1.Предел последовательности.
Пусть аргумент принимает все значения изнатурального ряда
(1)
члены которого мы представляем себе упорядоченными по возрастанию (т.е. большее число следует за меньшим). Если каждомупо некоторому правилу или закону поставлено в соответствие, то говорят, что задана последовательность.
(2)
Например:
(3)
Определение 1.Числоназывается пределом последовательности, если для любого сколь угодно малого положительногонайдется такой номер, что для всехвыполняется неравенство:
. (4)
Тот факт, что число является пределом последовательности, записывается так:
(5)Неравенство (4) эквивалентно неравенствам или. Последние неравенства означают, что элементнаходится в-окрестности числа.-окрестностьючисланазывается интервал. Поэтому определение предела последовательности можно сформулировать также и следующим образом:
Определение 2. Последовательностьимеет предел, если существует числотакое, что в любой-окрестности числанаходятся все элементы последовательности, начиная с некоторого номера.
Теоремы о пределах последовательности.
Теорема 2.Если последовательность имеет предел, то она ограничена.
Теорема 3.Предел суммы (разности) двух последовательностей равен
сумме (разности) пределов этих
последовательностей.
.
Теорема 4.Предел произведения двух последовательностей равен произведению пределов этих последовательностей.
.
Теорема 5. Предел частного двух последовательностей равен частному пределов этих последовательностей (при условии, что знаменатель не обращается в нуль).
.
Теорема 6.Если для двух последовательностейии, члены последовательностиудовлетворяют неравенству, тогда.
Бесконечно малые и бесконечно большие величины.
Определение 3.Последовательностьназывается бесконечно малой, если. Последовательностьназывается бесконечно большой, если.
Сумма конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая.
Произведение конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая.
Произведение конечной величины на бесконечно малую величину есть величина бесконечно малая.
Сумма конечного числа бесконечно больших величин есть величина бесконечно большая.
Произведение конечного числа бесконечно больших величин есть величина бесконечно большая.
Произведение конечной величины на бесконечно большую величину есть величина бесконечно большая.
Предел последовательности Число.
Предел данной последовательности равен
где число -основание натурального логарифма.
При вычислении пределов типа (6) следует использовать следующие свойства:
1.(7)
2.(8)
3.(9)
4.(10)
Приведем несколько примеров вычисления
пределов последовательности.
Пример 1
Вычислить предел последовательности.
Решение:
В данном примере последовательность представляет собой рациональную дробь, для вычисления пределов такого вида необходимо знаменатель и числитель дроби разделить на в наивысшей степени. В нашем примере это.
Так как , если, а- ограниченная величина.
Ответ:
Пример 2
Вычислить предел последовательности
Решение:
Аналогичный прием во многих случаях можно применять и для дробей, содержащих иррациональности.
Ответ:
Пример 3
Вычислить предел последовательности .
Решение:
Для вычисления подобных пределов с
неопределенностью
,
необходимо умножить и разделитьна его сопряженное.
Это необходимо для
того, чтобы воспользоваться формулой
«разность квадратов»и, избавившись от квадратного корня,
получить дробь.
Ответ:
Пример 4
Вычислить предел последовательности
Решение:
Для вычисления подобных пределов необходимо умножить и разделить на неполный квадрат суммы. Это необходимо для того, чтобы воспользоваться формулой «разность кубов»и, избавившись от кубических корней, получить дробь. Неполным квадратом суммы в нашем примере является:
Ответ:
Пример 5
Вычислить предел последовательности
Решение:
Последовательность – является арифметической прогрессией с разностью. Суммапервых членов арифметической прогрессии находится по формуле:
(11)
Т.е. тогда
Ответ:
Пример 6
Вычислить предел последовательности
Решение:
Напомним, что
(12)
(13)
Ответ:
Пример 7
Вычислить предел последовательности
Решение:
Для вычисления предела преобразуем
к виду (6).
Ответ:
определение, доказательство сходимости, ограниченные и неограниченные последовательности, примеры с решением
- Определение последовательности
- Предел последовательности
- Как доказать сходимость последовательности к пределу?
- Ограниченные и неограниченные последовательности
- Как доказать неограниченность последовательности?
- Примеры
п.1. Определение последовательности
С понятием «последовательность» мы уже познакомились, когда изучали прогрессии (см. §24 справочника для 9 класса). По определению:
Числовой последовательностью называют функцию натурального аргумента \(y_n=f(n), n\in\mathbb{N}\).
Значения \(y_1,y_2,…,y_n,…\) называют членами последовательности.
В символе \(y_n\) число \(n\) называют индексом последовательности.
n}=\pi $$
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся.
Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся.
Если предел последовательности \(\lim_{n\rightarrow\infty}y_n=0\), последовательность называется бесконечно малой.
Число \(b\in\mathbb{R}\) называют пределом последовательности \(\left\{y_n\right\}\), если последовательность \(\left\{y_n-b\right\}\) является бесконечно малой, т.е. все её элементы, начиная с некоторого номера \(N_{\varepsilon}\), меньше по модулю любого заранее взятого положительного числа \(\varepsilon\gt 0\): $$ \lim_{n\rightarrow\infty}y_n=b\Leftrightarrow \forall\varepsilon\gt 0\ \exists N_{\varepsilon}\in\mathbb{N}:\ n\geq N\Rightarrow |a_n-b|\lt \varepsilon $$
Промежуток (\(b-\varepsilon; b+\varepsilon\)) $$ b-\varepsilon\lt y_n\lt b+\varepsilon $$ называют ε-окрестностью точки b.
п.3. Как доказать сходимость последовательности к пределу?
Разберем данное выше определение предела на конкретном примере.
Пусть \(y_n=\frac{1}{n+4}\). Докажем, что предел этой последовательности
Найдем номер \(N_{\varepsilon}\) члена последовательности, который первым окажется меньше одной тысячной. Т.е. «заранее взятое число» у нас ε=0,001, а ε-окрестность окружает точку предела \(b=0:\ -\varepsilon\lt y_n\lt\varepsilon\).
Решаем неравенство \(|y_n-b|\lt\varepsilon\): \begin{gather*} \left|\frac{1}{n+4}-0\right|\lt 0,001\Rightarrow \frac{1}{n+4}\lt 0,001\Rightarrow n+4\gt \frac{1}{0,001}=1000\\ n\gt 996\Rightarrow N_{\varepsilon}=997 \end{gather*} Значит, начиная с \(N_{\varepsilon}=997\), все \(y_n=\frac{1}{n+4},\ n\geq N_{\varepsilon}=997\) будут меньше ε=0,001.
Если попробовать еще больше приблизиться к пределу b=0, например с ε=0,00001, стартовый номер \(N_{\varepsilon}\) для членов последовательности, которые умещаются в 100 раз меньшей ε-окрестности, очевидно, увеличится.
| \(\varepsilon\) | 0,1 | 0,01 | 0,001 | 0,0001 | 0,00001 | 0,000001 |
| \(N_{\varepsilon}\) | 7 | 97 | 997 | 9997 | 99997 | 999997 |
| \(\lg \varepsilon\) | -1 | -2 | -3 | -4 | -5 | -6 |
| \(\lg N_{\varepsilon}\) | 0,845 | 1,987 | 2,999 | 4,000 | 5,000 | 6,000 |
И построим график (в логарифмическом масштабе):
Мы видим, что чем меньше ε, тем больше \(N_{\varepsilon}\). Но главное – мы всегда можем его указать.
Таким образом, мы доказали, что действительно \(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n+4}=0\)
Ведь для любого сколь угодно малого \(\varepsilon\gt 0\) мы можем указать такой номер \(N_{\varepsilon}=\left[\frac1\varepsilon-4\right]+1\), начиная с которого, для всех членов последовательности с номерами \(n\geq N_{\varepsilon}\) разность \(\left|\frac{1}{n+4}-0\right|\), т.
е. эти члены не выйдут за переделы ε окрестности предела b=0.
Построенный график интересен еще и тем, что показывает одно из важных практических применений логарифмов: если разбросы по шкалам очень велики, отличаются на порядки, то графики удобней строить в десятичных логарифмах.
Такие графики часто можно увидеть у физиков-ядерщиков, копающих вглубь, от нанометров до планковских длин; или у астрономов, всматривающихся вдаль, от тысяч километров до гигапарсек.
п.4. Ограниченные и неограниченные последовательности
Последовательность \(\left\{y_n\right\}\) называется ограниченной сверху, если существует такое число \(M\in\mathbb{R}\), что для любого номера \(n,\ y_n\leq M\).
Последовательность \(\left\{y_n\right\}\) называется ограниченной снизу, если существует такое число \(m\in\mathbb{R}\), что для любого номера \(n,\ y_n\geq m\).
Последовательность \(\left\{y_n\right\}\) называется ограниченной, если она ограничена сверху и ограничена снизу, т.е. для любого номера \(n,\ m\leq y_n\leq M\).
2\gt M\), т.е. члены последовательности становятся ещё больше.
п.6. Примеры
Пример 1. Используя определение предела последовательности, докажите, что:
a) \( \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n+1}{3-2n}=-\frac12 \)
По условию: $$ y_n=\frac{n+1}{3-2n},\ \ b=-\frac12 $$ Находим \(N_{\varepsilon}\) для произвольного ε>0 из неравенства \(|y_n-b|\lt\varepsilon\)
$$ \left|\frac{n+1}{3-2n}+\frac12\right|\lt\varepsilon\Rightarrow \left|\frac{2n+2+3-2n}{2(3-2n)}\right| \lt \varepsilon\Rightarrow \frac52\left|\frac{1}{3-2n}\right|\lt \varepsilon $$ Знаменатель у дроби под модулем при \(n\geq 2\) отрицательный . Поэтому, раскрывая модуль, получаем: \begin{gather*} \frac52\left|\frac{1}{3-2n}\right|=\frac{5}{2(2n-3)}\lt \varepsilon\Rightarrow 2n-3\gt \frac{5}{2\varepsilon}\Rightarrow n\gt\frac12\left(\frac{5}{2\varepsilon}+3\right)\\ N_{\varepsilon}=\left[\frac12\left(\frac{5}{2\varepsilon}+3\right)\right]+1 \end{gather*} Например:
| ε | 0,1 | 0,01 | 0,001 | 0,0001 | 0,00001 | 0,000001 |
| \(N_{\varepsilon}\) | 15 | 128 | 1253 | 12503 | 125003 | 1250003 |
Таким образом, для любого сколь угодно малого ε>0 найдется номер в последовательности \(N_{\varepsilon}=\left[\frac12\left(\frac{5}{2\varepsilon}+3\right)\right]+1\), начиная с которого
\(\left|\frac{n+1}{3-2n}+\frac12\right|\lt\varepsilon,\ n\geq N_{\varepsilon}\geq 2\).
2\right]\), начиная с которого, для всех членов последовательности с номерами \(n\geq N_M,\ y_n=\sqrt{n+1}\gt M\).
Что и требовалось доказать.
гн.общая топология – Пример последовательностей с разными пределами для двух норм
$\begingroup$
Я объяснял своим студентам, что если существует неравенство между двумя нормами, то между их пространствами сходящихся последовательностей существует включение с пределами соответствия . Затем я привёл примеры таких неравенств на известных им нормированных пространствах и контрпримеры последовательностей, которые сходятся для одной нормы, а не для другой, утверждая эквивалентность норм в конечной размерности и т. д.
Именно тогда я задался вопросом о следующем: существует ли векторное пространство, две нормы в этом векторном пространстве и единственная последовательность, которая сходится для обеих норм, но с различными пределами?
Первое замечание состоит в том, что такой контрпример не может существовать в конечной размерности; и сначала нужно найти «действительно неэквивалентные нормы», которые существуют: рассмотреть пространство многочленов от одной переменной и определить на нем нормы, суммируя абсолютные значения коэффициентов: 9{-n}$ в зависимости от четности степени $n$.
Теперь легко найти последовательность, ведущую к нулю для первого, а не для второго, и последовательность, ведущую к нулю для второго, а не для первого, поэтому между ними не может быть неравенства.
Обратите внимание, что это касается действительных или комплексных чисел, хотя вопрос может быть забавным в более общем контексте.
- гн.общая топология
$\endgroup$
5
$\begingroup$
Рассмотрим пространство $X$ тригонометрических полиномов (скажем, с периодом $1$). Выберите нормы
$$\|f\|_1=\sup\{|f(x)|;\frac16\le x\le\frac13\},\qquad \|f\|_2=\sup\{|f(x) |;\frac23\le x\le\frac56\}.$$
Теперь рассмотрим частичные суммы $f_N$ ряда Фурье периодической функции $F$, определяемой равенством $F(x)=0$, если $x\in(0,1/2)$ и $F(x)=1 $, если $x\in(1/2,1)$.
В первой норме $f_N$ сходится к $g\equiv0$, а во второй норме $f_N$ сходится к $h\equiv1$.
{-1}e_n$ в $\ell_2$ и продолжить до линейного изоморфизма с $\ell_2$ на $\ell_2$.
$\endgroup$
7
$\begingroup$
Я не уверен, что вы считаете это “примером”, но, похоже, это не так широко известно, как я ожидал.
Теорема. Пусть $X$ — банахово пространство, и пусть $||\cdot||_1, ||\cdot||_2$ — неэквивалентные нормы на $X$. Тогда существует последовательность $(x_n)$ в $X$ и $x\neq y \in X$ такая, что $x_n \to x$ относительно $||\cdot||_1$ и $x_n \to y $ относительно $||\cdot||_2$.
Доказательство. По ограниченной обратной теореме должно быть, что тождественное отображение $\iota: (X, ||\cdot||_1) \to (X, ||\cdot||_2)$ разрывно. Таким образом, по теореме о замкнутом графе должно быть, что график $\iota$ не замкнут в $(X, ||\cdot||_1) \times (X, ||\cdot||_2)$. Поскольку граф незамкнут, мы можем выбрать последовательность $(x_n, \iota(x_n))$ в графе, сходящуюся в $(X, ||\cdot||_1) \times (X, ||\cdot| |_2)$ на некоторое $(x,y)$ такое, что $(x,y)$ не входит в граф.
Схождение в $(X, ||\cdot||_1) \times (X, ||\cdot||_2)$ означает, что $x_n \to x$ в $(X, ||\cdot||_1)$ и $\iota(x_n) = x_n \to y$ в $(X, ||\cdot||_2)$. Но отсутствие $(x,y)$ в графе означает, что $y \neq x$. 9{n+1}}$. Это заставляет ряд $b_0+5b_1/7+25b_2/49+\dots$ сходиться в 5-адической норме к числу, квадрат которого равен минус единице. В обычной норме рациональных чисел ряд сходится к некоторому вещественному числу, но уж точно не к квадратному корню из минус единицы.
$\endgroup$
2
Зарегистрируйтесь или войдите в систему
Зарегистрируйтесь с помощью Google
Зарегистрироваться через Facebook
Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но никогда не отображается
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie
.
Предельные точки реальных последовательностей
Анализ
Жан-Пьер Меркс 1 Комментарий
9n),\] с начальными значениями \[
0, 1, 0, 2, 0, 3, 0, 4, 0, 5, 6, \dots\] \((u_n)\) — неограниченная последовательность, уникальная предельная точка \(0\).
Теперь рассмотрим последовательности с более сложным набором предельных точек.
Последовательность, множеством предельных точек которой является множество натуральных чисел
Рассмотрим последовательность \((v_n)\), чьи начальные члены равны \[
1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 5, \dots\] \((v_n)\) определяется следующим образом \[
v_n=\begin{cases}
1 &\text{ для } n= 1\\
n – \frac{k(k+1)}{2} &\text{ для } \frac{k(k+1)}{2} \lt n \le \frac{(k+1)(k+2)}{2}
\end{cases}\] \((v_n)\) корректно определяется как последовательность \((\frac{k(k +1)}{2})_{k \in \mathbb N}\) строго возрастает с первым членом, равным \(1\).
\((v_n)\) — последовательность натуральных чисел. Поскольку \(\mathbb N\) — множество изолированных точек \(\mathbb R\), мы имеем \(V \subseteq \mathbb N\), где \(V\) — множество предельных точек \ ((в_н)\). Наоборот, возьмем \(m \in \mathbb N\). Для \(k + 1 \ge m\) имеем \(\frac{k(k+1)}{2} + m \le \frac{(k+1)(k+2)}{2} \), поэтому \[
u_{\frac{k(k+1)}{2} + m} = m\], что доказывает, что \(m\) является предельной точкой \((v_n)\). Наконец, набор предельных точек \((v_n)\) — это набор натуральных чисел.
Последовательность, набором предельных точек которой является отрезок \([0,1]\)
Воспользовавшись преимуществами последовательности \((v_n)\), давайте теперь рассмотрим \((r_n)\), чьи начальные члены равны \[
\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac {3}{4}, \frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}, \frac{1}{6 }, \frac{2}{6}, \frac{3}{6}, \frac{4}{6}, \frac{5}{6}, \dots\] Формальное определение \((r_n) \) равно \[
r_n=\begin{case}
\frac{1}{2} &\text{ for } n= 1\\
\frac{n}{k+2} – \frac{k(k+1)} {2(k+2)} &\text{ for } \frac{k(k+1)}{2} \lt n \le \frac{(k+1)(k+2)}{2}
\end{cases}\] Значения последовательности \((r_n)\) находятся в \((0,1) \cap \mathbb Q\).
Более того, можно заметить, что \((r_n)\) принимает каждое рациональное число \((0,1)\) в качестве значения бесконечное число раз. Действительно, для \(\frac{p}{q} \in (0,1)\) с \(1 \le p \lt q\) и \(m \ge 1\) имеем \[
\frac{ (mq-2)(mq-1)}{2} \lt \frac{(mq-2)(mq-1)}{2} + mp\] и \[\begin{aligned}
\frac{(mq-2)(mq-1)}{2} + mp &\le \frac{(mq-2)(mq-1)}{2} + m(q-1)\\
&\le \frac{(mq-2)(mq-1)}{2} + mq-1\\
&= \frac{(mq-1)mq}{2}
\end{aligned}\] Следовательно, \[\begin{align}
r _ {\ frac {(mq-2) (mq-1)} {2} + mp} &= \ frac {(mq-2) (mq-1)} {2mq} + \frac{mp}{mq} – \frac{(mq-2)(mq-1)}{2mq}\\
&= \frac{mp}{mq}\\
&= \frac{p} {q}
\end{aligned}\] доказывает желаемый результат. Поскольку рациональные числа отрезка \((0,1)\) плотны в \([0,1]\), мы можем заключить, что множество предельных точек \((r_n)\) есть в точности интервал \([0,1]\). 9-} f(x) = +\infty.\] Следовательно, \(f\) является биекцией из \((0,1)\) в \(\mathbb R\). Мы утверждаем, что множество предельных точек рациональной последовательности \((f(r_n))\) есть \(\mathbb R\).