Как решать неопределенный интеграл: Найти неопределённый интеграл: начала начал, примеры решений

Определенный интеграл. – Математика – Уроки

Инструкционная карта № 32

Тақырыбы/ Тема: Определенный интеграл.

Мақсаты/ Цель:

1. Отработать навыки применения таблица основных интегралов и основных свойств интегралов при решении упражнений.

2. Создать условия для развития коммуникативно-творческих умений: не шаблонно подходить к решению различных задач.

3. Воспитание познавательной самостоятельности: развитие умения самостоятельно классифицировать, выполнять анализ, оценивать результаты.

Теоретический материал:

Что значит решить определенный интеграл? Решить определенный интеграл – это значит, найти число.

Как решить определенный интеграл? С помощью формулы Ньютона-Лейбница:

Формулу лучше переписать на отдельный листочек, она должна быть перед глазами на протяжении всего урока.

Этапы решения определенного интеграла следующие:

1) Сначала находим первообразную функцию F(x) (неопределенный интеграл). Обратите внимание, что константа C в определенном интеграле не добавляется. Обозначение является чисто техническим, и вертикальная палочка не несет никакого математического смысла, по сути – это просто отчёркивание. Зачем нужна сама запись F(x)?  Подготовка для применения формулы Ньютона-Лейбница.

2) Подставляем значение верхнего предела в первообразную функцию: F(b).

3) Подставляем значение нижнего предела в первообразную функцию: F(a).

4) Рассчитываем (без ошибок!) разность F(b)- F(a) , то есть, находим число.

Готово.

Всегда ли существует определенный интеграл? Нет, не всегда.

Например, интеграла  не существует, поскольку отрезок интегрирования  не входит в область определения подынтегральной функции (значения под квадратным корнем не могут быть отрицательными). А вот менее очевидный пример: . Такого интеграла тоже не существует, так как в точках x= –   , x=  отрезка [-2;3] не существует тангенса. Кстати, кто еще не прочитал методический материал Графики и основные свойства элементарных функций – самое время сделать это сейчас. Будет здорово помогать на протяжении всего курса высшей математики.  

Для того чтобы определенный интеграл вообще существовал, достаточно чтобы подынтегральная функция была непрерывной на отрезке интегрирования.

Из вышесказанного следует первая важная рекомендация: перед тем, как приступить к решению ЛЮБОГО определенного интеграла, нужно убедиться в том, что подынтегральная функция непрерывна на отрезке интегрирования. По студенческой молодости у меня неоднократно бывал казус, когда я подолгу мучался с нахождением трудной первообразной, а когда наконец-то ее находил, то ломал голову еще над одним вопросом: «что за ерунда получилась?». В упрощенном варианте ситуация выглядит примерно так:

???! Нельзя подставлять отрицательные числа под корень! Изначальная невнимательность.

Если для решения (в контрольной работе, на зачете, экзамене) Вам предложен  несуществующий интеграл вроде , то нужно дать ответ, что интеграла не существует и обосновать – почему.

Может ли определенный интеграл быть равен отрицательному числу? Может. И отрицательному числу. И нулю. Может даже получиться бесконечность, но это уже будет несобственный интеграл, коим отведена отдельная лекция.

Может ли нижний предел интегрирования быть больше верхнего предела интегрирования? Может, и такая ситуация реально встречается на практике.

 –  интеграл преспокойно вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница.

Без чего не обходится высшая математика? Конечно же, без всевозможных свойств. Поэтому рассмотрим некоторые свойства определенного интеграла.

В определенном интеграле можно переставить верхний и нижний предел, сменив при этом знак:

Например, в определенном интеграле перед интегрированием  целесообразно поменять пределы интегрирования на «привычный» порядок:

 – в таком виде интегрировать  значительно удобнее.

Как и для неопределенного интеграла, для определенного интеграла справедливы свойства линейности:

 – это справедливо не только для двух, но и для любого количества функций.

Пример 1

Вычислить определенный интеграл

Решение:

(1) Выносим константу за знак интеграла.

(2) Интегрируем по таблице с помощью самой популярной формулы . Появившуюся константу  целесообразно отделить от  и вынести за скобку. Делать это не обязательно, но желательно – зачем лишние вычисления?

(3) Используем формулу Ньютона-Лейбница . Сначала подставляем в  верхний предел, затем – нижний предел. Проводим дальнейшие вычисления и получаем окончательный ответ.

Пример 2

Вычислить определенный интеграл

Это пример для самостоятельно решения, решение и ответ в конце урока.

Немного усложняем задачу:

Пример 3

Вычислить определенный интеграл

Решение:

(1) Используем свойства линейности определенного интеграла.

(2) Интегрируем по таблице, при этом все константы выносим – они не будут участвовать в подстановке верхнего и нижнего предела.

(3) Для каждого из трёх слагаемых применяем формулу Ньютона-Лейбница:

СЛАБОЕ ЗВЕНО в определенном интеграле – это ошибки вычислений и часто встречающаяся ПУТАНИЦА В ЗНАКАХ. Будьте внимательны! Особое внимание заостряю на третьем слагаемом:  – первое место в хит-параде ошибок по невнимательности, очень часто машинально пишут  (особенно, когда подстановка верхнего и нижнего предела проводится устно и не расписывается так подробно). Еще раз внимательно изучите вышерассмотренный пример.

Следует заметить, что рассмотренный способ решения определенного интеграла – не единственный. При определенном опыте, решение можно значительно сократить. Например, я сам привык решать подобные интегралы так:

Здесь я устно использовал правила линейности, устно проинтегрировал по таблице. У меня получилась всего одна скобка с отчёркиванием пределов:  (в отличие от трёх скобок в первом способе). И в «целиковую» первообразную функцию, я сначала подставил сначала 4, затем –2, опять же выполнив все действия в уме.

Какие недостатки у короткого способа решения? Здесь всё не очень хорошо с точки зрения рациональности вычислений, но лично мне всё равно – обыкновенные дроби я считаю на калькуляторе.
Кроме того, существует повышенный риск допустить ошибку в вычислениях, таким образом,  студенту-чайнику лучше использовать первый способ, при «моём» способе решения точно где-нибудь потеряется знак.

Однако несомненными преимуществами второго способа является быстрота решения, компактность записи и тот факт, что первообразная  находится в одной скобке.

Совет: перед тем, как использовать формулу Ньютона-Лейбница, полезно провести проверку: а сама-то первообразная найдена правильно?

Так, применительно к рассматриваемому примеру: перед тем, как в первообразную функцию   подставлять верхний и нижний пределы, желательно на черновике проверить, а правильно ли вообще найден неопределенный интеграл? Дифференцируем:

Получена исходная подынтегральная функция, значит, неопределенный интеграл найден верно. Теперь можно и формулу Ньютона-Лейбница применить.

Такая проверка будет не лишней при вычислении любого определенного интеграла.

Таблица основных интегралов.

1). .

2) . .

3). .

4). 14).

5) . 15).

6). 16).

7) . 17).

8) . 18).

9) . 19).

10). 20).

Практическая часть:

1 вариант	2 вариант	3 вариант	4 вариант	5 вариант

Контрольные вопросы:

1. Почему называется определенным интервалом?

2. Чем отличается определенный интеграл от неопределенного интеграла?

3. Напишите формулу Ньютона-Лейбница.

4. Какими свойствами обладает интеграл?

Лучшие интегральные сочетания: решение и мастер-интегралы

В этой статье

1. Что такое интеграл?

2. 6 лучших встроенных ярлыков

3. Практика делает совершенным

Что такое интеграл?

Производные находят мгновенные скорости изменения. Напротив, интегралы находят площади под кривыми.

Интегральный символ ∫\int∫ происходит от слова «сумма». Чтобы оценить площадь под кривой, мы можем аппроксимировать кривую с помощью прямоугольников и вычислить сумму их площадей, как показано на рисунке ниже.

Это называется суммой Римана. Доктор Джон Уршель объясняет сумму Римана в этом фрагменте урока из своего курса Outlier:

Однако эта сумма либо завышает, либо занижает площадь под кривой.

Чтобы вычислить точную площадь под кривой, мы берем предел суммы Римана, поскольку количество подразделений приближается к бесконечности. Мы можем думать об этом пределе как о сумме бесконечного множества прямоугольников, где высота каждого прямоугольника равна yyy, а ширина каждого прямоугольника представляет собой крошечное изменение xxx. Это дает нам определение определенного интеграла, где AAA представляет собой площадь под кривой на [a,b][a, b][a,b]. 9b = F(b) – F(a)∫ab​f(x)dx=F(x)∣

∣​ab​=F(b)−F(a)

Неопределенный интеграл находит первообразные функция, которую мы обычно обозначаем через F(x)F(x)F(x):

∫f(x) dx=F(x)+C\int f(x)\,dx = F(x) + C∫f(x)dx=F(x)+C

Если F'( x)=f(x)F'(x) = f(x)F'(x)=f(x), то F(x)F(x)F(x) является первообразной f(x)f (х)f(х). Это означает, что взятие производной от F(x)F(x)F(x) возвращает f(x)f(x)f(x). Вычисление неопределенного интеграла отвечает на вопрос: «Какие функции при дифференцировании возвращают подынтегральную функцию, с которой мы начали?»

Этот процесс можно рассматривать как дифференцирование в обратном порядке. Если ∫f(x) dx=F(x)+C\int f(x)\,dx = F(x) + C∫f(x)dx=F(x)+C, то F'(x) =f(x)F'(x) = f(x)F'(x)=f(x). Как упоминалось ранее, первообразную функцию F(x)F(x)F(x) можно использовать для вычисления всех возможных площадей под кривой, взяв разность F(x)F(x)F(x), оцененную в точке концы интервала.

Было бы полезно рассмотреть эту концепцию и с другой стороны. Если интегрировать производную функции, то имеем:

∫f'(x) dx=f(x)+C\int f'(x)\,dx = f(x) + C∫f'(x)dx=f(x)+C

CCC представляет постоянную интегрирования. Поскольку производная любой константы равна нулю, CCC может принимать любое значение. Таким образом, неопределенный интеграл дает нам семейство первообразных функций.

6 лучших интегральных сокращений

Как быстро интегрироваться? Мы рассмотрим 6 удобных приемов для вычисления интегралов.

1. Запомните основные интегральные формулы

Самый практичный интегральный трюк — запомнить наиболее распространенные интегральные примеры. Со временем эти примеры стали стандартными интегральными уравнениями. Эти основные интегральные формулы являются важными инструментами для вычисления интегралов.

5 Основные формулы интегрирования

Эти уравнения приведены ниже.

Правило сумм

∫[f(x)+g(x)] dx=∫f(x) dx+∫g(x) dx\int [f(x) + g(x)]\,dx = \ int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx∫[f(x)+g(x)]dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx 9{n+1}}{n+1} + C∫xndx=n+1xn+1​+C для некоторого действительного числа nnn

Правило константы

∫a dx=ax+C\int a\,dx = ax + C∫adx=ax+C для некоторой константы aaa

Доктор Тим Шартье, инструктор Outlier по исчислению, объясняет некоторые из этих правил:

4 интегральные формулы для конкретных типов функций

Когда вы ознакомитесь с приведенными выше основными правилами, вы сможете запомнить эти интегральные формулы для конкретных типов функций: 9x}{\ln{(a)}} + C∫axdx=ln(a)ax​+C, для любого положительного действительного числа aaa

∫ln⁡(x) dx=xln⁡(x)−x+C\int \ln{(x)}\,dx = x\ln{(x)}-x + C∫ln(x)dx=xln (х)−х+С

Правила тригонометрических функций и обратных тригонометрических функций

Для этих правил предположим, что x выражен в радианах. {2}}{2} + C∫x1dx=1+1×1+1​=2×2​+C. 9{3}}{3} + C∫x2dx=2+1×2+1​=3×3​+C.

Чему равен интеграл от sin(x) dx? Для этого интеграла мы можем использовать тригонометрические правила. Правило синусов говорит нам, что ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡x+C\int \sin{(x)} \, dx = -\cos{x} + C∫sin(x)dx=−cosx +С.

2. Используйте LaTeX для упрощения форматирования

Как набрать интеграл на клавиатуре? Самый простой вариант — использовать LaTeX, систему набора текста, оптимизированную для отображения технического контента. Вы можете загрузить LaTeX на свой компьютер или создать учетную запись в бесплатном онлайн-редакторе LaTeX. 9b∫ab​f(x)dx=F(x)∣∣​ab​».

В качестве альтернативы можно использовать сочетания клавиш для Mac и Windows: Option + B и Alt + 244.

3. Интегрирование по частям

Если подынтегральное выражение является произведением функций, то интегрирование по частям — лучший интегральный прием. Интегрирование по частям отменяет правило произведения для производных.

Формула интегрирования по частям:

∫udv=uv−∫vdu\int udv = uv – \int vdu∫udv=uv−∫vdu

Чтобы использовать эту формулу, мы можем просто разделить подынтегральную функцию на произведение функций, выбрав одну функцию для представления uuu и одну функцию для представления dvdvdv. Лучше всего обозначить uuu как термин, который легче всего различать, а dvdvdv — как термин, который легче всего интегрировать.

Следующим шагом является дифференциация uuu для поиска dududu и интеграция dvdvdv для поиска vvv. Затем остается только подставить uuu, vvv и dududu в формулу интегрирования по частям и решить, упрощая там, где это необходимо.

Откуда ты знаешь, как назначать ууу и дудуду? При принятии решения о том, какую функцию назначить на uuu, можно использовать аббревиатуру LIATE:

• Логарифмические функции

• Обратные тригонометрические функции

• Алгебраические функции

• Тригонометрические функции

• Экспоненциальные функции

Определите различные типы функций, которые присутствуют в вашем интеграле. Типы функций, которые находятся выше всего в приведенном выше списке, должны иметь приоритет как uu u.

Например, давайте решим ∫ln⁡(x)dx\int \ln{(x)}dx ∫ln(x)dx. Пусть u=ln(x)u = ln{(x)} u=ln(x) и dv=1dxdv=1dx dv=1dx. Дифференцируя uu u, находим, что du=1xdxdu = \frac{1}{x}dx du=x1​dx. Интегрируя dvdv dv, получаем, что v=xv = x v=x. Теперь, подставив uu u, vv v и dudu du в формулу интегрирования по частям:

∫udv=uv−∫vdu\int udv = uv – \int vdu∫udv=uv−∫vdu

∫ln⁡(x)=ln⁡(x)⋅x−∫x⋅1xdx\int \ln {(x)} = \ln{(x)} \cdot x – \int x \cdot \frac{1}{x}dx∫ln(x)=ln(x)⋅x−∫x⋅x1​dx

∫ln⁡(x)=xln⁡(x)−∫1dx\int \ln{(x)} = x \ln{(x)} – \int 1dx∫ln(x)=xln(x)− ∫1dx

∫xln⁡(x)=xln⁡(x)−x+C\int x\ln{(x)} = x \ln{(x)} – x + C∫xln(x)=xln (x)−x+C

4. U-замещение

Если подынтегральная функция является составной функцией, то u-подстановка является лучшим интегральным приемом. Используя u-подстановку, мы можем легко изменить цепное правило для производных. Чтобы использовать этот трюк, мы перепишем наш интеграл через uu u и dudu du:

∫f(g(x))g'(x) dx=∫f(u) du\int f(g(x))g'(x)\,dx = \int f(u)\,du ∫f(g(x))g'(x)dx=∫f(u)du 92 х = 1 csc2x−cot2x=1

Частные и обратные тождества

• tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} tanx=cosxsinx​

• cot⁡x=cos⁡xsin⁡x\cot x = \frac{\cos x}{\sin x} cotx=sinxcosx​

• sin⁡x=1csc⁡x\sin x = \frac{1}{\csc x} sinx=cscx1​

• cos⁡x=1sec⁡x\cos x = \frac{1}{\sec x} cosx=secx1​

• tan⁡x=1cot⁡x\tan x = \frac{1}{\cot x} tanx=cotx1​ 92 x} тангенс(2x)=1−тангенс 2×2тангенс

6. Интегрирование четных и нечетных функций

Для некоторых определенных интегральных задач определение, является ли функция четной или нечетной, может быстро упростить задачу.

Если f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) f(−x)=f(x), то функция четная.

Если f(-x)=-f(x)f(-x) = -f(x) f(-x)=-f(x), то функция нечетная.

Убедившись, что один из приведенных выше случаев верен, проверьте границы интеграла. Определите, имеют ли нижняя и верхняя границы вид −a-a −a и aa a. Если это так, то можно использовать следующие приемы: 9a f(x) \, dx = 0∫−aa​f(x)dx=0.

Практика ведет к совершенству

Если вы хотите узнать больше о неотъемлемых ярлыках, Outlier предлагает кинематографические курсы с самыми привлекательными инструкторами в мире. Как один из самых доступных способов получения кредитов на уровне колледжа, курс математического анализа Outlier предлагает онлайн-учебную программу мирового уровня по математическому анализу.

• Outlier предлагает доступные занятия в колледже за небольшую часть стоимости — на 80% дешевле, чем в традиционном колледже!

• Заработайте 3 кредита колледжа для получения степени за каждый пройденный курс. Кредиты получены от Университета Питтсбурга, входящего в число 60 лучших школ.

• Курсы исчисления являются интерактивными и преподаются всемирно известными профессорами математики, в том числе Тимом Шартье из Колледжа Дэвидсона, Ханной Фрай из Университетского колледжа Лондона и Джоном Уршелем из Массачусетского технологического института.

• Ресурсы курса включают в себя наборы вопросов, викторины и цифровой учебник, основанный на активном обучении. У вас также будет доступ к бесплатным репетиторам и учебной группе.

• Перевести кредиты легко.

• Если вы выполните работу и не пройдете, вы получите полный возврат средств.

• Окна экзамена гибки, а лекции доступны для просмотра по запросу в любом месте.

Ознакомьтесь с отмеченными наградами курсами For-Credit от Outlier

Outlier (от соучредителя MasterClass) собрал лучших в мире преподавателей, дизайнеров игр и кинематографистов, чтобы создать будущее онлайн-колледжа.

Ознакомьтесь с этими родственными курсами:

Исчисление I

Изучите курс

Исчисление I

Математика изменений.

Изучить курс

Введение в статистику

Изучить курс

Введение в статистику

Как данные описывают наш мир.

Изучить курс

Введение в микроэкономику

Изучить курс

Введение в микроэкономику

Почему маленькие решения имеют большое влияние. 9(2/3)

 

Спасибо!

Подписаться І 3

Подробнее

Отчет

2 ответа от опытных наставников

Лучший Новейшие Самый старый

Автор: Лучшие новыеСамые старые

Майкл Дж. ответил 22.04.16

Репетитор

5 (5)

Освоение пределов, производных и методов интегрирования

См. таких наставников

Смотрите таких репетиторов

Нам нужно переписать интеграл так, чтобы он был в виде произведения.

∫ (U ² + U) (2U ³ + 3U ² + 1) ^-2/3 DU

Мы сможем использовать метод для подполнения.

 

Пусть      x = 2u ³ + 3u ² + 1

DX = (6U ² + 6U) DU

DX = 6 (U ² + U) DU

(1/6) DX = (U ^{2 + u)du}

 

 

Используя эти замененные члены, мы можем записать эквивалентный интеграл, который легче вычислить.

 

∫(1/6)x ^-2/3 dx =

 

(1/6)∫x ^-2/3 dx =

3

3(6)

х ^1/3 + C =

 

(1/2)x ^1/3 + C

 

 

Теперь подставим значение x обратно в интеграл, чтобы оно было выражено через u .

(1/2) (2U ³ + 3U ² + 1) ^1/3 + C

. должен вернуть исходное выражение, которое нам нужно интегрировать.

Голосовать за 0 Понизить

Подробнее

Отчет

Марк М. ответил 22.04.16

Репетитор

4.9 (920)

Математик на пенсии, проф. Calc 1, 2 и AP Опыт репетиторства исчисления.

Об этом репетиторе ›

Об этом репетиторе ›

∫ [U ² +U]/[2U ³ +3U ² +1] ^2/3 DU

LET W = 2U ³ +3U ² 64 +1464 +1464 +1464 +1464 +1464 +1464 +1464 +1464 +1464 +1464 +1464 +1464 +1464 +1464 +2 +2 +2 +2 +1464 +2 . = (6U ² +6U) DU

Итак, (1/6) DW = (U ² +U) DU

. w ^-2/3 dw

 

                                                               = (1/6)(3w ^1/3 ) + C

= (1/2) (2U ³ + 3U ² +1) ^1/3 + C

Голосовать за 0 Понизить

Подробнее

Отчет

Все еще ищете помощь? Получите правильный ответ, быстро.