Как вычесть матрицу из матрицы. Действия с матрицами
Следует заметить, что данной операции поддаются только матрицы одинакового размера. При сложении двух матриц попарно суммируются все их элементы, а при вычитании мы, соответственно, имеем дело с их попарной разностью. Получив детальное и пошаговое решение, вы сможете лучше разобраться с процессом нахождения суммы и разности матриц.
Итак, перед вами две матрицы, и вам необходимо узнать их сумму, либо же разность. И то, и другое вы сможете легко и оперативно сделать, если воспользуетесь нашим онлайн калькулятором. Он будет очень вам полезен, если вы желаете разобраться в алгоритме данных операций. Теория не всегда способна дать чёткий ответ на все вопросы, куда лучше с этой задачей справляются практические расчёты. Используя онлайн калькулятор, вы получите подробную схему, по которой происходит вычитание или сложение матриц. К тому же, вы можете сначала попробовать просчитать всё самостоятельно, а затем перепроверить себя здесь.
Данный онлайн калькулятор имеет предельно простую инструкцию. Указать размеры каждой из матриц вы сможете, нажимая на иконки «+» или «-» слева от матриц и под ними. Далее вам потребуется ввести все элементы. И затем, нажав кнопку «Вычислить», вы сможете быстро получить искомое значение вместе с развёрнутым алгоритмом вычислений.
Данное методическое пособие поможет Вам научиться выполнять действия с матрицами : сложение (вычитание) матриц, транспонирование матрицы, умножение матриц, нахождение обратной матрицы. Весь материал изложен в простой и доступной форме, приведены соответствующие примеры, таким образом, даже неподготовленный человек сможет научиться выполнять действия с матрицами. Для самоконтроля и самопроверки Вы можете бесплатно скачать матричный калькулятор >>> .
Я буду стараться минимизировать теоретические выкладки, кое-где возможны объяснения «на пальцах» и использование ненаучных терминов. Любители основательной теории, пожалуйста, не занимайтесь критикой, наша задача – научиться выполнять действия с матрицами .
Для СВЕРХБЫСТРОЙ подготовки по теме (у кого «горит») есть интенсивный pdf-курс Матрица, определитель и зачёт!
Матрица – это прямоугольная таблица каких-либо элементов . В качестве элементов мы будем рассматривать числа, то есть числовые матрицы.
Обозначение: матрицы обычно обозначают прописными латинскими буквами
Пример: рассмотрим матрицу «два на три»:
Данная матрица состоит из шести элементов :
Все числа (элементы) внутри матрицы существуют сами по себе, то есть ни о каком вычитании речи не идет:
Это просто таблица (набор) чисел!
Также договоримся не переставлять числа, если иного не сказано в объяснениях. У каждого числа свое местоположение, и перетасовывать их нельзя!
Рассматриваемая матрица имеет две строки:
и три столбца:
СТАНДАРТ : когда говорят о размерах матрицы, то сначала указывают количество строк, а только потом – количество столбцов.
Мы только что разобрали по косточкам матрицу «два на три».
Если количество строк и столбцов матрицы совпадает, то матрицу называют квадратной , например: – матрица «три на три».
Если в матрице один столбец или одна строка , то такие матрицы также называют векторами .
На самом деле понятие матрицы мы знаем еще со школы, рассмотрим, например точку с координатами «икс» и «игрек»: . По существу, координаты точки записаны в матрицу «один на два». Кстати, вот Вам и пример, почему порядок чисел имеет значение: и – это две совершенно разные точки плоскости.
Теперь переходим непосредственно к изучению действий с матрицами :
1) Действие первое. Вынесение минуса из матрицы (внесение минуса в матрицу) .
Вернемся к нашей матрице . Как вы наверняка заметили, в данной матрице слишком много отрицательных чисел. Это очень неудобно с точки зрения выполнения различных действий с матрицей, неудобно писать столько минусов, да и просто в оформлении некрасиво выглядит.
Вынесем минус за пределы матрицы, сменив у КАЖДОГО элемента матрицы знак :
У нуля, как Вы понимаете, знак не меняется, ноль – он и в Африке ноль.
Обратный пример: . Выглядит безобразно.
Внесем минус в матрицу, сменив у КАЖДОГО элемента матрицы знак :
Ну вот, гораздо симпатичнее получилось. И, самое главное, выполнять какие-либо действия с матрицей будет ПРОЩЕ. Потому что есть такая математическая народная примета: чем больше минусов – тем больше путаницы и ошибок .
2) Действие второе. Умножение матрицы на число .
Пример:
Всё просто, для того чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый элемент матрицы умножить на данное число. В данном случае – на тройку.
Еще один полезный пример:
– умножение матрицы на дробь
Сначала рассмотрим то, чего делать НЕ НАДО :
Вносить дробь в матрицу НЕ НУЖНО, во-первых, это только затрудняет дальнейшие действия с матрицей, во-вторых, затрудняет проверку решения преподавателем (особенно, если – окончательный ответ задания).
И, тем более, НЕ НАДО делить каждый элемент матрицы на минус семь:
Из статьи Математика для чайников или с чего начать , мы помним, что десятичных дробей с запятой в высшей математике стараются всячески избегать.
Единственное, что желательно сделать в этом примере – это внести минус в матрицу:
А вот если бы ВСЕ элементы матрицы делились на 7 без остатка , то тогда можно (и нужно!) было бы поделить.
Пример:
В этом случае можно и НУЖНО умножить все элементы матрицы на , так как все числа матрицы делятся на 2 без остатка .
Примечание: в теории высшей математики школьного понятия «деление» нет. Вместо фразы «это поделить на это» всегда можно сказать «это умножить на дробь». То есть, деление – это частный случай умножения.
3) Действие третье. Транспонирование матрицы
Для того чтобы транспонировать матрицу, нужно ее строки записать в столбцы транспонированной матрицы.
Пример:
Транспонировать матрицу
Строка здесь всего одна и, согласно правилу, её нужно записать в столбец:
– транспонированная матрица.
Транспонированная матрица обычно обозначается надстрочным индексом или штрихом справа вверху.
Пошаговый пример:
Транспонировать матрицу
Сначала переписываем первую строку в первый столбец:
Потом переписываем вторую строку во второй столбец:
И, наконец, переписываем третью строку в третий столбец:
Готово. Грубо говоря, транспонировать – это значит повернуть матрицу набок.
4) Действие четвертое. Сумма (разность) матриц .
Сумма матриц действие несложное.
НЕ ВСЕ МАТРИЦЫ МОЖНО СКЛАДЫВАТЬ. Для выполнения сложения (вычитания) матриц, необходимо, чтобы они были ОДИНАКОВЫМИ ПО РАЗМЕРУ.
Например, если дана матрица «два на два», то ее можно складывать только с матрицей «два на два» и никакой другой!
Пример:
Сложить матрицы и
Для того чтобы сложить матрицы, необходимо сложить их соответствующие элементы :
Для разности матриц правило аналогичное, необходимо найти разность соответствующих элементов .
Пример:
Найти разность матриц ,
А как решить данный пример проще, чтобы не запутаться? Целесообразно избавиться от лишних минусов, для этого внесем минус в матрицу :
Примечание: в теории высшей математики школьного понятия «вычитание» нет. Вместо фразы «из этого вычесть это» всегда можно сказать «к этому прибавить отрицательное число». То есть, вычитание – это частный случай сложения.
5) Действие пятое. Умножение матриц .
Какие матрицы можно умножать?
Чтобы матрицу можно было умножить на матрицу нужно, чтобы число столбцов матрицы равнялось числу строк матрицы
Пример:
Можно ли умножить матрицу на матрицу ?
Значит, умножать данные матрицы можно.
А вот если матрицы переставить местами, то, в данном случае, умножение уже невозможно!
Следовательно, выполнить умножение невозможно:
Не так уж редко встречаются задания с подвохом, когда студенту предлагается умножить матрицы, умножение которых заведомо невозможно.
Следует отметить, что в ряде случаев можно умножать матрицы и так, и так.
Например, для матриц, и возможно как умножение , так и умножение
$$ c_{ij} = a_{ij} + b_{ij} $$
Более подробно формула сложения двух матриц выглядит так:
$$ A + B = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33} \end{pmatrix} = $$
$$ = \begin{pmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12}+b_{12} & a_{13}+b_{13} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & a_{23}+b_{23} \\ a_{31}+b_{31} & a_{32}+b_{32} & a_{33}+b_{33} \end{pmatrix} = C $$
Обратите внимание, что складывать и вычитать матрицы можно только одинаковой размерности.
При сумме или разности будет получаться матрица $ C $ такой же размерности как и слагаемые (вычитаемые) матрицы $ A $ и $ B $. Если матрицы $ A $ и $ B $ отличаются друг от друга размерами, то сложение (вычитание) таких матриц будет ошибкой!
При сумме или разности будет получаться матрица $ C $ такой же размерности как и слагаемые (вычитаемые) матрицы $ A $ и $ B $. Если матрицы $ A $ и $ B $ отличаются друг от друга размерами, то сложение (вычитание) таких матриц будет ошибкой!В формуле складываются матрицы 3 на 3, значит и получиться должна матрица 3 на 3.
Вычитание матриц полностью аналогично по алгоритму сложения, только знак минус. Каждый элемент искомой матрицы $ C $ получается благодаря вычитанию соответствующих элементов матриц $ A $ и $ B $:
$$ c_{ij} = a_{ij} – b_{ij} $$
Запишем подробную формулу вычитания двух матриц:
$$ A – B = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33} \end{pmatrix} = $$
$$ = \begin{pmatrix} a_{11} – b_{11} & a_{12}-b_{12} & a_{13}-b_{13} \\ a_{21}-b_{21} & a_{22}-b_{22} & a_{23}-b_{23} \\ a_{31}-b_{31} & a_{32}-b_{32} & a_{33}-b_{33} \end{pmatrix} = C $$
Стоит так же заметить, что нельзя складывать и вычитать матрицы с обычными числами, а так же с другими какими-то элементами
Будет полезно знать для дальнейших решений задач с матрицами знать свойства сложения (вычитания).
Свойства
- Если матрицы $ A,B,C $ одинаковые по размеру, тогда для них действует свойство ассоциативности: $$ A + (B + C) = (A + B) + C $$
- Для каждой матрицы существует нулевая матрица, обозначаемая $ O $, при сложении (вычитании) с которой исходная матрица не изменяется: $$ A \pm O = A $$
- Для каждой ненулевой матрицы $ A $ есть противоположная матрица $ (-A) $ сумма с которой обращается в нуль: $$ A + (-A) = 0 $$
- При сложении (вычитании) матриц допустимо свойство коммутативности, то есть матрицы $ A $ и $ B $ можно менять местами: $$ A + B = B + A $$ $$ A – B = B – A $$
Примеры решений
| Пример 1 |
Даны матрицы $ A = \begin{pmatrix} 2&3 \\ -1& 4 \end{pmatrix} $ и $ B = \begin{pmatrix} 1&-3 \\ 2&5 \end{pmatrix} $. Выполнить сложение матриц, а затем вычитание. |
| Решение |
Первым делом проверяем матрицы на размерность. Напомним, что для суммы нужно выполнить попарное сложение соответствующих элементов матриц $ A \text{ и } B $. $$ A + B = \begin{pmatrix} 2&3 \\ -1& 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1&-3 \\ 2&5 \end{pmatrix} = $$ $$ = \begin{pmatrix} 2 + 1 & 3 + (-3) \\ -1 + 2 & 4 + 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 1 & 9 \end{pmatrix} $$ Аналогично сумме находим разность матриц с помощью замены знака “плюс” на “минус”: $$ A – B = \begin{pmatrix} 2&3 \\ -1& 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1&-3 \\ 2&5 \end{pmatrix} = $$ $$ = \begin{pmatrix} 2 – 1 & 3 – (-3) \\ -1 – 2 & 4 – 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 6 \\ -3 & -1 \end{pmatrix} $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. |
| Ответ |
$$ A + B = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 1 & 9 \end{pmatrix}; A – B = \begin{pmatrix} 1 & 6 \\ -3 & -1 \end{pmatrix} $$ |
У матрицы $ A $ размерность $ 2 \times 2 $, у второй матрицы $ B $ размерность тоже $ 2 \times 2 $. Это значит, что с данными матрицами можно провести совместную операцию по сложению и вычитанию.
Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!В статье: “Сложение и вычитание матриц” были даны определения, правила, замечания, свойства операций и практические примеры решения.
Сложение матриц:
Вычитание
и сложение матриц сводится к соответствующим операциям
над их элементами. Операция
сложения матриц вводится только для матриц одинакового размера, т. е. для матриц ,
у которых число строк и столбцов
соответственно равно. Суммой
матриц А и В, называется матрица С, элементы которой равны сумме
соответствующих элементов.
С = А + В
c ij
= a ij
+ b ij
Аналогично
определяется разность
матриц .
Умножение матрицы на число:
Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число. Произведением матрицы А на число k называется матрица В, такая что
b ij = k × a ij . В = k × A b ij = k × a ij . Матрица – А = (-1) × А называется противоположной матрице А.
Свойства сложения матриц и умножения матрицы на число:
Операции сложения матриц и умножения матрицы на число обладают следующими свойствами: 1. А + В = В + А; 2. А + (В + С) = (А + В) + С; 3. А + 0 = А; 4. А – А = 0; 5. 1 × А = А; 6. α × (А + В) = αА + αВ; 7. (α + β) × А = αА + βА; 8. α × (βА) = (αβ) × А; , где А, В и С – матрицы, α и β – числа.
Умножение матриц (Произведение матриц):
Операция
умножения двух матриц вводится только для случая, когда число
столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы .
Произведением матрицы А m×n
на матрицу В n×p ,
называется матрица С m×p
такая, что
с ik
= a i1
× b 1k
+ a i2
× b 2k
+ … + a in
× b nk ,
т.
е. находиться сумма произведений
элементов i – ой строки матрицы А на соответствующие элементы j – ого
столбца матрицы В. Если матрицы А и В квадратные одного размера, то
произведения АВ и ВА всегда существуют.
Легко показать, что А × Е = Е × А = А, где
А квадратная матрица ,
Е – единичная матрица того же размера.
Свойства умножения матриц:
Умножение
матриц не коммутативно,
т.е. АВ ≠ ВА даже если определены оба
произведения. Однако, если для каких –
либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы называются перестановочными. Самым
характерным примером может служить
единичная матрица ,
которая является перестановочной с
любой другой матрицей того же размера. Перестановочными могут
быть только квадратные матрицы одного и того же порядка.
А × Е = Е × А
= А
Умножение матриц обладает следующими свойствами: 1. А × (В × С) = (А × В) × С; 2. А × (В + С) = АВ + АС; 3. (А + В) × С = АС + ВС; 4. α × (АВ) = (αА) × В; 5. А × 0 = 0; 0 × А = 0; 6. (АВ) Т = В Т А Т; 7. (АВС) Т = С Т В Т А Т; 8. (А + В) Т = А Т + В Т;
2. Определители 2-го и 3-го порядков. Свойства определителей.
Определителем матрицы второго порядка, или определителем второго порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:
Определителем матрицы третьего порядка, или определителем третьего порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:
Это число представляет алгебраическую сумму, состоящую из шести слагаемых. В каждое слагаемое входит ровно по одному элементу из каждой строки и каждого столбца матрицы . Каждое слагаемое состоит из произведения трех сомножителей.
Знаки,
с которыми члены определителя
матрицы входят в
формулу нахождения
определителя матрицы третьего порядка можно определить,
пользуясь приведенной схемой, которая
называется правилом треугольников или
правилом Сарруса.
Первые три слагаемые
берутся со знаком плюс и определяются
из левого рисунка, а последующие три
слагаемые берутся со знаком минус и
определяются из правого рисунка.
Определить количество слагаемых, для нахождения определителя матрицы , в алгебраической сумме, можно вычислив факториал: 2! = 1 × 2 = 2 3! = 1 × 2 × 3 = 6
Свойства определителей матриц
Свойства определителей матриц:
Свойство № 1:
Определитель матрицы не изменится, если его строки заменить столбцами, причем каждую строку столбцом с тем же номером, и наоборот (Транспонирование). |А| = |А| Т
Следствие:
Столбцы и строки определителя матрицы равноправны, следовательно, свойства присущие строкам выполняются и для столбцов.
Свойство № 2:
При перестановке 2-х строк или столбцов определитель матрицы изменит знак на противоположный, сохраняя абсолютную величину, т.е.:
Свойство № 3:
Определитель
матрицы , имеющий два одинаковых ряда,
равен нулю.
Свойство № 4:
Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя матрицы можно вынести за знак определителя .
Следствия из свойств № 3 и № 4:
Если все элементы некоторого ряда (строки или столбца) пропорциональны соответствующим элементам параллельного ряда, то такой определитель матрицы равен нулю.
Свойство № 5:
определителя матрицы равны нулю, то сам определитель матрицы равен нулю.
Свойство № 6:
Если все элементы какой–либо строки или столбца определителя представлены в виде суммы 2-х слагаемых, то определитель матрицы можно представить в виде суммы 2-х определителей по формуле:
Свойство № 7:
Если
к какой–либо строке (или столбцу) определителя прибавить соответствующие элементы
другой строки (или столбца), умноженные
на одно и тоже число, то определитель
матрицы не
изменит своей величины.
Пример применения свойств для вычисления определителя матрицы :
Транспонирование матриц
Матрицей размерности m x n называется прямоугольная таблица m x n чисел a ij , i=1,…, m, j=1,…, n:
расположенных в m строках и n столбцах. Матрица называется квадратной, если m=n (n – порядок матрицы).
:
вычисление определителя
a11
a12
…
a1n
a21
a22
…
a2n
.
..…
…
…
am1
am2
…
amn
..n = m
a11
a12
…
a1n
…
…
…
…
am1
am2
…
amn
n ≠ m
1
0
…
0
0
1
.
..0
…
…
…
…
0
0
…
1
1
2
…
5
2
1
…
3
…
…
…
…
5
3
…
1
aij = aji
0
0
…
0
0
0
…
a
.
..…
…
…
0
0
…
0
aij = 0
a11
0
…
0
0
a22
…
0
…
…
…
…
0
0
…
amn
n = m, aii ≠ 0
a11
0
…
0
a21
a22
.
..0
…
…
…
…
am1
am2
…
amn
n = m
a11
a12
…
a1n
0
a22
…
a2n
…
…
…
…
0
0
…
amn
n = m
Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m одинаковой длины строк или n одинаковой длины стробцов.
aij- элемент матрицы, который находится в i-ой строке и j-м столбце.
Вид матрицы:
квадратная
..
..
..
квадратная
прямоугольная
единичная
симметричная
нулевая
диагональная
треугольная матрица, нижняя
треугольная матрица, верхняя
Квадратная матрица – это матрица с равным числом столбцов и строк.
1. Сложение и вычитание матриц:
Сложение
и вычитание матриц – одно из простейших действий над ними,
т.к. необходимо сложить или отнять
соответствующие элементы двух матриц.
Главное помнить, что складывать и
вычитать можно только матрицы одинаковых
размеров,
т.
е. тех, у которых одинаковое количество
строк и одинаковое количество столбцов.
Например, пусть даны две матрицы равного размера 2х3, т.е. с двумя строками и тремя столбцами:
Сумма двух матриц:
Разность двух матриц:
2. Умножение матрицы на число:
Умножение матрицы на число – процесс, заключающийся в умножении числа на каждый элемент матрицы.
Например, пусть дана матрица А:
Умножим число 3 на матрицу А:
3. Умножение двух матриц:
Умножение
двух матриц возможно только при условии, что число
столбцов первой матрицы должно равняться
числу строк второй. Новая матрица,
которая получится при умножении матриц,
будет состоять из количества строк,
равное количеству столбцов первой
матрицы и количества столбцов, равное
количеству строк второй матрицы.
Предположим есть две матрицы размерами 3х4 и 4х2, т.е. в первой матрице 3 строки и 4 столбца, а во второй матрице 4 строки и 2 столбца. Т.к. количество столбцов первой матрицы (4), равно количеству строк второй матрицы (4), то матрицы можно перемножить, новая матрица будет иметь размер: 3х2, т.е. 3 строки и 2 столбца.
Можно представить все это в виде схемы:
После того как Вы определились с размером новой матрицы, которая получится при умножении двух матриц, можно приступить к заполнению этой матрицы элементами. Если Вам надо заполнить первую строчку первого столбца этой матрицы, то надо каждый элемент первой строки первой матрицы умножать на каждый элемент первого столбца второй матрицы, если будем заполнять вторую строку первого столбца соответственно будем брать каждый элемент второй строки первой матрицы и умножать на первый столбец второй матрицы и т.д.
Посмотрим как это выглядит на схеме:
Посмотрим как это выглядит на примере:
Даны две матрицы:
Найдем произведение этих матриц:
4.
Деление
матриц:
Деление матриц – действие над матрицами, которое в этом понятии не встретишь в учебниках. Но если есть необходимость разделить матрицу А на матрицу В, то в этом случае используют одно из свойств степеней:
Согласно этому свойству разделим матрицу А на матрицу В:
В результате задача о делении матриц сводиться к умножению обратной матрицы матрице В на матрицу А.
Задачу об обратной матрице рассмотрим в следующей статье.
Итак мы рассмотрели действия над матрицами.
Транспонированная матрица.
Транспонирование матрицы
Над матрицами определена еще одна операция, называемая транспонированием.
Транспонированная
матрица обозначается
или
.
Операция транспонирования заключается
в том, что строки и столбцы в исходной
матрице меняются ролями. В транспонированной
матрице первым столбцом служит первая
строка исходной матрицы, вторым столбцом
— вторая строка исходной матрицы и т.
д.
Например,
Транспонирование матриц – переход от матрицы А к матрице, в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка.
Пример 1. Составить транспонированную матрицу, полученную из А:
Решение: Поменяем местами строки и столбцы, сохраняя порядок:
Обратная матрица
Определение 14 . 8 Матрица называется обратной матрицей для квадратной матрицы , если . Из определения следует, что обратная матрица будет квадратной матрицей того же порядка, что и матрица (иначе одно из произведений или было бы не определено). Обратная матрица для матрицы обозначается . Таким образом, если существует, то . Из определения обратной матрицы следует, что матрица является обратной для матрицы , то есть . Про матрицы и можно говорить, что они обратны друг другу или взаимно обратны.
Предложение
14 . 20 Если матрица
имеет
обратную, то и .
Доказательство . Так как определитель
произведения матриц равен произведению
определителей ( предложение 14.7 ), то .
По следствию 14.1 ,
поэтому ,
что невозможно при .
Из предыдущего равенства следует также
.
Последнее предложение можно сформулировать
в следующем виде. Если определитель
матрицы равен нулю, то обратная к ней
не существует. Так как для нахождения
обратной матрицы важно, равен ли
определитель марицы нулю или нет, то
введем следующие определения. Определение
14 . 9 Квадратную матрицу
назовем
вырожденной или особенной матрицей ,
если
,
и невырожденной или неособенной матрицей
, если
.
Предложение 14 . 21 Если обратная матрица
существует, то она единственна.
Доказательство . Пусть две матрицы
и являются
обратными для матрицы
.
Тогда и
Следовательно, .
Предложение 14 . 22 Если квадратная матрица
является
невырожденной, то обратная для нее
существует и (
14 .14) где —
алгебраические дополнения к элементам .
Доказательство . Так как для невырожденной
матрицы
правая
часть равенства ( 14.
14 ) всегда существует,
то достаточно показать, что эта правая
часть является обратной матрицей для
матрицы
.
Обозначим правую часть равенства ( 14.14
) буквой
.
Тогда нужно проверить, что и
что .
Докажем первое из этих равенств, второе
доказывается аналогично. Пусть .
Найдем элементы матрицы
,
учитывая, что : Если ,
то по предложению 14.17 сумма справа равна
нулю, то есть при
.
Если ,
то Сумма
справа представляет собой разложение
определителя матрицы
по -ой
строке ( предложение 14.16 ). Таким образом, Итак,
в матрице
диагональные
элементы равны 1, а остальные равны нулю,
то есть .
Результаты предложений 14.20 , 14.21 , 14.22
соберем в одну теорему. Теорема 14 . 1
Обратная матрица для квадратной матрицы
существует
тогда и только тогда, когда матрица
—
невырожденная, обратная матрица
единственна, и справедлива формула (
14.14 ). Замечание 14 . 12 Следует обратить
особое внимание на места, занимаемые
алгебраическими дополнениями в формуле
обратной матрицы: первый индекс показывает
номер столбца , а второй — номер строки
, в которые нужно записать вычисленное
алгебраическое дополнение.
Пример 14 .
7 Найдите обратную матрицу для матрицы .
Решение. Находим определитель Так
как
,
то матрица
—
невырожденная, и обратная для нее
существует. Находим алгебраические
дополнения: Составляем
обратную матрицу, размещая найденные
алгебраические дополнения так, чтобы
первый индекс соответствовал столбцу,
а второй — строке: (
14 .15) Полученная матрица и служит ответом
к задаче. Замечание 14 . 13 В предыдущем
примере было бы точнее ответ записать
так: (
14 .16) Однако запись ( 14.15 ) более компактна
и с ней удобнее проводить дальнейшие
вычисления, если таковые потребуются.
Поэтому запись ответа в виде ( 14.15 )
предпочтительнее, если элементы матриц
— целые числа. И наоборот, если элементы
матрицы
—
десятичные дроби, то обратную матрицу
лучше записать без множителя впереди.
Замечание 14 . 14 При нахождении обратной
матрицы приходится выполнять довольно
много вычислений и необычно правило
расстановки алгебраических дополнений
в итоговой матрице. Поэтому велика
вероятность ошибки.
Чтобы избежать
ошибок следует делать проверку: вычислить
произведение исходной матрицы на
итоговую в том или ином порядке. Если в
результате получится единичная матрица,
то обратная матрица найдена правильно.
В противном случае нужно искать ошибку.
Пример 14 . 8 Найдите обратную матрицу
для матрицы .
Решение. —
существует. Ответ: .
Нахождение обратной матрицы по формуле
( 14.14 ) требует слишком много вычислений.
Для матриц четвертого порядка и выше
это неприемлемо. Реальный алгоритм
нахождения обратной матрицы будет
приведен позже.
матриц – Вычесть матрицу из скаляра
спросил
Изменено 8 лет, 11 месяцев назад
Просмотрено 35 тысяч раз
$\begingroup$
Это вообще возможно? Поскольку вы можете вычитать с правой стороны, я думаю, должен быть способ сделать это и с левой стороны.
Я хотел бы рассчитать это:
3 – [2 1] = ??
- матрицы
$\endgroup$
5
$\begingroup$
Вы не можете сложить скаляр и матрицу. В общем, вы не можете добавить две матрицы, если они не имеют одинакового размера. Однако часто мы обозначаем скалярную матрицу (диагональную матрицу, все элементы которой одинаковы) скаляром. Например, вы можете написать $4$ для обозначения матрицы $\begin{bmatrix}4 & 0 \\ 0 & 4\end{bmatrix}$. Размерность матрицы следует понимать из контекста. Это обозначение позволяет записать, например,
$$
4-\begin{bmatrix}1 и 2 \\ 3 и 4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4 и 0 \\ 0 и 4\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}1 и 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3 & -2 \\ -3 & 0\end{bmatrix}
$$
Однако в вашем случае я никогда не видел скаляр, используемый для обозначения неквадратной матрицы.
$\endgroup$
5
$\begingroup$
Предыдущие ответы, которые в основном говорят: «Нет, сложение/вычитание не определено между матрицами разных размеров», являются правильным ответом на ваш вопрос.
На самом деле нечто подобное делается формально в алгебрах Клиффорда. Есть элементы алгебры, идентифицированные со скалярами, элементы, идентифицированные как векторы (и даже больше элементов с различными идентификациями). Поскольку все они живут в алгебре, между ними определены сложение, вычитание и умножение.
Однако этот последний пункт, вероятно, не является ответом, который вы ищете, потому что добавление чисто формальное: скаляр $\lambda$ плюс вектор $v$ просто “$\lambda +v$”, а там это не формула, которая представляет его как другой скаляр или другой вектор.
$\endgroup$
Зарегистрируйтесь или войдите в систему
Зарегистрируйтесь с помощью Google
Зарегистрироваться через Facebook
Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но никогда не отображается
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie
Вычитание матриц любого порядка и примеры
Эта статья будет о Вычитание матриц, мы собираемся объяснить, как это сделать, с примерами, объясненными шаг за шагом.
Быстрый доступ
!Нажмите на кнопки ниже, чтобы перейти прямо к разделу статьи, которую вы ищете!
Как вычитать матрицы
Прежде чем мы попытаемся вычесть две или более матриц, мы должны сначала понять одну вещь: мы можем вычитать только матрицы одного порядка, это означает, что матрицы должны иметь одинаковую сумму столбцов и строк, например, чтобы вычесть матрицу 3×1 (3 строки и 1 столбец), мы могли вычесть ее только с другой матрицей 3×1.
Прояснив это, теперь мы можем перейти к вычитанию матриц, сначала необходимо понять, как найти число по его положению в столбцах и строках, мы называем каждую позицию следующим образом: A 23 где A — это имя, данное матрице, первое число (2) — это номер строки, в которой расположено число, а второе число (3) — это номер столбца, в котором находится число.
Вычитание двух матриц 3×2
Вычитание выполняется путем вычитания чисел в одинаковых позициях в обеих матрицах, и ответом будет число в той же позиции в результирующей матрице, например: А 22 – В 22 = С 22 .
Очень важно уточнить, что разница между суммой и вычитанием матриц заключается в том, что в этом случае порядок матриц имеет значение, например, в сумме матриц то же самое, что сказать A + B, чем скажем, B + A, потому что мы получили бы один и тот же ответ, но при вычитании матриц A-B и B-A не одно и то же, эти две процедуры дадут нам разные ответы, поэтому мы должны быть осторожны, когда мы устанавливаем матрицы.
Тем не менее, мы собираемся вычесть следующие матрицы
Матрица A
| 2 | 1 |
| 5 | 6 |
| 2 | 9 |
Матрица B
| 3 | 6 |
| 8 | 1 |
| 7 | 0 |
Запишем вычитание каждой позиции
Матрица без решения
| 2 –1 3 3 | 1 – 6 |
| 5 – 8 | 6 – 1 |
| 2 – 7 | 9 – 0 |
Результат
| -1 | -5 |
| -3 | 5 |
| -5 | 9 |
Пример вычитания матриц
Пример 1: Вычесть следующие две матрицы
Матрица А
| 4 | 12 | -5 |
Матрица Б
| -3 | 1 | 9 |
Пишем вычитания
| 4-(-3) | 12-1 | -5-9 |
Результирующая матрица
| 7 | 11 | 14 |
Иисус любит тебя
Иисус – сын Божий, который был послан умереть, чтобы каждый, кто верит в него, имел жизнь вечную.