Главная
Как найти производные функции: Как найти производную функции, примеры решения

Как найти производные функции: Как найти производную функции, примеры решения

2x`

Изучите анимации этих функций с их производными здесь:

Дифференциальный интерактивный апплет – тригонометрические функции.

На словах мы бы сказали:

Производная от sin x равна cos x ,
Производная от cos x равна −sin x (обратите внимание на отрицательный знак!) х .

92+3)`

ВАЖНО:

cos x 2 + 3

не равно

потому что ( x 2 + 3).

Кронштейны имеют большое значение. У многих студентов с этим проблемы.

Вот графики y = cos x 2 + 3 (показаны зеленым цветом) и y = cos( x 2 + 3) (показаны синим цветом).

Первая, y = cos x

2 + 3, или y = (Cos x 2 ) + 3, означает, что Curve y = Cos x 2 и перемещение IT UP oot oot на 3 единицы.

Второй, y = cos( x 2 + 3), означает сначала найти значение ( x 2 + 3), а затем найти косинус результата.

Они совсем другие!

Пример 2 92sin x`

6. Найдите производную неявной функции

x cos 2 y + sin x cos y = 1.

Ответить

Неявная функция:

`x\ cos 2y+sin x\ cos y=1`

Продифференцируем каждый член слева направо:

`x(-2\ sin 2y)((dy)/(dx))` `+(cos 2y)(1)` `+sin x(-sin y (dy)/(dx))` `+cos y\ cos x`

`=0`

Итак, 92`

Когда `x = 0,15` (конечно, в радианах), это выражение (которое дает нам наклон) равен «-2,65».

Вот график нашей ситуации. Касательная к кривой в точке, где показано x=0,15. Его наклон составляет «-2,65».

8. Ток (в амперах) в цепи усилителя как функция времени t (в секундах) определяется как

`i = 0,10 cos (120πt + π/6)`.

Найдите выражение для напряжения на катушке индуктивности 2,0 мГн в цепи, если 92x+загар x`

Нужна помощь в решении другой задачи по тригонометрии? Попробуйте решение проблем.

Отказ от ответственности: IntMath.com не гарантирует точность результатов. Решатель задач предоставлен Mathway.

См. также: Производная квадратного корня из синуса х по первым принципам.

Как найти производные? – GeeksforGeeks

В повседневной жизни люди часто сталкиваются с такими вопросами, как «Как пациент реагирует на предоставленные дозы?» или «как изменяется прибыль по отношению к себестоимости продукта?» или «Какова скорость изменения давления газа по отношению к его объему?» или «Какова скорость изменения скорости по отношению ко времени?» и многое другое. Если внимательно понаблюдать, то можно увидеть, что эти вопросы связаны со скоростью изменения одной переменной величины по отношению к соответствующему изменению другой. Такая мера скорости называется производной.

Производная также может быть использована для расчета уравнения касательной и нормали к кривой в заданном месте, а также максимального и минимального значений функции и ее оценочных значений. Например,

  • Биолог использует производные для расчета скорости роста бактерий в культуре.
  • Он используется инженером-электриком для описания изменения тока в электрической цепи.

Производная в точке

Предположим, что функция f(x) определена в окрестности a.

Если a и a + h принадлежат множеству областей определения функции f и существует

, то этот предел называется производной f(x) при x = a и обозначается

f’ ( a) или [df / dx]x = a

Таким образом,

В общем случае производная функции в любой точке x определяется выражением

Это известно как первый принцип производной.

Примечание: Если производная f(x) существует, то говорят, что функция f выводима или дифференцируема. Дифференциация – это процесс нахождения производных.

Геометрическая интерпретация производной

Рассмотрим приведенный ниже график:

Рассмотрим функцию f(x), определенную на открытом интервале (a, b). Пусть P — точка на кривой y = f(x). Пусть Q[(c – h), f(c – h)] и R – точка по обе стороны от точки P. Теперь

Наклон хорды PQ равен f(c – h) – f(c) / (-час).

Наклон хорды PR можно записать как f(c + h) – f(c) / h

Теперь мы знаем, что касательная к кривой в точке P является предельным положением секущей PQ, когда Q стремится до стр.

Аналогично, это также предельное положение секущей PR, когда R стремится к P.

∴, поскольку h⇢ 0 точек Q и ​​R оба стремятся к P с левой и правой стороны.

∴ Наклон касательной в точке P: , f'(x)

Таким образом,

Производная стандартной функции
  • Постоянная функция

Пусть f (x) = k, где k – любая постоянная

∴ f (x + h) = K

,

92

. ∴ d(k) / dx = 0

  • Степенная функция

. Рассмотрим,

=[nxn-1 + 0 + …….+ 0]

= n xn-1

∴ d(xn) / dx = n xn-1

Тригонометрические функции

Пусть f (x) = sin x

f (x + h) = sin (x + h)

Здесь,

= Cos (x + 00003

= Cos (x + 00003

= Cos (x + 00003 ).1

= cos x

∴ d(sin x) / dx = cos x

Аналогично,

  • d(cos x) / dx = – sin x
  • d(tan x) / dx = sec2 x
  • d(cot x) / dx = – cosec2 x
  • x 9062 ) / дх = сек х . tan x
  • d(cosec x) / dx = – cosec x . кроватка x
  • Экспоненциальная и логарифмическая функция
  1. d(ax) / dx = ax . log a {a > 0 и a ≠ 1}
  2. d(ex) / dx = ex
  3. d(log x) / dx = 1 / x

Правила дифференцирования
  • Производная суммы (теорема 1)

Утверждение: дх+дв/дх.

Доказательство:  

Пусть δu, δv и δy малые приращения u, v, y соответственно, соответствующие приращению δx по x δy ⇢ 0,

Поскольку u и v — дифференцируемые функции от x,

y = u + v ⇢ уравнение (1)

y + δy = (u + δu) + (v + δv) ⇢ уравнение (2)

Вычитая (1) из (2) получаем,

δy = δu + δv

Разделив обе части на δx,

δy / δx = δu / δx + δv / δx

Приняв предел как δx ⇢ 0, в обе стороны,

902 0 90 d 90 0 0 2 3 90 + dv / dx    

∴ dy / dx = du / dx + dv / dx

Аналогично,

  • Производная разности (теорема 2)

Утверждение : Если u и v являются дифференцируемыми функциями x и если y = u – v, то dy / dx = du / dx – dv / dx.

  • Производный продукт (Теорема 3)

Заявление : если U и V являются дифференцируемыми функциями x и if y = u v. δv и δy — малые приращения u, v, y соответственно, соответствующие приращению δx по x

Поскольку δx ⇢ 0, δu⇢ 0, δv⇢ 0, δy ⇢ 0,

Поскольку u и v являются дифференцируемыми функциями x,

y = uv ⇢ ур. (1)

y + δy = (u + δu) (v + δv)        

= uv + uδv + vδu + δuδv ⇢ eq(2)

Вычитая (1) из (2), получаем

δy = uδv + vδu + δuδv

Разделив обе стороны на δx,

δy / δx = u(δv / δx) + v(δu / δx) + (δu / δx)δv

получаем

= u (dv / dx) + v(du / dx) + (du/dx) × 0

Как R.H.S. существует и равна (dy / dx),

Таким образом, производная произведения двух функций = первая функция × производная второй функции + вторая функция × производная первой функции

Аналогично,

  • Производная частного (теорема 4)

Утверждение:  Если u и v являются дифференцируемыми функциями x и если y = u / v, то

Примеры задач

Вопрос 1: Найдите производную от 3x + 4, используя первый принцип производной.

Решение:

let f (x) = 3x + 4

F (x + h) = 3 (x + h) + 4

,

9000 2 =. 3

∴ f’ (x) = 3

0621 х cos х.

Используя первый принцип производной.

Solution:

  • 1 / x 2

Let f(x) = 1 / x 2

f(x + h) = 1 / (x + h) 2

Рассмотрим,

= -2x (1 / x 2 x 2 )

= -2 / x 3 )

= -2 / x 3 )

= -2 / x 3 )

= -2 / 3 )0622

∴ f'(x) = -2 / x 3

  • x cos x

Пусть f(x) = x cos x

3

3 + h) cos (x + h)

считать,

= -x sin x. 1 + cos x

= -x sin x + cos x

∴ f'(x) = -x sin x + cos x

0615 sin x / 1 + sin x

  • e x / 1 + sin x

    • Solution:

    • sin x / 1 + sin x

    we have

    y = sin x / 1 + sin x

    = cos x / (1 + sin x) 2

    • e x / 1 + sin x

    y = е х / 1 + sin х

    Вопрос 4: y = log 5 (log7 x) Найти DY / DX

    Решение:

    ,

    y = log 5 (log 7 .)

    Использование логарифмического свойства, мы можем написать,

    y = log (log 7 x) / log 5

    = 1 / x log 5.

    Оставить комментарий