Как решать функции f x: Построение графика функции у = f(x + l) — урок. Алгебра, 8 класс. - Санкт-Петербургское государственное бюджетное учреждение социального обслуживания населения

Содержание

График функции y=f(x)+b | Алгебра

График функции y=f(x)+b (b>0) можно получить из графика функции y=f(x) с помощью параллельного переноса (сдвига) вдоль оси Oy на b единиц вверх.

При таком преобразовании каждая точка (x; y) графика функции y=f(x) переходит в точку (x; y+b) графика функции y=f(x)+b (то есть абсцисса (координата x) каждой точки остается без изменения, а ордината (координата y ) увеличивается на b.

Один из вариантов преобразования — осуществить параллельный перенос начала отсчёта, точки O(0;0), в точку O1(0;b) и построить график y=f(x) с началом отсчёта от точки O1.

Примеры.

1) График функции y=x²+3 может быть получен из графика функции y=x² с помощью параллельного переноса вдоль оси Oy на 3 единицы вверх.

Строим параболу y=x². Затем переносим каждую из основных точек на 3 единицы вверх.

y=x²+3 из y=x²

Можно перенести только вершину параболы, точку (0; 0), на 3 единицы вверх, в точку (0; 3), и от новой вершины строить параболу y=x² (1 единица вправо, 1 — вверх; 1 единица влево, 1 — вверх; 2 единицы вправо, 2 — вверх и т.

д.). (Фактически, в этом случае осуществляется параллельный перенос начала отсчёта из точки O(0; 0) в точку O1(0; 3), и строится график y=x² с новым началом отсчёта от точки O1).

1) График функции y=x³+2 может быть получен из графика функции y=x³ с помощью параллельного переноса вдоль оси Oy на 2 единицы вверх.

Можно обойтись без построения начального графика y=x³, достаточно обозначить его основные точки, и выполнить параллельный перенос каждой из них на 2 единицы вверх.

y=x³+2 из y=x³

3) График функции y=√x+4 может быть получен из графика функции y=√x параллельным переносом на 4 единицы вверх вдоль оси Oy.

Строим график функции y=√x по основным точкам. Затем переносим каждую из этих точек вверх на 4 единицы.

Через полученные точки проводим ветвь параболы:

В следующих раз рассмотрим рассмотрим построение графиков вида y=f(x)-b.

Преобразование графиков позволяет на основе графиков элементарных функций получать графики сложных функций. Умение преобразовывать графики в алгебре пригодится не только при изучении функций, но и при решении уравнений и неравенств, в частности, при решении заданий с параметрами.

Урок 48. функции. свойства функций и их графики. исследование функций – Алгебра и начала математического анализа – 11 класс

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №48. Функции. Свойства функций и их графики. Исследование функций.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

функция, аргумент функции, значение функции
график функции, преобразование графика функции
свойства функции, исследование свойств функции

Глоссарий по теме урока

Определение

Зависимость переменной у от переменной х называется функцией, если каждому значению х соответствует единственное значение у.

х – независимая переменная, аргумент,

у – зависимая переменная, значение функции

Определение

Множество значений аргумента функции называется областью определения функции и обозначается D(y).

Определение

Множество значений, которые принимает сама функция, называется множеством значений функции и обозначается Е(у).

Определение

Функция у = f(х) называется четной, если она обладает двумя свойствами:

область определения этой функции симметрична относительно 0;
для любого х из области определения выполняется равенство f(-х)=f(х).

Функция у = f(х) называется нечетной, если она обладает двумя свойствами:

область определения этой функции симметрична относительно 0;

для любого х из области определения выполняется равенство f(-х)=-f(х).

Определение

Значения аргумента, при которых значение функции равно 0, называются корнями (нулями) функции.

Определение

Функция у=f(x) возрастает на промежутке (а; в), если для любых х₁, х₂ из этого промежутка, таких, что х₁<х_2, выполняется неравенство у₁<у₂.

Функция у=f(x) убывает на промежутке (а; в), если для любых х

1, х₂ из этого промежутка, таких что, х₁<х_2, выполняется неравенство у₁>у₂.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл.– М.: Просвещение, 2015. С. 98-118, 271-307.

Дополнительная литература:

Шахмейстер А.Х. Построение и преобразование графиков. Параметры. Ч.2-3. СПб.: Петроглиф; М.: МЦНМО, 2016. 392 с. С.73-307.

Открытые электронные ресурсы:

Образовательный портал “Решу ЕГЭ”.

https://mathb-ege.sdamgia.ru/test?theme=177

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/.

Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ, Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей, базовый уровень. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Базовый уровень. http://ege.fipi.ru/.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1. Исследование функции и построение графика

Схема исследования функции на примере функции

1) Область определения функции

Знаменатель дроби не равен нулю:

Получили область определения

D(y)=

Множество значений функции

Отыскание Е(у) можно свести к решению уравнения с параметром у. Все значения параметра у, при которых уравнение имеет хотя бы одно решение, и составят Е (у).

Получили

Четность / нечетность функции

D(y)= – симметрична относительно нуля

следовательно, функция четная и ее график симметричен относительно оси ОУ

Нули функции

Для нахождения нулей функции необходимо решить уравнение

Уравнение не имеет действительных корней, значит, нулей у данной функции нет, ее график не пересекает ось ОХ

Промежутки знакопостоянства

у>0 при

у<0 при

Монотонность

Найдем производную

Найдем точки, в которых производная равна нулю или не существует: х=0, х=-1, х=1.

Определим знаки производной в полученных промежутках.

точки -1, 1 – выколоты, 0 – закрашена

Производная положительна, а значит, функция возрастает при .

Производная отрицательна, а значит, функция убывает при

Экстремум

х=0 – стационарная точка.

В ней производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, х=0 – точка максимума.

Значение функции в точке максимума

Дополнительные точки

у(0,5)= у(-0,5)=-5/3; у(2)=у(-2)=5/3; у(3)= у(-3)=5/4

Отразим найденные свойства графически, построим график функции

2. Решение задачи на оптимизацию

Задачи на отыскание наибольших или наименьших значений величин решаются по определенному плану.

В решении таких задач выделяют 3 основных этапа:

1 этап. «Перевод» задачи на язык функций:

вводят независимую переменную х
выявляют оптимизируемую величину у, для которой надо найти наибольшее или наименьшее значение
выражают у через х и другие известные величины
устанавливают по условию задачи границы изменения переменной х

2 этап.

Исследуют составленную функцию на наибольшее или наименьшее значение (в зависимости от условия задачи) с помощью производной или элементарными средствами.

3 этап. Интерпретация найденного решения для поставленной задачи – «перевод» полученного математического результата на язык задачи.

Рассмотрим план решения на примере задачи.

Задача. В распоряжении начальника имеется бригада рабочих в составе 24 человек. Их нужно распределить на день на два объекта. Если на первом объекте работает t человек, то их суточная зарплата составляет 4t² у.е. Если на втором объекте работает t человек, то их суточная зарплата составляет t² у.е. Как нужно распределить на эти объекты бригаду рабочих, чтобы выплаты на их суточную зарплату оказались наименьшими? Сколько у.е. в этом случае придется заплатить рабочим?

Решение:

1 этап. Ведем переменную, выразим нужные компоненты, составим искомую функцию.

Пусть на 1 объект направлено х рабочих, суточная зарплата которых составит 4x² у. е.

Тогда на 2 объект направлено (24 – x) рабочих – суточная заработная плата (24 – x)² (у.е.)

Всем рабочим нужно заплатить 4x²+(24 – x)² = 5x²-48x+576 (у.е.)

Причем 0≤ x ≤ 24, x ϵ N.

2 этап.

Рассмотрим функцию f(x)=5x²-48x+576.

Функция квадратичная, старший коэффициент положителен, следовательно, наименьшее значение в вершине при x₀ = 4,8 .

3 этап. Перевод на язык задачи

Поскольку x ϵ N, подходящим будет ближайшее к вершине натуральное значение, x=5 (рабочих) – на 1 объекте.

24-5=19 (рабочих) – на 2 объекте.

Наименьшее значение f(5)=125+240-576=461 (у.е.) – наименьшая суточная выплата.

Примечание: исследовать функцию также можно было с помощью производной.

Ответ: 5 рабочих на 1 объекте, 19 – на втором, 461 у.е. – наименьшая суточная выплата.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

1. Исследуйте функции на четность.

Функции

у=0

у=sin(x+5π/2)

у=lg(x+10)

Решение:

у=0

область определения – множество действительных чисел – симметрична относительно нуля

у(-х)=0, что можно интерпретировать и как у(х), и как –у(х). К тому же график этой функции – прямая, совпадающая с осью ОХ, – симметричен относительно оси ОУ и относительно начала координат.

Данная функция одновременно четна и нечетна.

у=sin(x+5π/2)

область определения – множество действительных чисел – симметрична относительно нуля

преобразуем функцию, применив формулы приведения: sin(x+5π/2)=cos x

у= cos x – четная функция, значит, исходная функция также четная

у=lg(x+10)

логарифмируемое выражение должно быть положительным

x+10>0; x>-10

D(y): x>-10

Область определения несимметрична относительно 0, значит, в проверке второго условия нет необходимости, – функция общего вида.

Найдем область определения D(f)

Проверим второе условие

Полученное в результате подстановки –х в функцию выражение, очевидно, не равно f(x), не дает пока понимания о выполнении условия нечетности.

Зайдем с другого конца, выразим -f(x):

домножим на сопряженное

Теперь можем сделать вывод: f(-x)=-f(x), функция нечётная.

Ответ:

Функции	Четность / нечетность
у=0	и четная, и нечетная
у=sin(x+5π/2)	четная
у=lg(x+10)	общего вида
	нечетная

Решение:

Используем функциональный подход при решении данной задачи. Представим каждое из уравнений как функции. Построим их графики. Единственное решение системы будем интерпретировать как единственную точку пересечения графиков функций первого и второго уравнений.

Второе уравнение проще, но содержит параметр. Перепишем его в явном виде для функции, выразив у: у=-х+а.

В таком виде понятно, что данное уравнение задает множество прямых, параллельных у=-х.

Первое уравнение содержит квадратные корни, что накладывает ограничения: х≥-4, у<7

Сгруппируем в скобках первое, третье и пятое слагаемые, второе и четвертое, получим:

Приравнивая каждый из множителей числителя к нулю, получаем прямые: у=4, у=х+3, х=-4, точнее, с учетом ограничений, части прямых.

Выполним построения выделенных функций.

Условию задачи удовлетворяют только такие прямые второго уравнения у=-х+а, которые пересекают графики первого уравнения только в одной точке.

Анализируя рисунок, получаем: а ≤ -5, а ≥11, а=5.

Ответ:

Как найти область определения функции

Начнём с краткого определения. Область определения функции y=f(x) – это множество значений X, для которых существуют значения Y.

Войдём в тему более основательно. Каждой точке графика функции соответствуют:

определённое значение “икса” – аргумента функции;
определённое значение “игрека” – самой функции.

Верны следующие факты.

От аргумента – “икса” – вычисляется “игрек” – значения функции.
Область определения функции – это множества всех значений “икса”, для которых существует, то есть может быть вычислен “игрек” – значение функции. Иначе говоря, множество значений аргумента, на котором “функция работает”.

Можно понимать область определения функции и как проекцию графика функции на ось Ox.

Что требуется, чтобы уверенно находить область определения функции? Во-первых, нужно различать виды функций (корень, дробь, синус и др.). Во-вторых, решать уравнения и неравенства с учетом вида функции (например, на что нельзя делить, какое выражение не может быть под знаком корня и тому подобное). Согласитесь, не так уж много и не так сложно. При изучении темы области определения функции поможет материал Свойства и графики элементарных функций. А поскольку областью определения функции служат различные множества, а также их объединения и пересечения, то пригодится и материал Множества и операции над множествами.

Итак, чтобы находить области определения распространённых функций, порешаем уравнения и неравенства с одной переменной.

После этого экскурса в важную составную матанализа многие согласятся, что найти область определения функции не очень сложно.

Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.

Приступаем к практике. На рисунке изображён график функции . Знаменатель дроби не может быть равен нулю, так как на нуль делить нельзя. Поэтому, приравнивая знаменатель нулю, получаем значение, не входящее в область определения функции: 1. То есть, область определения заданной функции – это все значения “икса” от минус бесконечности до единицы и от единицы до плюс бесконечности. Это хорошо видно на графике. Приведённый здесь пример функции относится к виду дробей. На уроке разберём решения всех распространённых видов функций.

Пример 0. Как найти область определения функции игрек равен квадратному корню из икса минус пять (подкоренное выражение икс минус пять) ()? Нужно всего лишь решить неравенство

x – 5 ≥ 0,

так как для того, чтобы мы получили действительное значение игрека, подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю. Получаем решение: область определения функции – все значения икса больше или равно пяти (или икс принадлежит промежутку от пяти включительно до плюс бесконечности).

На чертеже сверху – фрагмент числовой оси. На ней область опредения рассмотренной функции заштрихована, при этом в “плюсовом” направлении штриховка продолжается бесконечно вместе с самой осью.

Постоянная (константа) определена при любых действительных значениях x, следовательно, данная функция определена на всём множестве R действительных чисел. Это можно записать и так: областью определения данной функции является вся числовая прямая ]- ∞; + ∞[.

Пример 1. Найти область определения функции y = 2.

Решение. Область определения функции не указана, значит, в силу выше приведённого определения имеется в виду естественная область определения. Выражение f(x) = 2 определено при любых действительных значениях x, следовательно, данная функция определена на всём множестве R действительных чисел.

Поэтому на чертеже сверху числовая прямая заштрихована на всём протяжении от минус бесконечности до плюс бесконечности.

В случае, когда функция задана формулой и n – натуральное число:

Пример 2. Найти область определения функции .

Решение. Как следует из определения, корень чётной степени имеет смысл, если подкоренное выражение неотрицательно, то есть, если – 1 ≤ x ≤ 1. Следовательно, область определения данной функции – [- 1; 1].

Заштрихованная область числовой прямой на чертеже сверху – это область определения данной функции.

Область определения степенной функции с целым показателем степени

В случае, когда функция задана формулой :

если a – положительное, то областью определения функции является множество всех действительных чисел, то есть ]- ∞; + ∞[;

если a – отрицательное, то областью определения функции является множество ]- ∞; 0[ ∪ ]0 ;+ ∞[, то есть вся числовая прямая за исключением нуля.

На соответствующем чертеже сверху вся числовая прямая заштрихована, а точка, соответствующая нулю, выколота (она не входит в область определения функции).

Пример 3. Найти область определения функции .

Решение. Первое слагаемое целой степенью икса, равной 3, а степень икса во втором слагаемом можно представить в виде единицы – так же целого числа. Следовательно, область определения данной функции – вся числовая прямая, то есть ]- ∞; + ∞[.

Область определения степенной функции с дробным показателем степени

В случае, когда функция задана формулой :

если – положительное, то областью определения функции является множество [0; + ∞[;

если – отрицательное, то областью определения функции является множество ]0; + ∞[.

Пример 4. Найти область определения функции .

Решение. Оба слагаемых в выражении функции – степенные функции с положительными дробными показателями степеней. Следовательно, область определения данной функции – множество [0; + ∞[.

На чертеже сверху заштрихована часть числовой прямой от нуля (включительно) и больше, причём штриховка продолжается вместе с самой прямой до плюс бесконечности.

Пример 5. Найти область определения функции .

Решение. Дробный показатель степени данной степенной функции – отрицательный. Поэтому решим строгое неравенство, когда квадратный трёхчлен в скобках строго больше нуля::

Дикриминант получился отрицательный. Следовательно сопряжённое неравенству квадратное уравнение не имеет корней. А это значит, что квадратный трёхчлен ни при каких значениях “икса” не равен нулю. Таким образом, область определения данной функции – вся числовая ось, или, что то же самое – множество R действительных чисел, или, что то же самое – ]- ∞; + ∞[.

Область определения показательной функции

В случае, когда функция задана формулой , областью определения функции является вся числовая прямая, то есть ]- ∞; + ∞[.

Область определения логарифмической функции

Логарифмическая функция определена при условии, если её аргумент положителен, то есть, областью её определения является множество ]0; + ∞[.

Найти область определения функции самостоятельно, а затем посмотреть решение

Область определения функции y = cos(x) – так же множество R действительных чисел.

Область определения функции y = tg(x) – множество R действительных чисел, кроме чисел .

Область определения функции y = ctg(x) – множество R действительных чисел, кроме чисел .

Пример 8. Найти область определения функции .

Решение. Внешняя функция – десятичный логарифм и на область её определения распространяются условия области определения логарифмической функции вообще. То есть, её аргумент должен быть положительным. Аргумент здесь – синус “икса”. Поворачивая воображаемый циркуль по окружности, видим, что условие sin x > 0 нарушается при “иксе” равным нулю, “пи”, два, умноженном на “пи” и вообще равным произведению числа “пи” и любого чётного или нечётного целого числа.

Таким образом, область определения данной функции задаётся выражением

где k – целое число.

Область определения обратных тригонометрических функций

Область определения функции y = arcsin(x) – множество [-1; 1].

Область определения функции y = arccos(x) – так же множество [-1; 1].

Область определения функции y = arctg(x) – множество R действительных чисел.

Область определения функции y = arcctg(x) – так же множество R действительных чисел.

Пример 9. Найти область определения функции .

Решение. Решим неравенство:

Таким образом, получаем область определения данной функции – отрезок [- 4; 4].

Пример 10. Найти область определения функции .

Решение. Решим два неравенства:

Решение первого неравенства:

Решение второго неравенства:

Таким образом, получаем область определения данной функции – отрезок [0; 1].

Если функция задана дробным выражением, в котором переменная находится в знаменателе дроби, то областью определения функции является множество R действительных чисел, кроме таких x, при которых знаменатель дроби обращается в нуль.

Пример 11. Найти область определения функции .

Решение. Решая равенство нулю знаменателя дроби, находим область определения данной функции – множество ]- ∞; – 2[ ∪ ]- 2 ;+ ∞[.

Пример 12. Найти область определения функции .

Решение. Решим уравнение:

Таким образом, получаем область определения данной функции – ]- ∞; – 1[ ∪ ]- 1 ; 1[ ∪ ]1 ;+ ∞[.

Пример 13. Найти область определения функции .

Решение. Область определения первого слагаемого – данной функции – множество R действительных чисел, второго слагаемого – все действительные числа, кроме -2 и 2 (получили, решая равенство нулю знаменателя, как в предыдущем примере). В этом случае область определения функции должна удовлетворять условиями определения обоих слагаемых. Следовательно, область определения данной функции – все x, кроме -2 и 2.

Пример 14. Найти область определения функции .

Решение. Решим уравнение:

Уравнение не имеет действительных корней. Но функция определена только на действительных числах. Таким образом, получаем область определения данной функции – вся числовая прямая или, что то же самое – множество R действительных чисел или, что то же самое – ]- ∞; + ∞[.

То есть, какое бы число мы не подставляли вместо “икса”, знаменатель никогда не будет равен нулю.

Пример 15. Найти область определения функции .

Решение. Решим уравнение:

Таким образом, получаем область определения данной функции – ]- ∞; – 1[ ∪ ]- 1 ; 0[ ∪ ]0 ; 1[ ∪ ]1 ;+ ∞[.

Пример 16. Найти область определения функции .

Решение. Кроме того, что знаменатель не может быть равным нулю, ещё и выражение под корнем не может быть отрицательным. Сначала решим уравнение:

График квадратичной функции под корнем представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх. Как следует из решения квадратного уравнения, парабола пересекает ось Ox в точках 1 и 2. Между этими точками линия параболы находится ниже оси Ox, следовательно значения квадратичной функции между этими точками отрицательное. Таким образом, исходная функция не определена на отрезке [1; 2].

Найти область определения функции самостоятельно, а затем посмотреть решение

Если функция задана формулой вида y = kx + b, то область определения функции – множество R действительных чисел.

Весь раздел “Исследование функций”

Квадратичная функция и ее график

В этой статье мы поговорим о том, что такое квадратичная функция, научимся строить ее график и определять вид графика в зависимости от знака дискриминанта и знака старшего коэффициента.
Итак.

Функция вида , где называется квадратичной функцией.

В уравнении квадратичной функции:

a – старший коэффициент

b – второй коэффициент

с – свободный член.

Графиком квадратичной функции является квадратичная парабола, которая для функции имеет вид:

Обратите внимание на точки, обозначенные зелеными кружками – это, так называемые “базовые точки”. Чтобы найти координаты этих точек для функции , составим таблицу:

Внимание! Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент , то график квадратичной функции имеет ровно такую же форму, как график функции при любых значениях остальных коэффициентов.

График функции имеет вид:

Для нахождения координат базовых точек составим таблицу:

Обратите внимание, что график функции симметричен графику функции относительно оси ОХ.

Итак, мы заметили:

Если старший коэффициент a>0, то ветви параболы напрaвлены вверх.

Если старший коэффициент a<0, то ветви параболы напрaвлены вниз.

Второй параметр для построения графика функции – значения х, в которых функция равна нулю, или нули функции. На графике нули функции – это точки пересечения графика функции с осью ОХ.

Поскольку ордината (у) любой точки, лежащей на оси ОХ равна нулю, чтобы найти координаты точек пересечения графика функции с осью ОХ, нужно решить уравнение .

В случае квадратичной функции нужно решить квадратное уравнение .

Теперь внимание!

В процессе решения квадратного уравнения мы находим дискриминант: , который определяет число корней квадратного уравнения.

И здесь возможны три случая:

1. Если ,то уравнение не имеет решений, и, следовательно, квадратичная парабола не имеет точек пересечения с осью ОХ. Если ,то график функции выглядит как-то так:

2. Если ,то уравнение имеет одно решение, и, следовательно, квадратичная парабола имеет одну точку пересечения с осью ОХ. Если ,то график функции выглядит примерно так:

3. Если ,то уравнение имеет два решения, и, следовательно, квадратичная парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ:

Если ,то график функции выглядит примерно так:

Следовательно, зная направление ветвей параболы и знак дискриминанта, мы уже можем в общих чертах определить, как выглядит график нашей функции.

Следующий важный параметр графика квадратичной функции – координаты вершины параболы:

Прямая, проходящая через вершину параболы параллельно оси OY является осью симметрии параболы.

И еще один параметр, полезный при построении графика функции – точка пересечения параболы с осью OY.

Поскольку абсцисса любой точки, лежащей на оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы с осью OY, нужно в уравнение параболы вместо х подставить ноль: .

То есть точка пересечения параболы с осью OY имеет координаты (0;c).

Итак, основные параметры графика квадратичной функции показаны на рисунке:

Рассмотрим несколько способов построения квадратичной параболы. В зависимости от того, каким образом задана квадратичная функция, можно выбрать наиболее удобный.

1. Функция задана формулой .

Рассмотрим общий алгоритм построения графика квадратичной параболы на примере построения графика функции

1. Направление ветвей параболы.

Так как ,ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем дискриминант квадратного трехчлена

Дискриминант квадратного трехчлена больше нуля, поэтому парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ.

Для того, чтобы найти их координаты, решим уравнение:

3. Координаты вершины параболы:

4. Точка пересечения параболы с осью OY: (0;-5),и ей симметричная относительно оси симметрии параболы.

Нанесем эти точки на координатную плоскость, и соединим их плавной кривой:

Этот способ можно несколько упростить.

1. Найдем координаты вершины параболы.

2. Найдем координаты точек, стоящих справа и слева от вершины.

Воспользуемся результатами построения графика функции

Кррдинаты вершины параболы

Ближайшие к вершине точки, расположенные слева от вершины имеют абсциссы соответственно -1;-2;-3

Ближайшие к вершине точки, расположенные справа имеют абсциссы соответственно 0;1;2

Подставим значения х в уравнение функции, найдем ординаты этих точек и занесем их в таблицу:

Нанесем эти точки на координатную плоскость и соединим плавной линией:

2. Уравнение квадратичной функции имеет вид – в этом уравнении – координаты вершины параболы

или в уравнении квадратичной функции , и второй коэффициент – четное число.

Построим для примера график функции .

Вспомним линейные преобразования графиков функций. Чтобы построить график функции , нужно

сначала построить график функции ,
затем одинаты всех точек графика умножить на 2,
затем сдвинуть его вдоль оси ОХ на 1 единицу вправо,
а затем вдоль оси OY на 4 единицы вверх:

Теперь рассмотрим построение графика функции . В уравнении этой функции , и второй коэффициент – четное число.

Выделим в уравнении функции полный квадрат:

Следовательно, координаты вершины параболы: . Старший коэффициент равен 1, поэтому построим по шаблону параболу с вершиной в точке (-2;1):

3. Уравнение квадратичной функции имеет вид y=(x+a)(x+b)

Построим для примера график функции y=(x-2)(x+1)

1. Вид уравнения функции позволяет легко найти нули функции – точки пересечения графика функции с осью ОХ:

(х-2)(х+1)=0, отсюда

2. Координаты вершины параболы:

3. Точка пересечения с осью OY: с=ab=(-2)(1)=-2 и ей симметричная.

Нанесем эти точки на координатную плоскость и построим график:

График квадратичной функции.

Перед вами график квадратичной функции вида .

Кликните по чертежу.
Подвигайте движки.
Исследуйте зависимость
– ширины графика функции от значения коэффициента ,
– сдвига графика функции вдоль оси от значения ,

– сдвига графика функции вдоль оси от значения
– направления ветвей параболы от знака коэффициента
– координат вершины параболы от значений и :

Скачать таблицу квадратичная функция

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Уравнение касательной к графику функции

2 апреля 2011

Пусть дана функция f, которая в некоторой точке x₀ имеет конечную производную f (x₀). Тогда прямая, проходящая через точку (x₀; f (x₀)), имеющая угловой коэффициент f ’(x₀), называется касательной.

А что будет, если производная в точке x₀ не существует? Возможны два варианта:

Касательная к графику тоже не существует. Классический пример — функция y = |x| в точке (0; 0).
Касательная становится вертикальной. Это верно, к примеру, для функции y = arcsin x в точке (1; π/2).

Уравнение касательной

Всякая невертикальная прямая задается уравнением вида y = kx + b, где k — угловой коэффициент. Касательная — не исключение, и чтобы составить ее уравнение в некоторой точке x₀, достаточно знать значение функции и производной в этой точке.

Итак, пусть дана функция y = f (x), которая имеет производную y = f ’(x) на отрезке [a; b]. Тогда в любой точке x₀ ∈ (a; b) к графику этой функции можно провести касательную, которая задается уравнением:

y = f ’(x₀) · (x − x₀) + f (x₀)

Здесь f ’(x₀) — значение производной в точке x₀, а f (x₀) — значение самой функции.

Задача. Дана функция y = x³. Составить уравнение касательной к графику этой функции в точке x₀ = 2.

Уравнение касательной: y = f ’(x₀) · (x − x₀) + f(x₀). Точка x₀ = 2 нам дана, а вот значения f (x₀) и f ’(x₀) придется вычислять.

Для начала найдем значение функции. Тут все легко: f (x₀) = f (2) = 2³ = 8;
Теперь найдем производную: f ’(x) = (x³)’ = 3x²;
Подставляем в производную x₀ = 2: f ’(x₀) = f ’(2) = 3 · 2² = 12;
Итого получаем: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16.
Это и есть уравнение касательной.

Задача. Составить уравнение касательной к графику функции f (x) = 2sin x + 5 в точке x₀ = π/2.

В этот раз не будем подробно расписывать каждое действие — укажем лишь ключевые шаги. Имеем:

f (x₀) = f (π/2) = 2sin (π/2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f ’(x) = (2sin x + 5)’ = 2cos x;
f ’(x₀) = f ’(π/2) = 2cos (π/2) = 0;

Уравнение касательной:

y = 0 · (x − π/2) + 7 ⇒ y = 7

В последнем случае прямая оказалась горизонтальной, т.к. ее угловой коэффициент k = 0. Ничего страшного в этом нет — просто мы наткнулись на точку экстремума.

Смотрите также:

Правила вычисления производных
Вводный урок по вычислению производных степенной функции
Что такое логарифм
Тест к уроку «Площади многоугольников без координатной сетки» (легкий)
Как решать задачу 18: графический подход
Задача B15: что делать с квадратичной функцией

Точки экстремума функции, необходимые и достаточные условия экстремума

Содержание:

Определение

Точка $x_{0}$ называется точкой локального максимума функции $f(x)$, если существует такая окрестность этой точки, что для всех $x$ из этой окрестности выполняется неравенство: $f(x) \leq f\left(x_{0}\right)$.

Точка $x_{0}$ называется точкой локального минимума функции $f(x)$, если существует такая окрестность этой точки, что для всех $x$ из этой окрестности $f(x) \geq f\left(x_{0}\right)$.

Значение функции в точке максимума называется локальным максимумом, значение функции в точке минимума – локальным минимумом данной функции. Локальные максимум и минимум функции называются локальными экстремумами.

Точка $x_{0}$ называется точкой строгого локального максимума функции $y=f(x)$, если для всех $x$ из окрестности этой точки будет справедливо строгое неравенство $f(x) \lt f\left(x_{0}\right)$.

Точка $x_{0}$ называется точкой строгого локального минимума функции $y=f(x)$, если для всех $x$ из окрестности этой точки будет справедливо строгое неравенство $f(x)>f\left(x_{0}\right)$.

Наибольшее или наименьшее значение функции на промежутке называется глобальным экстремумом. {2}+1}=-1$.

Ответ. $y_{\min }=y(0)=-1$

Остались вопросы?

Здесь вы найдете ответы.

Что подразумевается под понятием «экстремум»?

Экстремум представляет собой значение функции на определенном интервале в момент достижения им минимального или максимального показания. Под понятием «экстремумы» или по-другому минимумы/максимумы подразумевается значение функции (у).

Точка экстремума – что это такое?

Если в определенной точке достигается экстремум или, иными словами, максимальное/минимальное значение функции на заданном интервале, то эта точка носит название точки экстремума. Из этого следует, что при достижении минимума, точка экстремума будет названа точкой минимума, и, наоборот, при достижении максимума эта точка будет называться точкой максимума. В случае, когда указываются точки экстремумов (или минимумов/максимумов) подразумеваются иксы, в которых достигаются минимальные или максимальные значения.

Что имеется в виду под понятием «точка минимума функции»?

Любая точка x₀ будет определена в качестве точки минимума функции y = f(x) при соблюдении условия о том, что имеется такая V, представляющая собой окрестность (x₀ – V; x₀+V) упомянутой ранее точки, из которой для каждого значения x x₀ действительно следующее неравенство:

f(x)>f(x₀).

Как описать точку минимума функции?

Под понятием «минимум функции» имеется в виду та точка на ней, в которой функция имеет значение, являющееся наименьшим среди всех значений, приобретаемых ею в любой из других соседних точек. Другими словами, это означает, что в случае, когда функция, достигнув определенной точки, прекращает падать, а, наоборот, наблюдается ее рост, то данная точка и представляет собой точку ее минимума.

Каким образом можно вычислить значение функции y=x⁴-4x³+6x²-4x, которого она достигает в точке своего минимума?

Для ответа на поставленный вопрос нужно отыскать точку минимума указанной функции, в которой ее значение перестает падать. Это можно сделать следующим образом:

y’ = 4x³ – 12x² + 12x – 4

Предположив, что минимальное значение данной функции равно 0, можно переписать равенство в следующем виде:

4x³ – 12x² + 12x – 4 = 0

Сократим данное уравнение на 4:

x³ – 3x² + 3x – 1 = 0

Получившееся равенство также может быть записано в следующем виде после перемены местами слагаемых:

(x³ – 1) + (-3x² + 3x) = 0

Распишем слагаемые в ином виде, чтобы избавиться от третьей степени:

(x – 1)(x² + x + 1) -3x(x – 1) = 0

Это же уравнение может выглядеть так:

(x -1)(x² + x + 1- 3x) = 0

Произведем сложение слагаемых х и -3х:

(x – 1) (x² -2x + 1) = 0

Теперь для упрощения можно переписать уравнение в таком виде:

(x – 1)(x-1)² = 0

Получившееся равенство:

(x – 1)³ = 0

В этом случае х = 1

-∞ 1 +∞

Знаками «+» и «-» обозначены значения производной.

После проведенных вычислений было установлено, что х = 1, что является точкой минимума функции:

у = 1⁴- 4*1³ + 6*1² – 4*1 = 1 – 4 +6 – 4 = -1

Какие расчеты нужно произвести, для того чтобы вычислить точку максимума для функции y = -x/x²+484?

Точкой максимума называется то значение х, достигнув которого, производная начинает менять свой знак с плюса на минус. Зная это, можно перейти к поиску точки максимума для функции, указанной в задании.

Для этого нужно начать с поиска производной, используя следующую формулу:

(U/V)’ = (U’V – UV’)/V²

Подставляем приведенные в задании значения и получаем:

y’ = (-(x² + 484) – 2x)/(x² + 484)² = (-x²-484 -2x)/(x² +484)²

Теперь следует приравнять производную к 0 и начать решать получившееся уравнение:

(-x²-484 -2x)/(x² +484)² = 0

Упростим уравнение и получим:

(-x²-484 -2x) = 0

(x² +484)² ≠ 0

-x²-484 -2x = 0

Избавимся от минусов в уравнении:

x² + 2x +484 = 0

В результате вычислений стало ясно, что корней нет. Это значит, что невозможно поставить их на числовой прямой, для того чтобы проверить знаки производной по соседству с этими точками. На основании этого можно сделать вывод о том, что указанная в задании функция не имеет точек экстремума.

Что представляет собой точка максимума функции?

Под точкой максимума функции понимается та точка, в которой она достигает значения, являющегося наибольшим среди тех значений, что достигаются ею в соседних точках. Это означает, что в точке, при пересечении которой функция прекращает расти, и наблюдается ее падение, и достигается ее максимум.

Имеется график производной функции. Каким образом можно вычислить точки ее максимума и минимума?

В случае, если имеется график производной функции, и при этом требуется определить ее экстремумы, то необходимо вычислить точки пересечения этого графика производной с осью Ох. По-другому они называются «нулями» производной. В случае, когда, пересекая конкретную точку, график производной восходит из области со знаком «-» в область со знаком «+», и в это время производная меняет свой знак на противоположный, функция также изменяется с убывания на рост. В этом случае данная точка, которая пересекается графиком производной, представляет собой точку минимума. Если же при пересечении графиком производной какой-либо точки он идет из положительной в отрицательную область, а функция из возрастания меняется на убывание, то речь идет о точке ее максимума.

Как можно вычислить экстремумы и точки экстремума функции y=4x⁴+2x²+1?

Для того чтобы найти ответ на поставленный вопрос, сначала нужно приравнять функцию к 0:

у = 0

Это же означает, что:

4X⁴ + 2X² + 1 = 0

Введем обозначения:

Х2 = А, при этом А больше 0.

С учетом введенных обозначений равенство будет иметь следующий вид:

4A² + 2A + 1 = 0

D = 4 – 4 = 0 ; √ D = 0

A = (- 2) : 4 = (- 0,5) (

Очевидно, что корней нет.

Ответ: х = 0, у = 1.

Дана функция y = x² -3x+2. Как можно вычислить экстремум этой функции?

Имеется функция y = x² -3x+2, которую также можно переписать в следующем виде:

у = -0,25+ (x-1,5)²

Отсюда следует, что:

miny = – 0,25 при условии, что х-1,5 = 0

Можно сделать вывод о том, что х = 1,5.

Запишем производную данной функции:

y ‘= (x² -3x+2)’ =2x -3

А затем приравняем ее к 0:

y ‘ = 0, значит:

2x -3 = 0.

Это позволяет сделать вывод о том, что:

x = 3/2.

Получается, что, если x

Если же x >3/2, то производная y’ > 0, и в этом случае функция возрастает.

x =3/2=1,5 – это единственная точка экстремума, которая является точкой минимума.

miny =(1,5)² -3*1,5+2 = -0,25.

Как раскрыть понятие «критическая точка функции»?

Критическая точка функции представляет собой ту точку, при пересечении с которой производная данной функции становится равной 0, либо она вовсе не существует.

Возможно ли привести доказательства того, что функция f(x) =2x – 3/x не может иметь критической точки?

Для начала нужно определить, что под критической точкой функции подразумевается та точка, при пересечении с которой производная приобретает нулевое значение, либо же эта производная просто не существует в этой точке, что означает, что функцию в данной точке невозможно дифференцировать.

Проверим, применимо ли это утверждение к упомянутой в задании функции:

f ‘(x) =(sin2x – 3x)’ = 2sin2x-3

Приравняем производную функции к 0:

f ‘(x) = 0, это значит, что 2sin2x-3 = 0.

Следовательно:

sin2x= 3 2 не имеет решения

Ответ: заданная функция не имеет критических точек и существует при любых х.

Каким способом можно определить критические точки функции y=|x|/1+x²?

Под критическими точками функции понимаются те точки, в которых ее производная равна 0 или вовсе не существует.

В задании дана функция:

y=|x|/(1+x²)

Предположим, что x

y=-x/(1+x²)

Запишем производную функции и приравняем ее к 0:

y`=(-1-x²+2x²)/(1+x²)²=(x²-1)/(1+x²)²=(x-1)(x+1)/(1+x²)²=0

х = 1 не соответствует условию, значит х = -1.

Теперь предположим, что x≥0.

Снова записываем производную имеющейся функции и приравниваем ее к 0:

y`=(1+x²-2x²)/(1+x²)²=(1-x²)/(1+x²)²=(1-x)(x+1)/(1+x²)²=0

х = – 1 не отвечает условию, значит х = 1.

Ответ: х = 1, х = -1.

Читать дальше: наибольшее и наименьшее значение функции.

“Как построить график функции F(x)+m”

Дата публикации: 09 апреля 2017.

Презентация и урок на тему: “Как построить график функции f(x)+m”

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой. 2-4, -1<x≤2. \end {cases}$

Функциональная композиция | Почти развлечение

Калькулятор композиции функций

Входы и выходы функций

Когда вы видите что-то вроде f (g (x)) или (f∘g) x, у вас есть композиция функций.

Прежде всего, подумайте о таких функциях, как поиск и замена.

Когда у нас есть такая функция, как f (x) = 4×2 + 6x + 5, подключение входа для x означает поиск и замену каждого x входным значением. Например, если наш ввод равен 3, мы находим и заменяем, чтобы получить:

f (x) = 4 (x) 2 + 6 (x) +5

⬇️

f (3) = 4 (3) 2 + 6 ( 3) +5

И вы должны убедиться, что вы заменили каждый x.Это похоже на то, как им пришлось заменить каждого жуткого Соника новым милым Соником, иначе жуткость все равно была бы там ☠️.

Если вам нужна дополнительная помощь по функциям, ознакомьтесь с нашим уроком по функциям и калькулятором здесь!

Что такое композиция функций?

Идея композиции функций состоит в том, что вместо числа в качестве входных данных выступает другая функция.

Итак, допустим, у нас есть эти две функции:

f (x) g (x) = 4×2 + 6x + 5 = 2x + 1

Если нас спросят f (g (x)), тогда наш ввод – это g (x), и нам нужно заменить каждый x в f (x) на g (x):

f (x) = 4 (x) 2 + 6 (x) +5

⬇️

f (g (x)) = 4 (g (x)) 2 + 6 (g (x)) + 5

И поскольку мы знаем, что g (x) = 2x + 1, мы можем упростить f (g (x)) следующим образом: используя 2x + 1 вместо g (x) справа:

f (g (x)) = 4 (2x + 1) 2 + 6 (2x + 1) +5

И вот как мы получаем f ( g (x))!

Вставка значения

Теперь, если нас просят ввести f (g (3)) вместо f (g (x)), тогда нам нужно выполнить еще один поиск и замену, чтобы заменить каждый x в нашем новом f (g (x)) уравнение с нашим входным значением 3:

f (g (x)) = 4 (2x + 1) 2 + 6 (2x + 1) +5

⬇️

f (g ( 3)) = 4 (2 (3) +1) 2 + 6 (2 (3) +1) +5

Тогда у нас есть все числа в правой части уравнения, и мы можем просто вычислить, чтобы найти окончательный результат. ответ f (g (3)) = 243.

Составление графиков функций

Вы можете получить функции в виде графиков, например:

В этом случае мы используем наши графики, чтобы найти композицию функций. Допустим, нас спрашивают f (g (1)).

Это означает, что сначала нам нужно найти, что такое g (1). Давайте посмотрим на наш график для g (x), где наш x = 1:

. Глядя на точку на линии, где x = 1, мы видим, что значение y равно 2. Это означает, что g (1) = 2.

Теперь, если мы вернемся к нашей исходной композиции f (g (1)), мы можем заменить g (1) на 2, чтобы получить f (g (1)) = f (2).

Теперь мы просто смотрим на наш график f (x) в точке, где x = 2:

Глядя на точку на линии, где x = 2, мы видим, что значение y равно 4. Это означает, что f (2) = 4.

Итак, чтобы найти решение для f (g (1)), нам сначала нужно было найти значение g (1). Как только мы обнаружили, что g (1) = 2, мы заменили g (1) на 2, чтобы получить:

f (g (1)) = f (2)

Глядя на график для f (x), мы находим:

f (g (1)) = f (2) = 4

Составление функций с помощью графиков

Допустим, мы ищем f (g (3)).

Шаг 1. Найдите внутреннее значение.

Сначала мы используем график для g (x), чтобы найти значение g (3).

Шаг 2: Вставьте внутреннее значение.

Затем мы вставляем найденное значение в композицию. Допустим, мы обнаружили, что наше значение было 2. Мы вставляем это в нашу композицию, чтобы заменить g (3), чтобы получить f (g (3)) = f (2).

Шаг 3: Найдите окончательное значение.

Наконец, мы используем график для f (x), чтобы найти значение f (2). Как только мы это сделаем, все готово!

Как решать линейные функции – видео и стенограмма урока

Проверка ответа и примеры

Чтобы проверить свой ответ, просто подставьте значение f ( x ) и значение x в исходную функцию.В упрощенном виде обе стороны знака равенства должны совпадать.

f ( x ) = 3 x – 1; f (3) = 8
8 = 3 (3) – 1
8 = 9 – 1
8 = 8

Отлично!

Вот еще несколько примеров. Допустим, вам дано значение x . Таким же образом можно найти f ( x ). Просто следуйте инструкциям, чтобы изолировать неизвестное f ( x ).

Если f ( x ) = 5 x – 1, что такое f (2)? Здесь нам говорят, что x = 2, путем замены 2 в формате функции f ( x ).

Шаг 1

Заменитель. Итак:

Шаг 2

Изолировать переменную. Здесь переменная f ( x ) уже была изолирована, поэтому мы можем перейти к упрощению. Итак:

Шаг 3

Упростить. Итак:

Step 4

У нас есть ответ! Например, для f ( x ) = 5 x – 1, f (2) = 9.

Теперь давайте посмотрим на более сложный пример: решите f ( x ) = 4 ( x + 2) когда f ( x ) = 24.

Шаг 1

Заменитель. Или:

Шаг 2

Упростить. Здесь нам нужно сначала упростить, чтобы изолировать переменную. Или:

Не забудьте распределить 4 по обоим терминам в скобках.

Шаг 3

Выделите член переменной. Или:

24-8 = 4 x + 8-8
16 = 4 x

Шаг 4

Продолжайте изолировать.

Итак, наш окончательный ответ для функции f ( x ) = 4 ( x +2), f (4) = 24.

Резюме урока

Хорошо, давайте ненадолго вспомним, что мы узнали в этом уроке. На этом уроке мы узнали, что линейная функция – это функция с формой f ( x ) = ax + b . Это выглядит как обычное линейное уравнение, но вместо y используется обозначение линейной функции f ( x ). Чтобы решить линейную функцию, вам дадут значение f ( x ) и попросите найти x .Мы также узнали следующие шаги для решения этой проблемы:

Шаг 1: подставьте значение f ( x ) в задачу.
Шаг 2: Изолировать переменную.
Шаг 3: Продолжайте изолировать переменную.
Шаг 4: Подтверждение ответа.

Все просто!

Как найти и решить составную функцию?

Составные функции можно рассматривать как «функции внутри функций». Например, предположим, что

f (х) = х ³

г (х) = х + 5

определен для всех действительных чисел.

(Примечание: составные функции могут иметь другое обозначение, например (f ○ g) (x))

Q1) Решите уравнение fg (x) = 27

Во-первых, мы должны найти составную функцию fg (x) через x, прежде чем решать ее. Для этого мы можем разбить функцию следующим образом:

fg (x) = f [g (x)] = f (x + 5)

Как видите, мы разделили fg (x) на функцию от g в пределах на функцию от f.Теперь мы можем заменить ‘x’ в f (x) = x ³ на ‘x + 5’:

fg (x) = f (x + 5) = (x + 5) ³

Теперь мы можем использовать указанную выше функцию, чтобы переставить и решить для fg (x) = 27.

fg (x) = (x + 5) ³ = 27

х + 5 = ³ √ (27)

= 3

х = 3-5

A1) х = -2

Также возможно сформировать составную функцию, применив одну и ту же функцию дважды. Например, если мы применим функцию f к f ( x ), мы получим ff ( x ) или f ² ( x ).

f ² ( x ) = f [f (x)]

= f (х ³)

= (х ³) ³

= х ⁹

При вычислении составных функций следует отметить, что fg (x) вряд ли будет таким же, как gf (x) . Например, используя f (x) и g (x) из нашего примера выше, мы можем вычислить gf (x) ниже:

gf (x) = g [f (x)]

= г (х ³)

= х ³ + 5

Этот результат полностью отличается от нашего результата fg (x) = (x + 5) ³

Еще один момент, который следует учитывать при решении составных функций, – это массив значений, для которых функция содержит i.е. домен и диапазон функции. Эти значения определяют, будет ли составная функция определять конкретное значение, поэтому важно найти домен и диапазон. Теперь мы будем использовать другой пример из приведенного выше, чтобы продемонстрировать это.

Пусть f (x) = x ² + 3

г (х) = 2x + 1

Q2) Найдите fg (x) и объясните, почему fg (x) = 1 не имеет реального решения.

Как и в Q1), мы должны найти функцию fg (x), прежде чем решать ее:

fg (x) = f [g (x)]

= f (2x + 1)

= (2x + 1) ² + 3

Если мы будем следовать тому же методу, что и раньше, мы обнаружим, что fg (x) = 1 не имеет реального решения:

fg (x) = (2x + 1) ² + 3 = 1

(2x + 1) ² = -2

Следующим шагом, который мы обычно делаем, является извлечение квадратного корня из числа в правой части уравнения, но мы не можем извлекать квадратный корень из отрицательного числа, не дав комплексное решение, и поэтому fg (x) не имеет реального решения.

Причина этого в том, что fg (x) = 1 находится вне диапазона fg (x). Чтобы найти диапазон fg (x), мы должны представить, как будет выглядеть график. Поскольку это уравнение является квадратичным, график должен быть параболой, которая представляет собой u-образную кривую. Следовательно, мы должны найти вершину, которая является самой низкой точкой кривой, чтобы установить, для каких значений fg (x) выполняется.

Вершина (2x + 1) ² + 3 равна (-½, 3). Значение x получается из установки 2x + 1 = 0 и нахождения x = -½, а значение y получается из 3 в конце выражения.

Поскольку вершина является самой низкой точкой кривой, это означает, что любые значения y ниже 3 не являются действительными решениями для fg (x) = (2x + 1) ² + 3. Однако функция имеет действительные решения для всех значений. из х. Следовательно, область определения fg (x) равна x ∈ R, а диапазон значений fg (x) ≥ 3.

A2) fg (x) = (2x + 1) ² + 3

fg (x) = 1 не имеет реального решения, поскольку выходит за пределы диапазона fg (x), который равен fg (x) ≥ 3.

1.6 – Комбинации функций

Арифметические комбинации функций

Можно легко найти сумму, разность, произведение или частное функций.

Сумма: (е + г) (х) = е (х) + г (х)
Разница: (е – г) (х) = е (х) – г (х)
Товар: (f · g) (x) = f (x) · g (x)
Частное: (f / g) (x) = f (x) / g (x), пока g (x) не равно нулю.

Область каждой из этих комбинаций является пересечением области f и области г. Другими словами, обе функции должны быть определены в точке для определения комбинации. Еще одно дополнительное требование для разделения функций – знаменатель не может быть равен нулю, но мы знали это, потому что это часть подразумеваемой области.

В основном вышесказанное говорит о том, что для оценки комбинации функций вы можете комбинировать функции, а затем оценить, или вы можете оценить каждую функцию, а затем объединить.

Примеры

В следующих примерах пусть f (x) = 5x + 2 и g (x) = x ²-1. Мы затем оценит каждую комбинацию в точке x = 4. f (4) = 5 (4) + 2 = 22 и g (4) = 4 ²-1 = 15

Выражение	Объедините, затем оцените			Оцените, затем объедините
(ж + ж) (х)	(5x + 2) + (x ²-1) = x ² + 5x + 1	(ж + ж) (4)	4 ² +5 (4) +1 = 16 + 20 + 1 = 37	f (4) + g (4)	22 + 15 = 37
(ф-г) (х)	(5x + 2) – (x ²-1) = -x ² + 5x + 3	(ф-г) (4)	-4 ² +5 (4) +3 = -16 + 20 + 3 = 7	ф (4) -g (4)	22-15 = 7
(f · g) (x)	(5x + 2) * (x ²-1) = 5x ³ + 2x ² -5x-2	(ж · г) (4)	5 (4 ³) +2 (4 ²) -5 (4) -2 = 5 (64) +2 (16) -20-2 = 330	ф (4) · г (4)	22 (15) = 330
(ж / г) (4)	(5x + 2) / (x ²-1)	(ж / г) (4)	[5 (4) +2] / [4 ²-1] = 22/15	ф (4) / г (4)	22/15

Как видно из примеров, не имеет значения, комбинируете ли вы, а затем оцениваете или вы оцените, а затем объедините.

В каждой из вышеперечисленных задач домен – это все действительные числа за исключением деления. Домен в комбинации деления – это все действительные числа, кроме 1 и -1.

Состав функций

Хотя арифметические комбинации функций просты и довольно легки, есть другой тип сочетания называется композицией.

Композиция функций – это применение одной функции к другой функции. Символ композиции функций – маленький кружок между функциями. имена.Я не могу использовать этот символ в текстовый режим в сети, поэтому я буду использовать строчные буквы ой «о» для представления композиции функций.

(туман) (x) = f [g (x)]
(gof) (x) = g [f (x)]

Они читаются как «f, составленная из g из x» и «g, составленная из f из x», соответственно.

Функция снаружи всегда записывается первой, а последующие функции внутри. Порядок важен. Состав функций не коммутативен.

Примеры состава функций

Звучит не так уж плохо. Давайте посмотрим на несколько примеров.

f (x) = 5x + 2 и g (x) = x ²-1

(туман) (х) = f [g (x)] = f [x ²-1] = 5 (x ²-1) + 2 = 5x ² – 5 + 2 = 5x ²-3
(gof) (x) = g [f (x)] = g [5x + 2] = (5x + 2) ² – 1 = 25x ² + 20x + 4 – 1 = 25x ² + 20x + 3

f (x) = sqrt (x) и g (x) = 4x ²

(туман) (х) = f [g (x)] = f [4×2] = sqrt (4x ²) = 2 | х |
(gof) (x) = g [f (x)] = g [sqrt (x)] = 4 (sqrt (x)) 2 = 4x, x ≥ 0

Этот пример, вероятно, требует пояснений.Из главы, посвященной предварительным условиям, квадратный корень из (x ²) является абсолютным значением x. Площадь ( квадратный корень из x) равен x, но это предполагает, что x не отрицательный, потому что вы не смог бы найти квадратный корень из x, если бы это было так. Это случай, когда подразумеваемый домен (из-за квадратного корня) больше не подразумевается (потому что квадратный корень пропал), поэтому вы должны явно указать это (я сказал вам, что все подходит вместе).

f (x) = sqrt (x-4) и g (x) = 1 – x ²

(туман) (х) = f [g (x)] = f [1-x ²] = sqrt ([1-x ²] – 4) = sqrt (-x ² – 3) = ø
(гоф) (х) = g [f (x)] = g [sqrt (x-4)] = 1 – [sqrt (x-4)] ² = 1 – (x-4) = 5 – x, x ≥ 4

Если последний пример нуждался в пояснении, то этому определенно нужно некоторые тоже.Давайте сначала возьмем более простой (gof) (x). Подразумеваемый домен из x ≥ 4 из-за квадратного корня, но после его возведения в квадрат он больше не подразумевался, так что это нужно было указать явно.

Хорошо, теперь самое сложное (туман) (x). Я дам простое объяснение здесь, а более полное – позже. После упрощения вы получили квадратный корень из (-x ² – 3). -x ² -3 всегда отрицательно, независимо от того, какое действительное число x, и вы не можете взять квадратный корень из отрицательного числа, поэтому он всегда не определен (для набора реалов).

Поиск областей по составу функций

Когда вы находите композицию функций, это не более длинный x, который подключается к внешнему функция, это внутренняя функция, вычисляемая в x. Так есть две области, о которых мы должны позаботиться о. Если мы рассмотрим (fog) (x), мы увидим, что g вычисляется в x, поэтому x должен быть в области g. Мы также видим, что f вычисляется в g (x), поэтому g (x) имеет быть в области f.

Для (тумана) (x), x – это значение, которое можно вставить в g и получить значение g (x), которое может быть подключенным к f, чтобы получить f (g (x))
Для (gof) (x), x – это значение, которое можно вставить в f и получить значение f (x), которое можно подключить к g, чтобы получить g (f (x)).

Но и все не так плохо, как кажется. Давайте снова рассмотрим последний пример.

Функция	Домен	Диапазон
f (x) = sqrt (x-4)	х ≥ 4	y ≥ 0
g (x) = 1-x ²	все реалы	y ≤ 1

Когда вы найдете (туман) (x), необходимо выполнить две вещи:

x должен быть в домене g, что означает x это реальное число (довольно легко сделать)
g (x) должно находиться в области f, что означает, что 1-x ² ^ 2 ≥ 4 (когда вы пытаетесь решить это, вы получить пустой набор)

Когда вы объединяете два домена, чтобы увидеть, что у них общего, вы обнаруживаете пересечение всего и ничего есть ничто (пустой набор), поэтому функция нигде не определена и undefined везде.

Когда вы найдете (gof) (x), необходимо выполнить две вещи:

x должен находиться в области f, что означает, что x ≥ 4 (неплохо)
f (x) должен находиться в области g, что означает, что sqrt (x-4) должно быть действительным числом (которое происходит, когда x ≥ 4, о чем мы уже говорили из первой части)

Когда вы объединяете два домена, чтобы увидеть, что у них общего, вы обнаруживаете, что пересечение быть x ≥ 4, так что композиция определяется именно здесь.

Функциональное разделение

Декомпозиция функций обратна композиции функций. Вместо объединения двух функции, чтобы получить новую функцию, вы разбиваете комбинированную функцию на отдельные компоненты. Часто существует несколько способов разложить функцию, поэтому ваши ответы могут отличаются от книг.

По сути, вы хотите посмотреть на функцию и найти “внешнюю функцию”. и “внутри функция “. Еще одна вещь, которую следует искать, – это повторяющиеся шаблоны и сделать так, чтобы внутренняя функция. В внешняя функция резюмируется как “общая картина”, а внутренняя функция это “то, что ты делают большую картину для “.

Примеры

Запишите каждую функцию h как композицию двух функций f и g, таких что h (x) = (fog) (x)

ч (x)	снаружи f (x)	Внутри г (x)	Банкноты
(1-x) ³	x ³	1-х	Самое важное – это что-то кубическое, поэтому Внешняя функция – это функция куба.1-х это то, что вы занимаетесь кубом, так что это внутренняя функция.
sqrt (9-x)	sqrt (x)	9-х	Самое важное – извлечение квадратного корня (снаружи), 9-x – это то, что вы извлекаете из квадратного корня (внутри)
4 / (5x ² +2) ²	4 / х ²	5x ² +2	Похоже на 4 поверх квадрата
4 / (5x ² +2) ²	4 / x	(5x ² +2) ²	Альтернатива, но правильный ответ.
(x + 2) ² +2 (x + 2) +1	x ² + 2x + 1	х + 2	x + 2 повторяется, так что это хороший выбор для внутренней части функция. Замените каждое вхождение шаблона на x для внешней функции

Коэффициенты разницы

Коэффициенты разницы – это то, что они говорят. Они включают разница и частное. Фактор разницы на самом деле является наклоном секущая линия между двумя точками кривой.

Формула для коэффициента разности: [f (x + h) – f (x)] / h

Если вы перейдете к исчислению, вы познакомитесь с концепцией пределы (Исчисление – это алгебра с ограничениями) и найдите, когда две точки на кривой приближаются вместе секущая линия превращается в касательную, а наклон секущей линии становится наклон касательной, которая называется производной функции, и есть множество ярлыков для поиска производных. Тем не менее, вы все еще изучаете алгебру в колледже. и не знали об ограничениях до главы 3, когда мы поговорим об асимптотах, так что у вас будет чтобы найти коэффициенты разницы вручную. Коэффициент разницы очень важен в Исчисление, так что, если вы продолжаете, убедитесь, что вы это поняли!

Для полиномиальных функций найти коэффициент разности не так уж и сложно. Куда ты идешь столкнуться с проблемами – это с радикальными и рациональными функциями.

Полиномиальные функции

f (x) = 5x ²-2

f (x + h) = 5 (x + h) ² – 2 = 5 (x ² + 2xh + h ²) – 2 = 5x ² + 10xh + 5h ² – 2

f (x + h) – f (x) = 5 (x ² + 2xh + h ²) – 2 = 5x ² + 10xh + 5h ²-2 – (5x ² – 2)

f (x + h) – f (x) = 5x ² + 10xh + 5h ²-2 – 5x ² + 2 = 10xh + 5h ²

f (x + h) – f (x) = h (10x + 5h)

[f (x + h) – f (x)] / h = h (10x + 5h) / h = 10x + 5h

Рациональные функции

Уловка с рациональными функциями состоит в том, чтобы получить общий знаменатель и затем упростить.

f (x) = 3 / x

f (x + h) = 3 / (x + h)

f (x + h) – f (x) = 3 / (x + h) – 3 / x

f (x + h) – f (x) = 3 x / [x (x + h)] – 3 (x + h) / [x (x + h)]

f (x + h) – f (x) = (3x – 3x – 3h) / [x (x + h)]

f (x + h) – f (x) = -3h / [x (x + h)]

[f (x + h) – f (x)] / h = -3h / [x (x + h)] / h = -3 / [x (x + h)]

Радикальные функции

Уловка с радикальной функцией состоит в том, чтобы рационализировать числитель путем умножения на сопряженную числителя.

Не волнуйтесь, что у вас останется радикал в знаменателе, в этот экземпляр. Это намного лучше, чем иметь в знаменателе множитель h потому что в расчетах мы собираемся позволить h приближаться к 0, и мы хотим просто вставьте ноль для h. При выборе радикала в знаменателе или делением на 0, мы в любой момент выберем радикал в знаменателе.

1,7 – Обратные функции

Обозначение

Функция, обратная f, обозначается f ^-1 (если ваш браузер не поддерживает верхние индексы, это выглядит как f с показателем -1) и произносится как «f инверсия». Хотя обратная функция функции выглядит как вы возводите функцию в степень -1, это не так. Обратная функция не означает обратная функция.

Обратные

Функция обычно сообщает вам, что такое y, если вы знаете, что такое x.Обратная функция скажет вы, каким должен быть x, чтобы получить это значение y.

Функция f ^-1 является обратной функцией f, если

для каждого x в области f, f ^-1 [f (x)] = x и
для каждого x в области f ^-1, f [f ^-1 (x)] = x

Область f – это диапазон f ^-1, а диапазон f – это область f ^-1.

График обратной функции

Функция, обратная функции, отличается от функции тем, что все координаты x и y были переключены.То есть, если (4,6) – точка на графике функции, то (6,4) – точка на графике обратной функции.

Точки в функции идентичности (y = x) останутся в функции идентичности при переключении. Все координаты других точек поменяются местами, и их местоположение переместится.

График функции и обратный ей график являются зеркальным отображением друг друга. Они размышляют о функция тождества y = x.

Существование обратной функции

Функция говорит, что для каждого x существует ровно один y.То есть значения y могут дублироваться, но x значения не могут быть повторены.

Если функция имеет инверсию, которая также является функцией, тогда может быть только один y для каждого x.

Однозначная функция – это функция, в которой для каждого x существует ровно один y и для каждого y, есть ровно один x. У однозначной функции есть обратная функция, которая также является функцией.

Есть функции, у которых есть инверсии, которые не являются функциями. Есть и обратные для связи.По большей части мы не обращаем на них внимания и имеем дело только с функциями, обратными к которым являются также функции.

Если обратная функция также является функцией, то обратная зависимость должна проходить вертикальную черту. тестовое задание. Поскольку все x-координаты и y-координаты переключаются при нахождении обратного, говоря что обратная функция должна пройти проверку вертикальной линии – это то же самое, что сказать, что исходная функция должна пройти тест горизонтальной линии.

Если функция проходит как тест вертикальной линии (так что это в первую очередь функция), так и проверка горизонтальной линии (так, чтобы его обратная функция была функцией), тогда функция взаимно однозначна и имеет обратная функция.

Неформальный поиск инверсий

Инверсия некоторых функций, особенно тех, где есть только одно вхождение независимая переменная, может быть решена путем отмены операций. Чтобы отменить операции, вы должен не только изменить порядок, но и использовать обратную операцию.

Пример 1

Функция f (x) = 5x-2

Начать с x: x
Умножить на 5: 5x
Вычесть 2: 5x-2

Обратное f

^-1 (x) = (x + 2) / 5

Начать с x: x
Добавить 2: x + 2
Разделить на 5: (x + 2) / 5

Пример 2

Функция f (x) = 2 (x-3)

²-5, x≥3

Обратите внимание, что на x есть ограничение.

Начать с x: x
Вычесть 3: x-3
Квадрат: (x-3) ²
Умножить на 2: 2 (x-3) ²
Вычесть 5: 2 (x-3) ²-5

Обратное f

^-1 (x) = 3 + sqrt [(x + 5) / 2]

Начать с x: x
Добавить 5: x + 5
Разделить на 2: (x + 5) / 2
Извлеките квадратный корень: ± sqrt [(x + 5) / 2]
Добавить 3: 3 ± sqrt [(x + 5) / 2]
Подождите! Эта инверсия не является функцией, потому что для каждого x есть два значения y.Это из-за ±, которое появилось, когда мы извлекли квадратный корень из обеих частей. Теперь вернемся к исходной области x≥3. Это означает, что для обратного диапазон y≥3. Поскольку y должно быть не меньше 3, нам нужен положительный квадратный корень, а не отрицательный. Без ограничения на x в исходная функция, у нее не было бы обратная функция: 3 + sqrt [(x + 5) / 2]

Пример 3

Функция f (x) = x

² – 4x + 6, x≤2

Уххх ????

Что происходит, когда встречается более одного раза независимая переменная в функции? Ты не знаю, что вы сделали с x, потому что вы сделали это с двумя разных x, и вы не сделали одно и то же с обоими их.

Формальный поиск инверсий

Нельзя сказать, что последний пример не может быть выполнен, но он включает в себя завершение квадрата до получить f (x) = (x-2) ² +2, а затем инвертировать его, чтобы получить f ^-1 (x) = 2-sqrt (x-2).

Однако есть другой способ, который не слишком полагается на неформальность и будет работать независимо от того, Вы не можете точно определить, что вы сделали с одним x.

Начать с функции
При необходимости заменить f (x) на y
Поменяйте местами x и y.На данный момент вы имеете дело с инверсией
Решить для y
Замените y на f ^-1 (x), если обратная функция также является функцией, в противном случае оставьте ее как y

Пример 4

Функция f (x) = x

² / (x ² +1), x≥0

Ограничение важно сделать 1-1.

Начните с функции: f (x) = x ² / (x ² +1), x≥0
Заменить f (x) на y: y = x ² / (x ² +1), x≥0
Поменяйте местами x и y: x = y ² / (y ² +1), y ≥0
Решить для y:
1. Умножить на знаменатель: x (y ² +1) = y ²
2. Распределить: xy ² + x = y ²
3. Переместите y в одну сторону, а все остальное в другую: xy ² -y ² = -x
4. Фактор: y ² (x-1) = – x
5. Разделить на коэффициент при y ²: y ² = -x / (x-1)
6. Упростите правую часть: y ² = x / (1-x)
7. Извлеките квадратный корень: y = ± sqrt [x / (1-x)]
8. Поскольку y≥0, нам нужен положительный квадратный корень: y = sqrt [x / (1-x)]
Назовите это f ^-1 (x): f ^-1 (x) = sqrt [x / (1-x)]

Для этой последней функции подразумеваемая область обратного преобразования – [0,1). Это означает, что диапазон исходная функция также должна была быть [0,1). Проверьте это на своем калькуляторе, и вы увидите, что это так.

Иногда в инструкциях говорится, что если функция не является взаимно однозначной, то не находите обратную функция (потому что ее нет). Поэтому всегда проверяйте, прежде чем тратить время на поиск обратная функция. Теперь, если вы должны найти обратное, независимо от того, функция или нет, тогда вперед.

Хорошая вещь!

Индивидуальные функции – замечательные вещи.

При решении уравнений вы можете прибавить одно и то же к обеим сторонам, вычесть одно и то же из обе стороны, умножьте обе стороны на одно и то же ненулевое значение и разделите обе стороны на одно и то же отличное от нуля, и все равно получите то же самое решение, не беспокоясь о необходимости проверять свой ответ.

Вы также можете применить взаимно однозначную функцию к обеим сторонам уравнения, не беспокоясь о введении посторонних решений (решений, которые работают после выполнения чего-то, что не работало раньше). Это не обязательно верно для функций, которые не являются взаимно однозначными, как функция возведения в квадрат, где вы всегда должны проверять ответы после возведения в квадрат обеих сторон уравнения. Например, уравнение sqrt (x) = -2 не имеет решения, но если вы возведете в квадрат обе стороны, вы получите x = 4, но оно не проверяется в исходной задаче. Благодаря индивидуальным функциям вы не будете предлагать никаких посторонних решений.

Ух ты! Говорить о мощный. Вы не цените этого сейчас, и книга не рассматривает это должным образом, пока вы не получите к главе 4 и имеют дело с логарифмическими и экспоненциальными функциями, но даже в этом случае они не делают как бы то ни было.

Ладно, попробуем сейчас. Поверьте мне на слово, что exp (x) является взаимно однозначной функцией и является инверсия ln (x).

ln (x) = 3: Решите относительно x.
ехр [ln (x)] = ехр [3]: «Погодите, мистер Джонс» – ваш ответ. Вы никогда не видели такого зверя. Это Ладно. Возьмите обратную функцию и примените ее к обеим сторонам.
х = ехр (3): Вернитесь к определению инверсии в верхней части этого документа.x и находится на клавише [2 ^nd] [ln].

Вау – больше сплоченности. Обратную функцию можно найти, взяв функцию [2 ^nd]. Смотреть у него для прочего на калькуляторе.

Квадратный корень – это величина, обратная квадрату. Если вы посмотрите на три тригонометрических ключа [sin], [cos] и [tan], их инверсии находятся с помощью клавиши [2 ^nd].

Режим мыльницы включен.

Я вам говорю – все сходится.Для тех, кто помнит строчку, которую Ганнибал Смит использовал в A-Team: «Мне нравится, когда план слагается».

Математика – один из самых совместных предметов. Все дополняет еще. Я надеюсь, что вы получите гораздо больше, чем просто механику математика, но понимание, понимание и оценка того, как работает система. Имея такой прочный фундамент, математика может быть менее стрессовой и даже приятной. У вас есть перестать иметь дело с концепциями как с отдельными вещами, которые не связаны друг с другом и не связаны друг с другом.Все они связаны друг с другом и переплетены. Вы не можете их разделить и понять.

Режим мыльницы выключен.

Обозначение функций и оценивающие функции

В математике функция – это правило, которое принимает входное значение (часто \ (x \)) и присваивает ему выходное значение (часто \ (y \)). Что делает функцию особенной, так это то, что для любого заданного входа существует только один выход. Нотация функций, которая используется во всей математике, – это способ записать правило, которое связывает входные и выходные значения функции.В этом уроке мы рассмотрим, как работает нотация функций, как оценивать функцию с учетом обозначения функции и как оценивать функцию по ее графику.

Содержание

Обозначение функции чтения
Оценка функций с использованием обозначения функций
Оценка функций с помощью графика

Обозначение функции чтения

Обозначение функции записывается с использованием имени функции и значения, для которого требуется найти выходные данные. Например, \ (f (x) \) читается как «\ (f \) of \ (x \)» и означает «выход функции \ (f \), когда входом является \ (x \)». Другой пример – что-то вроде \ (g (2) \). Это читается как «\ (g \) of 2» и представляет собой выход функции \ (g \) для входного значения 2.

Чтобы помочь вам понять эти обозначения, давайте рассмотрим несколько примеров.

Пример

Когда \ (x = 2 \), значение функции \ (y = f (x) \) равно 10. Используйте обозначение функции, чтобы представить это.

Решение

Функция записывается как \ (f (x) \). Это означает, что входом функции является \ (x \). Поскольку \ (x = 2 \), мы можем начать с записи:

\ (е (2) \)

Пример говорит, что когда \ (x = 2 \), выход равен 10. Поскольку запись \ (f (2) \) представляет выход для входа 2, мы можем записать это как:

\ (\ bbox [граница: сплошной черный 1 пиксель; отступ: 2 пикселя] {f (2) = 10} \)

Оценка функций с использованием обозначения функций

Когда дело доходит до оценки функций, вам чаще всего дается правило для вывода. Оценить функцию означает использовать это правило, чтобы найти выход для заданного входа.

Вы можете сделать это алгебраически, подставив значение ввода (обычно \ (x \)). Это показано в следующей паре примеров.

Пример

Для \ (f (x) = 2x + 1 \) найдите \ (f (3) \).

Решение

Начните со своей функции.

\ (е (х) = 2х + 1 \)

Пусть \ (x = 3 \), а затем вычислите значение функции. Для этого замените каждый \ (x \) в правиле на 3.2-5 (-2) + 1 \\ & = 3 (4) + 10 + 1 \\ & = 12 + 10 + 1 \\ & = \ bbox [граница: 1px сплошной черный; padding: 2px;] {23} \ end {align} \)

Также возможно оценить функцию, используя входные данные, которые являются алгебраическим выражением. Это более сложно, поскольку обычно вам нужно будет упростить ответ, но он по-прежнему следует той же идее подстановки.

Пример

Пусть \ (f (x) = –3x + 7 \). Найдите и упростите \ (f (m + 1) \), где \ (m \) – действительное число.

Решение

Начните со своей функции.

\ (е (х) = -3x + 7 \)

Так же, как вы делали с числами, позвольте \ (x = m + 1 \) и оценить функцию. Это означает замену каждого \ (x \) в правиле на «\ (m + 1 \)».

\ (е (т + 1) = -3 (т + 1) + 7 \)

Примените свойство распределения, умножив –3 на каждый член в круглых скобках. Объедините подобные термины, чтобы упростить.

\ (\ begin {align} & = -3m-3 + 7 \\ & = \ bbox [border: 1px сплошной черный; отступ: 2px;] {- 3m + 4} \ end {align} \)

Отсюда вы можете значительно усложнить задачу, например, с коэффициентом разности, который позже будет использоваться в расчетах.Даже с этими более сложными примерами вы по-прежнему будете применять ту же концепцию, что и мы, к каждому из приведенных выше примеров.

Оценка функций с помощью графика

График функции – это способ просмотра выходов функции для всех возможных входов. Здесь мы позволяем \ (y = f (x) \), чтобы каждое значение y представляло выход, а каждое значение x представляло вход. Это означает, что любая точка на графике равна:

\ ((x, y) = (\ text {input}, \ text {соответствующий вывод}) \)

Помните, что в плоскости xy ось x является горизонтальной осью, а ось y – вертикальной осью.Используя это, мы можем легко считывать точки на графике.

Это можно сделать для графика практически любой функции. Например, если бы мы хотели узнать значение \ (f \) при \ (x = -1 \) для функции ниже, мы бы просто нашли \ (x = -1 \) на оси x и использовали график, чтобы найти соответствующее значение y.

Есть несколько типов функций, к которым нужно быть немного внимательнее. Кусочно определенные функции и функции с асимптотами часто имеют больше происходящего на графике.Однако позже они изучаются в алгебре. На данный момент вам следует убедиться, что вы можете читать графики функций, подобные тем, которые показаны в примерах выше.

Сводка

Функции используются во всех разделах математики, и понимание обозначений функций необходимо для решения широкого круга задач. Помните, что это просто способ связать вход функции со значением ее выхода. Обозначение \ (f (x) \) всегда читается как «\ (f \) of \ (x \)», хотя функция может иметь другое имя, например \ (g \) или \ (k \) (тогда мы могли бы напишите \ (g (x) \) вместо «\ (g \) из \ (x \)» или \ (k (x) \) для «\ (k \) из \ (x \)»).

Подпишитесь на нашу рассылку новостей!

Мы всегда публикуем новые бесплатные уроки и добавляем новые учебные пособия, руководства по калькуляторам и пакеты задач.

Подпишитесь, чтобы получать электронные письма (раз в пару или три недели) с информацией о новинках!

Связанные

BioMath: функции

В этом разделе мы узнаем, что означает сложение, вычитание, умножение и деление двух функций.Изучение этих операций важно, потому что почти любая функция, с которой вы сталкиваетесь, представляет собой сумму, разность, произведение или частное (или любую комбинацию этих операций) более простых функций. Вы также научитесь определять область применения и диапазон этих функций.

Сумма двух функций

Предположим, у нас есть две функции: f ( x ) и g ( x ). Мы можем определить сумму этих двух функций как,

( f + g ) ( x ) = f ( x ) + g ( x ),

, где x находится в домене f и g .

Например, мы можем сложить функции f ( x ) = x ² – 1 и g ( x ) = 2 x ³ + 3 as,

( f + g ) ( x ) = f ( x ) + g ( x )

= x ² – 1 + 2 x ³ + 3

= 2 x ³ + x ² + 2.

Домен ( f + g ) ( x ) состоит из всех значений x , которые находятся в домене как f , так и g . В этом примере f, и g имеют домен, состоящий из всех действительных чисел, поэтому ( f + g ) ( x ) также имеет домен, состоящий из всех действительных чисел.

Различие двух функций

Предположим, у нас есть две функции: f ( x ) и g ( x ).Мы можем определить разницу этих двух функций как,

( f – g ) ( x ) = f ( x ) – g ( x ),

, где x находится в домене f и g .

Например, мы можем вычесть функции f ( x ) = √ x и g ( x ) = x – 8 as,

Домен ( f – g ) ( x ) состоит из всех значений x , которые находятся в домене как f , так и g .В этом случае f имеет домен {x | x ≥ 0}, и g имеет домен всех действительных чисел, поэтому ( f – g ) ( x ) имеет домен {x | x ≥ 0}, поскольку эти значения x находятся в области f и g .

Произведение двух функций

Предположим, у нас есть две функции: f ( x ) и g ( x ). Мы можем определить произведение этих двух функций как,

( f · g ) ( x ) = f ( x ) · g ( x ),

, где x находится в домене f и g .

Например, мы можем умножить функции f ( x ) = 1/ x и g ( x ) = 2 as,

Область значений ( f · g ) ( x ) состоит из всех значений x , которые находятся в области как f , так и g . В этом примере f имеет домен { x | x ≠ 0}, а g имеет домен для всех действительных чисел, поэтому ( f · g ) ( x ) имеет домен { x | x ≠ 0}, поскольку эти значения x находятся в домене f и g .

Частное двух функций

Предположим, у нас есть две функции: f ( x ) и g ( x ). Мы можем определить частное этих двух функций как

, где x находится в домене f и g . Важно указать г ( x ) ≠ 0, потому что мы не можем разделить на ноль. Например, мы можем разделить функции f ( x ) = x -7 и g ( x ) = x + 5 as,

Область ( f / g ) ( x ) состоит из всех значений x , которые находятся в домене как f , так и g , где g ( x ) ≠ 0.И f , и g имеют область всех действительных чисел, но g ( x ) = 0, когда x = −5. Таким образом, домен ( f / g ) ( x ) равен { x | x −5}.