Оценка предела – методы, сопряженные, законы, решенный пример и часто задаваемые вопросы
Предел – это основная теория исчисления и анализа. Предел функции в точке x ее области определения — это значение, к которому функция приближается по мере того, как ее аргумент приближается к $x$. Другими словами, говорят, что функция имеет предел L в точке $x$, если можно сделать функцию произвольно близкой к $L$, выбирая значение все ближе и ближе к $x$. Обратите внимание, что фактические значения не имеют отношения к значению предела. Математически предел функции представляется как:
$\lim_{x \to k} f(x) = L$
Предел функции читается как «Предел $f(x)$ при приближении $x$ к $k$ равен $L$» .
Оценка пределов означает определение значения, к которому функция приближается в определенной точке. При оценке пределов мы сначала проверяем, является ли функция непрерывной. Если мы обнаруживаем, что предел непрерывен в точке, где мы его оцениваем, мы просто подставляем значение и решаем функцию.
В этой статье мы обсудим, как найти предел функции, используя различные методы оценки. 92 – y – 20}{y – 5} = \lim_{y \to 5} \dfrac{(y – 5)(y + 4)}{y – 5}$
$\Rightarrow \lim_{y \ to 5}( y + 4)$
$\Rightarrow 9$
Предел заменой
Предел определяется как приближение значения функции по мере приближения переменной внутри этой функции к заданному значению. Предположим, у нас есть предел $\lim_{x \to k}f(x)$. Представляет собой значение $f(x)$, когда $x$ ближе к $k$, но не точно равно $k$. Правило подстановки определяет предел, просто заменяя $x$ на $k$. Математически это правило определяется как: 92 + 47y + 1} = 2$
Оценка предела путем рационализации
Давайте узнаем, как найти предельное исчисление путем рационализации. Мы можем найти предел некоторой функции с помощью некоторых рационализирующих приемов. В методе рационализации мы рационализируем числитель функции.
Рационализация числителя означает умножение числителя и знаменателя на сопряженное число числителя. Например, $\sqrt{x} +7$ сопряжено с $\sqrt{x} -7$.
Оцените следующий предел, рационализируя: 9{+}$» учитывает только те значения $x$, которые меньше или больше $k$ соответственно.
Сопряжения
Если вы попытаетесь заменить и получите $\dfrac{0}{0}$ ( 0 разделить на 0), а выражение содержит квадратный корень, то рационализируйте выражение, как вы рационализируете в алгебре. То есть умножьте числитель и знаменатель на сопряженную часть, которая содержит в себе квадратный корень.
Давайте научимся находить предел с помощью метода сопряженных чисел на примере:
Оцените следующий предел, используя правило сопряжения:
$\lim_{y \to 0} \dfrac{\sqrt{1+y} – 1}{y}$
Решение:
Поскольку прямая замена дает неопределенной формы $\dfrac{0}{0}$, умножим и числитель, и знаменатель на сопряженный числитель $\sqrt{1+y}+1$:
$\lim_{y \to 0} \ dfrac {\ sqrt {1 + y} -1} {y} = \ lim_ {y \ to 0} \ dfrac {(\ sqrt {1 + y} -1) – \ sqrt {1 + y} +1} { y(\sqrt{1+y}+1)}$
$\Rightarrow \lim_{y \to 0} \dfrac{\sqrt{1+y}-1}{y(\sqrt{1+y} +1)}$
$\Rightarrow \lim_{y \to 0} \dfrac{y}{y(\sqrt{1+y}+1)}$
$k = \dfrac{1}{2}$
Законы предела
Ниже приведены законы предела:
Предположение: $c$ постоянна и $\lim_{x \to a}f(x)$ и $\lim_{x \to a}k(x)$ существует
$\lim_{x \to a}k = k$ – Предел вычитания равен вычитанию пределов.
$\lim_{x \to k}x = k$ – Приближается предел линейной функции равносогнутой к числу $x$. 9n$, где $n$ — натуральное число.
$\lim_{x \to k} \sqrt[n]{x} = \sqrt[n]{k}$, где $n$ — целое положительное число, а если $n$ четное, мы предполагаем что $k > 0$.
$\lim_{x \to k} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{\lim{x \to k} f(x)}$, где $n$ — натуральное число, и если $n$ четно, то мы предполагаем, что $\lim_{x \to k}f(x) > 0$.
$\lim_{x \to k}ck(x) = c \lim_{x \to k} f(x)$.
$\lim_{x \to a}[f(x) + k(x)] = \lim_{x \to a}f(x) + \lim_{x \to a}k(x) $- Лимит добавления равен сумме лимитов.
$\lim_{x \to a}[f(x) – k(x)] = \lim_{x \to a}f(x) – \lim_{x \to a}k(x) $- Предел вычитания равен вычитанию пределов.
$\lim_{x \to a}[f(x) + k(x)] = \lim_{x \to a}f(x) \cdot \lim_{x \to a}k(x )$- Предел произведения равен вычитанию пределов.
$ \ lim_ {x \ to a} \ dfrac {f (x)} {k (x)} = \ dfrac {\ lim_ {x \ to a} f (x)} {\ lim_ {x \ к a}k(x)}$ ( Если $\lim_{x \to k} k \neq 0$- Предел частного равен частному пределов. 92 – 1}{y – 1} = \lim_{y \to 1}\dfrac{(y – 1)(y + 1)}{y – 1}$
$\Rightarrow \lim_{y \to 1 }(y -1)$
Теперь мы можем подставить $y =1$ до предела
$\lim_{y \to 1}(y-1) = (1+1) = 2$
Определить если функция непрерывна с использованием пределов
Все ресурсы предварительного исчисления
12 диагностических тестов 380 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept
Precalculus Help » Вводный расчет » Ограничения » Определите, является ли функция непрерывной, используя пределы
Найдите область, в которой следующая функция непрерывна:
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Функция в числителе размножается на:
поэтому, если мы сократим x+3 в числителе и знаменателе, мы получим ту же функцию, но она непрерывна.
дает нам дыру в точке x=-3, поэтому наша функция не является непрерывной при x=-3.Сообщить об ошибке
Какие существуют разрывы в следующей функции и каковы их типы?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Поскольку множитель находится в числителе и знаменателе, существует устранимый разрыв в точке . Функция не определена в , но функция будет двигаться к той же точке для результирующей функции .
Поскольку множитель нельзя вынести за скобки, в точке возникает бесконечный разрыв. Знаменатель станет очень маленьким, а числитель приблизится к фиксированному значению.
В . В этот момент функция просто возвращает ноль.
Сообщить об ошибке
Определить, является ли функция непрерывной при использовании пределов.
Возможные ответы:
Нет, оно не является непрерывным, поскольку левосторонний предел не совпадает с правым пределом.
Нет, она не непрерывна, потому что левый и правый пределы не равны значению функции в 0.
Да, она непрерывна, потому что правый и левый пределы равны фактическому значению функции.
Да, непрерывно, потому что левый и правый пределы равны.
Да, она непрерывна, потому что правый и левый пределы равны фактическому значению функции.
Объяснение:
Чтобы определить, является ли функция непрерывной в какой-либо точке, должны произойти три вещи.
1) Существует предел от левой части функции к определенной точке.
2) Существует предел от правой части функции к определенной точке.
3) Пределы из 1) и 2) равны и равны значению исходной функции в конкретной рассматриваемой точке.
В нашем случае
1)
2)
3)
Поскольку все эти условия выполняются, функция непрерывна в 0.
Сообщить об ошибке
Определить, является ли его домен.
Возможные ответы:
Нет, она не непрерывна, потому что левый и правый пределы не равны значению функции в 0.
Да, она непрерывна, потому что правый и левый пределы равны фактическим значения функции.
Да, он непрерывен, потому что левый и правый пределы равны.
Нет, он не является непрерывным, поскольку левосторонний предел не совпадает с правым пределом.
Да, она непрерывна, потому что правый и левый пределы равны фактическим значениям функции.
Объяснение:
Сначала найдите, что в любой точке, где , .
Затем найдите, что
и .
Поскольку все они равны, можно определить, что функция непрерывна во всех точках своей области определения.
Сообщить об ошибке
Позвольте .
дает нам дыру в точке x=-3, поэтому наша функция не является непрерывной при x=-3.
