Как решать дифференциальное уравнение: Найти решение дифференциального уравнения 1 и 2 порядка: общее и частное, примеры

Определить тип и решить дифференциальное уравнения.

Пример 1:

Определить тип дифференциального уравнения и найти его решение:

Решение от преподавателя:

Пример 2:

Определить тип дифференциального уравнения первого порядка и найти его общее решение:

Решение от преподавателя:

Пример 3:

Определить тип дифференциального уравнения и найти его решение:

Решение от преподавателя:

Пример 4:

Дано дифференциальное уравнение 1-го порядка. Определить тип дифференциального уравнения и найти его общее решение.

Решение от преподавателя:

Это однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка, так как множители при dx и dy – одинаковой 2-й степени. Сделаем замену переменных

Пример 5:

Определить тип дифференциального уравнения и найти его решение:

Решение от преподавателя:

Пример 6:

Определить тип дифференциального уравнения первого порядка и найти его общее решение:

y” + 4y’  = 2sin 5x .

Решение от преподавателя:

Решение уравнения будем искать в виде y = e^rx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: 
r² +4 r + 0 = 0 
D=4² – 4*1*0=16 


Корни характеристического уравнения: 
r₁ = 0 
r₂ = -4 
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции: 
y₁ = e^0x 
y₂ = e^-4x 
Общее решение однородного уравнения имеет вид: 

Рассмотрим правую часть: 
f(x) = 2*sin(5*x) 
Поиск частного решения. 
Здесь P(x) = 0, Q(x) = 2, α = 0, β = 5. 
Следовательно, число α + βi = 5i не является корнем характеристического уравнения. 
Уравнение имеет частное решение вида: 
y = Acos(5x) + Bsin(5x) 
Вычисляем производные: 
y’ = -5Asin(5x)+5Bcos(5x) 
y” = -25(Acos(5x)+Bsin(5x)) 
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение: 
y” + 4y’ = (-25(Acos(5x)+Bsin(5x))) + 4(-5Asin(5x)+5Bcos(5x)) = 2sin(5x) 
или 
-20Asin(5x)-25Acos(5x)-25Bsin(5x)+20Bcos(5x) = 2sin(5x) 
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений: 
1: -20A -25B = 2 
1: -25A + 20B = 0 
Решая ее, находим: 
A = ^-8/₂₀₅;B = ^-2/₄₁; 
Частное решение имеет вид: 
y=-⁸/₂₀₅cos(5x) –²/₄₁sin(5x) 
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид: 

Пример 7:

Определить тип дифференциального уравнения и найти его решение:

Решение от преподавателя:

Пример 8:

Определить тип и решить дифференциальное уравнения:

Решение от преподавателя:

Пример 9:

Определить тип дифференциального уравнения и найти его решение:

Решение от преподавателя:

Пример 10:

Дано дифференциальное уравнение 2-го порядка и начальные условия. Определить тип дифференциального уравнения инайти его частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Решение от преподавателя:

Это дифференциальное уравнение 2-го порядка, допускающее понижение порядка, так как в него не входит искомая функция у. Порядок уравнения понижаем, взяв за новую неизвестную функцию первую производную, т.е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда

частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Пример 11:

Определить тип дифференциального уравнения и найти его решение:

Решение от преподавателя:

Пример 12:

Определить тип и решить дифференциальное уравнения:

Решение от преподавателя:

Пример 13:

Определить тип дифференциального уравнения и найти его решение:

Решение от преподавателя:

Это неоднородное уравнение. Сделаем замену переменных:

y=u*v, y’ = u’v + uv’.
u*v/x+u*v’+u’v = ln(x)
или
u(v/x+v’) + u’v= ln(x)
Выберем переменную v так, чтобы выполнялись условия:
1. u(v/x+v’) = 0
2. u’v = ln(x)
1. Приравниваем u=0, находим решение для:
v/x+v’ = 0
Представим в виде:
v’ = -v/x
Преобразуем уравнение так, чтобы получить уравнение с разделяющимися переменными:

Интегрируя, получаем:

ln(v) = -ln(x)
v = 1/x
2. Зная v, Находим u из условия: u’*v = ln(x)
u’/x = ln(x)
u’ = x*ln(x)
Интегрируя, получаем:

Из условия y=u*v, получаем:
y = u*v = 1/x(C+x²/2ln(x)-x²/4)
или
y = C/x+x/2ln(x)-x/4

Пример 14:

Дано дифференциальное уравнение 2-го порядка. Определить тип дифференциального уравнения и найти его общее решение, используя метод вариации произвольных постоянных.

Решение от преподавателя:

Составим  и решим характеристическое уравнение для однородного уравнения:

Пример 15:

Определить тип дифференциального уравнения и найти его решение:

Решение от преподавателя:

Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде y = e^rx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r² +0 r + 0 = 0
D=0² – 4*1*0=0


Корни характеристического уравнения:
Корень характеристического уравнения r₁ = 0 кратности 2.
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
y₁ = e^0x
y₂ = xe^0x
Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Поиск частного решения методом вариации произвольной постоянной.
Для нахождения производных C’_i составляем систему уравнений:
C’₁ + C’₂ x = 0
C’₁(0) + C’₂(1) = x*sin(x)
Выразим C’₁ из первого уравнения:
C’₁ = -c₂x
и подставим во второе. В итоге получаем:
C’₁ = -x²sin(x)
C’₂ = x*sin(x)
Интегрируем полученные функции C’_i:
C₁ = x²cos(x)-2x*sin(x)-2cos(x) + C₁
C₂ = -x*cos(x)+sin(x) + C₂
Записываем полученные выражения в виде:
C₁ = x²cos(x)-2x*sin(x)-2cos(x) + C₁1
C₂ = x(-x*cos(x)+sin(x)) + C₂x
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
y = C₁ + C₂ = C₁ + C₂ x -x*sin(x)-2cos(x)
Найдем частное решение при условии: y(0) = 1, y'(0) = 1
Поскольку y(0) = c₁-2, то получаем первое уравнение:
c₁-2 = 1
Находим первую производную:
y’ = c₂-x*cos(x)+sin(x)
Поскольку y'(0) = c₂, то получаем второе уравнение:
c₂ = 1
В итоге получаем систему из двух уравнений:
c₁-2 = 1
c₂ = 1
т. е.:
c₁ = 3, c₂ = 1
Тогда частное решение при заданных начальных условиях можно записать в виде:

Пример 16:

Определить тип и решить дифференциальное уравнения:

Решение от преподавателя:

Пример 17:

Определить тип дифференциального уравнения и найти его решение:

Решение от преподавателя:

Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде y = e^rx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r² +0 r + 1 = 0
D=0² – 4*1*1=-4


Корни характеристического уравнения:
(комплексные корни):
r₁ = i
r₂ = – i
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:


Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Поиск частного решения методом вариации произвольной постоянной.
Для нахождения производных C’_i составляем систему уравнений:
C’₁cos(x) + C’₂sin(x) = 0
C’₁(-sin(x)) + C’₂(cos(x)) = (x+2)*e^-x
Выразим C’₁ из первого уравнения:
C’₁ = -c₂tg(x)
и подставим во второе. В итоге получаем:
C’₁ = -(x+2)*e^-xsin(x)
C’₂ = (x+2)*e^-xcos(x)
Интегрируем полученные функции C’_i:


Записываем полученные выражения в виде:
или


Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Пример 18:

Дано дифференциальное уравнение 2-го порядка. Определить тип дифференциального уравнения и найти его общее решение, используя метод неопределенных коэффициентов.

Решение от преподавателя:

Пример 19:

Определить тип дифференциального уравнения и найти его решение:

Решение от преподавателя:

Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде y = e^rx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r² -4 r + 4 = 0
D=(-4)² – 4*1*4=0


Корни характеристического уравнения:
Корень характеристического уравнения r₁ = 2 кратности 2.
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
y₁ = e^2x
y₂ = xe^2x
Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Поиск частного решения методом вариации произвольной постоянной.
Для нахождения производных C’_i составляем систему уравнений:

C’₁(2e^2x) + C’₂(2x*e^2x+e^2x) = cos(x)+10sin(x)
Выразим C’₁ из первого уравнения:
C’₁ = -c₂x
и подставим во второе. В итоге получаем:
C’₁ = -x(10sin(x)+cos(x))*e^-2x
C’₂ = (10sin(x)+cos(x))*e^-2x
Интегрируем полученные функции C’_i:
 = 

Записываем полученные выражения в виде:
 = 

или


Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Найдем частное решение при условии: y(0) = 0, y'(0) = 2
Поскольку y(0) = c₁+43/25, то получаем первое уравнение:
c₁+43/25 = 0
Находим первую производную:
y’ = 2c₁e^2x+2c₂x*e^2x+c₂e^2x-43/25sin(x)+26/25cos(x)
Поскольку y'(0) = 2*c₁+c₂+26/25, то получаем второе уравнение:
2c₁+c₂+26/25 = 2
В итоге получаем систему из двух уравнений:
c₁+43/25 = 0
2c₁+c₂+26/25 = 2
т. е.:
c₁ = -43/25, c₂ = 22/5
Тогда частное решение при заданных начальных условиях можно записать в виде:

Пример 20:

Установить тип ДУ, найти его общее и частное решения.

Решение от преподавателя:

Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением (ЛДУ) первого порядка, так как его можно записать в виде y‘=p(x)y = q(x), где p(x) = , q(x)= .

Сделаем замену переменных: y=u*v, y’ = u’v + uv’.
-u*v*ctg(x)+u*v’+u’v = 2x*sin(x)
или
u(-v*ctg(x)+v’) + u’v= 2x*sin(x)
Выберем переменную v так, чтобы выполнялись условия:
1. u(-v*ctg(x)+v’) = 0
2. u’v = 2x*sin(x)
1. Приравниваем u=0, находим решение для:
-v*ctg(x)+v’ = 0
Представим в виде:
v’ = v*ctg(x)
Преобразуем уравнение так, чтобы получить уравнение с разделяющимися переменными:

Интегрируя, получаем:

ln(v) = ln(sin(x))
v = sin(x)
2. Зная v, Находим u из условия: u’*v = 2*x*sin(x)
u’sin(x) = 2x*sin(x)
u’ = 2x
Интегрируя, получаем:

Из условия y=u*v, получаем:
y = u*v = (C+x²)*sin(x)
или
y = C*sin(x)+x²sin(x)
Найдем частное решение при условии: y(π/2)=0
y(π/2)= C*sin(π /2)+ π /2²sin(π /2) = 0
Откуда:
c₁ = -π/4
Таким образом, частное решение имеет вид:
y(π/2)= -π/4sin(x)+x²sin(x)

Ответ:

Пример 21:

Установить тип ДУ первого порядка и найти его общее решение.

Решение от преподавателя:

Пример 22:

Установить тип ДУ первого порядка и найти его общее решение.

Решение от преподавателя:

как решить однородное дифференциальное уравнение

Чтобы решить  однородное  дифференциальное уравнение 1-го порядка, используют подстановку u=y/x, то есть u — новая неизвестная функция, зависящая от икса. Отсюда y=ux. Производную y’ находим с помощью правила дифференцирования произведения:y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u (так как x’=1). Для другой формы записи: dy=udx+xdu.После подстановки уравнение упрощаем и приходим к уравнению с разделяющимися переменными.

Примеры решения однородных дифференциальных уравнений 1-го порядка.

1) Решить уравнение 

   

Решение:

Проверяем, что это уравнение является однородным (см. Как определить однородное уравнение). Убедившись, делаем замену u=y/x, откуда y=ux, y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u. Подставляем: u’x+u=u(1+ln(ux)-lnx). Так как логарифм произведения равен сумме логарифмов, ln(ux)=lnu+lnx. Отсюда

u’x+u=u(1+lnu+lnx-lnx). После приведения подобных слагаемых: u’x+u=u(1+lnu). Теперь раскрываем скобки

u’x+u=u+u·lnu. В обеих частях стоит u, отсюда u’x=u·lnu. Поскольку u — функция от икса, u’=du/dx. Подставляем,

   

Получили уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные, для чего обе части умножаем на dx и делим на x·u·lnu, при условии, что произведение x·u·lnu≠0

   

Интегрируем:

   

В левой части — табличный интеграл. В правой — делаем замену t=lnu, откуда dt=(lnu)’du=du/u

   

ln│t│=ln│x│+C. Но мы уже обсуждали, что в таких уравнениях вместо С удобнее взять ln│C│. Тогда

ln│t│=ln│x│+ln│C│. По свойству логарифмов: ln│t│=ln│Сx│. Отсюда t=Cx. ( по условию, x>0). Пора делать обратную замену: lnu=Cx. И еще одна обратная замена:

   

По свойству логарифмов:

   

Это — общий интеграл уравнения.

Вспоминаем условие произведение x·u·lnu≠0 (а значит, x≠0,u≠0, lnu≠0, откуда u≠1). Но x≠0 из условия, остается u≠1, откуда x≠y. Очевидно, что  y=x ( x>0) входят в общее решение.

Ответ:

   

2) Найти частный интеграл уравнения y’=x/y+y/x, удовлетворяющий начальным условиям y(1)=2.

Решение:

Сначала проверяем, что это уравнение является однородным (хотя наличие слагаемых y/x и x/y уже косвенно указывает на это). Затем делаем замену u=y/x, откуда y=ux, y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u. Подставляем полученные выражения в уравнение:

u’x+u=1/u+u. Упрощаем:

u’x=1/u. Так как u — функция от икса, u’=du/dx:

   

Получили уравнение с разделяющимися переменными. Чтобы разделить переменные, умножаем обе части на dx и u и делим на x (x≠0 по условию, отсюда u≠0 тоже, значит, потери решений при этом не происходит).

   

Интегрируем:

   

и поскольку в обеих частях стоят табличные интегралы, сразу же получаем

   

Выполняем обратную замену:

   

Это — общий интеграл уравнения. Используем начальное условие y(1)=2, то есть подставляем в полученное решение y=2, x=1:

   

Ответ:

   

3) Найти общий интеграл однородного уравнения:

(x²-y²)dy-2xydx=0.

Решение:

Замена u=y/x, откуда y=ux, dy=xdu+udx. Подставляем:

(x²-(ux)²)(xdu+udx)-2ux²dx=0. Выносим x² за скобки и делим на него обе части (при условии x≠0):

x²(1-u²)(xdu+udx)-2ux²dx=0

(1-u²)(xdu+udx)-2udx=0. Раскрываем скобки и упрощаем:

xdu-u²xdu+udx-u³dx-2udx=0,

xdu-u²xdu-u³dx-udx=0.

Группируем слагаемые с du и dx:

(x-u²x)du-(u³+u)dx=0. Выносим общие множители за скобки:

x(1-u²)du-u(u²+1)dx=0. Разделяем переменные:

x(1-u²)du=u(u²+1)dx. Для этого обе части уравнения делим на xu(u²+1)≠0 (соответственно, добавляем требования x≠0 (уже отметили), u≠0):

   

Интегрируем:

   

В правой части уравнения — табличный интеграл, рациональную дробь в левой части раскладываем на простые множители:

   

   

   

(или во втором интеграле можно было вместо подведения под знак дифференциала сделать замену t=1+u², dt=2udu — кому какой способ больше нравится). Получаем:

   

   

По свойствам логарифмов:

   

Обратная замена

   

Вспоминаем условие u≠0. Отсюда y≠0. При С=0 y=0, значит, потери решений не происходит, и y=0 входит в общий интеграл.

Ответ:

   

Замечание

Можно получить запись решения в другом виде, если слева оставить слагаемое с x:

   

   

   

Геометрический смысл интегральной кривой в этом случае — семейство окружностей с центрами на оси Oy и проходящих через начало координат.

Задания для самопроверки:

1) (x²+y²)dx-xydy=0

2)

   

Показать решение

 

 

 

Искусство решения проблем

Дифференциальное уравнение — это функциональное уравнение, включающее функции и их производные.

порядок дифференциального уравнения является наибольшим порядком любой производной, которая появляется в уравнении.

Дифференциальные уравнения часто представляются вместе с начальным условием; то есть заданное значение функции или зависимой переменной при некотором значении ее независимой переменной.

Содержание

• 1 Пример
• 2 решения
  • 2.1 Рабочий пример
• 3 приближения
• 4 Постоянные выражения

Примеры

имеет решения для всех вещественных констант. При начальном условии становится единственным решением.

имеет решения для всех вещественных констант и . Решения с ; те с есть . Начальное условие дает косинусные решения; дает решения синусов.

Решения

Разделение переменных — удобный прием для решения некоторых типов дифференциальных уравнений. По сути, метод включает в себя переписывание уравнения таким образом, чтобы каждая его часть представляла собой выражение только с одной переменной, а затем взятие первообразной обеих частей.

При решении дифференциальных уравнений лучше всего обозначать функции, используя одно имя переменной, вместо того, чтобы указывать функцию и ее аргументы, например, используя вместо . Здесь мы также используем обозначение Лейбница для производной, потому что оно позволяет манипулировать и индивидуально.

Рабочий пример

Чтобы решить дифференциальное уравнение, мы переместим все члены, содержащие и, вправо и все члены, содержащие и, влево, таким образом получив и теперь являющиеся множителями на противоположных сторонах, поэтому мы можем антидифференцировать обе части: Правый интеграл просто для некоторой постоянной .

Используя частичные дроби, основные правила интегрирования и тождества функций логарифма и абсолютного значения, левая часть снова становится для некоторой константы .

Константы интегрирования и могут быть объединены в одну константу (обычно это происходит при разделении переменных), поэтому пишем

Когда находится в диапазоне , алгебраическая обработка приводит к решению При любых начальных условиях мы можем найти значение константы .

Аппроксимации

Метод Эйлера использует повторяющиеся аппроксимации касательной для аппроксимации значения решения дифференциального уравнения первого порядка при заданном начальном условии .

Если , метод Эйлера работает путем деления на меньшие интервалы , иногда называемые шагами . Начиная с , для каждого шага значение (в конце шага) аппроксимируется касательной о (начало шага, где известно и может быть вычислено в терминах и с использованием данного дифференциального уравнения), пока не будет достигнуто.

Формула для аппроксимации касательной:

Величина называется размером шага . Метод Эйлера можно использовать, просто используя отрицательные размеры шага.

Постоянные выражения

Определенные выражения, включающие решения дифференциальных уравнений, можно доказать постоянными, заметив, что их производные всегда равны . Затем эти постоянные выражения можно использовать для доказательства свойств решений.

Например, когда , Использование позволяет реконструировать знакомую идентичность для всех реальных . 9.

Эта статья незавершенная. Помогите нам, расширив его.

Как решать дифференциальные уравнения?

Уравнения, содержащие независимую переменную, а также зависимую переменную и производную зависимой переменной по независимой переменной, называются дифференциальными уравнениями. Те дифференциальные уравнения, которые содержат одну независимую переменную, называются обыкновенными дифференциальными уравнениями, а те, которые имеют более одной независимой переменной и их частные производные, называются уравнениями в частных производных.

В этом уравнении X — независимая переменная, а Y — зависимая переменная от x, где производная от зависимой единицы с независимой переменной X.

Формы дифференциальных уравнений

Решение дифференциальных уравнений

Существуют различные способы решения дифференциальных уравнений. Это методы разделения переменных, однородные дифференциальные уравнения, линейные дифференциальные уравнения и т. д. Давайте подробно изучим каждый из методов,

Методом разделения переменных

Если в уравнении можно получить все одинаковые функции с одной стороны, средние функции x и dx с одной стороны, одинаковые для y и dy с другой стороны, то мы можем сказать разделение переменной.

• Тип 1

Пусть = f(x)

Теперь разделим все функции x и dx на одной стороне,

dy = f(x)dx

Теперь интегрируем обе стороны, ∫dy = ∫f(x)dx

y = ∫f(x)

Это искомое решение, где c — произвольная константа.

• Тип 2

Отдельные одинаковые функции с одной стороны,

Где с – произвольная константа.

Однородными дифференциальными уравнениями

Дифференциальное уравнение относительно x и y называется однородным уравнением, если его можно представить в виде, где f _{1 ​​} (x, y) и f ₂ (x, y) имеют одинаковую степень по x и y. Следовательно, обе функции однородны по степеням x и y.

Для решения дифференциальных уравнений

1. Положим y = vx.
2. Затем 
3. Разделите переменные v и x и проинтегрируйте.
4. Замените v на y = vx.

Требуемый раствор получен.

По линейным дифференциальным уравнениям

Дифференциальное уравнение называется линейным, если зависимая переменная и ее дифференциальные коэффициенты встречаются только в первой степени и не перемножаются.

, где P и Q — константы или функции только от x, называется дифференциальным уравнением первого порядка. Точно так же , где P и Q являются константами или функциями только от y, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Рабочее правило 

Пусть линейное дифференциальное уравнение  + Py = Q

1. Определите P и Q из заданных уравнений
2. Найдите интегрирующий коэффициент (IF), т.е. ) =∫ Q(IF)dx + c

• Частный случай: уравнение Бернулли

Уравнение вида  где P и Q являются функциями только от x, а n ≠ 0, 1, известно как дифференциальное уравнение Бернулли. Уравнение легко привести к линейной форме, как показано ниже, путем деления обеих частей на y _n ,

y – n + Py ^{1 – n} = Q

пусть y ^{1 – n} = z

5

5

5 z = (1 – n)y ^-n

Данное уравнение становится + (1 – n)Q

Какие линейные уравнения в z.

Здесь If = e∫ ^(1-n)P dx

Требуемое решение:

Примеры задач

Задача 1. Решить дифференциальное уравнение  

Решение:    

⇢ (1)

Какое дифференциальное уравнение является степенью 1 от x – y как функция

Положим y = vx ⇢ (2)

Дифференцируем уравнение (2), получаем

 ⇢ (3)

Из уравнения. (3) к ур. (1), мы имеем

После дальнейшей классификации мы получаем

Задача 2: Решение

Решение:

⇢ (1)

После дифференциации, мы можем написать выше уравнения. as,

Приведенные выше уравнения являются однородными. Положив y = vx

x dv/dx = v – tanv cos ² v – v

Разделение переменных

Интегрирование обеих сторон log tanv = -logx + logc

xtanv = C

Из y = vx получаем

xtany/x = C

900 Решить задачу: дифференциальное уравнение   +y = sinx

Решение:

+ y = sinx (Дано)

Сравнивая его с + Py = Q, получаем: p = 1 и Q = sinx

IF =∫ e ^(pdx) = e ^x

Как мы знаем, y(IF) = ∫Q(IF)dx + c

Ye ^x = ∫ sinx e ^x

после интеграции мы получаем

Ye ^x =

y = 1/2 (sinx-cosx) + c

Задача 4: Сол.