Как найти скорость и ускорение: Калькулятор расчета скорости, времени и ускорения онлайн

{2}}=\ddot{\bar{r}}(2)$$

где $\bar{r}$ – радиус – вектор, который определяет положение материальной точки в пространстве.

Вектор ускорения располагается в плоскости соприкосновения, в которой находится главная нормаль и касательная к траектории, при этом он имеет направление в сторону вогнутости траектории.

Единицы измерения ускорения

Основными единицами измерения ускорения в системе СИ является: [a]=м/с²

в СГС: [a]=см/с²

Виды ускорения

Если построить соприкасающуюся плоскость, в любой точке траектории, то вектор $\bar{a}$ разложим на две взаимно перпендикулярные составляющие:

$$\bar{a}=\bar{a}_{n}+\bar{a}_{\tau}(3)$$

где $\bar{a}_n$ – вектор, направленный по главной нормали к центру кривизны траектории материальной точки – это нормальное ускорение; $\bar{a}_{\tau}$ – вектор, направленный по касательной к траектории – это касательное ускорение. При этом выполняются равенства:

$$a_{n}=\frac{v^{2}}{R}(4)$$ $$a_{\tau}=\frac{d}{d t}|\bar{v}|(5)$$ $$|\bar{a}|=a=\sqrt{a_{\tau}^{2}+a_{n}^{2}}=\sqrt{\left(\frac{v^{2}}{R}\right)^{2}+\dot{v}^{2}}(6)$$

где $|\bar{v}|=v$ – модуль вектора скорости, R – радиус кривизны траектории, a_n – проекция вектора $\bar{a}_n$ на направление единичного вектора главной нормали $(\bar{n})$, a_т – проекция вектора $\bar{a}_{\tau}$ на направление единичного вектора касательной $\left(\bar{\tau}=\frac{\bar{v}}{v}\right)$. Величина a_n определяет быстроту изменения направления скорости, а величина a_т – быстроту изменения модуля скорости.

Если $a_{\tau}=0$, то такое движение называют равномерным. При $a_{\tau}=$ const движение является равнопеременным (при $a_{\tau} < 0$ равнозамедленным, при $a_{\tau} > 0$ равноускоренным).

Средним ускорением материальной точки $\langle\bar{a}\rangle$ на отрезке времени от $t$ до $t+\Delta t$ называется векторная величина, равная отношению:

$$\langle\bar{a}\rangle(t, \Delta t)=\frac{\Delta \bar{v}}{\Delta t}=\frac{\bar{v}(t+\Delta t)-\bar{v}(t)}{\Delta t}(7)$$

При $\Delta t \rightarrow 0$ в пределе среднее ускорение совпадает с мгновенным ускорением:

$$\lim _{\Delta t \rightarrow 0}\langle\bar{a}\rangle(t, \Delta t)=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \bar{v}}{\Delta t}=\frac{d \bar{v}}{d t}=\bar{a}(t)(8)$$

Формула ускорения в разных системах координат

В декартовых координатах проекции ускорения (a_x,a_y,a_z) на оси (X,Y,Z)можно представить как:

$$a_{x}=\dot{v}_{x}=\ddot{x}, \quad a_{y}=\dot{v}_{y}=\ddot{y}, a_{z}=\dot{v}_{z}=\ddot{z}(9)$$

Соответственно, имеем:

$$\bar{a}=\ddot{x i}+\ddot{y} \bar{j}+\ddot{z} \bar{k}(10)$$

где $\bar{i}, \bar{j}, \bar{k}$ – единичные орты по осям X,Y.

{2}} \approx 13,5$ м/с²

Ответ. $a=\approx 13,5$ м/с²

Слишком сложно?

Формула ускорения не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Пример

Задание. Какова зависимость ускорения материальной точки от времени (a(t)), если частица перемещается по оси X и ее скорость изменяется в соответствии с уравнением: $v=\alpha \sqrt{x}$, где $\alpha$ – постоянная большая нуля? В начальный момент времени (при t=0 с) материальная точка находилась в начале координат (x=0 м). Нарисуйте график a(t).

Решение. Из условий задачи можно записать, что:

$$v=v_{x}=\alpha \sqrt{x}=\frac{d x}{d t}(2.1)$$

Используя формулу (2.1) найдем зависимость координаты xот времени (x(t) ):

$$\int \alpha d t=\int \frac{d x}{\sqrt{x}} \rightarrow \alpha t=2 \sqrt{x}+C(2.2)$$

где постоянную интегрирования найдем из начального условия задачи. Мы знаем, что x(0)=0, значит C=0. {2}}{2}$ ускорение от времени не зависит, значит, график a(t) принимает вид (рис.2).

Читать дальше: Формула давления.

Задача 7: физический смысл производной

15 мая 2014

Иногда в задаче B9 из ЕГЭ по математике вместо всеми любимых графиков функции или производной дается просто уравнение расстояния от точки до начала координат. Что делать в этом случае? Как по расстоянию найти скорость или ускорение.

На самом деле все просто. Скорость — это производная от расстояния, а ускорение — это производная скорости (или, что то же самое, вторая производная от расстояния). В этом коротком видео вы убедитесь, что такие задачи решаются ничуть не сложнее «классических» B9.

Сегодня мы разберем две задачи на физический смысл производных из ЕГЭ по математике. Эти задания встречаются в части Bи существенно отличаются от тех, что большинство учеников привыкло видеть на пробниках и экзаменах.

{2}}=0\]

\[t-4=0\]

\[t=4\]

Полученное число означает, что в момент времени 4 с $v$ материальной точки, движущейся по выше описанному закону, как раз и будет равна 3 м/с.

Ключевые моменты

В заключении давайте еще раз пробежимся по самому главному моменту сегодняшней задачи, а именно, по правилу преобразования расстояние в скорость и ускорение. Итак, если нам в задаче прямо описан закон, прямо указывающий расстояние от материальной точки до точки отсчета, то через эту формулу мы можем найти любую мгновенную скорость (это просто производная). И более того, мы можем найти еще и ускорение. Ускорение, в свою очередь, равно производной от скорости, т.е. второй производной от расстояния. Такие задачи встречаются довольно редко, поэтому сегодня мы их не разбирали. Но если вы увидите в условии слово «ускорение», пусть оно вас не пугает, достаточно просто найти еще одну производную.

Надеюсь, этот урок поможет вам подготовиться к ЕГЭ по математике.

Смотрите также:

1. Не допускайте таких ошибок, когда видите график производной в задаче 7 из ЕГЭ по математике!
2. Задача 7: касательная и квадратичная функция с параметром
3. Пробный ЕГЭ-2011 по математике, вариант №4
4. Локальная теорема Муавра — Лапласа
5. Пробный ЕГЭ по математике 2015: 7 вариант
6. Задачи на проценты считаем проценты с помощью формулы

Скорость и ускорение точек твердого тела

Основные формулы

Скорость и ускорение точки твердого тела с радиус вектором определяются по формулам:
;
.
где – угловая скорость вращения, – угловое ускорение. Они равны для всех точек тела и могут изменяться со временем t.
и – скорость и ускорение произвольным образом выбранной точки A с радиус вектором . Такую точку часто называют полюсом.
Здесь и далее, произведения векторов в квадратных скобках означают векторные произведения.

Далее мы приводим вывод этих формул исходя из того, что при движении твердого тела, расстояние между двумя любыми его точками остается постоянным.

Вывод формулы для скорости

Выберем прямоугольную неподвижную систему координат Oxyz. Возьмем две произвольные точки твердого тела A и B. Пусть (x_A, y_A, z_A) и (x_B, y_B, z_B) – координаты этих точек. При движении твердого тела они являются функциями от времени t. Их производные по времени t являются проекциями скоростей точек:
, .

Воспользуемся тем, что при движении твердого тела, расстояние |AB| между точками остается постоянным, то есть не изменяется со временем t. Также постоянным является квадрат расстояния
.
Продифференцируем это уравнение по времени t, применяя правило дифференцирования сложной функции.

Сократим на 2.
(1)  

Введем векторы
,
.
Тогда уравнение (1) можно представить в виде скалярного произведения векторов:
(2)   .
Отсюда следует, что вектор перпендикулярен вектору . Воспользуемся свойством векторного произведения. Тогда можно представить в виде:
(3)   .
где – некоторый вектор, который мы вводим только для того, чтобы автоматически выполнялось условие (2).
Запишем (3) в виде:
(4)   ,

Теперь займемся изучением свойств вектора . Для этого составим уравнение, которое не содержит скоростей точек. Возьмем три произвольные точки твердого тела A, B и C. Запишем для каждой пары этих точек уравнение (4):
;
;
.
Сложим эти уравнения:

.
Сокращаем сумму скоростей в левой и правой части. В результате получаем векторное уравнение, содержащее только исследуемые векторы :
(5)   .

Легко заметить, что уравнение (5) имеет решение:
,
где – какой-то вектор, имеющий равное значение для любых пар точек твердого тела. Тогда уравнение (4) для скоростей точек тела примет вид:
(6)   .

Теперь рассмотрим уравнение (5) с математической точки зрения. Если записать это векторное уравнение по компонентам на оси координат x, y, z, то векторное уравнение (5) является линейной системой, состоящей из 3-ех уравнений с 9-ю переменными:
ω_BAx , ω_BAy , ω_BAz , ω_CBx , ω_CBy , ω_CBz , ω_ACx , ω_ACy , ω_ACz .
Если уравнения системы (5) линейно не зависимы, то их общее решение содержит 9 – 3 = 6 произвольных постоянных. Поэтому мы нашли не все решения. Существуют еще какие-то. Чтобы их найти замечаем, что найденное нами решение полностью определяет вектор скорости . Поэтому дополнительные решения не должны приводить к изменению скорости. Заметим, что векторное произведение двух равных векторов равно нулю. Тогда, если в (6) к вектору прибавить член, пропорциональный , то скорость не изменится:


.

Тогда общее решение системы (5) имеет вид:
;
;
,
где C_BA, C_CB, C_AC – постоянные.

Выпишем общее решение системы (5) в явном виде.
ω_BAx = ω_x + C_BA(x_B – x_A)
ω_BAy = ω_y + C_BA(y_B – y_A)
ω_BAz = ω_z + C_BA(z_B – z_A)
ω_CBx = ω_x + C_CB(x_C – x_B)
ω_CBy = ω_y + C_CB(y_C – y_B)
ω_CBz = ω_z + C_CB(z_C – z_B)
ω_ACx = ω_x + C_AC(x_A – x_C)
ω_ACy = ω_y + C_AC(y_A – y_C)
ω_ACz = ω_z + C_AC(z_A – z_C)
Это решение содержит 6 произвольных постоянных:
ω_x, ω_y, ω_z, C_BA, C_CB, C_AC.
Как и должно быть. Таким образом, мы нашли все члены общего решения системы (5).

Физический смысл вектора ω

Как уже указывалось, члены вида     не влияют на значения скоростей точек. Поэтому их можно опустить. Тогда скорости точек твердого тела связаны соотношением:
(6)   .

– это вектор угловой скорости твердого тела

Выясним физический смысл вектора .
Для этого положим v_A = 0. Это всегда можно сделать если выбрать систему отсчета, которая в рассматриваемый момент времени движется относительно неподвижной системы со скоростью . Начало системы отсчета O поместим в точку A. Тогда r_A = 0. И формула (6) примет вид:
.
Ось   z   системы координат направим вдоль вектора .
По свойству векторного произведения, вектор скорости перпендикулярен векторам и . То есть он параллелен плоскости xy. Модуль вектора скорости:
v_B = ω r_Bsin θ = ω |HB|,
где θ – это угол между векторами и ,
|HB| – это длина перпендикуляра, опущенного из точки B на ось z.

Если вектор не меняется со временем, то точка B движется по окружности радиуса |HB| со скоростью
v_B = |HB| ω.
То есть ω – это угловая скорость вращения точки B вокруг точки H.
Таким образом, мы приходим к выводу, что – это вектор мгновенной угловой скорости вращения твердого тела.

Скорость точек твердого тела

Итак, мы нашли, что скорость произвольной точки B твердого тела определяется по формуле:
(6)   .
Она равна сумме двух членов. Точку A часто называют полюсом. В качестве полюса обычно выбирают неподвижную точку или точку, совершающую движение с известной скоростью. Второй член представляет собой скорость вращения точек тела относительно полюса A.

Поскольку точка B – это произвольная точка, то в формуле (6) можно сделать подстановку   . Тогда   и скорость точки твердого тела с радиус вектором определяются по формуле:
.
Скорость произвольной точки твердого тела равна сумме скорости поступательного движения полюса A и скорости вращательного движения относительно полюса A.

Ускорение точек твердого тела

Теперь выведем формулу для ускорения точек твердого тела. Ускорение – это производная скорости по времени. Дифференцируем формулу для скорости
,
применяя правила дифференцирования суммы и произведения:
.
Вводим ускорение точки A
;
и угловое ускорение тела
.
Далее замечаем, что
.
Тогда
.
Или
.

То есть вектор ускорения точек твердого тела можно представить в виде суммы трех векторов:
,
где
  – ускорение произвольно выбранной точки, которую часто называют полюсом;
  – вращательное ускорение;
  – осестремительное ускорение.

Если угловая скорость изменяется только по величине и не изменяется по направлению, то векторы угловой скорости и ускорения направлены вдоль одной прямой. Тогда направление вращательного ускорения совпадает или противоположно направлению скорости точки. Если угловая скорость изменяется по направлению, то вращательное ускорение и скорость могут иметь разные направления.

Осестремительное ускорение всегда направлено в сторону мгновенной оси вращения так, что пересекает ее под прямым углом.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 16-10-2015

Угловая скорость и угловое ускорение

Рассмотрим понятия угловой скорости и углового ускорения при вращении твердого тела:

Угловая скорость

Угловой скоростью называют скорость вращения тела, определяющаяся приращением угла поворота тела за промежуток времени.

Обозначение: ω (омега).

Формулы угловой скорости

Формула для расчета угловой скорости в зависимости от заданных параметров вращения может иметь вид:

• если известно количество оборотов n за единицу времени t:
  
• если задан угол поворота φ за единицу времени:
  

Размерности:

• Количество оборотов за единицу времени [об/мин], [c^-1].
• Угол поворота за единицу времени [рад/с].

Быстрота изменения угла φ (перемещения из положения П₁ в положение П₂) – это и есть угловая скорость:

ω=dφ/dt=φ’, рад/с; с^-1    (2.3)

Например, тело совершающее 1,5 оборота за одну секунду имеет угловую скорость

ω=1,5 с^-1=9,42 рад/с.

Приняв k как единичный орт положительного направления оси, получим:

Вектор угловой скорости – скользящий вектор: он может быть приложен к любой точке оси вращения и всегда направлен вдоль оси, при положительном значении угловой скорости направления

ω и k совпадают, при отрицательном – противоположны.

Угловое ускорение

Угловое ускорение характеризует величину изменения угловой скорости при вращении твердого тела:

Единицы измерения углового ускорения: [рад/с²], [с^-2]

Вектор углового ускорения так же направлен по оси вращения.

2$).

Движение с ускорением, вектор которого не меняется по модулю и направлению, называется равноускоренным.

Определить ускорение при равноускоренном прямолинейном движении можно по формуле:

$a = \frac{v_1 – v_0}{t} = \frac{\Delta v}{t}$,

где $v_1, v_0$ – скорости в начале и в конце рассматриваемого периода времени длительностью $t$.

Отношение изменения скорости к промежутку времени, за который произошло это изменение, называют средним ускорением:

Помощь со студенческой работой на тему

Формулы ускорения в физике

$\vec{a} = \frac{\vec{v_1} – \vec{v_0}}{t} = \frac{\Delta \vec{v}}{t}$,

В отличие от равноускоренного, здесь имеют значение направления векторов.

Если начальная скорость больше конечной, происходит замедление, которое в физике также принято называть ускорением, но выраженным с отрицательным знаком.

Мгновенное ускорение – ускорение, развиваемое за очень малый промежуток времени (его длительность стремится к нулю):

$\vec{a} = \lim\limits_{t \to 0}\frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}$.

Ускорение при движении по окружности

Поскольку ускорение – векторная величина, при движении отличном от прямолинейного оно не остается неизменным даже если модуль скорости не изменяется. В связи с этим ускорение вычисляется из начальной и конечной скоростей по правилам векторной математики, т.е. с учетом изменения направления.

Тело, движущееся по окружности, удобно рассматривать как обладающее двумя ускорениями: тангенциальным ($a_{\tau}$), направленным по касательной к траектории, и центростремительным, направленным к центру ($a_n$). При равномерном движении по окружности тангенциальное ускорение, отражающее мгновенную скорость тела, может быть равно нулю, но центростремительное имеет место даже в этом случае. Поэтому любое движение по криволинейной траектории является движением с ускорением.

Замечание 1

Центростремительное ускорение называется также нормальным, тангенциальное – касательным.

Касательное ускорение определяется как мгновенное при движении на очень малое угловое расстояние, когда длина дуги и длина хорды между начальной и конечной точками малоразличимы (сравниваются мгновенные скорости в этих точках).

{2}$

Средняя скорость. Ускорение | 7 класс Онлайн

Конспект по физике для 7 класса «Средняя скорость. Ускорение». ВЫ УЗНАЕТЕ: Как можно определить среднюю скорость при неравномерном прямолинейном движении тела.  Что такое ускорение. ВСПОМНИТЕ: В каком случае тело движется неравномерно? Что такое путь? Что такое скорость? Каковы единицы скорости? Как определить скорость тела при равномерном движении?

---

Средняя скорость. Ускорение

В окружающем нас мире мы крайне редко сталкиваемся с равномерным движением. Обычно скорость тела изменяется с течением времени, и за одинаковые промежутки времени тетю проходит неодинаковые пути. Такое движение является неравномерным. Однако никого не удивляет, когда мы говорим, что ехали на автомобиле со скоростью 60 км/ч, хотя при этом подразумевается, что мы и тормозили, и останавливались перед светофорами, и вновь ускорялись. О какой же скорости тогда идёт речь?

СРЕДНЯЯ СКОРОСТЬ

Для характеристики неравномерного движения вводят понятие средней скорости. Средняя скорость тела при неравномерном движении находится так же, как и скорость при равномерном движении, т. е. весь пройденный телом путь необходимо разделить на полное время движения тела, включая остановки.

путь
———— = средняя скорость
время

Полученное значение показывает среднюю скорость движения тела на всём пути, и оно может не совпадать со значением скорости в различные моменты времени движения.

Предположим, что автомобиль проехал путь s, состоящий из участков s₁, s₂, и s₃, причём прохождение каждого из них заняло соответственно время t₁, t₂и t₃. Для определения средней скорости движения автомобиля надо весь пройденный путь разделить на общее время движения:
ʋ_ср = (s₁ + s₂ + s₃) / (t₁ + t₂ + t₃)

Зная среднюю скорость движения тела и время движения, можно найти пройденный за это время путь по формуле s = t ʋ_ср.

Если нам известны средняя скорость движения и пройденный путь, мы можем определить время движения по формуле t = s ʋ_ср.

ГРАФИКИ ЗАВИСИМОСТИ ПУТИ И СКОРОСТИ ОТ ВРЕМЕНИ

В отличие от графиков прямолинейного равномерного движения при неравномерном движении графики зависимости скорости и пути от времени могут выглядеть совершенно по-разному в зависимости от конкретной задачи.

Рассмотрим пример. Пусть велосипедист при движении из одного города в другой сначала проехал 8 км за 20 мин. Затем, отдохнув 10 мин, проехал ещё 6 км за 30 мин, а оставшиеся 2,5 км прошёл пешком за 30 мин. Как будут выглядеть соответствующие графики, если в пределах каждого временного интервала велосипедист двигался с постоянными скоростями?

РАВНОПЕРЕМЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ

Предположим, в начале определённого отрезка времени мы движемся в автомобиле со скоростью ʋ₀. Автомобиль начинает увеличивать скорость, и через время t его скорость становится равной ʋ. Если за любые одинаковые промежутки времени скорость этого автомобиля увеличивалась на одно и то же значение, то в течение времени t автомобиль двигался равноускоренно.

Прямолинейным равнопеременным движением называется движение, при котором траекторией тела является прямая линия и за любые равные промежутки времени скорость тела изменяется (увеличивается или уменьшается) на одно и то же значение.

УСКОРЕНИЕ

В физике существует величина, характеризующая изменение скорости тела при равнопеременном движении. Она называется ускорением и обозначается латинской буквой а. Для того чтобы вычислить ускорение, необходимо найти отношение изменения скорости ко времени, в течение которого это изменение произошло, т. е. от значения его конечной скорости нужно отнять значение начальной скорости и полученный результат разделить на рассматриваемое время движения.

В Международной системе единиц (СИ) за единицу ускорения принимают ускорение такого равнопеременного движения, при котором скорость движущегося тела за время 1 с изменяется на 1 м/с.

Эту единицу называют 1 метр на секунду в квадрате и обозначают 1 м/с².

Ускорение может принимать как положительное, так и отрицательное значение. Действительно, если скорость тела в начале движения (ʋ₀) меньше скорости тела в конце движения (ʋ), то при нахождении ускорения положительное число (ʋ — ʋ₀) мы делим на положительное число (t) и получаем положительное значение ускорения. Если же тело замедляется, то значение начальной скорости оказывается больше значения скорости в конце движения, разность ʋ — ʋ₀ становится отрицательной и значение ускорения тоже оказывается меньше нуля.

 

---

Вы смотрели Конспект по физике для 7 класса «Средняя скорость. Ускорение»: Как можно определить среднюю скорость при неравномерном прямолинейном движении тела.  Что такое ускорение. Вернуться к Списку конспектов по физике (оглавление).

Кинематика. Движение

{Тут текста просто дохуя}
{Тут формул просто дохуя}
[sqrt –это обозначение корня]

Кинематика – это такой раздел физики, который изучает механическое движение, но без причин, его начавших. То есть, когда едет машина – она едет за счёт спуска с горы, двигателя, божественной силы или ее притягивает чёрная дыра – неважно, главное – ее движение.

Существует несколько видов движения:
• Равномерное прямолинейное – движение по прямой с постоянной скоростью.
• Равноускоренное прямолинейное – движение с постоянным ускорением по прямой.
• Разноускоренное прямолинейное – движение с непостоянными ускорением по прямой
• Криволинейное – движение по окружности с ускорением (всегда с ускорением!)

Наверное, я должен здесь объяснять все буквы, которые будут использоваться, но хуй там. 2)/2.
Лайфачек: чтобы найти расстояние, которое проходит тело, можно воспользоваться соотношением 1, 3, 5, 7.., то есть за 1 секунду тело проходит Х метров, за вторую 3Х, за две – 4Х, и дальше по аналогии.

— Разноускоренное движение.
Тут все элементарно, мы разбиваем путь на расстояния, где ускорение одинаковое, находим, что нам нужно, и складываем.

— Криволинейное движение.
Если нам необходимо высчитать, как какая-то хуетень будет двигаться по окружности, то нам нужно знать несколько правил:
1. Не сосатб. Когда видишь задачу с криволинейным движением, помни – она решается очень легко.
2. Криволинейное движение, если оно равномерное, ВСЕГДА равноускоренное.
3. Скорость ВсЕгДа направлена по касательной к окружности в точке касания нахождения этого объекта. Тип вот наш объект движется по окружности, он – точка касания его скорости (т.к. скорость – вектор) и окружности.
4. Все измеряется в радианах. Нахуй градусы. 2*sin2α)/g
Исходя из этого, максимальный путь тело проделывает, если его бросить под углом 45°.

Безусловно, это далеко не все, что вы можете узнать о кинематике – в ней просто дохуища всего, но это вы уже сделаете сами, а то я заебался.

Спасибо за то, что вы с нами.
С любовью, Рителлинг favorite

Уравнения для скорости, скорости и ускорения

Обновлено 15 декабря 2020 г.

Карен Дж. Блаттлер

Проблемы, связанные с вычислением скорости, скорости и ускорения, обычно возникают в физике. Часто эти задачи требуют расчета относительного движения поездов, самолетов и автомобилей. Эти уравнения также могут применяться к более сложным задачам, таким как скорости звука и света, скорость планетарных объектов и ускорение ракет.

Формула скорости

Скорость означает расстояние, пройденное за определенный период времени.Обычно используемая формула для скорости вычисляет среднюю скорость, а не мгновенную скорость. Расчет средней скорости показывает среднюю скорость всего пути, а мгновенная скорость показывает скорость в любой момент поездки. Спидометр автомобиля показывает мгновенную скорость.

Среднюю скорость можно найти, используя общее пройденное расстояние, обычно обозначаемое как d, разделенное на общее время, необходимое для прохождения этого расстояния, обычно обозначаемое как t. Итак, если автомобилю требуется 3 часа, чтобы преодолеть общее расстояние в 150 миль, средняя скорость равна 150 миль, разделенным на 3 часа, что равняется средней скорости 50 миль в час:

\ frac {150} {3} = 50

Мгновенная скорость – это расчет скорости, который будет обсуждаться в разделе скорости.

Единицы скорости показывают длину или расстояние во времени. Мили в час (мили / час или миль в час), километры в час (км / час или км / ч), футы в секунду (фут / с или фут / сек) и метры в секунду (м / с) – все указывают на скорость.

Формула скорости

Скорость – это векторное значение, означающее, что скорость включает направление. Скорость равна пройденному расстоянию, деленному на время движения (скорость) плюс направление движения. Например, скорость поезда, идущего на 1500 километров к востоку от Сан-Франциско за 12 часов, составит 1500 км, разделенных на 12 часов к востоку, или 125 км / ч к востоку.

Возвращаясь к проблеме скорости автомобиля, представьте, что две машины начинают движение из одной и той же точки и едут с одинаковой средней скоростью 50 миль в час. Если одна машина едет на север, а другая на запад, машины не останутся в одном месте. Скорость машины, идущей на север, будет 50 миль в час на север, а скорость машины, идущей на запад, будет 50 миль в час на запад. Их скорости разные, хотя их скорости одинаковы.

Мгновенная скорость, чтобы быть полностью точной, требует вычисления для оценки, потому что для приближения к «мгновенной» требуется сокращение времени до нуля.Однако можно сделать приближение, используя уравнение: мгновенная скорость (v _i ) равна изменению расстояния (Δd), деленному на изменение во времени (Δt), или:

v_i = \ frac {\ Delta d} {\ Delta t}

Установив изменение времени как очень короткий период времени, можно рассчитать почти мгновенную скорость. Греческий символ дельты, треугольник (Δ), означает изменение.

Например, если движущийся поезд прошел 55 км на восток в 5:00 и достиг 65 км на восток в 6:00, изменение расстояния составит 10 км на восток с изменением времени на 1 час.Вставка этих значений в формулу дает:

v_i = \ frac {10} {1} = 10

или 10 км / ч на восток (по общему признанию, медленная скорость для поезда). Мгновенная скорость будет 10 км / ч на восток, по спидометру двигателя – 10 км / ч. Конечно, час не «мгновенный», но он служит для примера.

Вместо этого предположим, что ученый измеряет изменение положения (Δd) объекта на 8 метров за интервал времени (Δt) в 2 секунды. Используя формулу, мгновенная скорость равна 4 метрам в секунду (м / с) на основе расчета:

v_i = \ frac {8} {2} = 4

В качестве векторной величины мгновенная скорость должна включать направление.Однако многие проблемы предполагают, что объект продолжает двигаться в том же направлении в течение этого короткого промежутка времени. Тогда направленность объекта игнорируется, что объясняет, почему это значение часто называют мгновенной скоростью.

Уравнение ускорения

Какая формула ускорения? Исследования показывают два явно разных уравнения. Одна формула из второго закона Ньютона связывает силу, массу и ускорение в уравнении: сила (F) равна массе (м), умноженной на ускорение (а), записывается как F = ma.Другая формула, ускорение (a) равняется изменению скорости (Δv), деленному на изменение во времени (Δt), вычисляет скорость изменения скорости во времени. Эту формулу можно записать:

a = \ frac {\ Delta v} {\ Delta t}

Поскольку скорость включает в себя и скорость, и направление, изменения ускорения могут быть результатом изменений скорости или направления, либо обоих. В науке единицами измерения ускорения обычно являются метры в секунду в секунду (м / с / с) или метры в секунду в квадрате (м / с ² ).

Эти два уравнения не противоречат друг другу. Первый показывает соотношение силы, массы и ускорения. Второй рассчитывает ускорение на основе изменения скорости за определенный период времени.

Ученые и инженеры называют увеличение скорости положительным ускорением, а уменьшение скорости – отрицательным ускорением. Однако большинство людей используют термин замедление вместо отрицательного ускорения.

Ускорение свободного падения

Вблизи поверхности Земли ускорение свободного падения является постоянной величиной: a = -9.8 м / с ² (метров в секунду в секунду или метров в секунду в квадрате). Как предположил Галилей, объекты с разной массой испытывают одинаковое ускорение силы тяжести и будут падать с одинаковой скоростью.

Онлайн-калькуляторы

Вводя данные в онлайн-калькулятор скорости, можно рассчитать ускорение. Онлайн-калькуляторы можно использовать для вычисления уравнения скорости, ускорения и силы. Использование калькулятора ускорения и расстояния требует знания скорости и времени.

3.6 Определение скорости и смещения по ускорению

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Выведите кинематические уравнения для постоянного ускорения с помощью интегрального исчисления.
• Используйте интегральную формулировку кинематических уравнений при анализе движения.
• Найдите функциональную форму зависимости скорости от времени с учетом функции ускорения.
• Найдите функциональную форму зависимости положения от времени с учетом функции скорости.

В этом разделе предполагается, что у вас достаточно знаний в области вычислений, чтобы быть знакомыми с интеграцией. В разделах «Мгновенная скорость и скорость», «Среднее и мгновенное ускорение» мы ввели кинематические функции скорости и ускорения с использованием производной. Взяв производную функции положения, мы нашли функцию скорости, и аналогичным образом взяв производную функции скорости, мы нашли функцию ускорения. Используя интегральное исчисление, мы можем работать в обратном направлении и вычислять функцию скорости из функции ускорения и функцию положения из функции скорости.

Кинематические уравнения из интегрального исчисления

Начнем с частицы с ускорением a (t) – известная функция времени. Поскольку производной функции скорости по времени является ускорение,

[латекс] \ frac {d} {dt} v (t) = a (t), [/ латекс]

мы можем взять неопределенный интеграл от обеих частей, найдя

[латекс] \ int \ frac {d} {dt} v (t) dt = \ int a (t) dt + {C} _ {1}, [/ latex]

, где C ₁ – постоянная интегрирования.Поскольку [latex] \ int \ frac {d} {dt} v (t) dt = v (t) [/ latex], скорость определяется как

[латекс] v (t) = \ int a (t) dt + {C} _ {1}. [/ латекс]

Аналогично, производная по времени функции положения является функцией скорости,

[латекс] \ frac {d} {dt} x (t) = v (t). [/ латекс]

Таким образом, мы можем использовать те же математические манипуляции, которые мы только что использовали, и найти

[латекс] x (t) = \ int v (t) dt + {C} _ {2}, [/ latex]

, где C ₂ – вторая постоянная интегрирования.

Используя эти интегралы, мы можем вывести кинематические уравнения для постоянного ускорения. Имея a ( t ) = a a константа, и выполняя интегрирование в (рисунок), мы находим

[латекс] v (t) = \ int adt + {C} _ {1} = at + {C} _ {1}. [/ латекс]

Если начальная скорость равна v (0) = v ₀ , то

[латекс] {v} _ {0} = 0 + {C} _ {1}. [/ латекс]

Тогда C ₁ = v ₀ и

[латекс] v (t) = {v} _ {0} + at, [/ latex]

(Уравнение).{2} [/ латекс]. а) Какова функция скорости моторной лодки? (б) В какое время скорость достигает нуля? (c) Какова функция местоположения моторной лодки? (d) Каково смещение моторной лодки с момента начала замедления до момента, когда скорость равна нулю? (e) Постройте график функций скорости и положения.

Стратегия

(a) Чтобы получить функцию скорости, мы должны интегрировать и использовать начальные условия, чтобы найти постоянную интегрирования. {2} + {C} _ {1}.{3} = 21.1 \, \ text {m} \ text {.} [/ Latex]

Рис. 3.30 (a) Скорость катера как функция времени. Катер снижает скорость до нуля за 6,3 с. Иногда скорость становится отрицательной – это означает, что лодка меняет направление. (b) Положение моторной лодки как функция времени. В момент времени t = 6,3 с скорость равна нулю, и лодка остановилась. В разы больше, чем это значение, скорость становится отрицательной – это означает, что если лодка продолжает двигаться с тем же ускорением, она меняет направление на противоположное и направляется обратно к месту своего зарождения.

Значение

Функция ускорения линейна по времени, поэтому интегрирование включает простые полиномы. На (Рисунок) мы видим, что если мы продолжим решение за точку, когда скорость равна нулю, скорость станет отрицательной, и лодка изменит направление на противоположное. Это говорит нам о том, что решения могут предоставить нам информацию, выходящую за рамки наших непосредственных интересов, и мы должны быть осторожны при их интерпретации. {2} [/ latex].{3}. [/ латекс]

Скорость может быть записана как v ( t ) = 5 t (1 – t ), что равно нулю при t = 0 и t = 1 с.

Acceleration – Скорость, скорость и ускорение – GCSE Physics (Single Science) Revision – Other

Вы можете рассчитать ускорение объекта, исходя из его изменения скорости и затраченного времени.

Скорость – это не совсем то же самое, что скорость. У скорости есть направление, а также скорость.Например, 15 м / с – это скорость, а 15 м / с Север – это скорость (Север – направление).

Обычно скорости равны + (что означает вперед) или – (что означает назад).

Например, -15 м / с означает движение назад на 15 метров каждую секунду.

Уравнение

Когда объект движется по прямой с постоянным ускорением, вы можете рассчитать его ускорение, если знаете, насколько изменяется его скорость и сколько времени это занимает.

\ [\ text {ускорение (метр в секунду в квадрате)} = \ frac {изменение ~ скорости ~ (метр ~ в ~ секунду)} {время ~ занято ~ (секунда, ~ с)} \]

единицы ускорения обычно записываются как м / с / с или м / с ² .Уравнение ускорения также можно представить в виде:

\ [a = (vu) \ div t \]

где:

a – ускорение в м / с / с или м / с ²

v – конечная скорость в м / с

u – начальная скорость в м / с

t – время в с

Например, автомобиль разгоняется за 5 с с 25 м / с до 35 м. / с. Его скорость изменяется на 35 – 25 = 10 м / с. Следовательно, его ускорение составляет 10 ÷ 5 = 2 м / с ²

Торможение или отрицательное ускорение наблюдается, когда объект замедляется.Единицы такие же, как и для ускорения, но перед числом стоит отрицательный символ. Например, машина замедлилась со скоростью -1 м / с ² .

Вот еще один рабочий пример. На этот раз автомобиль замедляется за 5 с с 35 до 25 м / с. Его скорость изменяется на 25 – 35 = -10 м / с. Следовательно, его ускорение составляет -10 ÷ 5 = -2 м / с ²

Сводная информация о скорости, расстоянии и скорости

Математика кругового движения

Есть три математические величины, которые будут для нас в первую очередь интересны, когда мы будем анализировать движение объектов по кругу.Эти три величины – скорость, ускорение и сила. Скорость объекта, движущегося по кругу, определяется следующим уравнением.

Ускорение объекта, движущегося по кругу, можно определить с помощью одного из двух следующих уравнений.

Уравнение справа (вверху) получено из уравнения слева путем подстановки выражения для скорости.

Чистая сила ( F, _net ), действующая на объект, движущийся по кругу, направлена ​​внутрь.Хотя на объект может действовать более одной силы, их векторная сумма должна составлять результирующую силу. В общем, внутренняя сила больше, чем внешняя сила (если таковая имеется), так что внешняя сила компенсируется, и неуравновешенная сила направлена ​​в направлении центра круга. Чистая сила связана с ускорением объекта (как всегда) и, таким образом, определяется следующими тремя уравнениями:

Уравнения в середине (вверху) и справа (вверху) получены из уравнения слева путем подстановки выражений для ускорения.

Этот набор уравнений кругового движения можно использовать двумя способами:

Эти два способа показаны ниже.

Уравнения как руководство к мышлению

Уравнение выражает математическую связь между величинами, присутствующими в этом уравнении. Например, уравнение второго закона Ньютона определяет, как ускорение связано с чистой силой и массой объекта.

Взаимосвязь, выражаемая уравнением, заключается в том, что ускорение объекта прямо пропорционально действующей на него чистой силе. Другими словами, чем больше значение чистой силы, тем больше будет значение ускорения. По мере увеличения чистой силы ускорение увеличивается. Фактически, если бы чистая сила была увеличена в 2 раза, уравнение предсказало бы, что ускорение увеличится в 2 раза. Точно так же, если бы чистая сила была уменьшена в 2 раза, уравнение предсказало бы, что ускорение уменьшится в 2 раза.

Уравнение второго закона Ньютона также показывает связь между ускорением и массой. Согласно уравнению, ускорение объекта обратно пропорционально массе объекта. Другими словами, чем больше значение массы, тем меньше будет значение ускорения. По мере увеличения массы ускорение уменьшается. Фактически, если бы масса была увеличена в 2 раза, уравнение предсказало бы, что ускорение уменьшится в 2 раза. Точно так же, если бы масса была уменьшена в 2 раза, уравнение предсказало бы, что ускорение будет увеличиваются в 2 раза.

Как упоминалось ранее, уравнения позволяют делать прогнозы о влиянии изменения одной величины на вторую величину. Поскольку уравнение второго закона Ньютона показывает три величины, каждая из которых возведена в первую степень, предсказательная способность уравнения довольно проста. Прогностическая способность уравнения усложняется, когда одна из величин, включенных в уравнение, возводится в степень. Например, рассмотрим следующее уравнение, связывающее чистую силу ( F, _net ) со скоростью ( v ) объекта, движущегося равномерно по кругу.

Это уравнение показывает, что чистая сила, необходимая для движения объекта по кругу, прямо пропорциональна квадрату скорости объекта. При постоянной массе и радиусе сеть F пропорциональна скорости ² .

Коэффициент, на который изменяется чистая сила, является квадратом коэффициента, на который изменяется скорость. Впоследствии, если скорость объекта удваивается, чистая сила, необходимая для кругового движения этого объекта, увеличивается в четыре раза.И если скорость объекта уменьшается вдвое (уменьшается в 2 раза), требуемая полезная сила уменьшается в 4 раза.

Уравнения как рецепт решения проблем

Математические уравнения, представленные выше для движения объектов по кругу, могут использоваться для решения задач кругового движения, в которых необходимо определить неизвестную величину. Процесс решения задачи кругового движения очень похож на любую другую задачу в классе физики.Процесс включает в себя внимательное прочтение проблемы, идентификацию известной и необходимой информации в переменной форме, выбор соответствующего уравнения (й), замену известных значений в уравнение и, наконец, алгебраическое манипулирование уравнением для определения отвечать. Рассмотрим применение этого процесса к следующим двум задачам кругового движения.

Пример задачи № 1 Автомобиль весом 900 кг, движущийся со скоростью 10 м / с, совершает разворот по окружности с радиусом 25.0 мес. Определите ускорение и чистую силу, действующую на автомобиль.

Решение этой проблемы начинается с выявления известной и запрашиваемой информации.

Известная информация: м = 900 кг v = 10,0 м / с R = 25,0 м

Запрошенная информация: а = ???? F net = ????

Чтобы определить ускорение автомобиля, используйте уравнение a = v ² / R.Решение выглядит следующим образом:

а = v ² / R

a = (10,0 м / с) ² / (25,0 м)

a = (100 м ² / с ² ) / (25,0 м)

a = 4 м / с ²

Чтобы определить чистую силу, действующую на автомобиль, используйте уравнение F _net = m • a. Решение следующее.

F _net = m • a

F _нетто = (900 кг) • (4 м / с ² )

F _net = 3600 N

Пример задачи № 2 Полузащитник весом 95 кг делает разворот на футбольном поле.Полузащитник прокладывает путь, который представляет собой часть круга радиусом 12 метров. Полузащитник делает четверть оборота по кругу за 2,1 секунды. Определите скорость, ускорение и чистую силу, действующую на полузащитника.

Решение этой проблемы начинается с выявления известной и запрашиваемой информации.

Известная информация: м = 95.0 кг R = 12,0 м Пройдет 1/4 окружности за 2,1 с

Запрошенная информация: v = ???? а = ???? F net = ????

Чтобы определить скорость полузащитника, используйте уравнение v = d / t, где d равно одной четвертой окружности, а время равно 2.1 с. Решение выглядит следующим образом:

v = d / t

v = (0,25 • 2 • pi • R) / т

v = (0,25 • 2 • 3,14 • 12,0 м) / (2,1 с)

v = 8,97 м / с

Чтобы определить ускорение полузащитника, используйте уравнение a = v ² / R. Решение следующее:

а = v ² / R

a = (8,97 м / с) ² / (12,0 м)

а = (80.5 м ² / с ² ) / (12,0 м)

a = 6,71 м / с ²

Чтобы определить чистую силу, действующую на полузащитника, используйте уравнение F _net = m • a. Решение следующее.

F _net = м * а

F _нетто = (95,0 кг) * (6,71 м / с ² )

F _net = 637 N

В Уроке 2 этого модуля принципы кругового движения и приведенные выше математические уравнения будут объединены для объяснения и анализа различных сценариев реального движения, включая аттракционы в парке развлечений и круговые движения в легкой атлетике.

Мы хотели бы предложить … Иногда просто прочитать об этом недостаточно. Вы должны с ним взаимодействовать! И это именно то, что вы делаете, когда используете один из интерактивных материалов The Physics Classroom. Мы хотели бы предложить вам совместить чтение этой страницы с использованием нашего интерактивного средства однородного кругового движения. Вы можете найти его в разделе Physics Interactives на нашем сайте. Интерактивный модуль «Равномерное круговое движение» позволяет учащемуся интерактивно исследовать взаимосвязь между скоростью, ускорением и силой для объекта, движущегося по кругу.

Проверьте свое понимание

1. Анна Литикал практикует демонстрацию центростремительной силы дома. Она наполняет ведро водой, привязывает его к прочной веревке и крутит по кругу. Анна вращает ведро, когда оно наполовину заполнено водой, а когда оно на четверть. В каком случае для вращения ведра по кругу требуется больше силы? Объясните, используя уравнение как «руководство к размышлениям».

2.Линкольн Континенталь и Юго делают поворот. Линкольн в четыре раза массивнее Юго. Если они совершают поворот с одинаковой скоростью, то как сравнить центростремительные силы, действующие на две машины? Объяснять.

3. Cajun Cliffhanger в Great America – это аттракцион, в котором пассажиры выстраиваются по периметру цилиндра и вращаются по кругу с высокой скоростью поворота. Когда цилиндр начинает очень быстро вращаться, пол убирается из-под ног гонщиков.Какое влияние удвоение скорости оказывает на центростремительную силу? Объяснять.

4. Определите центростремительную силу, действующую на ребенка весом 40 кг, который совершает 10 оборотов вокруг клиффхэнгера за 29,3 секунды. Радиус ствола – 2,90 метра.

3.8: Определение скорости и смещения по ускорению

В этом разделе предполагается, что у вас достаточно знаний в области вычислений, чтобы быть знакомыми с интеграцией. В разделах «Мгновенная скорость и скорость», «Среднее и мгновенное ускорение» мы ввели кинематические функции скорости и ускорения с использованием производной. Взяв производную функции положения, мы нашли функцию скорости, и аналогичным образом взяв производную функции скорости, мы нашли функцию ускорения.Используя интегральное исчисление, мы можем работать в обратном направлении и вычислять функцию скорости из функции ускорения и функцию положения из функции скорости.

Кинематические уравнения из интегрального исчисления

Начнем с частицы с ускорением a (t) – известной функцией времени. Поскольку производной функции скорости по времени является ускорение,

\ [\ frac {d} {dt} v (t) = a (t), \]

мы можем взять неопределенный интеграл от обеих частей, найдя

\ [\ int \ frac {d} {dt} v (t) dt = \ int a (t) dt + C_ {1}, \]

, где C ₁ – постоянная интегрирования.Поскольку \ (\ int \ frac {d} {dt} v (t) dt = v (t) \), скорость определяется как

\ [v (t) = \ int a (t) dt + C_ {1} \ ldotp \ label {3.18} \]

Аналогично, производная по времени функции положения является функцией скорости,

\ [\ frac {d} {dt} x (t) = v (t) \ ldotp \]

Таким образом, мы можем использовать те же математические манипуляции, которые мы только что использовали, и найти

\ [x (t) = \ int v (t) dt + C_ {2}, \ label {3.19} \]

, где C ₂ – вторая постоянная интегрирования.

Используя эти интегралы, мы можем вывести кинематические уравнения для постоянного ускорения. С a (t) = a, константой, и выполняя интегрирование в уравнении \ ref {3.18}, находим

\ [v (t) = \ int a dt + C_ {1} = at + C_ {1} \ ldotp \]

Если начальная скорость v (0) = v ₀ , то

\ [v_ {0} = 0 + C_ {1} \ ldotp \]

Тогда, C ₁ = v ₀ и

\ [v (t) = v_ {0} + at, \]

, что является уравнением 3.{2} \ ldotp \]

, что является уравнением 3.5.17.

Пример 3.17: Движение моторной лодки

Моторная лодка движется с постоянной скоростью 5,0 м / с, когда начинает замедляться, чтобы прибыть в док. Его ускорение равно a (t) = \ (- \ frac {1} {4} \) t м / с ² . а) Какова функция скорости моторной лодки? (б) В какое время скорость достигает нуля? (c) Какова функция местоположения моторной лодки? (d) Каково смещение моторной лодки с момента начала замедления до момента, когда скорость равна нулю? (e) Постройте график функций скорости и положения.

Стратегия

(a) Чтобы получить функцию скорости, мы должны интегрировать и использовать начальные условия, чтобы найти постоянную интегрирования. (b) Мы устанавливаем функцию скорости равной нулю и решаем относительно t. (c) Аналогично, мы должны интегрировать, чтобы найти функцию положения, и использовать начальные условия, чтобы найти постоянную интегрирования. (d) Поскольку начальное положение принимается равным нулю, нам нужно только оценить функцию положения при t = 0.

Решение

Мы принимаем t = 0 за время начала замедления лодки.{3} = 21,1 \; м \ ldotp $$ Рисунок \ (\ PageIndex {1} \): (a) Скорость катера как функция времени. Катер снижает скорость до нуля за 6,3 с. Иногда скорость становится отрицательной – это означает, что лодка меняет направление. (b) Положение моторной лодки как функция времени. В момент времени t = 6,3 с скорость равна нулю, и лодка остановилась. В разы больше, чем это значение, скорость становится отрицательной – это означает, что если лодка продолжает двигаться с тем же ускорением, она меняет направление на противоположное и направляется обратно к месту своего зарождения. {2}} \).а) Что такое функция скорости? б) Что такое функция положения? (c) Когда скорость равна нулю?

Calculus III – Скорость и ускорение

Показать уведомление для мобильных устройств Показать все заметки Скрыть все заметки

Похоже, вы используете устройство с “узкой” шириной экрана ( i.е. вы, вероятно, пользуетесь мобильным телефоном). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 1-11: Скорость и ускорение

В этом разделе нам нужно взглянуть на скорость и ускорение движущегося объекта.

Из исчисления I мы знаем, что с учетом функции положения объекта скорость объекта является первой производной функции положения, а ускорение объекта является второй производной функции положения.

Итак, учитывая это, неудивительно, что если функция положения объекта задается векторной функцией \ (\ vec r \ left (t \ right) \), тогда задаются скорость и ускорение объекта. по,

\ [\ vec v \ left (t \ right) = \ vec r ‘\ left (t \ right) \ hspace {0.25 дюймов} \ hspace {0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} \ vec a \ left (t \ right) = \ vec r ” \ left (t \ right) \]

Обратите внимание, что скорость и ускорение также будут векторами.

При изучении движения объектов ускорение часто разбивается на тангенциальную составляющую , \ ({a_T} \) и нормальную составляющую , \ ({a_N} \). Тангенциальная составляющая – это часть ускорения, касательная к кривой, а нормальная составляющая – это часть ускорения, которая перпендикулярна (или ортогональна) кривой.Если мы сделаем это, мы можем записать ускорение как,

\ [\ vec a = {a_T} \ vec T + {a_N} \ vec N \]

, где \ (\ vec T \) и \ (\ vec N \) – единичный тангенс и единичная нормаль для функции положения.

Если мы определим \ (v = \ left \ | {\ vec v \ left (t \ right)} \ right \ | \), то тангенциальная и нормальная составляющие ускорения равны,

\ [{a_T} = v ‘= \ frac {{\ vec r’ \ left (t \ right) \ centerdot \ vec r ” \ left (t \ right)}} {{\ left \ | {r ‘\ left (t \ right)} \ right \ |}} \ hspace {0.2} = \ frac {{\ left \ | {\ vec r ‘\ left (t \ right) \ times \ vec r’ ‘\ left (t \ right)} \ right \ |}} {{\ left \ | {г ‘\ влево (т \ вправо)} \ вправо \ |}} \]

, где \ (\ kappa \) – кривизна для функции положения.

Здесь можно использовать две формулы для каждой составляющей ускорения, и хотя вторая формула может показаться слишком сложной, часто она является более простой из двух. В тангенциальном компоненте \ (v \) может быть беспорядок, а вычисление производной может быть неприятным.В обычном компоненте мы уже будем вычислять обе эти величины, чтобы получить кривизну, поэтому вторая формула в этом случае определенно является более простой из двух.

Давайте быстро рассмотрим пару примеров.

Пример 1 Если ускорение объекта задается выражением \ (\ vec a = \ vec i + 2 \ vec j + 6t \ vec k \), найдите функции скорости и положения объекта, учитывая, что начальная скорость равна \ (\ vec v \ left (0 \ right) = \ vec j – \ vec k \) и начальная позиция \ (\ vec r \ left (0 \ right) = \ vec i – 2 \ vec j + 3 \ vec k \) .2} + 4t + 2}}} \]

Расстояние, скорость и ускорение

Расстояние, скорость и ускорение

Неопределенный интеграл обычно применяется в задачах, связанных с расстоянием, скоростью и ускорением, каждая из которых является функцией времени. При обсуждении применения производной обратите внимание, что производная функции расстояния представляет мгновенную скорость и что производная функции скорости представляет мгновенное ускорение в конкретный момент времени.Рассматривая связь между производной и неопределенным интегралом как обратные операции, обратите внимание, что неопределенный интеграл функции ускорения представляет функцию скорости, а неопределенный интеграл скорости представляет функцию расстояния.

В случае свободно падающего объекта ускорение свободного падения составляет –32 фут / сек. ² . Значение отрицательного в том, что скорость изменения скорости относительно времени (ускорение) отрицательна, потому что скорость уменьшается с увеличением времени.Используя тот факт, что скорость является неопределенным интегралом ускорения, вы обнаружите, что

Теперь при t = 0 начальная скорость ( v ₀ ) равна

, следовательно, поскольку постоянная интегрирования скорости в этой ситуации равна начальной скорости, запишите

Поскольку расстояние является неопределенным интегралом скорости, получается, что

Теперь при t = 0 начальное расстояние ( с ₀ ) равно

, следовательно, поскольку постоянная интегрирования для расстояния в этой ситуации равна начальному расстоянию, напишите

Пример 1: Мяч бросается вниз с высоты 512 футов со скоростью 64 фута в секунду.Сколько времени потребуется, чтобы мяч коснулся земли?

Из данных условий вы обнаружите, что

Расстояние равно нулю, когда мяч достигает земли или

, следовательно, мяч достигнет земли через 4 секунды после броска.

Пример 2: Какой будет скорость мяча в предыдущем примере, когда он упадет на землю?

Поскольку v ( t ) = –32 ( t ) – 64 и мяч достигает земли за 4 секунды, вы обнаружите, что

, следовательно, мяч ударится о землю со скоростью –192 фут / сек.Значение отрицательной скорости состоит в том, что скорость изменения расстояния во времени (скорость) отрицательна, потому что расстояние уменьшается с увеличением времени.

Пример 3: Ракета ускоряется со скоростью 4 т м / с ² из положения покоя в шахте на 35 м ниже уровня земли. Насколько высоко он будет над землей через 6 секунд?

Из данных условий следует, что a ( t ) = 4 t м / с ² , v ₀ = 0 м / с, потому что он начинается в состоянии покоя, и s ₀ = –35 м, потому что ракета находится ниже уровня земли; следовательно,

Через 6 секунд вы обнаружите, что

следовательно, ракета будет на 109 м над землей через 6 секунд.