Как ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ: Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

описаниС, свойства, Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅:

  • Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ β€” описаниС
  • Бвойства Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°
  • Π—Π½Π°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π°Ρ… возрастания
  • Π—Π½Π°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π°Ρ… убывания
  • ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΈ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ коэффициСнт ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ
  • Π’ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… производная Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ
  • ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

  • Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ β€” описаниС
  • Бвойства Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°
  • Π—Π½Π°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π°Ρ… возрастания
  • Π—Π½Π°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π°Ρ… убывания
  • ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΈ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ коэффициСнт ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ
  • Π’ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… производная Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ
  • ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ β€” описаниС

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ β€” это ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ измСнСния Ρƒ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ Ρ…. ΠŸΡ€ΠΈ этом ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΈ Ρ‚Π° ΠΆΠ΅ функция ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π² Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ…. ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ производная ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ: \(f'(x)\).

Π—Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΡ‚ скорости измСнСния y Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ прямо ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹. Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ большС, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ мСньшС нуля. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ для нахоТдСния Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ максимума ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΎΠ² ΠΈΡ… возрастания ΠΈ убывания.Β 

ΠŸΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΠΈ вычислСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈ приравнивания Π΅Ρ‘ ΠΊ Π½ΡƒΠ»ΡŽ, Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Ρ€Π°Π·Π±ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΎΠ²ΡƒΡŽ ось Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Ρ‹. Π—Π½Π°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡ‚ΡŒΡΡ Π½Π° ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ ΠΈΠ· Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»ΠΎΠ², Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΠΈΡ‚ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ Π² дальнСйшСм ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ ΠΎ возрастании ΠΈΠ»ΠΈ ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π½ΠΈΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

ΠžΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΆΠ½ΠΎ! Если ΠΏΡ€Π΅ΠΏΠΎΠ΄Π°Π²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΎΠ±Π½Π°Ρ€ΡƒΠΆΠΈΡ‚ ΠΏΠ»Π°Π³ΠΈΠ°Ρ‚ Π² Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π΅, Π½Π΅ ΠΈΠ·Π±Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΡ€ΡƒΠΏΠ½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌ (Π²ΠΏΠ»ΠΎΡ‚ΡŒ Π΄ΠΎ отчислСния). Если Π½Π΅Ρ‚ возмоТности Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ самому, Π·Π°ΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‚ΡƒΡ‚.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ \(f(x)\) Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ \(x_0\) эквивалСнтна тангСнсу ΡƒΠ³Π»Π° Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² \(x_0\).

\(f'(x_0)\;=\;tg\alpha\)

Бвойства Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°

  1. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π°Ρ… возрастания Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Π² случаС Ссли производная Π² ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Π½Π΅ΠΊΠΎΠ΅Π³ΠΎ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π° ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ возрастаСт Π² ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅.
  2. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π°Ρ… убывания Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Π² случаС Ссли производная Π² ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Π½Π΅ΠΊΠΎΠ΅Π³ΠΎ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π° ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°Π΅Ρ‚ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π² ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅.
  3. Π’ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Ρ… производная Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π½ΡΡ‚ΡŒΡΡ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΌΡƒ коэффициСнту ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅.
  4. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ равняСтся Π½ΡƒΠ»ΡŽ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… максимума ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π² Ρ‚Π΅Ρ… ΠΆΠ΅ случаях ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ оси \(ОΠ₯\).

Π—Π½Π°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π°Ρ… возрастания

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ, какая функция называСтся Π²ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ.

\(y = f(x)\) Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π²ΠΎΠ·Ρ€Π°ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ \(X\), Ссли для Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… \(x_1\;\in\;X\) ΠΈ \(x_2\;\in\;X\), Π³Π΄Π΅ \(x_2\;>\;x_1\), справСдливо нСравСнство \(f(x_2)\;\geq\;f(x_1)\). Β 

Π’ Ρ‚Π΅Ρ… случаях, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ нСравСнство Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ строгого, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π²ΠΈΠ΄ \(f(x_1) < f(x_2)\), функция \(y = f(x)\) Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ

строго Π²ΠΎΠ·Ρ€Π°ΡΡ‚Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ \((a, b)\).

На ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π°Ρ… возрастания производная Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π·Π½Π°ΠΊ. Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈ подстановкС значСния ΠΈΠ· ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π° Π² ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ²ΡˆΠ΅Π΅ΡΡ число Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ.

Π’ Ρ‚Π΅Ρ… случаях, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° производная Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ \(y = f(x)\) ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π° для любого x ΠΈΠ· ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π° \(X\), функция возрастаСт Π½Π° \(X\).

Π—Π½Π°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π°Ρ… убывания

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ, какая функция называСтся ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ.

\(y = f(x)\) Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ \(X\), Ссли для Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… \(x_1\;\in\;X\) ΠΈ \(x_2\;\in\;X\), Π³Π΄Π΅ \(x_2\;>\;x_1\) справСдливо нСравСнство \(f(x_2)\;\leq\;f(x_1).\)Β 

Π’ Ρ‚Π΅Ρ… случаях, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ нСравСнство Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ строгого, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄ \(f(x_1) < f(x_2)\), функция \(y = f(x)\) Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ строго ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ \((a, b)\).

На ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π°Ρ… убывания производная Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π·Π½Π°ΠΊ. Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈ подстановкС значСния ΠΈΠ· ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π° Π² ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ²ΡˆΠ΅Π΅ΡΡ число Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ.

Π’ Ρ‚Π΅Ρ… случаях, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° производная Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ \(y = f(x)\) ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π° для любого x ΠΈΠ· ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π° \(X\), функция ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π½Π° \(X\).

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΈ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ коэффициСнт ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ

ΠšΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°ΡΒ β€”Β ΠΏΡ€ΡΠΌΠ°Ρ, которая ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π½Π° ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ участкС Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡ‚Π²Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΎΠ±Ρ‰ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ с Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠΌ.

Π’ случаС, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΡ€ΠΈ \(x_1\;\rightarrow\;x_0\)Β  имССтся ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ сСкущСй Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ \(y = f(x)\), ΠΎΠ½ΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π½ΠΎΡΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ \(y = f(x)\) Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ \(A\;=\;((x_0;\;f(x_0))\). А Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ касания \(x_0\) Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ эквивалСнтно ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΌΡƒ коэффициСнту ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ.

Π£Π³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ коэффициСнт ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉΒ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽΒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉΒ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ касания \(x_0\). И Π² соотвСтствии с Ρ‚Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°ΡΒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π° прямой \(y = -x\), Π΅Π΅Β ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ коэффициСнт равСн -1.

ГСомСтричСский смысл ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ состоит Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ производная Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ \(x_0\)Β Ρ€Π°Π²Π½Π° ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΌΡƒ коэффициСнту ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈΒ \(y = f(x)\) Π² этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅.

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° уравнСния ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ \(y = f(x)\) Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ \(x_0\) выглядит ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ:

\(y\;=\;f(x_0)\;+\;f'(x_0)(x\;-\;x_0)\)

Рассмотрим рисунок Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ \(y = f(x)\). ΠžΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΈΠ· Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ \(A\) ΠΈ \(B\) Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ справСдливо ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ разностноС ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅:

\(\frac{f(x_0+\triangle x)}{f(x_0)\triangle x}=tg\alpha\)

Π—Π΄Π΅ΡΡŒ \(\alpha\) β€” ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямой ΠΈ осью \(ОΠ₯\), Π° ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» разностного ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ эквивалСнтСн ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΌΡƒ коэффициСнту ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ \(A\).

ЗафиксируСм Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ \(A\) ΠΈ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄Π²ΠΈΠ³Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ \(B\) Π² Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΊ Π½Π΅ΠΉ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° \(\triangle x\) бСсконСчно ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ ΠΈ приблиТаСтся ΠΊ 0, Π° сСкущая \(АВ\) приблиТаСтся ΠΊ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ \(АБ\).

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€

 НСобходимо Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ \(y=x+e^{-2x}\), Ссли эта функция ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π° прямой \(y = -x. {-2x_0}\;=\;1\\-2x\;=\;0\\x_0\;=\;0\)

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ

\(y\;=\;f(x_0)\;+f'(x_0)(x\;-\;x_0)\\x_0\;=\;0;\;f'(x_0)\;=\;-1;\;f(x_0)\;=\;1\\y\;=\;1\;-\;1(x-0)\;=\;1\;-\;x\)

Π’ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… производная Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ эквивалСнтна Π½ΡƒΠ»ΡŽ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°, максимума ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π³ΠΈΠ±Π°, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ оси \(ОX\) ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ. Рассмотрим ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ рисунок:

ΠžΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… \(C\) ΠΈ \(D\) ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Π°, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° тангСнс ΡƒΠ³Π»Π° Π΅Π΅ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π½ΡΡ‚ΡŒΡΡ 0. ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ производная Ρ€Π°Π²Π½Π° 0. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° C здСсь Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡΠ²Π»ΡΡ‚ΡŒΡΡ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ максимума. Π’ этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ возрастаниС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ измСняСтся Π½Π° ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ мСняСтся ΠΈ Π·Π½Π°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ β€” с плюса Π½Π° минус. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° \(D\) здСсь β€” Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°. Π’ это случаС Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ происходят измСнСния, Π½ΠΎ Π² ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΌ порядкС.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅

Π’Π°ΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ производная ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π½Π΅ ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ максимума. Π’Π°ΠΊΠΎΠ΅ происходит, Ссли Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΈΠΉ ΠΈΠ·Π»ΠΎΠΌ, ΠΊ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌΡƒ Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ провСсти ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ.

Рассмотрим Π΅Ρ‰Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:

Π’ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ случаС производная Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ эквивалСнтна Π½ΡƒΠ»ΡŽ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π³ΠΈΠ±Π°, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ \(E\) ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π° оси \(ОX\). Π’ этом случаС Π·Π½Π°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒΡΡ, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π³ΠΈΠ±Π° ΠΈ послС функция возрастаСт. Π—Π½Π°ΠΊ Π±Ρ‹Π» ΠΈ остаСтся ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€

Рассмотрим рисунок, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Π½Π°Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‡Π΅Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ \(y = f(x)\). Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ (βˆ’3; 9). НСобходимо ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ количСство Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, Π³Π΄Π΅ производная Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ \(f(x)\) эквивалСнтна 0.

На Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ рисункС ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ производная Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f(x) эквивалСнтна Π½ΡƒΠ»ΡŽ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… максимума ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… βˆ’2; βˆ’1; 1; 4 ΠΈ 6. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ производная Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ Π² 5 Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ….

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° β„–1

Рассмотрим рисунок.

Рисунок ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅Ρ‚ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ \(f(x)\). Ѐункция ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ (-10; 2). НСобходимо Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ, Π² ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ \(f(x)\) Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π° прямой \(y = -2x – 11\) ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°Ρ‚ΡŒ с Π½Π΅ΠΉ.

РСшСниС

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ касания эквивалСнтно ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΌΡƒ коэффициСнту ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π°, зная, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π° прямой \(y = -2x – 11\) ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Π° с Π½Π΅ΠΉ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²Ρ‹Π΅ коэффициСнты Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ \(-2\).

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ число Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… \(f'(x)\;=\;-2\). ИскомоС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ соотвСтствуСт числу Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, Π³Π΄Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ пСрСсСкаСтся с прямой \(y = -2\). На Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ 5 Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 5.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° β„–2

ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ рисунок ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅Ρ‚ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ \(y = f(x)\) ΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΊ Π½Π΅ΠΌΡƒ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ с абсциссой \(x_0\). НСобходимо ΡƒΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ \(f(x)\) Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ \(x_0\).

РСшСниС

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ, гласящСС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ коэффициСнт ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ эквивалСнтСн Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ касания, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Π² свою ΠΎΡ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄ΡŒ эквивалСнтСн тангСнсу ΡƒΠ³Π»Π° Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ оси абсцисс. На Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ рисункС ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ построСния Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌ A (1; 2), B (1; -4), C(-2; -4). Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ оси абсцисс ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΡƒΠ³ΠΎΠ» \(ACB\), ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌΡƒ ΠΎΠ½ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π΅Π½:

\(y'(x_0)\;=\;tg\angle ABC\;=\;\frac{AB}{BC}\;=\;\frac{2+4}{1+2}\;=\;2\)

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 2.

Насколько ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΠΎΠΉ Π±Ρ‹Π»Π° для вас ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΡ?

Π Π΅ΠΉΡ‚ΠΈΠ½Π³: 5.00 (Голосов: 1)

Π’Ρ‹Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ тСкст ΠΈ Π½Π°ΠΆΠΌΠΈΡ‚Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ клавиши Β«CtrlΒ» ΠΈ Β«EnterΒ»

Поиск ΠΏΠΎ содСрТимому

Как ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ наибольшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Π’ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ B9 даСтся Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌΡƒ трСбуСтся ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ ΠΈΠ· ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½:

  1. Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ x 0 ,
  2. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ максимума ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° (Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ экстрСмума),
  3. Π˜Π½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Ρ‹ возрастания ΠΈ убывания Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ (ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Ρ‹ монотонности).

Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅, прСдставлСнныС Π² этой Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅, всСгда Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Ρ‹, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π°Π΅Ρ‚ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅. НС смотря Π½Π° Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° относится ΠΊ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Ρƒ матСматичСского Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°, ΠΎΠ½Π° Π²ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅ ΠΏΠΎ силам Π΄Π°ΠΆΠ΅ самым слабым ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΌ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ… Π³Π»ΡƒΠ±ΠΎΠΊΠΈΡ… тСорСтичСских ΠΏΠΎΠ·Π½Π°Π½ΠΈΠΉ здСсь Π½Π΅ трСбуСтся.

Для нахоТдСния значСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ экстрСмума ΠΈ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»ΠΎΠ² монотонности ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ простыС ΠΈ ΡƒΠ½ΠΈΠ²Π΅Ρ€ΡΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌΡ‹ β€” всС ΠΎΠ½ΠΈ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ рассмотрСны Π½ΠΈΠΆΠ΅.

Π’Π½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ‡ΠΈΡ‚Π°ΠΉΡ‚Π΅ условиС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ B9, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π΅ Π΄ΠΎΠΏΡƒΡΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ Π³Π»ΡƒΠΏΡ‹Ρ… ошибок: ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‚ΡΡ довольно ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΌΠ½Ρ‹Π΅ тСксты, Π½ΠΎ Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹Ρ… условий, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π²Π»ΠΈΡΡŽΡ‚ Π½Π° Ρ…ΠΎΠ΄ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ, Ρ‚Π°ΠΌ Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ.

ВычислСниС значСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ. ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ

Если Π² Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ Π΄Π°Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f(x), ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΊ этому Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ x 0 , ΠΈ трСбуСтся Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π² этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅, примСняСтся ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌ:

  1. Найти Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π΄Π²Π΅ Β«Π°Π΄Π΅ΠΊΠ²Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅Β» Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ: ΠΈΡ… ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ цСлочислСнными. ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌ эти Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ A (x 1 ; y 1) ΠΈ B (x 2 ; y 2). ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ выписывайтС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ β€” это ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π²ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ, ΠΈ любая ошибка здСсь ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΊ Π½Π΅ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Ρƒ.
  2. Зная ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹, Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° Ξ”x = x 2 βˆ’ x 1 ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ξ”y = y 2 βˆ’ y 1 .
  3. НаконСц, Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ D = Ξ”y/Ξ”x. Π˜Π½Ρ‹ΠΌΠΈ словами, Π½Π°Π΄ΠΎ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° β€” ΠΈ это Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚.

Π•Ρ‰Π΅ Ρ€Π°Π· ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ: Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ A ΠΈ B Π½Π°Π΄ΠΎ ΠΈΡΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ Π½Π° ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ, Π° Π½Π΅ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f(x), ΠΊΠ°ΠΊ это часто случаСтся. ΠšΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ хотя Π±Ρ‹ Π΄Π²Π΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ β€” ΠΈΠ½Π°Ρ‡Π΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° составлСна Π½Π΅ΠΊΠΎΡ€Ρ€Π΅ΠΊΡ‚Π½ΠΎ.

Рассмотрим Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ A (βˆ’3; 2) ΠΈ B (βˆ’1; 6) ΠΈ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ приращСния:
Ξ”x = x 2 βˆ’ x 1 = βˆ’1 βˆ’ (βˆ’3) = 2; Ξ”y = y 2 βˆ’ y 1 = 6 βˆ’ 2 = 4.

НайдСм Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ: D = Ξ”y/Ξ”x = 4/2 = 2.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π°. На рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = f(x) ΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΊ Π½Π΅ΠΌΡƒ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ с абсциссой x 0 . НайдитС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f(x) Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ x 0 .

Рассмотрим Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ A (0; 3) ΠΈ B (3; 0), Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ приращСния:
Ξ”x = x 2 βˆ’ x 1 = 3 βˆ’ 0 = 3; Ξ”y = y 2 βˆ’ y 1 = 0 βˆ’ 3 = βˆ’3.

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ: D = Ξ”y/Ξ”x = βˆ’3/3 = βˆ’1.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π°. На рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = f(x) ΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΊ Π½Π΅ΠΌΡƒ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ с абсциссой x 0 . НайдитС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f(x) Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ x 0 .

Рассмотрим Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ A (0; 2) ΠΈ B (5; 2) ΠΈ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ приращСния:
Ξ”x = x 2 βˆ’ x 1 = 5 βˆ’ 0 = 5; Ξ”y = y 2 βˆ’ y 1 = 2 βˆ’ 2 = 0.

ΠžΡΡ‚Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ: D = Ξ”y/Ξ”x = 0/5 = 0.

Из послСднСго ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΡ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ: Ссли ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π° оси OX, производная Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ касания Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ. Π’ этом случаС Π΄Π°ΠΆΠ΅ Π½Π΅ Π½Π°Π΄ΠΎ Π½ΠΈΡ‡Π΅Π³ΠΎ ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ β€” достаточно Π²Π·Π³Π»ΡΠ½ΡƒΡ‚ΡŒ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ.

ВычислСниС Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ максимума ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°

Иногда вмСсто Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ B9 даСтся Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈ трСбуСтся Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ максимума ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. ΠŸΡ€ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΌ раскладС ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ бСсполСзСн, Π½ΠΎ сущСствуСт Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ, Π΅Ρ‰Π΅ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ простой Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌ. Для Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° опрСдСлимся с Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½ΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ΠΉ:

  1. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° x 0 называСтся Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ максимума Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f(x), Ссли Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ окрСстности этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ выполняСтся нСравСнство: f(x 0) β‰₯ f(x).
  2. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° x 0 называСтся Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f(x), Ссли Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ окрСстности этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ выполняСтся нСравСнство: f(x 0) ≀ f(x).

Для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ максимума ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° ΠΏΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, достаточно Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ шаги:

  1. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, ΡƒΠ±Ρ€Π°Π² всю лишнюю ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΡŽ. Как ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠ°, лишниС Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΌΠ΅ΡˆΠ°ΡŽΡ‚ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π΅ΠΌ Π½Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ оси Π½ΡƒΠ»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ β€” ΠΈ всС.
  2. Π’Ρ‹ΡΡΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ°Ρ… ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ нулями. Если для Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ x 0 извСстно, Ρ‡Ρ‚ΠΎ f’(x 0) β‰  0, Ρ‚ΠΎ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹ лишь Π΄Π²Π° Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Π°: f’(x 0) β‰₯ 0 ΠΈΠ»ΠΈ f’(x 0) ≀ 0. Π—Π½Π°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎ исходному Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚Π΅ΠΆΡƒ: Ссли Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ оси OX, Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ f’(x) β‰₯ 0. И Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚, Ссли Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΏΠΎΠ΄ осью OX, Ρ‚ΠΎ f’(x) ≀ 0.
  3. Π‘Π½ΠΎΠ²Π° провСряСм Π½ΡƒΠ»ΠΈ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ. Π’Π°ΠΌ, Π³Π΄Π΅ Π·Π½Π°ΠΊ мСняСтся с минуса Π½Π° плюс, находится Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°. И Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚, Ссли Π·Π½Π°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ мСняСтся с плюса Π½Π° минус, это Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° максимума. ΠžΡ‚ΡΡ‡Π΅Ρ‚ всСгда вСдСтся слСва Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ.

Π­Ρ‚Π° схСма Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ для Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ β€” Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… Π² Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ B9 Π½Π΅ встрСчаСтся.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π°. На рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f(x), ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ [βˆ’5; 5]. НайдитС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f(x) Π½Π° этом ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅.

Избавимся ΠΎΡ‚ лишнСй ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΈ β€” оставим Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Ρ‹ [βˆ’5; 5] ΠΈ Π½ΡƒΠ»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ x = βˆ’3 ΠΈ x = 2,5. Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ:

ΠžΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ x = βˆ’3 Π·Π½Π°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ мСняСтся с минуса Π½Π° плюс. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΈ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π°. На рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f(x), ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ [βˆ’3; 7]. НайдитС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ максимума Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f(x) Π½Π° этом ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅.

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΌ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ, оставив Π½Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ оси Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Ρ‹ [βˆ’3; 7] ΠΈ Π½ΡƒΠ»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ x = βˆ’1,7 ΠΈ x = 5. ΠžΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ. ИмССм:

ΠžΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ x = 5 Π·Π½Π°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ мСняСтся с плюса Π½Π° минус β€” это Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° максимума.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π°. На рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f(x), ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ [βˆ’6; 4]. НайдитС количСство Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ максимума Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f(x), ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΡ… ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΡƒ [βˆ’4; 3].

Из условия Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ достаточно Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°, ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΎΠΌ [βˆ’4; 3]. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ строим Π½ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π΅ΠΌ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Ρ‹ [βˆ’4; 3] ΠΈ Π½ΡƒΠ»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ Π½Π΅Π³ΠΎ. А ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ, Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ x = βˆ’3,5 ΠΈ x = 2. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ:

На этом Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ Π΅ΡΡ‚ΡŒ лишь ΠΎΠ΄Π½Π° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° максимума x = 2. ИмСнно Π² Π½Π΅ΠΉ Π·Π½Π°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ мСняСтся с плюса Π½Π° минус.

НСбольшоС Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΠ΄Ρƒ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ с нСцСлочислСнными ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ. НапримСр, Π² послСднСй Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ Π±Ρ‹Π»Π° рассмотрСна Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° x = βˆ’3,5, Π½ΠΎ с Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΆΠ΅ успСхом ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ x = βˆ’3,4. Если Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° составлСна ΠΊΠΎΡ€Ρ€Π΅ΠΊΡ‚Π½ΠΎ, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ измСнСния Π½Π΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π²Π»ΠΈΡΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Β«Π±Π΅Π· ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ мСста ΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π°Β» Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡŽΡ‚ нСпосрСдствСнного участия Π² Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ.

РазумССтся, с цСлочислСнными Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ фокус Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΉΠ΄Π΅Ρ‚.

НахоТдСниС ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»ΠΎΠ² возрастания ΠΈ убывания Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Π’ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅, ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌ максимума ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°, прСдлагаСтся ΠΏΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΎΡ‚Ρ‹ΡΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ области, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… сама функция возрастаСт ΠΈΠ»ΠΈ ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚. Для Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ возрастаниС ΠΈ ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π½ΠΈΠ΅:

  1. Ѐункция f(x) называСтся Π²ΠΎΠ·Ρ€Π°ΡΡ‚Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ Ссли для Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ x 1 ΠΈ x 2 ΠΈΠ· этого ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅: x 1 ≀ x 2 β‡’ f(x 1) ≀ f(x 2). Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ словами, Ρ‡Π΅ΠΌ большС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°, Ρ‚Π΅ΠΌ большС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.
  2. Ѐункция f(x) называСтся ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ Ссли для Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ x 1 ΠΈ x 2 ΠΈΠ· этого ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅: x 1 ≀ x 2 β‡’ f(x 1) β‰₯ f(x 2). Π’.Π΅. Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠ΅ΠΌΡƒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° соотвСтствуСт мСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Π‘Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ достаточныС условия возрастания ΠΈ убывания:

  1. Для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ нСпрСрывная функция f(x) возрастала Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ , достаточно, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π΅Π΅ производная Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° Π±Ρ‹Π»Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°, Ρ‚. Π΅. f’(x) β‰₯ 0.
  2. Для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ нСпрСрывная функция f(x) ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π»Π° Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ , достаточно, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π΅Π΅ производная Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° Π±Ρ‹Π»Π° ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°, Ρ‚.Π΅. f’(x) ≀ 0.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅ΠΌ эти утвСрТдСния Π±Π΅Π· Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π². Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ схСму для нахоТдСния ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»ΠΎΠ² возрастания ΠΈ убывания, которая Π²ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆΠ° Π½Π° Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌ вычислСния Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ экстрСмума:

  1. Π£Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ всю лишнюю ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΡŽ. На исходном Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ нас ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π΅ΡΡƒΡŽΡ‚ Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΡƒΡŽ ΠΎΡ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄ΡŒ Π½ΡƒΠ»ΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, поэтому оставим Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΈΡ….
  2. ΠžΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π°Ρ… ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ нулями. Π’Π°ΠΌ, Π³Π΄Π΅ f’(x) β‰₯ 0, функция возрастаСт, Π° Π³Π΄Π΅ f’(x) ≀ 0 β€” ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚. Если Π² Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ установлСны ограничСния Π½Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ x, Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π΅ΠΌ ΠΈΡ… Π½Π° Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΌ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅.
  3. Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π°ΠΌ извСстно ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ ограничСния, остаСтся Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΠ΅ΠΌΡƒΡŽ Π² Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π°. На рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f(x), ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ [βˆ’3; 7,5]. НайдитС ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΈ убывания Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f(x). Π’ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Π΅ ΡƒΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ сумму Ρ†Π΅Π»Ρ‹Ρ… чисСл, входящих Π² эти ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΈ.

Как ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ, ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΌ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΈ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Ρ‹ [βˆ’3; 7,5], Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π½ΡƒΠ»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ x = βˆ’1,5 ΠΈ x = 5,3. Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ. ИмССм:

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ (βˆ’ 1,5) производная ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°, это ΠΈ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π» убывания Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. ΠžΡΡ‚Π°Π»ΠΎΡΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΡΡƒΠΌΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ всС Ρ†Π΅Π»Ρ‹Π΅ числа, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ находятся Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ этого ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π°:
βˆ’1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π°. На рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f(x), ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ [βˆ’10; 4]. НайдитС ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΈ возрастания Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f(x). Π’ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Π΅ ΡƒΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ наибольшСго ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ….

Избавимся ΠΎΡ‚ лишнСй ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΈ. ΠžΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠΌ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Ρ‹ [βˆ’10; 4] ΠΈ Π½ΡƒΠ»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π² этот Ρ€Π°Π· оказалось Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅: x = βˆ’8, x = βˆ’6, x = βˆ’3 ΠΈ x = 2. ΠžΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ:

Нас ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π΅ΡΡƒΡŽΡ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΈ возрастания Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Ρ‚.Π΅. Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅, Π³Π΄Π΅ f’(x) β‰₯ 0. На Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΎΠ² Π΄Π²Π°: (βˆ’8; βˆ’6) ΠΈ (βˆ’3; 2). Вычислим ΠΈΡ… Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹:
l 1 = βˆ’ 6 βˆ’ (βˆ’8) = 2;
l 2 = 2 βˆ’ (βˆ’3) = 5.

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ трСбуСтся Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ наибольшСго ΠΈΠ· ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»ΠΎΠ², Π² ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ записываСм Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ l 2 = 5.

Π‘Π΅Ρ€Π³Π΅ΠΉ Никифоров

Если производная Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ знакопостоянна Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅, Π° сама функция Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Π° Π½Π° Π΅Π³ΠΎ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Π°Ρ…, Ρ‚ΠΎ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΒ­ΡΠΎΒ­Π΅Π΄ΠΈΒ­Π½ΡΒ­ΡŽΡ‚Β­ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΒ­ΠΌΠ΅Β­ΠΆΡƒΡ‚Β­ΠΊΠ°ΠΌ воз­рас­та­ния, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΒ­ΠΌΠ΅Β­ΠΆΡƒΡ‚Β­ΠΊΠ°ΠΌ убы­ва­ния, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ соотвСтствуСт ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ Π²ΠΎΠ·Ρ€Π°ΡΡ‚Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΈ ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

Π€Π°Ρ€ΠΈΡ‚ Π―ΠΌΠ°Π΅Π² 26.10.2016 18:50

ЗдравствуйтС. Как ΠΆΠ΅ (Π½Π° ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΌ основании) ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅, Π³Π΄Π΅ производная Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ, функция возрастаСт. ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ Π΄ΠΎΠ²ΠΎΠ΄Ρ‹. Π˜Π½Π°Ρ‡Π΅, это просто Ρ‡Π΅ΠΉ-Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΏΡ€ΠΈΠ·. По ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅? А Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ. Бпасибо.

Π‘Π»ΡƒΠΆΠ±Π° ΠΏΠΎΠ΄Π΄Π΅Ρ€ΠΆΠΊΠΈ

Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ прямого ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊ Π²ΠΎΠ·Ρ€Π°ΡΡ‚Π°Π½ΠΈΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅. РассмотритС, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ – всС ΠΎΠ½ΠΈ Π²ΠΎΠ·Ρ€Π°ΡΡ‚Π°ΡŽΡ‚ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅

Π’Π»Π°Π΄Π»Π΅Π½ ΠŸΠΈΡΠ°Ρ€Π΅Π² 02. 11.2016 22:21

Если функция возрастаСт Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ (Π°;b) ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° ΠΈ Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Π° Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… Π° ΠΈ b, Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½Π° возрастаСт Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ . Π’.Π΅. Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° x=2 Π²Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Π² Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΠΊ.

Π₯отя, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ возрастаниС ΠΈ ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ рассматриваСтся Π½Π΅ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅, Π° Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅.

Но Π² самой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ x=2, функция ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ. И ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ±ΡŠΡΡΠ½ΡΡ‚ΡŒ дСтям, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΠ½ΠΈ ΠΈΡ‰ΡƒΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ возрастания (убывания), Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ локального экстрСмума Π½Π΅ считаСм, Π° Π² ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΈ возрастания (убывания) – входят.

Учитывая, Ρ‡Ρ‚ΠΎ пСрвая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ Π•Π“Π­ для “срСднСй Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹ дСтского сада”, Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎΠ΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ Π½ΡŽΠ°Π½ΡΡ‹- ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π±ΠΎΡ€.

ΠžΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, большоС спасибо Π·Π° “Π Π΅ΡˆΡƒ Π•Π“Π­” всСм сотрудникам- ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ΅ пособиС.

Π‘Π΅Ρ€Π³Π΅ΠΉ Никифоров

ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΎΠ΅ объяснСниС ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ, Ссли ΠΎΡ‚Ρ‚Π°Π»ΠΊΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΎΡ‚ опрСдСлСния Π²ΠΎΠ·Ρ€Π°ΡΡ‚Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ/ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Напомню, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π·Π²ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ ΠΎΠ½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ: функция называСтся Π²ΠΎΠ·Ρ€Π°ΡΡ‚Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ/ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅, Ссли Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠ΅ΠΌΡƒ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ соотвСтствуСт большСС/мСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π’Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊ Π½Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ понятиС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, поэтому вопросов ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ…, Π³Π΄Π΅ производная обращаСтся Π² ноль Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΡŒ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚.

Π˜Ρ€ΠΈΠ½Π° Ишмакова 20.11.2017 11:46

Π”ΠΎΠ±Ρ€Ρ‹ΠΉ дСнь. Π—Π΄Π΅ΡΡŒ Π² коммСнтариях я Π²ΠΈΠΆΡƒ убСТдСния, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Ρ‹ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ‚ΡŒ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ. Допустим, я с этим ΡΠΎΠ³Π»Π°ΡˆΡƒΡΡŒ. Но посмотритС, поТалуйста, вашС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ 7089. Π’Π°ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΎΠ² возрастания Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Ρ‹ Π½Π΅ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ. И это влияСт Π½Π° ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚. Π’.Π΅. Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠΉ 6429 ΠΈ 7089 ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡Π°Ρ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Ρƒ. ΠŸΡ€ΠΎΡΡΠ½ΠΈΡ‚Π΅, поТалуйста, эту ΡΠΈΡ‚ΡƒΠ°Ρ†ΠΈΡŽ.

АлСксандр Иванов

Π’ заданиях 6429 ΠΈ 7089 ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ΅Π½Π½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Π΅ вопросы.

Π’ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΈ возрастания, Π° Π² Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΈ с ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ.

ΠŸΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΡ Π½Π΅Ρ‚.

ЭкстрСмумы входят Π² ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΈ возрастания ΠΈ убывания, Π½ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… производная Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ, Π½Π΅ входят Π² ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΈ, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… производная ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°.

A Z 28.01.2019 19:09

КоллСги, Π΅ΡΡ‚ΡŒ понятиС возрастания Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅

(см. Π€ΠΈΡ…Ρ‚Π΅Π½Π³ΠΎΠ»ΡŒΡ† Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€)

ΠΈ вашС ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ возрастания Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ x=2 ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ‡Π΅Ρ‚ классичСскому ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ.

ВозрастаниС ΠΈ ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ это процСсс ΠΈ Ρ…ΠΎΡ‚Π΅Π»ΠΎΡΡŒ Π±Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ этого ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏΠ°.

Π’ любом ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ содСрТит Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ x=2, функция Π½Π΅ являСтся Π²ΠΎΠ·Ρ€Π°ΡΡ‚Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ x=2 процСсс особый.

ΠžΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΈΠ·Π±Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡƒΡ‚Π°Π½ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΎ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΊΠΎΠ½Ρ†ΠΎΠ² ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»ΠΎΠ² говорят ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ.

АлСксандр Иванов

Ѐункция y=f(x) называСтся Π²ΠΎΠ·Ρ€Π°ΡΡ‚Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Π½Π° Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅, Ссли Π±ΠΎΜΠ»ΡŒΡˆΠ΅ΠΌΡƒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° ΠΈΠ· этого ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ° соотвСтствуСт бо́льшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Π’ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Ρ…=2 функция Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΠ°, Π° Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ (2; 6) производная ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°, Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅ }

Π Π°Π·Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠ²

Как ΠΈ Π² случаС с ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π°ΠΌΠΈ, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ алгСбраичСскиС свойства.

ΠŸΠΎΠ΄Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π» 2.3.1 РасчСт ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… с использованиСм опрСдСлСния

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Ρ‹Ρ‚Π΅ΠΊΠ°Π΅Ρ‚ ΠΈΠ· понятий. ИспользованиС Π΅Π³ΠΎ для расчСта ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΠ΅Ρ‚ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ творчСства.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2.3.1. ВычислитС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΎΡ‚ \(f(x)=x\).

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ \(f(x)=x\) Π² любой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½Π° \(f'(x)=1. \)

Раствор.

\begin{Π²Ρ‹Ρ€Π°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅*} \lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = \amp \text{ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅}\\ \lim_{x \to a} \frac{x-a}{x-a} = \amp \text{ подставляя Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ}\\ \lim_{x \to a} 1 = \amp \text{Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π°}\\ 1. \amp \text{извСстный ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»} \end{Π²Ρ‹Ρ€Π°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅*} 92)}{x-a} = \amp \text{ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€}\\ \lim_{x \to a} \frac{3(x-a)(x+a)}{x-a} = \amp \text{ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ большС}\\ \lim_{x \to a} 3(x+a) = \amp \text{Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ}\\ 6a \amp \text{ извСстныС ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‹} \end{Π²Ρ‹Ρ€Π°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅*}

ΠŸΠΎΠ΄Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π» 2.3.2 ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ суммы

Π§Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ, Ссли ΠΌΡ‹ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΠΌ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ суммы Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, Ρ‚. Π΅. \(f(x)+g(x)\text{?}\) ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅.

\Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ{Π²Ρ‹Ρ€ΠΎΠ²Π½ΡΡ‚ΡŒ*} \frac{d(f(x)+g(x))}{dx} = \amp \\ \lim_{x \to a} \frac{(f(x)+g(x))-(f(a)-g(a))}{x-a} = \amp \text{ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅}\\ \lim_{x \to a} \frac{(f(x)-f(a))+(g(x)-g(a))}{x-a} = \amp \text{ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ свойство}\\ \lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}+\frac{g(x)-g(a)}{x-a} = \amp \text{алгСбраичСскоС свойство} \\ \lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}+ \lim_{x \to a} \frac{g(x)-g(a)}{x-a} = \amp \text{ ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ свойства суммирования}\\ \frac{d f(x)}{dx}+ \frac{d g(x)}{dx} = \amp \text{ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅} \end{Π²Ρ‹Ρ€Π°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅*}

ΠŸΠΎΠ΄Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π» 2.

3.3 ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ скалярного произвСдСния

Π§Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ, Ссли Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΠΌ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ скаляра, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π½Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ, Ρ‚. Π΅. \(k \cdot f(x)\text{?}\) Π‘Π½ΠΎΠ²Π° Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡΡ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ.

\Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ{Π²Ρ‹Ρ€ΠΎΠ²Π½ΡΡ‚ΡŒ*} \frac{d k f(x)}{dx} = \amp \\ \lim_{x \to a} \frac{k f(x)- k f(a)}{x-a} = \amp \text{ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅} \ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†{Π²Ρ‹Ρ€Π°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅*}

Π—Π°Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΡ‚Π΅ это Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ. ВспомнитС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅.

ΠŸΠΎΠ΄Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π» 2.3.4 ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚Π°

БущСствуСт Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ свойство для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚Π°, Π½ΠΎ это Π½Π΅ просто ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ свойства для ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚Π°. Π£ΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ строки этого Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π°.

\Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ{Π²Ρ‹Ρ€ΠΎΠ²Π½ΡΡ‚ΡŒ*} \frac{d f(x)g(x)}{dx} = \amp \text{вопрос}\\ \lim_{x \to a} \frac{f(x)g(x)-f(a)g(a)}{xa} = \amp \underline{\hspace{4.545454545454546em}}\\ \lim_{x \to a} \frac{f(x)g(x)-f(x)g(a)+f(x)g(a)-f(a)g(a)}{x-a} = \amp \text{ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ ΡƒΠΌΠ½Ρ‹ΠΉ шаг} \\ \lim_{x \to a} \frac{f(x)[g(x)-g(a)]+[f(x)-f(a)]g(a)}{x-a} = \amp\ ΠΏΠΎΠ΄Ρ‡Π΅Ρ€ΠΊΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅{\hspace{4. 545454545454546em}} \\ \lim_{x \to a} \frac{f(x)[g(x)-g(a)]}{x-a} + \frac{[f(x)-f(a)]g(a)} {xa} = \amp \underline{\hspace{4.545454545454546em}}\\ \lim_{x \to a} \frac{f(x)[g(x)-g(a)]}{x-a} + \lim_{x \to a} \frac{[f(x)-f( a)]g(a)}{xa} = \amp \underline{\hspace{4,545454545454546em}} \\ \lim_{x \to a} f(x)\lim_{x \to a} \frac{g(x)-g(a)}{x-a} + g(a)\lim_{x \to a} \ frac {f (x) -f (a)} {xa} = \ amp \ underline {\ hspace {4,545454545454546em}} \\ f(a)g'(a)+g(a)f'(a). \amp \underline{\hspace{4.545454545454546em}} \end{Π²Ρ‹Ρ€Π°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅*}

ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ»Π»ΡŽΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ произвСдСния, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ для прСдставлСния ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° рисункС 2.3.4. ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° прСдставляСт собой Π³Π½ΠΎΠΌΠΎΠ½ (пСрСвСрнутая Π±ΡƒΠΊΠ²Π° L), состоящий ΠΈΠ· \(f(a)g ‘(a)\text{,}\) \(f'(a)g'(a)\text{,}\) ΠΈ \(g(a)f'(a)\text{.}\) Π­Ρ‚ΠΎ соотвСтствуСт ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ произвСдСния \(f(a)g'(a)+g(a)f'(a)\), Π·Π° ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ малСнького ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° \(f'(a)g'(a)\text{.}\ ) Π’ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ этого ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° стрСмится ΠΊ Π½ΡƒΠ»ΡŽ. Π”Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π½Π° Ρ€Π°Π½Π½ΠΈΡ… стадиях Ρ€Π°Π·Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ΠΊΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΈ поступали. 9\ΠΏΠΈ.\)

ΠŸΠΎΠ΄Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π» 2.3.7 ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ для \(f(x)=\sin(x)\text{,}\) \(f'(x)=\cos(x).\) Аналогичным ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ для \(g (x)=\cos(x)\text{,}\) \(g'(x)=-\sin(x).\)

КПП 2.3.6.

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ тоТдСства Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³Π³Π΅Ρ€ΠΎΠ² ΠΈ свойства ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…, Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ для \(\tan(x)\text{,}\) \(\cot(x)\text{,}\) \(\sec(x)\text {,}\) ΠΈ \(\csc(x)\text{.}\)

Как Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΎΡ‚ (x,y) Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Π² Excel

Π’ этом ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ ΠΌΡ‹ сэмплируСм Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ f(x)=x&InvisibleTimes;sin(x2)+1 Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ вычислитС Π΅Π³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌ Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€ΠΊΠΈ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ…, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ DERIVXY , ΠΈ сравнитС Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ с аналитичСскими ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΌΠΈ, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ f'(x)=sin(x2)+2&InvisibleTimes;x2&InvisibleTimes;cos(x2)

РСшСниС

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ 1, ΠΌΡ‹ Π³Π΅Π½Π΅Ρ€ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ автозаполнСния (x,y) Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΈ аналитичСскиС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ для Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ x . ЧисловыС значСния ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π² Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ 2 Π½ΠΈΠΆΠ΅:

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° 1
A B C
3 X_DATA Y_DATA ΠΠΠΠ›Π˜Π’Π˜Π§Π•Π‘ΠšΠ˜Π• ΠŸΠ ΠžΠ˜Π—Π’ΠžΠ”Π˜Π’Π•Π›Π¬ΠΠ«2)
6 ⇓ ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Ρ‚Π°Ρ‰ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠ· Π΄ΠΎ строки 20

⇓

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° 2
A B C
3 x_data y_data Analytic der
4 0 1 0
5 0.25 1.015615 0.1872153
6 0.5 1.123702 0.7318602
7 0.75 1.399977 1. 4849677
8 1 1.841471 1.9220756
9 1.25 2.249957 1.0258913
10 1.5 2.16711 -2.0487081
11 1.75 1.138268 -6.0268418
12 2 -0.5136 -5.9859515
13 2.25 -1.1135 2.5335616
14 2.5 0.917052 12.459939
15 2.75 3.634003 5.3043158
16 3 2.236355 -15.988226
17 3.25 -1.94996 -9.773066
18 3.5 -0.08892 22.972966
19 3. 75 4.739551 3,0952707
20 4 -0,15161 -30,933007

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ DERIVXY , ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ 3, ΠΌΡ‹ Π³Π΅Π½Π΅Ρ€ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ автозаполнСния числовыС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Π½Π° x -значСния ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΎΡˆΠΈΠ±ΠΊΡƒ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ аналитичСскиС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅. ЧислСнныС Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ‹ Π² Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ 4 Π½ΠΈΠΆΠ΅.

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄Π°Π»ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π° x_data ΠΈ y_data для столбцов A4:A20 ΠΈ B4:B20 соотвСтствСнно. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· способов Π·Π°Π±Π»ΠΎΠΊΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅, поэтому Π°Π²Ρ‚ΠΎΠ·Π°ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ³Π½ΠΎΡ€ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ эти Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹ ΠΈ ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈΠΉ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚. Π’ качСствС Π°Π»ΡŒΡ‚Π΅Ρ€Π½Π°Ρ‚ΠΈΠ²Ρ‹ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ Π±Ρ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π·Π½Π°ΠΊ Π΄ΠΎΠ»Π»Π°Ρ€Π°, $, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π·Π°Π±Π»ΠΎΠΊΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ Π΄Π²Π° Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° Π²ΠΎ врСмя автозаполнСния с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° =ΠŸΠ ΠžΠ˜Π—Π’ΠžΠ”ΠΠ«Π™XY($A$4:$A$20, $B$4:$B$20, A4) .

Π‘Ρ‚ΠΎΠ» 3
E F
3 Numerical Derivatives % Errors
4 =DERIVXY(x_data,y_data,A4) 1
5 =DERIVXY(x_data ,y_data,A5) =ABS((E5-C5)/C5)
⇓ ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Ρ‚Π°Ρ‰ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠ· Π΄ΠΎ строки 20 Β 

⇓

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° 4
E F
3 Numerical Derivatives % Errors
4 -0.006256108 100.00%
5 0.189289352 1.11%
6 0.733522457 0.23%
7 1.488966928 0. 27%
8 1.923837894 0.09%
9 1.015441218 1.02%
10 -2.07793704 1.43%
11 -6.043962293 0.28%
12 -5.914791221 1.19%
13 2.68187738 5.85%
14 12.35516509 0.84% ​​
15 4.867529358 8.23%
16 -15.99364056 0.03%
17 -7.

4125
19.16%
18 19.69241868 14.28%
19 9.404971886 203.85%
20 -58,06465252 87,71%

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ошибки ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ Π²Π±Π»ΠΈΠ·ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ…, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ сплайн ΠΏΠΎ ΡƒΠΌΠΎΠ»Ρ‡Π°Π½ΠΈΡŽ Π½Π΅ ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡ΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Π² ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅. Но Π² этом ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Π² ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅Π²Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… ΠΎΡ‚ аналитичСской Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹. ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ²Ρ‹ΡΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, поставив эти Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅ΠΉ ISLOPE ΠΈ ESLOPE Π² Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ элСмСнтС управлСния Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π·Π° Π”Π•Π Π˜Π’ΠšΠ‘Π˜Π™ . ΠœΡ‹ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌ Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ K1:L2 end_slopes ΠΈ опрСдСляСм ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΏΠ°Ρ€Ρ‹ ΠΊΠ»ΡŽΡ‡/Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ для Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π°. с использованиСм вычислСнных Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ аналитичСских ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… Π² C4 ΠΈ C20 ΠΈΠ· Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ 2 Π²Ρ‹ΡˆΠ΅.

2

96 2

К Π›
1 ISLOPE

0

Π­Π‘Π›ΠžΠŸΠ

-30,933

ΠœΡ‹ Ρ€Π΅Π³Π΅Π½Π΅Ρ€ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ Π½ΠΎΠ²Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΈ ошибки Π² столбцах h5:h30 ΠΈ I4:I20 ΠΈΠ· Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» DERIVXY Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ 5. ЧисловыС значСния, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ автозаполнСния, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ‹ Π² Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ 6 Π½ΠΈΠΆΠ΅.

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° 5
H I
3 Nummerical Derivative with end slopes % Errors
4 =DERIVXY(x_data,y_data,A4,1,end_slopes) 1
5 =DERIVXY(x_data,y_data,A5,1,end_slopes) =ABS((H5-C5)/C5)
Β  ⇓ Drag down to row 20

⇓

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° 6
H I
3 Кол. Π”Π΅Ρ€. with end slopes % Errors
4 0 0.00%
5 0. 187612966 0.21%
6 0.733971891 0.29%
7 1,488845578 0,26%
8 1.923873859 0.09%
9 1.015418708 1.02%
10 -2.077882964 1.42%
11 -6.044156087 0.29%
12 -5,91407012 1,20%
13 2,679186771 5,75%
14 12,3656520649999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999979009r9009.4 15 4.830054635 8.94%
16 -15.853783 0.84% ​​
17 -8.422469647 13.82%
18 21.

ΠžΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ