ΠΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΠΊ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅. Π£ΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ. ΠΠ΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠΌΡΡΠ» ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ
Π‘ΡΠ°ΡΡΡ Π΄Π°Π΅Ρ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΎΠ±Π½ΠΎΠ΅ ΡΠ°Π·ΡΡΡΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ, Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΌΡΡΠ»Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ Π³ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ. ΠΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅Π½ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ Ρ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠΎΠ², Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ ΠΊΡΠΈΠ²ΡΠΌΒ 2Β ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°.
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΡ
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ 1Π£Π³ΠΎΠ» Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ y=kx+b Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡΒ ΡΠ³ΠΎΠ» Ξ±, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΠΎΡΡΡΠΈΡΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΎΡ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΎΡΠΈ ΠΎΡ ΠΊ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ y=kx+b Π² ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ.
ΠΠ° ΡΠΈΡΡΠ½ΠΊΠ΅ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΠΈ Π·Π΅Π»Π΅Π½ΠΎΠΉ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΈ ΠΈ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π·Π΅Π»Π΅Π½ΠΎΠΉ Π΄ΡΠ³ΠΈ, Π° ΡΠ³ΠΎΠ» Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° ΠΏΡΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΠΈ ΠΊΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠΉ Π΄ΡΠ³ΠΈ. Π‘ΠΈΠ½ΡΡ Π»ΠΈΠ½ΠΈΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΡΡ ΠΊ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ.
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ 2Π£Π³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½Ρ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ y=kx+b Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠ²ΡΠΌ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΎΠΌ k.
Π£Π³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½Ρ ΡΠ°Π²Π½ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΡ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ, ΠΈΠ½Π°ΡΠ΅ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΡ k=tgΒ Ξ±.
- Π£Π³ΠΎΠ» Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ ΡΠ°Π²Π½ΡΠ΅ΡΡΡ 0 ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΏΡΠΈ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΎΡ ΠΈΒ ΡΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΌ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠ΅, ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠΌΡ Π½ΡΠ»Ρ, ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ°Π½Π³Π΅Π½Ρ Π½ΡΠ»Ρ ΡΠ°Π²Π΅Π½ 0. ΠΠ½Π°ΡΠΈΡ, Π²ΠΈΠ΄ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ y=b.
- ΠΡΠ»ΠΈ ΡΠ³ΠΎΠ» Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ y=kx+bΒ ΠΎΡΡΡΡΠΉ, ΡΠΎΠ³Π΄Π° Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡΡΡΡ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ 0<Ξ±<Ο2Β ΠΈΠ»ΠΈ 0Β°<Ξ±<90Β°. ΠΡΡΡΠ΄Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠ° k ΡΡΠΈΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠΌ, ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ ΠΊΠ°ΠΊ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°Π½Π³Π΅Π½Ρ ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΠ΅Ρ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ tgΒ Ξ±>0, ΠΏΡΠΈΡΠ΅ΠΌ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΡΡΡ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ°.
- ΠΡΠ»ΠΈ Ξ±=Ο2, ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎ ΠΎΡ . Π Π°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ Π·Π°Π΄Π°Π΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΠΈ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° x=c ΡΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Ρ, ΡΠ²Π»ΡΡΡΠΈΠΌΡΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠΌ.
- ΠΡΠ»ΠΈ ΡΠ³ΠΎΠ» Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ y=kx+b ΡΡΠΏΠΎΠΉ, ΡΠΎ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡΠΌ Ο2<Ξ±<ΟΒ ΠΈΠ»ΠΈ 90Β°<Ξ±<180Β°, Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠ° k ΠΏΡΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π° Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΡΠ±ΡΠ²Π°Π΅Ρ.
Π‘Π΅ΠΊΡΡΠ΅ΠΉ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΠΏΡΡΠΌΡΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ ΠΏΡΠΎΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· 2 ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ f(x). ΠΠ½Π°ΡΠ΅ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΡ, ΡΠ΅ΠΊΡΡΠ°Ρ β ΡΡΠΎ ΠΏΡΡΠΌΠ°Ρ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ ΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· Π»ΡΠ±ΡΠ΅ Π΄Π²Π΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ° Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ.
ΠΠΎ ΡΠΈΡΡΠ½ΠΊΡ Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ ΠΠ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ΅ΠΊΡΡΠ΅ΠΉ,Β Π° f(x) β ΡΠ΅ΡΠ½Π°Ρ ΠΊΡΠΈΠ²Π°Ρ, Ξ±Β – ΠΊΡΠ°ΡΠ½Π°Ρ Π΄ΡΠ³Π°, ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°ΡΡΠ°Ρ ΡΠ³ΠΎΠ» Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° ΡΠ΅ΠΊΡΡΠ΅ΠΉ.
ΠΠΎΠ³Π΄Π° ΡΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½Ρ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ ΡΠ°Π²Π½ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΡ ΡΠ³Π»Π° Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π°, ΡΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ ΡΠ°Π½Π³Π΅Π½Ρ ΠΈΠ· ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΠΠ‘ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠ»Π΅ΠΆΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΠ° ΠΊ ΠΏΡΠΈΠ»Π΅ΠΆΠ°ΡΠ΅ΠΌΡ.
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ 4ΠΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π΄Π»Ρ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ΅ΠΊΡΡΠ΅ΠΉ Π²ΠΈΠ΄Π°:
k=tgΒ Ξ±=BCAC=f(xB)-fxAxB-xA, Π³Π΄Π΅ Π°Π±ΡΡΠΈΡΡΠ°ΠΌΠΈ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ Π ΠΈ Π ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ xA,Β xB, Π° f(xA),Β f(xB)Β – ΡΡΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π² ΡΡΠΈΡ ΡΠΎΡΠΊΠ°Ρ .
ΠΡΠ΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ ΡΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½Ρ ΡΠ΅ΠΊΡΡΠ΅ΠΉ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ ΠΏΡΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΠΈ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° k=f(xB)-f(xA)xB-xAΒ ΠΈΠ»ΠΈ k=f(xA)-f(xB)xA-xB, ΠΏΡΠΈΡΠ΅ΠΌ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ
ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ y=f(xB)-f(xA)xB-xAΒ·x-xA+f(xA)Β ΠΈΠ»ΠΈ
y=f(xA)-f(xB)xA-xBΒ·x-xB+f(xB).
ΠΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΡΠΌΠ°Ρ ΠΈ Π΅Π΅ ΡΠ΅ΠΊΡΡΠ°Ρ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡΡ.
Π‘Π΅ΠΊΡΡΠ°Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ ΡΠ°Π· ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ. ΠΡΠ»ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΡΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π° Ρ=0 Π΄Π»Ρ ΡΠ΅ΠΊΡΡΠ΅ΠΉ, ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Ρ ΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠΈΠ΄ΠΎΠΉ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ.
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ 5ΠΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΠΊ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ f(x) Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ x0;Β f(x0)Β Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΏΡΡΠΌΠ°Ρ, ΠΏΡΠΎΡ ΠΎΠ΄ΡΡΠ°Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡΡ ΡΠΎΡΠΊΡ x0;Β f(x0),Β Ρ Π½Π°Π»ΠΈΡΠΈΠ΅ΠΌ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ°, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ Ρ , Π±Π»ΠΈΠ·ΠΊΠΈΡ ΠΊ x0.
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΎΠ±Π½ΠΎ Π½Π° Π½ΠΈΠΆΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ΅. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΡΠΌΠ°Ρ, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ y=x+1, ΡΡΠΈΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ y=2xΒ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ Β Ρ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°ΠΌΠΈ (1;Β 2). ΠΠ»Ρ Π½Π°Π³Π»ΡΠ΄Π½ΠΎΡΡΠΈ, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅ΡΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ Ρ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ ΠΊ (1;Β 2) Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ. Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ y=2xΒ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½Π° ΡΠ΅ΡΠ½ΡΠΌ ΡΠ²Π΅ΡΠΎΠΌ, ΡΠΈΠ½ΡΡ Π»ΠΈΠ½ΠΈΡ β ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ, ΠΊΡΠ°ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ° β ΡΠΎΡΠΊΠ° ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ.
ΠΡΠ΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ y=2xΒ ΡΠ»ΠΈΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Ρ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ Ρ=Ρ +1.
ΠΠ»Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅ΡΡ ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΠ ΠΏΡΠΈ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π ΠΊ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ Π. ΠΠ»Ρ Π½Π°Π³Π»ΡΠ΄Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΡΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ.
Π‘Π΅ΠΊΡΡΠ°Ρ ΠΠ, ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½Π½Π°Ρ ΠΏΡΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΠΈ ΡΠΈΠ½Π΅ΠΉ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ, ΡΡΡΠ΅ΠΌΠΈΡΡΡ ΠΊ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°ΠΌΠΎΠΉ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ, Π° ΡΠ³ΠΎΠ» Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° ΡΠ΅ΠΊΡΡΠ΅ΠΉ Ξ±Β Π½Π°ΡΠ½Π΅Ρ ΡΡΡΠ΅ΠΌΠΈΡΡΡΡ ΠΊ ΡΠ³Π»Ρ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° ΡΠ°ΠΌΠΎΠΉ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ Ξ±x.
ΠΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ y=f(x) Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ Π ΡΡΠΈΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ΅ΠΊΡΡΠ΅ΠΉ ΠΠ ΠΏΡΠΈ Π ΡΡΡΠ΅ΠΌΡΡΠ΅ΠΉΡΡ ΠΊ Π, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ BβA.
Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΊ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΌΡΡΠ»Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅.
ΠΠ΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠΌΡΡΠ» ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅
ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΊ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ΅ΠΊΡΡΠ΅ΠΉ ΠΠ Π΄Π»Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ f(x), Π³Π΄Π΅ Π ΠΈ ΠΒ Ρ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°ΠΌΠΈ x0,Β f(x0)Β ΠΈ x0+βx,Β f(x0+βx), Π° βxΒ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΠΌ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ°. Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ Π²ΠΈΠ΄ βy=βf(x)=f(x0+βx)-f(βx). ΠΠ»Ρ Π½Π°Π³Π»ΡΠ΄Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ Π² ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ ΡΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ.
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΡΠΉ ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΠΉ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊ ΠΠΠ‘. ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΠ° Π΄Π»Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ βyβx=tgΒ Ξ±. ΠΠ· ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ limβxβ0βyβx=tgΒ Ξ±x. ΠΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ f(x) Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ x0Β Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠΌ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΊ ΠΏΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ°, Π³Π΄Π΅ βxβ0, ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠΈΠΌ ΠΊΠ°ΠΊ f(x0)=limβxβ0βyβx.
ΠΡΡΡΠ΄Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ f'(x0)=limβxβ0βyβx=tgΒ Ξ±x=kx, Π³Π΄Π΅ kxΒ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°ΡΡ Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ ΡΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠ° ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ.
Π’ΠΎ Π΅ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ fβ(x) ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎΠ²Π°ΡΡΒ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ x0Β ΠΏΡΠΈΡΠ΅ΠΌ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΠΊ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠΉ x0,Β f0(x0), Π³Π΄Π΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠ° ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉΒ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ ΡΠ°Π²Π½ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉΒ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ x0. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ kx=f'(x0).
ΠΠ΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠΌΡΡΠ» ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ Π² ΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎ Π΄Π°Π΅ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΠ΅ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΡ Π² ΡΡΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠ΅.
Π£ΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ
Π§ΡΠΎΠ±Ρ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½Ρ Ρ ΡΠΎΡΠΊΠΎΠΉ, ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΎΠ½Π° ΠΏΡΠΎΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡ. ΠΠ³ΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ x0Β ΠΏΡΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ.
Π£ΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ y=f(x) Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ x0,Β f0(x0)Β ΠΏΡΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ Π²ΠΈΠ΄ y=f'(x0)Β·x-x0+f(x0).
ΠΠΌΠ΅Π΅ΡΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Ρ, ΡΡΠΎ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΡΠΌ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ f'(x0)Β ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ Π²Π΅ΡΡΠΈΠΊΠ°Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΈ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠΈ limxβx0+0f'(x)=βΒ ΠΈ limxβx0-0f'(x)=βΒ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡΡΡΡΡΡΠ²ΠΈΠ΅ Π²ΠΎΠ²ΡΠ΅ ΠΏΡΠΈ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠΈ limxβx0+0f'(x)β limxβx0-0f'(x).
Π Π°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΡ ΠΎΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π΅Π΅ ΡΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠ° kx=f'(x0). ΠΡΠΈ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΊ ΠΎΡΠΈ ΠΎΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ kk=0, ΠΏΡΠΈ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΊ ΠΎΡ – kx=β, ΠΏΡΠΈΡΠ΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ x=x0Β Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π΅Ρ ΠΏΡΠΈ kx>0, ΡΠ±ΡΠ²Π°Π΅Ρ ΠΏΡΠΈ kx<0.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 2ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠΈ ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ y=ex+1+x33-6-33x-17-33Β Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ Β Ρ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°ΠΌΠΈ (1;Β 3) Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠ³Π»Π° Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π°.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠΎ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π΄Π»Ρ Π²ΡΠ΅Ρ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π». ΠΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΠΎΡΠΊΠ° Ρ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°ΠΌΠΈ, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡΠΌΠΈ ΠΏΠΎ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ, (1;Β 3) ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠΎΠΉ ΠΊΠ°ΡΠ°Π½ΠΈΡ, ΡΠΎΠ³Π΄Π° x0=-1,Β f(x0)=-3.
ΠΠ΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ ΡΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ -1. ΠΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ
y’=ex+1+x33-6-33x-17-33’==ex+1’+x33′-6-33x’-17-33’=ex+1+x2-6-33y'(x0)=y'(-1)=e-1+1+-12-6-33=33
ΠΠ½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ fβ(x) Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Π½ΠΈΡ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Β ΡΠ³Π»ΠΎΠ²ΡΠΌ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΎΠΌ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΡΠ°Π²Π½ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΡ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π°.
Π’ΠΎΠ³Π΄Π°Β kx=tgΒ Ξ±x=y'(x0)=33
ΠΡΡΡΠ΄Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ Ξ±x=arctg33=Ο6
ΠΡΠ²Π΅Ρ:Β
y=f'(x0)Β·x-x0+f(x0)y=33(x+1)-3y=33x-9-33
ΠΠ»Ρ Π½Π°Π³Π»ΡΠ΄Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ Π² Π³ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΠΈΠ»Π»ΡΡΡΡΠ°ΡΠΈΠΈ.
Π§Π΅ΡΠ½ΡΠΉ ΡΠ²Π΅Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ Π΄Π»Ρ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ° ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, ΡΠΈΠ½ΠΈΠΉ ΡΠ²Π΅Ρ β ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ, ΠΊΡΠ°ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ° β ΡΠΎΡΠΊΠ° ΠΊΠ°ΡΠ°Π½ΠΈΡ. Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ, ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΡΠΉ ΡΠΏΡΠ°Π²Π°, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΒ Π² ΡΠ²Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 3ΠΡΡΡΠ½ΠΈΡΡ Π½Π°Π»ΠΈΡΠΈΠ΅ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΡ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ
y=3Β·x-15+1Β Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ Ρ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°ΠΌΠΈ (1;1). Π‘ΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ ΡΠ³ΠΎΠ» Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π°.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠΎ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΡΠΈΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π²ΡΠ΅Ρ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π».
ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΊ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ
y’=3Β·x-15+1’=3Β·15Β·(x-1)15-1=35Β·1(x-1)45
ΠΡΠ»ΠΈ x0=1, ΡΠΎΠ³Π΄Π° fβ(x) Π½Π΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π°, Π½ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Ρ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ Β limxβ1+035Β·1(x-1)45=35Β·1(+0)45=35Β·1+0=+βΒ ΠΈ limxβ1-035Β·1(x-1)45=35Β·1(-0)45=35Β·1+0=+β, ΡΡΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΡΡΠΈΠΊΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ (1;1).
ΠΡΠ²Π΅Ρ:Β ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ Π²ΠΈΠ΄ Ρ =1, Π³Π΄Π΅ ΡΠ³ΠΎΠ» Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠ°Π²Π΅Π½ Ο2.
ΠΠ»Ρ Π½Π°Π³Π»ΡΠ΄Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΈΠΌ Π³ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 4ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ y=115x+23-45×2-165x-265+3x+2, Π³Π΄Π΅
- ΠΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ Π½Π΅ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ;
- ΠΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½Π° ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ y=85x+4.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠ΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΡ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ. ΠΠΎ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π΅ Π²ΡΠ΅Ρ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π». Π Π°ΡΠΊΡΡΠ²Π°Π΅ΠΌ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»ΡΒ ΠΈ ΡΠ΅ΡΠ°Π΅ΠΌ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ Ρ ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠ°ΠΌΠΈ xβ-β;Β 2Β ΠΈ [-2;Β +β). ΠΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ
y=-115×3+18×2+105x+176,Β xβ-β;Β -2115×3-6×2+9x+12,Β xβ[-2;Β +β)
ΠΠ΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΏΡΠΎΠ΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ. ΠΠΌΠ΅Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ
y’=-115×3+18×2+105x+176′,Β xβ-β;Β -2115×3-6×2+9x+12′,Β xβ[-2;Β +β)βy’=-15(x2+12x+35),Β xβ-β;Β -215×2-4x+3,Β xβ[-2;Β +β)
ΠΠΎΠ³Π΄Π° Ρ =-2, ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π½Π΅ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ, ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Ρ Π½Π΅ ΡΠ°Π²Π½Ρ Π² ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅:
limxβ-2-0y'(x)=limxβ-2-0-15(x2+12x+35=-15(-2)2+12(-2)+35=-3limxβ-2+0y'(x)=limxβ-2+015(x2-4x+3)=15-22-4-2+3=3
ΠΡΡΠΈΡΠ»ΡΠ΅ΠΌ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ Ρ =-2, Π³Π΄Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ
- y(-2)=115-2+23-45(-2)2-165(-2)-265+3-2+2=-2, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ (-2;-2) Π½Π΅ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎΠ²Π°ΡΡ.
- ΠΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½Π° ΠΎΡ , ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΡΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½Ρ ΡΠ°Π²Π½ΡΠ΅ΡΡΡ Π½ΡΠ»Ρ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° kx=tgΒ Ξ±x=f'(x0). Π’ΠΎ Π΅ΡΡΡ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π½Π°ΠΉΡΠΈ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°ΠΊΠΈΡ Ρ , ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈΒ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ°Π΅Ρ Π΅Π΅ Π² Π½ΠΎΠ»Ρ. Π’ΠΎ Π΅ΡΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ fβ(x)Β ΠΈ Π±ΡΠ΄ΡΡ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠ°ΠΌΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ°Π½ΠΈΡ, Π³Π΄Π΅ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΡ .
ΠΠΎΠ³Π΄Π° xβ-β;Β -2, ΡΠΎΠ³Π΄Π° -15(x2+12x+35)=0, Π° ΠΏΡΠΈ xβ(-2;Β +β)Β ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ 15(x2-4x+3)=0.
Π Π΅ΡΠΈΠΌ:
-15(x2+12x+35)=0D=122-4Β·35=144-140=4×1=-12+42=-5β-β;Β -2×2=-12-42=-7β-β;Β -2Β Β 15(x2-4x+3)=0D=42-4Β·3=4×3=4-42=1β-2;Β +βx4=4+42=3β-2;Β +β
ΠΡΡΠΈΡΠ»ΡΠ΅ΠΌ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ
y1=y-5=115-5+23-45-52-165-5-265+3-5+2=85y2=y(-7)=115-7+23-45(-7)2-165-7-265+3-7+2=43y3=y(1)=1151+23-45Β·12-165Β·1-265+31+2=85y4=y(3)=1153+23-45Β·32-165Β·3-265+33+2=43
ΠΡΡΡΠ΄Π° -5;Β 85,Β -4;Β 43,Β 1;Β 85,Β 3;Β 43Β ΡΡΠΈΡΠ°ΡΡΡΡ ΠΈΡΠΊΠΎΠΌΡΠΌΠΈ ΡΠΎΡΠΊΠ°ΠΌΠΈ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ.
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ Π³ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ.
Π§Π΅ΡΠ½Π°Ρ Π»ΠΈΠ½ΠΈΡ β Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, ΠΊΡΠ°ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ β ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ°Π½ΠΈΡ.
- ΠΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΡΡΠΌΡΠ΅ ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°ΡΡΡΡ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΡΠΎ ΡΠ³Π»ΠΎΠ²ΡΠ΅ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ ΡΠ°Π²Π½Ρ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π·Π°Π½ΡΡΡΡΡ ΠΏΠΎΠΈΡΠΊΠΎΠΌ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, Π³Π΄Π΅ ΡΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½Ρ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠ°Π²Π½ΡΡΡΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ 85 . ΠΠ»Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π° y'(x)=85. Π’ΠΎΠ³Π΄Π°, Π΅ΡΠ»ΠΈ xβ-β;Β -2, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ -15(x2+12x+35)=85, Π° Π΅ΡΠ»ΠΈ xβ(-2;Β +β), ΡΠΎΠ³Π΄Π° 15(x2-4x+3)=85.
ΠΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΊΠΎΡΠ½Π΅ΠΉ, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π΄ΠΈΡΠΊΡΠΈΠΌΠΈΠ½Π°Π½Ρ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅ Π½ΡΠ»Ρ. ΠΠ°ΠΏΠΈΡΠ΅ΠΌ, ΡΡΠΎ
-15×2+12x+35=85×2+12x+43=0D=122-4Β·43=-28<0
ΠΡΡΠ³ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π΄Π²Π° Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΊΠΎΡΠ½Ρ, ΡΠΎΠ³Π΄Π°
15(x2-4x+3)=85×2-4x-5=0D=42-4Β·(-5)=36×1=4-362=-1β-2;Β +βx2=4+362=5β-2;Β +β
ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΊ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ. ΠΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ
y1=y(-1)=115-1+23-45(-1)2-165(-1)-265+3-1+2=415y2=y(5)=1155+23-45Β·52-165Β·5-265+35+2=83
Π’ΠΎΡΠΊΠΈ ΡΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ -1;Β 415,Β 5;Β 83Β ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠ°ΠΌΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½Ρ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ y=85x+4.
ΠΡΠ²Π΅Ρ: ΡΠ΅ΡΠ½Π°Ρ Π»ΠΈΠ½ΠΈΡ β Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, ΠΊΡΠ°ΡΠ½Π°Ρ Π»ΠΈΠ½ΠΈΡ β Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ y=85x+4, ΡΠΈΠ½ΡΡ Π»ΠΈΠ½ΠΈΡ β ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅Β Π² ΡΠΎΡΠΊΠ°Ρ -1;Β 415,Β 5;Β 83.
ΠΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²Π° ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ Π΄Π»Ρ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 5ΠΠ°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π²ΡΠ΅Ρ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ ΡΡ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ y=3cos32x-Ο4-13, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°ΡΡΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ y=-2x+12.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠ»Ρ ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½Ρ ΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ°Π½ΠΈΡ, ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Ρ ΠΈΠ· ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΏΡΡΠΌΡΡ . ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π²ΡΡΠΈΡ ΡΠ°ΠΊ: ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ³Π»ΠΎΠ²ΡΡ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΎΠ², ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½Ρ ΠΏΡΡΠΌΡΠΌ, ΡΠ°Π²Π½ΡΠ΅ΡΡΡ -1, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ kxΒ·kβ₯=-1. ΠΠ· ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½Ρ ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π΅ΡΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉΒ ΠΈ ΡΠ°Π²Π½ΡΠ΅ΡΡΡ kβ₯=-2, ΡΠΎΠ³Π΄Π° kx=-1kβ₯=-1-2=12.
Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ
ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ ΠΊΠ°ΡΠ°Π½ΠΈΡ. ΠΡΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡΠΈ Ρ
, ΠΏΠΎΡΠ»Π΅ ΡΠ΅Π³ΠΎ Π΅Π³ΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π»Ρ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ. ΠΡΠΌΠ΅ΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΈΠ· Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΌΡΡΠ»Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉΒ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅
x0Β ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ kx=y'(x0).Β ΠΠ· Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Ρ
Π΄Π»Ρ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ ΠΊΠ°ΡΠ°Π½ΠΈΡ.
ΠΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ
y'(x0)=3cos32x0-Ο4-13’=3Β·-sin32x0-Ο4Β·32×0-Ο4’==-3Β·sin32x0-Ο4Β·32=-92Β·sin32x0-Ο4βkx=y'(x0)β-92Β·sin32x0-Ο4=12βsin32x0-Ο4=-19
ΠΡΠΎ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΎ Π΄Π»Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ ΠΊΠ°ΡΠ°Π½ΠΈΡ.
32×0-Ο4=arcsin-19+2ΟkΒ ΠΈΠ»ΠΈΒ 32×0-Ο4=Ο-arcsin-19+2Οk
32×0-Ο4=-arcsin19+2ΟkΒ ΠΈΠ»ΠΈΒ 32×0-Ο4=Ο+arcsin19+2Οk
x0=23Ο4-arcsin19+2ΟkΒ ΠΈΠ»ΠΈΒ x0=235Ο4+arcsin19+2Οk,Β kβZ
Z-Β ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΡΠ΅Π»ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π».
ΠΠ°ΠΉΠ΄Π΅Π½Ρ Ρ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ ΠΊΠ°ΡΠ°Π½ΠΈΡ. Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΉΡΠΈ ΠΊ ΠΏΠΎΠΈΡΠΊΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ Ρ:
y0=3cos32x0-Ο4-13
y0=3Β·1-sin232x0-Ο4-13Β ΠΈΠ»ΠΈΒ y0=3Β·-1-sin232x0-Ο4-13
y0=3Β·1–192-13Β ΠΈΠ»ΠΈΒ y0=3Β·-1–192-13
y0=45-13Β ΠΈΠ»ΠΈΒ y0=-45+13
ΠΡΡΡΠ΄Π° ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ 23Ο4-arcsin19+2Οk;Β 45-13,Β 235Ο4+arcsin19+2Οk;Β -45+13Β ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠ°ΠΌΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ°Π½ΠΈΡ.
ΠΡΠ²Π΅Ρ: Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ
y=12x-23Ο4-arcsin19+2Οk+45-13,y=12x-235Ο4+arcsin19+2Οk-45+13,Β kβZ
ΠΠ»Ρ Π½Π°Π³Π»ΡΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ Π½Π° ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ.
Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΈΠ΄Π΅Ρ Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠ΅ [-10;10], Π³Π΄Π΅ ΡΠ΅ΡΠ½Π°Ρ ΠΏΡΡΠΌΡ β Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, ΡΠΈΠ½ΠΈΠ΅ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ β ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°ΡΡΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ Π²ΠΈΠ΄Π° y=-2x+12. ΠΡΠ°ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ β ΡΡΠΎ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ°Π½ΠΈΡ.
ΠΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΠΊ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ, ΡΠ»Π»ΠΈΠΏΡΡ, Π³ΠΈΠΏΠ΅ΡΠ±ΠΎΠ»Π΅, ΠΏΠ°ΡΠ°Π±ΠΎΠ»Π΅
ΠΠ°Π½ΠΎΠ½ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊΡΠΈΠ²ΡΡ 2 ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡΠΌΠΈ. Π£ΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ Π΄Π»Ρ Π½ΠΈΡ ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡΡΡ ΠΏΠΎ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΡΠΌ ΡΡ Π΅ΠΌΠ°ΠΌ.
ΠΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΠΊ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ
ΠΠ»Ρ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΡ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ Β Ρ ΡΠ΅Π½ΡΡΠΎΠΌΒ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ xcenter;Β ycenterΒ ΠΈ ΡΠ°Π΄ΠΈΡΡΠΎΠΌ R ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° x-xcenter2+y-ycenter2=R2.
ΠΠ°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ±ΡΠ΅Π΄ΠΈΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ:
y=R2-x-xcenter2+ycentery=-R2-x-xcenter2+ycenter
ΠΠ΅ΡΠ²Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π΅ΡΡΡ Π²Π²Π΅ΡΡ Ρ, Π° Π²ΡΠΎΡΠ°Ρ Π²Π½ΠΈΠ·Ρ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° ΡΠΈΡΡΠ½ΠΊΠ΅.
ΠΠ»Ρ ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈΒ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ x0;Β y0, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π΅ΡΡΡΒ Π² Π²Π΅ΡΡ Π½Π΅ΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅ΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΡΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ, ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π²ΠΈΠ΄Π° y=R2-x-xcenter2+ycenterΒ ΠΈΠ»ΠΈ y=-R2-x-xcenter2+ycenterΒ Π² ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅.
ΠΠΎΠ³Π΄Π° Π² ΡΠΎΡΠΊΠ°Ρ
xcenter;Β ycenter+RΒ ΠΈ xcenter;Β ycenter-RΒ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π±ΡΡΡ Π·Π°Π΄Π°Π½Ρ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ y=ycenter+RΒ ΠΈ y=ycenter-R, Π°Β Π² ΡΠΎΡΠΊΠ°Ρ
xcenter+R;Β ycenterΒ ΠΈ
xcenter-R;Β ycenterΒ Π±ΡΠ΄ΡΡ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΎΡ, ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π²ΠΈΠ΄Π° x=xcenter+RΒ ΠΈ x=xcenter-R.
ΠΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΠΊ ΡΠ»Π»ΠΈΠΏΡΡ
ΠΠΎΠ³Π΄Π° ΡΠ»Π»ΠΈΠΏΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠ΅Π½ΡΡΒ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ xcenter;Β ycenterΒ Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΠΎΡΡΠΌΠΈ a ΠΈ b, ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΠ½ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ Π·Π°Π΄Π°Π½ ΠΏΡΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ x-xcenter2a2+y-ycenter2b2=1.
ΠΠ»Π»ΠΈΠΏΡ ΠΈ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π±ΡΡΡ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°ΡΡΡΡ ΠΏΡΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ΅Π΄ΠΈΠ½Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ, Π° ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ: Π²Π΅ΡΡ Π½Π΅Π³ΠΎ ΠΈ Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ»Π»ΠΈΠΏΡΠ°. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ
y=baΒ·a2-(x-xcenter)2+ycentery=-baΒ·a2-(x-xcenter)2+ycenter
ΠΡΠ»ΠΈΒ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°ΡΡΡΡ Π½Π° Π²Π΅ΡΡΠΈΠ½Π°Ρ ΡΠ»Π»ΠΈΠΏΡΠ°, ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΠ½ΠΈ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½Ρ ΠΎΡ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡ. ΠΠΈΠΆΠ΅ Π΄Π»Ρ Π½Π°Π³Π»ΡΠ΄Π½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 6ΠΠ°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ ΡΠ»Π»ΠΈΠΏΡΡ x-324+y-5225=1Β Π² ΡΠΎΡΠΊΠ°Ρ ΡΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ x ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ =2.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠ΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ°Π½ΠΈΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡΒ Ρ =2. ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΡ Π² ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΠ΅Π΅ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ»Π»ΠΈΠΏΡΠ° ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ
x-324x=2+y-5225=114+y-5225=1βy-52=34Β·25βy=Β±532+5
Π’ΠΎΠ³Π΄Π° 2;Β 532+5Β ΠΈ 2;Β -532+5Β ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠ°ΠΌΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ°Π½ΠΈΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ Π²Π΅ΡΡ Π½Π΅ΠΌΡ ΠΈ Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ»Π»ΠΈΠΏΡΡ.
ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΊ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΡΠ°Π·ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ»Π»ΠΈΠΏΡΠ° ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ y. ΠΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ
x-324+y-5225=1y-5225=1-x-324(y-5)2=25Β·1-x-324y-5=Β±5Β·1-x-324y=5Β±524-x-32
ΠΡΠ΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ Π²Π΅ΡΡ Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ»Π»ΠΈΠΏΡ Π·Π°Π΄Π°Π΅ΡΡΡ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π²ΠΈΠ΄Π° y=5+524-x-32, Π° Π½ΠΈΠΆΠ½ΠΈΠΉ y=5-524-x-32.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ ΡΡΠ°Π½Π΄Π°ΡΡΠ½ΡΠΉ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌ Π΄Π»Ρ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΡΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅. ΠΠ°ΠΏΠΈΡΠ΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π»Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ 2;Β 532+5Β Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π²ΠΈΠ΄
y’=5+524-x-32’=52Β·124-(x-3)2Β·4-(x-3)2’==-52Β·x-34-(x-3)2βy'(x0)=y'(2)=-52Β·2-34-(2-3)2=523βy=y'(x0)Β·x-x0+y0βy=523(x-2)+532+5
ΠΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌΒ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅
2;Β -532+5Β ΠΏΡΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ Π²ΠΈΠ΄
y’=5-524-(x-3)2’=-52Β·124-(x-3)2Β·4-(x-3)2’==52Β·x-34-(x-3)2βy'(x0)=y'(2)=52Β·2-34-(2-3)2=-523βy=y'(x0)Β·x-x0+y0βy=-523(x-2)-532+5
ΠΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°ΡΡΡΡ Β ΡΠ°ΠΊ:
ΠΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΠΊ Π³ΠΈΠΏΠ΅ΡΠ±ΠΎΠ»Π΅
ΠΠΎΠ³Π΄Π° Π³ΠΈΠΏΠ΅ΡΠ±ΠΎΠ»Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠ΅Π½ΡΡ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ xcenter;Β ycenterΒ ΠΈ Π²Π΅ΡΡΠΈΠ½Ρ xcenter+Ξ±;Β ycenterΒ ΠΈ xcenter-Ξ±;Β ycenter, ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° x-xcenter2Ξ±2-y-ycenter2b2=1, Π΅ΡΠ»ΠΈ Ρ Π²Π΅ΡΡΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈΒ xcenter;Β ycenter+bΒ ΠΈ xcenter;Β ycenter-b, ΡΠΎΠ³Π΄Π° Π·Π°Π΄Π°Π΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΠΈ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° x-xcenter2Ξ±2-y-ycenter2b2=-1.
ΠΠΈΠΏΠ΅ΡΠ±ΠΎΠ»Π° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π° Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π΄Π²ΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ΅Π΄ΠΈΠ½Π΅Π½Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ΄Π°
y=baΒ·(x-xcenter)2-a2+ycentery=-baΒ·(x-xcenter)2-a2+ycenterΒ ΠΈΠ»ΠΈ y=baΒ·(x-xcenter)2+a2+ycentery=-baΒ·(x-xcenter)2+a2+ycenter
Π ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½Ρ ΠΎΡ, Π° Π²ΠΎ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΌ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½Ρ ΠΎΡ .
ΠΡΡΡΠ΄Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ Π΄Π»Ρ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ Π³ΠΈΠΏΠ΅ΡΠ±ΠΎΠ»Π΅, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π²ΡΡΡΠ½ΠΈΡΡ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΏΡΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ ΡΠΎΡΠΊΠ° ΠΊΠ°ΡΠ°Π½ΠΈΡ. Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ ΡΡΠΎ, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΡ Π² ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΡΡ ΠΈΡ Π½Π° ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΡ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 7Π‘ΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ Π³ΠΈΠΏΠ΅ΡΠ±ΠΎΠ»Π΅ x-324-y+329=1Β Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ 7;Β -33-3.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠ΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°ΡΡ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ Π³ΠΈΠΏΠ΅ΡΠ±ΠΎΠ»Ρ ΠΏΡΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΠΈ 2 ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ. ΠΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ
x-324-y+329=1βy+329=x-324-1βy+32=9Β·x-324-1βy+3=32Β·x-32-4Β ΠΈΠ»ΠΈΒ y+3=-32Β·x-32-4βy=32Β·x-32-4-3y=-32Β·x-32-4-3
ΠΠ΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π²ΡΡΠ²ΠΈΡΡ, ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΏΡΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ° Ρ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°ΠΌΠΈ 7;Β -33-3.
ΠΡΠ΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ Π΄Π»Ρ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΊΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ y(7)=32Β·(7-3)2-4-3=33-3β -33-3, ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΡΠΎΡΠΊΠ° Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΡ Π½Π΅ ΠΏΡΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ Π½Π΅ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ΅ΡΡΡ.
ΠΠ»Ρ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ y(7)=-32Β·(7-3)2-4-3=-33-3β -33-3, Π·Π½Π°ΡΠΈΡ, ΡΠΎΡΠΊΠ° ΠΏΡΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΡ. ΠΡΡΡΠ΄Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΡΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½Ρ.
ΠΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ
y’=-32Β·(x-3)2-4-3’=-32Β·x-3(x-3)2-4βkx=y'(x0)=-32Β·x0-3×0-32-4×0=7=-32Β·7-37-32-4=-3
ΠΡΠ²Π΅Ρ: ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ
y=-3Β·x-7-33-3=-3Β·x+43-3
ΠΠ°Π³Π»ΡΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ°Π΅ΡΡΡ ΡΠ°ΠΊ:
ΠΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΠΊ ΠΏΠ°ΡΠ°Π±ΠΎΠ»Π΅
Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΡΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ ΠΏΠ°ΡΠ°Π±ΠΎΠ»Π΅ y=ax2+bx+cΒ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ x0,Β y(x0), Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΡΠ°Π½Π΄Π°ΡΡΠ½ΡΠΉ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌ, ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ Π²ΠΈΠ΄ y=y'(x0)Β·x-x0+y(x0). Π’Π°ΠΊΠ°Ρ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ Π² Π²Π΅ΡΡΠΈΠ½Π΅ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½Π° ΠΎΡ .
Π‘Π»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ Π·Π°Π΄Π°ΡΡ ΠΏΠ°ΡΠ°Π±ΠΎΠ»Ρ x=ay2+by+cΒ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ±ΡΠ΅Π΄ΠΈΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ. ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ°Π·ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Ρ. ΠΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ
x=ay2+by+cβay2+by+c-x=0D=b2-4a(c-x)y=-b+b2-4a(c-x)2ay=-b-b2-4a(c-x)2a
ΠΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΈΠΌ ΠΊΠ°ΠΊ:
ΠΠ»Ρ Π²ΡΡΡΠ½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠΎΡΠΊΠΈ x0,Β y(x0)Β ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, Π½Π΅ΠΆΠ½ΠΎ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΏΠΎ ΡΡΠ°Π½Π΄Π°ΡΡΠ½ΠΎΠΌΡ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΡ. Π’Π°ΠΊΠ°Ρ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½Π° ΠΎΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΏΠ°ΡΠ°Π±ΠΎΠ»Ρ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 8ΠΠ°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΡ x-2y2-5y+3, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ ΡΠ³ΠΎΠ» Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ 150Β°.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠ°ΡΠΈΠ½Π°Π΅ΠΌ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠ°ΡΠ°Π±ΠΎΠ»Ρ Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ Π΄Π²ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ. ΠΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ
-2y2-5y+3-x=0D=(-5)2-4Β·(-2)Β·(3-x)=49-8xy=5+49-8x-4y=5-49-8x-4
ΠΠ½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠ° ΡΠ°Π²Π½ΡΠ΅ΡΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ x0Β ΡΡΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΈ ΡΠ°Π²Π½ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΡ ΡΠ³Π»Π° Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π°.
ΠΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ:
kx=y'(x0)=tgΒ Ξ±x=tgΒ 150Β°=-13
ΠΡΡΡΠ΄Π° ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ Π΄Π»Ρ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ ΠΊΠ°ΡΠ°Π½ΠΈΡ.
ΠΠ΅ΡΠ²Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ
y’=5+49-8x-4’=149-8xβy'(x0)=149-8×0=-13β49-8×0=-3
ΠΡΠ΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΊΠΎΡΠ½Π΅ΠΉ Π½Π΅Ρ, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΠ΅Π»Π°Π΅ΠΌ Π²ΡΠ²ΠΎΠ΄, ΡΡΠΎ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ Ρ ΡΠ³Π»ΠΎΠΌ 150Β°Β Π΄Π»Ρ ΡΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π½Π΅ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ.
ΠΡΠΎΡΠ°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ
y’=5-49-8x-4’=-149-8xβy'(x0)=-149-8×0=-13β49-8×0=-3×0=234βy(x0)=5-49-8Β·234-4=-5+34
ΠΠΌΠ΅Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ°Π½ΠΈΡ –Β 234;Β -5+34.
ΠΡΠ²Π΅Ρ: ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ Π²ΠΈΠ΄
y=-13Β·x-234+-5+34
ΠΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΈΠΌ ΡΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ:
ΠΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΈΠΊΠ° Π²ΠΎΡΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ Ρ ; Π΅Ρ Π²ΠΈΠ΄ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎ Π²ΠΎΡΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡΡ ΠΏΠΎ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ f(Ρ ). ΠΡΠΎΠΈΠ»Π»ΡΡΡΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌ ΡΡΠΎ Π½Π° ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ΅. ΠΠ° ΡΠΈΡ.3, Π° ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ f(Ρ ) ΠΠ»Ρ ΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠΎΠ±Ρ Π²ΠΎΡΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ , ΠΌΡΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΈΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ Π²Π΅Π΄Π΅Ρ ΡΠ΅Π±Ρ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΠΊ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΡ f(Ρ ) ΠΏΡΠΈ Β«ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈΒ» ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ°Π½ΠΈΡ ΡΠ»Π΅Π²Π° Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²ΠΎ.
ΠΠ° ΡΡΠ°ΡΡΠΊΠ΅ 1-2 ΠΊΡΡΡΠΈΠ·Π½Π° ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ½Π°ΡΠ°Π»Π° Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π΅Ρ, Π° Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ±ΡΠ²Π°Π΅Ρ, Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ 2 ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½Π° ΠΎΡΠΈ Ρ . Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, tgΞ², ΠΎΡΡΠ°Π²Π°ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ, ΡΠ½Π°ΡΠ°Π»Π° Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π΅Ρ, Π° Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ±ΡΠ²Π°Π΅Ρ, Π΄ΠΎΡ ΠΎΠ΄Ρ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ 2 Π΄ΠΎ Π½ΡΠ»Ρ. ΠΡΠΎ ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ tgΞ² ΠΈ ΠΎΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΎ Π½Π° ΡΡΠ°ΡΡΠΊΠ΅ 1-2 Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ (ΡΠΈΡ.3,Π±). ΠΠ° ΡΡΠ°ΡΡΠΊΠ΅ 2-3 tgΞ²<0, Π° Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ 3 tgΞ²=0. ΠΠ°Π»ΡΠ½Π΅ΠΉΡΠΈΠ΅ ΡΠ°ΡΡΡΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠ΅Π΄Π»Π°Π³Π°Π΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΠΈ ΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»Ρ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡΠΎΡΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ. Π ΡΠΎΡΠΊΠ°Ρ , Π³Π΄Π΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π΄ΠΎΡΡΠΈΠ³Π°Π΅Ρ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌΠ° ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ°, ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π² Π½ΡΠ»Ρ. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ, Π² ΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ ΡΠΎΡΠΊΠ°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π΄ΠΎΡΡΠΈΠ³Π°Π΅Ρ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌΠ° ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ°, ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅
=0. (4)
Π’Π΅Ρ Π½ΠΈΠΊΠ° ΠΎΡΡΡΠΊΠ°Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ
ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ (ΡΠ°ΡΠ΅ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΡΡ Β«ΠΏΡΠΎΠ΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡΒ») ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π²ΡΠΈΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ (3). ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ Π΅ΡΠ»ΠΈ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΡΡΠ΅ΠΉΡΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ, ΡΠΎ ΠΎΡΡΡΠΊΠ°ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΡ Π½Π΅ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΈΠ΅ΠΌΠΎΠ². ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΡΡΠ΅ΠΉΡΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ Π² ΡΠ°Π±Π».1.
Π’Π°Π±Π»ΠΈΡΠ° 1
β | f(Ρ ) | β | f(Ρ ) | |||
1 | Ρ ΞΌ | ΞΌΡ ΞΌ-1 | 7 | ctgx | -1/sin2x | |
2 | Π΅Ρ | Π΅Ρ | 8 | arcsinx | ||
3 | lnx | 1/x | 9 | arccosx | ||
4 | sinx | cosx | 1 | arctgx | ||
5 | cosx | -sinx | 1 | arcctgx | ||
6 | tgx | 1/cos2x |
ΠΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ.
ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΡΠΌΠΌΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΡΠ°Π²Π½Π° ΡΡΠΌΠΌΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ;
2) Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ f(Ρ ) ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ f1(Ρ ) ΠΈ f2(Ρ ), Ρ.Π΅. f(Ρ )=f1(Ρ )Β· f2(Ρ ), ΡΠΎ
=(5)
Π ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, Π΅ΡΠ»ΠΈ f2(Ρ )=Π=ΡΠΎΠΏst, ΡΠΎ =Π, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΡ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ°Π½ΡΡ ΡΠ°Π²Π½Π° Π½ΡΠ»Ρ;
3) ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Β«ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉΒ» ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Ρ(Ρ )=f(Ο(Ρ )) Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΠ΅ΡΡΡ Π² Π΄Π²Π° ΡΡΠ°ΠΏΠ°. Π‘Π½Π°ΡΠ°Π»Π° Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ f ΠΏΠΎ Ο, ΠΏΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°ΡΡ Ο ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ (Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½Ρ), Π° Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°ΡΡ Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ Ο ΠΏΠΎ Ρ , Ρ.Π΅.
. (6)
ΠΡΠΎΠΈΠ»Π»ΡΡΡΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌ ΡΡΠΈ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°ΠΌΠΈ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ.
Π Ρ ΠΈ ΠΌ Π΅ Ρ 2: Ρ=Ρ 2Π΅Ρ , Ρ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ =Ρ 2, =Π΅Ρ . ΠΠ±ΡΠ°ΡΠΈΠ²ΡΠΈΡΡ ΠΊ ΡΠ°Π±Π».1, Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ
ΠΈ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° 2 ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° (6)
.
Π Ρ ΠΈ ΠΌ Π΅ Ρ 3: ; Ρ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Β«ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉΒ» ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Ρ=cosΟ, Ο=ax. ΠΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π²ΡΠΈΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΎΠΉ (7) ΠΈ ΡΠ°Π±Π». 1, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ
.
Π Ρ ΠΈ ΠΌ Π΅ Ρ 4: ; Ρ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΠΌ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ,
, ΡΠΎΠ³Π΄Π° .
Π Ρ ΠΈ ΠΌ Π΅ Ρ 5: ; a,b,c=const. y(x) ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅ΠΌ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΈΠ»ΠΈ, Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π²ΡΠΈΡΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠΌΠΌΡ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ
.
Π‘Π»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ ΡΡΡΠ΅ΠΌΠΈΡΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΏΡΠΈΠ΅ΠΌ, Ρ. Π΅. Π±Π΅Π· ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΎΡΠ½ΡΡ Π²ΡΠΊΠ»Π°Π΄ΠΎΠΊ ΠΈ Π±Π΅Π· Π²Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Β«ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΎΡΠ½ΡΡ Β» ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ Ο(Ρ ), ΠΏΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ Π²ΡΠ΅ ΡΠ°ΡΡΡΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ, ΠΏΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΡΡΠΈΠ΅ ΠΊ ΠΎΡΠ²Π΅ΡΡ, Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ Π΄Π΅Π»Π°ΡΡΡΡ Π² ΡΠΌΠ΅.
ΠΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅– ΠΠ°ΠΊ Ρ ΠΌΠΎΠ³Ρ ΠΈΠ΄Π΅Π½ΡΠΈΡΠΈΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΈ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ Π΅Π΅ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ?
ΡΠΏΡΠΎΡΠΈΠ»
ΠΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΎ 2 Π³ΠΎΠ΄Π°, 3 ΠΌΠ΅ΡΡΡΠ° Π½Π°Π·Π°Π΄
ΠΡΠΎΡΠΌΠΎΡΡΠ΅Π½ΠΎ 23 ΡΡΡΡΡΠΈ ΡΠ°Π·
$\begingroup$
ΠΠ΄Π΅Π½ΡΠΈΡΠΈΡΠΈΡΡΠΉΡΠ΅ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ $A$ (ΡΠΈΠ½ΠΈΠΉ), $B$ (ΠΊΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ) ΠΈ $C$ (Π·Π΅Π»Π΅Π½ΡΠΉ) ΠΊΠ°ΠΊ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΈ Π΅Π΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ :
- _____ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΎΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ
- _____ β Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ
- _____Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ
- ΠΈΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅
- ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅
$\endgroup$
1
$\begingroup$
ΠΠΎΡ ΡΠΏΠΈΡΠΎΠΊ Π΄Π»Ρ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠ°ΠΆΠ°Π½ΠΈΡ;
- ΠΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΡΡ Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌ ΠΈ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌ. ΠΡΠΎ Π±ΡΠ΄ΡΡ Π½ΡΠ»Π΅Π²ΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π² ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΠΈΡ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½Π° ΠΎΡΠΈ x.
- ΠΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΡΡ, ΡΠ²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ° Π² ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅. ΠΡΠΈ ΡΠ²Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡΡ Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π΅ ΠΎΡΠΈ y.
- ΠΠΎΡΠΌΠΎΡΡΠΈΡΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ Π·Π½Π°ΠΊ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ Π½ΡΠ»ΠΈ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ.
ΠΠΎΡΠ»Π΅ ΡΠΏΠΈΡΠΊΠ° ΠΎΡΠ²Π΅Ρ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ; Π΅ (Ρ ) = Π Π΅'(Ρ )=Π f”(Ρ )=Π‘ 92}$.
$\endgroup$
$\begingroup$
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠΈΠ½ΠΈΠΉ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ.
ΠΏΠ΅ΡΠ²Π°Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΠ°Π²Π½Π° Π½ΡΠ»Ρ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π΄ΠΎΡΡΠΈΠ³Π°Π΅Ρ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΠ°, Π΅Π΅ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΠΊΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ.
Π²ΡΠΎΡΠ°Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π΄Π°Π΅Ρ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΡ ΠΎ ΠΊΡΠΈΠ²ΠΈΠ·Π½Π΅. ΠΠ½Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΡΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ, Π° ΡΡΠ°Π·Ρ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π΅Ρ. ΠΎΠ½Π° ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π΅Ρ, Π° Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ±ΡΠ²Π°Π΅Ρ. Π΅Π³ΠΎ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ Π·Π΅Π»Π΅Π½ΡΠΉ.
$\endgroup$
$\begingroup$
ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅, Π³Π΄Π΅ ΠΎΠ΄Π½Π° Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π° Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π΅Ρ, Π° Π΄ΡΡΠ³Π°Ρ Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π° ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ, ΠΈ Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅, Π³Π΄Π΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΡΠ±ΡΠ²Π°Π΅Ρ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΡΡ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ. ΠΡΠ°ΡΠΈΠΊ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΈ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ, Π² ΡΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΡ ΠΊΠ°ΠΊ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ ΡΠ²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΈ ΡΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ, ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ. ΠΡΠ°ΡΠΈΠΊ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π½ΠΈΡ ΠΈ ΡΠ±ΡΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ.
$\endgroup$
ΠΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ I. Π€ΠΎΡΠΌΠ° Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ°, ΡΠ°ΡΡΡ II
ΠΠ½Π»Π°ΠΉΠ½-Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠΊΠΈ ΠΠΎΠ»Π°
ΠΠΎΠΌ
/
ΠΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ I
/
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ
/ Π€ΠΎΡΠΌΠ° Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ°, ΡΠ°ΡΡΡ II
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ ΠΌΠΎΠ±ΠΈΠ»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠ²Π΅Π΄ΠΎΠΌΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ Π²ΡΠ΅ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΡΒ Π‘ΠΊΡΡΡΡ Π²ΡΠ΅ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΡ
Π£Π²Π΅Π΄ΠΎΠΌΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π»Ρ ΠΌΠΎΠ±ΠΈΠ»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΡΡΠΎΠΉΡΡΠ²
ΠΠΎΡ ΠΎΠΆΠ΅, Π²Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΡΠ΅ ΡΡΡΡΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ Ρ Β«ΡΠ·ΠΊΠΎΠΉΒ» ΡΠΈΡΠΈΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΊΡΠ°Π½Π° ( Ρ. Π΅. Π²Ρ, Π²Π΅ΡΠΎΡΡΠ½ΠΎ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΡΠ΅ ΠΌΠΎΠ±ΠΈΠ»ΡΠ½ΡΠΉ ΡΠ΅Π»Π΅ΡΠΎΠ½). ΠΠ·-Π·Π° Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠ° ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ Π½Π° ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ°ΠΉΡΠ΅ Π»ΡΡΡΠ΅ Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°ΡΡ Π² Π»Π°Π½Π΄ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠΌ ΡΠ΅ΠΆΠΈΠΌΠ΅. ΠΡΠ»ΠΈ Π²Π°ΡΠ΅ ΡΡΡΡΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ Π½Π΅ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ Π² Π»Π°Π½Π΄ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠΌ ΡΠ΅ΠΆΠΈΠΌΠ΅, ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π±ΡΠ΄ΡΡ ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ°ΡΡΡΡ ΡΠ±ΠΎΠΊΡ Π²Π°ΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΡΡΡΠΎΠΉΡΡΠ²Π° (Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° Π±ΡΡΡ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΊΡΡΡΠΊΠΈ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΡΠ²ΠΈΠ΄Π΅ΡΡ ΠΈΡ ), Π° Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΏΡΠ½ΠΊΡΡ ΠΌΠ΅Π½Ρ Π±ΡΠ΄ΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ΅Π·Π°Π½Ρ ΠΈΠ·-Π·Π° ΡΠ·ΠΊΠΎΠΉ ΡΠΈΡΠΈΠ½Ρ ΡΠΊΡΠ°Π½Π°.
Π Π°Π·Π΄Π΅Π» 4.6. Π€ΠΎΡΠΌΠ° Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ°, ΡΠ°ΡΡΡ II
Π ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΠ΄ΡΡΠ΅ΠΌ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ ΠΌΡ Π²ΠΈΠ΄Π΅Π»ΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΡ ΠΎ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ. Π ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ ΠΌΡ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π²ΡΠΎΡΠ°Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π΄Π°ΡΡ Π½Π°ΠΌ ΠΎ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ.
ΠΡΠ΅ΠΆΠ΄Π΅ ΡΠ΅ΠΌ ΠΌΡ ΡΡΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ, Π½Π°ΠΌ ΠΏΠΎΠ½Π°Π΄ΠΎΠ±ΠΈΡΡΡ ΠΏΠ°ΡΠ° ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ. ΠΡΠ½ΠΎΠ²Π½Π°Ρ ΠΊΠΎΠ½ΡΠ΅ΠΏΡΠΈΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΌΡ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ ΠΎΠ±ΡΡΠΆΠ΄Π°ΡΡ Π² ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»Π΅, β Π²ΠΎΠ³Π½ΡΡΠΎΡΡΡ. ΠΠΎΠ³Π½ΡΡΠΎΡΡΡ Π»Π΅Π³ΡΠ΅ Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΠ²ΠΈΠ΄Π΅ΡΡ Π½Π° Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅ (ΡΡΡΡ ΠΏΠΎΠ·ΠΆΠ΅ ΠΌΡ Π΄Π°Π΄ΠΈΠΌ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅).
ΠΡΠ°ΠΊ, ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π²ΠΎΠ³Π½ΡΡΠ° Π²Π²Π΅ΡΡ , Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ½Π° Β«ΠΎΡΠΊΡΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡΒ» Π²Π²Π΅ΡΡ , ΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π²ΠΎΠ³Π½ΡΡΠ° Π²Π½ΠΈΠ· , Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ½Π° Β«ΠΎΡΠΊΡΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡΒ» Π²Π½ΠΈΠ·. ΠΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΡΠ΅ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅, ΡΡΠΎ Π²ΠΎΠ³Π½ΡΡΠΎΡΡΡ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π½ΠΈΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ΅Π³ΠΎ Ρ ΡΠ²Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ. Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ Π²ΠΎΠ³Π½ΡΡΠΎΠΉ ΠΈ Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°ΡΡΠ΅ΠΉ, Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΡΠ±ΡΠ²Π°ΡΡΠ΅ΠΉ. Π’ΠΎΡΠ½ΠΎ ΡΠ°ΠΊ ΠΆΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ Π²ΠΎΠ³Π½ΡΡΠΎΠΉ Π²Π½ΠΈΠ· ΠΈ Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°ΡΡΠ΅ΠΉ, Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΡΠ±ΡΠ²Π°ΡΡΠ΅ΠΉ.
ΠΠ΅ΡΠΎΡΡΠ½ΠΎ, ΡΡΠΎ Π½Π΅ Π»ΡΡΡΠΈΠΉ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ± ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ Π²ΠΎΠ³Π½ΡΡΠΎΡΡΡ, ΡΠΊΠ°Π·Π°Π², ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ ΠΎΠ½Π° Β«ΠΎΡΠΊΡΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡΒ», ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΡΡΠΎ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠ°ΡΠΏΠ»ΡΠ²ΡΠ°ΡΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΠΎΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΎΠ³Π½ΡΡΠΎΡΡΠΈ.
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ 1
Π£ΡΠΈΡΡΠ²Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ \(f\left( x \right)\), ΡΠΎΠ³Π΄Π°
- \(f\left( x \right)\) ΡΠ°Π²Π½ΠΎ Π²ΠΎΠ³Π½ΡΡΠΎΠΉ Π²Π²Π΅ΡΡ Π½Π° ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π»Π΅ \(I\) Π΅ΡΠ»ΠΈ Π²ΡΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΊ ΠΊΡΠΈΠ²ΠΎΠΉ Π½Π° \(I\) Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΡΡΡΡ Π½ΠΈΠΆΠ΅ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ° \(f\left( x \right)\).
- \(f\left( x \right)\) ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π²ΠΎΠ³Π½ΡΡΡΠΌ Π²Π½ΠΈΠ· Π½Π° ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π»Π΅ \(I\), Π΅ΡΠ»ΠΈ Π²ΡΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΊ ΠΊΡΠΈΠ²ΠΎΠΉ Π½Π° \(I\) Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΡΡΡΡ Π½Π°Π΄ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΎΠΌ \(f\left ( Ρ \ΡΠΏΡΠ°Π²Π°)\).
Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΡΠ΅ Π²ΡΡΠ΅ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π·Π°ΡΠ²Π»Π΅Π½Π½ΡΡ Π²ΡΡΠ΅ Π²ΠΎΠ³Π½ΡΡΠΎΡΡΡ, Π²ΠΎΡ ΡΠ½ΠΎΠ²Π° Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ (Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ²Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π½Π½ΡΠΉ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π±ΡΠ»ΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠ½Π΅Π΅).
ΠΡΠ°ΠΊ, ΠΊΠ°ΠΊ Π²Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΡΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π΅ΡΡ, Π½Π° Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΡΡ Π½ΠΈΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ°Ρ Π²ΡΠ΅ Π½Π°ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΡΡΡΡ ΠΏΠΎΠ΄ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΎΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΈ Π²ΠΎΠ³Π½ΡΡΡ Π²Π²Π΅ΡΡ . ΠΠ° Π΄Π²ΡΡ Π½ΠΈΠΆΠ½ΠΈΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ°Ρ Π²ΡΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΡΡΡΡ Π½Π°Π΄ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΎΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΈ Π²ΠΎΠ³Π½ΡΡΡ Π²Π½ΠΈΠ·.
ΠΠΏΡΡΡ ΠΆΠ΅, ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ Π²ΠΎΠ³Π½ΡΡΠΎΡΡΡ ΠΈ Π°ΡΠΏΠ΅ΠΊΡ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π½ΠΈΡ/ΡΠ±ΡΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡΡΡ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»Π΅Π½Ρ ΠΈ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π½ΠΈΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ΅Π³ΠΎ Π΄ΡΡΠ³ Ρ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΌ. ΠΡΠΎ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡΠΌΠ΅ΡΠΈΡΡ, ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ ΡΡΠ°ΡΠΈΠ΅ΡΡ ΡΠ°ΡΡΠΎ ΡΠΌΠ΅ΡΠΈΠ²Π°ΡΡ ΡΡΠΈ Π΄Π²Π° ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΡ ΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΡ ΠΎΠ± ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ Π΄Π»Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΠΈ ΠΎ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΌ.
ΠΡΡΡ Π΅ΡΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΎΡ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ Π½Π°ΠΌ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ·Π±Π°Π²ΠΈΡΡΡΡ.
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ 2
Π’ΠΎΡΠΊΠ° \(x = c\) Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π³ΠΈΠ±Π° , Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π² ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½Π° ΠΈ Π²ΠΎΠ³Π½ΡΡΠΎΡΡΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ° ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ Π² ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅.
Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Ρ Π½Π°Ρ Π΅ΡΡΡ Π²ΡΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π²ΠΎΠ³Π½ΡΡΠΎΡΡΠΈ, Π½Π°ΠΌ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡΡ Π²ΡΠΎΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ. Π ΠΊΠΎΠ½ΡΠ΅ ΠΊΠΎΠ½ΡΠΎΠ², ΠΌΡ Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΈ ΡΡΠΎΡ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π» Ρ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΡΠΎ ΡΠΎΠ±ΠΈΡΠ°Π΅ΠΌΡΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ Π²ΡΠΎΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ Π΄Π»Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΠΈ ΠΎ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅. Π‘Π»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΉ ΡΠ°ΠΊΡ ΡΠ²ΡΠ·ΡΠ²Π°Π΅Ρ Π²ΡΠΎΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Ρ Π΅Π΅ Π²ΠΎΠ³Π½ΡΡΠΎΡΡΡΡ. ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°ΠΊΡΠ° Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ Π² ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ Β«ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΏΡΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉΒ» Π³Π»Π°Π²Ρ Β«ΠΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΒ».
Π€Π°ΠΊΡ
Π£ΡΠΈΡΡΠ²Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ \(f\left( x \right)\), ΡΠΎ
- ΠΡΠ»ΠΈ \(f”\left( x \right) > 0\) Π΄Π»Ρ Π²ΡΠ΅Ρ \(x\) Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π» \(I\), ΡΠΎΠ³Π΄Π° \(f\left( x \right)\) Π²ΠΎΠ³Π½ΡΡ Π²Π²Π΅ΡΡ Π½Π° \(I\).
- ΠΡΠ»ΠΈ \(f”\left( x \right) < 0\) Π΄Π»Ρ Π²ΡΠ΅Ρ \(x\) Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π»Π΅ \(I\), ΡΠΎ \(f\left( x \right)\) Π²ΠΎΠ³Π½ΡΡΠΎ Π²Π½ΠΈΠ· Π½Π° \(Π―\).
ΠΡΠ°ΠΊ, ΡΡΠΎΡ ΡΠ°ΠΊΡ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΠΈΡ Π½Π°ΠΌ ΠΎ ΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΠΎΡΠΊΠ°ΠΌΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π³ΠΈΠ±Π° Π±ΡΠ΄ΡΡ Π²ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ, Π³Π΄Π΅ Π²ΡΠΎΡΠ°Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅Ρ Π·Π½Π°ΠΊ. Π ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΠ΄ΡΡΠ΅ΠΉ Π³Π»Π°Π²Π΅ ΠΌΡ Π²ΠΈΠ΄Π΅Π»ΠΈ, ΡΡΠΎ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΡ Π·Π½Π°ΠΊ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ½Π° Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΡΠ°Π²Π½Π° Π½ΡΠ»Ρ, Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π½Π΅ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ. ΠΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ ΠΌΡ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°Π»ΠΈ Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π² ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΠ΄ΡΡΠ΅ΠΌ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»Π΅, Π½ΠΎ ΡΠΎΡ ΡΠ°ΠΊΡ, ΡΡΠΎ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΡ Π·Π½Π°ΠΊ ΡΠ°ΠΌ, Π³Π΄Π΅ ΠΎΠ½Π° ΡΠ°Π²Π½Π° Π½ΡΠ»Ρ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ, Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π½ΠΈΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ΅Π³ΠΎ Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ. ΠΡΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ ΠΊΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡΠΌ, Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎ ΠΎΡ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ Π»ΠΈ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠΌΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅Ρ.
ΠΡΠΎ, Π² ΡΠ²ΠΎΡ ΠΎΡΠ΅ΡΠ΅Π΄Ρ, Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΠΈΡ Π½Π°ΠΌ ΠΎ ΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΠΏΠΈΡΠΎΠΊ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΡΡ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π³ΠΈΠ±Π° Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠΎΡΡΠΎΡΡΡ ΠΈΠ· ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ, Π³Π΄Π΅ Π²ΡΠΎΡΠ°Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΠ°Π²Π½Π° Π½ΡΠ»Ρ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΡΡΠΎ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ, Π³Π΄Π΅ Π²ΡΠΎΡΠ°Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡ Π·Π½Π°ΠΊ.
ΠΡΠ΄ΡΡΠ΅ ΠΎΡΡΠΎΡΠΎΠΆΠ½Ρ, ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ Π½Π΅ Π΄Π΅Π»Π°ΠΉΡΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ, ΡΡΠΎ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ, ΡΡΠΎ Π²ΡΠΎΡΠ°Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΠ°Π²Π½Π° Π½ΡΠ»Ρ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ, ΡΠΎΡΠΊΠ° Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠΎΡΠΊΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π³ΠΈΠ±Π°. ΠΡ ΡΠ·Π½Π°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΡΠΎ ΡΠΎΡΠΊΠ° ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π³ΠΈΠ±Π°, ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ Π²ΠΎΠ³Π½ΡΡΠΎΡΡΡ Ρ ΠΎΠ±Π΅ΠΈΡ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½ ΠΎΡ Π½Π΅Π΅. ΠΡΠΎ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠΎΡΠΊΠ° ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π³ΠΈΠ±Π°, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π²ΠΎΠ³Π½ΡΡΠΎΡΡΡ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½Π° Ρ ΠΎΠ±Π΅ΠΈΡ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½ ΡΠΎΡΠΊΠΈ.
Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ ΠΎ Π²ΠΎΠ³Π½ΡΡΠΎΡΡΠΈ, ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΡΡ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΡ, Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΡ ΠΎ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π½ΠΈΠΈ/ΡΠ±ΡΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ ΠΈΠ· ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΠ΄ΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»Π°, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ Π΄ΠΎΠ²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎ Ρ ΠΎΡΠΎΡΠ΅Π΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎ ΡΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π²ΡΠ³Π»ΡΠ΄Π΅ΡΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ. ΠΠ°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ Π½Π° ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 1. ΠΠ»Ρ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅ΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π»Ρ, Π½Π° ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π΅Ρ ΠΈ ΡΠ±ΡΠ²Π°Π΅Ρ, ΠΈ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π»Ρ, Π½Π° ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π²ΠΎΠ³Π½ΡΡΠ° Π²Π²Π΅ΡΡ ΠΈ Π²ΠΎΠ³Π½ΡΡΠ° Π²Π½ΠΈΠ·. 3} + 3\] 92} – 1} \ΡΠΏΡΠ°Π²Π°)\ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ{Π²ΡΡΠ°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅*}\]
ΠΠ°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ Π½Π°ΡΠ½Π΅ΠΌ Ρ ΡΠ²Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΡ/ΡΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΠΈ, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ Π±ΡΡΡ Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΠ²ΠΎΠ»ΡΠ½Ρ ΡΡΠΈΠΌ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½Π΅Π³ΠΎ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»Π°.
Π£ ΡΡΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π΅ΡΡΡ ΡΡΠΈ ΠΊΡΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ: \(x = – 1\), \(x = 0\) ΠΈ \(x = 1\). ΠΠΈΠΆΠ΅ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠ²Π°Ρ ΡΡΡΠΎΠΊΠ° Π΄Π»Ρ ΡΠ²Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΡ/ΡΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΠΈ.
ΠΡΠ°ΠΊ, ΠΏΠΎΡ ΠΎΠΆΠ΅, ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π»Ρ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π½ΠΈΡ ΠΈ ΡΠ±ΡΠ²Π°Π½ΠΈΡ.
\[\begin{align*}{\mbox{ΠΠΎ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π½ΠΈΡ: }} & – \infty < x < - 1{\mbox{ΠΈ}}1 < x <\infty \\ {\mbox{ΠΠΎ ΡΠ±ΡΠ²Π°Π½ΠΈΡ: }} & - 1 < Ρ < 0, \, \, \, 0 < Ρ < 1 \ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ {Π²ΡΡΠ°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ *} \]
ΠΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ ΠΈΠ· ΡΠ΅ΡΡΠ° ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΌΡ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ \(x = – 1\) ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌΠΎΠΌ, Π° \(x = 1\) – ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠΎΠΌ. Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ \(x = 0\) Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π½ΠΈ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠΎΠΌ, Π½ΠΈ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌΠΎΠΌ.
Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π»Ρ, Π½Π° ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π²ΠΎΠ³Π½ΡΡΠ° Π²Π²Π΅ΡΡ ΠΈ Π²ΠΎΠ³Π½ΡΡΠ° Π²Π½ΠΈΠ·. ΠΡΠ»ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΌΠ°ΡΡ, ΡΡΠΎΡ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΡΡ ΠΏΠΎΡΡΠΈ ΠΈΠ΄Π΅Π½ΡΠΈΡΠ΅Π½ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΡΡΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΠΌΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌ Π΄Π»Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π»ΠΎΠ² Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π½ΠΈΡ ΠΈ ΡΠ±ΡΠ²Π°Π½ΠΈΡ. ΠΠ΄ΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΡΠΎΠΈΡ Π² ΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΌΡ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ Π²ΡΠΎΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ Π²ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ.
ΠΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ΅, ΡΡΠΎ Π½Π°ΠΌ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π³ΠΈΠ±Π°. ΠΡΠΎ Π±ΡΠ΄ΡΡ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΈ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π²ΡΠΎΡΠ°Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΠ°Π²Π½Π° Π½ΡΠ»Ρ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ. ΠΡΠΎΡΠ°Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π² ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½ΠΎΠΌ ΠΈ ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎΠ²Π°ΡΡ Π²Π΅Π·Π΄Π΅. Π ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΡ ΡΠΎΡΠΊΠ°Ρ ΠΎΠ½ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π½ΡΠ»Ρ.
\[x = 0,\,\,x = \pm \frac{1}{{\sqrt 2}} = \pm \,0,7071\]
ΠΠ°ΠΊ ΠΈ Π² ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ Ρ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°ΡΡΠ΅ΠΉ ΠΈ ΡΠ±ΡΠ²Π°ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠ°ΡΡΡΠΌΠΈ, ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠ²ΡΡ Π»ΠΈΠ½ΠΈΡ Π²Π²Π΅ΡΡ ΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΡΠΈ ΡΠΎΡΠΊΠΈ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠ²ΡΡ Π»ΠΈΠ½ΠΈΡ Π½Π° ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ. ΠΡ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ Π² ΡΡΠΈΡ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡΡ Π²ΡΠΎΡΠ°Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π° Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈ ΡΠΎΡ ΠΆΠ΅ Π·Π½Π°ΠΊ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΡΡΠΈ ΡΡΠΈ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ ΠΌΠ΅ΡΡΠ°ΠΌΠΈ, Π³Π΄Π΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΌΠ°ΠΉ ΡΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡ Π·Π½Π°ΠΊ. ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ Π²ΡΠ΅, ΡΡΠΎ Π½Π°ΠΌ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ Π²ΡΠ±ΡΠ°ΡΡ ΡΠΎΡΠΊΡ ΠΈΠ· ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ Π΅Π΅ Π²ΠΎ Π²ΡΠΎΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Π²ΡΠΎΡΠ°Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΡΠΎΡ Π·Π½Π°ΠΊ Π²ΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΉ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ, ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΡΠΎΡΠΊΠ°
ΠΠΎΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠ²Π°Ρ ΠΏΡΡΠΌΠ°Ρ Π΄Π»Ρ ΡΡΠΎΠΉ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ.
ΠΡΠ°ΠΊ, ΠΏΠΎΡ ΠΎΠΆΠ΅, ΡΡΠΎ ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π»Ρ Π²ΠΎΠ³Π½ΡΡΠΎΡΡΠΈ.
\[\begin{align*}{\mbox{ΠΠΎΠ³Π½ΡΡΡΠΉ Π²Π²Π΅ΡΡ : }} & – \frac{1}{{\sqrt 2}} < x < 0{\mbox{and}}\frac{1}{{\ sqrt 2 }} < x < \infty \\ {\mbox{ΠΠΎΠ³Π½ΡΡΡΠΉ Π²Π½ΠΈΠ·: }} & - \infty < x < - \frac{1}{{\sqrt 2}}{\mbox{ ΠΈ }}0 < x < \ frac {1} {{\ sqrt 2}} \ end {align *} \]
ΠΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ
\[x = 0,\,\,x = \pm \frac{1}{{\sqrt 2}} = \pm 0,7071\]
β Π²ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π³ΠΈΠ±Π°.
ΠΡΡ ΡΡΠ° ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡΠ΅Π»ΠΎΠΌΠ»ΡΡΡΠ΅ΠΉ ΠΏΡΠΈ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ°. ΠΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ΅, ΡΡΠΎ ΠΌΡ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ ΡΠ΄Π΅Π»Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΎΡΠΏΡΠ°Π²Π½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ. ΠΡΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΈ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π³ΠΈΠ±Π° ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ Ρ ΠΎΡΠΎΡΠΈΠΌΠΈ ΠΎΡΠΏΡΠ°Π²Π½ΡΠΌΠΈ ΡΠΎΡΠΊΠ°ΠΌΠΈ. ΠΡΠ°ΠΊ, ΡΠ½Π°ΡΠ°Π»Π° Π½Π°ΡΠΈΡΡΠΉΡΠ΅ ΡΡΠΈ ΡΠΎΡΠΊΠΈ.
Π‘ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½ΡΠ° Π΅ΡΡΡ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±ΠΎΠ² ΠΏΡΠΈΡΡΡΠΏΠΈΡΡ ΠΊ ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ°. Π‘ΠΏΠΎΡΠΎΠ±, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΠΌΡ ΡΡΠΈΡΠ°Π΅ΠΌ ΡΠ°ΠΌΡΠΌ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠΌ (Ρ ΠΎΡΡ Π²Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΡΠ΅ ΠΈ Π½Π΅ Π΄Π΅Π»Π°ΡΡ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ, ΠΈ ΡΡΠΎ ΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎ Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎβ¦.), ΡΠΎΡΡΠΎΠΈΡ Π² ΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΡΠ°ΡΡ Ρ ΡΠ²Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΡ/ΡΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΠΈ ΠΈ Π½Π°ΡΠ°ΡΡ ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Ρ ΡΡΠΎΠΉ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ Π΄Π΅Π»Π°Π»ΠΈ Π² ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΠ΄ΡΡΠ΅ΠΌ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»Π΅. ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ, Π² ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠΈΠ΅ ΠΎΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΠ΄ΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»Π°, Π½Π° ΡΡΠΎΡ ΡΠ°Π·, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°ΡΡΡΡ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ±ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΡΠ°ΡΡΡ ΠΊΡΠΈΠ²ΠΎΠΉ, ΠΌΡ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ°ΡΡ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° Π²ΠΎΠ³Π½ΡΡΠΎΡΡΡ ΠΊΡΠΈΠ²ΠΎΠΉ.
ΠΡΠ°ΠΊ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΌΡ Π½Π°ΡΠ½Π΅ΠΌ Ρ \(x < - 1\), ΠΌΡ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ Ρ Π½Π°Ρ Π΅ΡΡΡ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°ΡΡΠ°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ. Π ΡΠΎ ΠΆΠ΅ Π²ΡΠ΅ΠΌΡ ΠΌΡ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΌΡ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ Π±ΡΡΡ Π²ΠΎΠ³Π½ΡΡΡΠΌΠΈ Π² ΡΡΠΎΠΌ Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½Π΅. ΠΡΠ°ΠΊ, ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°ΡΠ°ΡΡ Ρ ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°ΡΡΠ΅ΠΉ ΠΊΡΠΈΠ²ΠΎΠΉ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π²ΠΎΠ³Π½ΡΡΠ° Π²Π½ΠΈΠ·, ΠΏΠΎΠΊΠ° ΠΌΡ Π½Π΅ Π΄ΠΎΡΡΠΈΠ³Π½Π΅ΠΌ \(x = - 1\).
Π ΡΡΠΎΡ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ Π½Π°ΡΠΈΠ½Π°Π΅Ρ ΡΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ°ΡΡΡΡ ΠΈ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΏΡΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ°ΡΡ ΡΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ°ΡΡΡΡ, ΠΏΠΎΠΊΠ° ΠΌΡ Π½Π΅ Π΄ΠΎΡΡΠΈΠ³Π½Π΅ΠΌ \(x = 1\). ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ ΠΏΠΎ ΠΌΠ΅ΡΠ΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ ΡΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ°Π΅ΠΌ Π²ΠΎΠ³Π½ΡΡΠΎΡΡΡ, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΠ»ΡΡΠΈΡΡΡΡ Π½Π° Π²ΠΎΠ³Π½ΡΡΠΎΡΡΡ Π²Π²Π΅ΡΡ ΠΏΡΠΈ \(x \ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ – 0,707\), Π° Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ½ΠΎΠ²Π° ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΠ»ΡΡΠΈΡΡΡΡ Π½Π° Π²ΠΎΠ³Π½ΡΡΠΎΡΡΡ Π²Π½ΠΈΠ· ΠΏΡΠΈ \(x = 0\) Ρ ΠΎΠΊΠΎΠ½ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΠ»ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π½Π° Π²ΠΎΠ³Π½ΡΡΠΎΡΡΡ Π²Π²Π΅ΡΡ ΠΏΡΠΈ \(x \ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎ 0,707\).
ΠΠ°ΠΊ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΌΡ Π΄ΠΎΡΡΠΈΠ³Π°Π΅ΠΌ \(x = 1\), Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ Π½Π°ΡΠΈΠ½Π°Π΅Ρ ΡΠ²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ²Π°ΡΡΡΡ ΠΈ ΠΏΠΎ-ΠΏΡΠ΅ΠΆΠ½Π΅ΠΌΡ ΠΎΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π²ΠΎΠ³Π½ΡΡΡΠΌ, ΠΈ ΠΎΠ±Π° ΡΡΠΈ ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠΎΡ ΡΠ°Π½ΡΡΡΡΡ Π΄Π»Ρ ΠΎΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΠΈ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ°.
ΠΠ±ΡΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΠ² Π²ΡΡ ΡΡΡ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΡ, ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΉ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ.
ΠΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΠ΄ΡΡΠΈΠΉ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ»Π»ΡΡΡΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ± ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠΈΠΊΠ°ΡΠΈΠΈ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΊΡΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌΠΎΠ² ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠΎΠ².
ΠΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ \(x = – 1\) ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌΠΎΠΌ ΠΈ ΡΡΠΎ Π² ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π²ΠΎΠ³Π½ΡΡΠ° Π²Π½ΠΈΠ·. ΠΡΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ \(f”\left( { – 1} \right)\) Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡΡΡ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ. Π’ΠΎΡΠ½ΠΎ ΡΠ°ΠΊ ΠΆΠ΅ \(x = 1\) ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠΎΠΌ, ΠΈ Π² ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π²ΠΎΠ³Π½ΡΡΠ° Π²Π²Π΅ΡΡ . ΠΡΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ \(f”\left( 1 \right)\) Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ.
ΠΠ°ΠΊ ΠΌΡ Π²ΡΠΊΠΎΡΠ΅ ΡΠ²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡΡΡ ΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΎΡΡΠΎΡΠΎΠΆΠ½ΡΠΌ Ρ \(x = 0\). Π ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ Π²ΡΠΎΡΠ°Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΠ°Π²Π½Π° Π½ΡΠ»Ρ, Π½ΠΎ Π½Π° ΡΠ°ΠΌΠΎΠΌ Π΄Π΅Π»Π΅ ΡΡΠΎ Π½Π΅ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°ΡΡ, ΡΡΠΎ \(x = 0\) Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠΎΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌΠΎΠΌ. Π§ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ·ΠΆΠ΅ ΠΌΡ ΡΠ²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ, Π½ΠΎ ΡΠ½Π°ΡΠ°Π»Π° Π½Π°ΠΌ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ·Π°Π±ΠΎΡΠΈΡΡΡΡ ΠΎ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΠΈ.
ΠΠ΄Π΅ΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡΠΌΠ΅ΡΠΈΡΡ, ΡΡΠΎ Π²ΡΠ΅ ΠΊΡΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π² ΡΡΠΎΠΌ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ΅ Π±ΡΠ»ΠΈ ΠΊΡΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ ΡΠΎΡΠΊΠ°ΠΌΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²Π°Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π±ΡΠ»Π° ΡΠ°Π²Π½Π° Π½ΡΠ»Ρ, ΠΈ ΡΡΠΎ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π΄Π»Ρ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΡΡΠΎ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°Π»ΠΎ. ΠΡ Π½Π΅ ΡΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΡΠΎΡ ΡΠ΅ΡΡ Π² ΠΊΡΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΠΎΡΠΊΠ°Ρ , Π³Π΄Π΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π½Π΅ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ.
ΠΠΎΡ ΡΠ΅ΡΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ Π΄Π»Ρ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠΈΠΊΠ°ΡΠΈΠΈ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΊΡΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ. ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ΅ΡΡΠ° Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ Π² ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ Β«ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΏΡΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉΒ» Π³Π»Π°Π²Ρ Β«ΠΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΒ».
Π’Π΅ΡΡ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ
ΠΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ \(x = c\) ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΡΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΎΠΉ \(f\left( x \right)\) ΡΠ°ΠΊΠΎΠΉ, ΡΡΠΎ \(f’\left( c \right) = 0\) ΠΈ ΡΡΠΎ \(f”\left( x \right)\) Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½ΠΎ Π² ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ Π²ΠΎΠΊΡΡΠ³ \(x = c\). Π’ΠΎΠ³Π΄Π°
- ΠΡΠ»ΠΈ \(f”\left( c \right) < 0\), ΡΠΎ \(x = c\) ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌΠΎΠΌ.
- ΠΡΠ»ΠΈ \(f”\left( c \right) > 0\), ΡΠΎ \(x = c\) ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠΎΠΌ.
- ΠΡΠ»ΠΈ \(f”\left( c \right) = 0\), ΡΠΎ \(x = c\) ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌΠΎΠΌ, ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠΎΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ Π½ΠΈ ΡΠ΅ΠΌ, Π½ΠΈ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠΌ.
ΠΠ°ΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡΠΌΠ΅ΡΠΈΡΡ ΡΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ°ΡΡΡ ΡΠ΅ΡΡΠ° Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ. ΠΡΠ»ΠΈ Π²ΡΠΎΡΠ°Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΠ°Π²Π½Π° Π½ΡΠ»Ρ, ΠΊΡΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ. ΠΠΈΠΆΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ ΡΡΠ΅Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ, ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Π°Ρ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΊΡΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΡΡ ΡΠΎΡΠΊΡ ΠΏΡΠΈ \(x = 0\), Π²ΡΠΎΡΠ°Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π²ΡΠ΅Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΡΠ°Π²Π½Π° Π½ΡΠ»Ρ ΠΏΡΠΈ \(x = 0\), ΠΈ Π²ΡΠ΅ ΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ Π²ΡΠ΅ ΡΡΠΈ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ. 93}\), ΠΈ ΡΡΠΎΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π» Π½ΠΈ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ°, Π½ΠΈ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌΠ° Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ \(x = 0\).
ΠΡΠ°ΠΊ, ΠΌΡ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡΡΡ ΠΎΡΡΠΎΡΠΎΠΆΠ½ΡΠΌ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΏΠΎΠΏΠ°Π΄Π΅ΠΌ Π² ΡΡΠ΅ΡΠΈΠΉ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉ. Π ΡΠ΅Ρ ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ , ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ ΠΏΠΎΠΏΠ°Π΄Π°Π΅ΠΌ Π² ΡΡΠΎΡ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉ, Π½Π°ΠΌ ΠΏΡΠΈΠ΄Π΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΈΠ±Π΅Π³Π½ΡΡΡ ΠΊ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠΌ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Π°ΠΌ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠΈΠΊΠ°ΡΠΈΠΈ ΠΊΡΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ. ΠΠ±ΡΡΠ½ΠΎ ΡΡΠΎ Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΡΡΡ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΡΠ΅ΡΡΠ° ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ.
ΠΠ°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ Π²Π΅ΡΠ½Π΅ΠΌΡΡ Π½Π°Π·Π°Π΄ ΠΈ ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ Π½Π° ΠΊΡΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΈΠ· ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ° ΠΈ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ ΠΊ Π½ΠΈΠΌ ΡΠ΅ΡΡ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΡΠΎ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ.
93} – 30Ρ \]Π’ΡΠΈ ΠΊΡΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ (\(x = – 1\), \(x = 0\) ΠΈ \(x = 1\)) ΡΡΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΠΊΡΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ ΡΠΎΡΠΊΠ°ΠΌΠΈ, Π³Π΄Π΅ ΠΏΠ΅ΡΠ²Π°Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΠ°Π²Π½Π° Π½ΡΠ»Ρ, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΌΡ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ Ρ Π½Π°Ρ, ΠΏΠΎ ΠΊΡΠ°ΠΉΠ½Π΅ΠΉ ΠΌΠ΅ΡΠ΅, Π΅ΡΡΡ ΡΠ°Π½Ρ, ΡΡΠΎ ΠΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠΉ Π’Π΅ΡΡ ΡΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°Π΅Ρ. ΠΠ½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π΄Π»Ρ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ
. \[h”\left( { – 1} \right) = – 30\hspace{0.5in}h”\left( 0 \right) = 0\hspace{0.5in}h”\left( 1 \ ΡΠΏΡΠ°Π²Π°) = 30\]
ΠΡΠΎΡΠ°Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ \(x = – 1\) ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°, ΡΠ°ΠΊ ΡΡΠΎ ΡΠΎΠ³Π»Π°ΡΠ½ΠΎ ΡΠ΅ΡΡΡ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ° ΠΊΡΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ Π²ΠΈΠ΄Π΅Π»ΠΈ Π² ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΌ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ΅. ΠΡΠΎΡΠ°Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ \(x = 1\) ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΌΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ Π·Π΄Π΅ΡΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌ ΠΏΠΎ ΡΠ΅ΡΡΡ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π΅Π»ΠΈ Π² ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΌ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ΅.
Π ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ \(x = 0\) Π²ΡΠΎΡΠ°Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΠ°Π²Π½Π° Π½ΡΠ»Ρ, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΌΡ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΈΠΉ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π΄Π»Ρ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠΈΠΊΠ°ΡΠΈΠΈ ΡΡΠΎΠΉ ΠΊΡΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ. ΠΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ, ΡΡΠΎ ΠΌΡ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ ΠΈΠ· ΡΠ΅ΡΡΠ° ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΠΌΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π»ΠΈ Π² ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΌ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ΅, ΡΡΠΎ 9{\ Π³ΠΈΠ΄ΡΠΎΡΠ°Π·ΡΡΠ²Π° {4} {3}}}}} \]
ΠΡΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ,
\[t = \frac{{18}}{5} = 3,6\hspace{0,5 Π΄ΡΠΉΠΌΠ°}t = 6\]
Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ ΠΌΡ Π½Π΅ ΡΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΈΠΉ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π΄Π»Ρ \(t = 6\) Π΄Π»Ρ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠΈΠΊΠ°ΡΠΈΠΈ ΡΡΠΎΠΉ ΠΊΡΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ Π² ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π½Π΅ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ. Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠΈΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΡΠΎ, Π½Π°ΠΌ ΠΏΠΎΠ½Π°Π΄ΠΎΠ±ΠΈΡΡΡ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΡ ΠΎ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π½ΠΈΠΈ/ΡΠ±ΡΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°Π±ΡΠΎΡΠ°ΡΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ.
ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΠ΅ΡΡ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠΈΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ Π΄ΡΡΠ³ΡΡ ΠΊΡΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΡΡ ΡΠΎΡΠΊΡ, ΡΠ°ΠΊ ΡΡΠΎ Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ ΡΡΠΎ, ΠΏΡΠ΅ΠΆΠ΄Π΅ ΡΠ΅ΠΌ ΠΌΡ ΠΏΡΠΈΡΡΡΠΏΠΈΠΌ ΠΊ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ΅ Π½Π°Π΄ ΡΡΠΊΠΈΠ·ΠΎΠΌ. ΠΠΎΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΈ \(t = 3,6\).
\[f”\Π²Π»Π΅Π²ΠΎ( {3,6} \Π²ΠΏΡΠ°Π²ΠΎ) = – 1,245 < 0\]
ΠΡΠ°ΠΊ, ΡΠΎΠ³Π»Π°ΡΠ½ΠΎ ΡΠ΅ΡΡΡ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ \(t = 3,6\) ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌΠΎΠΌ.
Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠΈΠΌ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ Π½Π°Π±ΡΠΎΡΠΎΠΊ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ° ΠΈ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠΈΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Ρ Π½Π°Ρ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΡ ΠΎ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π½ΠΈΠΈ/ΡΠ±ΡΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ, ΠΌΡ ΡΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠΈΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ \(t = 6\).
ΠΠΎΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΡΠ΄ Π΄Π»Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ.
Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΡΠΎΠ³Π»Π°ΡΠ½ΠΎ ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠ±Π΅Π΄ΠΈΡΡΡΡ, ΡΡΠΎ \(t = 3,6\) Π½Π° ΡΠ°ΠΌΠΎΠΌ Π΄Π΅Π»Π΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌΠΎΠΌ. ΠΡ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅ΡΡ, ΡΡΠΎ \(t = 6\) ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠΎΠΌ.
ΠΡΠ΄ΡΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½Ρ ΠΈ Π½Π΅ Π΄ΡΠΌΠ°ΠΉΡΠ΅, ΡΡΠΎ ΠΊΡΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ°, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π½Π΅Π»ΡΠ·Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ Π² ΡΠ΅ΡΡΠ΅ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, Π½Π΅ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΠΎΠΌ. Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΠΌΡ ΡΡΠ½ΠΎ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π° ΡΡΠΎΠΌ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ΅, ΡΠ°ΠΊ ΠΈ Π² ΠΎΠ±ΡΡΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ Ρ Π½Π°Ρ Π΅ΡΡΡ ΡΠ΅ΡΡ, ΡΡΠΎ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ, ΡΡΠΎ ΠΌΡ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΠ΅ΡΡ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ΅ΡΡ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π½ΠΈΡΠ΅Π³ΠΎ Π½Π΅ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΠΈΡ Π½Π°ΠΌ ΠΎ ΠΊΡΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅, Π½Π΅ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ ΡΡΠΎ ΠΊΡΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ° Π½Π΅ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΠΎΠΌ.