Как найти определенный интеграл: Как вычислить определенный интеграл, примеры решений - Санкт-Петербургское государственное бюджетное учреждение социального обслуживания населения

Содержание

Вычислить определенный интеграл. – примеры, решения

Пример 1:

Вычислить определенный интеграл.

Решение от преподавателя:

Пример 2:

Вычислить определенный интеграл.

Решение от преподавателя:

Пример 3:

Найти определенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 4:

Вычислить определенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Делаем замену переменных:
4x+2=t²
Следовательно:
x=t²/4-1/2

Пример 5:

Вычислить определенный интеграл.

Решение от преподавателя:

Пример 6:

Вычислить определенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 7:

Найти определенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Рассмотрим интегрирование правильной дроби. Для этого ее надо представить в виде суммы простейших дробей.

Пример 8:

Вычислить определенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 9:

Вычислить определенный интеграл.

Решение от преподавателя:

Пример 10:

Вычислить определенный интеграл.

Решение от преподавателя:

Пример 11:

Вычислить определенный интеграл.

Решение от преподавателя:

Пример 12:

Вычислить определенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 13:

Найти определенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 14:

Вычислить определенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 15:

Найти определенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 16:

Вычислить определенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 17:

Найти определенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 18:

Вычислить определенный интеграл.

Решение от преподавателя:

Пример 19:

Найти определенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 20:

Вычислить определенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 21:

Найти определенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 22:

Вычислить определенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 23:

Вычислить:

Решение от преподавателя:

Пример 24:

Вычислить определенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 25:

Вычислить определенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Применяем универсальную тригонометрическую подстановку:

=
Представим выражение в виде простых дробей:

Интегрируя, получаем:

Возвращаясь к замене переменных, получаем:

Вычислим наш интеграл.

Пример 26:

Вычислить определенный интеграл.

Решение от преподавателя:

Пример 27:

Вычислить определенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 28:

Вычислить определенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 29:

Вычислить интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 30:

Вычислить определенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 31:

Найти определенный интеграл.

Решение от преподавателя:

Пример 32:

Вычислить определенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 33:

Вычислить определенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 34:

Вычислить определенный интеграл методом замены переменных:

Решение от преподавателя:

Пример 35:

Вычислить определенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 36:

Вычислить определенный интеграл методом замены переменных:

Решение от преподавателя:

Пример 37:

Вычислить определенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 38:

Вычислить определенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 39:

Вычислить определенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 40:

Вычислить определенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 41:

Вычислить определенные интегралы:

Решение от преподавателя:

Пример 42:

Вычислить определенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 43:

Вычислить определенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 44:

Вычислить определенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 45:

Вычислить интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 46:

Вычислить определенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 47:

Вычислить определенный интеграл или показать расходимость:

Решение от преподавателя:

Пример 48:

Вычислить определенные интегралы:

Решение от преподавателя:

Пример 49:

Вычислить определенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 50:

Вычислить определенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Пример 51:

Вычислить определенный интеграл:

Решение от преподавателя:

Работа вам нужна срочно.

Не волнуйтесь, уложимся!

Заполните, пожалуйста, данные для автора:

22423 авторов готовы помочь тебе.
2402 онлайн

Вычисление определенных интегралов. Формула Ньютона-Лейбница

Если для подынтегральной функции можно найти первообразную, то определенный интеграл можно вычислить по формуле Ньютона-Лейбница.

 –Формула Ньютона-Лейбница позволяет вычислить определенный интеграл как разность первообразных на верхнем и нижнем пределах интегрирования, не вычисляя предела интегральной суммы

Можно выделить два этапавычисления определенного интеграла.

Примеры вычисления определенных интегралов можно найти в разделеПримеры выполнения обязательных заданий по теме 7 cучетом некоторых особенностей, сведенных в схему.

Особенности вычисления определенного интеграла

При замене переменных

(подстановках)

При интегрировании по частям

Замена переменных, в отличие от неопределенного интеграла, предполагает не только замену подынтегрального выражения, но и

замену пределов интегрирования

Не следует забывать, что определенный интеграл – это число и при интегрировании по частям пределы интегрирования подставляют во все слагаемые формулы

где новые пределы интегрирования находят как корни уравнений: ;

Вычисление площадей криволинейных фигур

Из задачи о площади криволинейной трапеции ясно, что с помощью определенного интеграла можно вычислять площади плоских криволинейных фигур. При этом следует различать два случая.

Площадь заключена между заданными кривыми.	Площадь лежит под (над) заданными линиями (между линиями и осью ОХ).

Тогда, определив точки пересечения линий, т.е. пределы интегрирования, можно найти площадь как разность площадей под вышележащей и нижележащей кривой.	По рисунку видно, что в данном случае общая площадь складывается из площадей под линией и
; по свойству линейности

Среди геометрических приложений определенного интеграла можно еще отметить :

Вычисление длины дуги кривой от точки А до точки В : .

Вычисление объемов тел вращения: , если вращение части дуги функциипроисходит относительно оси 0Х,

, если вращение происходит относительно оси 0У , .

Применение определенного интеграла в экономических задачах

Пусть функция z = f(t) описывает изменение производительности некоторого производства с течением времени. Найдем объем продукции , произведенной за промежуток времени [0; Т].

Если производительность не изменяется с течением времени ( f(t) – постоянная функция), то объем продукции , произведенной за некоторый промежуток времени [

t, t +t], находится по формуле: = f(t) t.

В общем случае справедливо приближенное равенство f()t, где   [t, t+t], которое оказывается тем более точным, чем меньше t.

Разобьем отрезок [0; T] на промежутки времени точками:

0 = t₀<

t₁< t₂<< t_n= T. Для величины объема продукции , произведенной за промежуток времени [t_i_–₁, t_i], имеем = f(_i) t_i, где _i[t_i_–₁, t_i], t_i= t_i– t_i_–₁, i = 1, 2,,n.

Тогда

При стремлении к нулю каждое из использованных приближенных равенств становится все более точным, поэтому

По определению определенного интеграла, окончательно получаем:

т.е. если f(t) – производительность труда в моментt, тоесть объем выпускаемой продукции за промежуток [0; T].

Сравнение данной задачи с задачей о площади криволинейной трапеции показывает, что величина и объем продукции, произведенной за промежуток времени [0

; T], численно равен площади под графиком функции z = f(t), описывающей изменение производительности труда с течением времени, на промежутке [0; T].

Экономический смысл определенного интеграла – объем произведенной продукции при известной функции производительности труда.

Рассмотрим другие примеры использования интеграла в экономике.

1. Если в функции Кобба-Дугласа^{^} считать, что затраты труда линейно зависят от времени, а затраты капитала неизменны, то она примет вид . Тогда объем выпускаемой продукции за Т лет составит

Найдем объем продукции, произведенной за 4 года, если функция Кобба-Дугласа имеет вид .

=	Объем произведенной продукции Q. Интегрируем по частям.
(у.ед.)

2. Исследуя кривую Лоренца – зависимость процента доходов от процента имеющего их населения (кривую ОВА), мы можем оценить степень неравенства в распределении доходов населения. При равномерном распределении доходов кривая Лоренца вырождается в прямую – биссектрису ОА, поэтому площадь фигуры ОАВ между биссектрисой ОА и кривой Лоренца, отнесенная к площади треугольника ОАС (коэффициент Джини), характеризует степень неравенства в распределении доходов населения.

Высокое значение этого коэффициента показывает существенно неравномерное распределение доходов среди населения в рассматриваемой стране.

По данным исследований в распределении доходов в одной из стран кривая Лоренца ОВА может быть описана уравнением , гдех – доля населения, у – доля доходов населения. Вычислить коэффициент Джини .

так как

Поэтому

С помощью замены, x=sin t можно вычислить

Интеграл от квадрата косинуса вычисляется по формуле понижения степени. При подстановке пределов в первообразную учтено, что и.

Итак, коэффициент Джини

Достаточно высокое значение показывает существенно неравномерное распределение доходов среди населения в рассматриваемой стране.

3. Определение начальной суммы по ее конечной величине, полученной через время t (лет) при годовом проценте (процентной ставке) q, называется дисконтированием (см. тему 4). Задачи такого рода встречаются при определении экономической эффективности капитальных вложений.

Пусть А_t – конечная сумма, полученная за t лет, и А – дисконтируемая (начальная) сумма, которую в финансовом анализе называют также современной суммой.

Если проценты простые, то A_t= A×(1 + r t), где r = q / 100 – удельная процентная ставка. Тогда A = A_t/ (1 + r t). В случае сложных процентов A_t= A×(1 + r t)^t и потому A = A_t/ (1 + r t)^t.

Пусть поступающий ежегодно доход изменяется во времени и описывается функцией f(t) и при удельной норме процента, равной r, процент начисляется непрерывно. Можно показать, что в этом случае дисконтированный доход A за время Т вычисляется по формуле

4.Пусть известна функцияt = t(x),описывающая изменение затрат времениtна изготовление изделия в зависимости от степени освоения производства, гдеx– порядковый номер изделия в партии. Тогда среднее времяt_ср, затраченное на изготовление одного изделия в период освоения отх₁дох₂изделий, вычисляется по теореме о среднем:

Что касается функции изменения затрат времени на изготовление изделий t = t(x), то часто она имеет вид

где а – затраты времени на первое изделие, b – показатель производственного процесса.

Найдем среднее время, затраченное на освоение одного изделия в период освоения от х₁= 100 до х₂= 121 изделий, полагая в формуле а = 600 (мин.), b= 0,5.

Используя формулу, получаем

(мин.).

Определенный интеграл

Начнем с простой задачи. Объект движется прямолинейно с постоянной скоростью 5 м/с в течение 10 с. На каком расстоянии от начальной точки находится объект?

Мы подходим к этой проблеме с помощью знакомого уравнения «Расстояние = Скорость × Время». В этом случае Расстояние = 5 футов/с × 10 с = 50 футов.

Интересно отметить, что это решение для 50 футов может быть представлено графически. Рассмотрим рисунок 5.2.1, где по осям нанесена постоянная скорость 5 футов/с. Затенение области под линией от \(t=0\) до \(t=10\) дает прямоугольник площадью 50 квадратных единиц; если принять во внимание единицы измерения осей, мы можем сказать, что эта площадь равна 50 футам. 0003 Рисунок 5.2.1. Площадь под функцией постоянной скорости соответствует пройденному расстоянию.

Теперь рассмотрим немного более сложную ситуацию (и не очень реалистичную): объект движется по прямой линии с постоянной скоростью 5 футов/с в течение 10 секунд, затем мгновенно меняет курс со скоростью 2 фута/с в течение 4 секунд. (Поскольку при изменении курса объект движется в противоположном направлении, мы говорим, что скорость постоянна \(-2\) фут/с.) Как далеко от начальной точки находится объект — какова его скорость?0009 смещение ?

Здесь мы используем «Перемещение = Скорость\(_1\) × Время\(_1\) + Скорость\(_2\) × Время\(_2\текст{,}\)», что равно

\begin{уравнение*} \text{ Водоизмещение } \ = 5\cdot10 + (-2)\cdot 4 = 42\text{ футов } \end{уравнение*}

Следовательно, объект находится в 42 футах от своего начального местоположения.

Мы снова можем изобразить эту ситуацию графически. На рисунке 5.2.2 скорости изображены прямыми линиями на \([0,10]\) и \([10,14]\text{,}\) соответственно. Перемещение объекта

\begin{уравнение*} \text{Область над осью }t\text{-} -\text{Область под осью }t\text{-,} \end{уравнение*}

, что легко вычислить как \(50-8=42\) футов.

Рисунок 5.2.2. Полное смещение представляет собой площадь над осью \(t\) минус площадь под осью \(t\).

Теперь рассмотрим более сложную задачу.

Пример 5.2.3. Определение положения по скорости.

Скорость объекта, движущегося прямо вверх/вниз под действием ускорения свободного падения, определяется как \(v(t) = -32t+48\text{,}\), где время \(t\) указано в секундах, а скорость находится в футах/с. Когда \(t=0\text{,}\) объект имел высоту 0 футов.

Какова была начальная скорость объекта?
Какой была максимальная высота объекта?
Какова была высота объекта в момент времени \(t=2\text{?}\)

Раствор.

Начальную скорость найти несложно; во время \(t=0\text{,}\)

\begin{align*} v(0) \амп =-32\cdot 0+48 \\ \амп = 48 \end{align*}

Начальная скорость была \(48\)ft/s.

Чтобы ответить на вопросы о высоте объекта, нам нужно найти функцию положения объекта \(s(t)\text{.}\) Это задача с начальными значениями, которую мы изучали в предыдущем разделе. Нам говорят, что начальная высота равна \(0\text{,}\), то есть \(s(0) = 0\text{.}\). Мы знаем, что \(s'(t) = v(t) = – 32t+48\text{.}\) Чтобы найти \(s\text{,}\), мы находим неопределенный интеграл от \(v(t)\text{:}\) 92+48t\text{.}\)

Чтобы найти максимальную высоту объекта, нам нужно найти максимум \(s\text{.}\) Вспоминая нашу работу по поиску экстремальных значений, мы находим критические точки \(s\), установив его производную (функцию скорости) равной \(0\) и решив для \(t\text{:}\)

\begin{align*} 0 \ампер = -32t+48\\ т\ампер=48/32\\ \амп = 1,5\текст{с} \end{выравнивание*}

(Обратите внимание, как мы в итоге нашли, когда скорость была 0 футов/с!) Тест первой производной показывает, что это максимум, поэтому максимальная высота объекта находится на 92+48(2)\\ \ампер = 32 \end{выравнивание*}

. Высота составляет \(32\) футов через \(2\) секунд.

Хотя мы ответили на все три вопроса (используя производные и первообразные), давайте еще раз посмотрим на них графически, используя концепции площади, которые мы исследовали ранее.

На рис. 5.2.4 показан график \(v(t)\) на осях от \(t=0\) до \(t=3\text{.}\). Опять же, легко найти \(v (0)\text{.}\) Как мы можем использовать график, чтобы найти максимальную высоту объекта?

Рисунок 5.2.4. График \(v(t)=-32t+48\text{;}\) заштрихованных областей помогает определить смещение.

Вспомните, как в нашей предыдущей работе смещение объекта (в данном случае его высота) находилось как площадь под кривой скорости, как заштриховано на рисунке. Кроме того, площадь между кривой и осью \(t\), которая находится ниже оси \(t\), считается «отрицательной» площадью. То есть он представляет объект, возвращающийся к исходному положению. Итак, чтобы найти максимальное расстояние от начальной точки — максимальную высоту — находим площадь под линией скорости, которая находится над осью \(t\), т. е. от \(t=0\) до \(t= 1.5\text{.}\) Эта область представляет собой треугольник; его площадь

\begin{выравнивание*} \text{ Площадь } \amp = \frac12\text{ База } \times \text{ Высота }\\ \amp =\frac12\times 1.5\text{s} \times 48\text{ft/s}\\ \амп = 36\текст{футов} \end{align*}

, что соответствует нашему предыдущему расчету максимальной высоты.

Наконец, чтобы найти высоту объекта в момент времени \(t=2\), мы вычисляем общую площадь со знаком под функцией скорости от \(t=0\) до \(t=2\text{.}\ ) Эта площадь со знаком равна \(s(2)\text{,}\) смещению (т.е. расстоянию со знаком) от начальной позиции в \(t=0\) до позиции в момент времени \(t=2 \text{.}\) То есть

Смещение = Площадь над осью \(t\) \(-\) Площадь под осью \(t\).

Области представляют собой треугольники, и мы находим

\begin{align*} \text{ Водоизмещение} \amp = \frac12(1.5\text{s})(48\text{ ft/s}) – \frac12(.5\text{s})(16\text{ ft/s}) \\ \амп = 32\текст{ футов}. \end{align*}

Это также соответствует нашему предыдущему расчету высоты в \(t=2\text{. }\)

Обратите внимание, что мы ответили на каждый вопрос в этом примере двумя способами. Наш первый метод состоял в том, чтобы манипулировать уравнениями, используя наше понимание первообразных и производных. Второй наш метод был геометрическим: мы отвечали на вопросы, глядя на граф и находя площади определенных областей этого графа.

Приведенный выше пример не доказывает взаимосвязь между площадью под функцией скорости и перемещением, но подразумевает, что взаимосвязь существует. Раздел 5.4 полностью установит тот факт, что площадь под функцией скорости является смещением.

Учитывая график функции \(y=f(x)\text{,}\), мы обнаружим, что очень полезно вычислить площадь между кривой \(y=f(x)\) и \ (х\)-ось. В связи с этим нам необходимо определить некоторые термины.

Определение 5.2.5. Определенный интеграл, общая площадь со знаком. 9б f(x)\dx, \end{уравнение*}

, где \(a\) и \(b\) — границы интегрирования.

Согласно нашему определению, определенный интеграл дает «площадь со знаком под \(f\text{. }\)». Мы обычно опускаем слово «со знаком», когда говорим об определенном интеграле, и просто говорим, что определенный интеграл дает « площадь под \(f\)» или, чаще, «площадь под кривой».

В предыдущем разделе был введен неопределенный интеграл, относящийся к первообразным. Мы определили определенный интеграл, относящийся к площадям под функцией. Они очень тесно связаны, как мы увидим, когда изучим Фундаментальную теорему исчисления в разделе 5.4. Напомним, ранее мы говорили, что символ «\(\int\)» — это «удлиненная буква S», обозначающая нахождение «суммы». В контексте определенного интеграла это обозначение имеет немного больше смысла, так как мы складываем площади под функцией \(f\text{.}\) 91f(x)\ dx\) — площадь под \(f\) на «интервале» \([1,1]\text{.}\) Это описывает отрезок, а не область; у него нет ширины. Следовательно, площадь равна 0,

Этот пример иллюстрирует некоторые свойства определенного интеграла, приведенные здесь.

Теорема 5.2.9. Свойства определенного интеграла.

Пусть \(f\) и \(g\) заданы на замкнутом интервале \(I\), который содержит значения \(a\text{,}\) \(b\) и \(c\text{ ,}\) и пусть \(k\) — константа. Следующее удержание: 9bf(x)\dx\)

Здесь мы даем краткое обоснование теоремы 5.2.9.

Как показано в примере 5.2.6, не существует «области под кривой», когда область не имеет ширины; следовательно, этот определенный интеграл равен 0.
Указывает, что общая площадь представляет собой сумму площадей субрегионов. Это легко понять, если мы допустим \(a\lt b\lt c\text{.}\) Мы можем разбить интервал \([a,c]\) на два подинтервала, \([a,b]\) и \([b,c]\text{.}\) Общая площадь над \([a,c]\) равна площади над \([a,b]\) плюс площадь над \([b, c]\text{.}\) Важно отметить, что это остается верным, даже если \(a\lt b\lt c\) неверно. Мы обсудим это в следующем пункте. 9f(x)\dx\) терм; когда это сделано, уравнения (5.2.1) и (5.2.2) эквивалентны. Вывод таков: принимая соглашение о Свойстве (3), Свойство (2) выполняется независимо от порядка \(a\text{,}\) \(b\) и \(c\text{. }\ ) Опять же, в следующем разделе мы увидим другое обоснование этого свойства.
4,5..
Каждый из них может быть неинтуитивным. Свойство (5) утверждает, что при масштабировании функции, например, в 7, площадь замкнутой области также увеличивается в 7 раз. Оба свойства (4) и (5) можно доказать с помощью геометрии. Детали не сложны, но здесь не обсуждаются. 92}\ дх. \end{уравнение*}
Решение.
1. Полезно набросать функцию под интегралом, как показано на рисунке 5.2.13.(a). Мы видим, что нам нужно вычислить площади двух областей, которые мы пометили \(R_1\) и \(R_2\text{.}\). Оба являются треугольниками, поэтому вычисление площади простое:
  \begin{уравнение*} R_1: \frac12(4)(8) = 16 \qquad R_2: \frac12(3)6 = 9. \end{уравнение*}
  Область \(R_1\) лежит под осью \(x\), следовательно, она считается отрицательной площадью (мы можем считать высоту треугольника равной «\(-8\)»), поэтому 92}\) Рисунок 5.2. 13. Графики из примера 5.2.12
Пример 5.2.14. Понимание движения с заданной скоростью.
Рассмотрим график функции скорости объекта, движущегося по прямой линии, представленный на рисунке 5.2.15, где числа в заданных областях обозначают площадь этой области. Предположим, что определенный интеграл функции скорости дает перемещение. Найдите максимальную скорость тела и его максимальное перемещение от исходного положения.
Рисунок 5.2.15. График скорости в примере 5.2.14.
Решение.
Поскольку на графике указана скорость, найти максимальную скорость несложно: она равна 15 футам/с.
В момент времени \(t=0\text{,}\) смещение равно 0; объект находится в исходном положении. В момент времени \(t=a\text{,}\) объект переместился назад на 11 футов. Между моментами времени \(t=a\) и \(t=b\text{,}\) объект перемещается вперед на 38 футов, переводя его в положение на 27 футов вперед от исходного положения. От \(t=b\) до \(t=c\) объект снова движется назад, следовательно, его максимальное перемещение составляет 27 футов от исходного положения. 9b f(x)\ dx\text{,}\), где
\(0\le a\le b\le 10\)

Ответ.

\(\displaystyle 15\)
\(\displaystyle 12\)
\(\displaystyle 0\)
\(\displaystyle 3(b-a)\)

Группа упражнений.

В упражнениях 11–14 дан график функции \(f(x)\); числа внутри заштрихованных областей дают площадь этой области. Оцените определенные интегралы, используя эту информацию о площади. 92+5\большое )\ дх\)

Ответ.

\(\displaystyle 40/3\)
\(\displaystyle 26/3\)
\(\displaystyle 8/3\)
\(\displaystyle 38/3\)

Группа упражнений.

В упражнениях 15–16 приведен график функции скорости объекта, движущегося по прямой линии. Ответьте на вопросы, опираясь на этот график.

15.

Какова максимальная скорость объекта?
Каково максимальное перемещение объекта?
Каково полное перемещение объекта на \([0,3]\text{?}\)

Ответ.

2 фута/с
2 фута
1,5 фута

16.

Какова максимальная скорость объекта?
Каково максимальное перемещение объекта?
Каково полное перемещение объекта на \([0,5]\text{?}\)

Ответ.

3 фута/с
9,5 футов
9,5 футов

17.

Объект брошен прямо вверх со скоростью в футах в секунду, определяемой выражением \(v(t) = -32t+64\text{,}\), где \(t\) в секундах, с высоты 48 футов.

Какова максимальная скорость объекта?
Каково максимальное перемещение объекта?
Когда происходит максимальное смещение?
Когда объект достигнет высоты 0? (Подсказка: найдите, когда водоизмещение равно \(-48\)ft.)

Ответ.

64 фута/с
64 фута
\(\displaystyle t=2\)
\(t=2+\sqrt{7}\примерно 4,65\) секунд

18.

Объект брошен прямо вверх со скоростью в футах в секунду, определяемой выражением \(v(t) = -32t+96\text{,}\), где \(t\) в секундах, с высоты 64 фута.

Какова начальная скорость объекта?
Когда смещение объекта равно 0?
Сколько времени требуется объекту, чтобы вернуться к своей первоначальной высоте?
Когда объект достигнет высоты 210 футов?

Ответ.

96 футов/с
6 секунд
6 секунд
Никогда; максимальная высота 208 футов. 9т/\ln 2+C\)
30.
\(\displaystyle \int \left(\frac{1}{x} -\csc x\cot x\right)\ dx\)
Ответ.
\(\ln |x| + \csc x+C\)
Введение в интегралы: определенный интеграл
правые аппроксимации, рассмотренные в предыдущем разделе. f ( x ) dx означает площадь области, ограниченной f , у -оси и строки x = a и x = b . Запись f ( x ) dx эквивалентна записи
f(x k ) Δx

на интервале [ a , b ], но это гораздо более компактный способ сделать так. Обратите также внимание на сходство между двумя выражениями. Этот должны служить ясным напоминанием о том, что определенный интеграл есть лишь предел правой и левые аппроксимации.
В отличие от неопределенного интеграла, представляющего функцию, определенный интеграл представляет число, а просто область со знаком под кривой f . Площадь считается «подписанным», поскольку согласно методике расчета площадей по подразделения, области, расположенные ниже оси x , будут считаться отрицательными, а регионы выше будут считаться положительными. Отрицательные области нейтрализуют положительные области, а определенный интеграл представляет собой общий баланс между ними по данному интервал. Например, найти
sin( x ) dx

Исходя из картины рассматриваемого региона, должно быть понятно, что ответ нуль. Здесь отрицательная область точно такого же размера, как и положительная область:
Рисунок %: График f ( x ) = sin ( x ) на интервале [- Π , Π ]
Свойства определенного интеграла
Определенный интеграл обладает определенными свойствами, которые должны быть интуитивно понятны, учитывая его определение как область со знаком под кривой:
1. cf ( x ) dx = c f ( x ) dx
2. f ( x )+ g ( x ) dx = f ( x ) dx + g ( x ) dx
3. Если c находится в интервале [ a , b ], то
  f ( x ) дх = f ( x ) дх + f ( x ) дх
  
  Это означает, что мы можем разбить граф на удобные единиц и найти определенный интеграл каждого сечения, а затем добавьте результаты, чтобы найти общую подписанную область для всего региона.
  Основная теорема исчисления
  Фундаментальная теорема исчисления, или «FTC», предлагает быстрый и мощный метод вычисления определенных интегралов. В нем говорится: если F является производным от f , тогда
  ф ( х ) дх = ф ( б ) – ф ( а )
  
  Например,
  x ² дх = (1) ³ – (0) ³ =
  
  Часто используется сокращение, означающее то же самое, что написано выше:
  х ² дх = х ³ =
  
  Одна из интерпретаций FTC состоит в том, что площадь под графиком производной равна полное изменение исходной функции.