Как ΠΏΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ: Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

ΠšΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅. Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ. ГСомСтричСский смысл ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ

Π‘Ρ‚Π°Ρ‚ΡŒΡ Π΄Π°Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎΠ΅ Ρ€Π°Π·ΡŠΡΡΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ, гСомСтричСского смысла ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ с графичСскими обозначСниями. Π‘ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ рассмотрСно ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ прямой с ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ², Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½ΠΎ уравнСния ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ ΠΊΡ€ΠΈΠ²Ρ‹ΠΌΒ 2 порядка.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈ понятия

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ 1

Π£Π³ΠΎΠ» Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° прямой y=kx+b называСтся  ΡƒΠ³ΠΎΠ» Ξ±, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ отсчитываСтся ΠΎΡ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ направлСния оси ΠΎΡ… ΠΊ прямой y=kx+b Π² ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ.

На рисункС Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ… обозначаСтся ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΠΈ Π·Π΅Π»Π΅Π½ΠΎΠΉ стрСлки ΠΈ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π·Π΅Π»Π΅Π½ΠΎΠΉ Π΄ΡƒΠ³ΠΈ, Π° ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΠΈ красной Π΄ΡƒΠ³ΠΈ. Биняя линия относится ΠΊ прямой.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ 2

Π£Π³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ коэффициСнт прямой y=kx+b Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ числовым коэффициСнтом k.

Π£Π³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ коэффициСнт равняСтся тангСнсу Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° прямой, ΠΈΠ½Π°Ρ‡Π΅ говоря k=tgΒ Ξ±.

  • Π£Π³ΠΎΠ» Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° прямой равняСтся 0 Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ ΠΎΡ… ΠΈΒ  ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΌ коэффициСнтС, Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠΌΡƒ Π½ΡƒΠ»ΡŽ, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΊΠ°ΠΊ тангСнс нуля Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 0. Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Π²ΠΈΠ΄ уравнСния Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ y=b.
  • Если ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° прямой y=kx+b острый, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ условия 0<Ξ±<Ο€2Β ΠΈΠ»ΠΈ 0Β°<Ξ±<90Β°. ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ коэффициСнта k считаСтся ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ числом, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΊΠ°ΠΊ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ тангСнс удовлСтворяСт ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡŽ tgΒ Ξ±>0, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ имССтся возрастаниС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°.
  • Если Ξ±=Ο€2, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° располоТСниС прямой пСрпСндикулярно ΠΎΡ…. РавСнство задаСтся ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΠΈ равСнства x=c со Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ с, ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΌΡΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ числом.
  • Если ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° прямой y=kx+b Ρ‚ΡƒΠΏΠΎΠΉ, Ρ‚ΠΎ соотвСтствуСт условиям Ο€2<Ξ±<π или 90Β°<Ξ±<180Β°, Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ коэффициСнта k ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚.
ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ 3

Π‘Π΅ΠΊΡƒΡ‰Π΅ΠΉ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ, которая ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· 2 Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f(x). Π˜Π½Π°Ρ‡Π΅ говоря, сСкущая – это прямая, которая проводится Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π»ΡŽΠ±Ρ‹Π΅ Π΄Π²Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

По рисунку Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ АВ являСтся сСкущСй,Β Π° f(x) – чСрная кривая, Ξ±Β – красная Π΄ΡƒΠ³Π°, ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‰Π°Ρ ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° сСкущСй.

Когда ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ коэффициСнт прямой равняСтся тангСнсу ΡƒΠ³Π»Π° Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π°, Ρ‚ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ тангСнс ΠΈΠ· ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° АВБ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Π° ΠΊ ΠΏΡ€ΠΈΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅ΠΌΡƒ.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ 4

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ для нахоТдСния сСкущСй Π²ΠΈΠ΄Π°:

k=tgΒ Ξ±=BCAC=f(xB)-fxAxB-xA, Π³Π΄Π΅ абсциссами Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ А ΠΈ Π’ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ значСния xA,Β xB, Π° f(xA),Β f(xB)Β – это значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² этих Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ….

ΠžΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ коэффициСнт сСкущСй ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΠΈ равСнства k=f(xB)-f(xA)xB-xAΒ ΠΈΠ»ΠΈ k=f(xA)-f(xB)xA-xB, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ y=f(xB)-f(xA)xB-xAΒ·x-xA+f(xA)Β ΠΈΠ»ΠΈ
y=f(xA)-f(xB)xA-xBΒ·x-xB+f(xB).

БСкущая Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π²ΠΈΠ·ΡƒΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½Π° 3 части: слСва ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ А, ΠΎΡ‚ А Π΄ΠΎ Π’, справа ΠΎΡ‚ Π’. На располагаСмом Π½ΠΈΠΆΠ΅ рисункС Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‚Ρ€ΠΈ сСкущиС, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈ, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΠΈ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния.

По ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΈ Π΅Π΅ сСкущая Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ случаС ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‚.

БСкущая ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ мноТСствСнно Ρ€Π°Π· ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Если имССтся ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π° Ρƒ=0 для сСкущСй, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° количСство Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ пСрСсСчСния с синусоидой бСсконСчно.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ 5

ΠšΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f(x) Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ x0;Β f(x0) называСтся прямая, проходящая Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ x0;Β f(x0),Β  с Π½Π°Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ мноТСство Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ…, Π±Π»ΠΈΠ·ΠΊΠΈΡ… ΠΊ x0.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1

Рассмотрим ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎ Π½Π° Π½ΠΈΠΆΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая, заданная Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ y=x+1, считаСтся ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ y=2xΒ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅  с ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ (1;Β 2). Для наглядности, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ с ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΊ (1;Β 2) значСниями. Ѐункция y=2xΒ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½Π° Ρ‡Π΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΌ Ρ†Π²Π΅Ρ‚ΠΎΠΌ, синяя линия – ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ, красная Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° – Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° пСрСсСчСния.

ΠžΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ y=2x сливаСтся с прямой Ρƒ=Ρ…+1.

Для опрСдСлСния ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ слСдуСт Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ АВ ΠΏΡ€ΠΈ бСсконСчном ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π’ ΠΊ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ А. Для наглядности ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ рисунок.

БСкущая АВ, обозначСнная ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΠΈ синСй Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ, стрСмится ΠΊ полоТСнию самой ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ, Π° ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° сСкущСй Ξ±Β Π½Π°Ρ‡Π½Π΅Ρ‚ ΡΡ‚Ρ€Π΅ΠΌΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΊ ΡƒΠ³Π»Ρƒ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° самой ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ξ±x.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ 6

ΠšΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=f(x) Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ А считаСтся ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ сСкущСй АВ ΠΏΡ€ΠΈ Π’ стрСмящСйся ΠΊ А, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Bβ†’A.

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΊ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π½ΠΈΡŽ гСомСтричСского смысла ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅.

ГСомСтричСский смысл ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΊ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π½ΠΈΡŽ сСкущСй АВ для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f(x), Π³Π΄Π΅ А ΠΈ В с ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ x0,Β f(x0)Β ΠΈ x0+βˆ†x,Β f(x0+βˆ†x), Π° βˆ†xΒ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅ΠΌ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°. Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ функция ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄ βˆ†y=βˆ†f(x)=f(x0+βˆ†x)-f(βˆ†x). Для наглядности ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ Π² ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ рисунок.

Рассмотрим ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ АВБ. Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ тангСнса для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ βˆ†yβˆ†x=tgΒ Ξ±. Из опрСдСлСния ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ limβˆ†xβ†’0βˆ†yβˆ†x=tgΒ Ξ±x. По ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ f(x) Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ x0Β Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠΌ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ приращСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΊ ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΡŽ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°, Π³Π΄Π΅ βˆ†xβ†’0, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌ ΠΊΠ°ΠΊ f(x0)=limβˆ†xβ†’0βˆ†yβˆ†x.

ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ f'(x0)=limβˆ†xβ†’0βˆ†yβˆ†x=tgΒ Ξ±x=kx, Π³Π΄Π΅ kxΒ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ Π² качСствС ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ коэффициСнта ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ.

Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ f’(x) ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΒ  Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ x0Β ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΊ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ касания Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠΉ x0,Β f0(x0), Π³Π΄Π΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ коэффициСнта ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉΒ  Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ равняСтся ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉΒ  Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ x0. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ kx=f'(x0).

ГСомСтричСский смысл ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ даСтся понятиС сущСствования ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Π² этой ΠΆΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅.

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ прямой

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ любой прямой Π½Π° плоскости, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ коэффициСнт с Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ, Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΎΠ½Π° ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚. Π•Π³ΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ принимаСтся ΠΊΠ°ΠΊ x0Β ΠΏΡ€ΠΈ пСрСсСчСнии.

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=f(x) Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ x0,Β f0(x0)Β ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄ y=f'(x0)Β·x-x0+f(x0).

Π˜ΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Ρƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹ΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ f'(x0)Β ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ условии limxβ†’x0+0f'(x)=∞ и limxβ†’x0-0f'(x)=∞ или отсутствиС вовсС ΠΏΡ€ΠΈ условии limxβ†’x0+0f'(x)β‰ limxβ†’x0-0f'(x).

РасполоТСниС ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ зависит ΠΎΡ‚ значСния Π΅Π΅ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ коэффициСнта kx=f'(x0). ΠŸΡ€ΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ ΠΊ оси ΠΎΡ… ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ kk=0, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ ΠΊ ΠΎΡƒ – kx=∞, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄ уравнСния ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ x=x0 возрастаСт ΠΏΡ€ΠΈ kx>0, ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΈ kx<0.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡ‚ΠΈ составлСниС уравнСния ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=ex+1+x33-6-33x-17-33Β Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅  с ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ (1;Β 3) с ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡƒΠ³Π»Π° Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π°.

РСшСниС

По ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡŽ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ функция опрСдСляСтся для всСх Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° с ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΏΠΎ ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡŽ, (1;Β 3) являСтся Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ касания, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° x0=-1,Β f(x0)=-3.

НСобходимо Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ со Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ -1. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

y’=ex+1+x33-6-33x-17-33’==ex+1’+x33′-6-33x’-17-33’=ex+1+x2-6-33y'(x0)=y'(-1)=e-1+1+-12-6-33=33

Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ f’(x) Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ касания являСтся Β ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ коэффициСнтом ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ равняСтся тангСнсу Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π°.

Π’ΠΎΠ³Π΄Π°Β kx=tgΒ Ξ±x=y'(x0)=33

ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ξ±x=arctg33=Ο€6

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚:Β 

ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΎΠ±Ρ€Π΅Ρ‚Π°Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄

y=f'(x0)Β·x-x0+f(x0)y=33(x+1)-3y=33x-9-33

Для наглядности ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Π² графичСской ΠΈΠ»Π»ΡŽΡΡ‚Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ.

Π§Π΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ Ρ†Π²Π΅Ρ‚ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ для Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° исходной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, синий Ρ†Π²Π΅Ρ‚ – ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ, красная Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° – Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° касания. Рисунок, располагаСмый справа, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚Β  Π² ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3

Π’Ρ‹ΡΡΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π°Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ΅ сущСствования ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ
y=3Β·x-15+1Β Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ с ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ (1;1). Π‘ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π°.

РСшСниС

По ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡŽ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ опрСдСлСния Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ считаСтся мноТСство всСх Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл.

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΊ Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ

y’=3Β·x-15+1’=3Β·15Β·(x-1)15-1=35Β·1(x-1)45

Если x0=1, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° f’(x) Π½Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π°, Π½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‹ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ Β limxβ†’1+035Β·1(x-1)45=35Β·1(+0)45=35Β·1+0=+∞ и limxβ†’1-035Β·1(x-1)45=35Β·1(-0)45=35Β·1+0=+∞, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ сущСствованиС Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ (1;1).

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚:Β ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄ Ρ…=1, Π³Π΄Π΅ ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Ο€2.

Для наглядности ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΠΌ графичСски.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 4

Найти Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=115x+23-45×2-165x-265+3x+2, Π³Π΄Π΅

  1. ΠšΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Π½Π΅ сущСствуСт;
  2. ΠšΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ располагаСтся ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΎΡ…;
  3. ΠšΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π° прямой y=85x+4.

РСшСниС

НСобходимо ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния. По ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡŽ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ функция ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° Π½Π° мноТСствС всСх Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл. РаскрываСм ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒΒ ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅ΠΌ систСму с ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ°ΠΌΠΈ x∈-∞;Β 2Β ΠΈ [-2;Β +∞). ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

y=-115×3+18×2+105x+176,Β x∈-∞;Β -2115×3-6×2+9x+12,Β x∈[-2;Β +∞)

НСобходимо ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ. ИмССм, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

y’=-115×3+18×2+105x+176′,Β x∈-∞;Β -2115×3-6×2+9x+12′,Β x∈[-2;Β +∞)⇔y’=-15(x2+12x+35),Β x∈-∞;Β -215×2-4x+3,Β x∈[-2;Β +∞)

Когда Ρ…=-2, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° производная Π½Π΅ сущСствуСт, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ односторонниС ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‹ Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ Π² этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅:

limx→-2-0y'(x)=limx→-2-0-15(x2+12x+35=-15(-2)2+12(-2)+35=-3limx→-2+0y'(x)=limx→-2+015(x2-4x+3)=15-22-4-2+3=3

ВычисляСм Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Ρ…=-2, Π³Π΄Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

  1. y(-2)=115-2+23-45(-2)2-165(-2)-265+3-2+2=-2, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ (-2;-2) Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ.
  2. ΠšΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π° ΠΎΡ…, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ коэффициСнт равняСтся Π½ΡƒΠ»ΡŽ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° kx=tgΒ Ξ±x=f'(x0). Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ значСния Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… Ρ…, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° производная Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈΒ  ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π°Π΅Ρ‚ Π΅Π΅ Π² ноль. Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ значСния f’(x)Β ΠΈ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΡΠ²Π»ΡΡ‚ΡŒΡΡ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ касания, Π³Π΄Π΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ являСтся ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΡ….

Когда x∈-∞;Β -2, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° -15(x2+12x+35)=0, Π° ΠΏΡ€ΠΈ x∈(-2;Β +∞)Β ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ 15(x2-4x+3)=0.

РСшим:

-15(x2+12x+35)=0D=122-4Β·35=144-140=4×1=-12+42=-5∈-∞;Β -2×2=-12-42=-7∈-∞;Β -2Β  Β 15(x2-4x+3)=0D=42-4Β·3=4×3=4-42=1∈-2;Β +∞x4=4+42=3∈-2;Β +∞

ВычисляСм ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

y1=y-5=115-5+23-45-52-165-5-265+3-5+2=85y2=y(-7)=115-7+23-45(-7)2-165-7-265+3-7+2=43y3=y(1)=1151+23-45Β·12-165Β·1-265+31+2=85y4=y(3)=1153+23-45Β·32-165Β·3-265+33+2=43

ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° -5;Β 85,Β -4;Β 43,Β 1;Β 85,Β 3;Β 43Β ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°ΡŽΡ‚ΡΡ искомыми Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Рассмотрим графичСскоС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ.

ЧСрная линия – Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, красныС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ – Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ касания.

  1. Когда прямыС Ρ€Π°ΡΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Ρ‚ΠΎ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²Ρ‹Π΅ коэффициСнты Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π·Π°Π½ΡΡ‚ΡŒΡΡ поиском Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π³Π΄Π΅ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ коэффициСнт Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π½ΡΡ‚ΡŒΡΡ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ 85 . Для этого Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π° y'(x)=85. Π’ΠΎΠ³Π΄Π°, Ссли x∈-∞;Β -2, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ -15(x2+12x+35)=85, Π° Ссли x∈(-2;Β +∞), Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° 15(x2-4x+3)=85.

ΠŸΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ дискриминант мСньшС нуля. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠ΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

-15×2+12x+35=85×2+12x+43=0D=122-4Β·43=-28<0

Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π΄Π²Π° Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… корня, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°

15(x2-4x+3)=85×2-4x-5=0D=42-4Β·(-5)=36×1=4-362=-1∈-2;Β +∞x2=4+362=5∈-2;Β +∞

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΊ Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡŽ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

y1=y(-1)=115-1+23-45(-1)2-165(-1)-265+3-1+2=415y2=y(5)=1155+23-45Β·52-165Β·5-265+35+2=83

Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ со значСниями -1;Β 415,Β 5;Β 83Β ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ прямой y=85x+4.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: чСрная линия – Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, красная линия – Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y=85x+4, синяя линия – ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅Β  Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… -1;Β 415,Β 5;Β 83.

Π’ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ сущСствованиС бСсконСчного количСства ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… для Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 5

ΠΠ°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ уравнСния всСх ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΡ…ΡΡ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=3cos32x-Ο€4-13, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Ρ€Π°ΡΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°ΡŽΡ‚ΡΡ пСрпСндикулярно прямой y=-2x+12.

РСшСниС

Для составлСния уравнСния ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ коэффициСнт ΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ касания, исходя ΠΈΠ· условия пСрпСндикулярности прямых. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π²ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊ: ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²Ρ‹Ρ… коэффициСнтов, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ пСрпСндикулярны прямым, равняСтся -1, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ записываСтся ΠΊΠ°ΠΊ kxΒ·kβŠ₯=-1. Из условия ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ коэффициСнт располагаСтся пСрпСндикулярно прямой  ΠΈ равняСтся kβŠ₯=-2, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° kx=-1kβŠ₯=-1-2=12.

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ касания. НуТно Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ…, послС Ρ‡Π΅Π³ΠΎ Π΅Π³ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ для Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. ΠžΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΠ· гСомСтричСского смысла ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉΒ  Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅
x0Β ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ kx=y'(x0).Β  Из Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ равСнства Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ значСния Ρ… для Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ касания.

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

y'(x0)=3cos32x0-Ο€4-13’=3Β·-sin32x0-Ο€4Β·32×0-Ο€4’==-3Β·sin32x0-Ο€4Β·32=-92Β·sin32x0-Ο€4β‡’kx=y'(x0)⇔-92Β·sin32x0-Ο€4=12β‡’sin32x0-Ο€4=-19

Π­Ρ‚ΠΎ тригономСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ использовано для вычислСния ΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ касания.

32×0-Ο€4=arcsin-19+2Ο€kΒ ΠΈΠ»ΠΈΒ 32×0-Ο€4=Ο€-arcsin-19+2Ο€k

32×0-Ο€4=-arcsin19+2Ο€kΒ ΠΈΠ»ΠΈΒ 32×0-Ο€4=Ο€+arcsin19+2Ο€k

x0=23Ο€4-arcsin19+2Ο€kΒ ΠΈΠ»ΠΈΒ x0=235Ο€4+arcsin19+2Ο€k,Β k∈Z

Z- мноТСство Ρ†Π΅Π»Ρ‹Ρ… чисСл.

НайдСны Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ касания. Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊ поиску Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρƒ:

y0=3cos32x0-Ο€4-13

y0=3Β·1-sin232x0-Ο€4-13Β ΠΈΠ»ΠΈΒ y0=3Β·-1-sin232x0-Ο€4-13

y0=3Β·1–192-13Β ΠΈΠ»ΠΈΒ y0=3Β·-1–192-13

y0=45-13Β ΠΈΠ»ΠΈΒ y0=-45+13

ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ 23Ο€4-arcsin19+2Ο€k;Β 45-13,Β 235Ο€4+arcsin19+2Ο€k;Β -45+13Β ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ касания.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹ уравнСния Π·Π°ΠΏΠΈΡˆΡƒΡ‚ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ

y=12x-23Ο€4-arcsin19+2Ο€k+45-13,y=12x-235Ο€4+arcsin19+2Ο€k-45+13,Β k∈Z

Для наглядного изобраТСния рассмотрим Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Π½Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ прямой.

Рисунок ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ располоТСниС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅ [-10;10], Π³Π΄Π΅ чСрная прямя – Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, синиС Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ – ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Ρ€Π°ΡΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°ΡŽΡ‚ΡΡ пСрпСндикулярно Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ прямой Π²ΠΈΠ΄Π° y=-2x+12. ΠšΡ€Π°ΡΠ½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ – это Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ касания.

ΠšΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΊ окруТности, эллипсу, Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Π΅, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Π΅

ΠšΠ°Π½ΠΎΠ½ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ уравнСния ΠΊΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Ρ… 2 порядка Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ функциями. УравнСния ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… для Π½ΠΈΡ… ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΠΎ извСстным схСмам.

ΠšΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΊ окруТности

Для задания окруТности  с Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌΒ  Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ xcenter;Β ycenterΒ ΠΈ радиусом R примСняСтся Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° x-xcenter2+y-ycenter2=R2.

Π”Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ равСнство ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ записано ΠΊΠ°ΠΊ объСдинСниС Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ:

y=R2-x-xcenter2+ycentery=-R2-x-xcenter2+ycenter

ΠŸΠ΅Ρ€Π²Π°Ρ функция располагаСтся Π²Π²Π΅Ρ€Ρ…Ρƒ, Π° вторая Π²Π½ΠΈΠ·Ρƒ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° рисункС.

Для составлСния уравнСния окруТности  Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ x0;Β y0, которая располагаСтся  Π² Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½Π΅ΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅ΠΉ полуокруТности, слСдуСт Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π²ΠΈΠ΄Π° y=R2-x-xcenter2+ycenterΒ ΠΈΠ»ΠΈ y=-R2-x-xcenter2+ycenterΒ Π² ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅.

Когда Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… xcenter;Β ycenter+RΒ ΠΈ xcenter;Β ycenter-RΒ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Π½Ρ‹ уравнСниями y=ycenter+RΒ ΠΈ y=ycenter-R, Π°Β  Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… xcenter+R;Β ycenterΒ ΠΈ
xcenter-R;Β ycenterΒ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΡΠ²Π»ΡΡ‚ΡŒΡΡ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΎΡƒ, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ уравнСния Π²ΠΈΠ΄Π° x=xcenter+RΒ ΠΈ x=xcenter-R.

ΠšΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΊ эллипсу

Когда эллипс ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Β  Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ xcenter;Β ycenter с полуосями a ΠΈ b, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΠ½ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Π½ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΠΈ уравнСния x-xcenter2a2+y-ycenter2b2=1.

Эллипс ΠΈ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΠΈ объСдинСния Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, Π° ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ: Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½Π΅Π³ΠΎ ΠΈ Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅Π³ΠΎ полуэллипса. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

y=baΒ·a2-(x-xcenter)2+ycentery=-baΒ·a2-(x-xcenter)2+ycenter

Если  ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ€Π°ΡΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π° Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π°Ρ… эллипса, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΠ½ΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ ΠΎΡ… ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡƒ. НиТС для наглядности рассмотрим рисунок.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 6

ΠΠ°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ эллипсу x-324+y-5225=1Β Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… со значСниями x Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ…=2.

РСшСниС

НСобходимо Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ касания, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽΒ Ρ…=2. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ подстановку Π² ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰Π΅Π΅ΡΡ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ эллипса ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

x-324x=2+y-5225=114+y-5225=1β‡’y-52=34Β·25β‡’y=Β±532+5

Π’ΠΎΠ³Π΄Π° 2;Β 532+5Β ΠΈ 2;Β -532+5Β ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ касания, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½Π΅ΠΌΡƒ ΠΈ Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅ΠΌΡƒ полуэллипсу.

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΊ Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΈ Ρ€Π°Π·Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ уравнСния эллипса ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ y. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

x-324+y-5225=1y-5225=1-x-324(y-5)2=25Β·1-x-324y-5=Β±5Β·1-x-324y=5Β±524-x-32

ΠžΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΈΠΉ полуэллипс задаСтся с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π²ΠΈΠ΄Π° y=5+524-x-32, Π° Π½ΠΈΠΆΠ½ΠΈΠΉ y=5-524-x-32.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ стандартный Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌ для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠ΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ для ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ 2;Β 532+5Β Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π²ΠΈΠ΄

y’=5+524-x-32’=52Β·124-(x-3)2Β·4-(x-3)2’==-52Β·x-34-(x-3)2β‡’y'(x0)=y'(2)=-52Β·2-34-(2-3)2=523β‡’y=y'(x0)Β·x-x0+y0⇔y=523(x-2)+532+5

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ со Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌΒ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅
2;Β -532+5Β ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄

y’=5-524-(x-3)2’=-52Β·124-(x-3)2Β·4-(x-3)2’==52Β·x-34-(x-3)2β‡’y'(x0)=y'(2)=52Β·2-34-(2-3)2=-523β‡’y=y'(x0)Β·x-x0+y0⇔y=-523(x-2)-532+5

ГрафичСски ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Β Ρ‚Π°ΠΊ:

ΠšΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΊ Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Π΅

Когда Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ xcenter;Β ycenterΒ ΠΈ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ xcenter+Ξ±;Β ycenterΒ ΠΈ xcenter-Ξ±;Β ycenter, ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ мСсто Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ нСравСнства x-xcenter2Ξ±2-y-ycenter2b2=1, Ссли с Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈΒ xcenter;Β ycenter+bΒ ΠΈ xcenter;Β ycenter-b, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° задаСтся ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΠΈ нСравСнства x-xcenter2Ξ±2-y-ycenter2b2=-1.

Π“ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Π° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ прСдставлСна Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΎΠ±ΡŠΠ΅Π΄ΠΈΠ½Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ΄Π°

y=baΒ·(x-xcenter)2-a2+ycentery=-baΒ·(x-xcenter)2-a2+ycenterΒ ΠΈΠ»ΠΈ y=baΒ·(x-xcenter)2+a2+ycentery=-baΒ·(x-xcenter)2+a2+ycenter

Π’ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ случаС ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ ΠΎΡƒ, Π° Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ ΠΎΡ….

ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Π΅, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π²Ρ‹ΡΡΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° касания. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ это, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ произвСсти подстановку Π² уравнСния ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΡ… Π½Π° Ρ‚ΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡ‚Π²Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 7

Π‘ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Π΅ x-324-y+329=1Β Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ 7;Β -33-3.

РСшСниС

НСобходимо ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ запись Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ нахоТдСния Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΠΈ 2 Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

x-324-y+329=1β‡’y+329=x-324-1β‡’y+32=9Β·x-324-1β‡’y+3=32Β·x-32-4Β ΠΈΠ»ΠΈΒ y+3=-32Β·x-32-4β‡’y=32Β·x-32-4-3y=-32Β·x-32-4-3

НСобходимо Π²Ρ‹ΡΠ²ΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ заданная Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° с ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ 7;Β -33-3.

ΠžΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ для ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ y(7)=32Β·(7-3)2-4-3=33-3β‰ -33-3, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ равСнство Π½Π΅ выполняСтся.

Для Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ y(7)=-32Β·(7-3)2-4-3=-33-3β‰ -33-3, Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ. ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° слСдуСт Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ коэффициСнт.

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

y’=-32Β·(x-3)2-4-3’=-32Β·x-3(x-3)2-4β‡’kx=y'(x0)=-32Β·x0-3×0-32-4×0=7=-32Β·7-37-32-4=-3

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ

y=-3Β·x-7-33-3=-3Β·x+43-3

Наглядно изобраТаСтся Ρ‚Π°ΠΊ:

ΠšΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΊ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Π΅

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Π΅ y=ax2+bx+cΒ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ x0,Β y(x0), Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ стандартный Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌ, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄ y=y'(x0)Β·x-x0+y(x0). Вакая ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Π² Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π° ΠΎΡ….

Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΠ΅Ρ‚ Π·Π°Π΄Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρƒ x=ay2+by+cΒ ΠΊΠ°ΠΊ объСдинСниС Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π·Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρƒ. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

x=ay2+by+c⇔ay2+by+c-x=0D=b2-4a(c-x)y=-b+b2-4a(c-x)2ay=-b-b2-4a(c-x)2a

ГрафичСски ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΠΌ ΠΊΠ°ΠΊ:

Для выяснСния принадлСТности Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ x0,Β y(x0)Β Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π½Π΅ΠΆΠ½ΠΎ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎ стандартному Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌΡƒ. Вакая ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π° ΠΎΡƒ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρ‹.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 8

ΠΠ°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ x-2y2-5y+3, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ 150Β°.

РСшСниС

НачинаСм Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ с прСдставлСния ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρ‹ Π² качСствС Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

-2y2-5y+3-x=0D=(-5)2-4Β·(-2)Β·(3-x)=49-8xy=5+49-8x-4y=5-49-8x-4

Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ коэффициСнта равняСтся Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ x0 этой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ равняСтся тангСнсу ΡƒΠ³Π»Π° Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π°.

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ:

kx=y'(x0)=tgΒ Ξ±x=tgΒ 150Β°=-13

ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ… для Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ касания.

ΠŸΠ΅Ρ€Π²Π°Ρ функция Π·Π°ΠΏΠΈΡˆΠ΅Ρ‚ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ

y’=5+49-8x-4’=149-8xβ‡’y'(x0)=149-8×0=-13⇔49-8×0=-3

ΠžΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ Π½Π΅Ρ‚, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π”Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ с ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ 150° для Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π΅ сущСствуСт.

Вторая функция Π·Π°ΠΏΠΈΡˆΠ΅Ρ‚ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ

y’=5-49-8x-4’=-149-8xβ‡’y'(x0)=-149-8×0=-13⇔49-8×0=-3×0=234β‡’y(x0)=5-49-8Β·234-4=-5+34

ИмССм, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ касания –Β 234;Β -5+34.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄

y=-13Β·x-234+-5+34

ГрафичСски ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΠΌ это Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ:

ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΈΠΊΠ° восстановлСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ являСтся Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ Ρ…; Π΅Ρ‘ Π²ΠΈΠ΄ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎ Π²ΠΎΡΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f(Ρ…). ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ»Π»ΡŽΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ это Π½Π° ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅. На рис.3, Π° ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f(Ρ…) Для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π²ΠΎΡΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ , мыслСнно прослСдим, ΠΊΠ°ΠΊ Π²Π΅Π΄Π΅Ρ‚ сСбя ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ f(Ρ…) ΠΏΡ€ΠΈ «скольТСнии» Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ касания слСва Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ.

На участкС 1-2 ΠΊΡ€ΡƒΡ‚ΠΈΠ·Π½Π° ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ сначала возрастаСт, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ 2 ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π° оси Ρ…. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, tgΞ², ΠΎΡΡ‚Π°Π²Π°ΡΡΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ, сначала возрастаСт, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, доходя Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ 2 Π΄ΠΎ нуля. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ tgΞ² ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΎ Π½Π° участкС 1-2 Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ (рис.3,Π±). На участкС 2-3 tgΞ²<0, Π° Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ 3 tgΞ²=0. Π”Π°Π»ΡŒΠ½Π΅ΠΉΡˆΠΈΠ΅ рассуТдСния прСдлагаСтся провСсти Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŽ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ. Π’ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ…, Π³Π΄Π΅ функция достигаСт максимума ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°, производная обращаСтся Π² Π½ΡƒΠ»ΡŒ. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ, Π² ΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… функция достигаСт максимума ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°, слСдуСт Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅

=0. (4)

Π’Π΅Ρ…Π½ΠΈΠΊΠ° отыскания ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…

Найти ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ (Ρ‡Π°Ρ‰Π΅ говорят Β«ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽΒ») ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, воспользовавшись ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ (3). Однако Ссли Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, Ρ‚ΠΎ ΠΎΡ‚Ρ‹ΡΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ любой элСмСнтарной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… нСслоТных ΠΏΡ€ΠΈΠ΅ΠΌΠΎΠ². ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ‹ Π² Ρ‚Π°Π±Π».1.

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° 1

β„–

f(Ρ…)

β„–

f(Ρ…)

1

Ρ…ΞΌ

ΞΌΡ…ΞΌ-1

7

ctgx

-1/sin2x

2

Π΅Ρ…

Π΅Ρ…

8

arcsinx

3

lnx

1/x

9

arccosx

4

sinx

cosx

1

arctgx

5

cosx

-sinx

1

arcctgx

6

tgx

1/cos2x

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ основныС ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° диффСрСнцирования Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ слоТных Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ.

  1. производная суммы Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Π° суммС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ;

2) Ссли функция f(Ρ…) являСтся ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ f1(Ρ…) ΠΈ f2(Ρ…), Ρ‚.Π΅. f(Ρ…)=f1(Ρ…)Β· f2(Ρ…), Ρ‚ΠΎ

=(5)

Π’ частности, Ссли f2(Ρ…)=А=сопst, Ρ‚ΠΎ =А, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ производная ΠΎΡ‚ константы Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ;

3) производная «слоТной» Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρƒ(Ρ…)=f(Ο†(Ρ…)) вычисляСтся Π² Π΄Π²Π° этапа. Π‘Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΡΡŽΡ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ f ΠΏΠΎ Ο†, ΠΏΡ€ΠΈ этом Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ Ο† ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΡƒΡŽ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ (Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚), Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°ΡŽΡ‚ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ο† ΠΏΠΎ Ρ…, Ρ‚.Π΅.

. (6)

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ»Π»ΡŽΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ эти ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° нСсколькими ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°ΠΌΠΈ диффСрСнцирования Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

П Ρ€ ΠΈ ΠΌ Π΅ Ρ€ 2: Ρƒ=Ρ…2Π΅Ρ…, Ρƒ являСтся ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ =Ρ…2, =Π΅Ρ…. ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΠ²ΡˆΠΈΡΡŒ ΠΊ Ρ‚Π°Π±Π».1, Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ

ΠΈ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° 2 Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° (6)

.

П Ρ€ ΠΈ ΠΌ Π΅ Ρ€ 3: ; Ρƒ являСтся «слоТной» Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Ρƒ=cosΟ†, Ο†=ax. Π’ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Π²ΡˆΠΈΡΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ (7) ΠΈ Ρ‚Π°Π±Π». 1, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ

.

П Ρ€ ΠΈ ΠΌ Π΅ Ρ€ 4: ; Ρƒ прСдставим Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ,

, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° .

П Ρ€ ΠΈ ΠΌ Π΅ Ρ€ 5: ; a,b,c=const. y(x) прСдставляСм Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΈΠ»ΠΈ, воспользовавшись свойством ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ суммы, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ

.

Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΠ΅Ρ‚ ΡΡ‚Ρ€Π΅ΠΌΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΏΡ€ΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΏΡ€ΠΈΠ΅ΠΌ, Ρ‚. Π΅. Π±Π΅Π· ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΎΠΊ ΠΈ Π±Π΅Π· ввСдСния Β«ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹Ρ…Β» Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Ο†(Ρ…), ΠΏΡ€ΠΈ этом всС рассуТдСния, приводящиС ΠΊ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Ρƒ, Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π² ΡƒΠΌΠ΅.

Π˜ΡΡ‡ΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅

– Как я ΠΌΠΎΠ³Ρƒ ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ„ΠΈΡ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Π΅Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ?

спросил

ИзмСнСно 2 Π³ΠΎΠ΄Π°, 3 мСсяца Π½Π°Π·Π°Π΄

ΠŸΡ€ΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π½ΠΎ 23 тысячи Ρ€Π°Π·

$\begingroup$

Π˜Π΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ„ΠΈΡ†ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ $A$ (синий), $B$ (красный) ΠΈ $C$ (Π·Π΅Π»Π΅Π½Ρ‹ΠΉ) ΠΊΠ°ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…:

  1. _____ являСтся Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ
  2. _____ β€” Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ
  3. _____Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ
  • исчислСниС
  • ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅

$\endgroup$

1

$\begingroup$

Π’ΠΎΡ‚ список для подраТания;

  1. ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ ΠΈ максимум. Π­Ρ‚ΠΎ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹Π΅ значСния Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΈΡ… ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π° оси x.
  2. ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ, увСличиваСтся ΠΈΠ»ΠΈ ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Π² ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅. ΠŸΡ€ΠΈ ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ производная Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ сторонС оси y.
  3. ΠŸΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ‚Π΅, ΠΊΠ°ΠΊ мСняСтся Π·Π½Π°ΠΊ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π½ΡƒΠ»ΠΈ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ.

ПослС списка ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚; Π΅ (Ρ…) = А Π΅'(Ρ…)=Π’ f”(Ρ…)=Π‘ 92}$.

$\endgroup$

$\begingroup$

функция ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ синий Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ.

пСрвая производная Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° функция достигаСт экстрСмума, Π΅Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ красный.

вторая производная Π΄Π°Π΅Ρ‚ ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΡŽ ΠΎ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΈΠ·Π½Π΅. Она ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° функция ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ, Π° сразу послС этого возрастаСт. ΠΎΠ½Π° ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° функция возрастаСт, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚. Π΅Π³ΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π·Π΅Π»Π΅Π½Ρ‹ΠΉ.

$\endgroup$

$\begingroup$

НайдитС, Π³Π΄Π΅ ΠΎΠ΄Π½Π° всСгда возрастаСт, Π° другая всСгда соотвСтствуСт ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ, ΠΈ Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅, Π³Π΄Π΅ функция ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ, Π² Ρ‚ΠΎ врСмя ΠΊΠ°ΠΊ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ увСличиваСтся ΠΈ ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ, являСтся ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ возрастания ΠΈ убывания Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ.

$\endgroup$

Π˜ΡΡ‡ΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ I. Π€ΠΎΡ€ΠΌΠ° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°, Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ II

Онлайн-Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΊΠΈ Пола
Π”ΠΎΠΌ / Π˜ΡΡ‡ΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ I / ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… / Π€ΠΎΡ€ΠΌΠ° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°, Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ II

ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ мобильноС ΡƒΠ²Π΅Π΄ΠΎΠΌΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ всС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΡΒ Π‘ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΡŒ всС примСчания

Π£Π²Π΅Π΄ΠΎΠΌΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ для ΠΌΠΎΠ±ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… устройств

ΠŸΠΎΡ…ΠΎΠΆΠ΅, Π²Ρ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚Π΅ устройство с Β«ΡƒΠ·ΠΊΠΎΠΉΒ» ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½ΠΎΠΉ экрана ( Ρ‚. Π΅. Π²Ρ‹, вСроятно, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΌΠΎΠ±ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Π΅Π»Π΅Ρ„ΠΎΠ½). Из-Π·Π° Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€Π° ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ Π½Π° этом сайтС Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅ всСго ΠΏΡ€ΠΎΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π² Π»Π°Π½Π΄ΡˆΠ°Ρ„Ρ‚Π½ΠΎΠΌ Ρ€Π΅ΠΆΠΈΠΌΠ΅. Если вашС устройство Π½Π΅ находится Π² Π»Π°Π½Π΄ΡˆΠ°Ρ„Ρ‚Π½ΠΎΠΌ Ρ€Π΅ΠΆΠΈΠΌΠ΅, ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ уравнСния Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒΡΡ сбоку вашСго устройства (Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΊΡ€ΡƒΡ‚ΠΊΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΈΡ…), Π° Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚Ρ‹ мСню Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΠΎΠ±Ρ€Π΅Π·Π°Π½Ρ‹ ΠΈΠ·-Π·Π° ΡƒΠ·ΠΊΠΎΠΉ ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½Ρ‹ экрана.

Π Π°Π·Π΄Π΅Π» 4.6. Π€ΠΎΡ€ΠΌΠ° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°, Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ II

Π’ ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΌ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄Π΅Π»ΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΡŽ ΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π’ этом Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ ΠΌΡ‹ рассмотрим ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΡŽ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ вторая производная Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π΄Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π°ΠΌ ΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

ΠŸΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΌΡ‹ это сдСлаСм, Π½Π°ΠΌ понадобится ΠΏΠ°Ρ€Π° ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ. Основная концСпция, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΌΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΎΠ±ΡΡƒΠΆΠ΄Π°Ρ‚ΡŒ Π² этом Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅, β€” Π²ΠΎΠ³Π½ΡƒΡ‚ΠΎΡΡ‚ΡŒ. Π’ΠΎΠ³Π½ΡƒΡ‚ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π»Π΅Π³Ρ‡Π΅ всСго ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ (Ρ‡ΡƒΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ·ΠΆΠ΅ ΠΌΡ‹ Π΄Π°Π΄ΠΈΠΌ матСматичСскоС ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅).

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, функция Π²ΠΎΠ³Π½ΡƒΡ‚Π° Π²Π²Π΅Ρ€Ρ… , Ссли ΠΎΠ½Π° «открываСтся» Π²Π²Π΅Ρ€Ρ…, ΠΈ функция Π²ΠΎΠ³Π½ΡƒΡ‚Π° Π²Π½ΠΈΠ· , Ссли ΠΎΠ½Π° «открываСтся» Π²Π½ΠΈΠ·. Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒΡ‚Π΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²ΠΎΠ³Π½ΡƒΡ‚ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π½ΠΈΡ‡Π΅Π³ΠΎ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ с ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ. Ѐункция ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π²ΠΎΠ³Π½ΡƒΡ‚ΠΎΠΉ ΠΈ Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π²ΠΎΠ·Ρ€Π°ΡΡ‚Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ, Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ. Π’ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ функция ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π²ΠΎΠ³Π½ΡƒΡ‚ΠΎΠΉ Π²Π½ΠΈΠ· ΠΈ Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π²ΠΎΠ·Ρ€Π°ΡΡ‚Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ, Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ.

ВСроятно, это Π½Π΅ Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠΈΠΉ способ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π²ΠΎΠ³Π½ΡƒΡ‚ΠΎΡΡ‚ΡŒ, ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π², ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΠΎΠ½Π° «открываСтся», ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ это нСсколько расплывчатоС ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π’ΠΎΡ‚ матСматичСскоС ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ вогнутости.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ 1

Учитывая Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ \(f\left( x \right)\), Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°

  1. \(f\left( x \right)\) Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π²ΠΎΠ³Π½ΡƒΡ‚ΠΎΠΉ Π²Π²Π΅Ρ€Ρ… Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ \(I\) Ссли всС ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ Π½Π° \(I\) находятся Π½ΠΈΠΆΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° \(f\left( x \right)\).
  2. \(f\left( x \right)\) являСтся Π²ΠΎΠ³Π½ΡƒΡ‚Ρ‹ΠΌ Π²Π½ΠΈΠ· Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ \(I\), Ссли всС ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ Π½Π° \(I\) находятся Π½Π°Π΄ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠΌ \(f\left ( Ρ… \справа)\).

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Π·Π°ΡΠ²Π»Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ Π²ΠΎΠ³Π½ΡƒΡ‚ΠΎΡΡ‚ΡŒ, Π²ΠΎΡ‚ снова Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ (Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π±Ρ‹Π»ΠΎ понятнСС).

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΊΠ°ΠΊ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ, Π½Π° Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΈΡ… Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°Ρ… всС нарисованныС ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ находятся ΠΏΠΎΠ΄ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ Π²ΠΎΠ³Π½ΡƒΡ‚Ρ‹ Π²Π²Π΅Ρ€Ρ…. На Π΄Π²ΡƒΡ… Π½ΠΈΠΆΠ½ΠΈΡ… Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°Ρ… всС ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ находятся Π½Π°Π΄ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ Π²ΠΎΠ³Π½ΡƒΡ‚Ρ‹ Π²Π½ΠΈΠ·.

ΠžΠΏΡΡ‚ΡŒ ΠΆΠ΅, ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²ΠΎΠ³Π½ΡƒΡ‚ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ аспСкт возрастания/убывания Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅Π½Ρ‹ ΠΈ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Π½ΠΈΡ‡Π΅Π³ΠΎ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ с Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌ. Π­Ρ‚ΠΎ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ учащиСся часто ΡΠΌΠ΅ΡˆΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ эти Π΄Π²Π° понятия ΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΡŽ ΠΎΠ± ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ для получСния ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΎ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌ.

Π•ΡΡ‚ΡŒ Π΅Ρ‰Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΎΡ‚ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ·Π±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ 2

Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° \(x = c\) называСтся Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π³ΠΈΠ±Π° , Ссли функция Π² этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Π° ΠΈ Π²ΠΎΠ³Π½ΡƒΡ‚ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° измСняСтся Π² этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅.

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ всС опрСдСлСния вогнутости, Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ. Π’ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ ΠΊΠΎΠ½Ρ†ΠΎΠ², ΠΌΡ‹ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΈ этот Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π» с Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ собираСмся ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ для получСния ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅. Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ связываСт Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ с Π΅Π΅ Π²ΠΎΠ³Π½ΡƒΡ‚ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ. Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ этого Ρ„Π°ΠΊΡ‚Π° находится Π² Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ Β«Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉΒ» Π³Π»Π°Π²Ρ‹ Β«Π”ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΒ».

Π€Π°ΠΊΡ‚

Учитывая Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ \(f\left( x \right)\), Ρ‚ΠΎ

  1. Если \(f”\left( x \right) > 0\) для всСх \(x\) Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π» \(I\), Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° \(f\left( x \right)\) Π²ΠΎΠ³Π½ΡƒΡ‚ Π²Π²Π΅Ρ€Ρ… Π½Π° \(I\).
  2. Если \(f”\left( x \right) < 0\) для всСх \(x\) Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ \(I\), Ρ‚ΠΎ \(f\left( x \right)\) Π²ΠΎΠ³Π½ΡƒΡ‚ΠΎ Π²Π½ΠΈΠ· Π½Π° \(Π―\).

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, этот Ρ„Π°ΠΊΡ‚ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ Π½Π°ΠΌ ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π³ΠΈΠ±Π° Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ всС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π³Π΄Π΅ вторая производная мСняСт Π·Π½Π°ΠΊ. Π’ ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΉ Π³Π»Π°Π²Π΅ ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄Π΅Π»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ функция ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°ΠΊ, Ссли ΠΎΠ½Π° Π»ΠΈΠ±ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ, Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π½Π΅ сущСствуСт. ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π»ΠΈ с ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΌ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅, Π½ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‚ Ρ„Π°ΠΊΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ функция ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°ΠΊ Ρ‚Π°ΠΌ, Π³Π΄Π΅ ΠΎΠ½Π° Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ сущСствуСт, Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π½ΠΈΡ‡Π΅Π³ΠΎ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ с ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ. Π­Ρ‚ΠΎ просто Ρ„Π°ΠΊΡ‚, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ ΠΊΠΎ всСм функциям, нСзависимо ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π»ΠΈ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅Ρ‚.

Π­Ρ‚ΠΎ, Π² свою ΠΎΡ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄ΡŒ, Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ Π½Π°ΠΌ ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ список Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π³ΠΈΠ±Π° Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈΠ· Ρ‚Π΅Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, Π³Π΄Π΅ вторая производная Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ сущСствуСт, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ это СдинствСнныС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π³Π΄Π΅ вторая производная ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°ΠΊ.

Π‘ΡƒΠ΄ΡŒΡ‚Π΅ остороТны, ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ Π½Π΅ Π΄Π΅Π»Π°ΠΉΡ‚Π΅ прСдполоТСния, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ вторая производная Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ сущСствуСт, Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π³ΠΈΠ±Π°. ΠœΡ‹ ΡƒΠ·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π³ΠΈΠ±Π°, Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ Π²ΠΎΠ³Π½ΡƒΡ‚ΠΎΡΡ‚ΡŒ с ΠΎΠ±Π΅ΠΈΡ… сторон ΠΎΡ‚ Π½Π΅Π΅. Π­Ρ‚ΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π³ΠΈΠ±Π°, Ссли Π²ΠΎΠ³Π½ΡƒΡ‚ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Π° с ΠΎΠ±Π΅ΠΈΡ… сторон Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ.

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ ΠΎ вогнутости, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ эту ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΡŽ, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΡŽ ΠΎ возрастании/ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π½ΠΈΠΈ ΠΈΠ· ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅Π³ΠΎ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π°, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ довольно Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠ΅Π΅ прСдставлСниС ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π²Ρ‹Π³Π»ΡΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ. Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ посмотрим Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ этого.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1. Для ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Ρ‹, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… функция возрастаСт ΠΈ ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, ΠΈ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Ρ‹, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… функция Π²ΠΎΠ³Π½ΡƒΡ‚Π° Π²Π²Π΅Ρ€Ρ… ΠΈ Π²ΠΎΠ³Π½ΡƒΡ‚Π° Π²Π½ΠΈΠ·. 3} + 3\] 92} – 1} \справа)\ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†{Π²Ρ‹Ρ€Π°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅*}\]

Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ Π½Π°Ρ‡Π½Π΅ΠΌ с увСличСния/ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΈ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ достаточно Π΄ΠΎΠ²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ этим послС послСднСго Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π°.

Π£ этой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Ρ€ΠΈ критичСскиС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ: \(x = – 1\), \(x = 0\) ΠΈ \(x = 1\). НиТС находится числовая строка для увСличСния/ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΈ.

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆΠ΅, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Ρ‹ возрастания ΠΈ убывания.

\[\begin{align*}{\mbox{По Π²ΠΎΠ·Ρ€Π°ΡΡ‚Π°Π½ΠΈΡŽ: }} & – \infty < x < - 1{\mbox{ΠΈ}}1 < x <\infty \\ {\mbox{По ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π½ΠΈΡŽ: }} & - 1 < Ρ… < 0, \, \, \, 0 < Ρ… < 1 \ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ† {Π²Ρ‹Ρ€Π°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ *} \]

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΠ· тСста ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΌΡ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ \(x = – 1\) являСтся ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ максимумом, Π° \(x = 1\) – ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠΎΠΌ. Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ \(x = 0\) Π½Π΅ являСтся Π½ΠΈ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠΎΠΌ, Π½ΠΈ максимумом.

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Ρ‹, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… функция Π²ΠΎΠ³Π½ΡƒΡ‚Π° Π²Π²Π΅Ρ€Ρ… ΠΈ Π²ΠΎΠ³Π½ΡƒΡ‚Π° Π²Π½ΠΈΠ·. Если ΠΏΠΎΠ΄ΡƒΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ, этот процСсс ΠΏΠΎΡ‡Ρ‚ΠΈ ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅Π½ процСссу, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΌΡ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ для опрСдСлСния ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»ΠΎΠ² возрастания ΠΈ убывания. ЕдинствСнноС ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ΅ состоит Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ вмСсто ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ.

ΠŸΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ, это ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π³ΠΈΠ±Π°. Π­Ρ‚ΠΎ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ случаи, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° вторая производная Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ сущСствуСт. Вторая производная Π² этом случаС являСтся ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠΌ ΠΈ поэтому Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π²Π΅Π·Π΄Π΅. Π’ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… ΠΎΠ½ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π½ΡƒΠ»ΡŽ.

\[x = 0,\,\,x = \pm \frac{1}{{\sqrt 2}} = \pm \,0,7071\]

Как ΠΈ Π² случаС с Π²ΠΎΠ·Ρ€Π°ΡΡ‚Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ ΠΈ ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ частями, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°Ρ€ΠΈΡΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΎΠ²ΡƒΡŽ линию Π²Π²Π΅Ρ€Ρ… ΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ эти Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΎΠ²ΡƒΡŽ линию Π½Π° области. ΠœΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² этих областях вторая производная всСгда Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΆΠ΅ Π·Π½Π°ΠΊ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ эти Ρ‚Ρ€ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ СдинствСнными мСстами, Π³Π΄Π΅ функция ΠΌΠ°ΠΉ ΡΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°ΠΊ. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ всС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ, это Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ ΠΈΠ· ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ области ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π΅ Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° вторая производная Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ этот Π·Π½Π°ΠΊ Π²ΠΎ всСй области, ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ исходит Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°

Π’ΠΎΡ‚ числовая прямая для этой Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ.

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Ρ‹ вогнутости.

\[\begin{align*}{\mbox{Π’ΠΎΠ³Π½ΡƒΡ‚Ρ‹ΠΉ Π²Π²Π΅Ρ€Ρ…: }} & – \frac{1}{{\sqrt 2}} < x < 0{\mbox{and}}\frac{1}{{\ sqrt 2 }} < x < \infty \\ {\mbox{Π’ΠΎΠ³Π½ΡƒΡ‚Ρ‹ΠΉ Π²Π½ΠΈΠ·: }} & - \infty < x < - \frac{1}{{\sqrt 2}}{\mbox{ ΠΈ }}0 < x < \ frac {1} {{\ sqrt 2}} \ end {align *} \]

Π­Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

\[x = 0,\,\,x = \pm \frac{1}{{\sqrt 2}} = \pm 0,7071\]

β€” всС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π³ΠΈΠ±Π°.

Вся эта информация ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡˆΠ΅Π»ΠΎΠΌΠ»ΡΡŽΡ‰Π΅ΠΉ ΠΏΡ€ΠΈ построСнии Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°. ΠŸΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ, это ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΎΡ‚ΠΏΡ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ. ΠšΡ€ΠΈΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π³ΠΈΠ±Π° ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΈΠΌΠΈ ΠΎΡ‚ΠΏΡ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, сначала нарисуйтС эти Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ.

Π‘ этого ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° Π΅ΡΡ‚ΡŒ нСсколько способов ΠΏΡ€ΠΈΡΡ‚ΡƒΠΏΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊ Ρ€ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡŽ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°. Бпособ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΌΡ‹ считаСм самым простым (хотя Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΈ Π½Π΅ Π΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ этого, ΠΈ это ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ΅Π½Π½ΠΎ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎβ€¦.), состоит Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ с увСличСния/ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΈ Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€ΠΈΡΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ с этой ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ‹ Π΄Π΅Π»Π°Π»ΠΈ Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΌ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅. Однако, Π² ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚ ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅Π³ΠΎ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π°, Π½Π° этот Ρ€Π°Π·, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ рисуСм Π²ΠΎΠ·Ρ€Π°ΡΡ‚Π°ΡŽΡ‰ΡƒΡŽ ΠΈΠ»ΠΈ ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰ΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ, ΠΌΡ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π°Ρ‚ΡŒ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° Π²ΠΎΠ³Π½ΡƒΡ‚ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ.

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Ссли ΠΌΡ‹ Π½Π°Ρ‡Π½Π΅ΠΌ с \(x < - 1\), ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π²ΠΎΠ·Ρ€Π°ΡΡ‚Π°ΡŽΡ‰Π°Ρ функция. Π’ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ врСмя ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π²ΠΎΠ³Π½ΡƒΡ‚Ρ‹ΠΌΠΈ Π² этом Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½Π΅. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ с рисования Π²ΠΎΠ·Ρ€Π°ΡΡ‚Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ, которая Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π²ΠΎΠ³Π½ΡƒΡ‚Π° Π²Π½ΠΈΠ·, ΠΏΠΎΠΊΠ° ΠΌΡ‹ Π½Π΅ достигнСм \(x = - 1\).

Π’ этот ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π½Π°Ρ‡ΠΈΠ½Π°Π΅Ρ‚ ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΈ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ°Ρ‚ΡŒΡΡ, ΠΏΠΎΠΊΠ° ΠΌΡ‹ Π½Π΅ достигнСм \(x = 1\). Однако ΠΏΠΎ ΠΌΠ΅Ρ€Π΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ‹ ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ°Π΅ΠΌ Π²ΠΎΠ³Π½ΡƒΡ‚ΠΎΡΡ‚ΡŒ, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Π½Π° Π²ΠΎΠ³Π½ΡƒΡ‚ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π²Π²Π΅Ρ€Ρ… ΠΏΡ€ΠΈ \(x \ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ – 0,707\), Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ снова ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Π½Π° Π²ΠΎΠ³Π½ΡƒΡ‚ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π²Π½ΠΈΠ· ΠΏΡ€ΠΈ \(x = 0\) с ΠΎΠΊΠΎΠ½Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π½Π° Π²ΠΎΠ³Π½ΡƒΡ‚ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π²Π²Π΅Ρ€Ρ… ΠΏΡ€ΠΈ \(x \ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎ 0,707\).

Как Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΌΡ‹ достигаСм \(x = 1\), Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π½Π°Ρ‡ΠΈΠ½Π°Π΅Ρ‚ ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΈ ΠΏΠΎ-ΠΏΡ€Π΅ΠΆΠ½Π΅ΠΌΡƒ остаСтся Π²ΠΎΠ³Π½ΡƒΡ‚Ρ‹ΠΌ, ΠΈ ΠΎΠ±Π° эти повСдСния ΡΠΎΡ…Ρ€Π°Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ для ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ части Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°.

ОбъСдинив всю эту ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΡŽ, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰ΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ»Π»ΡŽΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ способ классификации Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… критичСских Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… максимумов ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠΎΠ².

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ \(x = – 1\) являСтся ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ максимумом ΠΈ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ функция Π²ΠΎΠ³Π½ΡƒΡ‚Π° Π²Π½ΠΈΠ·. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ \(f”\left( { – 1} \right)\) Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ. Π’ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ \(x = 1\) являСтся ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠΎΠΌ, ΠΈ Π² этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ функция Π²ΠΎΠ³Π½ΡƒΡ‚Π° Π²Π²Π΅Ρ€Ρ…. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ \(f”\left( 1 \right)\) Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ.

Как ΠΌΡ‹ вскорС ΡƒΠ²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ остороТным с \(x = 0\). Π’ этом случаС вторая производная Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ, Π½ΠΎ Π½Π° самом Π΄Π΅Π»Π΅ это Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ \(x = 0\) Π½Π΅ являСтся ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠΎΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ максимумом. Π§ΡƒΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ·ΠΆΠ΅ ΠΌΡ‹ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ этого, Π½ΠΎ сначала Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ·Π°Π±ΠΎΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΎ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΈ.

Π—Π΄Π΅ΡΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ всС критичСскиС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π² этом ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ Π±Ρ‹Π»ΠΈ критичСскими Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… пСрвая производная Π±Ρ‹Π»Π° Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ, ΠΈ это Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ это Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π»ΠΎ. ΠœΡ‹ Π½Π΅ смоТСм ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ этот тСст Π² критичСских Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ…, Π³Π΄Π΅ производная Π½Π΅ сущСствуСт.

Π’ΠΎΡ‚ тСст, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ для классификации Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… критичСских Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ этого тСста находится Π² Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ Β«Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉΒ» Π³Π»Π°Π²Ρ‹ Β«Π”ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΒ».

ВСст Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ \(x = c\) являСтся критичСской Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ \(f\left( x \right)\) Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ \(f’\left( c \right) = 0\) ΠΈ Ρ‡Ρ‚ΠΎ \(f”\left( x \right)\) Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎ Π² области Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ \(x = c\). Π’ΠΎΠ³Π΄Π°

  1. Если \(f”\left( c \right) < 0\), Ρ‚ΠΎ \(x = c\) являСтся ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ максимумом.
  2. Если \(f”\left( c \right) > 0\), Ρ‚ΠΎ \(x = c\) являСтся ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠΎΠΌ.
  3. Если \(f”\left( c \right) = 0\), Ρ‚ΠΎ \(x = c\) ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ максимумом, ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠΎΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ Π½ΠΈ Ρ‚Π΅ΠΌ, Π½ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌ.

Π’Π°ΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ тСста Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ. Если вторая производная Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ, критичСская Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ любой. НиТС ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ‹ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, каТдая ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΊΡ€ΠΈΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ ΠΏΡ€ΠΈ \(x = 0\), вторая производная всСх Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ ΠΏΡ€ΠΈ \(x = 0\), ΠΈ всС ΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ‹ всС Ρ‚Ρ€ΠΈ возмоТности. 93}\), ΠΈ этот Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π» Π½ΠΈ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°, Π½ΠΈ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ максимума Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ \(x = 0\).

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ остороТным, Ссли ΠΏΠΎΠΏΠ°Π΄Π΅ΠΌ Π² Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈΠΉ случай. Π’ Ρ‚Π΅Ρ… случаях, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠΏΠ°Π΄Π°Π΅ΠΌ Π² этот случай, Π½Π°ΠΌ придСтся ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π΅Π³Π½ΡƒΡ‚ΡŒ ΠΊ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π°ΠΌ классификации критичСской Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ. ΠžΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ это дСлаСтся с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ тСста ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ.

Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ вСрнСмся Π½Π°Π·Π°Π΄ ΠΈ посмотрим Π½Π° критичСскиС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΈΠ· ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ ΠΊ Π½ΠΈΠΌ тСст Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, Ссли это Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ.

93} – 30Ρ…\]

Π’Ρ€ΠΈ критичСскиС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ (\(x = – 1\), \(x = 0\) ΠΈ \(x = 1\)) этой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ критичСскими Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ, Π³Π΄Π΅ пСрвая производная Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ, поэтому ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρƒ нас, ΠΏΠΎ ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½Π΅ΠΉ ΠΌΠ΅Ρ€Π΅, Π΅ΡΡ‚ΡŒ шанс, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π’Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΉ ВСст сработаСт. Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ

. \[h”\left( { – 1} \right) = – 30\hspace{0.5in}h”\left( 0 \right) = 0\hspace{0.5in}h”\left( 1 \ справа) = 30\]

Вторая производная Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ \(x = – 1\) ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°, Ρ‚Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ согласно тСсту Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ эта критичСская Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° являСтся ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ максимумом, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄Π΅Π»ΠΈ Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅. Вторая производная Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ \(x = 1\) ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°, поэтому ΠΌΡ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ здСсь ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ ΠΏΠΎ тСсту Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π΅Π»ΠΈ Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅.

Π’ случаС \(x = 0\) вторая производная Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ, поэтому ΠΌΡ‹ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠΉ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ для классификации этой критичСской Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ. ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ ΠΈΠ· тСста ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΌΡ‹ использовали Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ 9{\ Π³ΠΈΠ΄Ρ€ΠΎΡ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π²Π° {4} {3}}}}} \]

ΠšΡ€ΠΈΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ,

\[t = \frac{{18}}{5} = 3,6\hspace{0,5 дюйма}t = 6\]

Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ Π½Π΅ смоТСм ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠΉ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ для \(t = 6\) для классификации этой критичСской Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π² этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ производная Π½Π΅ сущСствуСт. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΈΡ„ΠΈΡ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ это, Π½Π°ΠΌ понадобится информация ΠΎ возрастании/ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π½ΠΈΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°Π±Ρ€ΠΎΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ.

Однако ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ тСст Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΈΡ„ΠΈΡ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ ΠΊΡ€ΠΈΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ, Ρ‚Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ сдСлаСм это, ΠΏΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΌΡ‹ приступим ΠΊ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π΅ Π½Π°Π΄ эскизом. Π’ΠΎΡ‚ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈ \(t = 3,6\).

\[f”\Π²Π»Π΅Π²ΠΎ( {3,6} \Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ) = – 1,245 < 0\]

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, согласно тСсту Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ \(t = 3,6\) являСтся ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ максимумом.

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠΈΠΌ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ набросок Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° ΠΈ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Ρƒ нас Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ информация ΠΎ возрастании/ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π½ΠΈΠΈ, ΠΌΡ‹ смоТСм ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΈΡ„ΠΈΡ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ \(t = 6\).

Π’ΠΎΡ‚ числовой ряд для ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ.

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, согласно тСсту ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡƒΠ±Π΅Π΄ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ \(t = 3,6\) Π½Π° самом Π΄Π΅Π»Π΅ являСтся ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ максимумом. ΠœΡ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ \(t = 6\) являСтся ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠΎΠΌ.

Π‘ΡƒΠ΄ΡŒΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ ΠΈ Π½Π΅ Π΄ΡƒΠΌΠ°ΠΉΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ критичСская Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ нСльзя ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π² тСстС Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ экстрСмумом. Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΡ‹ ясно Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π° этом ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ Π² обсуТдСнии послС Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ тСст, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ тСст Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ тСст Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π½ΠΈΡ‡Π΅Π³ΠΎ Π½Π΅ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ Π½Π°ΠΌ ΠΎ критичСской Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅, Π½Π΅ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ Ρ‡Ρ‚ΠΎ критичСская Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ экстрСмумом.

ΠžΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ