. Поскольку мяч начинается с места вверх от уровня земли, начальное положение будет положительным 300 (x ₀ = 300). Давайте представим все это в уравнении, аналогичном предыдущим примерам:

  Теперь мы куда-то идем! Вопрос задает о мяч, когда он падает на землю. Чтобы понять информация о том, когда он упадет на землю, нам нужно знать, во сколько он хиты.Уравнение, которое связывает положение со временем, – это положение функция, которую мы уже знаем, как получить из предыдущих примеров:

  Теперь, когда у нас есть функция позиции, мы можем начните решать за время, необходимое для того, чтобы мяч коснулся земли, а скорость, с которой он ударяется. Каждое из этих уравнений должно знать время; например, если мы подставим 2 вместо t в функцию скорости, это даст нам скорость в t = 2 или 2 секунды после броска мяча.Нам нужно знать, в какое время мяч падает на землю; для этого нам нужно установить позицию функция, равная 0, и решите относительно t. Мяч стартовал в 300 футах от земли, и мы использовали 300 в качестве нашего исходное положение. Если мы установим нашу позицию равной 0, это скажет нам когда мяч ударяется о землю:

  Мы получаем два значения t: -5 и 3,75. Мы можем отбросить -5, так как у нас не может быть отрицательного ценность времени. Следовательно, время, необходимое мячу для достижения земля 3.75 секунд. Чтобы найти скорость, когда мяч попадает в земли, мы просто подставляем 3,75 для t в наше уравнение скорости и решаем:

  Скорость мяча при ударе о землю составляет -140 фут / с

  Пример 7: Применение дифференциального уравнения

  Тормоза автомобиля срабатывают, когда он движется по 60 км / ч, обеспечивая постоянное замедление 12 м / с ² . Как далеко машина проезжает до остановки и сколько времени это занимает?

  Хорошо, давайте разберемся с этим.Мы знаем, что ускорение составляет -12 м / с ² . Начальная скорость 60 км / ч; это нужно будет преобразовать в м / с (у нас не может быть проблем с разными единицами):

  Начальная скорость автомобиля составляет 16,7 м / с. Мы также можем назвать начальное положение x = 0, так как именно тогда машина начинает замедляться. Собираем все вместе:

  Мы знаем, что нам понадобится функция позиции в какой-то момент, так как нам нужно выяснить, как далеко проехала машина, прежде чем подходит к остановке, так что давайте продолжим и уберем это с дороги:

  Теперь нам нужно выяснить, в какое время машина останавливается.Мы не знаем, где будет находиться машина. этот момент, но мы знаем, что скорость будет равна 0. Чтобы узнать когда скорость равна 0, нам нужно установить скорость равной 0 и решить:

  Автомобиль останавливается через 1,4 секунды после нанесения. тормоза. Как далеко он проходит до остановки? Нам нужно подключить t = 1,4 к функции положения, чтобы узнать:

  Автомобиль проходит 11,6 метра до остановки

  Введение в дифференциальные уравнения, часть 5

  Введение в дифференциальные уравнения, часть 5

  Введение в дифференциальные уравнения

  Часть 5: Символьные решения разделимых дифференциальных уравнений

  В части 4 мы показали один из способов использования числовой схемы, метод Эйлера, для аппроксимации решений дифференциального уравнения.В предыдущих частях мы описали символические решения частных дифференциальных уравнений. Оба представления – числовые и символьные – важны, и оба могут быть исследованы на различных уровнях сложности. В этом разделе мы опишем простой метод получения символьных описаний для общего класса дифференциальных уравнений первого порядка.

  К простейшим дифференциальным уравнениям относятся уравнения вида

  dY / dt = f (t) ,

  т.е. дифференциальные уравнения первого порядка, правая часть которых не имеет явной зависимости от зависимой переменной Y .Для такого уравнения получение общего описания решений аналогично нахождению всех первообразных от f , то есть то же самое, что и вычисление неопределенного интеграла. Так, например, решения

  dY / dt = cos (t)

  составляют семейство функций Y вида

  где C может быть любой постоянной. В более общем смысле, поиск символьных описаний решений дифференциальных уравнений первого порядка сводится к вычислению одного или нескольких интегралов.

  Мы описываем здесь метод вычисления символьных описаний решений для большого класса дифференциальных уравнений – тех, которые могут быть записаны в виде

  Такие дифференциальные уравнения называются отделимыми . Например, каждое из следующих дифференциальных уравнений разделимо:

  dY / dt = cos (t)

  dY / dt = Y ²

  dY / dt = Y (t + 1)

  С другой стороны, дифференциальное уравнение не является разделимым дифференциальным уравнением.

  & nbsp

  Первый пример

  Прежде чем описывать процедуру решения в целом, давайте рассмотрим простой случай:

  dY / dt = kY.

  Вы, вероятно, знаете, что это экспоненциальный рост или спад в зависимости от того, является ли k положительным или отрицательным, и что семейство решений –

  . где C может быть любой действительной постоянной. Однако давайте забудем, что мы это знаем, и заново откроем для себя это описание.

  В ходе обсуждения мы будем использовать тот факт, что задачи с начальным значением для этого дифференциального уравнения имеют единственные решения. В частности, поскольку постоянная функция ноль является решением, любое другое решение никогда не равно нулю. В самом деле, предположим, что Y является решением дифференциального уравнения, а Y (t ₀ ) равно нулю. Тогда Y является решением задачи начального значения

  dY / dt = ky и Y (t ₀ ) = 0.

  Но функция постоянного нуля также является решением задачи начального значения

  dY / dt = kY и Y (t ₀ ) = 0.

  Поскольку существует только одно решение задачи начального значения, Y должна быть постоянной нулевой функцией.

  Таким образом, нам нужно только описать решения, которые никогда не равны нулю. Предположим, что Y является таким ненулевым решением дифференциального уравнения dY / dt = kY . Затем

  для всех т . Подумайте о левой части этого уравнения как о результате дифференцирования цепного правила

  Мы также можем записать правую часть в виде производной

  Используя эти идентификаторы, Y должны удовлетворять

  для всех т .Поскольку две функции имеют одинаковую производную для всех t точно тогда, когда они отличаются на константу, мы должны иметь

  для каких-то постоянных c и всего t . Теперь возведя в степень обе части этого уравнения, получим

  Поскольку Y (t) либо всегда положительно, либо всегда отрицательно, либо Y (t) = e ^c e ^kt для всех t или Y (t) = -e ^c e ^кт для всех т .Если мы допустим, что C будет либо e ^c , либо -e ^c в зависимости от ситуации, тогда Y должен иметь форму

  Полагая C произвольной ненулевой константой, мы описываем все ненулевые решения дифференциального уравнения. Если мы позволим C быть равным нулю, мы также возьмем решение с постоянным нулем в нашем описании.

  & nbsp

  Мнемоническое устройство

  Теперь мы повторим этот расчет в мнемонической форме, которая упрощает запоминание шагов.Сначала перепишем дифференциальное уравнение в виде

  Обратите внимание, что мы «разделили переменные». Теперь формально интегрируем обе стороны. (Это шаг правила цепочки в исходном вычислении.) Получаем

  Проведя указанные интегрирования, имеем

  ln (| Y |) + constant = kt + constant

  Комбинируя две константы, получаем

  ln (| Y |) = kt + constant

  . В остальном расчет остается прежним.

  & nbsp

  Общая методика

  В общем, если дифференциальное уравнение разделимо, мы можем разделить переменные

  Тогда, если мы сможем вычислить интегралы

  мы сводим задачу с одного из исчислений к одному из алгебры – решение для Y (t) .

  & nbsp

  Второй пример

  Давайте попробуем это с помощью дифференциального уравнения dY / dt = 5Y ² .Конечно, одним из решений этого дифференциального уравнения является функция постоянного нуля.

  1. Объясните, почему решения dY / dt = 5Y ² либо тождественно равны нулю, либо никогда не равны нулю.
  2. Пусть Y – ненулевое решение dY / dt = 5Y ² . Покажите, что для некоторой константы c , Y должно удовлетворять

     для всех т .

  3. Пусть Y будет решением задачи начального значения dY / dt = 5Y ² и Y (0) = 1

     показывают, что

     Y (t) = 1 / (1 – 5t) .
  Обратите внимание, что Y (t) приближается к бесконечности, поскольку t приближается к 1/5 слева. Ниже показано поле наклона для этого дифференциального уравнения с этим конкретным решением.

  & nbsp

  Третий пример

  В качестве последнего примера этого метода определения символических решений мы рассмотрим дифференциальное уравнение

  dY / dt = 2Y (2 – Y) .

  Обратите внимание, что это наше дифференциальное уравнение, распространяющее слухи из Части 1, где k и M оба установлены равными 2 .

  4. У этого уравнения есть два постоянных решения. Кто они такие?
  5. Покажите, что если Y является решением этого дифференциального уравнения, то либо 2Y (2 – Y) равно нулю для всех значений t, , либо оно никогда не равно нулю.
  6. Предположим, что Y является решением дифференциального уравнения, так что 2Y (2 – Y) всегда положительно. Разделите переменные, чтобы получить

     Интегрируйте обе стороны, чтобы показать, что Y должно удовлетворять

  7. Используйте свою систему компьютерной алгебры, чтобы найти общий вид решений дифференциального уравнения dY / dt = 2Y (2 – Y),

     и показать, что описание на шаге 6 согласуется с описанием системы компьютерной алгебры.

  8. Теперь предположим, что Y – это решение, такое что Y (t) всегда строго больше, чем 2 . Повторите свой символический расчет. Будьте осторожны, ведите журналы только положительных величин. Можно ли еще принять решение в форме, описанной в шаге 6? Если да, то какой диапазон C s соответствует этим решениям?
  9. Теперь предположим, что Y – это решение, такое что Y (t) всегда строго отрицательно.Повторите свой символический расчет. Опять же, будьте осторожны, ведите журналы только положительных величин. Можно ли еще принять решение в форме, описанной в шаге 6? Если да, то какой диапазон C s соответствует этим решениям?

  ---

  Как найти решения дифференциальных уравнений

  Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает одно или больше ваших авторских прав, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее то информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

  Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в качестве ChillingEffects.org.

  Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

  Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

  Вы должны включить следующее:

  Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса – изображению, ссылке, тексту и т. д. – относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

  Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

  Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
  101 S. Hanley Rd, Suite 300
  St. Louis, MO 63105
  

  Или заполните форму ниже:

  Полный интеграл дифференциальных уравнений в частных производных

  Полное решение или полный интеграл дифференциальных уравнений в частных производных:

  Определение:

  Решение уравнения в частных производных называется полным решением или полным интегралом, если оно содержит столько произвольных констант, сколько независимых переменных.
  
  

  Определение общего решения или интегрального решения:

  Общее решение или интеграл дифференциального уравнения в частных производных – это отношение, включающее произвольные функции, которое обеспечивает решение этого уравнения.

  Линейное дифференциальное уравнение с частными производными первого порядка:

  Уравнение в частных производных первого порядка называется линейным, если оно имеет первую степень по P и Q, в противном случае оно нелинейно.

  Пример:

  (i) Линейное дифференциальное уравнение в частных производных:

  x²p + y²q = zq

  (ii) Нелинейное дифференциальное уравнение с частными производными:

  xpq + yq² = 1

  Правило общего решения линейного дифференциального уравнения:

  Общее решение линейного уравнения в частных производных

  Pp + Qq = R……. (1) равно F (u, v) = 0 … (2)

  где F – произвольная функция и

  u (x, y, z) = c₁ и v (x, y, z) = c₂ из решения уравнений

  dx / P = dy / Q = dz / R ….. (3)

  Уравнение (1) известно как уравнение Лагранжа.

  Пример:

  Найдите общие интегралы следующего уравнения в частных производных.

  (x² + y²) p + 2xyq = (x + y) z

  Решение:

  Учитывая

  (x² + y²) p + 2xyq = (x + y) z

  Дополнительные уравнения:

  dx / (x² + y²) = dy / 2xy = dz / (x + y) z

  = [zdx + zdy – (x + y) dz] / [z (x² + y²) + 2xyz- (x + y) ²z]

  = z (dx + dy) – (x + y) dz / 0

  ⇒z (dx + dy) – (x + y) dz = 0

  ⇒z d (x + y) – (x + y) dz = 0

  ⇒zd (x + y) – (x + y) dz / z² = 0

  ⇒d (x + y / z) = 0

  ⇒x + y / z = c₁

  
  

  Из первых двух соотношений получаем

  dx / x² + y² = 2dy / 4xy

  ⇒2 (x² + y²) dy = 4xy dx

  ⇒2 (x² + y²) dy – 4xy dx = 0

  ⇒2x² dy – 2y² dy + 4y² dy -4xy dx = 0

  ⇒2 (x²-y²) dy – 2y (2xdx – 2ydy) = 0

  ⇒ [(x²-y²) 2 dy – 2y d (x²-y²)] / (x²-y²) ²

  = 0 / (x²-y²)

  ⇒d (2y / x²-y²) = 0

  Интегрируя, получаем

  2y / x²-y² = c₂

  ∴ Решение: x + y / z = Φ (2y / x²-y²)

  Какое и требуется решение.