Предел последовательности (свойства и теоремы в картинках)
Приводятся основные свойства и теоремы пределов последовательностей в сжатом виде – в виде изображений. Каждая картинка снабжена заголовком и ссылкой на страницу с подробным изложением теории.
Здесь приводятся главные картинки раздела «Предел последовательности». На этих изображениях, в кратком виде представлены главные содержания страниц раздела. На многих из них даются свойства и теоремы, относящиеся к пределам последовательностей. Снизу от каждого изображения имеется заголовок и ссылка на страницу, к которой относится картинка. Просматривая эти картинки, можно освежить в памяти основные свойства и теоремы.
Предел последовательности – основные теоремы и свойства
Приводятся формулировки основных теорем и свойств числовых последовательностей, имеющих предел. Содержится определение последовательности и ее предела. Рассмотрены арифметические действия с последовательностями, свойства, связанные с неравенствами, критерии сходимости, свойства бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей.
Определение числовой последовательности
Приводится определение числовой последовательности. Рассмотрены примеры неограниченно возрастающих, сходящихся и расходящихся последовательностей. Рассмотрена последовательность, содержащая все рациональные числа.
Определение конечного предела последовательности
Приводится определение конечного предела последовательности. Рассмотрены связанные с этим свойства и эквивалентное определение. Приводится определение, что точка a не является пределом последовательности. Рассмотрены примеры, в которых доказывается существование предела, используя определение.
Основные свойства конечных пределов последовательностей
Приводятся формулировки и доказательства основных свойств числовых последовательностей, имеющих конечный предел. Среди них: теорема единственности предела, ограниченность сходящейся последовательности, влияние конечного числа элементов на сходимость.
Арифметические свойства конечных пределов последовательностей
Приводятся формулировки и доказательства арифметических свойств последовательностей, имеющих конечный предел.
Сюда входят предел суммы, разности, произведения и частного числовых последовательностей.
Свойства пределов последовательностей, связанных неравенствами
Приводятся формулировки и доказательства теорем и свойств числовых последовательностей, элементы которых связаны неравенствами. Предполагается, что последовательности имеют конечные пределы.
Теорема о двух милиционерах
Приводится формулировка и доказательство теоремы о зажатой последовательности, которую в шутку называют «Теоремой о двух милиционерах». Рассмотрены примеры применения этой теоремы.
Бесконечно малые последовательности – определение и свойства
Приводится определение бесконечно малой последовательности. Она обладает свойствами сходящихся последовательностей. Также имеются свойства, характерные только для последовательностей с пределом равным нулю. Приводятся доказательства таких свойств. Рассмотрен пример, в котором нужно доказать, что последовательность бесконечно малая.
Определение бесконечно большой последовательности
Приводится определение бесконечно большой последовательности.
Рассмотрены понятия окрестностей бесконечно удаленных точек. Дано универсальное определение предела последовательности, которое относится как к конечным, так и к бесконечным пределам. Рассмотрены примеры применения определения бесконечно большой последовательности.
Свойства бесконечно больших последовательностей
Приводятся формулировки и доказательство свойств бесконечно больших последовательностей. Часть этих свойств связана с бесконечно малыми последовательностями.
Бесконечно удаленные точки и их свойства
Приводятся определения бесконечно удаленных точек – бесконечности без знака, плюс и минус бесконечности. Дается определение расширенной числовой прямой. Представлены свойства бесконечно удаленных точек и рассмотрен вопрос о доказательстве этих свойств. Приводятся примеры неопределенных операций.
Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности
Приводится доказательство теоремы Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности. Рассмотрены случаи ограниченной и неограниченной последовательностей.
Рассмотрен пример, в котором нужно, применяя теорему Вейерштрасса, доказать сходимость последовательности и найти ее предел.
Число e – его смысл и доказательство сходимости последовательности
Определение числа e как предела последовательности. Раскрывается смысл и значение числа e в математическом анализе. Приводится доказательство сходимости последовательности к конечному числу тремя способами: разложением в бином Ньютона, используя неравенство Бернулли и применяя вспомогательную последовательность.
Лемма о вложенных отрезках (принцип Коши – Кантора)
Определение вложенных отрезков. Доказательство леммы Коши – Кантора о вложенных отрезках.
Теорема Больцано – Вейерштрасса
Приводится доказательство теоремы Больцано – Вейерштрасса. Для этого применяется лемма о вложенных отрезках.
Критерий Коши сходимости последовательности
Приводятся две формулировки условия Коши для последовательности. Доказательство критерия Коши сходимости последовательности и пример его применения.
Подпоследовательности и частичные пределы последовательностей
Даны определения подпоследовательности, частичного предела последовательности, верхнего и нижнего частичного предела. Представлены формулировки и доказательства теорем и свойств подпоследовательностей, верхних и нижних частичных пределов последовательностей.
найти предел последовательности с помощью интегралов… : Анализ-I
Сообщения без ответов | Активные темы | Избранное
Правила форума
В этом разделе нельзя создавать новые темы.
Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе “Помогите решить/разобраться (М)”.
Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.
Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач.
Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.
Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.
| PreVory |
| ||
27/04/10 |
| ||
| |||
Подскажите пожалуйста как решить или где можно про это прочитать.| gris |
| |||
13/08/08 |
| |||
| ||||
Или с помощью Стирлинга.
| ||||
18/05/06 |
| |||
| ||||
“| id |
| |||
05/06/08 |
| |||
| ||||
| PreVory |
| ||
27/04/10 |
| ||
| |||
| ewert |
| |||
11/05/08 |
| |||
| ||||
| PreVory |
| ||
27/04/10 |
| ||
| |||
| paha |
| |||
03/02/10 |
| |||
| ||||
05.2010, 17:14 | ewert |
| |||
11/05/08 |
| |||
| ||||
05.2010, 08:51 | PreVory |
| ||
27/04/10 |
| ||
| |||
05.2010, 09:22 
Если я зафиксирую n то для конкретного интеграла это выражение будет являться суммой дарбу для конкретного разбиения, но тогда ранг этого разбиения не будет стремиться к 0.| ewert |
| |||
11/05/08 |
| |||
| ||||
.а как доказать что он будет сходящимся?| paha |
| ||
03/02/10 | |||
| |||
| ewert |
| |||
11/05/08 |
| |||
| ||||
05.2010, 15:08 | paha |
| |
| ||
)| ewert |
| |||
11/05/08 |
| |||
| ||||
| Показать сообщения за: Все сообщения1 день7 дней2 недели1 месяц3 месяца6 месяцев1 год Поле сортировки АвторВремя размещенияЗаголовокпо возрастаниюпо убыванию |
| Страница 1 из 1 | [ Сообщений: 15 ] |
Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |
| Найти: |
Лимит последовательности
«Лимит не существует!» Возможно, ответ Кейди Херон из Mathletes был правильным в классической подростковой комедии « Дрянные девчонки », но в математике часто существуют пределы, и сегодня мы рассмотрим пределов последовательностей .
{th}\) должен быть \(n\). Мы могли бы написать правило для этой последовательности как \(x_{n}=n\). По мере увеличения числа терминов растет и значение этого места в последовательности. Чтобы найти предел последовательности, нам нужно подумать о том, что будет происходить, когда \(n\) становится все больше и больше и приближается к бесконечности. В данном случае это очевидно. Значение последовательности также будет приближаться к бесконечности. Но поскольку бесконечность на самом деле не является числом, эта последовательность на самом деле не имеет предела! На языке математики это означает расходится с . Или мы можем просто сказать, что это расходящихся . Это просто означает, что последовательность не сходится к реальному числу.
Другие арифметические последовательности также не будут сходиться к реальному числу. Вот немного более сложная последовательность:
\({7,4,1,-2,-5,-8…}\)
Это арифметическая последовательность, поскольку каждый последующий член отстоит на одно и то же число.
В этом случае каждый член уменьшается на 3. Правило для этой последовательности: \(a_{n}=-3n+10\). Мы можем исследовать, куда он движется, найдя следующие члены в последовательности \((-11, -14, -17, -20…)\), или мы можем найти тысячный член, используя наше правило.
\(a_{1,000}=-3(1,000)+10=-2,990\)
Или миллионный член:
\(a_{1,000,000}=-3(1,000,000)+10,=-99,99 )
Это тоже достаточно ясно. Она стремится к отрицательной бесконечности, а это значит, что эта последовательность также расходится. В математической записи мы запишем это так:
\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }(-3n+10)=-\infty\)
Это выглядит красиво, но это просто означает, что мы Находим предел выражения при стремлении \(n\) к бесконечности. Этот маленький бит под «lim» мог бы на самом деле быть чем-то другим, если бы мы имели дело с функциями, а не с последовательностями, например \(\стрелка вправо 0\). С последовательностями мы имеем дело с положительными значениями термина числа, поэтому мы используем \(n\) и пытаемся выяснить, что происходит, когда \(n\) становится бесконечно большим.
Итак, какая последовательность сходится к реальному числу?
Найдем \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\).
Мы можем найти несколько первых членов этой последовательности, подставив значения для \(n\):
\(\left \{{\frac{1}{1},\frac{1}{2}, \frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5},\frac{1}{6},\frac{1}{7},\frac{1} {8}} \right \}\)
Если мы преобразуем эти дроби в десятичные, это будет выглядеть так:
\(\left \{ 1,0.5,0.\overline3, 0.25,0.2,0.1\overline6 , 0.\overline1\overline3\overline2\overline8\overline5\overline7, 0.125\right \}\)
Наша последовательность не стремится к бесконечности! Или даже минус бесконечность! Он становится все меньше и меньше, но остается положительным. Так к чему оно приближается? Найдем сотый член. Это будет \(\frac{1}{100}\), что равно 0,01. Еще меньше становится. Тысячный член равен \(\frac{1}{1000}\), что равно 0,001. Я думаю, мы можем видеть, куда он направляется. Нуль! Но вот в чем дело.
На самом деле никогда туда не попадет. Он будет все ближе и ближе к 0, но на самом деле никогда не будет 0. Мы можем сказать, что сходится с на 0. Теперь у нас есть первая сходящаяся последовательность. И что еще более важно, у нас есть важный строительный блок. Теперь мы знаем, что \(\frac{1}{n}\) имеет предел 0. И, как мы скоро увидим, это очень полезно при нахождении предела других последовательностей.
К счастью, есть некоторые правила для последовательностей, которые мы можем использовать с тем, что мы уже знаем, чтобы помочь нам найти предел более сложных последовательностей. Есть правила сложения, вычитания, умножения и деления. В математической записи они выглядят так:
| Правило сложения | \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}(a_{n}+b_{n})=\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}+\lim_ {n\rightarrow\infty}b_{n}\) |
| Правило вычитания | \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}(a_{n}-b_{n})=\lim_{n \rightarrow\infty}a_{n}-\lim_{n\rightarrow\infty}b_{n}\) |
| Правило умножения | \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}(a_{n }b_{n})=\lim_{n\стрелка вправо\infty}a_{n}\lim_{n\стрелка вправо\infty}b_{n}\) |
| Правило разделения | \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}=\frac{\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} }{\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}}if \lim_{n\rightarrow \infty}b_{n}\neq 0\) |
Эти четыре правила просто означают, что мы можем разбить нашу последовательность правило, найти пределы частей, а затем собрать его вместе.
Давайте применим правило сложения к последовательности, чтобы проиллюстрировать эту идею.
Найти \(\displaystyle\lim_{n\стрелка вправо\infty}\left ( \frac{1}{n}+2 \right )\).
Наша последовательность имеет правило \((\frac{1}{n}+2)\). Чтобы найти предел последовательности, мы можем разбить ее на части и найти \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\), а затем найти \(\displaystyle\lim_{ n\rightarrow\infty} 2\) и просто суммируйте ограничения.
\(\displaystyle\lim_{n\стрелка вправо\infty} (\frac{1}{n}+2)=\lim_{n\стрелка вправо\infty}\frac{1}{n}+\lim_{n \rightarrow\infty}2\)
Мы уже нашли \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}=0\). Таким образом, мы могли бы сказать, что предел для первого члена нашего выражения равен 0. Итак, \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow \infty }a_{n}=0\). Но каков предел 2? Для любой постоянной последовательности пределом является константа. Последовательность, представленная \(b_{n}=2\), выглядит так:
\({2,2,2,2,2,2…}\)
Поскольку каждое слагаемое равно 2, предел равен 2.
{-1} \right )\). 9{-1})=1-(3\cdot 0)=1\)
После нахождения трех частей мы проделаем простую математику, чтобы найти предел, равный 1. Давайте посмотрим на первые несколько членов нашего последовательность, чтобы увидеть, имеет ли это смысл.
\(\left \{ -2, -\frac{1}{2}, 0,\frac{1}{4},\frac{2}{5},\frac{1}{2}, \frac{4}{7},\frac{5}{8},\frac{2}{3} \right \}\)
Похоже, он поднимается к 1. Давайте найдем сотый термин в последовательности, просто чтобы убедиться, что он не переборщил. 9{-1}=\frac{97}{100}=0,97\)
Похоже, оно все еще приближается к 1. Если мы посмотрим на 1000-й член, мы получим 0,997, так что вы можете видеть, что мы все ближе и ближе приближаемся к 1, но на самом деле никогда не достигнем его.
Вот и все, что мы знаем о пределах последовательностей. Я надеюсь, что это видео было полезным. Спасибо за просмотр и удачной учебы!
Репетитор по математике – Последовательности – Теория
Репетитор по математике – Последовательности – Теория – Пределы Здесь мы рассмотрим наиболее важные примеры последовательностей.
Мы сосредоточимся
при их сходимости отметим также ограниченность и монотонность
последовательности, которые представлены здесь впервые. После чередования и
арифметические последовательности, которые мы рассматриваем
геометрическая последовательность, то мы смотрим на
полномочия,
факториал, т.
экспоненциальный и, наконец,
синус и косинус.
Чередующаяся последовательность
Как мы видели ранее, чередующаяся последовательность прототипа {(−1) n } n =0,1,2,… — это всего лишь частный случай геометрической последовательности (см. ниже), но это настолько важный пример, что мы рассмотрим это отдельно.
Просто взглянув на график, мы видим, что эта последовательность не имеет предела. Это простейший пример задачи колебательного типа, препятствующей наличие предела.
Арифметическая последовательность
Поведение арифметической последовательности
{ a + nd } n =0,1,2,.
.. зависит от
параметр d .
Если d = 0, мы получаем константную последовательность:
Из рисунка видно, что эта последовательность сходится, и действительно у нас есть
Если d > 0, то имеем такую ситуацию:
Такая последовательность расходится, но предел существует и равен бесконечности; это, ( a + nd )→∞. Доказательство изложено в примечании к доказательству того, что эта последовательность не ограничен сверху.
Если d < 0, то имеем такую ситуацию:
Опять такая последовательность расходится, но предел существует и равен отрицательная бесконечность; это, ( a + nd )→−∞.
Геометрическая последовательность
Поведение геометрической последовательности
{ q n } n =0,1,2,3,… зависит от
параметр q .
Во-первых, если q = −1, мы получаем
чередующаяся последовательность, выше предела которой DNE. Если q = 1, мы
получить константную последовательность {1, 1, 1,…}, которая сходится к 1 (см.
постоянная арифметическая последовательность выше).
Для других значений полезно вспомнить четыре примера, которые мы видели в Теория – Введение – Важные примеры. Они представляли четыре альтернативы, которые могут произойти если | q | ≠ 1. Мы будем использовать их здесь, чтобы показать типичное поведение.
Случай 1: q > 1.
В этом случае последовательность расходится, но имеет предел, а именно бесконечность (см. конец примечания здесь).
Случай 2: | q | < 1. Хотя на самом деле их два альтернативы, когда 0 < q < 1
и когда −1 < q < 0,
с точки зрения сходимости это тот же случай: последовательность
сходится к 0.
Случай 3: q < −1.
В этом случае последовательность не имеет предела. Обратите внимание, что здесь дивергенция сочетает в себе оба фактора, которые мы обсуждали во введении к ограничениям: колебание и «взрыв».
Факты о геометрической последовательности можно резюмировать несколькими способами. От с точки зрения сходимости (а не охвата всех альтернатив) красивое и удобное высказывание:
Факт.
Геометрическая последовательность { q n } расходится, если | q | > 1 и сходится к 0, если | q | < 1.
Также можно выразить все детали:
Пауэрс
Хотя n a — это всего лишь один тип выражения, мы
фактически разделить его на два случая. При работе с ограничениями, т. е. когда
пытаясь найти ответ на вопрос “что происходит с данным выражением
когда n становится действительно большим”, обычно лучше всего выражать полномочия так
что показатели имеют положительные знаки.
Такие выражения помогают нашей интуиции
много. В частности, вместо того, чтобы писать, скажем, n −4 ,
лучше писать 1/ n 4 . Поэтому сначала рассмотрим
степени с положительными показателями, а затем степени с отрицательными показателями,
естественно они будут записаны в дробной форме.
Случай 1: (степень в числителе). Последовательность { n a } n =1,2,3,… , где a > 0 — возрастающая последовательность, ограниченная снизу, но не ограниченная сверху (следовательно, неограниченный). Некоторые типичные примеры:
Имеем следующий факт:
Случай 2: (степень в знаменателе). Последовательность , куда a > 0, является убывающая последовательность, которая ограничена. Некоторые типичные примеры:
Имеем следующий факт:
Факториал
С по ! > n , наша интуиция подсказывает, что последовательность
{ n !} n =1,2,3,.
.. что идет
{1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040,…} возрастает, ограничено снизу, но не
ограничено и уходит в бесконечность. Доказательства просты, и мы их покажем:
Эта последовательность возрастает, так как
a n +1 = ( н + 1)! = ( n + 1)⋅ n ! = ( n + 1)⋅ a n > a n .
Предел следует односторонним сравнением, см. раздел Ограничение и сравнение:
a n = n ! = n ⋅( n − 1)! > n →∞.
Экспоненциальный
Рассмотрим последовательность и n = .
Легко показать, что это
последовательность ограничена сверху. Нужен трюк, чтобы показать, что эта последовательность
также возрастает, если c > 0. По теореме, найденной в следующем разделе
Основные свойства, такая последовательность
должны быть сходящимися.
Пределом этой последовательности оказывается число e c , то есть число Эйлера в степени с . Это верно и для отрицательных c , так что для всех действительных чисел c у нас есть
Некоторые люди на самом деле так определяют число Эйлера. Они сказали бы, что число Эйлера e = 2,718281828… в точности является пределом последовательность (1 + 1/ n ) n .
Синус и косинус
Последовательности {sin( n )} и {cos( n )} весьма важны. Вспомните основные формы этих двух функций.
Последовательности создаются путем замены 9 натуральными числами.0166 х ; что
то есть, расставив точки на этих графиках в местах, где координаты x являются положительными целыми числами. Все свойства теперь зависят от того, как расположены точки,
одностороннее, соответствует периоду синуса и косинуса, который
2π.
А именно, мы должны спросить
могут ли произойти следующие вещи:
Есть ли какой-нибудь узор на точках, например такой?
Узор или нет, могло ли случиться так, что точки попали в волны таким образом, что в конце концов, есть монотонность?
Может быть, точки начинают «избегать» холмов и ям, поэтому что последовательность в конечном итоге становится маленькой?
Могли ли точки удариться о волны таким образом, что последовательность на самом деле сходится?
Ответ на все эти вопросы отрицательный. Точки поражают волны в когда-либо
меняя пути, которые никогда не повторяются, и они не начинают избегать каких-либо областей
волны синуса/косинуса. Например, если вы выберете любую часть основной волны,
то независимо от того, насколько большое начало последовательности вы игнорируете, в
оставшаяся часть последовательности (и синус, и косинус ведут себя одинаково),
точки снова посетят этот отрезок, и если отрезать эту часть, то
последовательность посещает его снова и так далее.