Как решать определенные интегралы примеры решения: Как вычислить определенный интеграл, примеры решений

Задания для самостоятельной работы

1.5. Найти интегралы от тригонометрических функций:

1) ; 2); 3);

4) ; 5); 6);

7) ; 8); 9);

10) ; 11); 12);

13) .

0. 1.4. Интегрирование иррациональных функций Примеры решения задач

1. Вычислить интегралы от иррациональных функций:

а) ; б);

в); г).

►а) Подстановкой приведем интеграл к рациональному виду. Тогда

.

б) Заметим, что

.

Применим подстановку , откуда

;

.

Итак,

=

.

в) Выделяя полный квадрат в квадратном трехчлене под знаком корня, получаем:

.

Тогда, используя табличный интеграл 14, находим

.

г) Разобьем данный интеграл на сумму двух интегралов (в первом в числителе образуем производную от подкоренного выражения, а во втором выделим полный квадрат в подкоренном выражении):

.◄

Задания для самостоятельной работы

1.6. Найти интегралы от иррациональных функций:

1) ; 2);

3) ; 4);

5) ; 6);

7) ; 8);

9) ; 10);

11) ; 12).

Тема 2. Определенный интеграл.

2.1. Формула Ньютона-Лейбница.

Вычисление определенных интегралов

Примеры решения задач

.

1. Вычислить определенные интегралы, используя их свойства и формулу Ньютона-Лейбница:

а) ; б); в).

►Так как все подынтегральные функции непрерывны на соответствующих отрезках, то получаем:

а) ;

б) Под знаком интеграла неправильная дробь. Выделим целую часть, используя разложение

.

Имеем:

,

и данный интеграл

;

в) .◄

2. Методом замены переменной вычислить определенные интегралы:

а) ; б); в).

а) Введем новую переменную . Тогдаи новые пределы интегрированияприипри.

;

б) ;

в)

.◄

3. Используя формулу интегрирования по частям (1.4), вычислить следующие интегралы:

а) ; б).

►а)

.

б)

=. ◄

4. Вычислить интеграл .

►Используем подстановку . Тогдапри,прии.

К последнему интегралу применим интегрирование по частям:

◄

Задания для самостоятельной работы

2.1. Вычислить определенные интегралы по формуле Ньютона-Лейбница:

1) ; 2); 3);

4) ; 5); 6).

2.2. Используя формулу замены переменной, вычислить интегралы:

1) ; 2); 3);

4) ; 5); 6);

7) ; 8).

2.3. Вычислить интегрированием по частям следующие интегралы:

1) ; 2); 3);

4) ; 5); 6);

7) ; 8).

2. Приложения определенного интеграла

Примеры решения задач

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямой и кривой.

►Найдем абсциссы точек пересечения данных кривых:

Получим . Это и есть пределы интегрирования. Тогда, по формуле

. (2.1)

находим площадь:

.◄

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной лемнискатой.

►Кривая задана в полярной системе координат.

Имеет место формула:

. (2.2)

Рис. 2

Так как фигура симметрична относительно обеих осей, то каждая площадь равна четырем площадям фигуры, находящейся вI четверти.

При , при, т.е..

Имеем .◄

3. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Оx криволинейной трапеции, ограниченной линиями и осиОx.

►Для нахождения объема будем использовать формулу

.

В пределах данной трапеции х меняется от 0 до 2, значит, . Тогда

.◄

4. Найти длину дуги кривой , заключенной между точками с абсциссамии.

►Для вычисления длины дуги применим формулу:

.

В данном случае ,. Тогда

◄

5. Найти работу, затраченную на выкачивание жидкости из конического резервуара, обращенного вершиной вниз, если высота резервуара равна Н, радиус основания R.

►Вычислим вес элементарного слоя жидкости, находящейся на глубине

х.

Высоту этого слоя выберем таким образом, чтобы сделать этот слой цилиндром радиуса. Тогда весэтого слоя равен:

,

где − плотность жидкости,− ускорение свободного падения,− объем цилиндра.

Из подобия треугольников АОD и СВD находим у:

.

Рис. 3

Итак,.

Элементарная работа, затраченная на поднятие этого слоя жидкости на высоту х,

равна

,

поэтому

.◄

6. Найти силу давления воды на вертикальную стенку в форме полукруга, радиус которого R=3м.

►По закону Паскаля сила давления жидкости на площади вычисляется по формуле:

,

где − плотность жидкости,− ускорение силы тяжести,− глубина погружения,− площадь площадки.

Обозначим глубину погружения черезх. Элементарную площадку будем считать цилиндром радиуса и высоты. Из треугольникаимеем:

.

Рис. 4

Тогда площадь площадки равна:

.

Найдем дифференциал давления на элементарную площадку:

.

Итак,

. ◄

Несобственный интеграл 1-го и 2-го рода. Сходимость несобственного интеграла. Решение задач и контрольных работ по высшей математике онлайн

Краткая теория

---

Понятие несобственного интеграла является обобщением понятия определенного интеграла на случай, когда либо промежуток интегрирования бесконечен (интеграл имеет бесконечные пределы интегрирования), либо подынтегральная функция в некоторых точках обращается в бесконечность.

Несобственные интегралы 1-го рода

Рассмотрим несобственные интегралы первого рода.

Если функция  определена на промежутке  и при любом  существует определенный интеграл

то можно рассматривать

этот предел и называют несобственным интегралом от функции  на промежутке . Его обозначают

примем, если предел конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится, а функция  интегрируема на промежутке ; если же предел бесконечен или вовсе не существует, то говорят, что несобственный интеграл расходится, а функция  не интегрируема на .

Таким образом, по определению, если существует

то

Подобным образом определяются несобственные интегралы и для других бесконечных промежутков:

Так как несобственные интегралы с бесконечными пределами получаются предельным переходом из соответствующих определенных (собственных) интегралов, то на первые переносятся все те свойства последних, которые сохраняются при этом предельном переходе.

Несобственные интегралы 2-го рода

Перейдем теперь к рассмотрению несобственного интеграла от неограниченной функции (несобственного интеграла второго рода). Пусть функция  определена на отрезке , за исключением точки , в окрестности которой она не ограничена. Если существует определенный интеграл

при любом , то можно рассматривать

Этот предел называется несобственным интегралом второго рода на  от неограниченной на нем функции  и обозначается

При этом, если предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, а неограниченная функция  – интегрируемой на . Если же предел бесконечен или вовсе не существует, то несобственный интеграл называется расходящимся, а функция  – не интегрируемой на .

Аналогично определяется несобственный интеграл для случая, когда функция  определена на отрезке , за исключением точки , в окрестности которой она не ограничена.

В случае, если точка разрыва функции  – точка  – лежит между точками  и  и несобственные интегралы на отрезках  и  существуют, то считают, то

Примеры решения задач

---

Задача 1

Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.

Решение

В этом примере для вычисления неопределенного интеграла используется интегрирование путем подведения под знак дифференциала.

Несобственный интеграл сходится.

Ответ:

---

Задача 2

Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.

Решение

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

В этом примере для вычисления неопределенного интеграла применяется метод интегрирования по частям.

Несобственный интеграл сходится.

Ответ:

---

Задача 3

Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость.

Решение

В этом примере для вычисления неопределенного интеграла используется интегрирование путем подведения под знак дифференциала.

Несобственный интеграл сходится.

 

Ответ:

---

Задача 4

Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость.

Решение

В этом примере для вычисления неопределенного интеграла используется интегрирование путем подведения под знак дифференциала.

 

Ответ: несобственный интеграл расходится.

Свойства определенных интегралов – GeeksforGeeks

Интеграл, имеющий предел, называется определенным интегралом. У него есть верхний предел и нижний предел. Он представлен как

f(x) = F(b) − F(a)

Определенный интеграл обладает многими свойствами. Мы обсудим каждое свойство одно за другим с доказательством.

Свойство 1:   f(x) dx =  f(y) dy

Доказательство:

 f(x) dx……. (1)

Предположим, x = у 9Свойство 2:

Доказательство:

f(x) dx = F(b) – F(a)……..(1)

f(x) dx = F(a) – F(b)………. (2)

Из (1) и (2)

Мы можем получить f(x) dx = – f(x) dx

Свойство 3:  f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx

Доказательство:

 f(x) dx = F(b) – F(a) ………..(1)

 f(x) dx = F(p) – F(a) ………..(2)

 f(x) dx = F(b) – F(p) ………..(3)

Из (2) и (3)

f(x) dx +f(x) dx = F(p) – F(a) + F(b) – F(p)

f(x) dx + f(x) dx = F(b) – F(a) = f(x) dx    

Следовательно, Доказано.

Свойство 4.1. х = у…………(1)

-dx = dy

Из (1) видно

когда x = a  

y = a + b – a

y = b

и когда x = b

y = a + b – b

y = a

Замена на эти ценности он интегрирует на правая часть становится f(y)dy

Из свойства 1 и свойства 2 можно сказать, что

 f(x) dx = f(a + b – x) dx  

Свойство 4. 2: Если значение a задан как 0, то свойство 4.1 можно записать как

  f(x) dx = f(b – x) dx

Свойство 5:  f(x) dx = f(x) dx + f(2a – x) dx

Доказательство:

Мы можем записать f(x) dx как 9000 3

 f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx ………….. (1)

I = I ₁ + I ₂

(из свойства 3)

Предположим, 2a – x ​​= y

-dx = dy

Также, когда x = 0

y = 2a, и когда x = a

y = 2a – a = a

Итак, f(2a – x)dx можно записать как

90 002 f(y) dy = I ₂

Подставляя в уравнение (1) значение I ₂ , получаем

f(x) dx = f(x) dx + f(2a – x) dx

Свойство 6 :   ф (х) dx = 2f(x) dx; если f(2a – x) = f(x)

                                                    =  0                      ; если f(2a – x) = -f(x)

Доказательство:  

Из свойства 5 мы можем записать f(x) dx как

 f(x) dx =f(x) dx + f( 2а – х) дх …………. (1)

Часть 1: Если f(2a – x) = f(x)

Тогда уравнение (1) можно записать в виде

f(x) dx =f(x) dx + f(x) dx

Далее это можно записать как

f(x) dx = 2 f(x) dx

Часть 2: как

  f(x) dx=f(x) dx – f(x) dx

Далее это можно записать как

 f(x) dx= 0

Свойство 7:   f (х) дх =f(x)dx; если функция четная, то есть f(-x) = f(x)

                                                        = 0                   ; если функция нечетная, то есть f(-x) = -f(x)

Доказательство:

Из свойства 3 мы можем записать

 f(x) dx как

 f(x) dx = ж( x) dx + f(x) dx  ………(1)

Предположим,

 f(x) dx = I1 ……(2)

Теперь предположим, что x = -y

Итак, dx = -dy

А также когда x = -a тогда

y= -(-a) = a

и когда x = 0 тогда y = 0

Подставляя эти значения в уравнение (2), получаем

I ₁ = f(-y)dy

Используя свойство 2, I ₁ можно записать как

I ₁ =  f(-y )dy

и используя свойство 1 I ₁ можно записать как

I ₁ = f(-x)dx

Подставляя значение I ₁ в уравнение (1), получаем 9000 3

 ф( x) dx = f(-x) dx +f(x) dx   ………. (3)

Часть 1: Когда f(-x) = f(x)

Тогда уравнение (3) принимает вид

 f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx

 f(x) dx = 2f(x) dx 

Часть 2: Когда f(- x) = -f(x)

Тогда уравнение 3 принимает вид

 f(x) dx = –f(x) dx +f(x) d

 f(x)dx = 0

Примеры

9000 9 Пример 1: I = x(1 – x) ⁹⁹ dx

Решение:

Используя свойство 4.2, данный вопрос можно записать в виде

(1 – x) [1 – (1 – х) ] ⁹⁹ dx

 (1 – x) [1 – 1 + x] ⁹⁹ dx

(1 – x)x ⁹⁹ dx

= 1/100 – 1/101

= 1

 f(-x) = cos(-x) log

 f(-x) = -cos(x) log

f(-x) = -f(x)

Следовательно, функция нечетная. Итак, используя свойство

 f(x)dx = 0; если функция нечетная, т. е. f(-x) = -f(x)

 cos(x) log  = 0

Пример 3: I =  [x] dx

Решение:

 0 dx + 1 dx + 2 dx + 3 dx + 4 dx [используя свойство 3 ]

= 0 + [x] ² ₁ + 2[x] ³ ₂   + 3[x] ⁴ ₃ + 4 [х] ⁵ ₄  

= 0 + (2 – 1) + 2 (3 – 2) + 3 (4 – 3) + 4 (5 – 4)

= 0 + 1 + 2 + 3 + 4

= 10

Пример 4: I =  |x| dx

Решение:

 (-x) dx +  (x) dx  [используя свойство 3]

= -[x ² /2] ⁰ _-1 + [х ² /2] ² ₀

= -[0/2 – 1/2] + [4/2 – 0]

= 1/2 + 2

= 5/2

Счет, Математика и статистика — Набор академических навыков

Определенная интеграция

Главное меню ContentsToggle 1 Определение и обозначения 2 Константа интегрирования 3 Свойства 4 Интеграл как площадь под кривой 5 Рабочий пример 6 Видеопримеры 7 Учебники 8 Проверьте себя 92$.