Как решать лимиты примеры и решения: Математическое Бюро. Страница 404

lim как решать

Вы искали lim как решать? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и алгебра лимит, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели – у нас уже есть решение. Например, «lim как решать».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как lim как решать,алгебра лимит,алгебра пределы,все о пределах,высшая математика для чайников пределы,высшая математика лимиты,высшая математика пределы,высшая математика пределы для чайников,вычислить пределы функций пошаговое решение,задания пределы,задачи на пределы,задачи на пределы с решениями,задачи пределы,задачи с решениями на пределы,лимит как решать,лимит математика,лимиты как решать,матанализ для тупых,матанализ для чайников пределы,матанализ пределы,матанализ пределы для чайников,математика предел,математика пределы,математика пределы для чайников,математический анализ для чайников пределы,математический анализ пределы,математический анализ пределы для чайников,математический предел,матпрофи пределы,методы решения пределов,нахождение пределов с подробным решением,предел 0,предел алгебра,предел в математике,предел в математике это,предел математика,предел математический,предел функции для чайников,предел это в математике,пределы алгебра,пределы в математике,пределы высшая математика,пределы для чайников,пределы как решать,пределы как решаются,пределы матан,пределы матанализ для чайников,пределы математика,пределы математика для чайников,пределы математический анализ,пределы математический анализ для чайников,пределы примеры решений,пределы примеры решения,пределы решений примеры,пределы решения,пределы с бесконечностью как решать,пределы теория с примерами,примеры на пределы,примеры решений пределов,примеры решения пределов,решение пределов онлайн с подробным решением для чайников,решение пределов примеры,решение пределов примеры с решением,решение пределов с подробным решением,решения пределов пример,способы нахождения пределов,способы решения пределов,теория пределов для чайников,формулы лимитов,что такое в математике предел,что такое в математике пределы,что такое предел в математике. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и lim как решать. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, алгебра пределы).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же lim как решать Онлайн?

Решить задачу lim как решать вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать – это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Как решать пределы с корнями с примерами решения

Содержание:

1. Примеры с решением
2. Пример 1:
3. Пример 2:
4. Пример 3:
5. Пример 4:
6. Пример 5:
7. Пример 6:
8. Пример 7:
9. Пример 8:
10. Пример 9:
11. Пример 10:
12. Пример 11:
13. Пример 12:
14. Пример 13:
15. Пример 14:
16. Пример 14:
17. Пример 15:
18. Пример 16:
19. Пример 17:
20. Пример 18:
21. Пример 19:
22. Пример 20:
23. Раскрытие неопределенностей вида
24. Пример 21:
25. Пример 22:

При вычислении предела вначале проверяют принадлежит ли точка области определения. Если то предел равен значению функции в точке

(это объясняется непрерывностью элементарной функции на своей области определения)

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Примеры с решением

Пример 1:

Вычислить:

a)

б)

в)

Решение:

а)

б)

в)

Правило сохраняет силу, если Запись например, означает, что когда абсолютное значение

неограниченно возрастает, функция стремится к нулю (это ясно из графика функции).

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Пример 2:

Найти:

а)

б)

в)

Решение:

а)

б)

в)

Пример 3:

Найти

Решение:

При подстановке в значение функции вместосимвола бесконечности, результат может оказаться не конечным числом. Например:

Что считать ответом в этом случае?

При вычислении подобных пределов пользуются одним из следующих правил (в приводимых ниже формулах с означает число):

Приведенные формулы следуют из соображений здравого смысла. Например, первая из приведенных формул по существу утверждает, что если одна из функций становится очень большой и положительной, а другая ограничена, то сумма их становится очень большой и положительной.

Те же соображения приводят и к формальному доказательству: надо только вместо «очень больших» значений говорить о «больших любого заданного числа».

Применим эти правила для вычисления пределов, которые были оставлены без вычисления:

Соображениями здравого смысла руководствуются и при вычислении пределов от функций при Надо проследить ио графику функции куда стремится значение функции, если аргумент стремится к

Пример 4:

Вычислить:

а)

б)

в)

Решение:

а) При знаменатель неограниченно растет, т.е. является величиной бесконечно большой, а обратная величина бесконечно малой. Произведение бесконечно малой на ограниченную величину (постоянная — частный случай ограниченной еличины) есть величина бесконечно малая, и предел ее при равен нулю. Следовательно,

Этот же ответ получается при применении последнего из приведенных выше правил

б)

в)

Приведенные рассуждения не являются строгими. Однако они вполне достаточны для приложений и интуитивно понятны . Как уже было отмечено ранее, выражение при можно считать равным

Выражение взято в скобки, чтобы подчеркнуть условность записи.

Пример 5:

Найти:

а)

б)

в)

Решение:

а)

б)

в)

Имеются случаи, не охватываемые правилами из предыдущего параграфа. Не существует «общей формулы» для выражения . В самом деле, пусть где —целое число. Частное этих функций. при является частным бесконечно малых. Оно может стремиться к нулю (при), или (при ), или (при ). Поэтому выражение и подобные ему называются неопределенностями. К неопределенностям относятся следующие выражения:

Как для случая неопределенности вида встретившейся при сравнении бесконечно малых, здесь для раскрытия неопределенности уже недостаточно знать лишь пределы функций и а нужно учесть и закон их изменения. Примеры раскрытия неопределенностей приведены ниже.

Пример 6:

Найти

Решение:

Непосредственной подстановкой вместо аргумента его предельного значения вычислить предел нельзя, поскольку получается неопределенность вида

Разложим числитель и знаменатель на множители, чтобы сократить дробь на общий множитель, стремящийся к нулю. Нужно иметь в виду, что здесь не производится сокращение на нуль, что недопустимо. По определению предела функции аргумент стремится к своему предельному значению, никогда не принимая этого значения (вспомним, что в определении предела по Коши оэтому до перехода к пределу можно произвести сокращение на множитель, стремящийся к нулю. Имеем:

Пример 7:

Найти

Решение:

Пределы числителя и знаменателя при равны нулю

Разложим квадратный трехчлен в числителе на линейные множители по формуле где и – корни трехчлена. Разложив на множители и знаменатель, сократим на получим

Пример 8:

Найти

Решение:

и

Пример 9:

Найти

Решение:

Пределы числителя и знаменателя при равны нулю. Умножим числитель и знаменатель на сопряженный знаменателю множитель и затем, сократив дробь на получим:

Пример 10:

Найти

Решение:

Когда числитель и знаменатель дроби стремятся к нулю, получается неопределенность вида Желая избавится от иррациональности в знаменателе, преобразуем данное выражение:

Перейдя к пределу, получим

В предыдущих примерах неопределенность вида раскрывалась путем выделения в числителе и знаменателе общего множителя. Однако этот прием «срабатывает» не во всех случаях. Например, в случае предела неясно, как выделить общий множитель. Этот предел можно вычислить с помощью принципа замены эквивалентных. Вычислим этот предел другим способом — сведением к пределу

называемому 300 лет назад первым замечательным пределом. Доказательство равенства нетрудно и опирается оно не приводится.

Заметим, что выражение взято в скобки, поскольку писать нельзя! Скобки в записи подчеркивают ее условность. Равенство означает, что в данном конкретном случае неопределенность раскрыта и значение соответствующего предела равно единице.

Пример 11:

Найти

Решение:

Пример 12:

Найти

Решение:

Пример 13:

Найти

Решение:

При числитель и знаменатель — величины бесконечно большие. Поэтому при непосредственной подстановке символа вместо получаем выражение которое представляет собой неопределенность. Для вычисления предела этой функции нужно и числитель и знаменатель разделить на (наивысшую степень аргумента в знаменателе):

Пример 14:

Найти

Решение:

При непосредственной подстановке символа вместо получаем неопределенность вида Для вычисления предела этой функции нужно и числитель и знаменатель разделить на (наивысшую степень аргумента в знаменателе):

(при слагаемые — величины бесконечно малые и, следовательно, их пределы равны нулю).

Пример 14:

Наити

Решение:

Вообще, предел отношения полиномов при равен отношению коэффициентов при старших членах, если степени числителя и знаменателя одинаковы, и равен нулю или бесконечности, если степень числителя соответственно меньше или больше знаменателя.

Пример 15:

Найти

Решение:

Пример 16:

Найти

Решение:

В подобных примерах полезно иметь в виду, что функция где — многочлен степени стремится к бесконечности так же, как и функция Это позволяет выделить высшую степень входящую в данное выражение, и разделить числитель и знаменатель на эту степень В данном примере надо делить на

Неопределенности вида и путем преобразования можно привести к неопределенности вида или которая раскрывается уже известными способами.

Покажем на примерах, как находятся такие пределы.

Пример 17:

Найти

Решение:

Произведем вычитание дробей, получим

Пример 18:

Найти

Решение:

Пример 19:

Найти

Решение:

(сделали замену ).

Пример 20:

Найти

Ответ:

Раскрытие неопределенностей вида

Рассмотрим последовательность где

Может показаться, что неограниченное возрастание показателя степени должно повлечь неограниченное возрастание целочисленной функции Но рост показателя компенсируется тем, что основание стремится к В результате последовательность оказывается возрастающей и ограниченной. А всякая ограниченная и возрастающая последовательность имеет конечный предел. Предел, к торому стремится при обозначается

Обозначением числа и его широким применением во многих вопросах математики мы обязаны Эйлеру. Это число иррационально и с точностью до шестой значащей цифры равно

Функция имеет пределом число не только при целочисленных значениях но и тогда, когда стремится к бесконечности, пробегая числовую прямую непрерывно. Более того, аргументможет принимать как положительные, так и отрицательные значения, лишь бы неограниченно росло по абсолютному значению. Чтобы отмстить это обстоятельство, заменим букву буквой и напишем:

или короче

Этот предел часто используется в математике для раскрытия неопределенности и именуется вторым замечательным пределом

Пример 21:

Найти пределы:

а)

б)

Решение:

а)

б)

Пример 22:

Найти пределы

а)

б)

Решение:

а) При основание степени стремится к единице, а показатель стремится к бесконечности. Следовательно, имеем неопределенность вида Представим основание в виде суммы единицы и некоторой бесконечно малой величины:

тогда

б)

Число во многих случаях выгодно брать за основание логарифмов. Логарифм от с основанием носит название натурального логарифма и обозначается Показательная функция широко используется в науке и называется экспоненциальной. Другое обозначение этой функции –

Неопределенности вида и можно свести к неопределенности вида следующим образом:

Презентация на тему: Пределы функций. Примеры решений Теория пределов – это один из разделов

1

Первый слайд презентации

Пределы функций. Примеры решений Теория пределов – это один из разделов математического анализа. Вопрос решения пределов является достаточно обширным, поскольку существуют десятки приемов решений пределов различных видов. Существуют десятки нюансов и хитростей, позволяющих решить тот или иной предел. Тем не менее, мы все-таки попробуем разобраться в основных типах пределов, которые наиболее часто встречаются на практике. Начнем с самого понятия предела. Но сначала краткая историческая справка. Жил-был в 19 веке француз Огюстен Луи Коши, который заложил основы математического анализа и дал строгие определения, определение предела, в частности. Надо сказать, этот самый Коши снился, снится и будет сниться в кошмарных снах всем студентам физико-математических факультетов, так как доказал огромное количество теорем математического анализа, причем одна теорема отвратительнее другой. В этой связи мы не будем рассматривать строгое определение предела, а попытаемся сделать две вещи: 1. Понять, что такое предел. 2. Научиться решать основные типы пределов.

Изображение слайда

2

Слайд 2

А сразу пример, Любой предел состоит из трех частей: 1) Всем известного значка предела lim. 2) Записи под значком предела. Запись читается «икс стремится к единице». Чаще всего – именно, хотя вместо «икса» на практике встречаются и другие переменные. В практических заданиях на месте единицы может находиться совершенно любое число, а также бесконечность ( ∞). 3) Функции под знаком предела, в данном случае Разберем следующий важный вопрос – а что значит выражение «икс стремится к единице»? И что вообще такое «стремится»? Понятие предела – это понятие, если так можно сказать, динамическое. Построим последовательность: сначала, затем,, …,, …. То есть выражение «икс стремится к единице» следует понимать так – «икс» последовательно принимает значения, которые бесконечно близко приближаются к единице и практически с ней совпадают. Как решить вышерассмотренный пример? Исходя из вышесказанного, нужно просто подставить единицу в функцию, стоящую под знаком предела:

Изображение слайда

3

Слайд 3

Итак, первое правило : Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию. Мы рассмотрели простейший предел, но и такие встречаются на практике, причем, не так уж редко! Пример с бесконечностью: Разбираемся, что такое Это тот случай, когда   x неограниченно возрастает, то есть: сначала 1, потом 10, потом 100, затем   1000 и так далее до бесконечности. А что в это время происходит с функцией 1-x ? ` 1-1=0, 1-10=-9, 1-100=-99, 1-1000=-999, … Итак, если x→∞, то функция 1- x стремится к минус бесконечности!

Изображение слайда

4

Слайд 4

Грубо говоря, согласно нашему первому правилу, мы вместо «икса» подставляем в функцию   бесконечность и получаем ответ. Еще один пример с бесконечностью: Опять начинаем увеличивать   x до бесконечности, и смотрим на поведение функции: Вывод: при   x →∞ функция    неограниченно возрастает

Изображение слайда

5

Слайд 5

И еще серия примеров: Примечание: строго говоря, такой подход с построением последовательностей из нескольких чисел некорректен, но для понимания простейших примеров вполне подойдет. Пределы с неопределенностью вида   и метод их решения Сейчас мы рассмотрим группу пределов, когда x→∞, а функция представляет собой дробь, в числителе и знаменателе которой находятся многочлены Вычислить предел Согласно нашему правилу попытаемся подставить бесконечность в функцию. Что у нас получается вверху? Бесконечность. А что получается внизу? Тоже бесконечность. Таким образом, у нас есть так называемая неопределенность вида

Изображение слайда

6

Слайд 6

Можно было бы подумать, что, и ответ готов, но в общем случае это вовсе не так, и нужно применить некоторый прием решения, который мы сейчас и рассмотрим. Как решать пределы данного типа? Сначала мы смотрим на числитель и находим X   в старшей степени: Старшая степень знаменателя равна двум Старшая степень в числителе равна двум. Итак, метод решения следующий: для того, чтобы раскрыть неопределенность необходимо разделить числитель и знаменатель на   x в старшей степени

Изображение слайда

7

Слайд 7

Пример 2 Найти предел Максимальная степень в числителе: 3 Максимальная степень в знаменателе: 4 Выбираем наибольшее значение, в данном случае четверку Пример 3 Максимальная степень «икса» в числителе: 2 Максимальная степень «икса» в знаменателе: 1

Изображение слайда

8

Слайд 8

Таким образом, при раскрытии неопределенности вида   у нас может получиться конечное число, ноль или бесконечность. Пределы с неопределенностью вида   и метод их решения Группа следующих пределов чем-то похожа на только что рассмотренные пределы: в числителе и знаменателе находятся многочлены, но «икс» стремится уже не к бесконечности, а к конечному числу. Пример 4 Решить предел Сначала попробуем подставить -1 в дробь: В данном случае получена так называемая неопределенность Общее правило: если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенности вида то для ее раскрытия нужно разложить числитель и знаменатель на множители. Очевидно, что можно сократить на

Изображение слайда

9

Слайд 9

Пример 5 Вычислить предел Разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель Знаменатель: , Что важного в данном примере? Во-первых, Вы должны хорошо понимать, как раскрыт числитель, сначала мы вынесли за скобку 2, а затем использовали формулу разности квадратов. Уж эту-то формулу нужно знать и видеть.

Изображение слайда

10

Слайд 10

Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение Продолжаем рассматривать неопределенность вида Пример 6 Сначала пробуем подставить 3 в выражение под знаком предела Еще раз повторяю – это первое, что нужно выполнять для ЛЮБОГО предела. Данное действие обычно проводится мысленно или на черновике. Как Вы, наверное, заметили, у нас в числителе находится разность корней. А от корней в математике принято, по возможности, избавляться. Зачем? А без них жизнь проще. Когда в числителе (знаменателе) находится разность корней (или корень минус какое-нибудь число), то для раскрытия неопределенности   используют метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение.

Изображение слайда

11

Слайд 11

Неопределенность   не пропала (попробуйте подставить тройку), да и корни тоже не исчезли. Но с суммой корней всё значительно проще, ее можно превратить в постоянное число. Как это сделать? Да просто подставить тройку под корни:

Изображение слайда

12

Последний слайд презентации: Пределы функций. Примеры решений Теория пределов – это один из разделов

Число, как уже отмечалось ранее, лучше вынести за значок предела. Теперь осталось разложить числитель и знаменатель на множители, собственно, это следовало сделать раньше. Пример 7 Спасибо за внимание !

Изображение слайда

объяснение, теория, примеры решений. Понятие предела в математике

Определение пределов последовательности и функции, свойства пределов, первый и второй замечательные пределы, примеры.

Постоянное число а называется пределом последовательности {x n }, если для любого сколь угодно малого положительного числа ε > 0 существует номер N, что все значения x n , у которых n>N, удовлетворяют неравенству

Записывают это следующим образом: или x n → a.

Неравенство (6.1) равносильно двойному неравенству

a – ε x n , начиная с некоторого номера n>N, лежат внутри интервала (a-ε , a+ε), т.е. попадают в какую угодно малую ε-окрестность точки а .

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся , в противном случае – расходящейся .

Понятие предел функции является обобщением понятия предел последовательности, так как предел последовательности можно рассматривать как предел функции x n = f(n) целочисленного аргумента n .

Пусть дана функция f(x) и пусть a – предельная точка области определения этой функции D(f), т.е. такая точка, любая окрестность которой содержит точки множества D(f), отличные от a . Точка a может принадлежать множеству D(f), а может и не принадлежать ему.

Определение 1. Постоянное число А называется предел функции f(x) при x→ a, если для всякой последовательности {x n } значений аргумента, стремящейся к а , соответствующие им последовательности {f(x n)} имеют один и тот же предел А.

Это определение называют определением предела функции по Гейне, или “на языке последовательностей ”.

Определение 2 . Постоянное число А называется предел функции f(x) при x→a, если, задав произвольное, как угодно малое положительное число ε, можно найти такое δ >0 (зависящее от ε), что для всех x , лежащих в ε-окрестности числа а , т.е. для x , удовлетворяющих неравенству
0

Это определение называют определением предел функции по Коши, или “на языке ε – δ “

Определения 1 и 2 равносильны. Если функция f(x) при x → a имеет предел , равный А, это записывается в виде

В том случае, если последовательность {f(x n)} неограниченно возрастает (или убывает) при любом способе приближения x к своему пределу а , то будем говорить, что функция f(x) имеет бесконечный предел, и записывать это в виде:

Переменная величина (т.е. последовательность или функция), предел которой равен нулю, называется бесконечно малой величиной.

Переменная величина, предел которой равен бесконечности, называется бесконечно большой величиной .

Чтобы найти предел на практике пользуются следующими теоремами.

Теорема 1 . Если существует каждый предел

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Замечание . Выражения вида 0/0, ∞/∞, ∞-∞ 0*∞ являются неопределенными, например, отношение двух бесконечно малых или бесконечно больших величин, и найти предел такого вида носит название “раскрытие неопределенностей”.

Теорема 2.

т.е. можно переходить к пределу в основании степени при постоянном показателе, в частности,

Теорема 3.

(6.11)

где e » 2.7 – основание натурального логарифма. Формулы (6.10) и (6.11) носят название первый замечательного предело и второй замечательный предел.

Используются на практике и следствия формулы (6.11):

(6.12)

(6.13)

(6.14)

в частности предел,

Eсли x → a и при этом x > a, то пишут x →a + 0. Если, в частности, a = 0, то вместо символа 0+0 пишут +0. Аналогично если x→a и при этом x и называются соответственно предел справа и предел слева функции f(x) в точке а . Чтобы существовал предел функции f(x) при x→ a необходимо и достаточно, чтобы . Функция f(x) называется непрерывной в точке x 0 , если предел

(6.15)

Условие (6.15) можно переписать в виде:

то есть возможен предельный переход под знаком функции, если она непрерывна в данной точке.

Если равенство (6.15) нарушено, то говорят, что при x = x o функция f(x) имеет разрыв. Рассмотрим функцию y = 1/x. Областью определения этой функции является множество R , кроме x = 0. Точка x = 0 является предельной точкой множества D(f), поскольку в любой ее окрестности, т.е. в любом открытом интервале, содержащем точку 0, есть точки из D(f), но она сама не принадлежит этому множеству. Значение f(x o)= f(0) не определено, поэтому в точке x o = 0 функция имеет разрыв.

Функция f(x) называется непрерывной справа в точке x o , если предел

и непрерывной слева в точке x o, если предел

Непрерывность функции в точке x o равносильна ее непрерывности в этой точке одновременно и справа и слева.

Для того, чтобы функция была непрерывна в точке x o , например, справа, необходимо, во-первых, чтобы существовал конечный предел , а во-вторых, чтобы этот предел был равен f(x o). Следовательно, если хотя бы одно из этих двух условий не выполняется, то функция будет иметь разрыв.

1. Если предел существует и не равен f(x o), то говорят, что функция f(x) в точке x o имеет разрыв первого рода, или скачок .

2. Если предел равен +∞ или -∞ или не существует, то говорят, что в точке x o функция имеет разрыв второго рода .

Например, функция y = ctg x при x → +0 имеет предел, равный +∞ , значит, в точке x=0 она имеет разрыв второго рода. Функция y = E(x) (целая часть от x ) в точках с целыми абсциссами имеет разрывы первого рода, или скачки.

Функция, непрерывная в каждой точке промежутка , называется непрерывной в . Непрерывная функция изображается сплошной кривой.

Ко второму замечательному пределу приводят многие задачи, связанные с непрерывным ростом какой-либо величины. К таким задачам, например, относятся: рост вклада по закону сложных процентов, рост населения страны, распад радиоактивного вещества, размножение бактерий и т.п.

Рассмотрим пример Я. И. Перельмана , дающий интерпретацию числа e в задаче о сложных процентах. Число e есть предел . В сбербанках процентные деньги присоединяются к основному капиталу ежегодно. Если присоединение совершается чаще, то капитал растет быстрее, так как в образовании процентов участвует большая сумма. Возьмем чисто теоретический, весьма упрощенный пример. Пусть в банк положено 100 ден. ед. из расчета 100 % годовых. Если процентные деньги будут присоединены к основному капиталу лишь по истечении года, то к этому сроку 100 ден. ед. превратятся в 200 ден.ед. Посмотрим теперь, во что превратятся 100 ден. ед., если процентные деньги присоединять к основному капиталу каждые полгода. По истечении полугодия 100 ден. ед. вырастут в 100 ×1,5 = 150, а еще через полгода – в 150× 1,5 = 225 (ден. ед.). Если присоединение делать каждые 1/3 года, то по истечении года 100 ден. ед. превратятся в 100 × (1 +1/3) 3 ≈ 237 (ден. ед.). Будем учащать сроки присоединения процентных денег до 0,1 года, до 0,01 года, до 0,001 года и т.д. Тогда из 100 ден. ед. спустя год получится:

100×(1 +1/10) 10 ≈ 259 (ден. ед.),

100×(1+1/100) 100 ≈ 270 (ден. ед.),

100×(1+1/1000) 1000 ≈271 (ден. ед.).

При безграничном сокращении сроков присоединения процентов наращенный капитал не растет беспредельно, а приближается к некоторому пределу, равному приблизительно 271. Более чем в 2,71 раз капитал, положенный под 100% годовых, увеличиться не может, даже если бы наросшие проценты присоединялись к капиталу каждую секунду, потому что предел

Пример 3.1 . Пользуясь определением предела числовой последовательности, доказать, что последовательность x n =(n-1)/n имеет предел, равный 1.

Решение. Нам надо доказать, что, какое бы ε > 0 мы ни взяли, для него найдется натуральное число N, такое, что для всех n > N имеет место неравенство |x n -1|

Возьмем любое ε > 0. Так как x n -1 =(n+1)/n – 1= 1/n, то для отыскания N достаточно решить неравенство 1/n1/ε и, следовательно, за N можно принять целую часть от 1/ε N = E(1/ε). Мы тем самым доказали, что предел .

Пример 3.2. Найти предел последовательности, заданной общим членом .

Решение. Применим теорему предел суммы и найдем предел каждого слагаемого. При n → ∞ числитель и знаменатель каждого слагаемого стремится к бесконечности, и мы не можем непосредственно применить теорему предел частного. Поэтому сначала преобразуем x n , разделив числитель и знаменатель первого слагаемого на n 2 , а второго на n . Затем, применяя теорему предел частного и предел суммы, найдем:

Пример 3.3 . . Найти .

Решение.

Здесь мы воспользовались теоремой о пределе степени: предел степени равен степени от предела основания.

Пример 3.4 . Найти ().

Решение. Применять теорему предел разности нельзя, поскольку имеем неопределенность вида ∞-∞. Преобразуем формулу общего члена:

Пример 3.5 . Дана функция f(x)=2 1/x . Доказать, что предел не существует.

Решение. Воспользуемся определением 1 предела функции через последовательность. Возьмем последовательность { x n }, сходящуюся к 0, т.е. Покажем, что величина f(x n)= для разных последовательностей ведет себя по-разному. Пусть x n = 1/n. Очевидно, что , тогда предел Выберем теперь в качестве x n последовательность с общим членом x n = -1/n, также стремящуюся к нулю. Поэтому предел не существует.

Пример 3.6 . Доказать, что предел не существует.

Решение. Пусть x 1 , x 2 ,…, x n ,… – последовательность, для которой
. Как ведет себя последовательность {f(x n)} = {sin x n } при различных x n → ∞

Если x n = p n, то sin x n = sin (p n) = 0 при всех n и предел Если же
x n =2 p n+ p /2, то sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 для всех n и следовательно предел . Таким образом, не существует.

Предел функции – число a будет пределом некоторой изменяемой величины, если в процессе своего изменения эта переменная величина неограниченно приближается к a .

Или другими словами, число A является пределом функции y = f (x) в точке x 0 , если для всякой последовательности точек из области определения функции , не равных x 0 , и которая сходится к точке x 0 (lim x n = x0) , последовательность соответствующих значений функции сходится к числу A .

График функции, предел которой при аргументе, который стремится к бесконечности, равен L :

Значение А является пределом (предельным значением) функции f (x) в точке x 0 в случае, если для всякой последовательности точек , которая сходится к x 0 , но которая не содержит x 0 как один из своих элементов (т.е. в проколотой окрестности x 0 ), последовательность значений функции сходится к A .

Предел функции по Коши.

Значение A будет являться пределом функции f (x) в точке x 0 в случае, если для всякого вперёд взятого неотрицательного числа ε будет найдено соответствующее ему неотрицательно число δ = δ(ε) такое, что для каждого аргумента x , удовлетворяющего условию 0 , будет выполнено неравенство | f (x) A | .

Будет очень просто, если вы понимаете суть предела и основные правила нахождения его. То, что предел функции f (x) при x стремящемся к a равен A , записывается таким образом:

Причем значение, к которому стремится переменная x , может быть не только числом, но и бесконечностью (∞), иногда +∞ или -∞, либо предела может вообще не быть.

Чтоб понять, как находить пределы функции , лучше всего посмотреть примеры решения.

Необходимо найти пределы функции f (x) = 1/ x при:

x → 2, x → 0, x → ∞.

Найдем решение первого предела. Для этого можно просто подставить вместо x число, к которому оно стремится, т.е. 2, получим:

Найдем второй предел функции . Здесь подставлять в чистом виде 0 вместо x нельзя, т.к. делить на 0 нельзя. Но мы можем брать значения, приближенные к нулю, к примеру, 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001 и так далее, причем значение функции f (x) будет увеличиваться: 100; 1000; 10000; 100000 и так далее. Т.о., можно понять, что при x → 0 значение функции, которая стоит под знаком предела, будет неограниченно возрастать, т.е. стремиться к бесконечности. А значит:

Касаемо третьего предела. Такая же ситуация, как и в прошлом случае, невозможно подставить ∞ в чистом виде. Нужно рассмотреть случай неограниченного возрастания x . Поочередно подставляем 1000; 10000; 100000 и так далее, имеем, что значение функции f (x) = 1/ x будет убывать: 0,001; 0,0001; 0,00001; и так далее, стремясь к нулю. Поэтому:

Необходимо вычислить предел функции

Приступая к решению второго примера, видим неопределенность . Отсюда находим старшую степень числителя и знаменателя – это x 3 , выносим в числителе и знаменателе его за скобки и далее сокращаем на него:

Ответ

Первым шагом в нахождении этого предела , подставим значение 1 вместо x , в результате чего имеем неопределенность . Для её решения разложим числитель на множители , сделаем это методом нахождения корней квадратного уравнения x 2 + 2 x – 3 :

D = 2 2 – 4*1*(-3) = 4 +12 = 16 → √ D = √16 = 4

x 1,2 = (-2 ± 4) / 2 → x 1 = -3; x 2 = 1.

Таким образом, числитель будет таким:

Ответ

Это определение его конкретного значения или определенной области, куда попадает функция, которая ограничена пределом.

Чтобы решить пределы, следуйте правилам:

Разобравшись в сути и основных правилах решения предела , вы получите базовое понятие о том, как их решать.

Понятия пределов последовательностей и функций. Когда требуется найти предел последовательности, это записывают следующим образом: lim xn=a. В такой последовательности последовательности xn стремится к a, а n к бесконечности. Последовательность обычно представляют в виде ряда, например:
x1, x2, x3…,xm,…,xn.2 стремится к нулю.

Обычно переменная величина x стремится к конечному пределу a, причем, x постоянно приближается к a, а величина a постоянна. Это записывают следующим образом: limx =a, при этом, n также может стремиться как к нулю, так и к бесконечности. Существуют бесконечные функции, для них предел стремится к бесконечности. В других случаях, когда, например, функцией замедление хода поезда, можно о пределе, стремящемся к нулю.
У пределов имеется ряд свойств. Как правило, любая функция имеет только один предел. Это главное свойство предела. Другие их свойства перечислены ниже:
* Предел суммы равен сумме пределов:
lim(x+y)=lim x+lim y
* Предел произведения равен произведению пределов:
lim(xy)=lim x*lim y
* Предел частного равен частному от пределов:
lim(x/y)=lim x/lim y
* Постоянный множитель выносят за знак предела:
lim(Cx)=C lim x
Если дана функция 1 /x, в которой x →∞, ее предел равен нулю. Если же x→0, предел такой функции равен ∞.
Для тригонометрических функций имеются исключения из этих правил. Так как функция sin x всегда стремится к единице, когда приближается к нулю, для нее справедливо тождество:
lim sin x/x=1

В ряде задач встречаются функции, при вычислении пределов которых возникает неопределенность – ситуация, при которой предел невозможно вычислить. Единственным выходом из такой ситуации становится применение правила Лопиталя. Существует два вида неопределенностей:
* неопределенность вида 0/0
* неопределенность вида ∞/∞
К примеру, дан предел следующего вида: lim f(x)/l(x), причем, f(x0)=l(x0)=0. В таком случае, возникает неопределенность вида 0/0. Для решения такой задачи обе функции подвергают дифференцированию, после чего находят предел результата. Для неопределенностей вида 0/0 предел равен:
lim f(x)/l(x)=lim f”(x)/l”(x) (при x→0)
Это же правило справедливо и для неопределенностей типа ∞/∞. Но в этом случае справедливо следующее равенство: f(x)=l(x)=∞
С помощью правила Лопиталя можно находить значения любых пределов, в которых фигурируют неопределенности.(n-1)

Пределы доставляют всем студентам, изучающим математику, немало хлопот. Чтобы решить предел, порой приходится применять массу хитростей и выбирать из множества способов решения именно тот, который подойдет для конкретного примера.

В этой статье мы не поможем вам понять пределы своих возможностей или постичь пределы контроля, но постараемся ответить на вопрос: как понять пределы в высшей математике? Понимание приходит с опытом, поэтому заодно приведем несколько подробных примеров решения пределов с пояснениями.

Понятие предела в математике

Первый вопрос: что это вообще за предел и предел чего? Можно говорить о пределах числовых последовательностей и функций. Нас интересует понятие предела функции, так как именно с ними чаще всего сталкиваются студенты. Но сначала – самое общее определение предела:

Допустим, есть некоторая переменная величина. Если эта величина в процессе изменения неограниченно приближается к определенному числу a , то a – предел этой величины.

Для определенной в некотором интервале функции f(x)=y пределом называется такое число A , к которому стремится функция при х , стремящемся к определенной точке а . Точка а принадлежит интервалу, на котором определена функция.

Звучит громоздко, но записывается очень просто:

Lim – от английского limit – предел.

Существует также геометрическое объяснение определения предела, но здесь мы не будем лезть в теорию, так как нас больше интересует практическая, нежели теоретическая сторона вопроса. Когда мы говорим, что х стремится к какому-то значению, это значит, что переменная не принимает значение числа, но бесконечно близко к нему приближается.

Приведем конкретный пример. Задача – найти предел.

Чтобы решить такой пример, подставим значение x=3 в функцию. Получим:

Кстати, если Вас интересуют базовые операции над матрицами , читайте отдельную статью на эту тему.

В примерах х может стремиться к любому значению. Это может быть любое число или бесконечность. Вот пример, когда х стремится к бесконечности:

Интуитивно понятно, что чем больше число в знаменателе, тем меньшее значение будет принимать функция. Так, при неограниченном росте х значение 1/х будет уменьшаться и приближаться к нулю.

Как видим, чтобы решить предел, нужно просто подставить в функцию значение, к которому стремиться х . Однако это самый простой случай. Часто нахождение предела не так очевидно. В пределах встречаются неопределенности типа 0/0 или бесконечность/бесконечность . Что делать в таких случаях? Прибегать к хитростям!

Неопределенности в пределах

Неопределенность вида бесконечность/бесконечность

Пусть есть предел:

Если мы попробуем в функцию подставить бесконечность, то получим бесконечность как в числителе, так и в знаменателе. Вообще стоит сказать, что в разрешении таких неопределенностей есть определенный элемент искусства: нужно заметить, как можно преобразовать функцию таким образом, чтобы неопределенность ушла. В нашем случае разделим числитель и знаменатель на х в старшей степени. Что получится?

Из уже рассмотренного выше примера мы знаем, что члены, содержащие в знаменателе х, будут стремиться к нулю. Тогда решение предела:

Для раскрытия неопределенностей типа бесконечность/бесконечность делим числитель и знаменатель на х в высшей степени.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Еще один вид неопределенностей: 0/0

Как всегда, подстановка в функцию значения х=-1 дает 0 в числителе и знаменателе. Посмотрите чуть внимательнее и Вы заметите, что в числителе у нас квадратное уравнение. Найдем корни и запишем:

Сократим и получим:

Итак, если Вы сталкиваетесь с неопределенностью типа 0/0 – раскладывайте числитель и знаменатель на множители.

Чтобы Вам было проще решать примеры, приведем таблицу с пределами некоторых функций:

Правило Лопиталя в пределах

Еще один мощный способ, позволяющий устранить неопределенности обоих типов. В чем суть метода?

Если в пределе есть неопределенность, берем производную от числителя и знаменателя до тех пор, пока неопределенность не исчезнет.

Наглядно правило Лопиталя выглядит так:

Важный момент : предел, в котором вместо числителя и знаменателя стоят производные от числителя и знаменателя, должен существовать.

А теперь – реальный пример:

Налицо типичная неопределенность 0/0 . Возьмем производные от числителя и знаменателя:

Вуаля, неопределенность устранена быстро и элегантно.

Надеемся, что Вы сможете с пользой применить эту информацию на практике и найти ответ на вопрос “как решать пределы в высшей математике”. Если нужно вычислить предел последовательности или предел функции в точке, а времени на эту работу нет от слова «совсем», обратитесь в профессиональный студенческий сервис за быстрым и подробным решением.

Страница не найдена — ПриМат

© 2012-2016: Нохум-Даниэль Блиндер (11), Анастасия Лозинская (10), Елизавета Савицкая (8), Игорь Любинский (8), Юлия Стерлянко (8), Денис Стехун (8), Александр Базан (7), Валентин Малявко (7), Анна Чалапчий (7), Константин Берков (7), Олег Шпинарев (7), Кирилл Волков (6), Татьяна Корнилова (6), Влад Радзивил (6), Максим Швандт (6), Людмила Рыбальченко (6), Елизавета Снежинская (5), Вадим Покровский (5), Даниил Радковский (5), Влад Недомовный (5), Александр Онищенко (5), Андрей Метасов (5), Денис Базанов (5), Александр Ковальский (5), Александр Земсков (5), Марина Чайковская (5), Екатерина Шибаева (5), Мария Корень (5), Анна Семененко (5), Мария Илларионова (5), Сергей Черкес (5), Алиса Ворохта (5), Валерия Заверюха (5), Яков Юсипенко (4), Ольга Слободянюк (4), Руслан Авсенин (4), Екатерина Фесенко (4), Дмитрий Заславский (4), Алина Малыхина (4), Андрей Лисовой (4), Полина Сорокина (4), Кирилл Демиденко (4), Дмитрий Стеценко (4), Александр Рапчинский (4), Святослав Волков (4), Иван Мясоедов (4), Владислав Стасюк (4), Алёна Гирняк (4), Николай Царев (4), Валентин Цушко (4), Павел Жуков (4), Роман Бронфен-Бова (4), Артём Романча (4), Анна Шохина (4), Иван Киреев (4), Никита Савко (4), Кондрат Воронов (4), Алина Зозуля (4), Иван Чеповский (4), Артем Рогулин (4), Игорь Чернега (4), Даниил Кубаренко (4), Ольга Денисова (4), Татьяна Осипенко (4), Вячеслав Иванов (3), Валерия Ларикова (3), Евгений Радчин (3), Андрей Бойко (3), Милан Карагяур (3), Александр Димитриев (3), Иван Василевский (3), Руслан Масальский (3), Даниил Кулык (3), Стас Коциевский (3), Елизавета Севастьянова (3), Павел Бакалин (3), Антон Локтев (3), Андрей-Святозар Чернецкий (3), Николь Метри (3), Евелина Алексютенко (3), Константин Грешилов (3), Марина Кривошеева (3), Денис Куленюк (3), Константин Мысов (3), Мария Карьева (3), Константин Григорян (3), Колаев Демьян (3), Станислав Бондаренко (3), Ильдар Сабиров (3), Владимир Дроздин (3), Кирилл Сплошнов (3), Карина Миловская (3), Дмитрий Козачков (3), Мария Жаркая (3), Алёна Янишевская (3), Александра Рябова (3), Дмитрий Байков (3), Павел Загинайло (3), Томас Пасенченко (3), Виктория Крачилова (3), Таисия Ткачева (3), Владислав Бебик (3), Илья Бровко (3), Максим Носов (3), Филип Марченко (3), Катя Романцова (3), Илья Черноморец (3), Евгений Фищук (3), Анна Цивинская (3), Михаил Бутник (3), Станислав Чмиленко (3), Катя Писова (3), Дмитрий Дудник (3), Дарья Кваша (3), Игорь Стеблинский (3), Артем Чернобровкин (3), Виктор Булгаков (3), Дмитрий Мороз (3), Богдан Павлов (3), Игорь Вустянюк (3), Андрей Яроцкий (3), Лаура Казарян (3), Екатерина Мальчик (3), Анатолий Осецимский (3), Иван Дуков (3), Дмитрий Робакидзе (3), Вячеслав Зелинский (3), Данила Савчак (3), Дмитрий Воротов (3), Стефания Амамджян (3), Валерия Сиренко (3), Георгий Мартынюк (3), Виктор Иванов (3), Георгий Луценко (2), Владислав Гринькив (2), Александр Дяченко (2), Анна Неделева (2), Никита Строгуш (2), Настя Панько (2), Кирилл Веремьев (2), Даниил Мозгунов (2), Андрей Зиновьев (2), Андрей Данилов (2), Даниил Крутоголов (2), Наталия Писаревская (2), Дэвид Ли (2), Александр Коломеец (2), Александра Филистович (2), Евгений Рудницкий (2), Олег Сторожев (2), Евгения Максимова (2), Алексей Пожиленков (2), Юрий Молоканов (2), Даниил Кадочников (2), Александр Колаев (2), Александр Гутовский (2), Павел Мацалышенко (2), Таня Спичак (2), Радомир Сиденко (2), Владислав Шиманский (2), Илья Балицкий (2), Алина Гончарова (2), Владислав Шеванов (2), Андрей Сидоренко (2), Александр Мога (2), Юлия Стоева (2), Александр Розин (2), Надежда Кибакова (2), Майк Евгеньев (2), Евгений Колодин (2), Денис Карташов (2), Александр Довгань (2), Нина Хоробрых (2), Роман Гайдей (2), Антон Джашимов (2), Никита Репнин (2), Инна Литвиненко (2), Яна Юрковская (2), Гасан Мурадов (2), Богдан Подгорный (2), Алексей Никифоров (2), Настя Филипчук (2), Гук Алина (2), Михаил Абабин (2), Дмитрий Калинин (2), Бриткариу Ирина (2), Никита Шпилевский (2), Алексей Белоченко (2), Юлиана Боурош (2), Никита Семерня (2), Владимир Захаренко (2), Дмитрий Лозинский (2), Яна Колчинская (2), Юрий Олейник (2), Кирилл Бондаренко (2), Елена Шихова (2), Татьяна Таран (2), Наталья Федина (2), Настя Кондратюк (2), Никита Гербали (2),

‎App Store: Photomath

Научитесь решать математические задачи, проверять домашние задания и готовиться к предстоящим экзаменам и экзаменам ACT / SAT с помощью самого популярного в мире учебного ресурса по математике. Более 100 миллионов загрузок и миллиарды решенных задач каждый месяц! Photomath является БЕСПЛАТНЫМ и работает без Wi-Fi.

КАК ЭТО РАБОТАЕТ
С помощью камеры своего устройства мгновенно отсканируйте печатный текст И рукописные математические задачи или введите и отредактируйте уравнения в нашем научном калькуляторе. Каждую математическую задачу Photomath разбивает на простые, понятные шаги, чтобы Вы могли хорошо понять основные концепции и уверенно отвечать на вопросы.

КЛЮЧЕВЫЕ ОСОБЕННОСТИ
Сканирование (печатного) учебника И рукописных задач
Научный калькулятор
Пошаговые объяснения для каждого решения
Несколько методов решения
Для использования не требуется подключение к Интернету
Поддержка более 30 языков
Интерактивные графики

МАТЕМИЧЕСКИЕ ТЕМЫ
Базовая математика / начала алгебры: арифметика, целые числа, дроби, десятичные числа, степени, корни, факторы
Алгебра: линейные уравнения / неравенства, квадратные уравнения, системы уравнений, логарифмы, функции, матрицы, графики, полиномы
Тригонометрия / начала математического анализа: тождества, конические сечения, векторы, матрицы, комплексные числа, последовательности и ряды, логарифмические функции
Исчисления (математический анализ): пределы, производные, интегралы, построение кривых
Статистика: комбинации, факториалы

Наша собственная команда ветеранов преподавателей математики также сотрудничает с учителями по всему миру, что дает возможность гарантировать использование наиболее эффективных методик обучения в наших математических системах.

Представлено в Huffington Post, Forbes, TIME, CNN, EdSurge, Guiding Tech, The Verge, TechCrunch и других.

Предложения, комментарии или вопросы? Напишите нам по адресу [email protected]

Подписывайтесь на нас!
Facebook: facebook.com/Photomathapp
Twitter: @Photomath

Photomath есть и всегда будет бесплатным, но Вы можете улучшить свое обучение, перейдя на Photomath Plus. Photomath Plus предлагает решения для всех задач и примеров из учебников! В настоящее время предложение действительно только для США и для конкретных учебников.

Оплата будет снята с Вашей учетной записи Apple ID при подтверждении покупки. Подписка продлевается автоматически, если она не отменена как минимум за 24 часа до окончания текущего периода. За 24 часа до окончания текущего периода с Вашего счета будет снята плата за продление. Вы можете управлять своими подписками и отменять их, перейдя в настройки своей учетной записи в App Store после покупки. Предложения и цены могут быть изменены без предварительного уведомления.

Дополнительная информация:
Условия использования: https://photomath.net/en/termsofuse
Политика конфиденциальности: https://photomath.net/en/privacypolicy

Вычисление пределов. Пределы с неопределенностью

Прежде чем рассказать о вычислении пределов с неопределенностью, хочется верить, что у вас уже есть понимание того, что такое предел и как вычислить элементарные пределы. Если такого понимания нет, то сначала прочитайте статью “Пределы. Понятие пределов. Вычисление пределов”.
Теперь перейдем к рассмотрению пределов с неопределенностью.

Существует группа пределов, когда x , а функция представляет собой дробь, подставив в которую значение х = получим неопределенность вида .

Пример.

Необходимо вычислить предел

Воспользуемся нашим правилом №1 и подставим в функцию. Как видно мы получаем неопределенность .

В числителе находим х в старшей степени, которая в нашем случае = 2:

То же самое проделаем со знаменателем:

Здесь также старшая степень = 2.

Далее надо из двух найденных степеней выбрать самую старшую. В нашем случае степень числителя и знаменателя совпадают и =2.

Итак, для раскрытия неопределенности нам потребуется разделить числитель и знаменатель на х в старшей степени, т.е. на x²:

Ответ: 2/3.

Существуют также пределы с другой неопределенностью – вида . Отличие от предыдущего случая лишь в том, что х стремится уже не к , а к конечному числу.

Пример.

Необходимо вычислить предел .

Снова воспользуемся правилом №1 и подставим в место х число -1:

Мы получили неопределенность , для раскрытия которой необходимо разложить числитель и знаменатель на множители, для чего в свою очередь обычно решается квадратное уравнение или используются формулы сокращенного умножения.

В нашем случае решаем уравнение:

Находим дискриминант:

.

Если корень не извлекается целый вероятней всего D вычислен неправильно.

Теперь находим корни уравнения:

Подставляем:

Числитель разложили.

В знаменателе у нас х + 1, что итак является простейшим множителем.

Тогда наш предел примет вид:

х + 1 красиво сокращается:

Теперь подставим вместо х значение -1 в функцию и получаем:

2*(-1) – 5 = -2 – 5 = -7

Ответ: -7.

Рассмотрим основные положения, применяемые при решении различного рода задач с пределами:

На этом с вычислением пределов с неопределенностью всё. Еще в статье “Замечательные пределы: Первый и второй замечательный предел” мы отдельно рассматриваем интересную группу пределов. Статья вставит еще один блок для решения большинства пределов, встречающихся не просторах обучения.
Если у вас появились какие то вопросы по вычислению пределов с неопределенностью, то задавайте их в комментариях. Будем рады ответить.

Заметка: Если не хватает времени на учебу, вы можете заказать контрольную работу (http://forstuds.ru/kontrolnaya-rabota-na-zakaz), учтите правда наличие знаний по теме у вас после этого.

---

Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

---

Исчисление I – Вычисление пределов (практические задачи)

Показать мобильное уведомление Показать все заметки Скрыть все заметки

Похоже, вы используете устройство с “узкой” шириной экрана (, т.е. , вероятно, вы используете мобильный телефон). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме.Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 2-5: Пределы вычислений

Для задач 1–9 оцените предел, если он существует. 2} – 36}} {h} \) Решение

\ (\ displaystyle \ mathop {\ lim} \ limits_ {z \ to 4} \ frac {{\ sqrt z – 2}} {{z – 4}} \) Решение

\ (\ displaystyle \ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to \, – 3} \ frac {{\ sqrt {2x + 22} – 4}} {{x + 3}} \) Решение

\ (\ displaystyle \ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to 0} \ frac {x} {{3 – \ sqrt {x + 9}}} \) Решение

Учитывая функцию \ [f \ left (x \ right) = \ left \ {{\ begin {array} {rc} {7 – 4x} & {x Оцените следующие ограничения, если они существуют.

1. \ (\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to \, – 6} f \ left (x \ right) \)
2. \ (\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to 1} f \ left (x \ right) \)

Решение

Дано \ [h \ left (z \ right) = \ left \ {{\ begin {array} {rc} {6z} & {z \ le – 4} \\ {1 – 9z} & {z> – 4} \ конец {массив}} \ right. \]

Оцените следующие пределы, если они существуют.

1. \ (\ mathop {\ lim} \ limits_ {z \ to 7} h \ left (z \ right) \)
2. \ (\ mathop {\ lim} \ limits_ {z \ to – 4} h \ left (z \ right) \)

Решение

Для задач 12 и 13 оцените предел, если он существует.4} \ sin \ left ({\ frac {\ pi} {x}} \ right) \). Решение

Исчисление I – бесконечные пределы (практические задачи)

Показать мобильное уведомление Показать все заметки Скрыть все заметки

Похоже, вы используете устройство с “узкой” шириной экрана (, т.е. , вероятно, вы используете мобильный телефон).Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 2-6: Бесконечные пределы

Для задач 1–6 оцените указанные пределы, если они существуют.4}}} \) Решение

\ (\ Displaystyle г \ влево (х \ вправо) = \ гидроразрыва {{- 8}} {{\ влево ({х + 5} \ вправо) \ влево ({х – 9} \ вправо)}} \) Решение

Исчисление I – Пределы вычислений (задачи назначения)

Показать мобильное уведомление Показать все заметки Скрыть все заметки

Похоже, вы используете устройство с “узкой” шириной экрана ( i.е. вы, вероятно, пользуетесь мобильным телефоном). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Пожалуйста, не пишите мне, чтобы получить решения и / или ответы на эти проблемы. Я не буду раздавать их ни при каких обстоятельствах и не отвечу на любые запросы об этом.4} – 1}} {h} \)

\ (\ displaystyle \ mathop {\ lim} \ limits_ {t \ to 25} \ frac {{5 – \ sqrt t}} {{t – 25}} \)

\ (\ displaystyle \ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to \, 2} \ frac {{x – 2}} {{\ sqrt 2 – \ sqrt x}} \)

\ (\ displaystyle \ mathop {\ lim} \ limits_ {z \ to 6} \ frac {{z – 6}} {{\ sqrt {3z – 2} – 4}} \)

\ (\ Displaystyle \ mathop {\ lim} \ limits_ {z \ to \, – 2} \ frac {{3 – \ sqrt {1 – 4z}}} {{2z + 4}} \)

\ (\ displaystyle \ mathop {\ lim} \ limits_ {t \ to 3} \ frac {{3 – t}} {{\ sqrt {t + 1} – \ sqrt {5t – 11}}} \)

\ (\ displaystyle \ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to 7} \ frac {{\, \ frac {1} {7} – \ frac {1} {x} \,}} {{x – 7}} \)

\ (\ displaystyle \ mathop {\ lim} \ limits_ {y \ to \, – 1} \ frac {{\ frac {1} {{4 + 3y}} + \ frac {1} {y}}} { {y + 1}} \)

Учитывая функцию \ [f \ left (x \ right) = \ left \ {{\ begin {align *} {15} & {\ hspace {0.2}} & {\ hspace {0,25 дюйма} w \ le 6} \\ {w – 8} & {\ hspace {0,25 дюйма} w> 6} \ end {align *}} \ right. \]

Оцените следующие пределы, если они существуют.

1. \ (\ mathop {\ lim} \ limits_ {w \ to 6} h \ left (w \ right) \)
2. \ (\ mathop {\ lim} \ limits_ {w \ to 2} h \ left (w \ right) \)

Учитывая функцию \ [g \ left (x \ right) = \ left \ {{\ begin {array} {rc} {5x + 24} & {x Оцените следующие ограничения, если они существуют.

1. \ (\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to \, – 3} g \ left (x \ right) \)
2. \ (\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to \, 0} g \ left (x \ right) \)
3. \ (\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to \, 4} g \ left (x \ right) \)
4. \ (\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to \, 12} g \ left (x \ right) \)

Для задач 25 – 30 оцените предел, если он существует.

1. \ (\ mathop {\ lim} \ limits_ {z \ to \, – 10} \ left ({\ left | {t + 10} \ right | + 3} \ right) \)
2. \ (\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to 4} \ left ({9 + \ left | {8 – 2x} \ right |} \ right) \)
3. \ (\ displaystyle \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{\ left | h \ right |}} {h} \)
4. \ (\ displaystyle \ mathop {\ lim} \ limits_ {t \ to 2} \ frac {{2 – t}} {{\ left | {t – 2} \ right |}} \)
5. \ (\ displaystyle \ mathop {\ lim} \ limits_ {w \ to \, – 5} \ frac {{\ left | {2w + 10} \ right |}} {{w + 5}} \)
6. \ (\ displaystyle \ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to 4} \ frac {{\ left | {x – 4} \ right |}} {{{x ^ 2} – 16}} \)
7. Учитывая, что \ (3 + 2x \ le f \ left (x \ right) \ le x – 1 \) для всех x определяет значение \ (\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to – 4} f \ влево (х \ вправо) \).2} \ cos \ left ({\ frac {1} {{x – 1}}} \ right) \).

Пределы – Оценка

Сначала вы должны прочитать Limits (An Introduction)

Краткое описание ограничений

Иногда мы не можем что-то придумать напрямую … но мы можем видеть, что это должно быть, когда мы приближаемся все ближе и ближе!

Пример:

(х ² – 1) (х – 1)

Давайте разберемся с x = 1:

(1 ² – 1) (1–1) знак равно (1–1) (1–1) знак равно 0 0

Теперь 0/0 – это сложность! Мы действительно не знаем значение 0/0 (оно «неопределенно»), поэтому нам нужен другой способ ответить на этот вопрос.

Итак, вместо того, чтобы пытаться вычислить это для x = 1, давайте попробуем приближаться к все ближе и ближе:

Продолжение примера:

x		(х 2 – 1) (х – 1)
0,5		1,50000
0,9		1.
0,99		1.99000
0,999		1.99900
0,9999		1.99990
0,99999		1.99999
…		…

Теперь мы видим, что когда x приближается к 1, то (х ² -1) (х − 1) получает близко к 2

Теперь мы столкнулись с интересной ситуацией:

• Когда x = 1, мы не знаем ответа (это неопределенно )
• Но мы видим, что это будет 2

Мы хотим дать ответ «2», но не можем, поэтому вместо этого математики точно говорят, что происходит, используя специальное слово «предел»

Предел из (х ² -1) (х − 1) когда x приближается к 1, будет 2

И записывается символами как:

lim x → 1 x ² −1 x − 1 = 2

Таким образом, это особый способ сказать , игнорируя то, что происходит, когда мы подбираемся туда, но по мере того, как мы приближаемся, ответ становится все ближе и ближе к 2 »

В виде графика это выглядит так: Итак, по правде говоря, мы не можем сказать, каково значение при x = 1. Но мы можем сказать, что по мере приближения к 1, предел равен 2.

Оценка пределов

«Оценка» означает нахождение значения ( думаю, е- « значение» -оценка )

В приведенном выше примере мы сказали, что предел равен 2, потому что выглядело так, как будто это будет . Но этого недостаточно!

На самом деле существует способов получить точный ответ.Посмотрим на некоторые:

1. Просто введите значение

Первое, что нужно попробовать, это просто ввести значение лимита и посмотреть, работает ли оно (другими словами, подстановка).

Пример:

lim x → 10 x 2

10 2 = 5

Легко!

Пример:

lim x → 1 x 2 −1 x − 1

(1-1) (1-1) = 0 0

Не повезло.Нужно попробовать что-нибудь еще.

2. Факторы

Можем попробовать факторинг.

Пример:

lim x → 1 x ² −1 x − 1

Разлагая (x ² −1) на (x − 1) (x + 1), получаем:

lim x → 1 x ² −1 x − 1 = lim x → 1 (x − 1) (x + 1) (x − 1)

= лим x → 1 (x + 1)

Теперь мы можем просто подставить x = 1, чтобы получить предел:

lim x → 1 (x + 1) = 1 + 1 = 2

3.Конъюгат

Для некоторых дробей может помочь умножение верха и низа на конъюгат.

Сопряжение – это то, где мы меняем знак в середине двух членов следующим образом:

Вот пример, где это поможет нам найти предел:

lim x → 4 2 − √x 4 − x

Оценка этого при x = 4 дает 0/0, что не является хорошим ответом!

Итак, попробуем переставить:

Умножить верхнюю и нижнюю части на конъюгат верха:		2 − √x 4 − x × 2 + √x 2 + √x
Упростите верх, используя (a + b) (a − b) = a 2 – b 2 :		2 2 – (√x) 2 (4 − x) (2 + √x)
Дальнейшее упрощение верха:		4 − x (4 − x) (2 + √x)
Отмена (4-x) сверху и снизу:		1 2 + √x

Итак, теперь у нас:

lim x → 4 2 − √x 4 − x = lim x → 4 1 2 + √x = 1 2 + √4 = 9000 1 4

Готово!

4.Бесконечные пределы и рациональные функции

Рациональная функция – это функция, которая представляет собой отношение двух полиномов:		f (x) = P (x) Q (x)
Например, здесь P (x) = x 3 + 2x – 1 и Q (x) = 6x 2 :		x 3 + 2x – 1 6x 2

Найдя общую Степень функции, мы можем узнать, является ли предел функции 0, Бесконечность, -Бесконечность или легко вычисляется из коэффициентов.

Подробнее читайте в разделе «Пределы бесконечности».

5. Правило L’Hôpital

Правило L’Hôpital может помочь нам оценить пределы, которые сначала кажутся «неопределенными», например 0 0 и ∞ ∞ .

Подробнее читайте на сайте L’Hôpital’s Rule.

6. Формальный метод

Формальный метод приступает к доказательству того, что мы можем получить настолько близко, насколько мы хотим, к ответу, сделав «x» близким к «a».

Подробнее читайте в разделе «Пределы» (формальное определение)

Оценка пределов – Matheno.com | Matheno.com

Если вы попробуете подстановку и получите дробь $ \ dfrac {0} {0} $ (0 делится на 0) и в выражении есть квадратный корень, тогда рационализируйте выражение так же, как вы практиковались в алгебре. То есть умножьте числитель и знаменатель на сопряжение части, имеющей квадратный корень. Следующий пример иллюстрирует.

Пример .
Найдите $ \ displaystyle {\ lim_ {x \ to 0} \ dfrac {\ sqrt {x + 5} – \ sqrt {5}} {x}} $.

Решение .
Как всегда, сначала мы пробуем замену:
$$ \ lim_ {x \ to 0} \ dfrac {\ sqrt {x + 5} – \ sqrt {5}} {x} = \ frac {\ sqrt {5} – \ sqrt {5}} {0} = \ dfrac {0} {0} $$
Поскольку этот предел имеет форму $ \ dfrac {0} {0} $, он не определен – мы еще не знаем что это. У нас есть над чем поработать.

Итак, попробуем рационализировать выражение. Часть квадратного корня равна $ \ sqrt {x + 5} – \ sqrt {5} $, поэтому мы умножаем числитель и знаменатель на сопряжение $ \ dfrac {\ sqrt {x + 5} + \ sqrt {5 }} {\ sqrt {x + 5} + \ sqrt {5}} = 1 $:
\ begin {align *}
\ lim_ {x \ to 0} \ dfrac {\ sqrt {x + 5} – \ sqrt {5}} {x} & = \ lim_ {x \ to 0} \ dfrac {\ sqrt {x + 5} – \ sqrt {5}} {x} \ cdot \ dfrac {\ sqrt {x + 5} + \ sqrt {5}} {\ sqrt {x + 5} + \ sqrt {5}} \\ [8 пикселей] & = \ lim_ {x \ to 0} \ dfrac {\ sqrt {x + 5} \ sqrt {x + 5} + \ sqrt {x + 5} \ sqrt {5} – \ sqrt {5} \ sqrt {x +5} – \ sqrt {5} \ sqrt {5}} {x [\ sqrt {x + 5} + \ sqrt {5}]} \\ [8px] & = \ lim_ {x \ to 0} \ dfrac {\ sqrt {x + 5} \ sqrt {x + 5} + \ cancel {\ sqrt {x + 5} \ sqrt {5}} – \ cancel {\ sqrt {5} \ sqrt {x + 5}} – \ sqrt {5} \ sqrt {5}} {x [\ sqrt {x + 5} + \ sqrt {5}]} \\ [8px] & = \ lim_ {x \ to 0} \ dfrac {(x + 5) – 5} {x [\ sqrt {x + 5} + \ sqrt {5}]} \\ [8px] & = \ lim_ {x \ to 0} \ dfrac {x} {x [\ sqrt {x + 5} + \ sqrt {5}]} \\ [8px] & = \ lim_ {x \ to 0} \ dfrac {\ cancel {x}} {\ cancel {x} [\ sqrt {x + 5} + \ sqrt {5}]} \\ [8px] & = \ lim_ {x \ to 0} \ dfrac {1} {\ sqrt {x + 5} + \ sqrt {5}} \\ [8px] & = \ dfrac {1} {\ sqrt {0 + 5} + \ sqrt {5}} = \ dfrac {1} {2 \ sqrt {5}} \ quad \ cmark
\ end {align *}

Обратите внимание, что при умножении на сопряжение мы умножили все члены в числителе, потому что именно так мы избавляемся от квадратного корня.Но мы не умножили члены знаменателя; вместо этого мы продолжали писать его как $ x \ left (\ sqrt {x + 5} + \ sqrt {5} \ right) $. Это потому, что несколькими шагами позже x аннулировались.

Нечто подобное всегда будет происходить, поэтому на этом раннем этапе не преумножайте ту часть, которую вы не пытались рационализировать. Вместо этого просто держите эти условия некоторое время, пока вы не сможете что-то отменить.

Алгебраическое определение пределов

Алгебраическое определение пределов

К концу этой лекции вы должны уметь распознавать, какие неопределенные выражения являются детерминированными, а какие – неопределенными, и вы должны уметь использовать эти знания для решения предельных задач, переписывая их алгебраически, пока не получите определенную форму.В частности, вы должны уметь находить пределы на бесконечности и определять, когда ограничения не существуют (а когда они не существуют, чтобы объяснить, почему). Вы также должны уметь правильно использовать обозначение пределов.

Прежде чем мы начнем эту лекцию, мы хотим напомнить себе об определении алгебры, которое будет важно при алгебраическом вычислении предельных задач:

Определение: undefined

Помните, что в алгебре мы иногда получаем выражения undefined .Неопределенное выражение – это выражение, у которого нет одного четкого значения – например, если бы мы могли доказать, что выражение имеет два разных значения, тогда это выражение было бы неопределенным, потому что мы не позволяем выражениям быть равными двум различным сразу (потому что это привело бы к сумасшедшим противоречиям вроде 2 = 5!).

Другая причина, по которой выражение может быть неопределенным, заключается в том, что оно не определено по отношению к набору чисел, с которым мы сейчас работаем. Например, если мы работаем только с набором действительных чисел, любое выражение, которое дает нам мнимое или комплексное число в качестве нашего ответа, будет неопределенным в наборе действительных чисел.Мы не всегда очень четко указываем, с каким набором чисел мы работаем, но на протяжении всего этого класса мы будем смотреть только на действительные числа (обратите внимание, что на наших графиках нет возможности изобразить мнимые или комплексные числа). номер).

Например, вы должны были столкнуться с подобными проблемами на предыдущем уроке алгебры

.

1. 
   2/0 не определено, потому что у нас нет хорошего способа определить это математически, не приводя к противоречию.Например, предположим, что это значение определено и фактически равно некоторому числу, которое мы решаем назвать n . Тогда по определению получилось бы:
   
   Но это противоречие! Два НЕ равно нулю!
   Фактически, мы замечаем, что НЕТ значения, которое мы могли бы ввести для n в приведенное выше уравнение, которое сделало бы это уравнение истинным, потому что независимо от того, какое значение мы пытаемся использовать для n , утверждение 2 = п · 0 НИКОГДА не будет правдой.Таким образом, мы не можем понять значение числа, знаменателем которого является ноль, потому что невозможно определить одно значение, равное этому числу.

2. 
   0/0 не определено, потому что, как и 2/0, у нас нет хорошего способа определить это математически, не приводя к противоречию. Например, предположим, что это значение определено и фактически равно некоторому числу, которое мы решаем назвать n . Тогда по определению у нас будет:
   
   Сначала это кажется нормальным, потому что любое значение, которое мы введем для n , сделает уравнение истинным.Однако проблема именно в этом: ЛЮБОЕ значение, которое мы вводим для n , сделает уравнение истинным, поэтому 0/0 можно определить как множество различных НЕРАВНЫХ возможных значений. Другими словами, ему нельзя присвоить только одно значение, не присвоив ему также другие неравные значения. Чтобы понять, почему это так, давайте посмотрим на простое уравнение:
   
   Но это противоречие! Один НЕ равен двум!
   Итак, мы не можем понять значение числа, знаменателем которого является ноль, даже если оно также имеет ноль в числителе.

3. 
   В этом случае не определено по набору действительных чисел, если n отрицательно, потому что в этом случае будет получено мнимое число. Поскольку не может быть равно какому-либо РЕАЛЬНОМУ числу, когда n отрицательно, оно не определено для набора действительных чисел (но не для набора комплексных чисел, который включает мнимые числа).

4. 
   Это пример неопределенного выражения, которого вы, возможно, не видели раньше.Однако мы можем быстро увидеть, что оно не определено, потому что его можно переписать как выражение 0/0, которое, как мы уже знаем, не определено:
   
   Поскольку 0/0 не определено, 0 ⁰ также должно быть неопределенным, поскольку у нас есть только что показано, что эти два выражения эквивалентны.
   (На самом деле, иногда математики решают рассматривать 0 ⁰ как равное 1, хотя не совсем ясно, правда ли это – это скорее условность. Чтобы прочитать интересное обсуждение того, как и почему это делается, взгляните на на этой странице!)

Когда мы вычисляем предельные задачи алгебраически, мы часто получаем в качестве начального ответа нечто неопределенное.Это потому, что “интересные” места для поиска пределов – это места, где функция undefined . Поскольку функция f (x) не определена при x = c , f (c) даст неопределенное выражение. Однако нам важно помнить, что при вычислении предела f (x) как x → c нас не интересует поведение f (x) AT c , а скорее поведение f (x) Вокруг c .Итак, это подводит нас к мотивирующему вопросу для этой лекции:

Когда мы получаем неопределенное значение в f (c) , может ли тип неопределенного значения, которое мы получаем, рассказать нам что-то о поведении f (x) ВОКРУГ x = c ?

Мы проведем оставшуюся часть этой лекции, играя с примерами предельных задач, чтобы попытаться ответить на этот вопрос!

Начнем с того, что вспомним Пример №2 из последней лекции:

График f (x) представлял собой линию с отверстием на ней при x = -2:

.

В этом случае, когда мы заменили f (x) на x -2, то на самом деле мы заменили f (x) , который представляет собой линию с отверстием на x = -2, на y = x -2, это точно такая же линия без отверстия.Эти две функции не полностью идентичны, но они идентичны везде, кроме x = -2, и это все, что имеет значение при вычислении предела. Чтобы две функции имели одинаковый предел при x = -2, все, что нам нужно, это чтобы они были идентичны в некотором интервале около x = -2 (но НЕ обязательно при x = -2).

Итак, подведем итоги шагов, с которыми мы столкнулись при решении этих проблем:

1. Мы попытались вычислить f (c) напрямую, но обнаружили, что оно не определено (в данном случае, потому что оно было равно 0/0).

2. Мы нашли способ заменить f (x) другой функцией, которая аналогична f (x) везде, кроме x = c (в данном случае путем факторизации верхней и нижней части дроби и исключая общий фактор).

3. Мы вычислили предел этой новой функции, заменив c на x , и на этот раз мы получили значение, которое не было неопределенным. Поскольку новая функция такая же, как f (x) везде, за исключением x = c , пределы этих двух функций одинаковы, поэтому мы можем сделать вывод, что предел f (x) является максимальным. одно и тоже.

Мы увидим, что та же самая картина встречается во многих проблемах с ограничениями, которые мы будем решать. Одно из основных отличий будет заключаться в том, что иногда тип неопределенного значения, которое мы получаем, будет рассказывать нам что-то о поведении f (x) в интервале около x = c , а иногда неопределенная форма не обеспечивает нам достаточно информации о том, что происходит с f (x) около x = c , и в этом случае нам нужно будет выполнить больше шагов алгебры, как мы делали выше, чтобы переписать f (x) так, чтобы подключение c для x даст нам конкретную информацию о поведении f (x) около x = c .

Давайте рассмотрим несколько примеров.

Но непосредственно перед тем, как мы погрузимся в примеры, давайте немного проясним некоторые обозначения:

Обозначение: использование 0 и ∞ при расчете пределов.

В предыдущей лекции мы увидели, как можно вычислить f (c) как один шаг к попытке определить предел f (x) , когда x приближается к c . В случаях, когда существует f (c) , это просто, потому что тогда предел будет равен f (c) .Однако в большинстве случаев мы вычисляем предел именно потому, что f (c) НЕ существует, и в этих случаях вычисление f (c) всегда приводит к неопределенному выражению. В этих случаях, когда мы вычисляем f (c) , на самом деле мы думаем о том, что такое f (c ⁺ ) и f (c ^– ) .

Другими словами, нам нужно помнить, что , когда мы пытаемся оценить предел, подставляя c вместо x , мы НЕ вставляем значение c точно , а вместо мы подставляем в значениях, которые произвольно БЛИЖЕНЫ с c , но НЕ РАВНЫ на c.

Ноль:

Например, если мы говорим, что как x → c , на самом деле мы имеем в виду, что f (x) – это дробь, для которой верхняя и нижняя части сколь угодно близки к нулю, когда x становится все ближе и ближе. к c . Однако ни верхняя, ни нижняя часть фракции никогда не достигают нуля. Другими словами, как верхняя, так и нижняя часть f (x) уменьшаются по величине по мере приближения x к c . Итак, нули в выражении INSERT НЕ являются нулями – скорее, они заменяют числа, которые имеют очень малую величину (т.е. очень близки к нулю) .

Бесконечность:

Точно так же, когда мы используем обозначение ∞ при вычислении пределов, мы фактически не имеем в виду бесконечность. Помните, что то, что мы подразумеваем под ± ∞, на самом деле является просто паттерном неограниченного поведения, когда величина чисел неограниченно возрастает.

Так, например, если я нахожу, что x → -∞, то на самом деле это означает, что f (x) – это выражение, для которого первое и второе слагаемые становятся произвольно большими по величине, как x становится произвольно все более отрицательным .Однако ни первый, ни второй член выражения на самом деле никогда не достигает бесконечности, потому что это невозможно. Бесконечность – это не число, которого можно достичь. Другими словами, и первый, и второй член в f (x) неограниченно растут по величине, поскольку x становится все более и более отрицательным . Итак, знаки бесконечности в выражении INSERT NOTATIONEX2.GIF HERE НЕ являются бесконечностями – скорее, они заменяют числа, которые имеют очень большие величины (т. Е.е. очень очень далеки от нуля) .

При вычислении предельных выражений и 0, и ∞ заменяют тип ПОВЕДЕНИЯ ВОКРУГ

x = c :

• 0 обозначает некоторое число, произвольно близкое к нулю;

• + ∞ обозначает произвольно большое число; и

• -∞ обозначает некоторое отрицательное число, имеющее произвольно большую величину.

А теперь перейдем к этим примерам!

Алгебраическое вычисление пределов: примеры

Пример 1: Когда

f (c) дает неопределенное выражение a / 0, где a ≠ 0

В этом примере, когда мы вычисляем f (c) , мы сначала получим выражение вида a / 0, где a ≠ 0 (то есть дробь, где верхнее число является некоторым фиксированным ненулевым значением, но нижнее число – ноль):

В этом случае f (x) → -∞ при x → -2 справа, потому что f (x) приближается, поскольку x приближается к -2 справа.Другими словами, когда x приближается к -2 справа, числитель f (x) становится очень близким к -2, а величина знаменателя становится все меньше. Если мы разделим числа, произвольно близкие к -2, на положительные числа с все меньшей величиной, в результате мы получим отрицательные числа со все большей величиной. И если поместить числа в знаменатель с достаточно малой величиной, мы можем получить числа с такой большой величиной, какой захотим – так что такое поведение неограничено.В результате мы можем сказать, что f (x) будет неограниченно уменьшаться, поскольку x приближается к -2 справа, и мы можем записать, что f (x) → -∞ как x → -2. .

Пример 2: Когда

f (c) дает неопределенное выражение 0/0, но фактический предел f (x) , поскольку x приближается к c – это конкретное конечное ненулевое число

В этом примере, когда мы вычисляем f (c) , мы сначала получим выражение в форме 0/0, но после использования алгебры для замены f (x) аналогичным выражением, аналогичным примерно ( но НЕ В) x = c , мы сможем вычислить фактический лимит.Этот предел окажется конкретным конечным числом, которое в данном случае не равно нулю.

В этом случае f (x) приближается к 0/0, поскольку x приближается к 0. Другими словами, когда x приближается к 0, величины как числителя, так и знаменателя f (x) возрастают. все меньше. Этой информации недостаточно, чтобы сделать какой-либо вывод о пределе, потому что деление чисел все меньшей величины на другие числа все меньшей величины может дать ряд различных результатов: это зависит от того, насколько «мала» величина числителя. по сравнению со знаменателем ! И мы еще ничего не знаем об отношении между числителем и знаменателем.

Итак, в этом случае нам нужно найти способ заменить f (x) на аналогичную функцию, которая будет такой же, как f (x) , ВСЕГДА x = c , но не обязательно AT х = с . Для этого мы спрашиваем себя, есть ли какая-нибудь алгебра, которую мы могли бы использовать, чтобы переписать f (x) без изменения его значения где-либо, кроме x = c. В этом случае, поскольку f (x) содержит радикал в числителе, один из возможных подходов состоит в том, чтобы попытаться переписать выражение так, чтобы радикал в числителе был исключен – тогда это может позволить нам что-то отменить. верхней и нижней части фракции.(Мы не сможем полностью избавиться от радикала и по-прежнему сохранить функцию той же около x = c , но мы можем переместить ее, например, из числителя в знаменатель.)

Прежде чем перейти к другим примерам, которые помогут нам лучше понять, что может случиться, когда мы получим неопределенную форму 0/0 для f (c) , давайте на минутку отметим, как мы подошли к решению этой проблемы, которое будет тот же базовый подход для ВСЕХ примеров в этой лекции (и для вычисления пределов алгебраически в целом):

Большая идея: Алгебра – это просто способ поиска структуры.

Нам часто требуется, чтобы выражения, уравнения или другие математические объекты имели КОНКРЕТНУЮ СТРУКТУРУ, чтобы мы могли применить к ним определенное правило или использовать определенную технику.

Например, вы можете вспомнить, что в предыдущем классе алгебры, когда вы хотели решить квадратное уравнение, вам нужно, чтобы оно было в форме a x ² + bx + c = 0, чтобы вы можно разложить на множители выражение в левой части уравнения, а затем установить каждый множитель равным нулю (потому что, если несколько вещей умножаются вместе, чтобы получить ноль, вы можете сделать вывод, что по крайней мере один из этих множителей должен быть равен нулю).Если вы столкнулись с квадратным уравнением, которое не было в этой форме (например, 4- x ² = -4x), вам нужно будет выполнить алгебраические операции с уравнением, чтобы вы могли заменить исходное уравнение на эквивалентное уравнение в желаемой форме . В этом случае два уравнения эквивалентны , если они имеют один и тот же набор решений (те же значения x , которые делают уравнение истинным). Так, например, если бы я хотел поместить 4- x ² = -4x в форму a x ² + bx + c = 0, я могу переставить члены в уравнении так, чтобы это выглядит так: 1 x ² + -4x + -4 = 0.Это уравнение имеет точно такие же решения, что и исходное уравнение 4 – x ² = -4x, но оно записано в желаемой форме (потому что в этой новой форме его легко разложить на множители, а затем решить).

Прямо сейчас мы заинтересованы в поиске пределов, и единственный способ, которым мы знаем, как найти пределы, – это просто подключить c для x и вычислить f (c) . Но иногда это не работает – иногда просто подключение c для x дает нам что-то, что не определено, например.Поэтому в таких случаях мы хотим спросить себя: «Из-за какой базовой структуры в этом выражении оно оказывается неопределенным, когда я подключаю c для x , и есть ли способ заменить его другим выражение, которое одинаково везде вокруг x = c , но которое не даст неопределенного результата, когда мы вставим c для x ? “.

Итак, в будущем, когда мы получим неопределенную форму для f (c) , первое, что мы зададим себе, это: «Как мы можем переписать f (x) , чтобы получить что-то эквивалентное (по крайней мере, около x = c ), но который имеет другую структуру , которая поможет нам избежать этой конкретной неопределенной формы?

Пример 3: Когда

f (c) дает неопределенное выражение 0/0, но фактический предел f (x) , поскольку x приближается к c равен нулю

В этом примере, когда мы вычисляем f (c) , мы сначала получим выражение в форме 0/0, но после использования алгебры для замены f (x) аналогичным выражением, аналогичным примерно ( но НЕ В) x = c , мы сможем вычислить фактический лимит.В этом случае этот предел окажется нулевым.

Как и в последнем примере, f (x) приближается к 0/0, поскольку x приближается к 0. Опять же, поскольку x приближается к 0, величины числителя и знаменателя f (x) становятся все меньше, и этой информации недостаточно для того, чтобы сделать какой-либо вывод о пределе, потому что это зависит от того, насколько «мала» величина числителя по сравнению со знаменателем , и, следовательно, зависит от соотношения между числитель и знаменатель .

Так же, как и в последнем примере, в этом случае нам нужно найти способ заменить f (x) на аналогичную функцию, которая будет такой же, как f (x) all AROUND x = c , но не обязательно AT x = c . Мы снова спрашиваем себя, есть ли какая-нибудь алгебра, которую мы могли бы использовать, чтобы переписать f (x) , не изменяя его значение где-либо, кроме x = c. В этом случае, поскольку f (x) содержит радикал в знаменателе, один из возможных подходов состоит в том, чтобы попытаться переписать выражение так, чтобы радикал в знаменателе был сокращен – тогда это может позволить нам что-то исключить. верхней и нижней части фракции.(Опять же, как и в последнем примере, мы не сможем полностью избавиться от радикала и по-прежнему сохранить функцию той же около x = c , но мы можем переместить ее, например, из знаменателя в числитель.)

Пример 4: Когда

f (c) дает неопределенное выражение 0/0, но f (x) → ± ∞, когда x приближается к c

В этом примере, когда мы вычисляем f (c) , мы сначала получим выражение в форме 0/0, но после использования алгебры для замены f (x) аналогичным выражением, аналогичным примерно ( но НЕ В) x = c , мы сможем вычислить фактический лимит.В этом случае предела не будет, потому что f (x) будет неограниченно уменьшаться, когда x приближается к 0 слева, и неограниченно увеличиваться, когда x приближается к 0 справа.

Как и в последних двух примерах, f (x) приближается к 0/0, поскольку x приближается к 0. Опять же, поскольку x приближается к 0, величины числителя и знаменателя f (x) становится все меньше, и этой информации недостаточно, чтобы сделать вывод о пределе, потому что это зависит от того, насколько «мала» величина числителя по сравнению со знаменателем , и, следовательно, зависит от соотношения между числитель и знаменатель .

Как и в последних двух примерах, в этом случае нам нужно найти способ заменить f (x) на аналогичную функцию, которая будет такой же, как f (x) all AROUND x = c , но не обязательно AT x = c . Мы снова спрашиваем себя, есть ли какая-нибудь алгебра, которую мы могли бы использовать, чтобы переписать f (x) , не изменяя его значение где-либо, кроме x = c. В этом случае, поскольку f (x) содержит радикал в числителе, один из возможных подходов состоит в том, чтобы попытаться переписать выражение так, чтобы радикал в числителе был исключен – тогда это может позволить нам что-то отменить. верхней и нижней части фракции.(Опять же, как и в последнем примере, мы не сможем полностью избавиться от радикала и по-прежнему сохранить функцию той же около x = c , но мы можем переместить ее, например, из числителя в знаменатель.)

Эта проблема аналогична примеру 1 выше. В этом случае f (x) → -∞ при x → 0 слева, потому что f (x) приближается, поскольку x приближается к 0 слева. Другими словами, когда x приближается к 0 слева, числитель f (x) становится очень близким к 1, а величина знаменателя становится все меньше и делением относительно фиксированного положительного числа (например, 1) на отрицательные числа. со все более меньшей величиной мы получаем в результате отрицательные числа со все большей величиной.И, как в примере 1, это поведение неограничено (потому что, сделав величину знаменателя достаточно малой, мы можем получить числа с любой величиной, какой захотим). Таким образом, мы можем сказать, что f (x) будет неограниченно уменьшаться, поскольку x приближается к 0 слева, и мы можем записать, что f (x) → -∞ как x → 0 ^– . Аналогично, f (x) → ∞ при x → 0 справа, потому что f (x) приближается, поскольку x приближается к 0 справа.

В чем разница между примерами 1, 2, 3 и 4?

Давайте вспомним эти четыре примера и суммируем различия между этими четырьмя в некотором смысле похожими проблемами. В каждом из этих примеров f (x) было дробью, у которой ноль в знаменателе , когда мы заменили x на c , но в каждом случае числитель и знаменатель f (x ) имел разные отношения по мере того, как x становился все ближе и ближе к c :

1. В примере 1, когда x все больше приближалось к c , числитель f (x) приближался к фиксированному числу, а величина знаменателя бесконечно уменьшалась.Это привело к числам, величина которых неограниченно увеличивалась (потому что деление относительно фиксированного значения на числа, которые все ближе к нулю, приводит к числам со все более большой величиной, и поскольку, сделав величину знаменателя достаточно малой, мы можем получить числа с любой величиной, какой мы хотим).

2. В примерах 2, 3 и 4, когда x все больше приближалось к c , величины как числителя, так и знаменателя f (x) уменьшались до бесконечности.Тем не мение:

   1. В примере 2 величина числителя и знаменателя сократилась примерно с «одинаковой» скоростью, так что при делении числителя на знаменатель мы получаем фиксированное значение, очень близкое к 1/2. (В этом случае мы не можем напрямую увидеть, что они будут «сокращаться примерно с той же скоростью»; мы можем определить это, только сначала переписав функцию с помощью алгебры.)

   2. В примере 3 величина числителя уменьшилась намного быстрее, чем величина знаменателя, так что при делении числителя на знаменатель мы получаем значения, которые становятся все ближе к нулю.(В этом случае может быть трудно увидеть, что величина числителя сократится «намного быстрее», но, опять же, мы можем определить, что это так, переписав функцию с использованием алгебры.)

   3. В примере 4 величина знаменателя уменьшилась намного быстрее, чем величина числителя, так что при делении числителя на знаменатель мы получаем значения, которые имеют все большую неограниченную величину. (В этом случае может быть трудно увидеть, что величина знаменателя уменьшится «намного быстрее», но, опять же, мы можем определить, что это так, переписав функцию с помощью алгебры.)

Так что же здесь больше?

Четыре примера, которые мы только что рассмотрели, показали нам, что:

• Когда f (c) = a / 0 для некоторого a ≠ 0, то этой информации достаточно, чтобы сказать нам, что f (x) → ± ∞ при x → c , потому что деление относительно фиксированного значения на числа, которые становятся все более близкими к нулю, приводит к числам со все более большой величиной, и поскольку, сделав величину знаменателя достаточно малой, мы можем получить числа с такой большой величиной, какой захотим.

• Когда f (c) = 0/0, то этой информации НЕ достаточно, чтобы рассказать нам что-либо о том, что происходит с f (x) как x → c , потому что это не говорит нам что-нибудь о соотношении между числителем и знаменателем . Мы знаем, что величины как числителя, так и знаменателя бесконечно сокращаются, но мы не знаем, сокращаются ли они примерно с той же скоростью (и, следовательно, отношение числителя к знаменателю остается относительно постоянным), или если величина одного из них уменьшается «намного быстрее», чем другого (и поэтому отношение числителя к знаменателю либо сокращается до нуля, либо неограниченно увеличивается / уменьшается).

  В этом случае, , мы должны использовать алгебру для замены f (x) на аналогичную функцию (это то же самое, что f (x) ВОКРУГ, но не обязательно AT x = c ) , которая НЕ дайте нам 0/0, когда мы подключим c для x .

Мы отмечаем, что ОБЕ a / 0 (когда a ≠ 0) и 0/0 не определены , но что a / 0 говорит нам кое-что о поведении предела (даже если оно не определено) , в то время как 0/0 не дает нам никакой полезной информации о поведении лимита .

Итак, всякий раз, когда мы получаем неопределенное значение для f (c) , нам нужно будет остановиться и спросить себя, говорит ли полученная неопределенная форма что-нибудь о предельном поведении f (x) ВОКРУГ x = c или нет . Это приводит нас к нескольким определениям, которые мы будем использовать для описания этого различия:

Определение: неопределенные и определенные формы

Когда мы ищем lim _{x → c} f (x) и вставляем c для x , получаем неопределенное выражение для f (c) :

Это неопределенное выражение – определенное , если оно дает нам достаточно информации, чтобы определить предельное поведение f (x) Вокруг x = c , без дополнительных вычислений.(например, a / 0 для a ≠ 0)

Это неопределенное выражение – неопределенное , если существует более одного возможного типа предельного поведения f (x) ВОКРУГ x = c , которое могло бы дать это конкретное неопределенное выражение. Другими словами, неопределенная форма не дает нам достаточно информации, чтобы определить поведение f (x) Вокруг x = c , и поэтому нам придется провести дальнейшие вычисления, чтобы понять это.(например, 0/0)

Осторожно! Обратите внимание, что эти определения имеют значение только при вычислении предела. Если я просто решаю задачу по алгебре и получаю в качестве ответа / 0 или 0/0, моим окончательным ответом на эту проблему будет просто проблема undefined . В этом контексте было бы неправильно говорить что-либо о детерминированных или неопределенных формах, потому что я не рассчитываю предел!

Теперь давайте вернемся к еще нескольким примерам, которые дают нам другие неопределенные выражения при вычислении f (c) , и давайте посмотрим, сможем ли мы определить, какие неопределенные значения для f (c) являются неопределенными по сравнению с определенными формами!

Пример 5: Когда

f (c) дает неопределенное выражение b / ± ∞

В этом примере, когда мы вычисляем f (c) , мы сначала получим выражение вида b / ± ∞ (т. Е.е. дробь, где верхнее число – некоторое фиксированное значение, а нижнее – бесконечность):

В этом случае f (x) → 0 при x → -∞, потому что f (x) приближается, поскольку величина x неограниченно растет. Другими словами, по мере того, как x неограниченно уменьшается (т.е. становится все более и более отрицательным), числитель f (x) становится очень близким к 3, а величина знаменателя становится все больше. Если мы разделим числа, произвольно близкие к 3, на отрицательные числа все большей величины, в результате мы получим отрицательные числа все меньшей величины.Так мы получаем числа все ближе и ближе к нулю. В результате мы можем записать f (x) → 0 как x → -∞ .

Пример 6: Когда

f (c) дает неопределенное выражение ± ∞ / b

В этом примере, когда мы вычисляем f (c) , мы сначала получим выражение в форме ± ∞ / b (т.е. дробь, в которой нижнее число является некоторым фиксированным значением, а верхнее – бесконечностью):

В этом случае f (x) → + ∞ при x → + ∞, потому что f (x) приближается, когда величина x неограниченно растет.Другими словами, по мере неограниченного увеличения x знаменатель f (x) становится очень близким к 0, а величина числителя становится все больше. Если мы разделим положительные числа с все большей величиной на положительные числа с все меньшей величиной (то есть близкие к нулю), в результате мы получим положительные числа со все большей величиной. В результате мы можем записать f (x) → + ∞ как x → + ∞ .

Пример 7: Когда

f (c) дает неопределенное выражение ± ∞ / ± ∞, но фактический предел f (x) при x приближается к c равен нулю

В этом примере, когда мы вычисляем f (c) , мы сначала получим выражение вида ± ∞ / ± ∞, но после использования алгебры для замены f (x) аналогичным выражением, которое является тем же самым при x → -∞ мы сможем вычислить фактический предел.В этом случае этот предел окажется нулевым.

В этом случае f (x) приближается к ∞ / -∞, поскольку x приближается к -∞. Другими словами, по мере неограниченного роста величины x величины как в числителе, так и в знаменателе f (x) становятся все больше. Этой информации недостаточно, чтобы сделать какой-либо вывод о пределе, потому что деление чисел все большей величины на другие числа все большей величины может дать ряд различных результатов: это зависит от того, насколько «велика» величина числителя. по сравнению со знаменателем ! И мы еще ничего не знаем об отношении между числителем и знаменателем.

Итак, в этом случае нам нужно найти способ заменить f (x) на аналогичную функцию, которая будет такой же, как f (x) как x → -∞ (но не обязательно везде ) . Для этого мы спрашиваем себя, есть ли какая-нибудь алгебра, которую мы могли бы использовать, чтобы переписать f (x) без изменения его значения на отрицательные значения x с особенно большой величиной. В этом случае проблема заключается в том, что в есть x и числитель, и знаменатель : это означает, что всякий раз, когда мы подставляем -∞ для x , мы неизбежно получим знак бесконечности. и числитель и знаменатель.Поэтому нам нужно подумать о том, что мы можем сделать, чтобы «переписать» f (x) так, чтобы мы могли избавиться от x либо в числителе, либо в знаменателе. Это изменило бы форму, которую мы получаем при вычислении f (c) из неопределенной формы ± ∞ / ± ∞ в определенную форму, которая является либо b / ± ∞, либо ± ∞ / b, и мы знаем это и это.

Итак, чтобы сделать это, мы начнем с того, что заметим, что наибольшая степень x в числителе равна x ² : Итак, если бы мы разделили все в числителе и знаменателе на x ² , мы могли бы «сократить» степени x в числителе с целью удержать числитель от стремления к бесконечности, когда мы подставляем -∞ для x :

Эту проблему можно решить несколькими способами.Метод, использованный выше, является всего лишь одним примером, но предел также может быть найден другим способом, используя аналогичный алгебраический метод, но на этот раз делением на наибольшую степень x в целом, вместо просто наибольшей степени x в числителе. Обратите внимание, что оба метода работают одинаково хорошо, помогая нам найти предел, давая нам одинаковые ответы в обоих случаях:

Пример 8: Когда

f (c) дает неопределенное выражение ± ∞ / ± ∞, но фактический предел f (x) , поскольку x приближается к c является фиксированным ненулевым числом

В этом примере, когда мы вычисляем f (c) , как и в последнем примере, мы сначала получим выражение в форме ± ∞ / ± ∞, но на этот раз после использования алгебры для замены f (x) с подобным выражением, которое совпадает с x → -∞, мы сможем вычислить фактический предел.Этот лимит окажется 2.

Аналогично последнему примеру, f (x) приближается к ∞ / ∞, поскольку x приближается к -∞. Как и раньше, поскольку величина x неограниченно растет, величины как числителя, так и знаменателя f (x) становятся все больше, и, опять же, этой информации недостаточно, чтобы сделать какие-либо выводы о предел, потому что мы еще ничего не знаем об отношении между числителем и знаменателем.

Итак, как и в последней задаче, нам нужно найти способ заменить f (x) на аналогичную функцию, которая будет такой же, как f (x) , как x → -∞, и снова мы замечаем, что наибольшая степень x в числителе равна x ² : Итак, как и в последнем примере, если бы мы разделили все в числителе и знаменателе на x ² , мы могли бы «отменить» степени x в числителе, чтобы не допустить стремления числителя к бесконечности, когда мы подставляем -∞ для x :

Пример 9: Когда

f (c) дает неопределенное выражение ± ∞ / ± ∞, но f (x) → ± ∞, когда x приближается к c

В этом примере, когда мы вычисляем f (c) , как и в последних двух примерах, мы сначала получим выражение в форме ± ∞ / ± ∞, но на этот раз после использования алгебры для замены f (x) с аналогичным выражением, которое совпадает с x → -∞, мы найдем, что f (x) → -∞ при x → -∞.

Аналогично последнему примеру, f (x) приближается к -∞ / ∞, поскольку x приближается к -∞. Как и раньше, поскольку величина x неограниченно растет, величины как числителя, так и знаменателя f (x) становятся все больше, и, опять же, этой информации недостаточно, чтобы сделать какие-либо выводы о предел, потому что мы еще ничего не знаем об отношении между числителем и знаменателем.

Итак, как и в последних двух задачах, нам нужно найти способ заменить f (x) на аналогичную функцию, которая будет такой же, как f (x) при x → -∞, и снова используя тот же подход, что и в этих задачах, мы замечаем , что наибольшая степень x в числителе равна x ³ : Итак, как и в последнем примере, если бы мы все разделили в числителе и знаменателе на x ³ , мы могли бы «сократить» степени x в числителе с целью удержать числитель от стремления к (отрицательной) бесконечности, когда мы вставляем in -∞ для x :

Какой узор в данном случае больше?

Пять примеров, которые мы только что рассмотрели, показали нам, что:

• Когда f (c) = b / ± ∞, то этой информации достаточно, чтобы сказать нам, что f (x) → 0 как x → c , потому что деление относительно фиксированного значения числами увеличивающейся величины приводит к числам, которые становятся все ближе к нулю.

• Когда f (c) = ± ∞ / b, то этой информации достаточно, чтобы сказать нам, что f (x) → ± ∞ при x → c , потому что деление значения на -увеличение величины со значением, которое остается относительно фиксированным, приводит к числам с все большей и большей величиной, и в результате мы можем получить число любой величины, сделав величину числителя достаточно большой.

• Когда f (c) = ± ∞ / ± ∞, то этой информации НЕ достаточно, чтобы рассказать нам что-либо о том, что происходит с f (x) при x → c , потому что это не так. расскажите нам что-нибудь о соотношении между числителем и знаменателем .Мы знаем, что величины числителя и знаменателя неограниченно растут, но мы не знаем, растут ли они примерно с одинаковой скоростью (и, следовательно, отношение числителя к знаменателю остается относительно фиксированным), или если величина одного из них растет «намного быстрее» другого (и поэтому отношение числителя к знаменателю либо сокращается до нуля, либо неограниченно увеличивается / уменьшается).

  В этом случае, мы должны использовать алгебру для замены f (x) на аналогичную функцию (это то же самое, что и f (x) ВОКРУГ, но не обязательно AT x = c ) , которая НЕ даст нам ± ∞ / ± ∞, когда мы подключим c для x .

До сих пор мы рассматривали две категории детерминантных и неопределенных форм:

1. a / 0, где a ≠ 0, является определенной формой, которая стремится к ± ∞, а 0/0 – неопределенной формой.

2. b / ± ∞ – определенная форма, которая стремится к 0; ± ∞ / b – детерминантная форма, стремящаяся к ± ∞; а ± ∞ / ± ∞ – неопределенная форма.

Но это не единственные два примера форматов, которые производят определяющие и неопределенные формы.Есть ряд других детерминантных и неопределенных форм, с которыми мы столкнемся, пытаясь решить предельные задачи алгебраически. Вот таблица, в которой показаны все определяющие и неопределенные формы:

Справочная таблица: неопределенные и определенные формы

Осторожно! Отметим, что , когда в выражении есть символ ± в более чем одном месте, ± не обязательно означает одно и то же в обоих местах! Например, если у нас есть a · ± ∞ → ± ∞, знак ± слева от стрелки и ± справа от стрелки могут иметь разные знаки: если a отрицательно, они будут иметь противоположные знаки, например.

Итак, каждый раз, когда мы вычисляем f (c) , подключая c для x , когда наша цель действительно найти предел f (x), поскольку x приближается к c, мы знаем, что если результат находится в списке неопределенных форм выше, нам нужно будет проделать больше работы, прежде чем мы сможем вычислить предел (обычно путем перестановки f (x) с использованием некоторой алгебры). Однако, если выражение, которое мы получаем для f (c) , находится в списке определяющих форм, мы уже знаем, каким будет предел f (x) , поскольку x приближается к c .

Но мы не хотим просто использовать этот список вслепую! Если мы просто ищем значения в этом списке, не понимая, почему выражения слева являются неопределенными, а выражения справа являются определяющими, мы, вероятно, в какой-то момент совершим ошибку и применим эти идеи неправильно. Более того, нам намного легче понять, почему каждая из этих форм является определяющей или неопределенной, чем просто запомнить список, не понимая его. Легко забыть список выражений, которые мы заучили, но гораздо труднее забыть идею, которую мы действительно понимаем.Итак, Я настоятельно рекомендую вам убедиться, что вы понимаете, как объяснить своими словами, почему каждая из этих форм является либо неопределенной, либо определяющей (и если она является определяющей, то каково будет значение лимита).

Мы уже рассмотрели примеры и обсудили, как мы классифицировали первые две строки таблицы как определяющие или неопределенные, поэтому теперь давайте рассмотрим некоторые другие выражения:

В чем разница между ∞ – ∞ и ∞ + ∞?

В третьей строке нашей таблицы мы замечаем, что ∞ – ∞ (или -∞ + ∞) является неопределенным, а ∞ + ∞ (или -∞ – ∞) является определяющим. Почему это так? Давайте подумаем об этом, а затем разработаем несколько предельных примеров.Мы можем видеть, что ∞ + ∞ должно стремиться к ∞, потому что сложение двух значений, оба из которых неограниченно увеличиваются, просто даст нам третье значение, которое также неограниченно увеличивается. (Аналогично -∞ – ∞ даст нам что-то неограниченно убывающее.)

Однако, если мы подумаем о ∞ – ∞, мы увидим, что мы сталкиваемся с проблемой, заключающейся в том, что мы не знаем отношения между первым и вторым значением:

• Может случиться так, что величина первого значения увеличивается «намного быстрее», чем второе значение, и в этом случае ∞ – ∞ будет стремиться к + ∞.

• Может случиться так, что величина второго значения увеличивается «должно быстрее», чем первое значение, и в этом случае ∞ – ∞ будет стремиться к -∞.

• Или может случиться так, что величины и первого, и второго значений увеличиваются «примерно с одинаковой» скоростью, и в этом случае ∞ – ∞ будет стремиться к 0 или какому-либо другому фиксированному значению.

Итак, пока мы не узнаем больше об отношении между первым и вторым значением в выражении ∞ – ∞, мы не знаем, что делать выводы о предельном поведении f (x) около x = c.

Это также легко представить себе графически: мы можем думать о выражении ∞ – ∞ как об описании двух графиков (один график для первого члена и один для второго члена), каждый из которых неограниченно возрастает, а затем ∞ – ∞ обозначает расстояние между двумя графиками при приближении x c. Если первый и второй график представляют собой две параллельные линии с положительным наклоном, каждая линия будет неограниченно расти как x → ∞, но расстояние между двумя линиями останется фиксированным как x → ∞.Однако, если одна из этих линий круче другой, расстояние между двумя линиями увеличится до x → ∞.

Давайте рассмотрим несколько разработанных примеров для этих различных случаев детерминантной формы ∞ + ∞ (или -∞ – ∞) и неопределенной формы ∞ – ∞:

Пример 10: Когда

f (c) дает неопределенное выражение ∞ + ∞, поэтому f (x) → ∞, когда x приближается к c

Пример 11: Когда

f (c) дает неопределенное выражение ∞ – ∞, но f (x) → ∞, когда x приближается к c

Мы замечаем, что в этом случае величина первого члена растет «быстрее», чем величина второго члена.

Пример 12: Когда

f (c) дает неопределенное выражение ∞ – ∞, но f (x) → -∞, когда x приближается к c

Мы замечаем, что в этом случае величина второго члена растет «быстрее», чем величина первого члена.

Пример 13: Когда

f (c) дает неопределенное выражение ∞ – ∞, но f (x) стремится к нулю, поскольку x приближается к c

Мы замечаем, что в этом случае величины первого и второго членов растут примерно с «одинаковой» скоростью.

Пример 14: Когда

f (c) дает неопределенное выражение ∞ – ∞, но f (x) приближается к фиксированному конечному ненулевому значению, поскольку x приближается к c

Мы замечаем, что в этом случае величины первого и второго членов растут примерно с «одинаковой» скоростью.

Теперь, когда мы исследовали детерминантную форму ∞ + ∞ (или -∞ – ∞) и неопределенную форму ∞ – ∞, давайте рассмотрим различные случаи детерминантной формы a · ± ∞ и ± ∞ · ± ∞, а неопределенная форма 0 · ± ∞:

В чем разница между 0 · ± ∞ и двумя случаями

a · ± ∞ и ± ∞ · ± ∞?

В четвертой строке нашей таблицы мы замечаем, что 0 · ± ∞ является неопределенным, в то время как a · ± ∞ и ± ∞ · ± ∞ являются определяющими – почему это так? Мы видим, что a · ± ∞ и ± ∞ · ± ∞ должны стремиться к ± ∞, потому что умножение двух значений вместе, оба из которых имеют неограниченно возрастающие величины, просто даст нам третье значение, величина которого также увеличивается. без ограничений (хотя его знак будет зависеть от знаков двух множителей, умножаемых вместе).

Однако, если мы подумаем о 0 · ± ∞, мы увидим, что мы столкнулись с проблемой, заключающейся в том, что мы не знаем отношения между первым и вторым факторами:

• Может случиться так, что величина первого фактора уменьшается «намного быстрее», чем величина второго фактора увеличивается, и в этом случае 0 · ± ∞ будет стремиться к нулю. Например, подумайте о следующей последовательности значений, и посмотрим, что произойдет, если мы умножим каждое из их членов вместе:

  Умножение каждого члена из первой последовательности на каждый член из второй последовательности дает:

• Может случиться так, что величина второго фактора увеличивается «должно быстрее», чем величина первого фактора уменьшается, и в этом случае 0 · ± ∞ будет стремиться к ± ∞.Например, подумайте о следующих последовательностях значений и подумайте, что происходит, когда мы умножаем каждое из их членов вместе:

  Умножение каждого члена из первой последовательности на каждый член из второй последовательности дает:

• Или может случиться так, что величина первого фактора уменьшается «примерно с той же скоростью, что и величина второго фактора», и в этом случае 0 · ± ∞ будет стремиться к некоторому другому фиксированному значению.Например, подумайте о следующих последовательностях значений и подумайте, что происходит, когда мы умножаем каждое из их членов вместе:

  Умножение каждого члена из первой последовательности на каждый член из второй последовательности дает:

Итак, пока мы не узнаем больше об отношении между первым и вторым значением в выражении 0 · ± ∞, мы не знаем, какой вывод о предельном поведении f (x) при x → г.

Мы еще не обсуждали последние три строки таблицы, в которой перечислены неопределенные и определенные формы. У нас есть несколько минут, чтобы обрисовать идеи, лежащие в основе каждой из этих форм, но мы оставим это занятие в качестве дополнительной награды, чтобы вы могли привести конкретные примеры каждой из этих различных форм. Позже в семестре мы столкнемся с некоторыми проблемами пределов, которые дадут эти детерминированные и неопределенные формы, но обычно нам потребуются более сложные инструменты для решения этих проблем с ограничениями, и мы еще не знакомы с этими инструментами.(Однако, используя графики или метод проб и ошибок, вы можете придумать примеры задач с ограничениями, которые включают одну из этих последних трех неопределенных форм.)

Неопределенные формы 0

⁰ , 1 ^{± ∞} и ∞ ⁰ в сравнении с определяющими формами 0 ^{± ∞} , a ^{± ∞} , ∞ ^a и ∞ ± ∞ 902

Давайте начнем с рассмотрения, почему 0 ⁰ является неопределенным, а 0 ^{± ∞} является определяющим – почему это так? Мы можем видеть, что 0 ^{± ∞} должно стремиться к 0, потому что умножение некоторого значения, величина которого постоянно уменьшается сама по себе, во все большее и большее количество раз, просто даст нам третье значение, величина которого также уменьшается бесконечно (т.е. стремится к 0).

Однако, если мы подумаем о 0 ⁰ , мы увидим, что мы столкнулись с проблемой, заключающейся в том, что мы не знаем отношения между основанием и показателем:

• Может случиться так, что величина основания уменьшается «намного быстрее», чем величина показателя степени, и в этом случае 0 ⁰ будет стремиться к нулю (Подсказка: подумайте о функции, в которой основание остается фиксированным на нуле, в то время как экспонента стремится к нулю).

• Может случиться так, что величина показателя степени уменьшается «намного быстрее», чем величина основания, и в этом случае 0 ⁰ будет стремиться к 1. (Подсказка: подумайте о функции, в которой основание стремится к нулю, но экспонента остается фиксированной на нуле).

Как и в других примерах, пока мы не узнаем больше о соотношении между показателем степени и основанием в выражении 0 ⁰ , мы не знаем, какой вывод о предельном поведении f (x) как х → ок.

Небольшое примечание об этом примере для тех, кому интересно: 0 ⁰ на самом деле не является неопределенным, потому что если вы посмотрите вокруг, вы можете найти некоторые доказательства, которые показывают, что 0 ⁰ = 0. Однако это не ‘ t действительно имеет отношение к нашему изучению исчисления, потому что даже если 0 ⁰ не является неопределенным, когда мы что-то вычисляем точно, когда мы находим предел f (x) , мы не получаем 0 ⁰ точно; вместо этого мы пытаемся определить, каково поведение f (x) , поскольку оно стремится к 0 ⁰ , что является еще одним способом спросить, к какому значению приближается степень, поскольку и ее основание, и ее показатель стремятся к нулю (и мы не можем ответить на этот вопрос, если мы не знаем взаимосвязь между скоростью, с которой база стремится к нулю, и скоростью, с которой показатель степени стремится к нулю).

Неопределенные формы 1

^{± ∞} в сравнении с определяющей формой a ^{± ∞}

Теперь давайте рассмотрим, почему 1 ^{± ∞} является неопределенным, а c ^{± ∞} (для c ≠ 1 и c > 0) является определяющим – почему это так?

Мы можем видеть, что когда c > 1, c ^∞ должно стремиться к ∞, потому что умножение некоторого положительного значения больше единицы на себя все большее и большее количество раз даст нам все большие и большие значения (и мы можно получить любое значение, просто сделав экспоненту настолько большой, насколько нам нужно для этого).Мы можем видеть, что когда 0 < c <1, c ^∞ должно стремиться к 0, потому что умножение некоторого положительного значения меньше единицы на себя все большее и большее количество раз даст нам значения с все меньшими и меньшими величинами. (или значения, которые все ближе и ближе к нулю).

В связи с этим мы можем видеть, что когда c > 1, c ^-∞ должно стремиться к 0, потому что c ^-∞ на самом деле составляет всего 1/ c ^∞ , и мы уже известно, что c ^∞ → ∞ (когда c > 1) и 1 / ∞ → 0.Точно так же, когда 0 < c <1, c ^-∞ должно стремиться к ∞, потому что c ^-∞ на самом деле всего 1/ c ^∞ , и мы уже знаем, что c ^∞ → 0 (когда 0 < c <1) и 1/0 → ∞ (когда знаменатель положительный, как здесь, потому что он приближается к 0 с положительной стороны).

Однако, если мы подумаем о 1 ^{± ∞} , мы увидим, что столкнулись с проблемой, заключающейся в том, что мы не знаем отношения между основанием и показателем степени:

• Может случиться так, что величина основания стремится «намного быстрее» к 1, чем величина экспоненты стремится к бесконечности, и в этом случае 1 ^{± ∞} будет стремиться к 1.(Подсказка: подумайте о функции, в которой основание остается фиксированным на единице, а показатель степени стремится к плюсу или минусу бесконечности).

• Может случиться так, что показатель степени стремится к положительной бесконечности «намного быстрее», чем основание стремится к 1, и что основание приближается к 1 с положительной стороны, так что значения в основе больше 1: в данном случае 1 ^∞ будет стремиться к ∞.

• Может случиться так, что показатель степени стремится к положительной бесконечности «намного быстрее», чем основание стремится к 1, и что основание приближается к 1 с отрицательной стороны, так что значения в основе меньше 1: в данном случае 1 ^∞ будет стремиться к 0.

• Может случиться так, что показатель степени стремится к отрицательной бесконечности «намного быстрее», чем основание стремится к 1, и что основание приближается к 1 с положительной стороны, так что значения в основе больше 1: в данном случае 1 ^-∞ будет стремиться к 0 (потому что 1 ^-∞ на самом деле всего 1/1 ^∞ , а когда база меньше 1, 1/1 ^∞ → 1 / ∞ → 0).

• Может случиться так, что показатель степени стремится к отрицательной бесконечности «намного быстрее», чем основание стремится к 1, и что основание приближается к 1 с отрицательной стороны, так что значения в основе меньше 1: в данном случае 1 ^-∞ будет иметь тенденцию к ∞ (поскольку 1 ^-∞ на самом деле всего лишь 1/1 ^∞ , а когда база меньше единицы, 1/1 ^∞ → 1/0 → ∞).(Мы знаем, что 1/0 → ∞ вместо -∞ в этом случае, потому что 1 ^∞ приближается к нулю с положительной стороны.)

Как и в других примерах, пока мы не узнаем больше о соотношении между показателем степени и основанием в выражении 1 ^{± ∞} , мы не знаем, какой вывод о предельном поведении f (x) как x → c.

Мы можем использовать аналогичные рассуждения, чтобы лучше понять неопределенные формы ∞

⁰ по сравнению с определяющими формами ∞ ^a и ∞ ^{± ∞} , что является последним набором форм в нашей таблице.

Чтобы закончить эту лекцию, давайте рассмотрим еще несколько примеров, в некоторых из которых используются методы, которые мы не использовали в предыдущих примерах задач.

Еще несколько примеров предельных задач, которые могут быть решены алгебраически:

Пример 15: Использование факторинга для исключения неопределенной формы 0/0

Для этого уравнения прямая замена c на f (x) снова даст нам 0/0, которое не определено. Однако, хотя a / 0 не определено для всех значений a, дробь, где верхняя часть остается фиксированной на ненулевом значении и где нижняя часть приближается (но не достигает) к нулю, фактически приближается к положительной или отрицательной бесконечности (в зависимости от знаков числителя и знаменателя).Чтобы определить, где f (x) может увеличиваться по сравнению с неограниченным уменьшением (т.е. должен ли бесконечность иметь положительный или отрицательный знак перед собой), мы должны рассматривать каждый односторонний предел отдельно:

Найдите предел f (x) , поскольку x приближается к 0:

Пример 16: Использование факторинга для исключения неопределенной формы 0/0 с различиями в пределе, когда мы оцениваем его слева и справа

Эта функция аналогична последней функции; однако мы замечаем, что на этот раз правый и левый пределы различаются по знаку / направлению:

Пример 17: Использование деления на степень

x , даже если дробь включает знак корня, для исключения неопределенной формы ± ∞ / ± ∞

Эта функция аналогична примерам 7, 8 и 9, за исключением того, что здесь необходим модифицированный метод, чтобы переписать уравнение так, чтобы его можно было вычислить путем подстановки.На этот раз, из-за наличия корня в числителе, мы должны разделить на квадратный корень из x ² , и, поскольку это всегда будет положительным значением, мы должны быть особенно осторожны, чтобы отслеживать знаки:

Нет причин, по которым наш предел должен быть отрицательным, поскольку x становится «более отрицательным» (т. Е. Как x → – ∞) или что он должен быть положительным, поскольку x становится «более положительным». “(я.е. как x → + ∞). Например, у нас может быть противоположный случай, как в функции, представленной на следующем графике:

Пример 18: Использование подстановки для оценки предела, который нельзя оценить с помощью одного из предыдущих методов

И, наконец, у нас есть функция, которая имеет колеблющееся поведение около x = c , и поэтому для вычисления предела здесь алгебраически мы разбиваем задачу на два отдельных вопроса о пределе:

зум

На этом этапе мы должны быть в состоянии найти все виды ограничений, глядя на график функции или алгебраически манипулируя уравнением для функции!

И мы также должны быть в состоянии объяснить, почему некоторые неопределенные значения, которые мы получаем при вычислении f (c) , являются определяющими, а другие – неопределенными

страница не найдена – Williams College

’62 Центр театра и танца, 62 Центр
Касса	597-2425
Магазин костюмов	597-3373
Менеджер мероприятий / Помощник менеджера	597-4808	597-4815 факс
Производство		597-4474 факс
Магазин сцен	597-2439
’68 Центр карьерного роста, Мирс	597-2311	597-4078 факс
Academic Resources, Парески	597-4672	597-4959 факс
Служба поддержки инвалидов, Парески	597-4672
Прием, Вестон Холл	597-2211	597-4052 факс
Affirmative Action, Hopkins Hall	597-4376
Africana Studies, Hollander	597-2242	597-4222 факс
Американские исследования, Шапиро	597-2074	597-4620 факс
Антропология и социология, Холландер	597-2076	597-4305 факс
Архивы и специальные коллекции, Sawyer	597-4200	597-2929 факс
Читальный зал	597-4200
Искусство (История, Студия), Spencer Studio Art / Lawrence	597-3578	597-3693 факс
Архитектурная студия, Spencer Studio Art	597-3134
Фотостудия, Spencer Studio Art	597-2030
Printmaking Studio, Spencer Studio Art	597-2496
Скульптурная студия, Spencer Studio Art	597-3101
Senior Studio, Spencer Studio Art	597-3224
Видео / фотостудия, Spencer Studio Art	597-3193
Asian Studies, Hollander	597-2391	597-3028 факс
Астрономия / Астрофизика, Thompson Physics	597-2482	597-3200 факс
Департамент легкой атлетики, Физическое воспитание, отдых, Ласелл	597-2366	597-4272 факс
Спортивный директор	597-3511
Boat House, Озеро Онота	443-9851
Автобусы	597-2366
Фитнес-центр	597-3182
Hockey Rink Ice Line, Lansing Chapman	597-2433
Intramurals, Атлетический центр Чандлера	597-3321
Физическая культура	597-2141
Pool Wet Line, Атлетический центр Чандлера	597-2419
Sports Information, Hopkins Hall	597-4982	597-4158 факс
Спортивная медицина	597-2493	597-3052 факс
Площадки для игры в сквош	597-2485
Поле для гольфа Taconic	458-3997
Биохимия и молекулярная биология, Thompson Biology	597-2126
Биоинформатика, геномика и протеомика, Bronfman	597-2124
Биология, Thompson Biology	597-2126	597-3495 факс
Охрана и безопасность кампуса, Хопкинс-холл	597-4444	597-3512 факс
Карты доступа / системы сигнализации	597-4970 / 4033
Escort Service, Hopkins Hall	597-4400
Офицеры и диспетчеры	597-4444
Секретарь, удостоверения личности	597-4343
Коммутатор	597-3131
Центр развития творческого сообщества, 66 Stetson Court	884-0093
Центр экономики развития, 1065 Main St	597-2148	597-4076 факс
Компьютерный зал	597-2522
Вестибюль	597-4383
Центр экологических исследований, класс 1966 г. Экологический центр	597-2346	597-3489 факс
Лаборатория экологических наук, Морли	597-2380
Экологические исследования	597-2346
Лаборатория ГИС	597-3183
Центр иностранных языков, литератур и культур, Холландер	597-2391	597-3028 факс
Арабоведение, Холландер	597-2391	597-3028 факс
Сравнительная литература, Hollander	597-2391
Критические языки, Hollander	597-2391	597-3028 факс
лингафонный кабинет	597-3260
Русский, Hollander	597-2391
Центр обучения в действии, Brooks House	597-4588	597-3090 факс
Библиотека редких книг Чапина, Сойер	597-2462	597-2929 факс
Читальный зал	597-4200
Офис капелланов, Парески	597-2483	597-3955 факс
Еврейский религиозный центр, 24 Stetson Court	597-2483
Молельная комната мусульман, часовня Томпсона (нижний уровень)	597-2483
Католическая часовня Ньюмана, часовня Томпсона (нижний уровень)	597-2483
Chemistry, Thompson Chemistry	597-2323	597-4150 факс
Классика (греческий и латинский), Hollander	597-2242	597-4222 факс
Когнитивная наука, Бронфман	597-4594
Маршал колледжа, Thompson Physics	597-2008
Отношения с колледжем	597-4057
Программа 25-го воссоединения, Фогт	597-4208	597-4039 факс
Программа 50-го воссоединения, Фогт	597-4284	597-4039 факс
Advancement Operations, Мирс-Уэст	597-4154	597-4333 факс
Мероприятия для выпускников, Vogt	597-4146	597-4548 факс
Фонд выпускников	597-4153	597-4036 факс
Связи с выпускниками, Мирс Вест	597-4151	597-4178 факс
Почтовые службы для выпускников / разработчиков, Мирс-Уэст	597-4369
Девелопмент, Vogt	597-4256
Отношения с донорами, Vogt	597-3234	597-4039 факс
Офис по планированию подарков, Vogt	597-3538	597-4039 факс
Grants Office, Mears West	597-4025	597-4333 факс
Программа крупных подарков, Vogt	597-4256	597-4548 факс
Parents Fund, Vogt	597-4357	597-4036 факс
Prospect Management & Research, Mears	597-4119	597-4178 факс
Начало занятий и академические мероприятия, Jesup	597-2347	597-4435 факс
Communications, Hopkins Hall	597-4277	597-4158 факс
Sports Information, Hopkins Hall	597-4982	597-4158 факс
Web Team, Southworth Schoolhouse
Williams Magazines (ранее Alumni Review), Hopkins Hall	597-4278
Компьютерные науки, Thompson Chemistry	597-3218	597-4250 факс
Conferences & Events, Парески	597-2591	597-4748 факс
Запросы Elm Tree House, Mt.Хоуп Фарм	597-2591
Офис контролера, Хопкинс Холл	597-4412	597-4404 факс
Accounts Payable & Data Entry, Hopkins Hall	597-4453
Bursar & Cash Receipts, Hopkins Hall	597-4396
Financial Information Systems, Hopkins Hall	597-4023
Purchasing Cards, Hopkins Hall	597-4413
Студенческие ссуды, Хопкинс Холл	597-4683
Dance, 62 Центр	597-2410
Центр Дэвиса (ранее Мультикультурный центр), Дженнесс	597-3340	597-3456 факс
Харди Хаус	597-2129
Jenness House	597-3344
Rice House	597-2453
Декан колледжа, Hopkins Hall	597-4171	597-3507 факс
Декан факультета, Hopkins Hall	597-4351	597-3553 факс
Столовая, капельницы	597-2121	597-4618 факс
’82 Гриль, Парески	597-4585
Булочная, Парески	597-4511
Общественное питание, Дом факультета	597-2452
Driscoll Dining Hall, Дрисколл	597-2238
Eco Café, Научный центр	597-2383
Grab ‘n Go, Парески	597-4398
Lee Snack Bar, Парески	597-3487
Обеденный зал Mission Park, Mission Park	597-2281
Whitmans ‘, Paresky	597-2889
Economics, Schapiro	597-2476	597-4045 факс
английский, Hollander	597-2114	597-4032 факс
Сооружения, здание служебного помещения	597-2301
College Car Request	597-2302
Скорая помощь вечером / в выходные дни	597-4444
Запросы на работу производственных помещений		597-4141 факс
Особые мероприятия	597-4020
Кладовая	597-2143	597-4013 факс
Клуб преподавателей, Дом факультетов / Центр выпускников	597-2451	597-4722 факс
Бронирование	597-3089
Fellowships Office, Hopkins Hall	597-3044	597-3507 факс
Financial Aid, Weston Hall	597-4181	597-2999 факс
Geosciences, Clark Hall	597-2221	597-4116 факс
Немецко-русский, Hollander	597-2391	597-3028 факс
Global Studies, Hollander	597-2247
Аспирантура по истории искусств, Кларк		458-2317 факс
Службы здравоохранения и хорошего самочувствия, Thompson Ctr Health	597-2206	597-2982 факс
Санитарное просвещение	597-3013
Услуги интегративного благополучия (консультирование)	597-2353
Чрезвычайные ситуации с угрозой жизни	Позвоните 911
Медицинские услуги	597-2206
История, Холландер	597-2394	597-3673 факс
История науки, Бронфман		597-4116 факс
Лес Хопкинса	597-4353
Центр Розенбурга	458-3080
Отдел кадров, B&L Building	597-2681	597-3516 факс
Услуги няни, корпус B&L	597-4587
Льготы	597-4355
Программа помощи сотрудникам	800-828-6025
Занятость	597-2681
Заработная плата	597-4162
Ресурсы для супруга / партнера	597-4587
Занятость студентов	597-4568
Линия погоды (ICEY)	597-4239
Humanities, Schapiro	597-2076
Информационные технологии, Jesup	597-2094	597-4103 факс
Пакеты для чтения курсов, ящик для сообщений офисных услуг	597-4090
Центр кредитования оборудования, Додд Приложение	597-4091
Служба поддержки преподавателей / сотрудников, [электронная почта]	597-4090
Мультимедийные службы и справочная служба	597-2112
Служба поддержки студентов, [электронная почта]	597-3088
Телекоммуникации / Телефоны	597-4090
Междисциплинарные исследования, Hollander	597-2552
International Education and Study Away, Hopkins Hall	597-4262	597-3507 факс
Инвестиционный офис, Хопкинс Холл	597-4447
Бостонский офис	617-502-2400	617-426-5784 факс
Еврейские исследования, Mather	597-3539
Правосудие и закон, Холландер	597-2102
Latina / o Studies, Hollander	597-2242	597-4222 факс
Исследования лидерства, Шапиро	597-2074	597-4620 факс
Морские исследования, Бронфман	597-2297
Математика и статистика, Bascom	597-2438	597-4061 факс
Музыка, Бернхард	597-2127	597-3100 факс
Concertline (записанная информация)	597-3146
Неврология, Thompson Biology	597-4107	597-2085 факс
Окли Центр, Окли	597-2177	597-4126 факс
Управление институционального разнообразия и справедливости, Hopkins Hall	597-4376	597-4015 факс
Управление счетов студентов, Хопкинс Холл	597-4396	597-4404 факс
Performance Studies, ’62 Center	597-4366
Философия, Шапиро	597-2074	597-4620 факс
Physics, Thompson Physics	597-2482	597-4116 факс
Планетарий / Обсерватория Хопкинса	597-3030
Театр старой обсерватории Хопкинса	597-4828
Бронирование	597-2188
Политическая экономия, Шапиро	597-2327
Политология, Шапиро	597-2168	597-4194 факс
Офис президента, Хопкинс Холл	597-4233	597-4015 факс
Дом президента	597-2388	597-4848 факс
Услуги печати / почты для преподавателей / сотрудников, ’37 House	597-2022
Программа обучения, Бронфман	597-4522	597-2085 факс
Офис Провоста, Хопкинс Холл	597-4352	597-3553 факс
Психология, психологические кабинеты и лаборатории	597-2441	597-2085 факс
Недвижимость, B&L Building	597-2195 / 4238	597-5031 факс
Ипотека для преподавателей / сотрудников	597-4238
Арендное жилье для преподавателей / сотрудников	597-2195
Офис регистратора, Хопкинс Холл	597-4286	597-4010 факс
Религия, Холландер	597-2076	597-4222 факс
Romance Languages, Hollander	597-2391	597-3028 факс
Планировщик помещений	597-2555
Соответствие требованиям безопасности и охраны окружающей среды, класс ’37 Дом	597-3003
Библиотека Сойера, Сойер	597-2501	597-4106 факс
Службы доступа	597-2501
Приобретения / Серийные номера	597-2506
Каталогизация / Службы метаданных	597-2507
Межбиблиотечный абонемент	597-2005	597-2478 факс
Исследовательские и справочные службы	597-2515
Стеллаж	597-4955	597-4948 факс
Системы	597-2084
Научная библиотека Schow, Научный центр	597-4500	597-4600 факс
Исследования в области науки и технологий, Бронфман	597-2239
Научный центр, Бронфман		597-4116 факс
Магазин электроники	597-2205
Машинно-модельный цех	597-2230
Безопасность	597-4444
Специальные академические программы, Харди	597-3747	597-4530 факс
Sports Information, Hopkins Hall	597-4982	597-4158 факс
Студенческая жизнь, Парески	597-4747
Планировщик помещений	597-2555
Управление студенческими центрами	597-4191
Организация студенческих мероприятий	597-2546
Студенческий дом, Парески	597-2555
Участие студентов	597-4749
Программы проживания для старших классов	597-4625
Студенческая почта, Паресский почтовый кабинет	597-2150
Устойчивое развитие / Центр Зилха, Харпер	597-4462
Коммутатор, Хопкинс Холл	597-3131
Книжный магазин Williams	458-8071	458-0249 факс
Театр, 62 Центр	597-2342	597-4170 факс
Trust & Estate Administration, Sears House	597-4259
Учебники	597-2580
VP for Campus Life, Hopkins Hall	597-2044	597-3996 факс
Вице-президент по связям с колледжем, Мирс	597-4057	597-4178 факс
Вице-президент по финансам и администрированию, Hopkins Hall	597-4421	597-4192 факс
Центр визуальных ресурсов, Лоуренс	597-2015	597-3498 факс
Детский центр Williams College, Детский центр Williams	597-4008	597-4889 факс
Музей искусств колледжа Уильямс (WCMA), Лоуренс	597-2429	597-5000 факс
Подготовка музея	597-2426
Служба безопасности музея	597-2376
Музейный магазин	597-3233
Уильямс Интернэшнл	597-2161
Williams Outing Club, Парески	597-2317
Оборудование / стол для студентов	597-4784
Проект Уильямса по экономике высшего образования, Мирс-Вест	597-2192
Williams Record, Парески	597-2400	597-2450 факс
Программа Уильямса-Эксетера в Оксфорде, Оксфордский университет	011-44-1865-512345
Программа Williams-Mystic, Mystic Seaport Museum	860-572-5359	860-572-5329 факс
Исследования женщин, гендера и сексуальности, Schapiro	597-3143	597-4620 факс
Написание программ, Hopkins Hall	597-4615
Центр экологических инициатив «Зилха», Харпер	597-4462

.