Калькулятор онлайн
Калькулятор онлайн Web 2.0 scientific calculatorЭтот калькулятор выполняет все основные математические операции, которые могут вам понадобиться в повседневной жизни. Для всех возможных действий приведены примеры. Если вам нужно больше функций, воспользуйтесь инженерным калькулятором. Подробнее: Инженерный калькулятор
| Кнопки | Использование |
|---|---|
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 | Ввод цифр |
| + − × ÷ | Выполнение основных математических операций (сложение, вычитание, умножение, деление): 2 + 3 = 5 |
| = | Получение результата вычисления |
| C | Очистка экрана калькулятора |
| ← | Удаление последнего введённого символа: |
| ± | Изменение знака числа с положительного на отрицательный и наоборот: 3 ± −3 |
| ( ) | Ввод круглых скобок: ( 2 + 2 ) × 2 = 8 |
. | Отделение дробной части в десятичной дроби: 0 . 1 + 0 . 2 = 0.3 Подробнее: Дроби |
| ÷ | Разделение числителя и знаменателя в обыкновенной дроби: Подробнее: Дроби |
| 1/x | Вычисление обратного числа: 5 1/x = 0.2 |
| x2 x3 xy 10X | Возведение в степень: 3 x2 = 9 2 xy 4 = 16 5 10X = 100 000 Подробнее: Возведение в степень |
| √x 3√x y | Нахождение корня из числа: 1 2 5 3√x = 5 1 6 y√x 4 = 2 Подробнее: Корень из числа |
| , | Разделение аргументов функции: log 9 , 3 = 2 |
| log | Вычисление логарифма: log 1 6 , 2 = 4 Подробнее: Логарифмы |
| e | Ввод математической константы e: log 1 |
Производные сложных функций – Формула, примеры
Производные сложных функций можно вычислить с помощью цепного правила дифференцирования.
Напомним сначала смысл составных функций. Составные функции — это функции, когда функция записывается в терминах другой функции. Это означает, что в составной функции функция может быть заменена другой функцией и обычно записывается как (fog)(x) = f(g(x)). Теперь, чтобы определить производные сложных функций, продифференцируем первую функцию по второй функции, а затем вторую функцию по переменной, т. е. (fo g)'(x) = f'(g(x) )). г'(х).
Давайте узнаем, как определять производные сложных функций, формулу их нахождения и понятие частных производных сложных функций от двух переменных с помощью решенных примеров для лучшего понимания концепции.
| 1. | Что такое производные сложных функций? |
| 2. | Формула производных составных функций |
| 3. | Производные сложных функций с одной переменной |
| 4. | Частные производные составных функций двух переменных |
5. | Часто задаваемые вопросы о производных составных функций |
Что такое производные сложных функций?
Производные составных функций оцениваются с использованием метода цепного правила (также известного как правило составной функции). Цепное правило гласит: «Пусть h будет действительнозначной функцией, состоящей из двух функций f и g». т. е. h = f o g. Предположим, что u = g(x), где существуют du/dx и df/du, тогда это можно выразить следующим образом:
Производная h(x) по весу x = производная от f(x) относительно u × Производная от u относительно x ⇒ d(h(x))/dx = df/du × du/dx
Другой способ записи производных составных функций с использованием формулы цепного правила: Производная h(x). w.r.t. x = производная от f(x) относительно g(x) × Производная от g(x) относительно x ⇒ d( f(g(x))/dx = f’ (g(x)) · g’ (x). Проще говоря, мы говорим, что производная сложной функции есть произведение производной внешняя функция по отношению к внутренней функции и производная внутренней функции по переменной.
Формула производных составных функций
Производную сложной функции h(x) = f(g(x)) можно определить, взяв произведение производной f(x) по g(x) и производной g(x) относительно переменной x. Математически формула производных сложных функций имеет вид:
Производные составных функций с одной переменной
Производные составных функций одной переменной определяются по простой формуле цепного правила. Давайте решим несколько примеров, чтобы понять расчет производных:
Пример 1: Определить производную сложной функции h(x) = (x 3 + 7) 10
Решение: Теперь пусть u = x 3 + 7 = g( x), здесь h(x) можно записать как h(x) = f(g(x)) = u 10 . Таким образом, производная h(x) определяется как:
d(h(x))/dx = df/du × du/dx
⇒ h'(x) = 10u 9 × 3x 2
= 10(х 3 + 7) 9 × 3х 2
= 30 x 2 (x 3 + 7) 9
cos(cos(x 2 )).
-sin (x 2 )). 2x
= -2x sin (x 2 ) cos (cos x 2 )
Частные производные составных функций двух переменных
Производная функции многих переменных вычисляется одновременно по одной из переменных. Такие производные называются частными производными. Мы можем вычислить частные производные составных функций z = h(x, y), используя метод цепного правила дифференцирования для одной переменной. При определении частной производной функции по одной переменной все остальные переменные считаем постоянными. Давайте рассмотрим пример, показанный ниже:
Пример: Найдите производные x и y сложной функции f(x, y) = (x 2 y 2 + ln x) 3
Решение: Сначала продифференцируем составную функцию f(x, y) = (x 2 y 2 + ln x) 3 относительно x и считать y константой.
∂[(x 2 y 2 + ln x) 3 ]/∂x = 3 (x 2 y 2 + ln x) 0 ₽69 2
y 2 + ln x)/∂x
= 3 (x 2 y 2 + ln x) 2 × (2xy 2 = 9 0/)29 0 (0/)29 + 0 1 2xy 2 + 1/x)(x 2 y 2 + ln x) 2
Точно так же мы определим производную по y, считая x константой, используя формулу цепного правила.
∂[(x 2 y 2 + ln x) 3 ]/∂y = 3 (x 2 y 2 + ln x) 0 ₽69 2
y 2 + ln x)/∂y
= 3 (x 2 y 2 + ln x) 2 × (2x 2 y)
= 6x 2 y) (x
Важные замечания о производных составных функций
- t-производная составной функции z = h(x(t), )) можно рассчитать по формуле dh/dt = (∂f/∂x) . (dx/dt) + (∂f/∂y) . (дн/дт)
- Производная h(x) по весу x = производная от f(x) относительно u × Производная от u относительно x ⇒ d(h(x))/dx = df/du × du/dx, где h(x) = (f o g)(x) и g(x) = u
Похожие темы
- Производные
- Дифференциация
- Рабочие листы цепных правил
Часто задаваемые вопросы о производных составных функций
Что такое производные сложных функций в исчислении?
Производные сложных функций вычисляются по цепному правилу.
Это произведение производной внешней функции по внутренней функции и производной внутренней функции по переменной.
Как использовать цепное правило для нахождения производной сложной функции?
Производные составных функций с использованием формулы цепного правила вычисляются как: Производная h(x). w.r.t. x = производная от f(x) относительно g(x) × Производная от g(x) относительно x ⇒ d( f(g(x))/dx = f’ (g(x)) · g’ (x), где h(x) = (fo g)(x).
Как найти производные составного Функции
Производные составных функций можно определить с помощью правила составной функции (также известного как метод дифференцирования по цепному правилу).
Что такое частные производные сложных функций?
Частные производные составных функций z = h(x, y) можно вычислить, используя метод цепного правила дифференцирования для одной переменной. При определении частной производной функции по одной переменной все остальные переменные считаем постоянными.
Какая формула для производных сложных функций?
Формула дифференцирования сложной функции h(x) = (f o g)(x): Производная h(x). w.r.t. x = производная от f(x) относительно g(x) × Производная от g(x) относительно х ⇒ d( f(g(x))/dx = f'(g(x)) · g'(x).
Примеры частных производных — Math Insight
Видео-введение
Примеры частных производных.
Подробнее о видео.
Как только вы поймете концепцию частной производной как скорость изменения чего-либо, вычисление частных производных обычно не составит труда. (К сожалению, есть особые случаи, когда вычисление частных производных затруднено.) Как показывают эти примеры, вычисление частных производных обычно ничем не отличается от вычисления обычной производной в исчислении с одной переменной. Вам просто нужно помнить, с какой переменной вы берете производную. 92$. Вычислите $\displaystyle \pdiff{f}{x}(x,y)$.
Решение . Чтобы вычислить $\displaystyle \pdiff{f}{x}(x,y)$, мы просто просматриваем
$y$ как фиксированное число и вычислить обыкновенную производную с помощью
относительно $x$.
Решение : хотя сначала это выглядит сложно, на самом деле все просто проблема. Уродливый член не зависит от $x_3$, поэтому при вычислении частная производная по $x_3$, мы рассматриваем ее как константу. Производная константы равна нулю, поэтому этот член выпадает. производная – это просто производная от последнего члена по $x_3$, то есть \начать{выравнивать*} \pdiff{f}{x_3}(x_1,x_2,x_3,x_4) = 5x_1x_4 \конец{выравнивание*} Подставляя значения $(x_1,x_2,x_3,x_4)=(a,b,c,d)$, получаем окончательный ответ \начать{выравнивать*} \pdiff{f}{x_3}(a,b,c,d) = 5ad. \конец{выравнивание*}
Пример 5
Пусть \начать{выравнивать*} p(y_1,y_2,y_3) = 9\frac{y_1y_2y_3}{y_1+y_2+y_3} \конец{выравнивание*} и вычислить $\displaystyle \pdiff{p}{y_3}(y_1,y_2,y_3)$ в точке $(y_1,y_2,y_3)=(1,-2,4)$.
Решение : При вычислении частных производных мы можем использовать все правила для обычных производных.