Как перевести матрицу в число: Онлайн калькулятор. Умножение матрицы на число. - Санкт-Петербургское государственное бюджетное учреждение социального обслуживания населения

{-1}$ не существует.

Когда мы придём к последней строке, матрица до черты станет верхней треугольной, т.е. все элементы под главной диагональю будут равны нулю. Это будет означать конец прямого хода метода Гаусса.

Содержание

Обратный ход метода Гаусса

На этом этапе мы поднимаемся по матрице “снизу вверх”. Сначала используем последнюю строку $r_n$, затем предпоследнюю $r_{n-1}$ и так далее, пока не дойдём до первой строки. С каждой строкой выполняем однотипные операции.

Пусть, например, речь идёт о некоей k-й строке. Матрица, расположенная до черты, содержит в строке $r_k$ диагональный элемент $a_{kk}$. Если $a_{kk}=1$, то это нас вполне устраивает, а если $a_{kk}\neq{1}$, то просто умножаем строку $r_k$ на коэффициент $\frac{1}{a_{kk}}$, чтобы диагональный элемент стал равен 1. Затем с помощью строки $r_k$ обнуляем элементы k-го столбца, расположенные над строкой $r_k$.

Как только мы дойдём до первой строки, матрица до черты станет единичной, и алгоритм завершится.

{-1}\right)$.

Метод Гаусса

Прямой ход метода Гаусса

Первый шаг

На первом шаге прямого хода мы работаем с первой строкой. Первый элемент этой строки (число -5) не равен нулю, поэтому можем приступать к обнулению ненулевых элементов первого столбца, расположенных под первой строкой. Однако для тех преобразований, которые мы станем делать для обнуления элементов, удобно, когда ведущий элемент используемой строки равен 1 или -1. Почему это так, станет ясно из дальнейших действий. Чтобы ведущий элемент текущей строки стал равен -1, поменяем местами первую строку с одной из нижележащих строк – с второй строкой:

Теперь ведущий элемент первой строки стал равен -1 (я выделил этот элемент красным цветом).

Приступим к обнулению ненулевых элементов первого столбца, лежащих под первой строкой (они выделены синим цветом). Для этого над строками матрицы нужно выполнить такие действия:

$$ \begin{aligned} &r_2-\frac{\normblue{-5}}{\boldred{-1}}\cdot{r_1}=r_2-5r_1;\\ &r_3-\frac{\normblue{9}}{\boldred{-1}}\cdot{r_1}=r_3+9r_1. \end{aligned} $$

Запись $r_2-5r_1$ означает, что от элементов второй строки вычли соответствующие элементы первой строки, умноженные на пять. Результат записывают на место второй строки в новую матрицу. Если с устным выполнением такой операции возникают сложности, то это действие можно выполнить отдельно:

$$ r_2-5r_1 =(-5;\;23;\;-24;\;1;\;0;\;0)-5\cdot(-1;\;4;\;-5;\;0;\;1;\;0)=\\ =(-5;\;23;\;-24;\;1;\;0;\;0)-(-5;\;20;\;-25;\;0;\;5;\;0) =(0;\;3;\;1;\;1;\;-5;\;0) $$

Действие $r_3+9r_1$ выполняется аналогично. Первую строку мы не трогали, поэтому в новую матрицу она перейдёт без изменений:

$$ \left(\begin{array}{ccc|ccc} -1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\\ -5 & 23 & -24 & 1 & 0 & 0\\ 9 & -40 & 43 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\ r_2-5r_1 \\ r_3+9r_1 \end{array} \rightarrow \left(\begin{array}{ccc|ccc} -1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 3 & 1 & 1 & -5 & 0\\ 0 & -4 & -2 & 0 & 9 & 1 \end{array}\right) $$

На этом первый шаг закончен.

Нулевых строк в матрице до черты не возникло, поэтому продолжаем решение. Кстати, теперь, я полагаю, ясно, зачем надо было менять местами строки. Если бы не смена мест строк, нам пришлось бы выполнять действия $r_2-\frac{1}{5}\cdot{r_1}$ и $r_3+\frac{9}{5}\cdot{r_1}$, что привело бы к появлению дробей. А легче, разумеется, работать с целыми числами, чем с дробями.

Второй шаг

На втором шаге прямого хода мы работаем с второй строкой. Второй элемент этой строки (число 3) не равен нулю, поэтому можем приступать к обнулению ненулевых элементов второго столбца, расположенных под второй строкой:

$$ \left(\begin{array}{ccc|ccc} -1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 3 & 1 & 1 & -5 & 0\\ 0 & -4 & -2 & 0 & 9 & 1 \end{array}\right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\ \phantom{0} \\ r_3+4/3\cdot{r_2} \end{array} \rightarrow \left(\begin{array}{ccc|ccc} -1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 3 & 1 & 1 & -5 & 0\\ 0 & 0 & -2/3 & 4/3 & 7/3 & 1 \end{array}\right) $$

Матрица до черты стала верхней треугольной, поэтому прямой ход метода Гаусса окончен.

Пару слов насчёт действий со строками, которые мы выполняли на втором шаге. На первом шаге мы меняли местами строки, чтобы ведущий элемент первой строки стал равен -1. Здесь такая смена строк ничего не даст, так как доступна к обмену лишь третья строка, а у неё ведущий элемент тоже не равен ни 1, ни -1. В этом случае можно выполнить дополнительное преобразование со второй строкой: $r_2+r_3$:

$$ \left(\begin{array}{ccc|ccc} -1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 3 & 1 & 1 & -5 & 0\\ 0 & -4 & -2 & 0 & 9 & 1 \end{array}\right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\ r_2+r_3 \\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow \left(\begin{array}{ccc|ccc} -1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\\ 0 & -1 & -1 & 1 & 4 & 1\\ 0 & -4 & -2 & 0 & 9 & 1 \end{array}\right) $$

После этого текущий шаг прямого хода будет продолжен без дробей.

Можно было сделать и такое действие: $3r_3+4r_2$, тогда и необходимый элемент третьего столбца был бы обнулён, и дробей бы не появилось. Выполнять такие действия или нет – надо смотреть по ситуации. Если работы с дробями предвидится немного, то особого смысла в попытках их избежать нет. Если же нас ожидают ещё несколько шагов прямого хода, то, возможно, лучше упростить себе расчёты и выполнить вспомогательное действие, чтобы потом не работать с дробями. К слову, если есть необходимость избавиться от дробей в некоей строке, то можно просто домножить данную строку на соответствующий коэффициент. Например, строку $\left(\frac{1}{3};\;-\frac{4}{5};\;2;0\right)$ можно домножить на число 15, тогда дроби исчезнут, и строка станет такой: $\left(5;\;-12;\;30;0\right)$.

Обратный ход метода Гаусса

Первый шаг

На первом шаге обратного хода мы работаем с последней, т.е. третьей строкой матрицы. Посмотрим на диагональный элемент в третьей строке: он равен $-\frac{2}{3}$.

Сделаем этот элемент единицей, домножив третью строку на $-\frac{3}{2}$, а затем с помощью третьей строки обнулим ненулевые элементы третьего столбца, расположенные над третьей строкой:

$$ \left(\begin{array}{ccc|ccc} -1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 3 & 1 & 1 & -5 & 0\\ 0 & 0 & -2/3 & 4/3 & 7/3 & 1 \end{array}\right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\ \phantom{0}\\ -3/2\cdot{r_3} \end{array} \rightarrow\\ \left(\begin{array}{ccc|ccc} -1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 3 & 1 & 1 & -5 & 0\\ 0 & 0 & 1 & -2 & -7/2 & -3/2 \end{array}\right) \begin{array} {l} r_1+5r_3 \phantom{0}\\ r_2-r_3\\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow \left(\begin{array}{ccc|ccc} -1 & 4 & 0 & -10 & -33/2 & -15/2\\ 0 & 3 & 0 & 3 & -3/2 & 3/2\\ 0 & 0 & 1 & -2 & -7/2 & -3/2 \end{array}\right) $$

Второй шаг

На втором шаге обратного хода мы работаем с предпоследней, т. е. второй строкой матрицы. Посмотрим на диагональный элемент во второй строке: он равен 3. Сделаем этот элемент единицей, домножив вторую строку на $\frac{1}{3}$, а затем с помощью второй строки обнулим ненулевой элемент второго столбца, расположенный над второй строкой:

$$ \left(\begin{array}{ccc|ccc} -1 & 4 & 0 & -10 & -33/2 & -15/2\\ 0 & 3 & 0 & 3 & -3/2 & 3/2\\ 0 & 0 & 1 & -2 & -7/2 & -3/2 \end{array}\right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\ 1/3\cdot{r_2} \\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow\\ \left(\begin{array}{ccc|ccc} -1 & 4 & 0 & -10 & -33/2 & -15/2\\ 0 & 1 & 0 & 1 & -1/2 & 1/2\\ 0 & 0 & 1 & -2 & -7/2 & -3/2 \end{array}\right) \begin{array} {l} r_1-4r_2\\ \phantom{0} \\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow \left(\begin{array}{ccc|ccc} -1 & 0 & 0 & -14 & -29/2 & -19/2\\ 0 & 1 & 0 & 1 & -1/2 & 1/2\\ 0 & 0 & 1 & -2 & -7/2 & -3/2 \end{array}\right) $$

Третий шаг

Работаем с первой строкой. {-1} =\left(\begin{array}{ccc} 14 & 29/2 & 19/2\\ 1 & -1/2 & 1/2\\ -2 & -7/2 & -3/2 \end{array}\right) $$

Если пропустить все пояснения, то решение будет таким:

$$ \left(\begin{array}{ccc|ccc} -5 & 23 & -24 & 1 & 0 & 0\\ -1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\\ 9 & -40 & 43 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \overset{r_1\leftrightarrow{r_2}}{\rightarrow} $$ $$ \rightarrow\left(\begin{array}{ccc|ccc} -1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\\ -5 & 23 & -24 & 1 & 0 & 0\\ 9 & -40 & 43 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\ r_2-5r_1 \\ r_3+9r_1 \end{array} \rightarrow \left(\begin{array}{ccc|ccc} -1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 3 & 1 & 1 & -5 & 0\\ 0 & -4 & -2 & 0 & 9 & 1 \end{array}\right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\ \phantom{0} \\ r_3+4/3\cdot{r_2} \end{array} \rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin{array}{ccc|ccc} -1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 3 & 1 & 1 & -5 & 0\\ 0 & 0 & -2/3 & 4/3 & 7/3 & 1 \end{array}\right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\ \phantom{0}\\ -3/2\cdot{r_3} \end{array} \rightarrow \left(\begin{array}{ccc|ccc} -1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 3 & 1 & 1 & -5 & 0\\ 0 & 0 & 1 & -2 & -7/2 & -3/2 \end{array}\right) \begin{array} {l} r_1+5r_3 \phantom{0}\\ r_2-r_3\\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin{array}{ccc|ccc} -1 & 4 & 0 & -10 & -33/2 & -15/2\\ 0 & 3 & 0 & 3 & -3/2 & 3/2\\ 0 & 0 & 1 & -2 & -7/2 & -3/2 \end{array}\right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\ 1/3\cdot{r_2} \\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow \left(\begin{array}{ccc|ccc} -1 & 4 & 0 & -10 & -33/2 & -15/2\\ 0 & 1 & 0 & 1 & -1/2 & 1/2\\ 0 & 0 & 1 & -2 & -7/2 & -3/2 \end{array}\right) \begin{array} {l} r_1-4r_2\\ \phantom{0} \\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin{array}{ccc|ccc} -1 & 0 & 0 & -14 & -29/2 & -19/2\\ 0 & 1 & 0 & 1 & -1/2 & 1/2\\ 0 & 0 & 1 & -2 & -7/2 & -3/2 \end{array}\right) \begin{array} {l} -1\cdot{r_1}\\ \phantom{0} \\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 14 & 29/2 & 19/2\\ 0 & 1 & 0 & 1 & -1/2 & 1/2\\ 0 & 0 & 1 & -2 & -7/2 & -3/2 \end{array}\right) $$

Теперь решим этот же пример методом Гаусса-Жордана.

Метод Гаусса-Жордана

Первый шаг

На первом шаге мы работаем с первой строкой. Первый элемент этой строки (число -5) не равен нулю, поэтому можем следовать стандартному алгоритму: домножить первую строку на $-\frac{1}{5}$, чтобы первый элемент стал равен единице, а затем обнулить все иные ненулевые элементы первого столбца. Однако, как и при решении методом Гаусса, удобно, когда ведущий элемент используемой строки равен 1 или -1. Поэтому как и на первом шаге метода Гаусса, поменяем местами первую строку с второй строкой:

Теперь первый элемент первой строки стал равен -1. Чтобы этот элемент стал равен 1, домножим первую строку на -1, а потом обнулим все остальные ненулевые элементы первого столбца (они выделены в матрице выше синим цветом):

$$ \left(\begin{array}{ccc|ccc} -1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\\ -5 & 23 & -24 & 1 & 0 & 0\\ 9 & -40 & 43 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \begin{array} {l} -1\cdot{r_1}\\ \phantom{0} \\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow\\ \rightarrow\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -4 & 5 & 0 & -1 & 0\\ -5 & 23 & -24 & 1 & 0 & 0\\ 9 & -40 & 43 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\ r_2+5r_1 \\ r_3-9r_1 \end{array} \rightarrow \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -4 & 5 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 3 & 1 & 1 & -5 & 0\\ 0 & -4 & -2 & 0 & 9 & 1 \end{array}\right) $$

На этом первый шаг закончен. Нулевых строк в матрице до черты не возникло, поэтому продолжаем решение.

Второй шаг

На втором шаге мы работаем с второй строкой. Второй элемент этой строки (число 3) не равен нулю, поэтому домножаем вторую строку на $\frac{1}{3}$, чтобы второй элемент стал равен единице, а затем обнуляем все иные ненулевые элементы второго столбца.

$$ \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -4 & 5 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 3 & 1 & 1 & -5 & 0\\ 0 & -4 & -2 & 0 & 9 & 1 \end{array}\right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\1/3\cdot{r_2} \\\phantom{0}\end{array} \rightarrow\\ \rightarrow\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -4 & 5 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 1/3 & 1/3 & -5/3 & 0\\ 0 & -4 & -2 & 0 & 9 & 1 \end{array}\right) \begin{array} {l} r_1+4r_2\\ \phantom{0} \\ r_3+4r_2 \end{array} \rightarrow \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 19/3 & 4/3 & -23/3 & 0\\ 0 & 1 & 1/3 & 1/3 & -5/3 & 0\\ 0 & 0 & -2/3 & 4/3 & 7/3 & 1 \end{array}\right) $$

Замечание относительно облегчения работы с дробями, сделанное после второго шага прямого хода метода Гаусса, остаётся в силе и здесь.

Третий шаг

На третьем шаге мы работаем с третьей строкой. Третий элемент этой строки (число -2/3) не равен нулю, поэтому домножаем третью строку на $-\frac{3}{2}$, чтобы третий элемент стал равен единице, а затем обнуляем все иные ненулевые элементы третьего столбца.

$$ \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 19/3 & 4/3 & -23/3 & 0\\ 0 & 1 & 1/3 & 1/3 & -5/3 & 0\\ 0 & 0 & -2/3 & 4/3 & 7/3 & 1 \end{array}\right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\\phantom{0} \\ -3/2\cdot{r_3}\end{array} \rightarrow\\ \rightarrow\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 19/3 & 4/3 & -23/3 & 0\\ 0 & 1 & 1/3 & 1/3 & -5/3 & 0\\ 0 & 0 & 1 & -2 & -7/2 & -3/2 \end{array}\right) \begin{array} {l} r_1-19/3r_3\\ r_2-1/3\cdot{r_3} \\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 14 & 29/2 & 19/2\\ 0 & 1 & 0 & 1 & -1/2 & 1/2\\ 0 & 0 & 1 & -2 & -7/2 & -3/2 \end{array}\right) $$

Матрица до черты стала единичной, преобразования завершены. {-1} =\left(\begin{array}{ccc} 14 & 29/2 & 19/2\\ 1 & -1/2 & 1/2\\ -2 & -7/2 & -3/2 \end{array}\right) $$

Если пропустить все пояснения, то решение будет таким:

$$ \left(\begin{array}{ccc|ccc} -5 & 23 & -24 & 1 & 0 & 0\\ -1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\\ 9 & -40 & 43 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \overset{r_1\leftrightarrow{r_2}}{\rightarrow} \left(\begin{array}{ccc|ccc} -1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\\ -5 & 23 & -24 & 1 & 0 & 0\\ 9 & -40 & 43 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \begin{array} {l} -1\cdot{r_1}\\ \phantom{0} \\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -4 & 5 & 0 & -1 & 0\\ -5 & 23 & -24 & 1 & 0 & 0\\ 9 & -40 & 43 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\ r_2+5r_1 \\ r_3-9r_1 \end{array} \rightarrow \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -4 & 5 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 3 & 1 & 1 & -5 & 0\\ 0 & -4 & -2 & 0 & 9 & 1 \end{array}\right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\1/3\cdot{r_2} \\\phantom{0}\end{array} \rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -4 & 5 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 1/3 & 1/3 & -5/3 & 0\\ 0 & -4 & -2 & 0 & 9 & 1 \end{array}\right) \begin{array} {l} r_1+4r_2\\ \phantom{0} \\ r_3+4r_2 \end{array} \rightarrow \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 19/3 & 4/3 & -23/3 & 0\\ 0 & 1 & 1/3 & 1/3 & -5/3 & 0\\ 0 & 0 & -2/3 & 4/3 & 7/3 & 1 \end{array}\right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\\phantom{0} \\ -3/2\cdot{r_3}\end{array} \rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 19/3 & 4/3 & -23/3 & 0\\ 0 & 1 & 1/3 & 1/3 & -5/3 & 0\\ 0 & 0 & 1 & -2 & -7/2 & -3/2 \end{array}\right) \begin{array} {l} r_1-19/3r_3\\ r_2-1/3\cdot{r_3} \\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 14 & 29/2 & 19/2\\ 0 & 1 & 0 & 1 & -1/2 & 1/2\\ 0 & 0 & 1 & -2 & -7/2 & -3/2 \end{array}\right) $$

Ответ: $A^{-1} =\left(\begin{array}{ccc} 14 & 29/2 & 19/2\\ 1 & -1/2 & 1/2\\ -2 & -7/2 & -3/2 \end{array}\right)$. {-1}$, если $A=\left(\begin{array}{cccc} -2 & 3 & 0 & 1\\ -6 & 9 & -2 & 7\\ 0 & -2 & -18 & 27\\ -4 & 5 & -8 & 14\end{array} \right)$.

Решение

В предыдущем примере были даны подробные пояснения каждого шага как метода Гаусса, так и метода Гаусса-Жордана. В этом примере я стану комментировать лишь некие нюансы, которые возникнут в ходе решения.

Метод Гаусса

$$ \left(\begin{array}{cccc|cccc} -2 & 3 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\ -6 & 9 & -2 & 7 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -18 & 27 & 0 & 0 & 1 & 0\\ -4 & 5 & -8 & 14 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \begin{array} {l} \phantom{0} \\ r_2-3r_1 \\ \phantom{0} \\ r_4-2r_1 \end{array} \rightarrow \left(\begin{array}{cccc|cccc} -2 & 3 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -2 & 4 & -3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -18 & 27 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & -1 & -8 & 12 & -2 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) $$

Пора переходить ко второму шагу прямого хода метода Гаусса. На этом шаге должна использоваться вторая строка, однако второй элемент данной строки равен нулю. Согласно алгоритму, нужно поменять местами вторую строку с одной из нижележащих строк, у которых второй элемент отличен от нуля. Поменяем местами вторую и четвёртую строки, а потом продолжим преобразования:

$$ \left(\begin{array}{cccc|cccc} -2 & 3 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -2 & 4 & -3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -18 & 27 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & -1 & -8 & 12 & -2 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \overset{r_2\leftrightarrow{r_4}}{\rightarrow} \left(\begin{array}{cccc|cccc} -2 & 3 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & -8 & 12 & -2 & 0 & 0 & 1\\ 0 & -2 & -18 & 27 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -2 & 4 & -3 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right) \begin{array} {l} \phantom{0} \\ \phantom{0} \\ r_3-2r_2 \\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin{array}{cccc|cccc} -2 & 3 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & -8 & 12 & -2 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & -2 & 3 & 4 & 0 & 1 & -2\\ 0 & 0 & -2 & 4 & -3 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right) \begin{array} {l} \phantom{0} \\ \phantom{0} \\ \phantom{0} \\ r_4-r_3 \end{array} \rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin{array}{cccc|cccc} -2 & 3 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & -8 & 12 & -2 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & -2 & 3 & 4 & 0 & 1 & -2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -7 & 1 & -1 & 2 \end{array} \right) \begin{array} {l} r_1-r_4 \\ r_2-12r_4 \\ r_3-3r_1 \\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin{array}{cccc|cccc} -2 & 3 & 0 & 0 & 8 & -1 & 1 & -2\\ 0 & -1 & -8 & 0 & 82 & -12 & 12 & -23\\ 0 & 0 & -2 & 0 & 25 & -3 & 4 & -8\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -7 & 1 & -1 & 2 \end{array} \right) \begin{array} {l} \phantom{0} \\ \phantom{0} \\ -1/2\cdot{r_3} \\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin{array}{cccc|cccc} -2 & 3 & 0 & 0 & 8 & -1 & 1 & -2\\ 0 & -1 & -8 & 0 & 82 & -12 & 12 & -23\\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25/2 & 3/2 & -2 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -7 & 1 & -1 & 2 \end{array} \right) \begin{array} {l} \phantom{0} \\ r_2+8r_3 \\ \phantom{0} \\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin{array}{cccc|cccc} -2 & 3 & 0 & 0 & 8 & -1 & 1 & -2\\ 0 & -1 & 0 & 0 & -18 & 0 & -4 & 9\\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25/2 & 3/2 & -2 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -7 & 1 & -1 & 2 \end{array} \right) \begin{array} {l} \phantom{0} \\ -1\cdot{r_2} \\ \phantom{0} \\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin{array}{cccc|cccc} -2 & 3 & 0 & 0 & 8 & -1 & 1 & -2\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 18 & 0 & 4 & -9\\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25/2 & 3/2 & -2 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -7 & 1 & -1 & 2 \end{array} \right) \begin{array} {l} r_1-3r_2 \\ \phantom{0} \\ \phantom{0} \\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin{array}{cccc|cccc} -2 & 0 & 0 & 0 & -46 & -1 & -11 & 25\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 18 & 0 & 4 & -9\\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25/2 & 3/2 & -2 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -7 & 1 & -1 & 2 \end{array} \right) \begin{array} {l} -1/2\cdot{r_1} \\ \phantom{0} \\ \phantom{0} \\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 23 & 1/2 & 11/2 & -25/2\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 18 & 0 & 4 & -9\\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25/2 & 3/2 & -2 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -7 & 1 & -1 & 2 \end{array}\right) $$

Из последней матрицы получаем ответ:

$$ A^{-1} =\left(\begin{array}{cccc} 23 & 1/2 & 11/2 & -25/2\\ 18 & 0 & 4 & -9\\ -25/2 & 3/2 & -2 & 4\\ -7 & 1 & -1 & 2 \end{array}\right) $$

Метод Гаусса-Жордана

$$ \left(\begin{array}{cccc|cccc} -2 & 3 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\ -6 & 9 & -2 & 7 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -18 & 27 & 0 & 0 & 1 & 0\\ -4 & 5 & -8 & 14 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \begin{array} {l} -1/2\cdot{r_1} \\ \phantom{0} \\ \phantom{0} \\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & -3/2 & 0 & -1/2 & -1/2 & 0 & 0 & 0\\ -6 & 9 & -2 & 7 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -18 & 27 & 0 & 0 & 1 & 0\\ -4 & 5 & -8 & 14 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \begin{array} {l} \phantom{0} \\ r_2+6r_1 \\ \phantom{0} \\ r_4+4r_1 \end{array} \rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & -3/2 & 0 & -1/2 & -1/2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -2 & 4 & -3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -18 & 27 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & -1 & -8 & 12 & -2 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) $$

Пора переходить ко второму шагу метода Гаусса-Жордана. На этом шаге должна использоваться вторая строка, однако второй элемент данной строки равен нулю. Согласно алгоритму, нужно поменять местами вторую строку с одной из нижележащих строк, у которых второй элемент отличен от нуля. Поменяем местами вторую и четвёртую строки, а потом продолжим преобразования:

$$ \left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & -3/2 & 0 & -1/2 & -1/2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -2 & 4 & -3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -18 & 27 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & -1 & -8 & 12 & -2 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \overset{r_2\leftrightarrow{r_4}}{\rightarrow} $$ $$ \rightarrow\left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & -3/2 & 0 & -1/2 & -1/2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & -8 & 12 & -2 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & -2 & -18 & 27 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -2 & 4 & -3 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right) \begin{array} {l} \phantom{0} \\ -1\cdot{r_2} \\ \phantom{0} \\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & -3/2 & 0 & -1/2 & -1/2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 8 & -12 & 2 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & -2 & -18 & 27 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -2 & 4 & -3 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right) \begin{array} {l} r_1+3/2\cdot{r_2} \\ \phantom{0} \\ r_3+2r_2 \\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 12 & -37/2 & 5/2 & 0 & 0 & -3/2\\ 0 & 1 & 8 & -12 & 2 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -2 & 3 & 4 & 0 & 1 & -2\\ 0 & 0 & -2 & 4 & -3 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right) \begin{array} {l} \phantom{0} \\ \phantom{0} \\ -1/2\cdot{r_3} \\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 12 & -37/2 & 5/2 & 0 & 0 & -3/2\\ 0 & 1 & 8 & -12 & 2 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -3/2 & -2 & 0 & -1/2 & 1\\ 0 & 0 & -2 & 4 & -3 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right) \begin{array} {l} r_1-12r_3 \\ r_2-8r_3 \\ \phantom{0} \\ r_4+2r_3 \end{array} \rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 0 & -1/2 & 53/2 & 0 & 6 & -27/2\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 18 & 0 & 4 & -9 \\ 0 & 0 & 1 & -3/2 & -2 & 0 & -1/2 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -7 & 1 & -1 & 2 \end{array} \right) \begin{array} {l} r_1+1/2\cdot{r_4} \\ \phantom{0} \\ r_3+3/2\cdot{r_4} \\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 23 & 1/2 & 11/2 & -25/2\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 18 & 0 & 4 & -9\\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25/2 & 3/2 & -2 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -7 & 1 & -1 & 2 \end{array}\right) $$

Из последней матрицы получаем ответ:

$$ A^{-1} =\left(\begin{array}{cccc} 23 & 1/2 & 11/2 & -25/2\\ 18 & 0 & 4 & -9\\ -25/2 & 3/2 & -2 & 4\\ -7 & 1 & -1 & 2 \end{array}\right) $$

Ответ: $ A^{-1} =\left(\begin{array}{cccc} 23 & 1/2 & 11/2 & -25/2\\ 18 & 0 & 4 & -9\\ -25/2 & 3/2 & -2 & 4\\ -7 & 1 & -1 & 2 \end{array}\right) $. {-1}$, если $A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -2 & 5\\ -2 & 5 & -13\\ -3 & 4 & -9\end{array} \right)$.

Решение

В данном примере применим метод Гаусса.

$$ \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -2 & 5 & 1 & 0 & 0\\ -2 & 5 & -13 & 0 & 1 & 0\\ -3 & 4 & -9 & 0 & 0 & 1\end{array} \right) \begin{array} {l} \phantom{0} \\ r_2+2r_1 \\ r_3+3r_1 \end{array} \rightarrow\\ $$ $$ \rightarrow\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -2 & 5 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -3 & 2 & 1 & 0\\ 0 & -2 & 6 & 3 & 0 & 1\end{array} \right) \begin{array} {l} \phantom{0} \\ \phantom{0} \\ r_3+2r_2 \end{array} \rightarrow \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -2 & 5 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -3 & 2 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 7 & 2 & 1\end{array}\right) $$

В матрице до черты появилась нулевая строка. {-1}$ не существует.

Ответ: обратной матрицы не существует.

Объекты и типы данных R: матрицы

Матрица (matrix) представляет собой двумерную совокупность числовых, логических или текстовых величин. В свою очередь массив (array) – это совокупность некоторых однотипных элементов, обладающая размерностью больше двух.

В R матрицу можно легко создать при помощи одноименной функции matrix(). В состав основных аргументов этой функции входят преобразуемый в матрицу вектор, а также параметры, определяющие количество строк (nrow – от number of rows) и столбцов (ncol – от number of columns). Так, для создания матрицы my.mat из четырех строк и четырех столбцов, содержащей совокупность чисел от 1 до 16, необходимо выполнить следующую команду:

my.mat <- matrix(seq(1, 16), nrow = 4, ncol = 4)
my.mat
     [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,]    1    5    9   13
[2,]    2    6   10   14
[3,]    3    7   11   15
[4,]    4    8   12   16

Обратите внимание на то, что по умолчанию заполнение матрицы происходит по столбцам, т. е. первые четыре значения входят в первый столбец, следующие четыре значения – во второй столбец, и т.д. Такой порядок заполнения можно изменить, придав специальному аргументу byrow (от by row – по строкам) значение TRUE:

my.mat <- matrix(seq(1, 16), nrow = 4, ncol = 4, byrow = TRUE)

my.mat
     [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,]    1    2    3    4
[2,]    5    6    7    8
[3,]    9   10   11   12
[4,]   13   14   15   16

В качестве заголовков строк и столбцов создаваемой матрицы автоматически выводятся соответствующие индексные номера (строки: [1,], [2,], и т.д.; столбцы: [,1], [,2], и т.д.). Для придания пользовательских заголовков строкам и столбцам матриц используют функции rownames() и colnames() соответственно. Например, для обозначения строк матрицы my.mat буквами A, B, C и D необходимо выполнить следующее:

rownames(my.mat) <- c("A", "B", "C", "D")
my.mat
  [,1] [,2] [,3] [,4]
A    1    2    3    4
B    5    6    7    8
C    9   10   11   12
D   13   14   15   16

В матрице my. mat имеется 16 значений, которые как раз вмещаются в имеющиеся четыре строки и четыре столбца. Но что произойдет, если, например, попытаться вместить вектор из 12 чисел в матрицу того же размера? В подобных случаях R заполняет недостающие значения за счет «зацикливания» (recycling) короткого вектора. Вот как это выглядит на примере:

my.mat2 <- matrix(seq(1, 12), nrow = 4, ncol = 4, byrow = TRUE)

my.mat2
     [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,]    1    2    3    4
[2,]    5    6    7    8
[3,]    9   10   11   12
[4,]    1    2    3    4

Как видим, для заполнения ячеек последней строки матрицы my.mat2 программа снова использовала числа 1, 2, 3, и 4.

Альтернативный способ создания матриц заключается в применении функции dim() (от dimension – размерность). Так, матрицу my.mat мы могли бы сформировать следующим образом:

my.mat <- 1:16
# Задаем размерность 4x4 вектору my.mat:
dim(my.mat) <- c(4, 4)
my.mat
     [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,]    1    5    9   13
[2,]    2    6   10   14
[3,]    3    7   11   15
[4,]    4    8   12   16
# Функция dim() очень полезна.  Она позволяет проверить размерность
# уже имеющейся матрицы (или таблицы данных), например:
dim(my.mat)
[1] 4 4

Матрицу можно собрать также из нескольких векторов, используя функции cbind() (от сolum и bind – столбец и связывать) или rbind() (от row и bind – строка и связывать):

# Cоздадим четыре вектора одинаковой длины:
a <- c(1, 2, 3, 4)
b <- c(5, 6, 7, 8)
d <- c(9, 10, 11, 12)
e <- c(13, 14, 15, 16)
# Объединим этим векторы при помощи функции cbind():
cbind(a, b, d, e)
     a b  d  e
[1,] 1 5  9 13
[2,] 2 6 10 14
[3,] 3 7 11 15
[4,] 4 8 12 16
# Объединим те же векторы при помощи функции rbind():
rbind(a, b, d, e)
  [,1] [,2] [,3] [,4]
a    1    2    3    4
b    5    6    7    8
d    9   10   11   12
e   13   14   15   16

Вспомним, что матрицы и массивы – это те же векторы, но с размерностью 2 или выше. Поэтому практически все векторные операции (см.

здесь) одинаково применимы в отношении матриц и массивов. Так, путем индексирования мы можем извлекать из матриц необходимые элементы и далее подвергать их требуемым преобразованиям. Рассмотрим лишь несколько примеров:

# Извлечем элемент матрицы my.mat, расположенный на
# пересечении 2-й строки и 3-го столбца:
my.mat[2, 3]
[1] 7
# Извлечем из матрицы все элементы, находящиеся в 4-м столбце
# (для этого номера строк перед запятой можно просто не указывать):
my.mat[, 4]
[1] 4  8 12 16
# Извлечем из матрицы все элементы, находящиеся в 1-й строке
# (в этом случае нет необходимости указывать номера столбцов):
my.mat[1, ]
[1] 1 2 3 4
# Перемножим 1-й и 4-й столбцы матрицы (поэлементно):
my.mat[, 1]*my.mat[, 4]
[1] 4 40 108 208

Отметим, наконец, что при необходимости матрицу можно транспонировать (т.е. поменять строки и столбцы местами) при помощи функции t() (от transpose):

t(my.mat)
     A B  C  D
[1,] 1 5  9 13
[2,] 2 6 10 14
[3,] 3 7 11 15
[4,] 4 8 12 16

—
Создано при помощи Pretty R на сайте inside-R. org

Как перемножить матрицы в Python?

Последнее обновление: 13:29:09 08-10-2021

Умножение матрицы на матрицу в Питоне выполняется с помощью команды A. dot(B), где A и B это матрицы. Умножение определено, если количество столбцов A равно количеству строк B. Чтобы умножение было определено, количество столбцов первой матрицы должно быть равно количеству строк второй матрицы.

В связи с этим, Как перемножить матрицы в Питоне?

Можно также спросить, Как перемножить матрицы в С?

3:2111:41Рекомендуемый клип · 60 сек.Начало рекомендуемого клипаКонец рекомендуемого клипа

Имея это в виду, Как умножить в Python?

Кроме того, в Python числа перемножаются с помощью звездочки (*), а не знака умножения (×).

14 Связанный вопрос

Чтобы найти произведение матрицы и вектора, необходимо умножать по правилу «строка на столбец»:если умножить матрицу на вектор-столбец число столбцов в матрице должно совпадать с числом строк в векторе-столбце;результатом умножения вектора-столбца является только вектор-столбец:Умножение матриц: примеры, алгоритм действий, свойства . ..https://zaochnik.com › matritsy › umnozhenie-matritshttps://zaochnik.com › matritsy › umnozhenie-matritsИскать: Как умножить вектор на матрицу?

Векторы можно умножать скалярно и векторно. Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: (8.1).16 окт. 2019 г.Как умножать вектора – Умножение векторов, формулы и примерыhttps://дмш-самрина.рф › raznoe › kak-umnozhat-vektor…https://дмш-самрина.рф › raznoe › kak-umnozhat-vektor…Искать: Как умножить два вектора?

Всё просто, для того чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый элемент матрицы умножить на данное число.Действия с матрицами – MathProfihttp://mathprofi.ru › deistviya_s_matricamihttp://mathprofi.ru › deistviya_s_matricamiИскать: Как умножать на матрицу?

Матрица E называется единичной, если при умножении на нее любой матрицы A (слева и справа) матрица A остается неизменной: AE = EA = A. Оказывается, что элементы единичной матрицы описываются ранее введенным выражением δi j.Единичная матрицаhttps://portal.tpu.ru › KONVAL › Sites › Russian_siteshttps://portal.tpu.ru › KONVAL › Sites › Russian_sitesИскать: Как умножать на единичную матрицу?

Две матрицы можно умножать между собой только тогда, когда количество столбцов в первой матрице совпадает с количеством строк во второй матрице. Другими словами первая матрица обязательно должна быть согласованной со второй матрицей.Умножение матрицы на матрицу онлайн – Построение графиковhttps://www.yotx.ru › Матрицы › Умножние_на_матрицуhttps://www.yotx.ru › Матрицы › Умножние_на_матрицуИскать: Как умножить двоичные матрицы?

Операция умножения двух матриц выполнима только в том случае, если число столбцов в первом сомножителе равно числу строк во втором; в этом случае говорят, что матрицы согласованы. В частности, умножение всегда выполнимо, если оба сомножителя — квадратные матрицы одного и того же порядка. Умножение матриц – — Википедияhttps://ru.wikipedia.org › wiki › Умножение_матрицhttps://ru.wikipedia.org › wiki › Умножение_матрицИскать: Какие матрицы можно умножать?

Вычитать можно только матрицы одинакового размера.Сложение и вычитание матриц – Webmath.ruhttps://www.webmath.ru › poleznoe › formules_6_5https://www.webmath.ru › poleznoe › formules_6_5Искать: Какие матрицы можно вычитать?

Разность матриц А и В – это матрица С = А – В такого же размера как исходные матрицы, получаемая из исходных путем прибавления к матрице А матрицы В , умноженной на -1.Вычитание матриц онлайн – Построение графиковhttps://www.yotx.ru › Матрицы › Вычитаниеhttps://www.yotx.ru › Матрицы › ВычитаниеИскать: Как отнять одну матрицу от другой?

2:385:06Рекомендуемый клип · 54 сек.Сложение и вычитание матриц – YouTubeYouTubeНачало рекомендуемого клипаКонец рекомендуемого клипаСложение и вычитание матриц – YouTubehttps://www. youtube.com › watchhttps://www.youtube.com › watchИскать: Как вычесть матрицу из матрицы?

Сложение матриц: теория и примеры Суммой (разностью) двух mn-матриц A и B называется матрица С , элементы которой равны суммам (разностям) соответствующих элементов матриц A и B , т. е. … Из данного определения понятно, что разность матриц – результат, обратный сумме матриц.Сложение матриц: примеры, свойства, смысл – “Чистая” и …https://function-x.ru › operations_with_matrices3https://function-x.ru › operations_with_matrices3Искать: Какая матрица называется разницей матриц?

Суммой двух матриц называется матрица, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов складываемых матриц. Складывать можно только матрицы с одинаковой размерностью, то есть число строк и столбцов первой матрицы должно быть равно числу строк и столбцов второй матрицы.Сложение двух матриц – Математические онлайн-сервисыhttps://algebra24. ru › slozhenie-matrichttps://algebra24.ru › slozhenie-matricИскать: Как определяется сложение матриц?

Определение. Произведением двух матриц А и В называется матрица С, элемент которой, находящийся на пересечении i-й строки и j-го столбца, равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие (по порядку) элементы j-го столбца матрицы В.Произведение двух матриц: формула, решения, свойстваhttps://function-x.ru › operations_with_matriceshttps://function-x.ru › operations_with_matricesИскать: Как найти произведение двух квадратных матриц?

Определитель матрицы равен сумме произведений элементов строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения.Как вычислить определитель? – Mathprofi.ruhttp://mathprofi.ru › kak_vychislit_opredelitelhttp://mathprofi.ru › kak_vychislit_opredelitelИскать: Как найти определитель двух матриц?

Для умножения матриц в MS EXCEL существует специальная функция МУМНОЖ() , которую нужно вводить как формулу массива . …Для этого:выделите указанный диапазон H8:I9.поставьте курсор в Строку формул (или нажмите клавишу F2 )введите формулу =МУМНОЖ(A8:B9;D8:E9)нажмите CTRL+SHIFT+ENTER.26 нояб. 2015 г.Умножение матриц в EXCEL. Примеры и описание – Excel2.ruhttps://excel2.ru › articles › umnozhenie-matric-v-ms-excelhttps://excel2.ru › articles › umnozhenie-matric-v-ms-excelИскать: Как найти произведение двух матриц в Excel?

Матричная функция

– RDocumentation

Если один из nrow или ncol не задан, выполняется попытка сделано, чтобы вывести его из длины данных и других параметр. Если ни один из них не указан, возвращается матрица из одного столбца.

Если в данных слишком мало элементов для заполнения матрицы, затем повторно используются элементы в данных . Если данных имеет нулевая длина, NA соответствующего типа используется для атомарного векторов ( 0 для необработанных векторов) и NULL для списков.

- матрица возвращает ИСТИНА , если x является вектором и имеет "dim" атрибут длины 2 и FALSE в противном случае. Обратите внимание, что data.frame – это , а не матрица по этому тестовое задание. Функция универсальна: вы можете написать методы для обработки конкретные классы объектов см. InternalMethods.

as.matrix – это функция общего назначения. Метод для фреймов данных вернет матрицу символов, если есть только атомарные столбцы и любые не- (числовой / логический / комплексный) столбец, применяя как.вектор в факторы и формат в другие несимвольные столбцы. В противном случае обычная иерархия принуждения (логическое <целое <двойное < комплекс), например, будут приводиться полностью логические кадры данных к логической матрице смешанное логико-целое число даст целочисленную матрицу, пр.

Метод по умолчанию для as. matrix вызывает as.vector (x) , а следовательно, например, принуждает множители к векторам символов.

При приведении вектора создается матрица с одним столбцом и продвигает имена (если есть) вектора в имена строк матрицы.

- матрица – примитивная функция.

Метод print для матрицы дает прямоугольный макет с dimnames или индексы. Для матрицы списка элементы длины не один печатается в виде целого числа , 7 указывает тип и длина.

Преобразование 1D-массива в 2D-массив Numpy или матрицу – thisPointer

В этой статье мы обсудим, как преобразовать одномерный массив Numpy в 2D-массив или матрицу с помощью функции reshape ().Мы также обсудим, как построить 2D-массив по строкам и по столбцам из 1D-массива.

Предположим, у нас есть 1D numpy-массив размером 10,

 # создать 1D-массив numpy из списка
arr = np. array ([0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9])

print ('1D массив Numpy:')
печать (обр.)

Выход:

 [0 1 2 3 4 5 6 7 8 9]

Теперь мы хотим преобразовать его в 2D-массив или матрицу формы 2X5, то есть в 2 строки и 5 столбцов, как это,

 [[0 1 2 3 4]
 [5 6 7 8 9]]

Преобразование одномерного массива в двухмерный массив или матрицу

Сначала импортируйте модуль numpy,

 импортируйте numpy как np

Теперь, чтобы преобразовать форму массива numpy, мы можем использовать функцию reshape () модуля numpy,

кол-во.изменить форму ()

 numpy.reshape (arr, newshape, order = 'C')

Принимает следующие аргументы,

a: Массив, который необходимо изменить. Это может быть массив любой формы или список или список списков.
newshape: Новая фигура может быть кортежем или целым числом.
: порядок, в котором будут использоваться элементы из входного массива.

Возвращает новый объект вида (если возможно, в противном случае возвращает копию) новой формы.

Давайте воспользуемся этим, чтобы преобразовать наш одномерный массив numpy в двумерный массив numpy,

 arr = np.массив ([0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9])

# Преобразование 1D-массива в 2D-массив из 2 строк и 3 столбцов
arr_2d = np.reshape (прибл, (2, 5))

печать (arr_2d)

Вывод:

 [[0 1 2 3 4]
 [5 6 7 8 9]]

Мы передали одномерный массив в качестве первого аргумента и новую фигуру, то есть кортеж (2, 5), в качестве второго аргумента. Он вернул 2D-вид переданного массива.

Важным моментом здесь является то, что новая форма массива должна быть совместима с исходной формой входного массива, иначе это вызовет ошибку ValueError. Например, если мы попытаемся преобразовать 1D-массив из 10 элементов в 2D-массив размером 2×3, то это вызовет ошибку:

 # Преобразование 1D-массива в 2D-массив несовместимой формы вызовет ошибку.
arr_2d = np.reshape (arr, (2, 3))

Ошибка:

 ValueError: невозможно преобразовать массив размера 10 в форму (2,3)

Это вызвало ошибку, потому что 1D-массив размера 10 можно преобразовать только в 2D-массив размером 2X5 или 5X2. Но в приведенном выше примере мы попытались преобразовать его в форму, несовместимую с его размером.

Преобразованный 2D-массив – это вид 1D-массива

Если возможно, функция reshape () возвращает представление исходного массива, и любые изменения в объекте представления также повлияют на исходный входной массив. Например,

 arr = np.array ([0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]). 

arr_2d = np.reshape (прибл, (2, 5))

# Изменить 2D-массив numpy (объект View)
arr_2d [0] [0] = 22

print ('1D массив Numpy:')
печать (обр)

print ('2D-массив Numpy:')
печать (обр_2д)

Выход:

 1D массив Numpy:
[22 1 2 3 4 5 6 7 8 9]
2D массив Numpy:
[[22 1 2 3 4]
 [5 6 7 8 9]]

Преобразуйте массив 1D Numpy в массив 3D Numpy с помощью numpy.изменить форму ()

Предположим, у нас есть одномерный массив из 12 элементов,

 arr = np.array ([1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12])

Теперь давайте преобразуем этот одномерный массив в трехмерный массив numpy, т.е.

 # Преобразуем одномерный массив Numpy в трехмерный массив с двумя матрицами формы 2X3.
arr_3d = np.reshape (arr, (2, 2, 3))

print ('3D-массив Numpy:')
печать (arr_3d)

Вывод:

 3D-массив Numpy:
[[[1 2 3]
  [4 5 6]]
 [[7 8 9]
  [10 11 12]]]

Мы передали 1D-массив в качестве первого аргумента и новую фигуру i.

е. кортеж (2, 2, 3) в качестве второго аргумента. Он вернул трехмерный вид переданного массива.

Преобразование 1D-массива Numpy в 2D-массив Numpy вдоль столбца

В предыдущем примере, когда мы преобразовали одномерный массив в двухмерный массив или матрицу, то элементы из входного массива будут считываться по строкам, т.е.

1-я строка 2D-массива была создана из элементов с индексами от 0 до 2 во входном массиве
2-я строка 2D-массива была создана из элементов с индексами от 3 до 5 во входном массиве
3-я строка 2D-массива была создана из элементов с индексами от 6 до 8 во входном массиве

Теперь предположим, что мы хотим построить матрицу / 2-мерный массив по столбцам.Для этого мы можем передать параметр порядка как «F» в функции reshape (), т.е.

 arr = np.array ([0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9])

# преобразование по столбцам 1D массива numpy в массив 2D Numpy
arr_2d = np. reshape (arr, (2, 5), порядок = 'F')

print ('2D-массив Numpy:')
печать (обр_2д)

Вывод:

 2D-массив Numpy:
[[0 2 4 6 8]
 [1 3 5 7 9]]

Он преобразовал 1D-массив в 2D-матрицу, и эта матрица была создана по столбцам i.е.

1-й столбец 2D-массива был создан из элементов с индексами от 0 до 2 во входном массиве
2-й столбец 2D-массива был создан из элементов с индексами от 3 до 5 во входном массиве
3-й столбец 2D-массива был создан из элементов с индексами от 6 до 8 во входном массиве

Преобразовать двумерный массив в одномерный массив как копию

Если возможно, то numpy.reshape () возвращает представление исходного массива. Теперь предположим, что мы хотим создать 2D-копию одномерного массива numpy, а затем использовать функцию copy () вместе с функцией reshape (),

 arr = np. массив ([0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9])

arr_2d = np.reshape (arr, (2, 5)). copy ()

# Измените массив 2D numpy, и это не повлияет на исходный массив 1D
arr_2d [0] [0] = 22

print ('1D массив Numpy:')
печать (обр)

print ('2D-массив Numpy:')
печать (обр_2д)

Выход:

 1D массив Numpy:
[0 1 2 3 4 5 6 7 8 9]
2D массив Numpy:
[[22 1 2 3 4]
 [5 6 7 8 9]]

Он создал двумерную копию одномерного массива. Любые изменения, внесенные в этот 2D-массив, не повлияют на исходный массив.

Полный пример выглядит следующим образом:

 import numpy as np


def main ():

    print ('*** Преобразование 1D-массива в 2D-массив Numpy ***')

    # создать одномерный массив numpy из списка
    arr = np.array ([0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9])

    print ('1D массив Numpy:')
    печать (обр)

    # Преобразование 1D-массива в 2D-массив из 2 строк и 3 столбцов
    arr_2d = np. reshape (прибл, (2, 5))

    print ('2D-массив Numpy:')
    печать (arr_2d)

    print ('Форма 2D-массива должна быть совместима с 1D-массивом')

    # Преобразование 1D-массива в 2D-массив несовместимой формы вызовет ошибку
    # arr_2d = np.изменить форму (обр., (2, 3))
    #ValueError: невозможно преобразовать массив размером 10 в форму (2,3)

    print ('Измененный 2D-массив - это вид 1D-массива')

    # Изменить 2D-массив numpy (объект View)
    arr_2d [0] [0] = 22

    print ('1D массив Numpy:')
    печать (обр)

    print ('2D-массив Numpy:')
    печать (arr_2d)

    print ('Преобразование 1D-массива Numpy в 3D-массив Numpy с помощью numpy.reshape ()')

    arr = np.array ([1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12])

    print ('1D массив Numpy:')
    печать (обр)

    # Преобразование 1D Numpy-массива в 3D-массив с 2 матрицами формы 2X3
    arr_3d = np.изменить форму (обр., (2, 2, 3))

    print ('3D-массив Numpy:')
    печать (arr_3d)

    print ('*** Преобразование 1D-массива Numpy в 2D-массив Numpy по столбцу ***')

    arr = np. array ([0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9])

    print ('1D массив Numpy:')
    печать (обр)

    # преобразование по столбцам 1D массива numpy в массив 2D Numpy
    arr_2d = np.reshape (arr, (2, 5), порядок = 'F')

    print ('2D-массив Numpy:')
    печать (arr_2d)


    print ('*** Преобразовать 2D-массив в 1D-массив как копию ***')

    arr = np.массив ([0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9])

    print ('1D массив Numpy:')
    печать (обр)

    arr_2d = np.reshape (arr, (2, 5)). copy ()

    print ('2D-массив Numpy:')
    печать (arr_2d)

    # Измените массив 2D numpy, и это не повлияет на исходный массив 1D
    arr_2d [0] [0] = 22

    print ('1D массив Numpy:')
    печать (обр)

    print ('2D-массив Numpy:')
    печать (arr_2d)


если __name__ == '__main__':
    основной ()

Выходные данные

 *** Преобразование 1D-массива в 2D-массив Numpy ***
1D массив Numpy:
[0 1 2 3 4 5 6 7 8 9]
2D массив Numpy:
[[0 1 2 3 4]
 [5 6 7 8 9]]
Форма 2D-массива должна быть совместима с 1D-массивом
Преобразованный 2D-массив - это вид 1D-массива
1D массив Numpy:
[22 1 2 3 4 5 6 7 8 9]
2D массив Numpy:
[[22 1 2 3 4]
 [5 6 7 8 9]]
Преобразуйте массив 1D Numpy в массив 3D Numpy с помощью numpy. изменить форму ()
1D массив Numpy:
[1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12]
Массив 3D Numpy:
[[[1 2 3]
  [4 5 6]]

 [[7 8 9]
  [10 11 12]]]
*** Преобразование 1D массива Numpy в массив 2D Numpy вдоль столбца ***
1D массив Numpy:
[0 1 2 3 4 5 6 7 8 9]
2D массив Numpy:
[[0 2 4 6 8]
 [1 3 5 7 9]]
*** Преобразование 2D-массива в 1D-массив как копию ***
1D массив Numpy:
[0 1 2 3 4 5 6 7 8 9]
2D массив Numpy:
[[0 1 2 3 4]
 [5 6 7 8 9]]
1D массив Numpy:
[0 1 2 3 4 5 6 7 8 9]
2D массив Numpy:
[[22 1 2 3 4]
 [5 6 7 8 9]]

Объявления

Как преобразовать массив NumPy в фрейм данных Pandas: 3 примера

В этом руководстве по Pandas мы узнаем, как преобразовать массив NumPy в объект DataFrame.Возможно, вы уже знаете, что фрейм данных можно создать разными способами. Например, можно создать фрейм данных Pandas из словаря.

Поскольку объекты фрейма данных Pandas уже являются двумерными структурами данных, конечно, довольно легко создать фрейм данных из двухмерного массива. Как и при преобразовании словаря, для преобразования массива NumPy мы используем конструктор pd.DataFrame ():

В следующих двух разделах вы узнаете о массиве NumPy и фрейме данных Pandas.После этого вы получите ответ на вопрос «Как преобразовать массив в DataFrame в Python?» Здесь вы увидите пример простейшего способа создания фрейма данных из массива. С другой стороны, в следующем разделе мы более подробно рассмотрим синтаксис конструктора фрейма данных. Наконец, мы рассмотрим пару примеров преобразования массивов NumPy в фреймы данных. В этих последних разделах вы увидите, как назвать столбцы, создать индекс и т. Д.

Массив NumPy

Многомерные массивы – это средство хранения значений в нескольких измерениях.Например, двумерный массив можно сравнить с матрицей, а трехмерный массив – с кубом. В Python многомерные массивы обычно создаются с помощью библиотеки NumPy.

Хранение данных таким образом может упростить организацию больших объемов данных в структуре, с которой легче работать. Двумерный массив NumPy можно сравнить с сеткой, где каждое поле содержит значение. См. Изображение выше. При необходимости в Python также можно преобразовать массив в целое число.То есть, если ваш массив NumPy содержит числа с плавающей запятой, и вы хотите изменить тип данных на целое число.

Pandas Dataframe

Фрейм данных похож на лист Excel, то есть таблицу строк и столбцов. Типичный фрейм данных Pandas может выглядеть следующим образом:

Для большинства целей ваши наблюдения (клиенты, пациенты и т. Д.) Составляют строки и столбцы, описывающие наблюдения (например, такие переменные, как возраст, пол, доход, состояние здоровья). Фреймворк Pandas – это просто двухмерная таблица.Как вы, возможно, знаете, существует множество способов создать фрейм данных. В большинстве случаев мы импортируем наши данные из файла. Например, мы можем прочитать файл CSV в фрейм данных Pandas или прочитать данные из файлов Excel.

Теперь, когда у нас есть представление о том, что такое массивы NumPy и фреймы данных Pandas, может быть очевидно, что преобразовать один в другой очень легко.

Как преобразовать массив в DataFrame в Python?

Чтобы преобразовать массив в фрейм данных с помощью Python, вам необходимо: 1) иметь массив NumPy (например,g., np_array) и 2) используйте конструктор pd.DataFrame () следующим образом: df = pd.DataFrame (np_array, columns = [‘Column1’, ‘Column2’]) . Помните, что каждый столбец в вашем массиве NumPy должен быть назван столбцами. Если вы используете этот параметр, то есть.

Теперь вам, возможно, придется пойти другим путем. То есть вам нужно преобразовать фрейм данных Pandas в массив NumPy.

Синтаксис конструктора Pandas DataFrame ()

В этом разделе мы рассмотрим синтаксис, а также параметры конструктора DataFrame ().Как вы, возможно, знаете, сейчас это метод, который мы будем использовать для создания фрейма данных из массива NumPy. Обычно мы импортируем Pandas как pd, а затем можем использовать метод DataFrame (). Вот синтаксис конструктора:

DataFrame Класс с наиболее важными параметрами.

Как вы можете видеть, на изображении выше есть один обязательный параметр (первый): данные. Теперь здесь мы поместим массив NumPy, который мы хотим преобразовать в фрейм данных. Обратите внимание: если ваши данные хранятся, например, в словаре Python, их также можно использовать здесь в качестве ввода.Остальные параметры класса DataFrame следующие:

index : индекс или подобный массиву
Индекс, который будет использоваться для результирующего фрейма данных. Если мы не используем этот параметр, по умолчанию будет RangeIndex.

столбцов : индекс или массив
Метки столбцов для использования в результирующем фрейме данных. Опять же, если мы не используем этот параметр, по умолчанию будет RangeIndex (0, 1, 2,…, n).
dtype : dtype, по умолчанию Нет
Если мы хотим, чтобы данные были определенного типа, dtype – это параметр, который следует использовать.Допускается только один dtype.
копия : логическое значение, по умолчанию False
Сделает копию данных из входов.

В следующем разделе мы собираемся создать NumPy, чтобы мы могли использовать его в качестве примера для преобразования в фрейм данных Pandas.

Наш массив NumPy

Прежде чем взглянуть на примеры, мы создадим массив. Сначала мы импортируем NumPy, а затем добавляем вложенный список для создания двухмерного массива:

   импортировать numpy как np


numpy_array = np.array ([[1, 'yo'], [4, 'bro'],
                       [4, 'low'], [1, 'NumPy']])  
  Язык кода: PHP (php)

В следующих разделах мы рассмотрим пару примеров того, как преобразовать массив NumPy в фрейм данных Pandas.

Как преобразовать массив NumPy в фрейм данных Pandas: пример 1

Вот очень простой пример преобразования массива в фрейм данных:

   импорт панд как pd


df = pd. DataFrame (numpy_array)  
  Язык кода: PHP (php)

В приведенном выше коде у нас есть массив (numpy_array).Во-вторых, мы используем класс DataFrame, и здесь мы используем только параметр данных (то есть наш массив NumPy). Результирующий фрейм данных будет выглядеть так:

Результирующий фрейм данных без хороших имен столбцов

Как видите, если мы не используем параметр columns, мы получим числа в качестве имен столбцов (параметры см. В предыдущем разделе). Часто это не результат, к которому нужно стремиться, поскольку последующий анализ данных может быть немного сложным, если мы не знаем, что различные числа отражают в терминах переменных.Теперь один из вариантов – переименовать столбцы в фрейме данных Pandas или задать имена при создании фрейма данных. Если вам нужно знать, вы можете перечислить имена столбцов, используя метод Pandas columns .

В следующем примере мы рассмотрим преобразование массива NumPy в фрейм данных с помощью параметра columns.

Преобразование массива NumPy в фрейм данных Pandas с именами столбцов

Если вы хотите преобразовать массив в фрейм данных и создать имена столбцов, вы просто сделаете следующее:

   df = pd.DataFrame (numpy_array,
             columns = ['цифры',
                      'слова'])  
  Язык кода: JavaScript (javascript)

На изображении ниже вы увидите итоговый фрейм данных. Важно знать, что длина входных данных параметра columns должна соответствовать количеству столбцов в массиве. Например, в нашем преобразованном массиве NumPy у нас есть 2 столбца, и поэтому нам нужно добавить два имени столбца. Если бы у нас, с другой стороны, был массив с 3 столбцами, нам нужно было бы вставить e.грамм. список с тремя именами столбцов.

Обратите внимание, что индексы – это числа (0–3, наш фрейм данных). В следующем примере мы будем работать с параметром индекса, чтобы изменить столбец индекса. Если ваши данные содержат даты, вы можете преобразовать столбец в тип данных datetime после создания фрейма данных. Кроме того, вы можете использовать метод Pandas value_counts () для подсчета вхождений в одном из ваших столбцов.

Создание фрейма данных Pandas из массива NumPy с настраиваемыми индексами

Вот как создать столбец настраиваемого индекса при преобразовании массива в фрейм данных:

   df = pd.DataFrame (numpy_array,
                 index = ['день1', 'день2', 'день3', 'день4'],
                 columns = ['цифры', 'слова'])  
  Язык кода: JavaScript (javascript)

Обратите внимание, как мы использовали параметр index и использовали список в качестве индексов. Опять же, при добавлении имен столбцов нам нужно, например, список того же размера, что и длина индекса. В нашем примере массива у нас есть 4 строки, и поэтому нам нужно вставить, например, список, состоящий из четырех элементов. Вот преобразованный массив NumPy:

Обратите внимание, что мы также можем создать индекс столбца в фрейме данных Pandas после того, как мы его создали.Например, если мы используем метод set_index () и используем нужный столбец в качестве индекса, мы настроены. Теперь у вас есть данные, хранящиеся в объекте фрейма данных, и вы можете приступить к изучению своих данных. Например, в Pandas есть методы, которые позволяют создавать гистограммы, графики матриц рассеяния и добавлять столбцы в фрейм данных.

Заключение

В этом руководстве по Pandas вы узнали, как преобразовать массив в фрейм данных. Во-первых, вы узнали о массивах NumPy и объектах фреймов данных Pandas.После этого мы рассмотрели синтаксис и класс DataFrame, который мы можем использовать для создания объектов dataframe. После этого мы рассмотрели три примера, в которых мы преобразовали массивы NumPy в фреймы данных Pandas. Подводя итог, вот 2 простых шага для преобразования массива в фрейм данных:

импорт NumPy и Pandas,
Использование pd. DataFrame () в вашем массиве

Надеюсь, вы узнали что-то ценное. Если да, поделитесь сообщениями в своих учетных записях в социальных сетях.

Представление систем линейных уравнений с помощью матриц

А система линейных уравнений могут быть представлены в матричной форме с использованием матрицы коэффициентов, переменной матрицы и постоянной матрицы.

Рассмотрим систему,

2 Икс + 3 у знак равно 8 5 Икс – у знак равно – 2 .

Матрица коэффициентов может быть сформирована путем выравнивания коэффициентов переменных каждого уравнения в строке. Убедитесь, что каждое уравнение написано в стандартная форма с постоянным членом справа.

Тогда матрица коэффициентов для указанной выше системы равна

[ 2 3 5 – 1 ] .

Переменные, которые у нас есть, Икс а также у .Таким образом, мы можем записать матрицу переменных как [ Икс у ] .

В правой части равенства находятся постоянные члены уравнений: 8 а также – 2 . Два числа в этом порядке соответствуют первому и второму уравнениям и, следовательно, занимают места в первой и второй строках в постоянной матрице. Итак, матрица принимает вид [ 8 – 2 ] .

Теперь систему можно представить в виде [ 2 3 5 – 1 ] [ Икс у ] знак равно [ 8 – 2 ] .

С использованием умножение матриц вы можете видеть, что матричное представление эквивалентно системе уравнений.

[ 2 3 5 – 1 ] [ Икс у ] знак равно [ 2 ( Икс ) + 3 ( у ) 5 ( Икс ) + ( – 1 ) у ] знак равно [ 2 Икс + 3 у 5 Икс – у ]

То есть, [ 2 Икс + 3 у 5 Икс – у ] знак равно [ 8 – 2 ] .

Приравнивая соответствующие элементы двух матриц, получаем:

2 Икс + 3 у знак равно 8 5 Икс – у знак равно – 2

Теперь давайте разберемся, что означает это представление.

Если рассматривать это как функцию вектора [ Икс у ] , его можно определить как

ж ( [ Икс у ] ) знак равно [ 2 3 5 – 1 ] [ Икс у ]

Затем, решая систему, мы находим вектор [ Икс у ] для которого ж ( [ Икс у ] ) знак равно [ 8 – 2 ] .

Это представление может упростить вычисления, потому что, если мы сможем найти обратную матрицу коэффициентов, входной вектор [ Икс у ] можно вычислить, умножив обе части на обратную матрицу.

Аналогичным образом для системы трех уравнений с тремя переменными

а 1 Икс + б 1 у + c 1 z знак равно d 1 а 2 Икс + б 2 у + c 2 z знак равно d 2 а 3 Икс + б 3 у + c 3 z знак равно d 3

Матричное представление будет

[ а 1 б 1 c 1 а 2 б 2 c 2 а 3 б 3 c 3 ] [ Икс у z ] знак равно [ d 1 d 2 d 3 ] .

Мы можем обобщить результат на п переменные.

Скаляр, Вектор, Матрица

(… и матрицы)

Что такое скаляры и векторы?

Скаляр

имеет только звездную величину (размер):

3,044, −7 и 2½ – скаляры

Расстояние, скорость, время, температура, масса, длина, площадь, объем, плотность, заряд, давление, энергия, работа и мощность – все это скаляры.

И обратите внимание на эти особые слова:

Расстояние от смещения

Расстояние – скаляр («3 км»)
Смещение – вектор («3 км к юго-востоку»)

Вы можете пройти большое расстояние, но ваше перемещение может быть небольшим (или нулевым, если вы вернетесь на старт).

Скорость против скорости

Скорость – это то, насколько быстро что-то движется.
Скорость – это скорость с направлением .

Говоря, что собака Ариэль бежит со скоростью , 9 км / ч (километров в час) – это скорость.

Но сказать, что он бежит 9 км / ч на запад – это скорость.

См. «Скорость» и «Скорость», чтобы узнать больше.

Обозначение

Вектор часто пишется жирным шрифтом , например a или b , поэтому мы знаем, что это не скаляр:

, поэтому c – вектор, он имеет величину и направление
, но c – это скаляр, например 3 или 12.4

Пример: k b на самом деле является скаляром, умноженным на k, вектор b .

Вектор также может быть записан как буквы его головы и хвоста со стрелкой над ним, например:

Использование скаляров

Скаляры просты в использовании. Просто относитесь к ним как к нормальным числам.

Пример: 3 кг + 4 кг = 7 кг

Использование векторов

На странице, посвященной векторам, есть более подробная информация, но вот краткое изложение:

Мы можем сложить два вектора, соединив их голова к хвосту:

Мы можем вычесть один вектор из другого:

сначала мы меняем направление вектора, который хотим вычесть,
, затем добавьте их как обычно:

а – б

Мы можем умножить вектор на скаляр (это называется «масштабирование» вектора):

Пример: умножить вектор

m = (7,3) на скаляр 3

a = 3 м = (3 × 7,3 × 3) = (21,9)

Он все еще указывает в том же направлении, но в 3 раза длиннее

(И теперь вы знаете, почему числа называются «скалярами», потому что они «масштабируют» вектор вверх или вниз.)

Полярное или декартово

Вектор может быть в:

величина и направление (полярная) форма,
или x и y (декартово)

Как это:

	<=>
Vector a in Polar Координаты		Вектор a в декартовой системе координат Координаты

(Прочтите, как преобразовать их в полярные и декартовы координаты.)

Пример: вектор

13 под углом 22,6 °

В полярной форме (величина и направление):

Вектор 13 под углом 22,6 °

Приблизительно (12,5) В декартовой (x, y) форме:

Вектор (12,5)

Попробуйте векторный калькулятор, чтобы понять, как все это работает.

Умножение вектора на вектор (скалярное произведение и перекрестное произведение)

Как нам умножить два вектора вместе? Есть несколько способов!

(Подробности читайте на этих страницах.)

Более двух размеров

Векторы также отлично работают в трех и более измерениях:

Вектор (1,4,5)

Список номеров

Таким образом, вектор можно рассматривать как список номеров :

2 числа для 2D-пространства, например (4,7)
3 числа для трехмерного пространства, например (1,4,5)
и т. Д.

Скаляры, векторы и матрицы

И когда мы включаем матрицы, мы получаем вот такой интересный паттерн:

Скаляр – это число, например 3, -5, 0.368 и т. Д. ,
Вектор – это список чисел (может быть в строке или столбце),
Матрица представляет собой массив чисел (одна или несколько строк, один или несколько столбцов).

Фактически вектор также является матрицей ! Потому что матрица может иметь только одну строку или один столбец.

Итак, правила, которые работают для матриц, работают и для векторов.

Обратная матрица – определение, формула, примеры, часто задаваемые вопросы

Матрица, обратная матрице A, равна A ^-1.Матрица, обратная матрице 2 × 2, может быть вычислена по простой формуле. Далее, чтобы найти обратную матрицу 3 × 3, нам нужно знать о определителе и сопряженной матрице. Обратной матрицей является другая матрица, которая при умножении на данную матрицу дает мультипликативную единицу.

Матрица, обратная матрице, используется для нахождения решения линейных уравнений методом обращения матрицы. Здесь давайте узнаем о формуле, методах и терминах, связанных с обратной матрицей.

Что такое обратная матрица?

Обратная матрица – это другая матрица, которая при умножении на данную матрицу дает мультипликативную единицу. Для матрицы A ее обратное значение – A ^-1, и AA ^-1 = I. Давайте проверим наличие обратного к матрице, для матрицы порядка 2 × 2 общая формула для обратной матрицы имеет вид равна сопряженной матрице, деленной на определитель матрицы.

A = \ (\ left (\ begin {matrix} a & b \\ c & d \ end {matrix} \ right) \)

A ^-1 = \ (\ dfrac {1} {ad – bc} \ left (\ begin {matrix} d & -b \\ – c & a \ end {matrix} \ right) \)

A ^-1 = \ (\ dfrac {1} {| A |} \) Adj A

Матрица, обратная матрице, существует только в том случае, если определитель матрицы имеет ненулевое значение.Матрица, определитель которой отличен от нуля и для которой может быть вычислена обратная матрица, называется обратимой матрицей.

Формула обратной матрицы

В случае действительных чисел, обратное к любому действительному числу a было числом a ^-1, так что a умножить на a ^-1 равно 1. Мы знали, что для действительного число, обратное число было обратным числу, если число не было нулем.Матрица, обратная квадратной матрице A, обозначенная A ^-1, является матрицей, так что произведение A и A ^-1 является матрицей идентичности. Полученная единичная матрица будет того же размера, что и матрица A.

Формула обратной матрицы в математике

Обратная матрица легко находит применение для решения матриц. Формула обратной матрицы может быть представлена как,

A ^-1 = adj (A) / | A |; | A | ≠ 0

где A – квадратная матрица.

Примечание: Для существования инверсной матрицы:

Данная матрица должна быть квадратной матрицей.
Определитель матрицы не должен быть равен нулю.

Термины, относящиеся к обратной матрице

Следующие ниже термины полезны для более ясного понимания и упрощения вычисления обратной матрицы.

Незначительный: Второстепенный определяется для каждого элемента матрицы. Минор конкретного элемента – это определитель, полученный после исключения строки и столбца, содержащих этот элемент.Для матрицы A = \ (\ begin {pmatrix} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} \\ a_ {21} & a_ {22} & a_ {23} \\ a_ {31} & a_ {32} & a_ { 33} \ end {pmatrix} \) младший элемент \ (a_ {11} \) равен:

Незначительный из \ (a_ {11} \) = \ (\ left | \ begin {matrix} a_ {22} & a_ {23} \\ a_ {32} & a_ {33} \ end {matrix} \ right | \)

Кофактор: Кофактор элемента вычисляется путем умножения младшего числа на -1 до показателя степени суммы элементов строки и столбца в порядке представления этого элемента.

Кофактор \ (a_ {ij} \) = (-1) ^{i + j} × минор \ (a_ {ij} \).

Определитель: Определитель матрицы – это представление единственного уникального значения матрицы. Определитель матрицы можно вычислить относительно любой строки или столбца данной матрицы. Определитель матрицы равен сумме произведения элементов и их сомножителей конкретной строки или столбца матрицы.

Сингулярная матрица: Матрица, имеющая нулевое значение детерминанта, называется сингулярной матрицей.Для особой матрицы A | A | = 0. Обратной к особой матрице не существует.

Неособая матрица: Матрица, значение определителя которой не равно нулю, называется невырожденной матрицей. Для невырожденной матрицы | A | 0. Невырожденная матрица называется обратимой матрицей, так как обратная к ней может быть вычислена.

Сопряжение матрицы: Сопряжение матрицы – это транспонированная матрица элементов кофактора данной матрицы.

Правила для операций со строками и столбцами определителя: Следующие правила полезны для выполнения операций со строками и столбцами для определителей.

Значение определителя остается неизменным, если строки и столбцы меняются местами.
Знак определителя меняется, если поменять местами любые две строки или (два столбца).
Если любые две строки или столбца матрицы равны, то значение определителя равно нулю.
Если каждый элемент определенной строки или столбца умножается на константу, то значение определителя также умножается на константу.
Если элементы строки или столбца выражены как сумма элементов, то определитель может быть выражен как сумма определителей.
Если элементы строки или столбца складываются или вычитаются с соответствующими кратными элементами другой строки или столбца, то значение определителя остается неизменным.

Методы поиска обратной матрицы

Обратную матрицу можно найти двумя способами. Обратную матрицу можно вычислить с помощью элементарных операций и с помощью сопряженной матрицы. Элементарные операции с матрицей могут выполняться посредством преобразований строк или столбцов.Кроме того, обратная матрица может быть вычислена путем применения формулы обратной матрицы посредством использования определителя и сопряженного элемента матрицы. Для выполнения инверсии матрицы посредством операций с элементарными столбцами мы используем матрицу X и вторую матрицу B в правой части уравнения.

Элементарные операции со строками или столбцами
Формула, обратная матричной (с использованием сопряженного и определителя матрицы)

Давайте проверим каждый из описанных ниже методов.

Элементарные операции со строками

Для вычисления обратной матрицы посредством элементарных операций со строками, давайте рассмотрим три квадратные матрицы X, A и B соответственно. Матричное уравнение AX = B. ⇒ X = A ^-1 B. Для выполнения элементарных операций со строками мы используем это понятие. Начнем с выражения данной матрицы A как, A = IA. Выполните элементарные операции со строками на L.H.S. чтобы получить единичную матрицу и применить те же операции в R.H.S. матрица «Я». Окончательная матрица, полученная в R.H.S. с “A” после преобразований – это матрица, обратная данной матрице.

Операции с элементарными столбцами

Для вычисления обратной матрицы посредством элементарных операций с столбцами, давайте рассмотрим три квадратные матрицы X, A и B соответственно. Матричное уравнение AX = B. ⇒ X = A ^-1 B. Для выполнения элементарных операций со строками начните с выражения данной матрицы A как, A = IA. Выполните элементарные операции со столбцами на L.H.S. чтобы получить единичную матрицу и применить те же операции в R.H.S. матрица «Я». Окончательная матрица, полученная в R.H.S. с “A” после преобразований – это матрица, обратная данной матрице.

Формула, обратная матрице

Обратную матрицу можно вычислить, используя формулу, обратную матрице, путем деления сопряженной матрицы на определитель матрицы. {1 + 3} \ left | \ begin {matrix} a_ {21} & a_ {22} \\ a_ {31} & a_ {32} \ end {matrix} \ right | \ )

Adj A = Транспонирование матрицы кофакторов = Транспонирование \ (\ begin {pmatrix} A_ {11} & A_ {12} & A_ {13} \\ A_ {21} & A_ {22} & A_ {23} \\ A_ {31} & A_ {32} & A_ {33} \ end {pmatrix} \) = \ (\ begin {pmatrix} A_ {11} & A_ {21} & A_ {31} \\ A_ {12} & A_ {22} & A_ {32} \ \ A_ {13} & A_ {23} & A_ {33} \ end {pmatrix} \)

A ^-1 = \ (\ dfrac {1} {| A |}.\ begin {pmatrix} A_ {11} & A_ {21} & A_ {31} \\ A_ {12} & A_ {22} & A_ {32} \\ A_ {13} & A_ {23} & A_ {33} \ end {pmatrix} \)

В этом разделе мы узнали о различных методах вычисления обратной матрицы. Давайте лучше поймем это, используя несколько примеров для различных порядков матриц в следующих разделах.

Инверсия матрицы 2 × 2

Матрицу, обратную 2 × 2, легче вычислить по сравнению с матрицами более высокого порядка. Мы можем вычислить обратную матрицу 2 × 2, используя общие шаги для вычисления обратной матрицы.Найдем обратную матрицу 2 × 2, приведенную ниже:
A = \ (\ begin {bmatrix} a & b \\ \\ c & d \ end {bmatrix} \)
A ^-1 = (1 / | A |) × Adj A
= [1 / (ad – bc)] × \ (\ begin {bmatrix} d & -b \\ \\ -c & a \ end {bmatrix} \)
Следовательно, чтобы вычислить обратную матрицу 2 × 2, нам нужно сначала поменять местами члены a и d и поставить отрицательные знаки для членов b и c, а затем разделить его на определитель матрицы.

Инверсия матрицы 3 × 3

Мы знаем, что для каждой невырожденной квадратной матрицы A существует обратная матрица A ^-1, такая что A × A ^-1 = I.Возьмем любую квадратную матрицу 3 × 3, заданную как,

A = \ (\ begin {bmatrix} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} \\ a_ {21} & a_ {22} & a_ {23} \\ a_ {31} & a_ {32} & a_ {33} \ end {bmatrix} \)

Обратную матрицу можно вычислить по формуле обратной матрицы: A ^-1 = (1 / | A |) × Adj A

Сначала мы проверим, обратима ли данная матрица, т.е. | A | 0. Если существует обратная матрица, мы можем найти сопряженный к данной матрице и разделить его на определитель матрицы.

Аналогичный метод можно использовать, чтобы найти обратную матрицу размера n × n. Давайте посмотрим, можно ли использовать аналогичные шаги для вычисления обратной матрицы m × n.

Инверсия матрицы 2 × 3

Мы знаем, что первым условием существования обратной матрицы является то, что данная матрица должна быть квадратной матрицей. Кроме того, определитель этой квадратной матрицы должен быть ненулевым. Это означает, что обратных матриц порядка m × n не будет. Следовательно, мы не можем вычислить обратную матрицу 2 × 3.

Инверсия матрицы 2 × 1

Подобно обратной матрице 2 × 3, обратная матрица 2 × 1 также не будет существовать, потому что данная матрица не является квадратной матрицей.

Определитель обратной матрицы

Определитель, обратный к обратимой матрице, является обратным определителю: det (A ^-1) = 1 / det (A). Проверим доказательство сделанного выше утверждения.

Мы знаем, что det (A • B) = det (A) × det (B)

Также A × A ^-1 = I

det (A • A ^-1) = det (I)

или, det (A) × det (A ^-1) = det (I)

Поскольку, det (I) = 1

⇒ дет (A) × дет (A ^-1) = 1

или, det (A ^-1) = 1 / det (A)

Значит, доказано.

Темы, связанные с инверсией матрицы:

Следующие ссылки по теме помогут лучше понять обратную матрицу.

Важные моменты инверсии матрицы:

Следующие пункты помогут более четко понять идею инверсии матрицы.

Матрица, обратная квадратной матрице, если существует, уникальна.
Если A и B – две обратимые матрицы одного порядка, то (AB) ^-1 = B ^-1 A ^-1.
Обратная матрица квадратной матрицы A существует, только если ее определитель имеет ненулевое значение, | A | 0,
Элементы строки или столбца, если они умножены на элементы кофактора любой другой строки или столбца, то их сумма равна нулю.
Определитель произведения двух матриц равен произведению определителей двух отдельных матриц. | AB | = | A |. | B |

Давайте посмотрим, как использовать формулу обратной матрицы в следующем разделе решенных примеров.

Часто задаваемые вопросы об инверсии матрицы

Что такое обратная матрица?

Обратная матрица – это другая матрица, которая при умножении на данную матрицу дает мультипликативную единицу. Для матрицы A ее обратное значение – A ^-1 и A.A ^-1 = I. Общая формула для обратного преобразования матрицы равна сопряженной матрице, деленной на определитель матрицы.

A ^-1 = \ (\ dfrac {1} {| A |} \).Adj A

Матрица, обратная матрице, существует только в том случае, если определитель матрицы имеет ненулевое значение.

Как найти обратную матрицу?

Матрица, обратная квадратной матрице, находится в два простых шага. Сначала вычисляются определитель и сопряженный данной квадратной матрицы. Далее сопряженная матрица делится на определитель, чтобы найти обратную квадратную матрицу. Матрица, обратная к матрице A, равна \ (\ dfrac {1} {| A |} \). Adj A.

Как найти обратную матрицу 2 × 2?

Обратная матрица 2 × 2 равна сопряженной матрице, деленной на определитель матрицы.Для матрицы A = \ (\ left (\ begin {matrix} a & b \\ c & d \ end {matrix} \ right) \) ее присоединение равно замене элементов первой диагонали и смене знака элементы второй диагонали. Формула, обратная матрице, выглядит следующим образом.

A ^-1 = \ (\ dfrac {1} {ad – bc} \ left (\ begin {matrix} d & -b \\ – c & a \ end {matrix} \ right) \)

Как использовать инверсию матрицы?

Обратная матрица полезна при решении уравнений с использованием метода обращения матрицы.Метод инверсии матрицы с использованием формулы X = A ^-1 B, где X – переменная матрица, A – матрица коэффициентов, а B – постоянная матрица.

Можно ли вычислить обратную матрицу для обратимой матрицы?

Да, обратная матрица может быть вычислена для обратимой матрицы. Матрица, определитель которой не равен нулю, является невырожденной матрицей. А для невырожденной матрицы мы можем найти определитель и обратную матрицу.

Когда в некоторых случаях не существует обратной матрицы?

Матрица, обратная матрице, существует только в том случае, если ее определяющее значение является ненулевым значением и когда данная матрица является квадратной матрицей.Поскольку сопряженная матрица делится на определитель матрицы, чтобы получить обратную матрицу. Матрица, определитель которой имеет ненулевое значение, называется невырожденной матрицей.

Какова формула обратной матрицы?

Формула обратной матрицы используется для определения обратной матрицы для любой заданной матрицы. Матрица, обратная квадратной матрице, равна A ^-1, только если: A × A ^-1 = A ^-1 × A = I . Формула обратной матрицы может быть задана как, A ^-1 = adj (A) / | A |; | A | ≠ 0, где A – квадратная матрица.

Учитывая матрицу 2 × 2, какова формула для нахождения обратной матрицы?

Для данной матрицы 2 × 2 формула поиска обратного преобразования: A ^-1 = adj (A) / | A |; | A | ≠ 0 где A = квадратная матрица, adj (A) = сопряженная квадратная матрица, A ^-1 = обратная матрица

Как использовать формулу обратной матрицы?

Формулу обратной матрицы можно использовать, выполнив указанные шаги:

Шаг 1: Найдите матрицу миноров для данной матрицы.
Шаг 2: Превратите полученную матрицу в матрицу сомножителей.
Шаг 3: Найдите адъюгат.
Шаг 4: Умножьте это на обратную величину определителя.

Что такое формула обратной матрицы 3 × 3?

Формула обратной матрицы для матрицы 3 × 3: A ^-1 = adj (A) / | A |; | A | ≠ 0 где A = квадратная матрица, adj (A) = сопряженная квадратная матрица, A ^-1 = обратная матрица

Нежное введение в разреженные матрицы для машинного обучения

Последнее обновление 9 августа 2019 г.

Матрицы, которые содержат в основном нулевые значения, называются разреженными, в отличие от матриц, где большинство значений ненулевые, называются плотными.

Большие разреженные матрицы широко распространены в целом и особенно в прикладном машинном обучении, например, в данных, содержащих счетчики, в кодировках данных, отображающих категории в счетчики, и даже в целых подполях машинного обучения, таких как обработка естественного языка.

Представлять разреженные матрицы и работать с ними так, как если бы они были плотными, требует больших затрат вычислительных ресурсов, и значительное улучшение производительности может быть достигнуто за счет использования представлений и операций, которые специально обрабатывают разреженность матриц.

В этом руководстве вы узнаете о разреженных матрицах, проблемах, которые они представляют, и о том, как работать с ними непосредственно в Python.

После прохождения этого руководства вы будете знать:

Эти разреженные матрицы содержат в основном нулевые значения и отличаются от плотных матриц.
Множество областей, где вы, вероятно, столкнетесь с разреженными матрицами в данных, подготовке данных и подобластях машинного обучения.
Что существует множество эффективных способов хранения разреженных матриц и работы с ними, а SciPy предоставляет реализации, которые вы можете использовать напрямую.

Начните свой проект с моей новой книги «Линейная алгебра для машинного обучения», включающей пошаговых руководств и файлов исходного кода Python для всех примеров.

Приступим.

Нежное введение в разреженные матрицы для машинного обучения
Фотография CAJC: в Скалистых горах, некоторые права защищены.

Обзор учебного пособия

Это руководство разделено на 5 частей; их:

Разреженная матрица
Проблемы с разреженностью
Разреженные матрицы в машинном обучении
Работа с разреженными матрицами
Разреженные матрицы в Python

Нужна помощь с линейной алгеброй для машинного обучения?

Пройдите мой бесплатный 7-дневный ускоренный курс электронной почты (с образцом кода).

Нажмите, чтобы зарегистрироваться, а также получите бесплатную электронную версию курса в формате PDF.

Загрузите БЕСПЛАТНЫЙ мини-курс

Разреженная матрица

Разреженная матрица – это матрица, состоящая в основном из нулевых значений.

Разреженные матрицы отличаются от матриц с в основном ненулевыми значениями, которые называются плотными матрицами.

Матрица разреженная, если многие ее коэффициенты равны нулю. Интерес к разреженности возникает потому, что его использование может привести к огромной вычислительной экономии, а также потому, что многие проблемы с большими матрицами, которые возникают на практике, являются разреженными.

– страница 1, Прямые методы для разреженных матриц, второе издание, 2017 г.

Разреженность матрицы можно количественно оценить с помощью показателя, который представляет собой количество нулевых значений в матрице, деленное на общее количество элементов в матрице.

разреженность = подсчет нулевых элементов / всего элементов

Ниже приведен пример небольшой разреженной матрицы 3 x 6.

1, 0, 0, 1, 0, 0 А = (0, 0, 2, 0, 0, 1) 0, 0, 0, 2, 0, 0

1, 0, 0, 1, 0, 0

A = (0, 0, 2, 0, 0, 1)

0, 0, 0, 2, 0, 0

В примере 13 нулевых значений 18 элементов в матрице, что дает этой матрице показатель разреженности 0,722 или около 72%.

Проблемы с разреженностью

Разреженные матрицы могут вызвать проблемы, связанные с пространственной и временной сложностью.

Космическая сложность

Очень большие матрицы требуют много памяти, а некоторые очень большие матрицы, с которыми мы хотим работать, являются разреженными.

На практике самые большие матрицы разрежены – почти все записи нули.

– стр. 465, Введение в линейную алгебру, пятое издание, 2016 г.

Примером очень большой матрицы, которая слишком велика для хранения в памяти, является матрица ссылок, которая показывает ссылки с одного веб-сайта на другой.

Примером меньшей разреженной матрицы может быть матрица встречаемости слова или термина для слов в одной книге по сравнению со всеми известными словами в английском языке.

В обоих случаях содержащаяся матрица является разреженной и содержит намного больше нулевых значений, чем значений данных. Проблема с представлением этих разреженных матриц как плотных матриц заключается в том, что требуется память, и ее необходимо выделять для каждого 32-битного или даже 64-битного нулевого значения в матрице.

Это явно пустая трата ресурсов памяти, поскольку эти нулевые значения не содержат никакой информации.

Сложность времени

Предполагая, что очень большая разреженная матрица может уместиться в памяти, мы захотим выполнить операции с этой матрицей.3) арифметические операции, связанные с решением системы уравнений или обращением матрицы, включают нулевые операнды.

– стр. 75, Численные рецепты: искусство научных вычислений, третье издание, 2007 г.

Это проблема повышенной временной сложности матричных операций, которая увеличивается с размером матрицы.

Эта проблема усугубляется, если учесть, что даже тривиальные методы машинного обучения могут потребовать множества операций с каждой строкой, столбцом или даже по всей матрице, что приводит к значительно большему времени выполнения.

Разреженные матрицы в машинном обучении

Редкие матрицы часто используются в прикладном машинном обучении.

В этом разделе мы рассмотрим несколько распространенных примеров, чтобы побудить вас осознавать проблемы разреженности.

Данные

Разреженные матрицы возникают в некоторых конкретных типах данных, в первую очередь в наблюдениях, которые регистрируют возникновение или количество действий.

Три примера включают:

Смотрел ли пользователь фильм в каталоге фильмов.
Независимо от того, приобрел ли пользователь продукт в каталоге продуктов.
Подсчет количества прослушиваний песни в каталоге песен.

Подготовка данных

Разреженные матрицы появляются в схемах кодирования, используемых при подготовке данных.

Три типичных примера:

Одноразовое кодирование, используемое для представления категориальных данных в виде разреженных двоичных векторов.
Кодировка подсчета, используемая для представления частоты слов в словаре для документа
TF-IDF, используемая для представления нормализованных оценок частоты слов в словаре.

Направления обучения

В некоторых областях машинного обучения необходимо разработать специализированные методы для непосредственного решения проблемы разреженности, поскольку входные данные почти всегда разрежены.

Три примера включают:

Обработка естественного языка для работы с текстовыми документами.
Рекомендательные системы для работы с использованием товаров в каталоге.
Компьютерное зрение при работе с изображениями, содержащими много черных пикселей.

Если в языковой модели 100 000 слов, то вектор признаков имеет длину 100 000, но для короткого сообщения электронной почты почти все функции будут иметь нулевой счет.

– стр. 866, Искусственный интеллект: современный подход, третье издание, 2009 г.

Работа с разреженными матрицами

Решением для представления и работы с разреженными матрицами является использование альтернативной структуры данных для представления разреженных данных.

Нулевые значения можно игнорировать, и только данные или ненулевые значения в разреженной матрице должны быть сохранены или обработаны.

Существует несколько структур данных, которые можно использовать для эффективного построения разреженной матрицы; Ниже перечислены три типичных примера.

Словарь ключей . Словарь используется там, где индекс строки и столбца сопоставляется со значением.
Список списков . Каждая строка матрицы хранится в виде списка, причем каждый подсписок содержит индекс столбца и значение.
Список координат . Список кортежей сохраняется с каждым кортежем, содержащим индекс строки, индекс столбца и значение.

Существуют также структуры данных, которые больше подходят для выполнения эффективных операций; Ниже перечислены два наиболее часто используемых примера.

Сжатая разреженная строка . Разреженная матрица представлена с использованием трех одномерных массивов для ненулевых значений, экстентов строк и индексов столбцов.
Сжатая разреженная колонна . То же, что и метод сжатой разреженной строки, за исключением того, что индексы столбцов сжимаются и считываются сначала перед индексами строк.

Сжатая разреженная строка, также называемая сокращенно CSR, часто используется для представления разреженных матриц в машинном обучении с учетом поддерживаемого им эффективного доступа и умножения матриц.

Разреженные матрицы в Python

SciPy предоставляет инструменты для создания разреженных матриц с использованием нескольких структур данных, а также инструменты для преобразования плотной матрицы в разреженную матрицу.

Многие функции линейной алгебры NumPy и SciPy, которые работают с массивами NumPy, могут прозрачно работать с разреженными массивами SciPy. Кроме того, библиотеки машинного обучения, использующие структуры данных NumPy, также могут прозрачно работать с разреженными массивами SciPy, такими как scikit-learn для общего машинного обучения и Keras для глубокого обучения.

Плотная матрица, хранящаяся в массиве NumPy, может быть преобразована в разреженную матрицу с использованием представления CSR путем вызова функции csr_matrix () .

В приведенном ниже примере мы определяем разреженную матрицу 3 x 6 как плотный массив, преобразуем ее в разреженное представление CSR, а затем преобразуем обратно в плотный массив, вызывая функцию todense () .

# от плотного до разреженного из массива импорта numpy из scipy.sparse import csr_matrix # создать плотную матрицу A = массив ([[1, 0, 0, 1, 0, 0], [0, 0, 2, 0, 0, 1], [0, 0, 0, 2, 0, 0]]) печать (A) # преобразовать в разреженную матрицу (метод CSR) S = csr_matrix (A) печать (S) # восстановить плотную матрицу B = S.todense () печать (B)

# от плотного к разреженному

из массива импорта numpy

из scipy.sparse import csr_matrix

# создать плотную матрицу

A = array ([[1, 0, 0, 1, 0, 0], [0, 0, 2, 0, 0, 1], [0, 0, 0, 2, 0, 0]])

print (A)

# преобразовать в разреженную матрицу (метод CSR)

S = csr_matrix (A )

print (S)

# восстановить плотную матрицу

B = S.todense ()

печать (B)

При выполнении примера сначала печатается определенный плотный массив, затем представление CSR, а затем реконструированная плотная матрица.

[[1 0 0 1 0 0] [0 0 2 0 0 1] [0 0 0 2 0 0]] (0, 0) 1 (0, 3) 1 (1, 2) 2 (1, 5) 1 (2, 3) 2 [[1 0 0 1 0 0] [0 0 2 0 0 1] [0 0 0 2 0 0]]

[[1 0 0 1 0 0]

[0 0 2 0 0 1]

[0 0 0 2 0 0]]

(0, 0) 1

(0, 3) 1

(1, 2) 2

(1, 5) 1

(2, 3) 2

[[1 0 0 1 0 0]

[0 0 2 0 0 1]

[ 0 0 0 2 0 0]]

NumPy не предоставляет функции для вычисления разреженности матрицы.

Тем не менее, мы можем легко вычислить его, сначала найдя плотность матрицы и вычтя ее из единицы. Количество ненулевых элементов в массиве NumPy может быть задано функцией count_nonzero () , а общее количество элементов в массиве может быть задано свойством размера массива. Поэтому разреженность массива можно рассчитать как

sparsity = 1.0 – count_nonzero (A) / A.size

разреженность = 1.0 – count_nonzero (A) / A. размер

Пример ниже демонстрирует, как вычислить разреженность массива.

# вычислить разреженность из массива импорта numpy из numpy import count_nonzero # создать плотную матрицу A = массив ([[1, 0, 0, 1, 0, 0], [0, 0, 2, 0, 0, 1], [0, 0, 0, 2, 0, 0]]) печать (A) # вычислить разреженность sparsity = 1.0 – count_nonzero (A) / A.size печать (разреженность)

# вычислить разреженность

из массива импорта numpy

из массива импорта numpy count_nonzero

# создать плотную матрицу

A = array ([[1, 0, 0, 1, 0, 0], [0, 0, 2 , 0, 0, 1], [0, 0, 0, 2, 0, 0]])

print (A)

# вычислить разреженность

sparsity = 1.0 – count_nonzero (A) / A.size

print (sparsity)

При выполнении примера сначала печатается определенная разреженная матрица, а затем разреженная матрица.

[[1 0 0 1 0 0] [0 0 2 0 0 1] [0 0 0 2 0 0]] 0,7222222222222222

[[1 0 0 1 0 0]

[0 0 2 0 0 1]

[0 0 0 2 0 0]]

0,7222222222222222

Расширения

В этом разделе перечислены некоторые идеи по расширению учебника, которые вы, возможно, захотите изучить.

Разработайте свои собственные примеры преобразования плотного массива в разреженный и вычисления разреженности.
Разработайте пример для каждого метода представления разреженной матрицы, поддерживаемого SciPy.
Выберите один метод разреженного представления и реализуйте его самостоятельно с нуля.

Если вы изучите какое-либо из этих расширений, я хотел бы знать.

Дополнительная литература

Этот раздел предоставляет дополнительные ресурсы по теме, если вы хотите углубиться.

Книги

API

Статьи

Сводка

В этом руководстве вы узнали о разреженных матрицах, о проблемах, которые они представляют, и о том, как работать с ними непосредственно в Python.

В частности, вы выучили:

Эти разреженные матрицы содержат в основном нулевые значения и отличаются от плотных матриц.
Множество областей, где вы, вероятно, столкнетесь с разреженными матрицами в данных, подготовке данных и подобластях машинного обучения.
Что существует множество эффективных способов хранения разреженных матриц и работы с ними, а SciPy предоставляет реализации, которые вы можете использовать напрямую.

Есть вопросы?
Задайте свои вопросы в комментариях ниже, и я постараюсь ответить.

Изучите линейную алгебру для машинного обучения!

Развивайте рабочее понимание линейной алгебры

… путем написания строк кода на Python

Узнайте, как это сделать в моей новой электронной книге:
Линейная алгебра для машинного обучения

Он предоставляет руководств для самообучения по таким темам, как:
Векторные нормы, матричное умножение, тензоры, собственное разложение, SVD, PCA и многое другое.