Вторая производная
Всё очень просто. Вторая производная – это производная от первой производной:
Стандартные обозначения второй производной: , или (дробь читается так: «дэ два игрек по дэ икс квадрат»). Чаще всего вторую производную обозначают первыми двумя вариантами. Но третий вариант тоже встречается, причем, его очень любят включать в условия контрольных заданий, например: «Найдите функции…». А студент сидит и битый час чешет репу, что это вообще такое.
Рассмотрим простейший пример. Найдем вторую производную от функции .
Для того чтобы найти вторую производную, как многие догадались, нужно сначала найти первую производную:
Теперь находим вторую производную:
Готово.
Рассмотрим более содержательные примеры.
Пример 11
Найти вторую производную функции
Найдем первую производную:
На
каждом шаге всегда смотрим, нельзя ли
что-нибудь упростить? Сейчас нам предстоит
дифференцировать произведение двух
функций, и мы избавимся от этой
неприятности, применив
известную тригонометрическую
формулу
.
Точнее говоря, использовать формулу
будем в обратном направлении:
:
Находим вторую производную:
Готово.
Можно было пойти другим путём – понизить степень функции еще перед дифференцированием, используя формулу :
Если интересно, возьмите первую и вторую производные снова. Результаты, естественно, совпадут.
Отмечу, что понижение степени бывает очень выгодно при нахождении частных производных функции. Здесь же оба способа решения будут примерно одинаковой длины и сложности.
Как и для первой производной, можно рассмотреть задачу нахождения второй производной в точке.
Например: Вычислим значение найденной второй производной в точке :
Необходимость
находить вторую производную и вторую
производную в точке возникает при
исследовании графика функции на
выпуклость/вогнутость и перегибы.
Пример 12
Найти вторую производную функции . Найти
Это пример для самостоятельного решения.
Аналогично можно найти третью производную, а также производные более высоких порядков. Такие задания встречаются, но встречаются значительно реже.
Решения и ответы:
Пример 2: Найдем производную: Вычислим значение функции в точке :
Пример 4: Найдем производную: Вычислим производную в заданной точке:
Пример 6: Уравнение касательной составим по формуле 1) Вычислим значение функции в точке : 2) Найдем производную. Перед дифференцированием функцию выгодно упростить: 3) Вычислим значение производной в точке : 4) Подставим значения , и в формулу :
Пример 8: Преобразуем функцию: Найдем производную: Запишем дифференциал:
Пример 10: Найдем производную:
Запишем дифференциал: Вычислим дифференциал в точке :
Пример 12: Найдем первую производную: Найдем вторую производную: Вычислим:
На
данном уроке мы познакомимся с понятием
функции двух переменных, а также подробно
рассмотрим наиболее распространенное
задание – нахождение частных
производныхпервого
и второго порядка, полного дифференциала
функции.
Студенты-заочники, как правило,
сталкиваются с частными производными
на 1 курсе во 2 семестре. Причем, по моим
наблюдениям, задание на нахождение
частных производных практически всегда
встречается на экзамене.
Для эффективного изучения нижеизложенного материала Вам необходимо уметь более или менее уверенно находить «обычные» производные функции одной переменной. Научиться правильно обращаться с производными можно на уроках Как найти производную? иПроизводная сложной функции. Также нам потребуется таблица производных элементарных функций и правил дифференцирования, удобнее всего, если она будет под рукой в распечатанном виде. Раздобыть справочный материал можно на страницеМатематические формулы и таблицы
Начнем
с самого понятия функции двух переменных,
я постараюсь ограничиться минимумом
теории, так как сайт имеет практическую
направленность. Функция двух переменных
обычно записывается как
,
при этом переменные
,
называются независимыми
переменными или аргументами.
Пример: – функция двух переменных.
Иногда используют запись . Также встречаются задания, где вместо буквы используется буква .
Полезно знать геометрический смысл функций. Функции одной переменной соответствует определенная линия на плоскости, например, – всем знакомая школьная парабола. Любая функция двух переменных с геометрической точки зрения представляет собой поверхность в трехмерном пространстве (плоскости, цилиндры, шары, параболоиды и т.д.). Но, собственно, это уже аналитическая геометрия, а у нас на повестке дня математический анализ.
Переходим к вопросу нахождения частных производных первого и второго порядков. Должен сообщить хорошую новость для тех, кто выпил несколько чашек кофе и настроился на невообразимо трудный материал: частные производные – это почти то же самое, что и «обычные» производные функции одной переменной.
Для
частных производных справедливы все
правила дифференцирования и таблица
производных элементарных функций.
Пример 1
Найти частные производные первого и второго порядка функции
Сначала найдем частные производные первого порядка. Их две.
Обозначения: или – частная производная по «икс» или – частная производная по «игрек»
Начнем с . Когда мы находим частную производную по «икс», то переменная
Решаем. На данном уроке я буду приводить полное решение сразу, а комментарии давать ниже.
Комментарии к выполненным действиям:
(1) Первое, что мы делаем при нахождении частной производной – заключаем всю функцию в скобки под штрих с подстрочным индексом.
Внимание,
важно! Подстрочные
индексы НЕ ТЕРЯЕМ по ходу решения.
В
данном случае, если Вы где-нибудь
нарисуете «штрих» без
,
то преподаватель, как минимум, может
поставить рядом с заданием
(сразу
откусить часть балла за невнимательность).
Далее данный шаг комментироваться не будет, все сделанные замечания справедливы для любого примера по рассматриваемой теме.
(2) Используем правила дифференцирования , . Для простого примера, как этот, оба правила вполне можно применить на одном шаге. Обратите внимание на первое слагаемое: так как считается константой, а любую константу можно вынести за знак производной, то мы выносим за скобки. То есть в данной ситуации ничем не лучше обычного числа. Теперь посмотрим на третье слагаемое : здесь, наоборот, выносить нечего. Так как константа, то – тоже константа, и в этом смысле она ничем не лучше последнего слагаемого – «семерки».
(3) Используем табличные производные и .
(4) Упрощаем, или,
как я люблю говорить, «причесываем»
ответ.
Теперь . Когда мы находим частную производную по «игрек», то переменная считается константой (постоянным числом).
(1) Используем те же правила дифференцирования , . В первом слагаемом выносим константу за знак производной, во втором слагаемом ничего вынести нельзя поскольку – уже константа.
(2) Используем таблицу производным элементарных функций. Мысленно поменяем в таблице все «иксы» на «игреки». То есть данная таблица рАвно справедлива и для (да и вообще почти для любой буквы). В частности, используемые нами формулы выглядят так: и .
Итак, частные производные первого порядка найдены
Подведем итог, чем же отличается нахождение частных производных от нахождения «обычных» производных функции одной переменной:
1)
Когда мы находим частную
производную , переменная считается
константой.
2) Когда мы находим частную производную , переменная считается константой.
3) Правила и таблица производных элементарных функций справедливы и применимы для любой переменной ( , либо какой-нибудь другой), по которой ведется дифференцирование.
Шаг второй. Находим частные производные второго порядка. Их четыре.
Обозначения: или – вторая производная по «икс» или – вторая производная по «игрек» или – смешанная производная «икс по игрек» или – смешанная производная «игрек по икс»
В понятии второй производной нет ничего сложного. Говоря простым языком, вторая производная – это производная от первой производной.
Для наглядности я перепишу уже найденные частные производные первого порядка:
Сначала найдем смешанные производные:
Как
видите, всё просто: берем частную
производную
и
дифференцируем ее еще раз, но в данном
случае – уже по «игрек».
Аналогично:
Для практических примеров справедливо следующее равенство:
Таким образом, через смешанные производные второго порядка очень удобно проверить, а правильно ли мы нашли частные производные первого порядка.
Находим вторую производную по «икс». Никаких изобретений, берем и дифференцируем её по «икс» еще раз:
Аналогично:
Следует отметить, что при нахождении , нужно проявить повышенное внимание, так как никаких чудесных равенств для проверки не существует.
Пример 2
Найти частные производные первого и второго порядка функции
Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока). Если возникли трудности с дифференцированием корней, рекомендую ознакомиться уроком Как найти производную?
При определенном
опыте частные производные из примеров
№№1,2 будут решаться Вами устно.
Переходим к более сложным примерам.
Пример 3
Найти частные производные первого порядка функции . Проверить, что . Записать полный дифференциал первого порядка .
Решение: Находим частные производные первого порядка:
Обратите внимание на подстрочный индекс: , рядом с «иксом» не возбраняется в скобках записывать, что – константа. Данная пометка может быть очень полезна для начинающих, чтобы легче было ориентироваться в решении.
Дальнейшие комментарии:
(1) Выносим все константы за знак производной. В данном случае и , а, значит, и их произведение считается постоянным числом.
(2) Не забываем, как правильно дифференцировать корни.
(1) Выносим все константы за знак производной, в данной случае константой является .
(2) Под
штрихом у нас осталось произведение
двух функций, следовательно, нужно
использовать правило дифференцирования
произведения
.
(3) Не забываем, что – это сложная функция (хотя и простейшая из сложных). Используем соответствующее правило: .
Теперь находим смешанные производные второго порядка:
, значит, все вычисления выполнены верно.
Запишем полный дифференциал . В контексте рассматриваемого задания не имеет смысла рассказывать, что такое полный дифференциал функции двух переменных. Важно, что этот самый дифференциал очень часто требуется записать в практических задачах.
Полный дифференциал первого порядка функции двух переменных имеет вид:
В данном случае:
То есть, в формулу нужно просто подставить уже найденные частные производные первого порядка. Значки дифференциалов и в этой и похожих ситуациях по возможности лучше записывать в числителях:
Пример 4
Найти
частные производные первого порядка
функции
.
Проверить, что
.
Записать полный дифференциал первого
порядка
.
Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и образец оформления задачи – в конце урока.
Рассмотрим серию примеров, включающих в себя сложные функции.
Пример 5
Найти частные производные первого порядка функции . Записать полный дифференциал .
Решение:
(1) Применяем правило дифференцирования сложной функции . С урока Производная сложной функции следует помнить очень важный момент: когда мы по таблице превращаем синус (внешнюю функцию) в косинус, то вложение (внутренняя функция) у нас не меняется.
(2) Здесь используем свойство корней: , выносим константу за знак производной, а корень представляем в нужном для дифференцирования виде.
Аналогично:
Запишем полный дифференциал первого порядка:
Пример 6
Найти
частные производные первого порядка
функции
.
Записать
полный дифференциал
.
Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока). Полное решение не привожу, так как оно достаточно простое
Довольно часто все вышерассмотренные правила применяются в комбинации.
Пример 7
Найти частные производные первого порядка функции .
(1) Используем правило дифференцирования суммы
(2) Первое слагаемое в данном случае считается константой, поскольку в выражении нет ничего, зависящего от «икс» – только «игреки».
(Знаете, всегда приятно, когда дробь удается превратить в ноль).
Для
второго слагаемого применяем правило
дифференцирования произведения. Кстати,
в этом смысле ничего бы не изменилось,
если бы вместо была дана функция – важно, что здесь произведение
двух функций, КАЖДАЯ
из которых зависит от «икс»,
а поэтому, нужно использовать правило
дифференцирования произведения.
Для
третьего слагаемого применяем правило
дифференцирования сложной функции.
(1) В первом слагаемом и в числителе и в знаменателе содержится «игрек», следовательно, нужно использовать правило дифференцирования частного: . Второе слагаемое зависит ТОЛЬКО от «икс», значит, считается константой и превращается в ноль. Для третьего слагаемого используем правило дифференцирования сложной функции.
Для тех читателей, которые мужественно добрались почти до конца урока, расскажу старый мехматовский анекдот для разрядки:
Однажды в пространстве функций появилась злобная производная и как пошла всех дифференцировать. Все функции разбегаются кто куда, никому не хочется превращаться! И только одна функция никуда не убегает. Подходит к ней производная и спрашивает:
– А почему это ты от меня никуда не убегаешь?
– Ха. А мне всё равно, ведь я «е в степени икс», и ты со мной ничего не сделаешь!
На что злобная производная с коварной улыбкой отвечает:
– Вот
здесь ты ошибаешься, я тебя продифференцирую
по «игрек», так что быть тебе нулем.
(Кто понял анекдот, тот освоил производные, минимум, на «тройку»).
Пример 8
Найти частные производные первого порядка функции .
Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и образец оформления задачи – в конце урока.
Ну вот почти и всё. Напоследок не могу не обрадовать любителей математики еще одним примером. Дело даже не в любителях, у всех разный уровень математической подготовки – встречаются люди (и не так уж редко), которые любят потягаться с заданиями посложнее. Хотя, последний на данном уроке пример не столько сложный, сколько громоздкий с точки зрения вычислений.
Пример 9
Дана функция двух переменных . Найти все частные производные первого и второго порядков.
Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и образец оформления где-то рядом.
Ответы:
Пример 2:
, , ,
Пример
4: Ссылка для просмотра ниже.
{4 x}(336 \cos 3 x-527 \sin 3 x)$
Читать дальше: таблица производных высших порядков.
Вторая производная с неявным дифференцированием — Криста Кинг Математика
Не забудьте подставить первую производную во вторую производную
Раньше, когда нам нужно было найти производную функции от ???y??? в терминах ???x???, например ???y=f(x)???, мы использовали наши правила производных, чтобы найти первую производную, а затем мы взяли производную первой производной, чтобы получить вторую производная.
Когда у нас есть уравнение относительно ???x??? и ???й??? которое не может быть легко решено для ???y???, мы можем использовать неявное дифференцирование, чтобы найти его первую и вторую производную.
Привет! Я Криста.
Я создаю онлайн-курсы, чтобы помочь вам в учебе по математике. Читать далее.
Помните, что мы будем использовать неявное дифференцирование, чтобы найти первую производную, а затем снова использовать неявное дифференцирование, чтобы найти производную первой производной, чтобы найти вторую производную.
Когда у нас есть уравнение для второй производной, мы всегда можем сделать замену вместо ???y???, так как мы уже нашли ???y’??? когда мы нашли первую производную.
Использование неявного дифференцирования для нахождения первой и второй производных неявно заданной функции
Пройти курс
Хотите узнать больше об исчислении 1? У меня есть пошаговый курс для этого. 🙂
Узнать больше
Нахождение второй производной методом неявного дифференцирования
Пример 92=76???
Потому что немного утомительно изолировать ???y??? в этом уравнении мы будем использовать неявное дифференцирование для получения производной. Помните, что мы должны умножить на ???y’??? или ???dy/dx??? всякий раз, когда мы берем производную от ???y???.
Первая производная
???4y\cdot y’+12x=0???
???4yy’=-12x???
???y’=\frac{-12x}{4y}???
???y’=-\frac{3x}{y}???
Мы ищем вторую производную, ???y”???, нашей исходной функции, поэтому нам нужно взять производную от ???y’???.
Используя вместе правило частных и неявное дифференцирование, вторая производная равна 9.3}???
Получить доступ к полному курсу исчисления 1
Начать
Изучение математикиКриста Кинг математика, обучение онлайн, онлайн-курс, онлайн-математика, равновесные решения, исчисление 1, исчисление i, вычисление 1, вычисление i, неявное дифференцирование, неявные производные, вторые производные, производные, дифференцирование
0 лайков4.2 Применение второй производной – методы исчисления 1
Вторая производная и вогнутость
Вторая производная функции предоставляет информацию о том, как изменяется первая производная, и приводит к выводам относительно вогнутости графика.
Графически функция вогнута вверх , если ее график искривлен отверстием вверх (a на рисунке).
Точно так же функция является вогнутой вниз , если ее график открывается вниз (б) на рис. 4.10).
Подробное описание: Левый график обозначен как (a) и показан вогнутой вверх кривой. Правый график обозначен как (b) и показывает вогнутую кривую вниз.
На этом рисунке показана вогнутость функции в нескольких точках. Обратите внимание, что функция может быть вогнутой независимо от того, возрастает она или убывает. Важно понимать разницу между возрастающими/убывающими характеристиками и вогнутостью графика.
В качестве примера этой разницы обратите внимание на левую часть рисунка 3.4, которая помечена как «вогнутая вверх»: эта часть графика сначала уменьшается, а затем увеличивается, однако этот участок графика вогнут вверх.
Рисунок 4.11 Подробное описание: левая часть графика помечена как вогнутая вверх, центральная часть графика помечена как вогнутая вниз, а правая часть графика помечена как вогнутая вверх.
Например, Эпидемия: Предположим, началась эпидемия, и вы, как член конгресса, должны решить, эффективно ли борются с распространением болезни текущие методы или нужны более решительные меры и больше денег. На приведенном ниже рисунке f(x) — это количество людей, больных этим заболеванием в момент времени x, и показаны две разные ситуации. Как в (а), так и в (б) количество людей с болезнью f (сейчас) и скорость, с которой заболевают новые люди, f’ (сейчас), одинаковы. Разница в этих двух ситуациях заключается в вогнутости f, и эта разница вогнутости может сильно повлиять на ваше решение.
Рисунок 4.12Подробное описание: Левая часть графика обозначена как (a) и показывает вогнутый вниз график с соответствующей касательной линией. Правая часть графика помечена как (b) и показывает вогнутый график с соответствующей касательной линией.
На (а) f вогнута вниз в «сейчас», наклоны уменьшаются, и кажется, что она сходит на нет. Мы можем сказать, что «f увеличивается с убывающей скоростью».
Похоже, что нынешние методы начинают брать эпидемию под контроль.
В (b) f вогнута вверх, наклоны увеличиваются, и похоже, что она будет увеличиваться все быстрее и быстрее. Похоже, эпидемия все еще вышла из-под контроля.
Различия между графиками связаны с тем, увеличивается или уменьшается производная. Производная функции f — это функция, которая дает информацию о наклоне f. Производная говорит нам, увеличивается или уменьшается исходная функция. Поскольку [latex]f ‘[/latex] — это функция, мы можем взять ее производную. Эта вторая производная также дает нам информацию о нашей исходной функции f. Вторая производная дает нам математический способ сказать, как изогнут график функции. Вторая производная говорит нам, является ли исходная функция вогнутой вверх или вниз. 92}.[/latex] Читается вслух как «вторая производная от f».
Если [latex]f ‘ ‘(x)[/latex] положителен на интервале, график [latex]y = f (x)[/latex] будет вогнутым вверх по на этом интервале.
Мы можем сказать, что f увеличивается (или уменьшается) на с возрастающей скоростью.
Если [latex]f ‘ ‘(x)[/latex] отрицательно на интервале, график [latex]y = f (x)[/latex] будет выпуклым вверх на этом интервале.
Можно сказать, что f увеличивается (или уменьшается) с уменьшающейся скоростью.
Точки перегиба
Определение
Точка перегиба – это точка на графике функции, в которой вогнутость функции изменяется с вогнутой вверх на нижнюю или с вогнутой вниз на верхнюю.
Пример 1
Какие из отмеченных точек на графике ниже являются точками перегиба?
Рисунок 4.13 Подробное описание: Вогнутость изменяется в точках b и g. В точках a и h график вогнут вверх с обеих сторон. В точках c и f график вогнут вниз с обеих сторон. В точке e граф вогнут вниз с обеих сторон.
Вогнутость меняется в точках b и g. В точках a и h график вогнут с обеих сторон, поэтому вогнутость не меняется.
В точках c и f график вогнут вниз с обеих сторон. В точке e, хотя график там выглядит странно, график вогнут вниз с обеих сторон — вогнутость не меняется.
Точки перегиба возникают при изменении вогнутости. Поскольку мы знаем связь между вогнутостью функции и знаком ее второй производной, мы можем использовать это для нахождения точек перегиба.
Рабочее определение
Точка перегиба — это точка на графике, в которой вторая производная меняет знак.
Чтобы вторая производная менял знак, она должна быть либо равна нулю, либо быть неопределенной. Таким образом, чтобы найти точки перегиба функции, нам нужно только проверить точки, в которых [latex]f ”(x)[/latex] равен 0 или не определен.
Обратите внимание, что недостаточно, чтобы вторая производная была равна нулю или была неопределенной. Нам еще нужно проверить, что знак [latex]f’’[/latex] меняет знак. Функции в следующем примере иллюстрируют, что может произойти. 9{–\frac53}[/латекс] . [latex]h”[/latex] не определен, если [latex]x = 0,[/latex], но [latex]h ”(\;отрицательное \;число) > 0[/latex] и [latex] ч ”(\;положительное \;число)
Пример 3
Нарисуйте график функции с [латекс]f(2) = 3, f ‘(2) = 1,[/латекс] и точкой перегиба в [латекс](2,3) .