Вращающий момент | это… Что такое Вращающий момент?
Момент силы (синонимы: крутящий момент; вращательный момент; вращающий момент) — физическая величина, характеризующая вращательное действие силы на твёрдое тело.
Момент силы приложенный к гаечному ключу
Отношение между векторами силы, момента силы и импульса во вращающейся системе
Содержание
|
Момент силы
В физике момент силы можно понимать как «вращающая сила».
где — сила, действующая на частицу, а — радиус-вектор частицы!
Предыстория
Строго говоря, вектор, обозначающий момент сил, введен искуственно, так как является удобным при вычислении работы по криволинейному участку относительно неподвижной оси и удобен при вычислении общего момента сил всей системы, так как может суммироваться.
Для того, чтобы понять откуда появилось обозначение момента сил и как до него додумались, стоит рассмотреть действие силы на рычаг, относительно неподвижной оси.
Работа, совершаемая при действии силы на рычаг , совершающего вращательное движение вокруг неподвижной оси, может быть рассчитана исходя из следующих соображений.
Пусть под действием этой силы конец рычага смещается на бесконечно малый отрезок , которому соответствует бесконечно малый угол . Обозначим через вектор, который направлен вдоль бесконечно малого отрезка и равен ему по модулю. Угол между вектором силы и вектором равен , а угол и вектором силы .
Следовательно, бесконечно малая работа , совершаемая силой на бесконечно малом участке равна скалярному произведению вектора и вектора силы, то есть .
Теперь попытаемся выразить модуль вектора через радиус вектор , а проекцию вектора силы на вектор , через угол .
В первом случае, используя теорему Пифагора, можно записать следующее равенство , где в случае малого угла справедливо и следовательно
Для проекции вектора силы на вектор , видно, что угол , так как для бесконечно малого перемещения рычага , можно считать, что траектория перемещения перпендикулярна рычагу , а так как , получаем, что .
Теперь запишем бесконечно малую работу через новые равенства или .
Теперь видно, что произведение есть ни что иное как модуль векторного произведения векторов и , то есть , которое и было принято обозначить за момент силы или модуля вектора момента силы .
И теперь полная работа записывается очень просто или .
Единицы
Момент силы имеет размерность сила на расстояние, и в системе СИ единицей момента силы является «ньютон-метр». Джоуль, единица СИ для энергии и работы, тоже определяется как 1Н*м, но эта единица не используется для момента силы. Когда энергия представляется как результат «сила на расстояние», энергия скалярная, тогда как момент силы — это «сила, векторно умноженная на расстояние» и таким образом она (псевдо) векторная величина. Конечно, совпадение размерности этих величин не простое совпадение; момент силы 1Н*м, приложенный через целый оборот, требует энергии как раз 2*π джоулей. Математически
- ,
где Е — энергия, τ — вращающий момент, θ — угол в радианах.
Специальные случаи
Формула момента рычага
Момент рычага
Очень интересен особый случай, представляемый как определение момента силы в поле:
- τ = МОМЕНТ РЫЧАГА * СИЛУ
Проблема такого представления в том, что оно не дает направления момента силы, а только его величину, поэтому трудно рассматривать в.м. в 3-хмерном случае. Если сила перпендикулярна вектору r, момент рычага будет равен расстоянию до центра и момент силы будет максимален
- = РАССТОЯНИЕ ДО ЦЕНТРА * СИЛУ
Сила под углом
Если сила F направлена под углом θ к рычагу r, то τ = r*F*sinθ, где θ это угол между рычагом и приложенной силой
Статическое равновесие
Для того чтобы объект находился в равновесии, должна равняться нулю не только сумма всех сил, но и сумма всех моментов силы вокруг любой точки. Для 2-хмерного случая с горизонтальными и вертикальными силами: сумма сил в двух измерениях ΣH=0, ΣV=0 и момент силы в третьем измерении Στ=0.
Момент силы как функция от времени
Момент силы — производная по времени от момент импульса,
- ,
где L — момент импульса. Момент импульса твердого тела может быть описан через произведение момента инерции и угловой скорости.
- ,
То есть если I постоянная, то
- ,
где α — угловое ускорение, измеряемое в радианах в секунду за секунду.
Отношение между моментом силы и мощностью
Если сила совершает действие на каком-либо расстоянии, то она совершает механическую работу. Также если момент силы совершает действие через угловое расстояние, он совершает работу.
- = МОМЕНТ СИЛЫ * УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ
В системе СИ мощность измеряется в Ваттах, момент силы в ньютон-метрах, а УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ в радианах в секунду.
Отношение между моментом силы и работой
- = МОМЕНТ СИЛЫ * УГОЛ
В системе СИ работа измеряется в Джоулях, момент силы в Ньютон * метр, а УГОЛ в в радианах.
Обычно известна угловая скорость в радианах в секунду и время действия МОМЕНТА .
Тогда совершенная МОМЕНТОМ силы РАБОТА рассчитывается как:
- = МОМЕНТ СИЛЫ * *
Момент силы относительно точки
Если имеется материальная точка , к которой приложена сила , то момент силы относительно точки равен векторному произведению радиус-вектора , соединяющий точки O и OF, на вектор силы :
.
Момент силы относительно оси
Единицы измерения
Момент силы измеряется в ньютон-метрах. 1 Н•м — момент силы, который производит сила 1 Н на рычаг длиной 1 м.
Измерение момента
На сегодняшний день измерение момента силы осуществляется с помощью тензометрических, оптических и индуктивных датчиков нагрузки. В России при решении задач измерения момента в основном используется оборудование зарубежных производителей (HBM (Германия), Kyowa (Япония), Dacell (Корея) и ряда других).
См. также
- Момент инерции
- Момент импульса
- Теорема Вариньона
Формула момента силы в физике
Содержание:
- Определение и формула момента силы
- Момент силы относительно оси
- Главный момент сил
- Основной закон динамики вращательного движения
- Единицы измерения момента силы
- Примеры решения задач
Определение и формула момента силы
Определение
Векторное произведение радиус – вектора ($\bar{r}$), который проведен из точки О (рис.1) в точку к которой приложена сила $\bar{F}$ на сам вектор $\bar{F}$ называют моментом силы ($\bar{M}$) по отношению к точке O:
$$\bar{M}=\bar{r} \times \bar{F}(1)$$
На рис.1 точка О и вектор силы (
$\bar{F}$)и радиус – вектор
$\bar{r}$ находятся в плоскости рисунка. В таком случае вектор момента силы
($\bar{M}$) перпендикулярен плоскости рисунка и имеет направление от нас.
Величина вектора $\bar{M}$ равна:
$$M=r F \sin \alpha=l F$$
где $\alpha$ – угол между направлениями радиус – вектора и вектора силы, $l=r \sin \alpha$– плечо силы относительно точки О.
Момент силы относительно оси
Моментом силы по отношению к оси является физическая величина, равная проекции вектора момента силы относительно точки избранной оси на данную ось. При этом выбор точки значения не имеет.
Главный момент сил
Главным моментом совокупности сил относительно точки О называется вектор $\bar{M}$ (момент силы), который равен сумме моментов всех сил, действующих в системе по отношению к той же точке:
$$\bar{M}=\sum_{i=1}^{k} \bar{M}_{i}=\sum_{i=1}^{k} \bar{r}_{i} \times \bar{F}_{i}(3)$$
При этом точку О называют центром приведения системы сил.
{\prime}}$ – радиус-вектор, который проведен из точки О к точке О’,
$\bar{F}$ – главный вектор системы сил.
В общем случае результат действия на твердое тело произвольной системы сил такое же, как действие на тело главного момента $\bar{M}$ системы сил и главного вектора системы сил, который приложен в центре приведения (точка О).
Основной закон динамики вращательного движения
$$\bar{M}=\frac{d \bar{L}}{d t}$$
где $\bar{L}$ – момент импульса тела находящегося во вращении.
Для твердого тела этот закон можно представить как:
$$\bar{M}=I \bar{\varepsilon}(6)$$
где I – момент инерции тела, $\bar{\varepsilon}$ – угловое ускорение.
Единицы измерения момента силы
Основной единицей измерения момента силы в системе СИ является: [M]=Н•м
В СГС: [M]=дин•см
Примеры решения задач
Пример
Задание. На рис.1 показано тело, которое имеет ось вращения OO’.
{\circ}$), следовательно, векторное произведение (1.1) нулю не равно. Значит, момент силы отличен от нуля.
Ответ. $\bar{M} \neq 0$
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание. Угловая скорость вращающегося твердого тела изменяется в соответствии с графиком, который представлен на рис.2. В какой из указанных на графике точек момент сил, приложенных к телу равен нулю?
Решение. Момент сил, приложенных к вращающемуся твердому телу можно найти при помощи основного закона вращательного движения:
$$M=I \varepsilon(2.1)$$
где $\varepsilon$ угловое ускорение вращения тела.его в свою очередь можно выразить через угловую скорость вращения тела как:
$$\varepsilon=\frac{d \omega}{d t}(2.
2)$$
Перепишем (2.1), используя (2.2), имеем:
$$M=I \frac{d \omega}{d t}(2.3)$$
Так как $I \neq 0$ (момент инерции не равен нулю), то для выполнения условия M=0 должна быть равна нулю производная от угловой скорости по времени. Производная равна нулю в экстремуме. На рис. экстремумом является точка 3.
Ответ. M=0 в точке 3.
Читать дальше: Формула мощности.
МАГНИТНЫЙ МОМЕНТ • Большая российская энциклопедия
Авторы: В. С. Булыгин
МАГНИ́ТНЫЙ МОМЕ́НТ, физич. величина, характеризующая магнитные свойства замкнутого контура, обтекаемого электрич. током, или другого, эквивалентного ему физич. объекта (напр., атома или др. системы движущихся зарядов). Для замкнутого тока силой $I$ М. м. определяется выражением: $$\boldsymbol p_М=I\int_σ \boldsymbol ndσ,$$где $σ$ – геометрич. поверхность произвольной формы, ограниченная контуром с током; $dσ$ – малый элемент этой поверхности, который можно принять за часть плоскости; $\boldsymbol n$ – единичный вектор, направленный перпендикулярно к $dσ$ в сторону, согласующуюся с направлением протекания тока по правилу винта.
2 α}.$$
На объект с М. м. $\boldsymbol p_м$, находящийся в магнитном поле с магнитной индукцией $\boldsymbol B$, действует механич. вращающий момент $\boldsymbol N= [\boldsymbol p_м \boldsymbol B]$, стремящийся повернуть объект так, чтобы его М. м. оказался направленным вдоль вектора $\boldsymbol B$. Величина вращающего момента $\boldsymbol N=\boldsymbol p_м \boldsymbol B \sin α$, где $α$ – угол между векторами $\boldsymbol p_м$ и $\boldsymbol B$.
Источниками магнитного поля в веществе являются движущиеся заряженные частицы (электроны атомов, коллективизированные электроны проводимости, движущиеся нуклоны ядер и т. п.). Количественной характеристикой магнетизма частиц служит создаваемый ими М. м. $\bf μ$. Он складывается из орбитального магнитного момента $\bf{μ}\rm_L=(е/2mс)\boldsymbol L$ и спинового магнитного момента $\bf{μ}\rm_S = (е/mс)\boldsymbol S$ (здесь $e$ – элементарный электрич.
2/\hbar c$ – постоянная тонкой структуры, $\hbar$ – постоянная Планка). Такая добавка, называемая аномальным магнитным моментом, возникает вследствие взаимодействия электрона с фотонами и описывается в рамках квантовой электродинамики. Аномальными М. м. обладают и др. элементарные частицы; особенно велики они для адронов, которые, согласно совр. представлениям, имеют внутр. структуру. Так, аномальный М. м. протона в 2,79 раза больше нормального – ядерного магнетона $μ_я = e\hbar /2m_рc$ ($m_р$ – масса протона), М. м. нейтрона равен $1,91μ_я$, т. е. существенно отличен от нуля, хотя нейтрон не обладает электрич. зарядом. Такие большие аномальные М. м. адронов обусловлены внутр. движением входящих в их состав заряженных кварков.
М. м. атомных ядер складываются из М. м. протонов и нейтронов, образующих эти ядра. М. м. ядер в тысячи раз меньше М.
м. электронов в атомах, поэтому М. м. атомов и молекул определяются в осн. спиновыми и орбитальными М. м. электронов. Квантовая механика в полном соответствии с экспериментом предсказывает, что величины М. м. и значения проекций М. м. на внешнее магнитное поле у отд. элементарных частиц и у электронов в атомах могут принимать (в отличие от классич. макроскопических М. м.) только вполне определённые дискретные значения.
М. м. атомов определяются с помощью правил сложения М. м. электронов. Существует два способа сложения. В первом способе – для каждого электрона по правилам векторного сложения суммируются $\bf μ\rm _L$ и $\bf μ\rm _S$, а затем суммарные моменты отд. электронов складываются в полный момент атома $\bf μ\rm _j$ ($j$ – главное квантовое число атома). Во втором – отдельно суммируются $\bf μ\rm _L$ всех электронов и $\bf μ\rm _S$ всех электронов, затем полученные результирующие моменты суммируются в полный момент атома $\bf μ\rm _j$.
В зависимости от величины магнитного взаимодействия между $\bf μ\rm _L$ и $\bf μ\rm _S$ (спин-орбитального взаимодействия) применяется тот или иной способ сложения.
Для характеристики магнитного состояния макроскопич. тел вычисляется ср. значение результирующего М. м. всех образующих тело микрочастиц. М. м. единицы объёма тела называется намагниченностью. Для макроскопич. тел, особенно для тел с магнитной структурой атомной (ферро-, ферри- и антиферромагнетиков), вводят понятие ср. атомного М. м. как ср. значения М. м., приходящегося на 1 атом (ион). Обычно ср. атомные М. м. отличаются от М. м. изолированных атомов; их значения в $μ_Б$ оказываются дробными (напр., у Fe, Co и Ni они равны соответственно $2,218μ_Б$, $1,715μ_Б$ и $0,604μ_Б$).
11.3: Torque – Physics LibreTexts
- Последнее обновление
- Сохранить как PDF
- Идентификатор страницы
- 19438
- Howard Martin пересмотрено Аланом Нг
- University of Wisconsin-Madison
Крутящий момент, связанный с силой, представляет собой математический инструмент для описания того, насколько конкретная сила заставит корпускулярный (или твердый) объект вращаться вокруг заданной точки или заданной оси вращения.
Крутящий момент определяется только относительно оси или точки вращения . Никогда не имеет смысла говорить «крутящий момент …», и всегда следует говорить «крутящий момент относительно этой оси/точки вращения …». Угловые величины (крутящий момент, угловая скорость, угловое смещение и т. д.) определяются только относительно конкретной оси или точки вращения.
Математически вектор крутящего момента от силы \(\vec F\), приложенной в положении \(\vec r\) относительно оси или точки вращения, определяется как: \[\begin{aligned} \vec \tau = \vec r \times \vec F\end{aligned}\] Обратите внимание, что крутящий момент от данной силы увеличивается, если эта сила находится дальше от оси вращения (если \(\vec r\) имеет большая величина).
Рассмотрим твердый диск радиуса \(r\), изображенный на рисунке \(\PageIndex{1}\). Диск может вращаться вокруг оси, проходящей через центр диска и перпендикулярной плоскости диска. На край диска действует сила \(\vec F\), как показано на рисунке.
Интуитивно понятно, что эта сила заставит диск вращаться против часовой стрелки. Крутящий момент от силы \(\vec F\) вокруг оси при вращении определяется выражением: \[\begin{aligned} \vec \tau = \vec r \times \vec F\end{aligned}\], где вектор \(\vec r\) перпендикулярен оси вращения и идет от оси вращения к точке приложения \(\vec F\). Направление вектора крутящего момента выходит за пределы страницы (правило правой руки, см. рисунок \(\PageIndex{1}\)), и, таким образом, приводит к угловому ускорению, которое также выходит за пределы страницы, что соответствует счетчику -направление по часовой стрелке, как и предполагалось.
Мы можем разбить силу на составляющие, параллельные (\(F_\parallel\)) и перпендикулярные (\(F_\perp\)) вектору \(\vec r\), как показано на левой панели Рисунок \(\PageIndex{1}\). Только та составляющая силы, которая перпендикулярна \(\vec r\), будет способствовать вращению диска. Представьте, что сила исходит от нити, которую вы прикрепили к периметру диска; если вы потянете за нить так, что сила будет параллельна \(\vec r\), диск не будет вращаться. Величина крутящего момента определяется как:
\[\tau = rF\sin\phi\]
, где \(\phi\) – это угол между \(\vec r\) и \(\vec F\), как показано на рисунке \(\PageIndex{1}\). \(F \sin \phi\) – это именно та составляющая \(\vec F\), которая перпендикулярна \(\vec r\), поэтому мы могли бы также записать величину крутящего момента как: \[\begin{ выровнено} \tau =rF_\perp\end{выровнено}\], что подчеркивает, что только составляющая силы, перпендикулярная \(\vec r\), способствует крутящему моменту. Вместо объединения \(\sin\phi\) с \(F\), чтобы получить \(F_\perp\), компонент \(\vec F\), перпендикулярный \(\vec r\), мы можем вместо этого объедините \(\sin\phi\) с \(r\) в Уравнение 11.
3.1 для получения \(r_\perp\), компонента \(\vec r\), который перпендикулярен \(\vec F\). Это показано на правой панели рисунка \(\PageIndex{1}\). Таким образом, величина крутящего момента также определяется как: \[\begin{aligned} \tau =r_\perp F\end{aligned}\] Величина \(r_\perp\) называется силы относительно определенной оси вращения.
мысли эммы
Вспоминая, как увеличить крутящий момент вокруг оси с помощью карандаша
Мы уже знаем, что чем больше сила, которую вы прикладываете, тем сильнее будет вращаться объект. Вот простой способ быстро напомнить себе о двух других факторах, влияющих на то, будет ли вращаться объект:
Крутящий момент вокруг оси увеличивается, если сила прикладывается дальше от оси вращения.
Сначала сожмите центр карандаша. Попробуйте заставить карандаш вращаться, нажимая прямо рядом с тем местом, где вы зажимаете. Попробуйте снова заставить карандаш вращаться, нажав на ластик. Вы должны заметить, что гораздо легче заставить карандаш вращаться, нажимая на ластик, так как он находится дальше от оси вращения (щипка).
Крутящий момент вокруг оси максимален, если сила приложена перпендикулярно объекту.
Затем попробуйте нажать на верхнюю часть ластика карандаша параллельно карандашу. Карандаш не будет вращаться. Теперь попробуйте нажать на ластик, но перпендикулярно карандашу. При этом карандаш будет вращаться.
Если у вас возникнут проблемы с запоминанием факторов, влияющих на максимизацию крутящего момента вокруг оси, просто возьмите пенал и выполните это быстрое упражнение.
Упражнение \(\PageIndex{1}\)
Почему ручка двери находится на стороне двери, противоположной петлям?
- Потому что он увеличивает плечо рычага силы, используемой для поворота двери вокруг ручки.
- Потому что это увеличивает перпендикулярную составляющую силы, используемой для вращения двери вокруг петель.
- Потому что это увеличивает плечо рычага силы, используемой для вращения двери вокруг петель.
- Потому что было бы неудобно, если бы ручка находилась рядом с петлями.
- Ответить
Эта страница под названием 11.3: Torque распространяется в соответствии с лицензией CC BY-SA и была создана, изменена и/или курирована Говардом Мартином и пересмотрена Аланом Нг.
- Наверх
- Была ли эта статья полезной?
- Тип изделия
- Раздел или Страница
- Автор
- Райан Мартин и др.
- Лицензия
- CC BY-SA
- Показать оглавление
- нет
- Теги
- крутящий момент
10.
6 Крутящий момент – общая физика с использованием вычислений I10 Вращение с фиксированной осью
Цели обучения
К концу этого раздела вы сможете:
- Описывать, как величина крутящего момента зависит от величины плеча рычага и угла, под которым вектор силы образует плечо рычага
- Определите знак (положительный или отрицательный) крутящего момента с помощью правила правой руки
- Рассчитайте отдельные крутящие моменты относительно общей оси и просуммируйте их, чтобы найти чистый крутящий момент
Важной величиной для описания динамики вращающегося твердого тела является крутящий момент. Мы видим применение крутящего момента во многих отношениях в нашем мире. У всех нас есть интуитивное представление о крутящем моменте, например, когда мы используем большой гаечный ключ, чтобы открутить упрямый болт. Крутящий момент действует невидимым образом, например, когда мы нажимаем на педаль акселератора в автомобиле, заставляя двигатель передавать дополнительный крутящий момент на трансмиссию.
Или каждый раз, когда мы перемещаем свое тело из положения стоя, мы прикладываем крутящий момент к нашим конечностям. В этом разделе мы определяем крутящий момент и аргументируем уравнение для расчета крутящего момента для твердого тела с вращением с фиксированной осью.
Определение крутящего момента
До сих пор мы определили множество переменных, которые являются вращательными эквивалентами своих поступательных аналогов. Рассмотрим, каким должен быть аналог силы. Поскольку силы изменяют поступательное движение объектов, вращательный аналог должен быть связан с изменением вращательного движения объекта вокруг оси. Мы называем этот вращательный аналог крутящим моментом .
В повседневной жизни мы постоянно вращаем объекты вокруг оси, поэтому интуитивно мы уже многое знаем о крутящем моменте. Рассмотрим, например, как мы поворачиваем дверь, чтобы открыть ее. Во-первых, мы знаем, что дверь открывается медленно, если мы прислоняем ее слишком близко к петлям; более эффективно повернуть дверь, если мы нажмем далеко от петель.
Во-вторых, мы знаем, что толкать надо перпендикулярно плоскости двери; если мы нажмем параллельно плоскости двери, мы не сможем ее повернуть. В-третьих, чем больше сила, тем эффективнее она открывает дверь; чем сильнее вы нажимаете, тем быстрее открывается дверь. Первый пункт подразумевает, что чем дальше приложена сила от оси вращения, тем больше угловое ускорение; второй подразумевает, что эффективность зависит от угла приложения силы; третий подразумевает, что величина силы также должна быть частью уравнения. Обратите внимание, что при вращении в плоскости крутящий момент имеет два возможных направления. Крутящий момент либо по часовой стрелке, либо против часовой стрелки относительно выбранной точки поворота. На рисунке показано вращение против часовой стрелки. 9\циркуляр[/латекс].
Теперь рассмотрим, как определить крутящие моменты в общем трехмерном случае.
Крутящий момент
Когда сила [латекс]\mathbf{\overset{\to} {F}}[/латекс] приложена к точке P , положение которой равно [латекс]\mathbf{\overset{\ до }{r}}[/latex] по отношению к O (рисунок), крутящий момент [латекс]\mathbf{\overset{\to }{\tau}}[/latex] вокруг O составляет
[ латекс]\mathbf{\overset{\to }{\tau}}=\mathbf{\overset{\to}}{r}}\times \mathbf{\overset{\to}}{F}}.
[/latex]
{F}}[/latex] и его направление определяется по правилу правой руки.
Из определения перекрестного произведения крутящий момент [латекс]\mathbf{\overset{\to }{\tau}}[/latex] перпендикулярен плоскости, содержащей [латекс]\mathbf{\overset{\to} {r}}\,\text{and}\,\mathbf{\overset{\to}}{F}}[/latex] и имеет величину
[латекс]|\mathbf{\overset{\to }{\ тау}}|=|\mathbf{\overset{\to}}{r}}\times \mathbf{\overset{\to}}{F}}|=rF\text{sin}\,\theta,[/latex ]
где [латекс]\тета[/латекс] — угол между векторами [латекс]\mathbf{\overset{\to }{r}}[/латекс] и [латекс]\mathbf{\overset{\to {F}}[/латекс]. Единицей крутящего момента в СИ является ньютон, умноженный на метр, обычно записывается как [латекс]\текст{Н}\cdot \текст{м}[/латекс]. Величина [latex]{r}_{\perp }=r\text{sin}\,\theta[/latex] представляет собой расстояние по перпендикуляру от O до линии, определяемой вектором [latex]\mathbf{\ перетянут {\to} {F}}[/латекс] и называется плечом рычага .
Обратите внимание, что чем больше плечо рычага, тем больше величина крутящего момента. В пересчете на плечо рычага величина крутящего момента составляет
[латекс]|\mathbf{\overset{\to }{\tau}}|={r}_{\perp}F.[/latex]
Перекрестное произведение [латекс]\mathbf{\overset{ \to }{r}}\times \mathbf{\overset{\to }{F}}[/latex] также сообщает нам знак крутящего момента. На рисунке перекрестное произведение [латекс]\mathbf{\overset{\to }{r}}\times \mathbf{\overset{\to }{F}}[/latex] расположено вдоль положительной оси z , что условно является положительным крутящим моментом. Если [латекс]\mathbf{\overset{\to }{r}}\times \mathbf{\overset{\to }{F}}[/latex] расположен вдоль минус 9\circ[/latex], крутящий момент максимальный и диск вращается с максимальным угловым ускорением.
Любое количество крутящих моментов может быть рассчитано относительно данной оси. Отдельные крутящие моменты складываются, чтобы создать чистый крутящий момент вокруг оси. Когда соответствующий знак (положительный или отрицательный) присваивается величинам отдельных крутящих моментов относительно указанной оси, чистый крутящий момент вокруг оси представляет собой сумму отдельных крутящих моментов:
[латекс] {\ mathbf {\ overset {\ to }{\tau}}}_{\text{net}}=\sum _{i}|{\mathbf{\overset{\to}}{\tau}}}_{i}|.
[/latex]
Расчет чистого крутящего момента для твердых тел на неподвижной оси
В следующих примерах мы вычисляем крутящий момент как абстрактно, так и применительно к твердому телу.
Сначала мы представляем стратегию решения проблем.
Стратегия решения проблем: определение чистого крутящего момента
- Выберите систему координат с точкой вращения или осью вращения в качестве начала выбранной системы координат.
- Определите угол между плечом рычага [латекс]\mathbf{\overset{\to }{r}}[/латекс] и вектором силы.
- Возьмите векторное произведение [латекс]\mathbf{\overset{\to }{r}}\,\text{and}\,\mathbf{\overset{\to }{F}}[/latex], чтобы определить если крутящий момент положительный или отрицательный относительно точки вращения или оси.
- Оцените величину крутящего момента, используя [латекс]{r}_{\perp}F[/латекс].
- Присвойте величине соответствующий знак, положительный или отрицательный.
- Суммируйте крутящие моменты, чтобы найти чистый крутящий момент.
Пример
Расчет крутящего момента
На рисунке показаны четыре силы в конкретных местах и ориентациях по отношению к данному xy -система координат. Найдите крутящий момент, вызванный каждой силой относительно начала координат, а затем используйте полученные результаты, чтобы найти чистый крутящий момент вокруг начала координат.
Рисунок 10.34 Четыре силы, создающие крутящий момент.
Стратегия
Эта задача требует расчета крутящего момента. Все известные величины — силы с направлениями и плечами рычага — приведены на рисунке. Цель состоит в том, чтобы найти каждый отдельный крутящий момент и чистый крутящий момент путем суммирования отдельных крутящих моментов. Будьте осторожны, чтобы присвоить правильный знак каждому крутящему моменту, используя перекрестное произведение [латекс]\mathbf{\overset{\to }{r}}[/latex] и вектора силы [латекс]\mathbf{\overset{\ в {F}}[/latex]. 9\circ=10\,\text{N}\cdot \text{m}[/latex].
Перекрестное произведение [латекс]\mathbf{\overset{\to }{r}}[/латекс] и [латекс]\mathbf{\overset{\to }{F}}[/латекс] не соответствует страница.
Следовательно, чистый крутящий момент равен [латекс]{\tau}_{\text{net}}=\sum _{i}|{\tau}_{i}|=160-60+120+10=230\ ,\text{N}\cdot \text{m}\text{.}[/latex]
Значение
Обратите внимание, что каждая сила, действующая против часовой стрелки, имеет положительный крутящий момент, тогда как каждая сила, действующая по часовой стрелке направление имеет отрицательный крутящий момент. Крутящий момент больше, когда расстояние, сила или перпендикулярные компоненты больше.
Пример
Расчет крутящего момента на твердом телеНа рисунке показано несколько сил, действующих в разных местах и под разными углами на маховик. У нас есть [латекс]|{\mathbf{\overset{\to}}{F}}}_{1}|=20\,\text{N},[/latex] [латекс]|{\mathbf{\overset {\to }{F}}}_{2}|=30\,\text{N}[/латекс], [латекс]|{\mathbf{\overset{\to}}{F}}}_{3 }|=30\,\text{N}[/latex] и [latex]r=0,5\,\text{m}[/latex].
Найдите чистый крутящий момент на маховике относительно оси, проходящей через центр.
Когда мы оцениваем крутящий момент из-за [латекса] {\ mathbf {\ overset {\ to } {F}}} _ {3} [/ латекса], мы видим, что угол, который он образует с [латексом] \ mathbf {\ overset {\ to} {r}}[/latex] равно нулю, поэтому [latex]\mathbf{\overset{\to }{r}}\times {\mathbf{\overset{\to}}{F}}}_{3}=0 .[/latex] Следовательно, [latex]{\mathbf{\overset{\to}}{F}}}_{3}[/latex] не создает крутящего момента на маховике.
Оцениваем сумму моментов:
[латекс] {\ tau} _ {\ text {net}} = \ sum _ {i} | {\ tau } _ {i} | = 5-15 = -10 \, \ text {N} \ cdot \ text{m}.[/latex]
Значение
Ось вращения находится в центре масс маховика. Поскольку маховик находится на неподвижной оси, он не может свободно перемещаться. Если бы он находился на поверхности без трения и не был зафиксирован на месте, [латекс] {\ mathbf {\ overset {\ to} {F}}} _ {3} [/ латекс] вызвал бы перемещение маховика, а также [ латекс] {\ mathbf {\ overset {\ to} {F}}} _ {1} [/ латекс].
Его движение было бы комбинацией поступательного движения и вращения. 9{7}\text{N}\cdot \text{m}[/latex].
Резюме
- Величина крутящего момента относительно фиксированной оси рассчитывается путем нахождения плеча рычага в точке приложения силы и использования соотношения [латекс]|\mathbf{\overset{\to}{\tau} }|={r}_{\perp}F[/latex], где [latex]{r}_{\perp}[/latex] — расстояние по перпендикуляру от оси до линии, на которой лежит вектор силы.
- Знак крутящего момента находится по правилу правой руки. Если страница представляет собой плоскость, содержащую [латекс]\mathbf{\overset{\to }{r}}[/latex] и [латекс]\mathbf{\overset{\to }{F}}[/латекс], то [латекс]\mathbf{\overset{\to }{r}}\times \mathbf{\overset{\to }{F}}[/latex] находится за пределами страницы для положительных крутящих моментов и на странице для отрицательных крутящих моментов .
- Чистый крутящий момент можно найти путем суммирования отдельных крутящих моментов относительно данной оси.
Концептуальные вопросы
Какие три фактора влияют на крутящий момент, создаваемый силой относительно определенной точки поворота?
Показать решениевеличина силы, длина плеча рычага и угол плеча рычага и вектор силы
Приведите пример, в котором небольшая сила вызывает большой крутящий момент.
Приведите другой пример, в котором большая сила действует на малый крутящий момент.
При уменьшении массы гоночного велосипеда наибольшая выгода достигается за счет уменьшения массы шин и колесных дисков. Почему это позволяет гонщику достичь большего ускорения, чем такое же уменьшение массы рамы велосипеда?
Показать решениеМомент инерции колес уменьшен, поэтому для их ускорения требуется меньший крутящий момент.
Может ли одна сила создать нулевой крутящий момент?
Может ли набор сил иметь чистый крутящий момент, равный нулю, и результирующую силу, отличную от нуля?
Показать решениеда
Может ли набор сил иметь результирующую силу, равную нулю, и результирующий крутящий момент, отличный от нуля?
В выражении [латекс]\mathbf{\overset{\to }{r}}\times \mathbf{\overset{\to }{F}}[/latex] может [латекс]|\mathbf{\overset {\to }{r}}|[/latex] всегда меньше, чем плечо рычага? Может ли оно быть равно плечу рычага?
Показать решение[латекс]|\mathbf{\overset{\to }{r}}|[/латекс] может быть равно плечу рычага, но не меньше, чем плечо рычага
Проблемы
Два маховика незначительной массы и разных радиусов соединены вместе и вращаются вокруг общей оси (см.
ниже). Меньший маховик радиусом 30 см имеет шнур, на который действует тяговое усилие 50 Н. Какую тяговую силу нужно приложить к шнуру, соединяющему больший маховик радиусом 50 см, чтобы комбинация не вращалась?
[латекс]F=30\,\текст{N}[/латекс]
Болты с цилиндрической головкой на автомобиле затягивать с моментом 62,0 Н[латекс]\cdot \text{м}[/латекс]. Если механик использует ключ длиной 20 см, какую перпендикулярную силу он должен приложить к концу ключа, чтобы правильно затянуть болт?
(а) Открывая дверь, вы толкаете ее перпендикулярно с силой 55,0 Н на расстоянии 0,850 м от петель. Какой крутящий момент вы прикладываете к петлям? (b) Имеет ли значение, если вы нажмете на той же высоте, что и петли? Есть только одна пара петель.
Показать раствора. [латекс]0,85\,\текст{м}(55,0\,\текст{N})=46,75\,\текст{N}\cdot \текст{м}[/латекс]; б. Неважно, на какой высоте вы нажимаете.
При затяжке болта ключ нажимают перпендикулярно с усилием 165 Н на расстоянии 0,140 м от центра болта.
\circ[/латекс] к земле (см. следующий рисунок). Стержень расположен на высоте 6,0 м. Какую силу необходимо приложить перпендикулярно качелям на поднятом конце, чтобы качели едва начали вращаться? 9{3}\text{N}\cdot \text{m}\,[/latex] требуется, чтобы поднять разводной мост (см. следующий рисунок). Какое напряжение необходимо для создания этого крутящего момента? Было бы легче поднять разводной мост, если бы угол [латекс]\тета[/латекс] был больше или меньше?
Горизонтальная балка длиной 3 м и массой 2,0 кг имеет массу 1,0 кг и ширину 0,2 м на конце балки (см. следующий рисунок). Чему равен крутящий момент системы относительно опоры у стены?
Показать ответ[латекс]\сумма\тау =57.82\,\текст{N}\cdot \текст{м}[/латекс]
Какую силу нужно приложить к концу стержня вдоль оси x длиной 2,0 м, чтобы создать крутящий момент на стержне относительно начала координат [латекс]8,0\mathbf{\hat{k}}\, \text{N}\cdot \text{m}[/latex]?
Каков крутящий момент относительно источника силы [латекс](5,0\mathbf{\шляпа{i}}-2,0\mathbf{\шляпа{j}}+1,0\mathbf{\шляпа{k}})\ ,\text{N}[/latex], если применяется в точке, положение которой равно: [latex]\mathbf{\overset{\to }{r}}=(-2.
0\mathbf{\hat{i}} +4.0\mathbf{\шляпа{j}})\,\текст{м?}[/латекс]
Глоссарий
- Рычаг
- перпендикулярное расстояние от линии, на которой лежит вектор силы, до заданной оси
- крутящий момент
- перекрестное произведение силы и плеча рычага на заданную ось
Крутящий момент – AP Физика 1
Все ресурсы AP Physics 1
7 Диагностические тесты 170 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept
← Предыдущая 1 2 3 Следующая →
AP Physics 1 Справка » Ньютоновская механика » Круговое, вращательное и гармоническое движение » Круговое и вращательное движение » Момент затяжки
Болт, соединяющий основную и заднюю раму горного велосипеда, требует крутящего момента для затяжки.
Если вы можете прикладывать силу к ключу в любом заданном направлении, какова минимальная длина ключа, обеспечивающая требуемый крутящий момент?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Минимальная длина ключа предполагает, что максимальная сила приложена под углом . Поэтому мы можем использовать упрощенное выражение для крутящего момента:
Здесь это длина ключа.
Переставляя длину и подставляя наши значения, получаем:
Сообщить об ошибке
Однородный стержень длиной 50 см и массой 0,2 кг помещен на точку опоры на расстоянии 40 см от левого конца стержня. . На каком расстоянии от левого конца стержня нужно подвесить груз массой 0,6 кг, чтобы уравновесить стержень?
Possible Answers:
48cm
50cm
The rod cannot be balanced with this mass
42cm
45cm
Correct answer:
45cm
Объяснение:
Крутящие моменты против часовой стрелки и по часовой стрелке вокруг точки поворота должны быть равными, чтобы стержень был сбалансирован.
Принимая точку опоры за точку поворота, крутящий момент против часовой стрелки возникает из-за веса стержня, гравитационной силы, действующей вниз в центре стержня. Если мы используем точку опоры в качестве точки отсчета, то центр стержня находится на расстоянии 15 см от точки отсчета.
Установите равным крутящему моменту по часовой стрелке из-за дополнительной массы на расстоянии r справа от оси вращения.
.
Решение для r дает r = 0,05 м справа от оси, то есть 40 + 5 см от левого конца стержня.
Сообщить об ошибке
Груз массой 2 кг подвешен на веревке, которая наматывается на безфрикционный шкив, прикрепленный к потолку с массой 0,01 кг и радиусом 0,25 м. Другой конец веревки прикреплен к невесомой подвесной платформе, на которую можно поместить груз массой 0,5 кг. В то время как система изначально находится в равновесии, веревка позже перерезается над весом, а платформа впоследствии поднимается, потянув за веревку.
Каков крутящий момент на шкиве, когда система неподвижна?
Возможные ответы:
9,8N*M
19,6N*M
0N*M
10N*M
Правильный ответ:
1 0N*M 2 2 2 2 2 2 2 2 2 .
Пояснение:
Чистый крутящий момент на шкиве равен нулю. Помните, что если предположить, что сила действует перпендикулярно радиусу. Поскольку в этой задаче шкив симметричен (это означает, что r одинаково) и натяжение всей веревки одинаково (это означает, что F одинаково), мы знаем, что крутящий момент против часовой стрелки компенсирует крутящий момент по часовой стрелке, таким образом, сеть крутящий момент равен нулю.
На изображении ниже T 1 (из-за платформы с 4 грузами по 0,5 кг) = T 2 (масса 2 кг).
Сообщить об ошибке
Два ученика балансируют на 10-метровых качелях. Качели сконструированы таким образом, что каждая сторона качелей имеет длину 5 м. Студент слева весит 60 кг и стоит в трех метрах от центра. Студент справа весит 45 кг. Качели параллельны земле. Предположим, что доска, на которой качаются качели, не имеет массы.
На каком расстоянии от центра должен находиться ученик справа, если он хочет, чтобы качели оставались параллельными земле?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Крутящий момент определяется уравнением .
Поскольку оба студента будут прилагать направленную вниз силу, перпендикулярную длине качелей, . В нашем случае сила — это сила тяжести, указанная ниже, и расстояние от центра качелей.
Поскольку крутящий момент должен быть равен нулю, чтобы качели оставались параллельными (не двигались), более легкий ученик справа должен сделать свой крутящий момент справа равным крутящему моменту ученика слева. Мы можем определить требуемое расстояние, установив их крутящие моменты равными друг другу.
Сообщить об ошибке
Два ученика балансируют на 10-метровых качелях. Качели сконструированы таким образом, что каждая сторона качелей имеет длину 5 м. Студент слева весит 60 кг и стоит в трех метрах от центра. Студент справа весит 45 кг. Качели параллельны земле. Предположим, что доска, на которой качаются качели, не имеет массы.
Представьте, что два студента сидят на качелях так, что крутящий момент равен . Какое из следующих изменений изменит крутящий момент качелей?
Возможные ответы:
Другой ученик стоит точно в центре качелей.
Еще два ученика садятся на качели, каждый весом 45 кг. Они оба сидят на противоположных концах качелей, в пяти метрах от центра.
Оба ученика перемещаются к центру на один метр.
Более тяжелый ученик продвинулся вперед на 1 м, а более легкий – на 1,33 м.
Правильный ответ:
Оба ученика перемещаются к центру на один метр.
Объяснение:
Крутящий момент в данном случае зависит как от силы, прилагаемой учениками, так и от их расстояния от точки вращения. В результате оба ученика, продвинувшись вперед на один метр, вызовут ненулевой крутящий момент на качелях. Это связано с тем, что соотношение силы и расстояния более тяжелого ученика приведет к меньшему крутящему моменту на его стороне, чем у более легкого ученика.
Сообщить об ошибке
Трехметровая балка незначительного веса находится в равновесии с точкой опоры, расположенной на расстоянии 1 м от ее левого конца.
Если к его правому концу приложить силу 50 Н, то какую силу нужно будет приложить к левому концу?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Пояснение:
Это пример вращательного равновесия с участием крутящего момента. Формула для крутящего момента: , где — угол, который вектор силы составляет с объектом, находящимся в равновесии, и — расстояние от точки опоры до точки вектора силы. Для достижения равновесия наши крутящие моменты должны быть равны.
Так как силы приложены перпендикулярно балке, становится 1. Расстояние от точки опоры до левого конца равно 1 м, а расстояние от правого конца равно 2 м.
Так как сила в 50 Н в два раза дальше от точки опоры, чем сила, которая должна быть приложена к левой стороне, она должна быть вдвое меньше, чем сила слева. Сила слева может быть равна 100 Н.
Сообщить об ошибке
Одна сторона качелей несет груз в четырех метрах от точки опоры и груз в двух метрах от точки опоры. Чтобы уравновесить качели, какую массу нужно поместить в девяти метрах от точки опоры на стороне, противоположной первым двум массам?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Пояснение:
Чтобы качели были сбалансированы, система должна находиться в равновесии вращения. Чтобы это произошло, крутящий момент должен быть одинаковым с обеих сторон.
Общий крутящий момент должен быть одинаковым с обеих сторон, чтобы чистый крутящий момент был равен нулю.
Подставьте формулу для крутящего момента в это уравнение.
Теперь мы можем использовать данные значения для определения недостающей массы.
Ускорение силы тяжести исключается из каждого члена.
Сообщить об ошибке
Две массы висят под безмассовой измерительной рейкой. Масса 1 расположена на отметке 10 см при весе 15 кг, а масса 2 расположена на отметке 60 см при весе 30 кг. В какой точке между двумя массами должна быть прикреплена нить, чтобы уравновесить систему?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Пояснение:
Эта задача касается крутящего момента и равновесия. Отметив, что струна находится между двумя массами, мы можем использовать уравнение крутящего момента . Мы можем использовать уравнение, чтобы найти крутящий момент. Поскольку сила перпендикулярна расстоянию, мы можем использовать уравнение (синус 90 90 715 o 90 716 равен 1). Сила, присутствующая в этой ситуации, — это гравитация, поэтому F=mg, и, используя переменную x в качестве позиции для строки, мы можем найти r.
x=43, таким образом, нить находится на отметке 43см.
Сообщить об ошибке
Аттракцион в музее науки помогает учащимся узнать о силе крутящего момента. Есть длинная металлическая балка с одной точкой поворота. На одном конце перекладины висит полноценный седан, а на другом конце веревка, за которую студенты могут тянуть вниз, поднимая автомобиль над землей.
Балка имеет длину 40 метров, а точка поворота находится на расстоянии 5 метров от одного конца. На коротком конце балки висит автомобиль массой 500 кг. Пренебрегая массой балки, какова минимальная масса студента, который может повиснуть на веревке и начать поднимать автомобиль с земли?
Возможные ответы:
Подробнее, чтобы ответить
Правильный ответ:
9
.
Правильный ответ:
9
2 :
9
2 :
9
:
9
:
9
. Объяснение:
Мы пытаемся найти, какую силу нужно приложить к веревке, чтобы получить нулевой крутящий момент на балке.
Крутящий момент, прикладываемый автомобилем:
Мы можем использовать это, чтобы найти массу студента, который будет создавать такой же крутящий момент, пока он висит на веревке:
Сообщить об ошибке
Слева от центра качелей находится груз. На каком расстоянии от центра с правой стороны качелей должен сидеть Боб, чтобы качели были сбалансированы?
Масса Боба
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Крутящий момент определяется как .