Как вы оцениваете производную в точке по сравнению с вычислением производной в точке от предела? – Математика FAQ
Теперь мы находимся в реальном мясе исчисления….скорости и производные. По сути, ставки — это просто наклоны. В зависимости от области, в которой вы работаете, или представления данных или функции, она может иметь разную терминологию. Сохранение всего этого прямо является самой большой проблемой в классе. Попробуем занести то, что мы знаем, в таблицу.
| Общее описание | Графическая интерпретация | Математическая терминология |
|---|---|---|
| Средняя скорость изменения f(x) от x=a до x=b | Наклон между (a,f(a)) и (b,f(b)) | Наклон секущей линии от x=a до x=b |
| Мгновенная скорость изменения f(x) при x=a | Наклон между (a,f(a)) и (a+h,f(a+h)), где h очень мало | Наклон касательной к f(x) при x=a |
Если вам кажется, что мы используем уклон для расчета всего.
.. вы правы. Разница лишь в том, где расположены две точки. Если они расположены достаточно далеко друг от друга, то мы вычисляем среднюю скорость изменения. Если они расположены на бесконечно малом расстоянии друг от друга, то мы вычисляем мгновенную скорость изменения.
Но здесь все становится туманным… если представление функции не позволяет нам выбирать точки бесконечно близко друг к другу, мы можем приблизить мгновенная скорость изменения со средней скоростью изменения между двумя точками, которые настолько близки, насколько позволяет представление. Я думаю, что этот момент беспокоит многих из вас. Чаще всего это происходит, когда мы пытаемся найти мгновенную скорость из таблицы данных. В этом случае точки находятся там, где они находятся, и мы можем выбирать пары, которые находятся все ближе и ближе друг к другу. Мы подбираем их как можно ближе к тому месту, где мы хотим получить мгновенную скорость изменения, и говорим, что мы оцениваем мгновенную скорость изменения.
Если нам дан график, мы можем провести секущую между точками, чтобы вычислить среднюю скорость изменения. Единственная оценка, выполняемая в этом случае, — это оценка расположения точек на графике. Наши глаза настолько хороши, чтобы считывать значения. Для мгновенной скорости изменения мы проводим касательную линию в том месте, где мы хотим скорость, и видим ее наклон. Опять же, поскольку мы делаем обоснованные предположения о наклонах, цифры являются оценками, основанными на нашей способности читать наклон.
Если нам известна формула функции, мы можем точно рассчитать среднюю скорость или мгновенную скорость. Для средней скорости изменения f(x) от x = a до x = b мы вычисляем [latex]{{f(b) – f(a)} \over {b – a}}[/latex].
Для мгновенной скорости изменения мы используем формулу функции для вычисления предела [латекс]\mathop {lim }\limits_{h \to 0} {{f(a + h) – f(a)} \over ч}[/латекс].
Оценка исходит из того факта, что мы не можем найти две точки, бесконечно близкие друг к другу, или из того факта, что мы не можем точно вычислить наклон, исходя из того, как нам дана функция.
Еще одно предостережение… в разных дисциплинах производная называется по-разному. Математики, конечно, называют это производной, но в физике это можно было бы назвать мгновенной скоростью. В финансах и экономике она будет называться предельной функцией. А в других областях вы найдете здесь другие термины.
Использование дифференцирования — математика для уровня A, редакция
В этом разделе рассматриваются использования дифференцирования, стационарных точек, максимальных и минимальных точек и т. д.
Возрастающая и убывающая функции
Возрастающая функция — это функция, где: x увеличивается, f(x) увеличивается. Убывающая функция – это функция, которая убывает с увеличением x. Конечно, функция может возрастать в одних местах и убывать в других. Точка, в которой функция меняется с возрастающей на убывающую или наоборот, называется точкой поворота. Точка поворота — это тип стационарной точки (см. ниже).
Мы можем использовать дифференцирование, чтобы определить, является ли функция возрастающей или убывающей:
Функция возрастает, если ее производная всегда положительна.
Функция убывающая, если ее производная всегда отрицательна.
Примеры
y = x 2 имеет производную 2x, которая отрицательна, когда x меньше нуля, и положительна, когда x больше нуля. Отсюда х 2 уменьшается при x<0 и увеличивается при x>0 .
Стационарные точки
Стационарные точки — это точки на графике, градиент которых равен нулю. Есть три типа стационарных точек: максимумы, минимумы и точки перегиба (/перегиба). Три показаны здесь:
Пример
Найдите координаты стационарных точек на графике y = x 2 .
Мы знаем, что в стационарных точках dy/dx = 0 (поскольку градиент равен нулю в стационарных точках).
Дифференцируя, получаем: dy/dx = 2x. Следовательно, стационарные точки на этом графике появляются, когда 2x = 0, то есть когда x = 0.
Когда x = 0, y = 0, следовательно, координаты стационарной точки равны (0,0) . В данном случае это единственная стационарная точка. Если вы думаете о графике y = x 2 , вы должны знать, что он имеет форму буквы «U» с нижней точкой в начале координат. Это то, что мы только что нашли.
Максимум, минимум или точка перегиба?
Во всех стационарных точках градиент одинаков (= ноль), но часто необходимо знать, нашли ли вы максимальную точку, минимальную точку или точку перегиба. Следовательно, необходимо учитывать градиент по обе стороны от стационарной точки (в качестве альтернативы мы можем использовать вторую производную).
В точках максимума градиент положителен непосредственно перед максимумом, равен нулю в максимуме и отрицателен сразу после максимума. В минимальных точках градиент отрицательный, затем нулевой, затем положительный. Наконец, в точках перегиба градиент может быть положительным, нулевым, положительным или отрицательным, нулевым, отрицательным.
Пример
Найдите стационарные точки на графике y = 2x 2 + 4x 3 и укажите, являются ли они точками максимального или минимального изгиба (т.е.
dy/dx = 4x + 12x 2
В стационарных точках dy/dx = 0
Следовательно, 4x + 12x 2 = 0 в стационарных точках
Следовательно, 4x( 1 + 3x ) = 0
Следовательно, либо 4x = 0 или 3x = -1
Следовательно, x = 0 или -1/3
Когда x = 0, y = 0
Когда x = -1/3, y = 2x 2 + 4x 3 = 2(-1/3) 2 + 4(-1/3) 3 = 2/9 – 4/27 = 2/27
Глядя на градиент по обе стороны от x = 0:
Когда x = -0,0001, dy/dx = отрицательное значение
Когда x = 0, dy/dx = ноль
Когда x = 0,0001, dy/dx = положительное значение
Таким образом, градиент идет от -ve, нуля, +ve, что показывает точку минимума.
Глядя на градиент по обе стороны от x = -1/3 .
Когда x = -0,3334, dy/dx = +ve
Когда x = -0,3333…, dy/dx = ноль
Когда x = -0,3332, dy/dx = -ve
Итак, градиент идет +ve, ноль, -ve, что показывает точку максимума.
Таким образом, существует точка максимума в точке (-1/3 , 2/27) и точка минимума в точке (0,0)
Решение практических задач
Этот метод нахождения максимумов и минимумов очень полезен и может использоваться для нахождения максимальных и минимальных значений самых разных вещей.
Пример
Найдите наименьшую площадь металла, необходимую для изготовления закрытого цилиндрического контейнера из тонкого листового металла, чтобы он имел вместимость 2000p см 3 .
Общая площадь поверхности цилиндра, S, равна 2pr 2 + 2prh
Объем = pr 2 h = 2000p
Следовательно, pr 2 h = 2000p.
Следовательно, h = 2000/r 2
Следовательно, S = 2pr
= 2pr 2 + 4000p
r
Итак, у нас есть выражение для площади поверхности.