Высшая математика пределы. Вычисления пределов
Похожие презентации:
Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)
Применение производной в науке и в жизни
Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»
Знакомство детей с математическими знаками и монетами
Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10
Методы обработки экспериментальных данных
Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ
Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии
Дифференциальные уравнения
Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи
1. Высшая математика Пределы. Вычисления пределов
Муниципальная общеобразовательная средняя школа №2ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
ПРЕДЕЛЫ. ВЫЧИСЛЕНИЯ
ПРЕДЕЛОВ
900igr.n
et
2. Оглавление
ОГЛАВЛЕНИЕ1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Титульная страница
Оглавление
Вступление
Предел переменной величины
Основные свойства пределов
Предел функции в точке
Понятие о непрерывности функции
Предел функции на бесконечности
Замечательные пределы
Заключение
3.
Предел переменной величиныПРЕДЕЛ ПЕРЕМЕННОЙВЕЛИЧИНЫ
Предел – одно из основных понятий
математического анализа. Понятие предела
использовалось еще Ньютоном во второй
половине XVII века и математиками XVIII века,
такими как Эйлер и Лагранж, однако они
понимали предел интуитивно. Первые строгие
определения предела дали Больцано в 1816 году
и Коши в 1821 году.
4. 1. Предел переменной величины
1. ПРЕДЕЛ ПЕРЕМЕННОЙВЕЛИЧИНЫ
Пусть переменная величина x в процессе своего
изменения неограниченно приближается к числу 5,
принимая при этом следующие значения: 4,9;
4,99;4,999;…или 5,1; 5,01; 5,001;… В этих случаях
модуль разности стремится к нулю: = 0,1; 0,01; 0,001;…
Число 5 в приведенном примере называют
пределом переменной величины x и пишут lim x = 5.
Определение 1. Постоянная величина a называется
пределом переменной x, если модуль разности при
изменении x становится и остается меньше любого как
угодно малого положительного числа e.
5. 2. Основные свойства пределов
2. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВАПРЕДЕЛОВ
1. Предел алгебраической суммы конченного числа переменных величин равен
алгебраической сумме пределов слагаемых:
lim(x + y + … + t) = lim x + lim y + … + lim t.
2. Предел произведения конечного числа переменных величин равен
произведению их пределов:
lim(x·y…t) = lim x · lim y…lim t.
3. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
lim(cx) = lim c · lim x = c lim x.
Например, lim(5x + 3) = lim 5x + lim 3 = 5 lim x + 3.
4. Предел отношения двух переменных величин равен отношению пределов, если
предел знаменателя не равен нулю:
lim =
lim y
5. Предел целой положительной степени переменной величины равен той же
степени предела этой же переменной:
lim = (lim x)n
Например: =
= x3 + 3
x2 = (-2)2 + 3·(-2)2 = -8 + 12 = 4
6. Если переменные x, y, z удовлетворяют неравенствам x
иx
z
y
6. 3.Предел функции в точке
3.
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕОпределение 2. Число b называется пределом* функции
в точке a, если для
всех значений x, достаточно близких к a и отличных от a, значения функции
сколь угодно мало отличаются от числа b.
1.Найти:
(3×2 – 2x).
Решение. Используя последовательно свойства 1,3 и 5 предела, получим
(3×2 – 2x) =
(3×2) – (2x) = 3 x2 – 2 x = 3
– 2 x = 3 22 – 2·2 = 8
7. 4. Понятие о непрерывности функции
4. ПОНЯТИЕ О НЕПРЕРЫВНОСТИФУНКЦИИ
2. Вычислить
Решение. При x = 1 дробь
определена, так как ее знаменатель отличен от нуля. Поэтому для
вычисления предела достаточно заменить аргумент его предельным значением. Тогда получим
Указанное правило вычисления пределов нельзя применять в следующих случаях:
1)Если функция при x = a не определена;
2)Если знаменатель дроби при подстановке x = a оказывается равным нулю;
3)Если числитель и знаменатель дроби при подстановке x = a одновременно оказывается
равным нулю или бесконечности.
В таких случаях пределы функций находят с помощью различных искусственных приемов.
8. 5. Предел функции на бесконечности
5. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ НАБЕСКОНЕЧНОСТИ
3.Найти
Решение. При x
знаменатель х + 5 также стремится к
бесконечности, а обратная ему величина
0.
Следовательно, произведение
·3=
стремится к нулю,
если x . Итак,
=0
9. 6. Замечательные пределы
6. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫНекоторые пределы невозможно найти теми способами, которые были изложены выше. Пусть например,
требуется найти
. Непосредственная подстановка вместо аргумента его предела дает
неопределенность вида 0/0. Невозможно также преобразовать числитель и знаменатель таким образом,
чтобы выделить общий множитель, предел которого равен нулю.
Поступим следующим образом. Возьмем круг с радиусом, равным 1, и построим центральный угол
АОВ, равный 2х радианам. Проведем хорду АВ и касательные АD и ВD к окружности в точках А и В.
Очевидно, что |AC| = |CB| = sin x, |AD| = |DB| = tg х
= 1 – Первый замечательный предел.
x
= e 2,7182…,.
– Второй замечательный предел.
Решение. Разделив числитель и знаменатель на x,получим
x=
(
)x =
=
=
x
10. 7. Вычисления пределов
7. ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРЕДЕЛОВ1.
(x2 – 7x + 4) = 32 – 7·3 + 4 = – 8.
Решение. Для нахождения предела непосредственного нахождения заменим пределы функции в точке.
2.
.
Решение. Здесь пределы числителя и знаменателя при x
равным нулю. Умножим числитель и
знаменатель на выражение ,сопряженное числителю, получим
=
=
=
=
Следовательно,
=
=
=
=
11. Заключение
ЗАКЛЮЧЕНИЕВ данном проекте рассматривался наряду с теоретическим материалом и
практический.
В практическом применении рассмотрели всевозможные способы вычисления
пределов.
Изучение второго раздела высшей математики уже вызывает большой интерес,
так как в прошлом году рассматривали тему «Матрицы. Применение свойств матрицы к
решению систем уравнений», которая была простой, хотя бы по той причине, что
Здесь такого контроля нет. Изучение Разделоввысшей математики дает свой положительный результат.
Занятия по данному курсу принесли свои результаты:
– изучен большой объем теоретического и практического материала;
– выработано умение выбирать способ вычисления предела;
– отработано грамотное использование каждого способа вычисления;
– закреплено умение проектировать алгоритм задания.
Мы будем продолжать изучение разделов высшей математики. Цель ее изучения
математики.
English Русский Правила
Как решать пределы с примерами решения
Содержание:
- Односторонние пределы
- Предел функции
- Основные теоремы о пределах
- Признаки существования пределов
- Первый замечательный предел
- Второй замечательный предел
Пусть функция пределена в некоторой окрестности точки кроме, быть может, самой точки
Сформулируем два, эквивалентных между собой, определения предела функции в точке.
), последовательность соответствующих значений функции сходится к числу (т. е )
В этом случае пишут или при Геометрический смысл предела функции: означает, что для всех точек достаточно близких к точке соответствующие значения функции как угодно мало отличаются от числа
По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:
| Высшая математика: лекции, формулы, теоремы, примеры задач с решением |
Определение 2 (на «языке или по Коши). Число называется пределом функции в точке (или при ), если для любого положительного найдется такое положительное число что для всех удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство
Записывают Это определение коротко можно записать так:
Геометрический смысл предела функции: если для любой окрестности точки найдется такая окрестность точки что для всех из этой -окрестности соответствующие значения функции лежат в -окрестности точки Иными словами, точки графика функции лежат внутри полосы шириной ограниченной прямыми (см.
Примеры с решением
Пример 16.1.
Доказать, что
Решение:
Возьмем произвольное найдем такое, что для всех удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство т. е. Взяв видим, что для всех удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство т. е. Взяв видим, что для всех удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство Следовательно,
Возможно вам будут полезны данные страницы:
Правило Лопиталя: пример решения |
Признак Лейбница |
Пределы для чайников |
Как решать пределы с корнями: в числителе |
Пример 16.2.
Доказать, что, если то
Решение:
Для можно взять Тогда при имеем Следовательно,
Односторонние пределы
В определении предела функции считается, что стремится к любым способом: оставаясь меньшим, чем (слева от ), большим, чем (справа от ), или колеблясь около точки
Бывают случаи, когда способ приближения аргумента к существенно влияет на значение предела функции.
Поэтому вводят понятия односторонних пределов. Число называется пределом функции слева в точке если для любого число существует число такое, что при выполняется неравенство Предел слева записывают так: или коротко: (обозначение Дирихле) (см. рис. 111).
Аналогично определяется предел функции справа, запишем его с помощью символов:
Коротко предел справа обозначают
Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами. Очевидно, если существует то существуют и оба односторонних предела, причем
Предел функции
Пусть функция определена в промежутке Число называется пределом функции при если для любого положительного числа уществует такое число что при всех удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство Коротко это определение можно записан» так
Если то пишут если
Геометрический смысл этого определения таков: для что при или тветствующие значения функции попадают в -окрестность точки т.
е. точки графика лежат в полосе шириной ограниченной прямыми (см. рис. 112).
Основные теоремы о пределах
Рассмотрим теоремы, которые облегчают нахождение пределов функции. Формулировка и доказательство теорем для случаев, когда и аналогичны. В приводимых теоремах будем считать, что пределы существуют
Теорема 17.7. Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов
Пусть Тогда по теореме 17.5 о связи функции, ее предела и б.м.ф. можно записать и Следовательно, Здесь б.м.ф. как сумма б.м.ф По теореме 17.6 о связи функции, ее предела и б.м.ф. можно записать т. е
В случае разности функций доказательство аналогично. Теорема справедлива для алгебраической суммы любого конечного числа функций.
Следствие 17.3. Функция может иметь только один предел при
Пусть и По теореме 17.7 имеем:
Отсюда
Теорема 17.
8. Предел произведения двух функций равен произведению их пределов
Доказательство аналогично предыдущему, проведем его без особых пояснений. Так как
где и — б.м.ф. Следовательно;
т е.
Выражение в скобках есть б.м.ф. Поэтому
т е.
Отметим, что теорема справедлива для произведения любого конечного числа функций.
Следствие 17.4. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
Следствие 17.5. Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела: В частности,
Теорема 17.9. Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю
Доказательство аналогично предыдущему. Из равенств
и
следуют соотношения и Тогда
Второе слагаемое есть б.м.ф. как частное от деления б.м.ф. на функцию, имеющую отличный от нуля предел.
Поэтому
Рассмотрим примеры
Пример 17.3.
Вычислить
Решение:
Пример 17.4.
Вычислить
Решение:
Здесь применить теорему о пределе дроби нельзя, т. к. предел знаменателя, при равен Кроме того, предел числителя равен В таких случаях говорят, что имеем неопределенность вида Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель дроби на множители, затем сократим дробь на
Пример 17.5.
Вычислить
Решение:
Здесь мы имеем дело с неопределенностью вида Для нахождения предела данной дроби разделим числитель и знаменатель
на
Функция есть сумма числа и б.м.ф., поэтому
Признаки существования пределов
Не всякая функция, даже ограниченная, имеет предел. Например, функция при предела не имеет. Во многих вопросах анализа бывает достаточно только убедиться в существовании предела функции.
В таких случаях пользуются признаками существования предела.
Теорема 17.10 (о пределе промежуточной функции).
Из равенств (17.6) вытекает, что для любого существуют две окрестности и точки в одной из которых выполняется неравенство т. е.
а в другой т. е
Пусть — меньшее из чисел и Тогда в – окрестности точки выполняются оба неравенства (17.8) и (17.9). Из неравенств (17.7) находим, что
С учетом неравенств (17.8) и (17.9) из неравенства (17.10) следуют неравенства или Мы доказали, что
то есть
Теорему 17.10 иногда шутливо называют «принципом двух милиционеров». Роль «милиционеров» играют функции и функция «следует за милиционерами».
Теорема 17.11 (о пределе монотонной функции) Если функция монотонна и ограничена при или при то существует соответственно ее левый предел или ее правый предел
Доказательство этой теоремы не приводим.
Следствие 17.6. Ограниченная монотонная последовательность имеет предел.
Первый замечательный предел
При вычислении пределов выражений, содержащих тригонометрические функции, часто используют предел
называемый первым замечательным пределом. Читается: предел отношения синуса к его аргументу равен единице, когда аргумент стремится к нулю. Докажем равенство (17.11).
Возьмем круг радиуса 1, обозначим радианную меру угла через (см. рис. 113). Пусть На рисунке дуга численно равна центральному углу Очевидно, имеем На основании соответствующих формул геометрии получаем Разделим неравенства на получим или Так как и то по признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов
Пусть теперь Имеем где Поэтому
Из равенств (17.
12) и (17.13) вытекает равенство (17.11).
Пример 17.6.
Найти
Решение:
Имеем неопределенность вида Теорема о пределе дроби неприменима. Обозначим тогда при и поэтому
Пример 17.7.
Найти
Решение:
Второй замечательный предел
Как известно, предел числовой последовательности имеет предел, равный (см. (15.6)):
Докажем, что к числу стремится и функция при
1. Пусть Каждое значение заключено между двумя положительными целыми числами: — это целая часть Отсюда следует
поэтому
Если то Поэтому, согласно (17.14), имеем:
По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов
2. Пусть Сделаем подстановку тогда
Из равенств (17.
Если в равенстве (17.15) положить при оно запишется в виде
Равенства (17.15) и (17.18) называются вторым замечательным пределом.
| Они широко используются при вычислении пределов. |
В приложениях анализа большую роль играет показательная функция с основанием Функция называется экспоненциальной, употребляется также обозначение
Пример 17.8.
Найти
Решение:
Обозначим очевидно при Имеем
исчисления – Книги по математике, чтобы освоить пределы.
спросил
Изменено 4 года, 7 месяцев назад
Просмотрено 4к раз
$\begingroup$
Этот вопрос предназначен для того, чтобы попросить порекомендовать книги, возможно, книги по математическому анализу, в которых особое внимание уделяется приобретению навыков по теме пределов.
В настоящее время я «читаю» CET из 8-го изд. Дж. Стюарта. чтобы быть конкретным – и я согласен почти со всем. Однако у меня все еще есть трудности с пределами, особенно с доказательствами эпсилон-дельта. Опять же, мне нужна книга, специально посвященная ограничениям, или книга, охватывающая эту тему в целом.
Кроме того, я был бы признателен за любые рекомендации по другим книгам по математике, которые могут помочь повысить мой уровень. Тот, который фокусируется на Proofs, был бы хорош.
Наконец, есть ли простой способ ввода формул в вопросы, или мне нужно привыкнуть к MathJax?
Заранее спасибо. E.
- исчисление
- пределы
- ссылка-запрос
- эпсилон-дельта
- формальные доказательства
4
$\begingroup$
В конце 1990-х я написал несколько раздаточных материалов по ограничениям для своих студентов.
Не все из них были размещены где-то в Интернете, но мне удалось найти это и это другое. Вот еще один такой раздаточный материал, который я отреставрировал для использования в 2003 году.
Ниже приведены три книги, о которых я знаю, в значительной степени посвященные ограничениям на (возможно, почетном) уровне элементарного исчисления.
Последовательности, комбинации, пределы С.И. Гельфанд и др. (1969/2002)
Концепция пределов Дональда У. Хайта (1966/2010)
Пределы и непрерывность П. П. Коровкина (1969)
Первые две книги довольно хорошо известны и легко доступны. Поскольку книги Коровкина вроде бы тоже нет (я несколько удивлен, так как она входит в серию The Pocket Mathematical Library , к которой относятся несколько известных книг), приведу ее оглавление. Кстати, каждый из 21 раздела книги Коровкина заканчивается кратким списком задач, над которыми нужно работать.
Глава 1.
Функции (стр. 1-23).
- Переменные и функции. Интервалы и последовательности (стр. 1-9). 2. Абсолютные значения. Окрестности (стр. 9-11). 3. Графики и таблицы (стр. 12-14). 4. Некоторые классы простых функций (стр. 14-20). 5. Вещественные числа и десятичные разложения (стр. 21-23).
Глава 2. Ограничения (стр. 24-72).
- Основные понятия (стр. 24-32). 7. Алгебраические свойства пределов (стр. 32—37). 8. Ограничения по отношению к множеству. Односторонние пределы (стр. 37-43). 9x$ и число $e$ (стр. 62-72).
Глава 3. Преемственность (стр. 73-115).
- Непрерывные функции (стр. 73-79). 15. Односторонняя непрерывность. Классификация разрывов (стр. 79-83). 16. Теорема о промежуточном значении. Абсолютный экстремум (стр. 83-89). 17. Обратные функции (стр. 89—92). 18. Элементарные функции (стр.
92-101). 19. Оценка пределов (стр. 101-105). 20. Асимптоты (стр. 105-111). 21. Модуль непрерывности. Равномерная непрерывность (стр. 111-115).Ответы на задачи с четными номерами (стр. 116-122).
Индекс (стр. 123-125).
$\endgroup$
2
$\begingroup$
Ознакомьтесь с некоторыми текстами верхнего уровня. «Расширенное исчисление» Патрика Фитцпатрика, «Исчисление» Майкла Спивака и «Понимание анализа» Стивена Эбботта — отличные учебники для изучения более строгой теории пределов, включая доказательства $\epsilon\text{-}\delta$. Если вам интересно узнать больше о основанной на доказательстве и более строгой стороне исчисления, то вы можете продолжить чтение этих текстов после разделов с ограничениями!
$\endgroup$
2
Зарегистрируйтесь или войдите в систему
Зарегистрируйтесь с помощью Google
Зарегистрироваться через Facebook
Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль
Опубликовать как гость
Электронная почта
Обязательно, но не отображается
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie
.
SCIRP Открытый доступ
Издательство научных исследований
Журналы от A до Z
Журналы по темам
- Биомедицинские и биологические науки.
- Бизнес и экономика
- Химия и материаловедение.
- Информатика. и общ.
- Науки о Земле и окружающей среде.
- Машиностроение
- Медицина и здравоохранение
- Физика и математика
- Социальные науки. и гуманитарные науки
Журналы по теме
- Биомедицина и науки о жизни
- Бизнес и экономика
- Химия и материаловедение
- Информатика и связь
- Науки о Земле и окружающей среде
- Машиностроение
- Медицина и здравоохранение
- Физика и математика
- Социальные и гуманитарные науки
Публикация у нас
- Подача статьи
- Информация для авторов
- Ресурсы для экспертной оценки
- Открытые специальные выпуски
- Заявление об открытом доступе
- Часто задаваемые вопросы
Публикуйте у нас
- Представление статьи
- Информация для авторов
- Ресурсы для экспертной оценки
- Открытые специальные выпуски
- Заявление об открытом доступе
- Часто задаваемые вопросы
Подпишитесь на SCIRP
Свяжитесь с нами
customer@scirp. org | |
| +86 18163351462 (WhatsApp) | |
| 1655362766 | |
| Публикация бумаги WeChat |
| Недавно опубликованные статьи |
| Недавно опубликованные статьи |
Подпишитесь на SCIRP
Свяжитесь с нами
customer@scirp. |