Как решать примеры пределы: Примеры пределов с решениями - Санкт-Петербургское государственное бюджетное учреждение социального обслуживания населения

Содержание

Вычисление пределов функции. Первый и второй замечательные пределы

Краткая теория

Число называется пределом функции в точке , если для всех значений , достаточно близких к и отличных от значения функции сколь угодно мало отличаются от числа .

Пишут:

Правила вычисления пределов

Пусть существуют пределы

Тогда:

1. Предел константы равен самой константе:

2. Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций:

3. Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций:

4. Постоянный множитель выносится за знак предела:

5. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций:

Показатель степени можно выносить за знак предела:

Универсальный метод, устраняющий неопределенности и носит название правила Лопиталя и рассматривается на соседней странице.

Примеры решения задач

Пример 2

Если же , то дробь рекомендуется сократить один или несколько раз на бином

Если вам сейчас не требуется платная помощь с решением задач, контрольных работ и типовых расчетов, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт
вступайте в группу ВК
сохраните контакт WhatsApp (+79688494598)

сохраните контакт Телеграм (@helptask) .

Например:

Пример 3

При отыскании предела отношения двух целых многочленов относительно при оба члена отношения полезно предварительно разделить на , где – наивысшая степень этих многочленов.

Аналогичный прием во многих случаях можно применять и для дробей, содержащих иррациональности.

Например:

Пример 4

Выражения, содержащие иррациональности, приводятся к рациональному виду во многих случаях путем введения новой переменной.

Например:

Полагая

получаем:

Пример 5

Другим приемом вычисления предела от иррационального выражения является перевод иррациональности из числителя в знаменатель или, наоборот, из знаменателя в числитель.

Например:

Пример 6

Первый замечательный предел

При вычислении пределов во многих случаях используется формула первого замечательного предела:

Например:

Пример 7

Второй замечательный предел

Второй замечательный предел:

При вычислении пределов вида

следует иметь ввиду, что:

1) если существуют конечные пределы

то

2) если

то вопрос о решении предела

решается непосредственно

3) если

то полагают , где при , и следовательно

где – неперово число

Например:

Пример 8

Предел логарифма

При вычислении некоторых пределов полезно знать, что если существует и положителен

то

Например:

На цену сильно влияет срочность решения (от суток до нескольких часов). Онлайн-помощь на экзамене/зачете (срок решения 1,5 часа и меньше) осуществляется по предварительной записи.

Заявку можно оставить прямо в чате ВКонтакте, WhatsApp или Telegram, предварительно сообщив необходимые вам сроки решения и скинув условие задач.

объяснение, теория, примеры решений. Как решать пределы для чайников

а 3 = – 1/8 и т. д.

Существует даже последовательность, состоящая из одного и того же числа. Так, а n =6 состоит из бесконечного множества шестёрок.

Определение предела последовательности

Пределы последовательностей давно существуют в математике. Конечно, они заслужили свое собственное грамотное оформление. Итак, время узнать определение пределов последовательностей. Для начала рассмотрим подробно предел для линейной функции:

Все пределы обозначаются сокращённо lim.
Запись предела состоит из сокращения lim, какой-либо переменной, стремящейся к определённому числу, нулю или бесконечности, а также из самой функции.

Легко понять, что определение предела последовательности может быть сформулировано следующим образом: это некоторое число, к которому бесконечно приближаются все члены последовательности. Простой пример: а x = 4x+1. Тогда сама последовательность будет выглядеть следующим образом.

5, 9, 13, 17, 21…x …

Таким образом, данная последовательность будет бесконечно увеличиваться, а, значит, её предел равен бесконечности при x→∞, и записывать это следует так:

Если же взять похожую последовательность, но х будет стремиться к 1, то получим:

А ряд чисел будет таким: 1.4, 1.8, 4.6, 4.944 и т. д. Каждый раз нужно подставлять число всё больше приближеннее к единице (0.1, 0.2, 0.9, 0.986). Из этого ряда видно, что предел функции — это пять.

Из этой части стоит запомнить, что такое предел числовой последовательности, определение и метод решения простых заданий.

Общее обозначение предела последовательностей

Разобрав предел числовой последовательности, определение его и примеры, можно приступить к более сложной теме. Абсолютно все пределы последовательностей можно сформулировать одной формулой, которую обычно разбирают в первом семестре.

Итак, что же обозначает этот набор букв, модулей и знаков неравенств?

∀ — квантор всеобщности, заменяющий фразы «для всех», «для всего» и т. п.

∃ — квантор существования, в данном случае обозначает, что существует некоторое значение N, принадлежащее множеству натуральных чисел.

Длинная вертикальная палочка, следующая за N, значит, что данное множество N «такое, что». На практике она может означать «такая, что», «такие, что» и т. п.

Для закрепления материала прочитайте формулу вслух.

Неопределённость и определённость предела

Метод нахождения предела последовательностей, который рассматривался выше, пусть и прост в применении, но не так рационален на практике. Попробуйте найти предел для вот такой функции:

Если подставлять различные значения «икс» (с каждым разом увеличивающиеся: 10, 100, 1000 и т. д.), то в числителе получим ∞, но в знаменателе тоже ∞. Получается довольно странная дробь:

Но так ли это на самом деле? Вычислить предел числовой последовательности в данном случае кажется достаточно легко. Можно было бы оставить всё, как есть, ведь ответ готов, и получен он на разумных условиях, однако есть ещё один способ специально для таких случаев.

Для начала найдём старшую степень в числителе дроби — это 1, т. к. х можно представить как х 1 .

Теперь найдём старшую степень в знаменателе. Тоже 1.

Разделим и числитель, и знаменатель на переменную в высшей степени. В данном случае дробь делим на х 1 .

Далее найдём, к какому значению стремится каждое слагаемое, содержащее переменную. В данном случае рассматриваются дроби. При х→∞ значение каждой из дробей стремится к нулю. При оформлении работы в писменном виде стоит сделать такие сноски:

Получается следующее выражение:

Конечно же, дроби, содержащие х, не стали нулями! Но их значение настолько мало, что вполне разрешено не учитывать его при расчётах. На самом же деле х никогда не будет равен 0 в данном случае, ведь на ноль делить нельзя.

Что такое окрестность?

Предположим, в распоряжении профессора сложная последовательность, заданная, очевидно, не менее сложной формулой. Профессор нашёл ответ, но подходит ли он? Ведь все люди ошибаются.

Огюст Коши в своё время придумал отличный способ для доказательства пределов последовательностей. Его способ назвали оперированием окрестностями.

Предположим, что существует некоторая точка а, её окрестность в обе стороны на числовой прямой равна ε («эпсилон»). Поскольку последняя переменная — расстояние, то её значение всегда положительно.

Теперь зададим некоторую последовательность х n и положим, что десятый член последовательности (x 10) входит в окрестность а. Как записать этот факт на математическом языке?

Допустим, х 10 находится правее от точки а, тогда расстояние х 10 -а

Теперь пора разъяснить на практике ту формулу, о которой говорилось выше. Некоторое число а справедливо называть конечной точкой последовательности, если для любого её предела выполняется неравенство ε>0, причём вся окрестность имеет свой натуральный номер N, такой, что всё члены последовательности с более значительными номерами окажутся внутри последовательности |x n – a|

С такими знаниями легко осуществить решение пределов последовательности, доказать или опровергнуть готовый ответ.

Теоремы

Теоремы о пределах последовательностей — важная составляющая теории, без которой невозможна практика. Есть всего лишь четыре главных теоремы, запомнив которые, можно в разы облегчить ход решения или доказательства:

Единственность предела последовательности. Предел у любой последовательности может быть только один или не быть вовсе. Тот же пример с очередью, у которой может быть только один конец.
Если ряд чисел имеет предел, то последовательность этих чисел ограничена.

Предел суммы (разности, произведения) последовательностей равен сумме (разности, произведению) их пределов.
Предел частного от деления двух последовательностей равен частному пределов тогда и только тогда, когда знаменатель не обращается в ноль.

Доказательство последовательностей

Иногда требуется решить обратную задачу, доказать заданный предел числовой последовательности. Рассмотрим на примере.

Доказать, что предел последовательности, заданной формулой, равен нолю.

По рассмотренному выше правилу, для любой последовательности должно выполняться неравенство |x n – a|

Выразим n через «эпсилон», чтобы показать существование некоего номера и доказать наличие предела последовательности.

На этом этапе важно напомнить, что «эпсилон» и «эн» – числа положительные и не равны нулю. Теперь можно продолжать дальнейшие преобразования, используя знания о неравенствах, полученные в средней школе.

Откуда получается, что n > -3 + 1/ε. Поскольку стоит помнить, что речь идёт о натуральных числах, то результат можно округлить, занеся его в квадратные скобки. Таким образом, было доказано, что для любого значения окрестности «эпсилон» точки а=0 нашлось значение такое, что выполняется начальное неравенство. Отсюда можно смело утверждать, что число а есть предел заданной последовательности. Что и требовалось доказать.

Вот таким удобным методом можно доказать предел числовой последовательности, какой бы сложной она на первый взгляд ни была. Главное — не впадать в панику при виде задания.

А может, его нет?

Существование предела последовательности необязательно на практике. Легко можно встретить такие ряды чисел, которые действительно не имеют конца. К примеру, та же «мигалка» x n = (-1) n . очевидно, что последовательность, состоящая всего лишь из двух цифр, циклически повторяющихся, не может иметь предела.

Та же история повторяется с последовательностями, состоящими из одного числа, дробными, имеющими в ходе вычислений неопределённость любого порядка (0/0, ∞/∞, ∞/0 и т. д.). Однако следует помнить, что неверное вычисление тоже имеет место быть. Иногда предел последоватей найти поможет перепроверка собственного решения.

Монотонная последовательность

Выше рассматривались несколько примеров последовательностей, методы их решения, а теперь попробуем взять более определённый случай и назовём его «монотонной последовательностью».

Определение: любую последовательность справедливо называть монотонно возрастающей, если для нее выполняется строгое неравенство x n x n +1.

Наряду с этими двумя условиями существуют также подобные нестрогие неравенства. Соответственно, x n ≤ x n +1 (неубывающая последовательность) и x n ≥ x n +1 (невозрастающая последовательность).

Но легче понимать подобное на примерах.

Последовательность, заданная формулой х n = 2+n, образует следующий ряд чисел: 4, 5, 6 и т. д. Это монотонно возрастающая последовательность.

А если взять x n =1/n, то получим ряд: 1/3, ¼, 1/5 и т. д. Это монотонно убывающая последовательность.

Предел сходящейся и ограниченной последовательности

Ограниченная последовательность — последовательность, имеющая предел. Сходящаяся последовательность — ряд чисел, имеющий бесконечно малый предел.

Таким образом, предел ограниченной последовательности — это любое действительное или комплексное число. Помните, что предел может быть только один.

Предел сходящейся последовательности — это величина бесконечно малая (действительная или комплексная). Если начертить диаграмму последовательности, то в определённой точке она будет как бы сходиться, стремиться обратиться в определённую величину. Отсюда и название — сходящаяся последовательность.

Предел монотонной последовательности

Предел у такой последовательности может быть, а может и не быть. Сначала полезно понять, когда он есть, отсюда можно оттолкнуться при доказательстве отсутствия предела.

Среди монотонных последовательностей выделяют сходящуюся и расходящуюся. Сходящаяся — это такая последовательность, которая образована множеством х и имеет в данном множестве действительный или комплексный предел. Расходящаяся — последовательность, не имеющая предела в своём множестве (ни действительного, ни комплексного).

Причём последовательность сходится, если при геометрическом изображении её верхний и нижний пределы сходятся.

Предел сходящейся последовательности во многих случаях может быть равен нулю, так как любая бесконечно малая последовательность имеет известный предел (ноль).

Какую сходящуюся последовательность ни возьми, они все ограничены, однако далеко не все ограниченные последовательности сходятся.

Сумма, разность, произведение двух сходящихся последовательностей – также сходящаяся последовательность. Однако частное может быть также сходящейся, если оно определено!

Различные действия с пределами

Пределы последовательностей — это такая же существенная (в большинстве случаев) величина, как и цифры и числа: 1, 2, 15, 24, 362 и т. д. Получается, что с пределами можно проводить некоторые операции.

Во-первых, как и цифры и числа, пределы любых последовательностей можно складывать и вычитать. Исходя из третьей теоремы о пределах последовательностей, справедливо следующее равенство: предел суммы последовательностей равен сумме их пределов.

Во-вторых, исходя из четвёртой теоремы о пределах последовательностей, справедливо следующее равенство: предел произведения n-ого количества последовательностей равен произведению их пределов. То же справедливо и для деления: предел частного двух последовательностей равен частному их пределов, при условии что предел не равен нулю. Ведь если предел последовательностей будет равен нулю, то получится деление на ноль, что невозможно.

Свойства величин последовательностей

Казалось бы, предел числовой последовательности уже разобран довольно подробно, однако не раз упоминаются такие фразы, как «бесконечно маленькие» и «бесконечно большие» числа. Очевидно, если есть последовательность 1/х, где x→∞, то такая дробь бесконечно малая, а если та же последовательность, но предел стремится к нулю (х→0), то дробь становится бесконечно большой величиной. А у таких величин есть свои особенности. Свойства предела последовательности, имеющей какие угодно малые или большие величины, состоят в следующем:

Сумма любого количества сколько угодно малых величин будет также малой величиной.
Сумма любого количества больших величин будет бесконечно большой величиной.
Произведение сколь угодно малых величин бесконечно мало.
Произведение сколько угодно больших чисел — величина бесконечно большая.
Если исходная последовательность стремится к бесконечно большому числу, то величина, ей обратная, будет бесконечно малой и стремиться к нулю.

На самом деле вычислить предел последовательности – не такая сложная задача, если знать простой алгоритм. Но пределы последовательностей — тема, требующая максимума внимания и усидчивости. Конечно, достаточно просто уловить суть решения подобных выражений. Начиная с малого, со временем можно достигнуть больших вершин.

Сегодня на уроке мы разберём строгое определение последовательности и строгое определение предела функции , а также научимся решать соответствующие задачи теоретического характера. Статья предназначена, прежде всего, для студентов 1-го курса естественнонаучных и инженерно-технических специальностей, которые начали изучать теорию математического анализа, и столкнулись с трудностями в плане понимания этого раздела высшей математики.

Кроме того, материал вполне доступен и учащимся старших классов.

За годы существования сайта я получил недобрый десяток писем примерно такого содержания: «Плохо понимаю математический анализ, что делать?», «Совсем не понимаю матан, думаю бросить учёбу» и т.п. И действительно, именно матан часто прореживает студенческую группу после первой же сессии. Почему так обстоят дела? Потому что предмет немыслимо сложен? Вовсе нет! Теория математического анализа не столь трудна, сколько своеобразна

. И её нужно принять и полюбить такой, какая она есть =)

Начнём с самого тяжёлого случая. Первое и главное – не надо бросать учёбу. Поймите правильно, бросить, оно всегда успеется;-) Безусловно, если через год-два от выбранной специальности будет тошнить, тогда да – следует задуматься (а не пороть горячку!) о смене деятельности. Но пока стОит продолжить. И, пожалуйста, забудьте фразу «Ничего не понимаю» – так не бывает, чтобы СОВСЕМ ничего не понимать.

Что делать, если с теорией плохо? Это, кстати, касается не только математического анализа. Если с теорией плохо, то сначала нужно СЕРЬЁЗНО налечь на практику. При этом решаются сразу две стратегические задачи:

– Во-первых, значительная доля теоретических знаний появилась благодаря практике. И поэтому многие люди понимают теорию через… – всё верно! Нет-нет, вы не о том подумали =)

– И, во-вторых, практические навыки с большой вероятностью «вытянут» вас на экзамене, даже если…, но не будем так настраиваться! Всё реально и всё реально «поднять» в достаточно короткие сроки. Математический анализ – это мой любимый раздел высшей математики, и поэтому я просто не мог не протянуть вам ноги руку помощи:

В начале 1-го семестра обычно проходят пределы последовательностей и пределы функций. Не понимаете, что это такое и не знаете, как их решать? Начните со статьи Пределы функций , в которой «на пальцах» рассмотрено само понятие и разобраны простейшие примеры. Далее проработайте другие уроки по теме, в том числе урок о пределах последовательностей , на котором я фактически уже сформулировал строгое определение.

Какие значки помимо знаков неравенств и модуля вы знаете?

– длинная вертикальная палка читается так: «такое, что», «такая, что», «такой, что» либо «такие, что» , в нашем случае, очевидно, речь идёт о номере – поэтому «такой, что»;

– для всех «эн», бОльших чем ;

– знак модуля означает расстояние , т.е. эта запись сообщает нам о том, что расстояние между значениями меньше эпсилон.

Ну как, убийственно сложно? =)

После освоения практики жду вас в следующем параграфе:

И в самом деле, немного порассуждаем – как сформулировать строгое определение последовательности? …Первое, что приходит на ум в свете практического занятия : «предел последовательности – это число, к которому бесконечно близко приближаются члены последовательности».

Хорошо, распишем последовательность :

Нетрудно уловить, что подпоследовательность бесконечно близко приближаются к числу –1, а члены с чётными номерами – к «единице».

А может быть предела два? Но тогда почему у какой-нибудь последовательности их не может быть десять или двадцать? Так можно далеко зайти. В этой связи логично считать, что если у последовательности существует предел, то он единственный .

Примечание : у последовательности нет предела, однако из неё можно выделить две подпоследовательности (см. выше), у каждой из которых существует свой предел.

Таким образом, высказанное выше определение оказывается несостоятельным. Да, оно работает для случаев вроде (чем я не совсем корректно пользовался в упрощённых объяснениях практических примеров) , но сейчас нам нужно отыскать строгое определение.

Попытка вторая: «предел последовательности – это число, к которому приближаются ВСЕ члены последовательности, за исключением, разве что их конечного количества». Вот это уже ближе к истине, но всё равно не совсем точно. Так, например, у последовательности половина членов вовсе не приближается к нулю – они ему просто-напросто равны =) К слову, «мигалка» вообще принимает два фиксированных значения.

Формулировку нетрудно уточнить, но тогда возникает другой вопрос: как записать определение в математических знаках? Научный мир долго бился над этой проблемой, пока ситуацию не разрешил известный маэстро , который, по существу, и оформил классический матанализ во всей его строгости. Коши предложил оперировать окрестностями , чем значительно продвинул теорию.

Рассмотрим некоторую точку и её произвольную -окрестность:

Значение «эпсилон» всегда положительно, и, более того, мы вправе выбрать его самостоятельно . Предположим, что в данной окрестности находится множество членов (не обязательно все) некоторой последовательности . Как записать тот факт, что, например десятый член попал в окрестность? Пусть он находится в правой её части. Тогда расстояние между точками и должно быть меньше «эпсилон»: . Однако если «икс десятое» расположено левее точки «а», то разность будет отрицательна, и поэтому к ней нужно добавить знак модуля : .

Определение : число называется пределом последовательности, если для любой его окрестности (заранее выбранной) существует натуральный номер – ТАКОЙ, что ВСЕ члены последовательности с бОльшими номерами окажутся внутри окрестности:

Или короче: , если

Иными словами, какое бы малое значение «эпсилон» мы ни взяли, рано или поздно «бесконечный хвост» последовательности ПОЛНОСТЬЮ окажется в этой окрестности.

Так, например, «бесконечный хвост» последовательности ПОЛНОСТЬЮ зайдёт в любую сколь угодно малую -окрестность точки . Таким образом, это значение является пределом последовательности по определению. Напоминаю, что последовательность, предел которой равен нулю, называют бесконечно малой .

Следует отметить, что для последовательности уже нельзя сказать «бесконечный хвост зайдёт » – члены с нечётными номерами по факту равны нулю и «никуда не заходят» =) Именно поэтому в определении использован глагол «окажутся». И, разумеется, члены такой последовательности, как тоже «никуда не идут». Кстати, проверьте, будет ли число её пределом.

Теперь покажем, что у последовательности не существует предела. Рассмотрим, например, окрестность точки . Совершенно понятно, что нет такого номера, после которого ВСЕ члены окажутся в данной окрестности – нечётные члены всегда будут «выскакивать» к «минус единице». По аналогичной причине не существует предела и в точке .

Закрепим материал практикой:

Пример 1

Доказать что предел последовательности равен нулю. Указать номер , после которого, все члены последовательности гарантированно окажутся внутри любой сколь угодно малой -окрестности точки .

Примечание : у многих последовательностей искомый натуральный номер зависит от значения – отсюда и обозначение .

Решение : рассмотрим произвольную найдётся ли номер – такой, что ВСЕ члены с бОльшими номерами окажутся внутри этой окрестности:

Чтобы показать существование искомого номера , выразим через .

Так как при любом значении «эн» , то знак модуля можно убрать:

Используем «школьные» действия с неравенствами, которые я повторял на уроках Линейные неравенства и Область определения функции . При этом важным обстоятельством является то, что «эпсилон» и «эн» положительны:

Поскольку слева речь идёт о натуральных номерах, а правая часть в общем случае дробна, то её нужно округлить:

Примечание : иногда для перестраховки справа добавляют единицу, но на самом деле это излишество. Условно говоря, если и мы ослабим результат округлением в меньшую сторону , то ближайший подходящий номер («тройка») всё равно будет удовлетворять первоначальному неравенству.

А теперь смотрим на неравенство и вспоминаем, что изначально мы рассматривали произвольную -окрестность, т.е. «эпсилон» может быть равно любому положительному числу.

Вывод : для любой сколько угодно малой -окрестности точки нашлось значение . Таким образом, число является пределом последовательности по определению. Что и требовалось доказать .

К слову, из полученного результата хорошо просматривается естественная закономерность: чем меньше -окрестность – тем больше номер , после которого ВСЕ члены последовательности окажутся в данной окрестности. Но каким бы малым ни было «эпсилон» – внутри всегда будет «бесконечный хвост», а снаружи – пусть даже большое, однако конечное число членов.

Как впечатления? =) Согласен, что странновато. Но строго! Пожалуйста, перечитайте и осмыслите всё ещё раз.

Рассмотрим аналогичный пример и познакомимся с другими техническими приёмами:

Пример 2

Решение : по определению последовательности нужно доказать, что (проговариваем вслух!!!) .

Рассмотрим произвольную -окрестность точки и проверим, существует ли натуральный номер – такой, что для всех бОльших номеров выполнено неравенство:

Чтобы показать существование такого , нужно выразить «эн» через «эпсилон». Упрощаем выражение под знаком модуля:

Модуль уничтожает знак «минус»:

Знаменатель положителен при любом «эн», следовательно, палки можно убрать:

Перетасовка:

Теперь надо бы извлечь квадратный корень, но загвоздка состоит в том, что при некоторых «эпсилон» правая часть будет отрицательной. Чтобы избежать этой неприятности усилим неравенство модулем:

Почему так можно сделать? Если, условно говоря, окажется, что , то подавно будет выполнено и условие . Модуль может только увеличить разыскиваемый номер , и это нас тоже устроит! Грубо говоря, если подходит сотый, то подойдёт и двухсотый! В соответствии с определением, нужно показать сам факт существования номера (хоть какого-то), после которого все члены последовательности окажутся в -окрестности. Кстати, именно поэтому нам не страшнО финальное округление правой части в бОльшую сторону.

Извлекаем корень:

И округляем результат:

Вывод : т. к. значение «эпсилон» выбиралось произвольно, то для любой сколько угодно малой -окрестности точки нашлось значение , такое, что для всех бОльших номеров выполнено неравенство . Таким образом, по определению. Что и требовалось доказать .

Советую особо разобраться в усилении и ослаблении неравенств – это типичные и очень распространённые приёмы математического анализа. Единственное, нужно следить за корректностью того или иного действия. Так, например, неравенство ни в коем случае нельзя ослаблять , вычитая, скажем, единицу:

Опять же условно: если номер точно подойдёт, то предыдущий может уже и не подойти.

Следующий пример для самостоятельного решения:

Пример 3

Используя определение последовательности, доказать, что

Краткое решение и ответ в конце урока.

Если последовательность бесконечно велика , то определение предела формулируется похожим образом: точка называется пределом последовательности, если для любого, сколь угодно большого числа существует номер , такой, что для всех бОльших номеров , будет выполнено неравенство . Число называют окрестностью точки «плюс бесконечность» :

Иными словами, какое бы большое значение мы ни взяли, «бесконечный хвост» последовательности обязательно зайдёт в -окрестность точки , оставив слева лишь конечное число членов.

Дежурный пример:

И сокращённая запись: , если

Для случая запишите определение самостоятельно. Правильная версия в конце урока.

После того, как вы «набили» руку на практических примерах и разобрались с определением предела последовательности, можно обратиться к литературе по математическому анализу и/или своей тетрадке с лекциями. Рекомендую закачать 1-й том Бохана (попроще – для заочников) и Фихтенгольца (более подробно и обстоятельно) . Из других авторов советую Пискунова, курс которого ориентирован на технические ВУЗы.

Попытайтесь добросовестно изучить теоремы, которые касаются предела последовательности, их доказательства, следствия. Поначалу теория может казаться «мутной», но это нормально – просто нужно привыкнуть. И многие даже войдут во вкус!

Строгое определение предела функции

Начнём с того же самого – как сформулировать данное понятие? Словесное определение предела функции формулируется значительно проще: «число является пределом функции , если при «икс», стремящемся к (и слева, и справа) , соответствующие значения функции стремятся к » (см. чертёж) . Всё вроде бы нормально, но слова словами, смысл смыслом, значок значком, а строгих математических обозначений маловато. И во втором параграфе мы познакомимся с двумя подходами к решению данного вопроса.

Пусть функция определена на некотором промежутке за исключением, возможно, точки . В учебной литературе общепринято считают, что функция там не определена:

Такой выбор подчёркивает суть предела функции : «икс» бесконечно близко приближается к , и соответствующие значения функции – бесконечно близко к . Иными словами, понятие предела подразумевает не «точный заход» в точки, а именно бесконечно близкое приближение , при этом не важно – определена ли функция в точке или нет.

Первое определение предела функции, что неудивительно, формулируется с помощью двух последовательностей. Во-первых, понятия родственные, и, во-вторых, пределы функций обычно изучают после пределов последовательностей.

Рассмотрим последовательность точек (на чертеже отсутствуют) , принадлежащих промежутку и отличных от , которая сходится к . Тогда соответствующие значения функции тоже образуют числовую последовательность, члены которой располагаются на оси ординат.

Предел функции по Гейне для любой последовательности точек (принадлежащих и отличных от ) , которая сходится к точке , соответствующая последовательность значений функции сходится к .

Эдуард Гейне – это немецкий математик. …И не надо тут ничего такого думать, гей в Европе всего лишь один – это Гей-Люссак =)

Второе определение предела соорудил… да-да, вы правы. Но сначала разберёмся в его конструкции. Рассмотрим произвольную -окрестность точки («чёрная» окрестность) . По мотивам предыдущего параграфа, запись означает, что некоторое значение функции находится внутри «эпсилон»-окрестности.

Теперь найдём -окрестность, которая соответствует заданной -окрестности (мысленно проводим чёрные пунктирные линии слева направо и затем сверху вниз) . Обратите внимание, что значение выбирается по длине меньшего отрезка, в данном случае – по длине более короткого левого отрезка. Более того, «малиновую» -окрестность точки можно даже уменьшить, поскольку в нижеследующем определении важен сам факт существования этой окрестности. И, аналогично, запись означает, что некоторое значение находится внутри «дельта»-окрестности.

Предел функции по Коши : число называется пределом функции в точке , если для любой заранее выбранной окрестности (сколь угодно малой) , существует -окрестность точки , ТАКАЯ , что: КАК ТОЛЬКО значения (принадлежащие ) входят в данную окрестность: (красные стрелки) – ТАК СРАЗУ соответствующие значения функции гарантированно зайдут в -окрестность: (синие стрелки) .

Должен предупредить, что в целях бОльшей доходчивости я немного сымпровизировал, поэтому не злоупотребляйте =)

Короткая запись: , если

В чём суть определения? Образно говоря, бесконечно уменьшая -окрестность, мы «сопровождаем» значения функции до своего предела, не оставляя им альтернативы приближаться куда-то ещё. Довольно необычно, но опять же строго! Чтобы как следует проникнуться идеей, перечитайте формулировку ещё раз.

! Внимание : если вам потребуется сформулировать только определение по Гейне или только определение по Коши , пожалуйста, не забывайте о существенном предварительном комментарии: «Рассмотрим функцию , которая определена на некотором промежутке за исключением, возможно, точки » . Я обозначил это единожды в самом начале и каждый раз не повторял.

Согласно соответствующей теореме математического анализа, определения по Гейне и по Коши эквивалентны, однако наиболее известен второй вариант (ещё бы!) , который также называют «предел на языке »:

Пример 4

Используя определение предела, доказать, что

Решение : функция определена на всей числовой прямой кроме точки . Используя определение , докажем существование предела в данной точке.

Примечание : величина «дельта»-окрестности зависит от «эпсилон», отсюда и обозначение

Рассмотрим произвольную -окрестность. Задача состоит в том, чтобы по этому значению проверить, существует ли -окрестность, ТАКАЯ , что из неравенства следует неравенство .

Предполагая, что , преобразуем последнее неравенство:
(разложили квадратный трёхчлен )

объяснение, теория, примеры решений. Понятие предела в математике

Определение пределов последовательности и функции, свойства пределов, первый и второй замечательные пределы, примеры.

Постоянное число а называется пределом последовательности {x n }, если для любого сколь угодно малого положительного числа ε > 0 существует номер N, что все значения x n , у которых n>N, удовлетворяют неравенству

Записывают это следующим образом: или x n → a.

Неравенство (6.1) равносильно двойному неравенству

a – ε x n , начиная с некоторого номера n>N, лежат внутри интервала (a-ε , a+ε), т.е. попадают в какую угодно малую ε-окрестность точки а .

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся , в противном случае – расходящейся .

Понятие предел функции является обобщением понятия предел последовательности, так как предел последовательности можно рассматривать как предел функции x n = f(n) целочисленного аргумента n .

Пусть дана функция f(x) и пусть a – предельная точка области определения этой функции D(f), т.е. такая точка, любая окрестность которой содержит точки множества D(f), отличные от a . Точка a может принадлежать множеству D(f), а может и не принадлежать ему.

Определение 1. Постоянное число А называется предел функции f(x) при x→ a, если для всякой последовательности {x n } значений аргумента, стремящейся к а , соответствующие им последовательности {f(x n)} имеют один и тот же предел А.

Это определение называют определением предела функции по Гейне, или “на языке последовательностей ”.

Определение 2 . Постоянное число А называется предел функции f(x) при x→a, если, задав произвольное, как угодно малое положительное число ε, можно найти такое δ >0 (зависящее от ε), что для всех x , лежащих в ε-окрестности числа а , т.е. для x , удовлетворяющих неравенству
0

Это определение называют определением предел функции по Коши, или “на языке ε – δ “

Определения 1 и 2 равносильны. Если функция f(x) при x → a имеет предел , равный А, это записывается в виде

В том случае, если последовательность {f(x n)} неограниченно возрастает (или убывает) при любом способе приближения x к своему пределу а , то будем говорить, что функция f(x) имеет бесконечный предел, и записывать это в виде:

Переменная величина (т.е. последовательность или функция), предел которой равен нулю, называется бесконечно малой величиной.

Переменная величина, предел которой равен бесконечности, называется бесконечно большой величиной .

Чтобы найти предел на практике пользуются следующими теоремами.

Теорема 1 . Если существует каждый предел

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Замечание . Выражения вида 0/0, ∞/∞, ∞-∞ 0*∞ являются неопределенными, например, отношение двух бесконечно малых или бесконечно больших величин, и найти предел такого вида носит название “раскрытие неопределенностей”.

Теорема 2.

т.е. можно переходить к пределу в основании степени при постоянном показателе, в частности,

Теорема 3.

(6.11)

где e » 2.7 – основание натурального логарифма. Формулы (6.10) и (6.11) носят название первый замечательного предело и второй замечательный предел.

Используются на практике и следствия формулы (6.11):

(6.12)

(6.13)

(6.14)

в частности предел,

Eсли x → a и при этом x > a, то пишут x →a + 0. Если, в частности, a = 0, то вместо символа 0+0 пишут +0. Аналогично если x→a и при этом x и называются соответственно предел справа и предел слева функции f(x) в точке а . Чтобы существовал предел функции f(x) при x→ a необходимо и достаточно, чтобы . Функция f(x) называется непрерывной в точке x 0 , если предел

(6.15)

Условие (6.15) можно переписать в виде:

то есть возможен предельный переход под знаком функции, если она непрерывна в данной точке.

Если равенство (6.15) нарушено, то говорят, что при x = x o функция f(x) имеет разрыв. Рассмотрим функцию y = 1/x. Областью определения этой функции является множество R , кроме x = 0. Точка x = 0 является предельной точкой множества D(f), поскольку в любой ее окрестности, т.е. в любом открытом интервале, содержащем точку 0, есть точки из D(f), но она сама не принадлежит этому множеству. Значение f(x o)= f(0) не определено, поэтому в точке x o = 0 функция имеет разрыв.

Функция f(x) называется непрерывной справа в точке x o , если предел

и непрерывной слева в точке x o, если предел

Непрерывность функции в точке x o равносильна ее непрерывности в этой точке одновременно и справа и слева.

Для того, чтобы функция была непрерывна в точке x o , например, справа, необходимо, во-первых, чтобы существовал конечный предел , а во-вторых, чтобы этот предел был равен f(x o). Следовательно, если хотя бы одно из этих двух условий не выполняется, то функция будет иметь разрыв.

1. Если предел существует и не равен f(x o), то говорят, что функция f(x) в точке x o имеет разрыв первого рода, или скачок .

2. Если предел равен +∞ или -∞ или не существует, то говорят, что в точке x o функция имеет разрыв второго рода .

Например, функция y = ctg x при x → +0 имеет предел, равный +∞ , значит, в точке x=0 она имеет разрыв второго рода. Функция y = E(x) (целая часть от x ) в точках с целыми абсциссами имеет разрывы первого рода, или скачки.

Функция, непрерывная в каждой точке промежутка , называется непрерывной в . Непрерывная функция изображается сплошной кривой.

Ко второму замечательному пределу приводят многие задачи, связанные с непрерывным ростом какой-либо величины. К таким задачам, например, относятся: рост вклада по закону сложных процентов, рост населения страны, распад радиоактивного вещества, размножение бактерий и т.п.

Рассмотрим пример Я. И. Перельмана , дающий интерпретацию числа e в задаче о сложных процентах. Число e есть предел . В сбербанках процентные деньги присоединяются к основному капиталу ежегодно. Если присоединение совершается чаще, то капитал растет быстрее, так как в образовании процентов участвует большая сумма. Возьмем чисто теоретический, весьма упрощенный пример. Пусть в банк положено 100 ден. ед. из расчета 100 % годовых. Если процентные деньги будут присоединены к основному капиталу лишь по истечении года, то к этому сроку 100 ден. ед. превратятся в 200 ден.ед. Посмотрим теперь, во что превратятся 100 ден. ед., если процентные деньги присоединять к основному капиталу каждые полгода. По истечении полугодия 100 ден. ед. вырастут в 100 ×1,5 = 150, а еще через полгода – в 150× 1,5 = 225 (ден. ед.). Если присоединение делать каждые 1/3 года, то по истечении года 100 ден. ед. превратятся в 100 × (1 +1/3) 3 ≈ 237 (ден. ед.). Будем учащать сроки присоединения процентных денег до 0,1 года, до 0,01 года, до 0,001 года и т.д. Тогда из 100 ден. ед. спустя год получится:

100×(1 +1/10) 10 ≈ 259 (ден. ед.),

100×(1+1/100) 100 ≈ 270 (ден. ед.),

100×(1+1/1000) 1000 ≈271 (ден. ед.).

При безграничном сокращении сроков присоединения процентов наращенный капитал не растет беспредельно, а приближается к некоторому пределу, равному приблизительно 271. Более чем в 2,71 раз капитал, положенный под 100% годовых, увеличиться не может, даже если бы наросшие проценты присоединялись к капиталу каждую секунду, потому что предел

Пример 3. 1 . Пользуясь определением предела числовой последовательности, доказать, что последовательность x n =(n-1)/n имеет предел, равный 1.

Решение. Нам надо доказать, что, какое бы ε > 0 мы ни взяли, для него найдется натуральное число N, такое, что для всех n > N имеет место неравенство |x n -1|

Возьмем любое ε > 0. Так как x n -1 =(n+1)/n – 1= 1/n, то для отыскания N достаточно решить неравенство 1/n1/ε и, следовательно, за N можно принять целую часть от 1/ε N = E(1/ε). Мы тем самым доказали, что предел .

Пример 3.2. Найти предел последовательности, заданной общим членом .

Решение. Применим теорему предел суммы и найдем предел каждого слагаемого. При n → ∞ числитель и знаменатель каждого слагаемого стремится к бесконечности, и мы не можем непосредственно применить теорему предел частного. Поэтому сначала преобразуем x n , разделив числитель и знаменатель первого слагаемого на n 2 , а второго на n . Затем, применяя теорему предел частного и предел суммы, найдем:

Пример 3. 3 . . Найти .

Решение.

Здесь мы воспользовались теоремой о пределе степени: предел степени равен степени от предела основания.

Пример 3.4 . Найти ().

Решение. Применять теорему предел разности нельзя, поскольку имеем неопределенность вида ∞-∞. Преобразуем формулу общего члена:

Пример 3.5 . Дана функция f(x)=2 1/x . Доказать, что предел не существует.

Решение. Воспользуемся определением 1 предела функции через последовательность. Возьмем последовательность { x n }, сходящуюся к 0, т.е. Покажем, что величина f(x n)= для разных последовательностей ведет себя по-разному. Пусть x n = 1/n. Очевидно, что , тогда предел Выберем теперь в качестве x n последовательность с общим членом x n = -1/n, также стремящуюся к нулю. Поэтому предел не существует.

Пример 3.6 . Доказать, что предел не существует.

Решение. Пусть x 1 , x 2 ,…, x n ,… – последовательность, для которой
. Как ведет себя последовательность {f(x n)} = {sin x n } при различных x n → ∞

Если x n = p n, то sin x n = sin (p n) = 0 при всех n и предел Если же
x n =2 p n+ p /2, то sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 для всех n и следовательно предел . Таким образом, не существует.

Предел функции – число a будет пределом некоторой изменяемой величины, если в процессе своего изменения эта переменная величина неограниченно приближается к a .

Или другими словами, число A является пределом функции y = f (x) в точке x 0 , если для всякой последовательности точек из области определения функции , не равных x 0 , и которая сходится к точке x 0 (lim x n = x0) , последовательность соответствующих значений функции сходится к числу A .

График функции, предел которой при аргументе, который стремится к бесконечности, равен L :

Значение А является пределом (предельным значением) функции f (x) в точке x 0 в случае, если для всякой последовательности точек , которая сходится к x 0 , но которая не содержит x 0 как один из своих элементов (т. е. в проколотой окрестности x 0 ), последовательность значений функции сходится к A .

Предел функции по Коши.

Значение A будет являться пределом функции f (x) в точке x 0 в случае, если для всякого вперёд взятого неотрицательного числа ε будет найдено соответствующее ему неотрицательно число δ = δ(ε) такое, что для каждого аргумента x , удовлетворяющего условию 0 , будет выполнено неравенство | f (x) A | .

Будет очень просто, если вы понимаете суть предела и основные правила нахождения его. То, что предел функции f (x) при x стремящемся к a равен A , записывается таким образом:

Причем значение, к которому стремится переменная x , может быть не только числом, но и бесконечностью (∞), иногда +∞ или -∞, либо предела может вообще не быть.

Чтоб понять, как находить пределы функции , лучше всего посмотреть примеры решения.

Необходимо найти пределы функции f (x) = 1/ x при:

x → 2, x → 0, x → ∞.

Найдем решение первого предела. Для этого можно просто подставить вместо x число, к которому оно стремится, т.е. 2, получим:

Найдем второй предел функции . Здесь подставлять в чистом виде 0 вместо x нельзя, т.к. делить на 0 нельзя. Но мы можем брать значения, приближенные к нулю, к примеру, 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001 и так далее, причем значение функции f (x) будет увеличиваться: 100; 1000; 10000; 100000 и так далее. Т.о., можно понять, что при x → 0 значение функции, которая стоит под знаком предела, будет неограниченно возрастать, т.е. стремиться к бесконечности. А значит:

Касаемо третьего предела. Такая же ситуация, как и в прошлом случае, невозможно подставить ∞ в чистом виде. Нужно рассмотреть случай неограниченного возрастания x . Поочередно подставляем 1000; 10000; 100000 и так далее, имеем, что значение функции f (x) = 1/ x будет убывать: 0,001; 0,0001; 0,00001; и так далее, стремясь к нулю. Поэтому:

Необходимо вычислить предел функции

Приступая к решению второго примера, видим неопределенность . Отсюда находим старшую степень числителя и знаменателя – это x 3 , выносим в числителе и знаменателе его за скобки и далее сокращаем на него:

Ответ

Первым шагом в нахождении этого предела , подставим значение 1 вместо x , в результате чего имеем неопределенность . Для её решения разложим числитель на множители , сделаем это методом нахождения корней квадратного уравнения x 2 + 2 x – 3 :

D = 2 2 – 4*1*(-3) = 4 +12 = 16 → √ D = √16 = 4

x 1,2 = (-2 ± 4) / 2 → x 1 = -3; x 2 = 1.

Таким образом, числитель будет таким:

Ответ

Это определение его конкретного значения или определенной области, куда попадает функция, которая ограничена пределом. 2 стремится к нулю.

Обычно переменная величина x стремится к конечному пределу a, причем, x постоянно приближается к a, а величина a постоянна. Это записывают следующим образом: limx =a, при этом, n также может стремиться как к нулю, так и к бесконечности. Существуют бесконечные функции, для них предел стремится к бесконечности. В других случаях, когда, например, функцией замедление хода поезда, можно о пределе, стремящемся к нулю.
У пределов имеется ряд свойств. Как правило, любая функция имеет только один предел. Это главное свойство предела. Другие их свойства перечислены ниже:
* Предел суммы равен сумме пределов:
lim(x+y)=lim x+lim y
* Предел произведения равен произведению пределов:
lim(xy)=lim x*lim y
* Предел частного равен частному от пределов:
lim(x/y)=lim x/lim y
* Постоянный множитель выносят за знак предела:
lim(Cx)=C lim x
Если дана функция 1 /x, в которой x →∞, ее предел равен нулю. Если же x→0, предел такой функции равен ∞.
Для тригонометрических функций имеются исключения из этих правил. Так как функция sin x всегда стремится к единице, когда приближается к нулю, для нее справедливо тождество:
lim sin x/x=1

В ряде задач встречаются функции, при вычислении пределов которых возникает неопределенность – ситуация, при которой предел невозможно вычислить. Единственным выходом из такой ситуации становится применение правила Лопиталя. Существует два вида неопределенностей:
* неопределенность вида 0/0
* неопределенность вида ∞/∞
К примеру, дан предел следующего вида: lim f(x)/l(x), причем, f(x0)=l(x0)=0. В таком случае, возникает неопределенность вида 0/0. Для решения такой задачи обе функции подвергают дифференцированию, после чего находят предел результата. Для неопределенностей вида 0/0 предел равен:
lim f(x)/l(x)=lim f”(x)/l”(x) (при x→0)
Это же правило справедливо и для неопределенностей типа ∞/∞. Но в этом случае справедливо следующее равенство: f(x)=l(x)=∞
С помощью правила Лопиталя можно находить значения любых пределов, в которых фигурируют неопределенности. (n-1)

Пределы доставляют всем студентам, изучающим математику, немало хлопот. Чтобы решить предел, порой приходится применять массу хитростей и выбирать из множества способов решения именно тот, который подойдет для конкретного примера.

В этой статье мы не поможем вам понять пределы своих возможностей или постичь пределы контроля, но постараемся ответить на вопрос: как понять пределы в высшей математике? Понимание приходит с опытом, поэтому заодно приведем несколько подробных примеров решения пределов с пояснениями.

Понятие предела в математике

Первый вопрос: что это вообще за предел и предел чего? Можно говорить о пределах числовых последовательностей и функций. Нас интересует понятие предела функции, так как именно с ними чаще всего сталкиваются студенты. Но сначала – самое общее определение предела:

Допустим, есть некоторая переменная величина. Если эта величина в процессе изменения неограниченно приближается к определенному числу a , то a – предел этой величины.
Для определенной в некотором интервале функции f(x)=y пределом называется такое число A , к которому стремится функция при х , стремящемся к определенной точке а . Точка а принадлежит интервалу, на котором определена функция.

Звучит громоздко, но записывается очень просто:

Lim – от английского limit – предел.

Существует также геометрическое объяснение определения предела, но здесь мы не будем лезть в теорию, так как нас больше интересует практическая, нежели теоретическая сторона вопроса. Когда мы говорим, что х стремится к какому-то значению, это значит, что переменная не принимает значение числа, но бесконечно близко к нему приближается.

Приведем конкретный пример. Задача – найти предел.

Чтобы решить такой пример, подставим значение x=3 в функцию. Получим:

Кстати, если Вас интересуют базовые операции над матрицами , читайте отдельную статью на эту тему.

В примерах х может стремиться к любому значению. Это может быть любое число или бесконечность. Вот пример, когда х стремится к бесконечности:

Интуитивно понятно, что чем больше число в знаменателе, тем меньшее значение будет принимать функция. Так, при неограниченном росте х значение 1/х будет уменьшаться и приближаться к нулю.

Как видим, чтобы решить предел, нужно просто подставить в функцию значение, к которому стремиться х . Однако это самый простой случай. Часто нахождение предела не так очевидно. В пределах встречаются неопределенности типа 0/0 или бесконечность/бесконечность . Что делать в таких случаях? Прибегать к хитростям!

Неопределенности в пределах

Неопределенность вида бесконечность/бесконечность

Пусть есть предел:

Если мы попробуем в функцию подставить бесконечность, то получим бесконечность как в числителе, так и в знаменателе. Вообще стоит сказать, что в разрешении таких неопределенностей есть определенный элемент искусства: нужно заметить, как можно преобразовать функцию таким образом, чтобы неопределенность ушла. В нашем случае разделим числитель и знаменатель на х в старшей степени. Что получится?

Из уже рассмотренного выше примера мы знаем, что члены, содержащие в знаменателе х, будут стремиться к нулю. Тогда решение предела:

Для раскрытия неопределенностей типа бесконечность/бесконечность делим числитель и знаменатель на х в высшей степени.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Еще один вид неопределенностей: 0/0

Как всегда, подстановка в функцию значения х=-1 дает 0 в числителе и знаменателе. Посмотрите чуть внимательнее и Вы заметите, что в числителе у нас квадратное уравнение. Найдем корни и запишем:

Сократим и получим:

Итак, если Вы сталкиваетесь с неопределенностью типа 0/0 – раскладывайте числитель и знаменатель на множители.

Чтобы Вам было проще решать примеры, приведем таблицу с пределами некоторых функций:

Правило Лопиталя в пределах

Еще один мощный способ, позволяющий устранить неопределенности обоих типов. В чем суть метода?

Если в пределе есть неопределенность, берем производную от числителя и знаменателя до тех пор, пока неопределенность не исчезнет.

Наглядно правило Лопиталя выглядит так:

Важный момент : предел, в котором вместо числителя и знаменателя стоят производные от числителя и знаменателя, должен существовать.

А теперь – реальный пример:

Налицо типичная неопределенность 0/0 . Возьмем производные от числителя и знаменателя:

Вуаля, неопределенность устранена быстро и элегантно.

Надеемся, что Вы сможете с пользой применить эту информацию на практике и найти ответ на вопрос “как решать пределы в высшей математике”. Если нужно вычислить предел последовательности или предел функции в точке, а времени на эту работу нет от слова «совсем», обратитесь в профессиональный студенческий сервис за быстрым и подробным решением.

Алгебра – 10 класс. Предел функции в точке

Дата публикации: 09 апреля 2017.

Что будем изучать:

1. Что такое предел функции в точке.
2. Определение непрерывной функции.
3. Обобщение знаний о непрерывных функциях.
4. Свойства предела.
5. Примеры.

1) Что такое предел функции в точке?

Ребята, давайте посмотрим на три графика функции, приведенные ниже:

На первый взгляд, графики выглядят совершенно одинаково, но давайте внимательнее посмотрим на наши графики. Посмотрим внимательно на значения функции y=f(x) в точке а.

На Рис1. изображен график непрерывной функции. Значение нашей функции в точке a f(a)=b.

На Рис2. изображен график с так называемой выколотой точкой, значения нашей функции в точке а не существует, посмотрите внимательно на график, наше значение как будто взяли и выкололи.

На Рис3. изображен график значение, которого в точке а существует, но где то отдельно от всего графика, f(a) – расположена выше нашего графика.

На наших рисунках изображены графики трех разных функций. Если мы не будем рассматривать точку а, то графики функций совпадают. При xа графики совершенно одинаковые.

Все случаи описанные для наших рисунков, на математическом языке записывается как:

Читается как: предел функции y=f(x) при x стремящимся к а равен b.

Теперь давайте постараемся понять, что же написано выше. Если значения аргумента функции y=f(x) подбирать все ближе к числу а (если из а вычитать подобранные значения аргумента, то результатом будет число практически равное нулю), то соответствующие значения функции будут все ближе и ближе к b (если из b вычитать полученные значения функции, то результатом будет число практически равное нулю). При этом стоит заметить, что саму точку а не учитываем.

Посмотрим опять на первый график: Можно заметить что:

График функции на нашем рисунке непрерывен. Тогда, давайте напишем определение непрерывной функции:

Определение непрерывной функции.

Определение. Функцию y=f(x) называют непрерывной в точке x=a, если выполняется тождество:

Функцию y=f(x) называют непрерывной в точке x=a, если предел функции при x стремящимся к а, равен значению функции в точке x=a.

Функция непрерывна на отрезке [a,b], если она непрерывна в каждой точке нашего отрезка.

Обобщение знаний о непрерывных функциях.

Полезно: В курсе высшей математики или математическом анализе, существует ряд теорем и утверждений которые доказывают, что все функции, которые мы с вами рассматривали в ранних курсах алгебры являются непрерывными, мы с вами интуитивно и с помощью графиков понимали, что функция непрерывна. Давайте обобщим изученное, важным утверждением:

Если выражение f(x) составлено из рациональных, иррациональных и тригонометрических выражений, то функция y=f(x) непрерывна в любой точке, в которой определенно выражение f(x).

Свойства функции

Если f(x)=b a g(x)=c то выполняются следующие свойства:

Примеры:
А) Найти предел функции:
Решение:
Наша функция непрерывна в точке x=2, тогда воспользуемся определением непрерывности функции в точке, которое говорит что если функция непрерывна в точке, то предел функции в этой точке равен значению функции в этой же точке.

Б) Найти предел функции:
Решение:

Давайте посмотрим не обращается ли знаменатель нашей функции при x=π/2 в нуль:

Знаменатель не равен нулю, тогда наша функция непрерывна в точке . Воспользуемся определением непрерывной функции и посчитаем предел нашей функции:

Ответ: -1/3

В) Найти предел функции:

Подставим x=2 в знаменатель нашей дроби, получили 0, но на ноль делить нельзя. Давайте внимательно посмотрим на числитель нашей дроби.

x² – 4 = (x – 2)(x + 2)

Сократим нашу дробь

Тогда получаем:

y= x+2 непрерывна точке x=2, тогда воспользуемся определением непрерывности
Ответ: 4

Г)Найти предел функции:

Решение:

Область определения функции

Наша точка x=2 не попадает в область определения, тогда предел функции не существует.
Ответ: Не существует.

Д) Найти предел функции:

Решение:

Подставим x=1 в знаменатель нашей дроби, получили 0, но на ноль делить нельзя. Давайте найдем корни квадратного уравнения в числители и воспользуемся теоремой Виета.

Ответ: -1

Е) Построить график функции y=f(x), которая обладает следующими свойствами:
1)Область определения – множество действительных чисел.

2)lim f(x)=3
3) f(2)=4
4) f(x) Решение:

Покажем один из возможных графиков.

Примеры для самостоятельного решения:
1) Найти предел функции:

2) Найти предел функции:

3) Найти предел функции:

4) Найти предел функции:

5)Построить график функции y=f(x), которая обладает следующими свойствами:
а)Область определения – множество действительных чисел.

б)
в) f(-2)=3

г) f(x)

д) f(x)>0 при x>-1

Пределы функций. примеры и решения

21 Mar 15 – 00:10

Пределы функций. примеры и решения

Скачать Пределы функций. примеры и решения

Информация о файле:
Добавлен: 21. 03.2015
Скачали: 223
Рейтинг: 316 из 1088
Скорость загрузки: 30 Mbit/s
Файлов в категории: 209

Бесплатные примеры решения задач по математическому анализу: пределы функций и последовательностей.

Тэги: и примеры решения функций. пределы

Недавние поисковые запросы:

постановлением №460 от 06.05.1994г

пояснительная записка по изо

потоки, флаги и примеры для них

решения. Наряду с типовыми приемами вычисления пределов функции в математики, также могут найти здесь примеры для решения на семинарах. На первом курсе университета студенты часто сталкиваются с вопросом как решить предел функции? Решение пределов – это довольно трудный этап Учимся решать пределы. Подробные, понятные примеры решений.?Замечательные пределы -?Методы решения пределовЗамечательные пределы. Примеры решенийmathprofi.ru/zamechatelnye_predely.htmlСохраненнаякопияПохожиеЗамечательные пределы – подробные и понятные образцы решений. статью Пределы. Примеры решений) пробуем подставить ноль в функцию: в

27 июня 2014 г. – Ключевые слова: найти предел тригонометрических функций, на бесконечности, по правилу Лопиталя, подробное решение, в точке, Сайт, онлайн решающий задачи по высшей математике. Показывает ход решения в виде, принятом в вузах. Матрицы, системы уравнений, вектора, пределы. Подробные примеры решения с возможностью решения онлайн. Примеры нахождения переделов. Пример №1. Найти предел функции: 19 авг. 2012 г. – Рубрика: Предел функции Проиллюстрируем решение пределов тригонометрических функций на конкретных примерах. > Далее На уроках Пределы. Примеры решений, Замечательные пределы мы Предел функции не летает где-то по воздуху на воздушном шаре, он может

приказ + о переводе учащихся, пояснительная записка афхд
Планирование содержания проекта на примере, Справку о доходах №559, Справка для гаи в мытищах, Договор . натяжные потолки. гарантии, Инструкцию охраннику.

Примеры решения задач к разделу пределы и производная. диффе…

Привет, мой друг, тебе интересно узнать все про ы решения задач к разделу пределы, тогда с вдохновением прочти до конца. Для того чтобы лучше понимать что такое ы решения задач к разделу пределы,производная дифференциальое исчисление , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Математический анализ. Дифференциальное исчисление

Пример N 1

Вычислить: .

Решение.

Числитель и знаменатель дроби неограниченно возрастают при . В этом случае говорят, что имеет место неопределенность типа . Разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень переменной x , в нашем случае – на x² :

.

Так как при каждая из дробей .

Ответ: 3

Пример N 2

Вычислить: .

Решение.

Числитель и знаменатель дроби при также стремятся к нулю. В этом случае имеет место неопределенность типа . Умножим числитель и знаменатель дроби на :

Знаменатель дроби при , следовательно .

Ответ: .

Пример N 3

Вычислить: .

Решение.

Воспользуемся тригонометрической формулой и заменим числитель и знаменатель дроби эквивалентными бесконечно малыми и :

Ответ: 0.

Пример N 4

Вычислить: .

Решение.

При выражение , а (x +7) неограниченно возрастает.
В этом случае имеет место неопределенность типа . Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Рекомендуется использовать второй замечательный предел или следствие из него:

Так как при , то . Учитывая, что (см. пример N1), окончательно получаем

Ответ: .

Пример N 5

Вычислить: .

Решение.

Так как при выражение , имеет место неопределенность типа . Преобразуем функцию так, чтобы использовать второй замечательный предел. Выделим целую часть из дроби (для этого к числителю дроби прибавим и отнимем 3): , тогда

Так как при , то .

Учитывая, что окончательно получим:

Ответ: .

Пример N 6

Исследовать функцию на непрерывность и построить схематически ее график.

Решение.

Данная функция терпит разрыв в точках и , так как при этих значениях знаменатель дроби обращается в нуль. Исследуем характер разрыва в каждой из этих точек.

Для этого найдем

Для точки :

Так как
и , то в точке функция имеет разрыв первого рода или скачок.

Для точки :

Таким образом, для точки и , значит, и при функция также терпит разрыв первого рода или скачок. Для схематического построения графика исследуем поведение функции при

Следовательно, при график функции находится около прямой y = 1 . Найдем точку пересечения графика с осью ОУ:

.

Ответ: Схематический график функции (рис. 8):

Рис. 8

Пример N 7

Найти производную функции .

Решение.

Преобразуем квадратный корень в степень: .

Данная функция – сложная, используем последовательно формулы: производная степенной функции, производная дроби, производная логарифма.

Ответ: .

Пример N 8

Вычислить производную функции .

Решение.

Данная функция относится к виду показательно – степенной функции . Для нахождения ее производной прологарифмируем данную функцию: .

Дифференцируя левую и правую часть этого равенства, получаем

Ответ: .

Пожалуйста, пиши комментарии, если ты обнаружил что-то неправильное или если ты желаешь поделиться дополнительной информацией про ы решения задач к разделу пределы Надеюсь, что теперь ты понял что такое ы решения задач к разделу пределы,производная дифференциальое исчисление и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то нестесняся пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Математический анализ. Дифференциальное исчисление

Формулы вычисления пределов

Предел постоянной величины равен постоянной величине:

limxacc (c – константа)

Предел суммы равен сумме пределов:

limxafxgxlimxafxlimxagx

Предел разности равен разности пределов:

limxafxgxlimxafxlimxagx

Предел произведения равен произведению пределов:

limxafxgxlimxafxlimxagx

Предел отношения равен отношению пределов:

limxafxgxlimxafxlimxagx при условии, что limxagx0

Предел функции в степени:

(m – натуральное число)

Предел функции под корнем:

limxamfxmlimxafx (m – натуральное число)

Основные пределы:

Первый замечательный предел:

limx0sinxx1 (x – угол в радианах)

Второй замечательный предел:

limx∞11xxe

Другие полезные формулы пределов:

Бесконечно малые

Эквивалентность бесконечно малых:

При x → 0 , следующие функции эквивалентны:

x ~ sin(x) ~ arcsin(x) ~ tg(x) ~ arctg(x) ~ ln(1+x)

При нахождении предела отношения двух бесконечно малых, их можно заменять на эквивалентные:

limx0ln1xxlimx0xx1

limx0sinxxlimx0xx1

limx0sinxx2x42xx3sinxx2x4~x2xx3~2xlimx0x2x12

Для вычисления пределов Вы можете воспользоваться нашим онлайн калькулятором.

Исчисление I – Пределы вычислений

Показать общее уведомление Показать мобильное уведомление Показать все заметки Скрыть все заметки

Это немного заранее, но я хотел сообщить всем, что мои серверы будут проходить техническое обслуживание 17 и 18 мая с 8:00 AM CST до 14:00 PM CST.Будем надеяться, что единственное неудобство будет заключаться в периодическом «потерянном / разорванном» соединении, которое следует исправить, просто перезагрузив страницу. В остальном обслуживание (скрестив пальцы) должно быть «невидимым» для всех.

Пол
6 мая 2021 г.

Похоже, вы используете устройство с “узкой” шириной экрана (, т.е. , вероятно, вы используете мобильный телефон). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 2-5: Пределы вычислений

В предыдущем разделе мы видели, что существует большой класс функций, который позволяет нам использовать

\ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to a} f \ left (x \ right) = f \ left (a \ right) \]

для вычисления пределов.2} – 2x}} & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to 2} \ frac {{\ left ({x – 2} \ right) \ left ({x + 6} \ right)}} {{x \ left ({x – 2} \ right)}} \\ & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to 2} \ frac {{x + 6}} {x} \ end {align *} \]

Итак, разложив на множители, мы увидели, что можем исключить \ (x – 2 \) как из числителя, так и из знаменателя. После этого у нас теперь есть новое рациональное выражение, в которое мы можем вставить \ (x = 2 \), потому что мы потеряли проблему деления на ноль. 2} – 2x}} = \ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to 2} \ frac {{x + 6}} {x} = \ frac {8} {2} = 4 \]

Обратите внимание, что это на самом деле то, что мы предполагали.2} – 2x}} = \ frac {{x + 6}} {x} \ hspace {0,25 дюйма} {\ mbox {provided}} x \ ne 2 \]

Другими словами, два уравнения дают одинаковые значения, за исключением точки \ (x = 2 \), и поскольку пределы касаются только того, что происходит вокруг точки \ (x = 2 \), предел двух уравнений будет равен . Что еще более важно, в упрощенной версии мы получаем «достаточно хорошее» уравнение, и поэтому то, что происходит вокруг \ (x = 2 \), идентично тому, что происходит в \ (x = 2 \).

Таким образом, мы можем взять предел упрощенной версии, просто подставив \ (x = 2 \), даже если мы не могли вставить \ (x = 2 \) в исходное уравнение и значение предела упрощенного уравнения будет таким же, как предел исходного уравнения.

Кстати, 0/0, которое мы изначально получили в предыдущем примере, называется неопределенной формой . Это означает, что мы действительно не знаем, что это будет, пока мы не продолжим работу. Обычно ноль в знаменателе означает, что он не определен. Однако это будет верно только в том случае, если числитель также не равен нулю. Кроме того, ноль в числителе обычно означает, что дробь равна нулю, если знаменатель также не равен нулю. Точно так же все, что делится само на себя, равно 1, если мы не говорим о нуле.

Итак, здесь действительно есть три конкурирующих «правила», и неясно, какое из них победит. Также возможно, что ни один из них не выиграет, и мы получим что-то совершенно отличное от undefined, нуля или единицы. Мы могли бы, например, получить из этого значение 4, чтобы выбрать число наугад.

При простой оценке уравнения 0/0 не определено. Однако, принимая предел, если мы получаем 0/0, мы можем получить множество ответов, и единственный способ узнать, какое из них является правильным, – это фактически вычислить предел.2}}} {h} \\ & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{h \ left ({- 12 + 2h} \ right)}} {h} \\ & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \, \, – 12 + 2h = – 12 \ end {align *} \] Пример 3 Оцените следующий предел. \ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {t \ to 4} \ frac {{t – \ sqrt {3t + 4}}} {{4 – t}} \] Показать решение

Этот предел потребует немного больше усилий, чем два предыдущих. Однако еще раз обратите внимание, что мы получаем неопределенную форму 0/0, если пытаемся просто оценить предел.2} \]

Итак, если в первом и / или втором члене есть квадратный корень, рационализация устранит корень (и). Этот может помочь в оценке предела.

Давайте попробуем рационализировать числитель в этом случае.

\ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {t \ to 4} \ frac {{t – \ sqrt {3t + 4}}} {{4 – t}} = \ mathop {\ lim} \ limits_ {t \ на 4} \ frac {{\ left ({t – \ sqrt {3t + 4}} \ right)}} {{\ left ({4 – t} \ right)}} \, \ frac {{\ left ( {t + \ sqrt {3t + 4}} \ right)}} {{\ left ({t + \ sqrt {3t + 4}} \ right)}} \]
Помните, что для обоснования мы просто берем числитель (поскольку это то, что мы рационализируем), меняем знак у второго члена и умножаем числитель и знаменатель на этот новый член. 2} – 3t – 4}} {{\ left ({4 – t} \ right) \ left ({t + \ sqrt {3t + 4}} \ right)}} \ end {align *} \]
Обратите внимание, что мы также не умножали знаменатель. Большинство студентов заканчивают занятия по алгебре, и им в голову приходит мысль постоянно приумножать эти вещи. Однако в этом случае умножение сделает задачу очень сложной, и в конце концов вы все равно ее вычтите обратно.
На этом мы почти закончили. Обратите внимание, что числитель можно разложить на множители, так что давайте сделаем это.
\ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {t \ to 4} \ frac {{t – \ sqrt {3t + 4}}} {{4 – t}} = \ mathop {\ lim} \ limits_ {t \ до 4} \ frac {{\ left ({t – 4} \ right) \ left ({t + 1} \ right)}} {{\ left ({4 – t} \ right) \ left ({t + \ sqrt {3t + 4}} \ right)}} \]
Теперь все, что нам нужно сделать, это заметить, что если мы вычленим «-1» из первого члена знаменателя, мы можем произвести некоторое сокращение. В этот момент проблема деления на ноль исчезнет, и мы сможем оценить предел.
\ [\ begin {align *} \ mathop {\ lim} \ limits_ {t \ to 4} \ frac {{t – \ sqrt {3t + 4}}} {{4 – t}} & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {t \ to 4} \ frac {{\ left ({t – 4} \ right) \ left ({t + 1} \ right)}} {{- \ left ({t – 4} \ right) \ left ({t + \ sqrt {3t + 4}} \ right)}} \\ & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {t \ to 4} \ frac {{t + 1}} {{ – \ left ({t + \ sqrt {3t + 4}} \ right)}} \\ & = – \ frac {5} {8} \ end {align *} \]
Обратите внимание, что если бы мы умножили знаменатель, мы не смогли бы выполнить это сокращение и, по всей вероятности, даже не увидели бы, что какое-то сокращение могло быть выполнено.2} + 5 & \ hspace {0.25in} {\ mbox {if}} y
Вычислите следующие ограничения.
\ (\ mathop {\ lim} \ limits_ {y \ to 6} g \ left (y \ right) \)
\ (\ mathop {\ lim} \ limits_ {y \ to – 2} g \ left (y \ right) \)
Показать все решения Скрыть все решения a \ (\ mathop {\ lim} \ limits_ {y \ to 6} g \ left (y \ right) \) Показать решение
В этом случае действительно особо нечего делать. Делая ограничения, помните, что мы всегда должны смотреть на то, что происходит по обе стороны от рассматриваемой точки, когда мы приближаемся к ней.В этом случае \ (y = 6 \) полностью находится внутри второго интервала для функции, поэтому есть значения \ (y \) по обе стороны от \ (y = 6 \), которые также находятся внутри этого интервала. Это означает, что мы можем просто использовать этот факт для оценки этого предела.
\ [\ begin {align *} \ mathop {\ lim} \ limits_ {y \ to 6} g \ left (y \ right) & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {y \ to 6} (1 – 3y ) \\ & = – 17 \ end {align *} \]
b \ (\ mathop {\ lim} \ limits_ {y \ to – 2} g \ left (y \ right) \) Показать решение
В этой части и есть суть проблемы.В этом случае точка, для которой мы хотим взять предел, – это точка отсечки для двух интервалов. Другими словами, мы не можем просто вставить \ (y = – 2 \) во вторую часть, потому что этот интервал не содержит значений \ (y \) слева от \ (y = – 2 \), и нам нужно чтобы знать, что происходит по обе стороны от точки зрения.
Для выполнения этой части нам нужно вспомнить факт из раздела об односторонних ограничениях, в котором говорится, что если два односторонних ограничения существуют и одинаковы, то нормальный предел также будет существовать и иметь такое же значение.+}} g \ left (y \ right) \]
и так как два односторонних ограничения не совпадают
\ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {y \ to – 2} g \ left (y \ right) \]
не существует.
Обратите внимание, что очень простое изменение функции приведет к существованию предела в \ (y = – 2 \), поэтому не забывайте, что ограничения в этих точках отсечки в кусочной функции никогда не существуют, как следующие пример покажет.
Пример 5 Оцените следующий предел.-} {\ mbox {подразумевает}} y – 2 \\ & = 9 \ end {align *} \]
Односторонние ограничения такие же, поэтому получаем
\ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {y \ to – 2} g \ left (y \ right) = 9 \]
Нам нужно сделать еще одно ограничение. Однако нам понадобится новый факт об ограничениях, который поможет нам в этом.
Факт
Если \ (f \ left (x \ right) \ le g \ left (x \ right) \) для всех \ (x \) на \ ([a, b] \) (кроме, возможно, в \ (x = c \)) и \ (a \ le c \ le b \), то
\ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to c} f \ left (x \ right) \ le \ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to c} g \ left (x \ right) \]
Обратите внимание, что этот факт должен иметь для вас некоторый смысл, если мы предположим, что обе функции достаточно хороши.Если обе функции «достаточно хороши», чтобы использовать факт оценки предела, то у нас есть
\ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to c} f \ left (x \ right) = f \ left (c \ right) \ le g \ left (c \ right) = \ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to c} g \ left (x \ right) \]
Неравенство верно, потому что мы знаем, что \ (c \) находится где-то между \ (a \) и \ (b \), и в этом диапазоне мы также знаем \ (f \ left (x \ right) \ le g \ left (х \ право) \).
Обратите внимание, что на самом деле нам не нужно, чтобы две функции были достаточно точными, чтобы факт стал правдой, но это действительно хороший способ дать быстрое «обоснование» факту.
Также обратите внимание, что мы сказали, что мы предположили, что \ (f \ left (x \ right) \ le g \ left (x \ right) \) для всех \ (x \) на \ ([a, b] \) (кроме, возможно, точки \ (x = c \)). Поскольку ограничения не заботятся о том, что на самом деле происходит в \ (x = c \), нам на самом деле не нужно, чтобы неравенство сохранялось в этой конкретной точке. Нам нужно только, чтобы он держался около \ (x = c \), поскольку это то, о чем заботится предел.
Мы можем пойти еще дальше и получить следующую теорему.
Теорема о сжатии
Предположим, что для всех \ (x \) на \ ([a, b] \) (кроме, возможно, в \ (x = c \)) имеем
\ [е \ влево (х \ вправо) \ ле ч \ влево (х \ вправо) \ ле г \ влево (х \ вправо) \]
Также предположим, что,
\ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to c} f \ left (x \ right) = \ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to c} g \ left (x \ right) = L \ ]
для некоторых \ (a \ le c \ le b \). Затем
\ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to c} h \ left (x \ right) = L \]
Как и в случае с предыдущим фактом, нам нужно только знать, что \ (f \ left (x \ right) \ le h \ left (x \ right) \ le g \ left (x \ right) \) истинно вокруг \ (x = c \), потому что мы работаем с ограничениями, и их интересует только то, что происходит вокруг \ (x = c \), а не то, что на самом деле происходит в \ (x = c \).
Теперь, если мы снова предположим, что все три функции достаточно хороши (опять же, это не требуется для того, чтобы сделать теорему сжатия истинной, это только помогает с визуализацией), тогда мы можем получить быстрый набросок того, что говорит нам теорема сжатия. .На следующем рисунке показано, что происходит в этой теореме.
Из рисунка видно, что если пределы \ (f (x) \) и \ (g (x) \) равны при \ (x = c \), то значения функций также должны быть равны при \ ( x = c \) (здесь мы используем тот факт, что мы предполагали, что функции «достаточно хороши», что на самом деле не требуется для теоремы). Однако, поскольку в этой точке \ (h (x) \) «сжато» между \ (f (x) \) и \ (g (x) \), то \ (h (x) \) должно иметь такое же значение. .2} \ cos \ left ({\ frac {1} {x}} \ right) \] Показать решение
В этом примере нам не поможет ни один из предыдущих примеров. Здесь нет необходимости в факторинге или упрощении. Мы не можем рационализировать, и односторонние ограничения не работают. Есть даже вопрос, будет ли существовать этот предел, поскольку у нас есть деление на ноль внутри косинуса в \ (x = 0 \).
Первое, на что следует обратить внимание, это то, что мы знаем следующий факт о косинусе.
\ [- 1 \ le \ cos \ left (x \ right) \ le 1 \]
Наша функция не имеет просто \ (x \) в косинусе, но пока мы избегаем \ (x = 0 \), мы можем сказать то же самое для нашего косинуса.2} \ cos \ left ({\ frac {1} {x}} \ right) = 0 \]
Мы можем проверить это с помощью графика трех функций. Это показано ниже.
В этом разделе мы рассмотрели несколько инструментов, которые мы можем использовать, чтобы помочь нам вычислить пределы, в которых мы не можем просто оценить функцию в рассматриваемой точке. Как мы увидим, многие ограничения, которые мы будем делать в следующих разделах, потребуют одного или нескольких из этих инструментов.
Пределы (формальное определение)
Приближается…
Иногда мы не можем что-то решить напрямую … но мы можем видеть, что это должно быть, когда мы приближаемся все ближе и ближе!
Пример:
(x ² – 1) (x – 1)
Давайте разберемся с x = 1:
(1 ² – 1) (1 – 1) = (1 – 1) (1 – 1) = 0 0
Теперь 0/0 – сложность! Мы действительно не знаем значение 0/0 (оно «неопределенно»), поэтому нам нужен другой способ ответить на этот вопрос.
Итак, вместо того, чтобы пытаться вычислить это для x = 1, давайте попробуем приближаться к все ближе и ближе:
Продолжение примера:
x (x ² – 1) (x – 1)
0,5 1,50000
0,9 1,
0. 99 1,99000
0,999 1.99900
0,9999 1.99990
0,99999 1,99999
… …
Теперь мы видим, что когда x приближается к 1, то (x ² −1) (x − 1) приближается к , близкому к 2
Мы столкнулись с интересной ситуацией:
Когда x = 1, мы не знаем ответа (это неопределенный )
Но мы видим, что это будет 2
Мы хотим дать ответ «2», но не можем, поэтому вместо этого математики точно говорят, что происходит, используя специальное слово «предел»
Предел из (x ² −1) (x − 1) , когда x приближается к 1, составляет 2
И записывается символами как:
lim x → 1 x ² −1 x − 1 = 2
Таким образом, это особый способ сказать, “игнорируя то, что происходит, когда мы подбираемся туда, но по мере того, как мы приближаемся все ближе и ближе, ответ становится все ближе и ближе к 2”
В виде графика это выглядит так:
Итак, по правде говоря, мы не можем сказать, каково значение при x = 1.
Но мы можем сказать, что по мере приближения к 1 предел равен 2.
Более формальный
Но вместо того, чтобы говорить, что предел равен некоторому значению, потому что выглядел так, как будто он идет к , мы можем иметь более формальное определение.
Итак, начнем с общей идеи.
От английского языка к математике
Сначала скажем по-английски:
“f (x) приближается к некоторому пределу , поскольку x приближается к некоторому значению”
Когда мы называем предел «L» и значение, которое x приближается к «а», мы можем сказать
“f (x) приближается к L, когда x приближается к”
Расчет “закрытия”
А теперь, как можно математически сказать “близко”… можем ли мы вычесть одно значение из другого?
Пример 1: 4,01 – 4 = 0,01 (выглядит хорошо)
Пример 2: 3,8 – 4 = -0,2 ( отрицательно, близко?)
Так что же делать с негативом? Нас не волнует положительное или отрицательное, мы просто хотим знать, как далеко . .. это абсолютное значение.
“Как близко” = | a − b |
Пример 1: | 4.01−4 | = 0,01
Пример 2: | 3.8−4 | = 0,2
А когда | a − b | маленький мы знаем, что близки, поэтому пишем:
“| f (x) −L | мало, когда | x − a | мало”
И эта анимация показывает, что происходит с функцией
f (x) = (x ² −1) (x − 1)
f (x) приближается к L = 2, когда x приближается к a = 1,
, поэтому | f (x) −2 | мала, когда | x − 1 | маленький.
Дельта и Эпсилон
Но «small» по-прежнему английский, а не «математический».
Давайте выберем два значения меньше :
δ , что | x − a | должно быть меньше
ε , что | f (x) −L | должно быть меньше
Примечание: эти две греческие буквы (δ – «дельта» и ε – «эпсилон») –
, поэтому часто используется фраза « дельта-эпсилон »
А у нас:
| f (x) −L | <ε при | x − a | <δ
Это действительно говорит само за себя! Итак, если вы понимаете, что вы понимаете пределы. ..
… но чтобы быть абсолютно точным нам нужно добавить следующие условия:
верно для любого ε> 0
δ существует и> 0
x – это , не равное a, то есть 0 <| x − a |
И вот что получаем:
Для любого ε> 0 существует δ> 0, так что | f (x) −L | <ε при 0 <| x − a | <δ
Это формальное определение. На самом деле это выглядит довольно устрашающе, не правда ли?
Но по сути он говорит о чем-то простом:
f (x) приближается к L , когда x приближается к
Как использовать это в доказательстве
Чтобы использовать это определение в доказательстве, мы хотим пойти
из: Кому:
0 <| x − a | <δ | f (x) −L | <ε
Обычно это означает поиск формулы для δ (в единицах ε), которая работает.
Как найти такую формулу?
Угадай и попробуй!
Верно, мы можем:
Поиграйте, пока не найдете формулу, которая может работать
Протестируйте , чтобы убедиться, что эта формула работает
Пример: попробуем показать, что
lim x → 3 2x + 4 = 10
Используя буквы, о которых мы говорили выше:
Значение, к которому приближается x, “a”, составляет 3
Предел «L» равен 10
Итак, мы хотим знать, как мы перейдем от:
0 <| x − 3 | <δ от
до
| (2x + 4) −10 | <ε
Шаг 1. Поэкспериментируйте, пока не найдете формулу, по которой
может работать
Начнем с: | (2x + 4) −10 | <ε
Упрощать: | 2x − 6 | <ε
Переместите 2 наружу ||: 2 | x − 3 | <ε
Разделите обе стороны на 2: | x − 3 | <ε / 2
Итак, теперь мы можем предположить, что δ = ε / 2 может работать
Шаг 2:
Протестируйте , чтобы убедиться, что эта формула работает.
Итак, можем ли мы получить от 0 <| x − 3 | <δ до | (2x + 4) −10 | <ε …?
Посмотрим …
Начнем с: 0 <| x − 3 | <δ
Заменим δ на ε / 2: 0 <| x − 3 | <ε / 2
Умножьте все на 2: 0 <2 | x − 3 | <ε
Переместите 2 внутрь ||: 0 <| 2x − 6 | <ε
Заменить «−6» на «+ 4−10»: 0 <| (2x + 4) −10 | <ε
Да! Мы можем перейти от 0 <| x − 3 | <δ к | (2x + 4) −10 | <ε , выбрав δ = ε / 2
СДЕЛАНО!
Тогда мы увидели, что при заданном ε мы можем найти δ, поэтому верно, что:
Для любого ε существует такое δ, что | f (x) −L | <ε при 0 <| x − a | <δ
И мы доказали, что
lim x → 3 2x + 4 = 10
Заключение
Это было довольно простое доказательство, но, надеюсь, оно объясняет странное «существует… “формулировка, и это действительно показывает хороший подход к такого рода доказательств. + $$ означает, что $$ x $$ приближается справа.- $$ означает, что $$ x $$ приближается слева.
Примеры
Пример 1
Используйте график, чтобы аппроксимировать значение обоих односторонних пределов, поскольку $$ x $$ приближается к 3.
Шаг 1
Посмотрите, что происходит, когда $$ x $$ приближается слева.
Поскольку $$ x $$ приближается к 3 слева, функция кажется приближается к 2.
Шаг 2
Посмотрите, что происходит, когда x приближается справа
Поскольку $$ x $$ приближается к 3 справа, функция кажется приближается к 3.
Отвечать Предел слева: $$ \ displaystyle \ lim_ {x \ to3 ^ -} f (x) \ приблизительно 2 $$
Правый предел: $$ \ displaystyle \ lim_ {x \ to3 ^ +} f (x) \ приблизительно 3 $$
Пример 2: Использование таблиц
Используя приведенные ниже таблицы, что можно сказать об односторонних пределах, когда $$ x $$ приближается к 6?
$$ \ begin {array} {l | c} x & f (x) \\\ hline \ hline 5 и 8.32571 \ hline 5.5 и 8.95692 \ hline 5.9 и 8.99084 \ hline 5,99 и 8,99987 \ hline 5.999 и 8.99992 \ hline 5.9999 и 8.99999 \\\ hline \ end {массив} $$
$$ \ begin {array} {l | c} x & f (x) \\\ hline \ hline 7 и 1 \ hline 6.5 и 95 \ hline 6.1 и 1230 \ hline 6.01 и 9658 \ hline 6.001 и 54231 \ hline 6.0001 и 834366 \ end {массив} $$
Шаг 1
Посмотрите, что происходит, когда $$ x $$ приближается к 6 слева.
Поскольку $$ x $$ приближается к 6 слева…
$$ \ begin {array} {l | c} x & f (x) \\\ hline \ hline 5 & 8.32571 \ hline 5.5 и 8.95692 \ hline 5.9 и 8.99084 \ hline 5.99 и 8.99987 \ hline 5.999 и 8.99992 \ hline 5.9999 и 8.99999 \ end {массив} $$
… функция приближается к 9.
Шаг 2
Посмотрите, что происходит, когда $$ x $$ приближается к 6 справа.
Когда $$ x $$ приближается к 6 слева …
$$ \ begin {array} {l | c} x & f (x) \\\ hline \ hline 7 и 1 \ hline 6.5 и 95 \ hline 6.1 и 1230 \ hline 6.01 и 9658 \ hline 6. -} f (x) $$ не существует.+} f (x) \ приблизительно 1 $$
Проблема 5
Используйте приведенные ниже таблицы, чтобы оценить оба односторонних предела, поскольку $$ x $$ приближается к -4.
$$ \ begin {array} {l | c} x & f (x) \\\ hline \ hline -5 и -4.5 \ hline -4,5 и -44,5 \ hline -4,1 и -444,5 \ hline -4.01 и -4444.5 \ hline -4,001 и -44444,5 \ hline -4,0001 и -444444,5 \ end {массив} $$
$$ \ begin {array} {l | c} x & f (x) \\\ hline \ hline -3 и 2.13671 \ hline -3,5 и 2,52240 \ hline -3,9 и 2,59684 \ hline -3,99 и 2,59987 \ hline -3.999 и 2.59990 \ hline -3,9999 и 2,59999 \ end {массив} $$
Покажи ответ Шаг 1
Посмотрите, что происходит, когда $$ x $$ приближается к -4 слева.
Шаг 1 Ответ
Когда $$ x $$ приближается к -4 слева …
$$ \ begin {array} {l | c} x & f (x) \\\ hline \ hline -5 и -4.5 \ hline -4,5 и -44,5 \ hline -4,1 и -444,5 \ hline -4.01 и -4444.5 \ hline -4,001 и -44444,5 \ hline -4,0001 и -444444,5 \ end {массив} $$
…. функция становится все больше.
Шаг 2
Посмотрите, что происходит, когда $$ x $$ приближается к -4 справа.
Шаг 2 Ответ
Поскольку $$ x $$ приближается к -4 справа…
$$ \ begin {array} {l | c} x & f (x) \\\ hline \ hline -3 & 2.13671 \ hline -3,5 и 2,52240 \ hline -3.9 и 2.59684 \ hline -3,99 и 2,59987 \ hline -3.999 и 2.59990 \ hline -3,9999 и 2,59999 \ end {массив} $$
… функция приближается к 2.6.
Шаг 4 Покажи ответ
Левый предел: $$ \ displaystyle \ lim \ limits_ {x \ to -4} f (x) $$ не существует.Правый предел: $$ \ displaystyle \ lim \ limits_ {x \ to-4} f (x) \ приблизительно $$ 2.6.
Ошибка: Нажмите «Не робот», затем повторите попытку.
Полное руководство от А до Я по поиску и решению проблем с ограничениями

Полное руководство от А до Я по поиску пределов как графически, так и алгебраически. С 9 видео и более чем 50 примерами у вас будет все необходимое для решения любой проблемы, связанной с ограничениями.

В предыдущем разделе мы оценили пределы, глядя на графики или создавая таблицу значений. В этом разделе мы устанавливаем законы для расчета пределов и узнаем, как применять эти законы. В Студенческом проекте в конце этого раздела у вас есть возможность применить эти предельные законы, чтобы вывести формулу для площади круга, адаптировав метод, изобретенный греческим математиком Архимедом. Начнем с повторения двух полезных результатов о предельных значениях из предыдущего раздела.Эти два результата вместе с предельными законами служат основой для расчета многих пределов.
Первые два предельных закона были изложены в «Двух важных пределах», и мы повторяем их здесь. Эти основные результаты вместе с другими предельными законами позволяют нам оценить пределы многих алгебраических функций.
Пусть f (x) f (x) и g (x) g (x) определены для всех x ≠ ax ≠ a на некотором открытом интервале, содержащем a . Предположим, что L и M – действительные числа такие, что limx → af (x) = Llimx → af (x) = L и limx → ag (x) = M.limx → ag (x) = M. Пусть c будет константой. Тогда выполняется каждое из следующих утверждений:
.
Разностный закон для пределов: limx → a (f (x) −g (x)) = limx → af (x) −limx → ag (x) = L − Mlimx → a (f (x) −g (x) ) = limx → af (x) −limx → ag (x) = L − M
.
Постоянный кратный закон для пределов: limx → acf (x) = c · limx → af (x) = cLlimx → acf (x) = c · limx → af (x) = cL
Закон произведения для пределов: limx → a (f (x) · g (x)) = limx → af (x) · limx → ag (x) = L · Mlimx → a (f (x) · g (x) ) = limx → af (x) · limx → ag (x) = L · M
.
Частный закон для пределов: limx → af (x) g (x) = limx → af (x) limx → ag (x) = LMlimx → af (x) g (x) = limx → af (x) limx → ag (x) = LM для M ≠ 0M ≠ 0
Степенной закон для пределов: limx → a (f (x)) n = (limx → af (x)) n = Lnlimx → a (f (x)) n = (limx → af (x)) n = Ln для каждое положительное целое число n .
Основной закон для пределов: limx → af (x) n = limx → af (x) n = Lnlimx → af (x) n = limx → af (x) n = Ln для всех L , если n нечетное и для L≥0L≥0, если n четно и f (x) ≥0f (x) ≥0.
Сейчас мы практикуем применение этих законов о лимитах для оценки лимита.
Пример 2.14
Оценка предела с использованием законов о предельных значениях
Используйте предельные законы, чтобы вычислить limx → −3 (4x + 2) .limx → −3 (4x + 2).
Решение
Давайте применим законы предельных значений пошагово, чтобы убедиться, что мы понимаем, как они работают.Нам необходимо иметь в виду требование, согласно которому при каждом применении предельного закона должны существовать новые пределы для применения предельного закона.
limx → −3 (4x + 2) = limx → −34x + limx → −32 Примените закон суммы. = 4 · limx → −3x + limx → −32 Примените постоянный кратный закон. = 4 · (−3) +2 = −10. Примените основные предельные результаты и выполните упрощение .limx → −3 (4x + 2) = limx → −34x + limx → −32 Примените закон суммы. = 4 · limx → −3x + limx → −32 Примените постоянный кратный закон. = 4 · (−3) + 2 = −10. Примените основные предельные результаты и упростите.
Пример 2.15
Многократное использование предельных законов
Используйте предельные законы для вычисления limx → 22×2−3x + 1×3 + 4.limx → 22×2−3x + 1×3 + 4.
Решение
Чтобы найти этот предел, нам нужно применить законы пределов несколько раз. Опять же, нам нужно иметь в виду, что, когда мы переписываем предел с точки зрения других ограничений, каждый новый предел должен существовать для применения закона предела.
limx → 22×2−3x + 1×3 + 4 = limx → 2 (2×2−3x + 1) limx → 2 (x3 + 4) Примените закон частных, убедившись, что. (2) 3 + 4 ≠ 0 = 2 · limx → 2×2−3 · limx → 2x + limx → 21limx → 2×3 + limx → 24 Примените закон суммы и постоянный кратный закон.= 2 · (limx → 2x) 2−3 · limx → 2x + limx → 21 (limx → 2x) 3 + limx → 24 Примените степенной закон. = 2 (4) −3 (2) +1 (2) 3+ 4 = 14. Примените основные предельные законы и выполните упрощение .limx → 22×2−3x + 1×3 + 4 = limx → 2 (2×2−3x + 1) limx → 2 (x3 + 4) Примените закон частного, убедившись, что. ( 2) 3 + 4 ≠ 0 = 2 · limx → 2×2−3 · limx → 2x + limx → 21limx → 2×3 + limx → 24 Примените закон суммы и постоянный кратный закон. = 2 · (limx → 2x) 2−3 · limx → 2x + limx → 21 (limx → 2x) 3 + limx → 24 Примените степенной закон. = 2 (4) −3 (2) +1 (2) 3 + 4 = 14. Примените основные предельные законы и упростите.
КПП 2.11
Используйте предельные законы для вычисления limx → 6 (2x − 1) x + 4.limx → 6 (2x − 1) x + 4. На каждом этапе указывайте применяемый предельный закон.
Пределы полиномиальных и рациональных функций
К настоящему времени вы, вероятно, заметили, что в каждом из предыдущих примеров было так, что limx → af (x) = f (a) .limx → af (x) = f (a). Это не всегда верно, но это верно для всех многочленов при любом выборе a и для всех рациональных функций при всех значениях a , для которых определена рациональная функция.
Теорема 2.6
Пределы полиномиальных и рациональных функций
Пусть p (x) p (x) и q (x) q (x) – полиномиальные функции.Пусть a будет действительным числом. Затем
limx → ap (x) = p (a) limx → ap (x) = p (а) limx → ap (x) q (x) = p (a) q (a), когда q (a) ≠ 0. limx → ap (x) q (x) = p (a) q (a), когда q (a) ≠ 0.
Чтобы убедиться, что эта теорема верна, рассмотрим многочлен p (x) = cnxn + cn − 1xn − 1 + ⋯ + c1x + c0.p (x) = cnxn + cn − 1xn − 1 + ⋯ + c1x + c0. Применяя законы суммы, постоянного кратного и степенного, мы получаем
limx → ap (x) = limx → a (cnxn + cn − 1xn − 1 + ⋯ + c1x + c0) = cn (limx → ax) n + cn − 1 (limx → ax) n − 1 + ⋯ + c1 ( limx → ax) + limx → ac0 = cnan + cn − 1an − 1 + ⋯ + c1a + c0 = p (a) .limx → ap (x) = limx → a (cnxn + cn − 1xn − 1 + ⋯ + c1x + c0) = cn (limx → ax) n + cn − 1 (limx → ax) n − 1 + ⋯ + c1 (limx → ax) + limx → ac0 = cnan + cn − 1an − 1 + ⋯ + c1a + c0 = р (а).
Теперь из закона частного следует, что если p (x) p (x) и q (x) q (x) – многочлены, для которых q (a) ≠ 0, q (a) ≠ 0, то
limx → ap (x) q (x) = p (a) q (a) .limx → ap (x) q (x) = p (a) q (a).
Пример 2.16 применяет этот результат.
Пример 2.16
Оценка предела рациональной функции
Вычислить limx → 32×2−3x + 15x + 4.limx → 32×2−3x + 15x + 4.
Решение
Поскольку 3 находится в области определения рациональной функции f (x) = 2×2−3x + 15x + 4, f (x) = 2×2−3x + 15x + 4, мы можем вычислить предел, подставив 3 вместо x в функция.Таким образом,
limx → 32×2−3x + 15x + 4 = 1019.limx → 32×2−3x + 15x + 4 = 1019.
КПП 2.12
Вычислить limx → −2 (3×3−2x + 7) .limx → −2 (3×3−2x + 7).
Дополнительные методы оценки пределов
Как мы видели, мы можем легко вычислить пределы многочленов и пределы некоторых (но не всех) рациональных функций с помощью прямой подстановки. Однако, как мы видели во вводном разделе о пределах, определенно возможно существование limx → af (x) limx → af (x), когда f (a) f (a) не определено.Следующее наблюдение позволяет нам оценить многие ограничения этого типа:
Если для всех x ≠ a, f (x) = g (x) x ≠ a, f (x) = g (x) на некотором открытом интервале, содержащем a , то limx → af (x) = limx → ag (x) .limx → af (x) = limx → ag (x).
Чтобы лучше понять эту идею, рассмотрим предел limx → 1×2−1x − 1.limx → 1×2−1x − 1.
Функция
f (x) = x2−1x − 1 = (x − 1) (x + 1) x − 1 f (x) = x2−1x − 1 = (x − 1) (x + 1) x − 1
и функция g (x) = x + 1g (x) = x + 1 идентичны для всех значений x ≠ 1.x ≠ 1. Графики этих двух функций показаны на рисунке 2.24.
Рис. 2.24. Графики f (x) f (x) и g (x) g (x) идентичны для всех x ≠ 1.x ≠ 1. Их пределы на 1 равны.
Мы видим, что
limx → 1×2−1x − 1 = limx → 1 (x − 1) (x + 1) x − 1 = limx → 1 (x + 1) = 2.limx → 1×2−1x − 1 = limx → 1 (x− 1) (x + 1) x − 1 = limx → 1 (x + 1) = 2.
Предел имеет вид limx → af (x) g (x), limx → af (x) g (x), где limx → af (x) = 0limx → af (x) = 0 и limx → ag (x ) = 0.limx → ag (x) = 0. (В этом случае мы говорим, что f (x) / g (x) f (x) / g (x) имеет неопределенную форму 0/0.) 0/0.) Следующая стратегия решения проблем дает общую схему для оценки пределов этого типа.
Стратегия решения проблем
Стратегия решения проблем: вычисление предела, когда f (x) / g (x) f (x) / g (x) имеет неопределенную форму 0/0
Во-первых, нам нужно сделать убедитесь, что наша функция имеет соответствующую форму и не может быть оценена сразу с помощью предельных законов.
Затем нам нужно найти функцию, которая равна h (x) = f (x) / g (x) h (x) = f (x) / g (x) для всех x ≠ ax ≠ a на некотором интервале содержащий и . Для этого нам может потребоваться выполнить один или несколько из следующих шагов:
Если f (x) f (x) и g (x) g (x) являются полиномами, мы должны разложить каждую функцию на множители и исключить любые общие множители.
Если числитель или знаменатель содержит разность, включающую квадратный корень, мы должны попытаться умножить числитель и знаменатель на сопряжение выражения, содержащего квадратный корень.
Если f (x) / g (x) f (x) / g (x) – сложная дробь, мы начнем с ее упрощения.
Наконец, мы применяем предельные законы.
Следующие примеры демонстрируют использование этой стратегии решения проблем. Пример 2.17 иллюстрирует технику множителя и отмены; Пример 2.18 показывает умножение на конъюгат. В примере 2.19 мы рассмотрим упрощение сложной дроби.
Пример 2.17
Оценка лимита путем факторинга и отмены
Вычислить limx → 3×2−3x2x2−5x − 3.limx → 3×2−3x2x2−5x − 3.
Решение
Шаг 1. Функция f (x) = x2−3x2x2−5x − 3f (x) = x2−3x2x2−5x − 3 не определена при x = 3.x = 3. Фактически, если мы подставим 3 в функцию, мы получим 0 / 0,0 / 0, что не определено. Факторинг и отмена – хорошая стратегия:
limx → 3×2−3x2x2−5x − 3 = limx → 3x (x − 3) (x − 3) (2x + 1) limx → 3×2−3x2x2−5x − 3 = limx → 3x (x − 3) (x − 3 ) (2x + 1)
Шаг 2. Для всех x ≠ 3, x2−3x2x2−5x − 3 = x2x + 1.x ≠ 3, x2−3x2x2−5x − 3 = x2x + 1. Следовательно,
limx → 3x (x − 3) (x − 3) (2x + 1) = limx → 3x2x + 1.limx → 3x (x − 3) (x − 3) (2x + 1) = limx → 3x2x + 1.
Шаг 3. Оцените, используя предельные законы:
limx → 3x2x + 1 = 37.limx → 3x2x + 1 = 37.
КПП 2.13
Вычислить limx → −3×2 + 4x + 3×2−9.limx → −3×2 + 4x + 3×2−9.
Пример 2.18
Определение предела умножением на конъюгат
Вычислить limx → −1x + 2−1x + 1.limx → −1x + 2−1x + 1.
Решение
Шаг 1. x + 2−1x + 1x + 2−1x + 1 имеет вид 0/00/0 при −1. Давайте начнем с умножения на x + 2 + 1, x + 2 + 1, сопряжение x + 2−1, x + 2−1, на числитель и знаменатель:
limx → −1x + 2−1x + 1 = limx → −1x + 2−1x + 1 · x + 2 + 1x + 2 + 1.limx → −1x + 2−1x + 1 = limx → −1x + 2− 1x + 1 · x + 2 + 1x + 2 + 1.
Шаг 2. Затем мы умножаем числитель. Мы не умножаем знаменатель, потому что мы надеемся, что (x + 1) (x + 1) в знаменателе в итоге уравняется:
= limx → −1x + 1 (x + 1) (x + 2 + 1). = limx → −1x + 1 (x + 1) (x + 2 + 1).
Шаг 3. Тогда отменяем:
= limx → −11x + 2 + 1. = limx → −11x + 2 + 1.
Шаг 4. Наконец, мы применяем предельные законы:
limx → −11x + 2 + 1 = 12.limx → −11x + 2 + 1 = 12.
Контрольно-пропускной пункт 2.14
Вычислить limx → 5x − 1−2x − 5.limx → 5x − 1−2x − 5.
Пример 2.19
Оценка предела путем упрощения сложной дроби
Вычислить limx → 11x + 1−12x − 1.limx → 11x + 1−12x − 1.
Решение
Шаг 1. 1x + 1−12x − 11x + 1−12x − 1 имеет вид 0/00/0 в 1.Мы упростим алгебраическую дробь, умножив на 2 (x + 1) / 2 (x + 1): 2 (x + 1) / 2 (x + 1):
limx → 11x + 1−12x − 1 = limx → 11x + 1−12x − 1 · 2 (x + 1) 2 (x + 1) .limx → 11x + 1−12x − 1 = limx → 11x + 1−12x −1 · 2 (x + 1) 2 (x + 1).
Шаг 2. Далее перемножаем числители. Не умножайте знаменатели, потому что мы хотим отменить множитель (x − 1) 🙁 x − 1):
= limx → 12− (x + 1) 2 (x − 1) (x + 1). = limx → 12− (x + 1) 2 (x − 1) (x + 1).
Шаг 3. Затем упростим числитель:
= limx → 1 − x + 12 (x − 1) (x + 1).= limx → 1 − x + 12 (x − 1) (x + 1).
Шаг 4. Теперь вычитаем −1 из числителя:
= limx → 1− (x − 1) 2 (x − 1) (x + 1). = limx → 1− (x − 1) 2 (x − 1) (x + 1).
Шаг 5. Затем мы сокращаем общие множители (x − 1) 🙁 x − 1):
= limx → 1−12 (x + 1). = limx → 1−12 (x + 1).
Шаг 6. Наконец, мы оцениваем с помощью предельных законов:
limx → 1−12 (x + 1) = – 14.limx → 1−12 (x + 1) = – 14.
КПП 2.15
Вычислить limx → −31x + 2 + 1x + 3.limx → −31x + 2 + 1x + 3.
Пример 2.20 точно не вписывается ни в одну из схем, установленных в предыдущих примерах. Однако, проявив немного творчества, мы все еще можем использовать те же самые техники.
Пример 2.20
Оценка лимита, когда законы о лимитах не применяются
Вычислить limx → 0 (1x + 5x (x − 5)). Limx → 0 (1x + 5x (x − 5)).
Решение
И 1 / x1 / x, и 5 / x (x − 5) 5 / x (x − 5) не могут иметь нулевого предела. Поскольку ни одна из двух функций не имеет нулевого предела, мы не можем применить закон суммы для пределов; мы должны использовать другую стратегию.В этом случае мы находим предел, выполняя сложение, а затем применяя одну из наших предыдущих стратегий. Обратите внимание, что
1x + 5x (x − 5) = x − 5 + 5x (x − 5) = xx (x − 5). 1x + 5x (x − 5) = x − 5 + 5x (x − 5) = xx (x −5).
Таким образом,
limx → 0 (1x + 5x (x − 5)) = limx → 0xx (x − 5) = limx → 01x − 5 = −15.limx → 0 (1x + 5x (x − 5)) = limx → 0xx ( x − 5) = limx → 01x − 5 = −15.
Контрольно-пропускной пункт 2.16
Вычислить limx → 3 (1x − 3−4×2−2x − 3) .limx → 3 (1x − 3−4×2−2x − 3).
Давайте вернемся к односторонним ограничениям. Простые модификации предельных законов позволяют применять их к односторонним пределам.Например, чтобы применить предельные законы к пределу вида limx → a − h (x), limx → a − h (x), мы требуем, чтобы функция h (x) h (x) была определена над открытым интервал вида (б, а); (б, а); для предела вида limx → a + h (x), limx → a + h (x) мы требуем, чтобы функция h (x) h (x) была определена на открытом интервале вида (a, c ). (а, в). Пример 2.21 иллюстрирует этот момент.
Пример 2.21
Оценка одностороннего лимита с использованием предельных законов
По возможности оцените каждый из следующих пределов.
limx → 3 − x − 3limx → 3 − x − 3
limx → 3 + x − 3limx → 3 + x − 3
Решение
Рисунок 2.25 иллюстрирует функцию f (x) = x − 3f (x) = x − 3 и помогает нам понять эти пределы.
Рисунок 2.25 На графике показана функция f (x) = x − 3.f (x) = x − 3.
Функция f (x) = x − 3f (x) = x − 3 определена на интервале [3, + ∞). [3, + ∞). Поскольку эта функция не определена слева от 3, мы не можем применить предельные законы для вычисления limx → 3 − x − 3.limx → 3 − x − 3. Фактически, поскольку f (x) = x − 3f (x) = x − 3 не определено слева от 3, limx → 3 − x − 3limx → 3 − x − 3 не существует.
Поскольку f (x) = x − 3f (x) = x − 3 определено справа от 3, предельные законы действительно применяются к limx → 3 + x − 3.limx → 3 + x − 3. Применяя эти предельные законы, получаем limx → 3 + x − 3 = 0.limx → 3 + x − 3 = 0.
В примере 2.22 мы смотрим на односторонние пределы кусочно определенной функции и используем эти пределы, чтобы сделать вывод о двустороннем пределе той же функции.
Пример 2.22
Оценка двустороннего предела с использованием предельных законов
Для f (x) = {4x − 3ifx <2 (x − 3) 2ifx≥2, f (x) = {4x − 3ifx <2 (x − 3) 2ifx≥2, оцените каждый из следующих пределов:
limx → 2 − f (x) limx → 2 − f (x)
.
limx → 2 + f (x) limx → 2 + f (x)
limx → 2f (x) limx → 2f (x)
Решение
Рисунок 2.26 иллюстрирует функцию f (x) f (x) и помогает нам понять эти пределы.
Рисунок 2.26 На этом графике показана функция f (x).f (x).
Поскольку f (x) = 4x − 3f (x) = 4x − 3 для всех x в (−∞, 2), (- ∞, 2), заменим f (x) f (x) в пределе с 4x − 34x − 3 и применить предельные законы:
limx → 2 − f (x) = limx → 2− (4x − 3) = 5. limx → 2 − f (x) = limx → 2− (4x − 3) = 5.
Поскольку f (x) = (x − 3) 2f (x) = (x − 3) 2 для всех x в (2, + ∞), (2, + ∞), заменим f (x) f ( x) в пределе с (x − 3) 2 (x − 3) 2 и применять предельные законы:
limx → 2 + f (x) = limx → 2 + (x − 3) 2 = 1.limx → 2 + f (x) = limx → 2 + (x − 3) 2 = 1.
Поскольку limx → 2 − f (x) = 5limx → 2 − f (x) = 5 и limx → 2 + f (x) = 1, limx → 2 + f (x) = 1, мы заключаем, что limx → 2f (x) limx → 2f (x) не существует.
КПП 2.17
График f (x) = {- x − 2ifx <−12ifx = −1x3ifx> −1f (x) = {- x − 2ifx <−12ifx = −1x3ifx> −1 и вычислить limx → −1 − f (x) .limx → −1 − f (x).
Обратимся теперь к вычислению предела вида limx → af (x) g (x), limx → af (x) g (x), где limx → af (x) = K, limx → af (x ) = K, где K ≠ 0K ≠ 0 и limx → ag (x) = 0. limx → ag (x) = 0. То есть f (x) / g (x) f (x) / g (x) имеет вид K / 0, K ≠ 0K / 0, K ≠ 0 при a .
Пример 2.23
Оценка предела формы K / 0, K ≠ 0K / 0, K ≠ 0 с использованием предельных законов
Вычислить limx → 2 − x − 3×2−2x.limx → 2 − x − 3×2−2x.
Решение
Шаг 1. Подставив в x = 2, x = 2, мы видим, что этот предел имеет вид −1 / 0. −1 / 0. То есть, когда x приближается к 2 слева, числитель приближается к -1; а знаменатель приближается к 0. Следовательно, величина x − 3x (x − 2) x − 3x (x − 2) становится бесконечной. Чтобы лучше понять, каков предел, нам нужно разложить знаменатель на множители:
limx → 2 − x − 3×2−2x = limx → 2 − x − 3x (x − 2) .limx → 2 − x − 3×2−2x = limx → 2 − x − 3x (x − 2).
Шаг 2. Поскольку x − 2x − 2 – единственная часть знаменателя, которая равна нулю при замене 2, мы затем отделяем 1 / (x − 2) 1 / (x − 2) от остальной части функции. :
= limx → 2 − x − 3x · 1x − 2. = limx → 2 − x − 3x · 1x − 2.
Шаг 3. limx → 2 − x − 3x = −12limx → 2 − x − 3x = −12 и limx → 2−1x − 2 = −∞.limx → 2−1x − 2 = −∞. Следовательно, произведение (x − 3) / x (x − 3) / x и 1 / (x − 2) 1 / (x − 2) имеет предел + ∞: + ∞:
limx → 2 − x − 3×2−2x = + ∞.limx → 2 − x − 3×2−2x = + ∞.
Контрольно-пропускной пункт 2.18
Вычислить limx → 1x + 2 (x − 1) 2.limx → 1x + 2 (x − 1) 2.
Теорема сжатия
Техника, которую мы разработали до сих пор, очень хорошо работает для алгебраических функций, но мы все еще не можем оценить пределы самых основных тригонометрических функций. Следующая теорема, называемая теоремой сжатия, оказывается очень полезной для установления основных тригонометрических пределов. Эта теорема позволяет нам вычислить пределы, «сжав» функцию, с пределом в точке a , который неизвестен, между двумя функциями, имеющими общий известный предел в a .Рисунок 2.27 иллюстрирует эту идею.
Рисунок 2.27. Теорема сжатия применяется, когда f (x) ≤g (x) ≤h (x) f (x) ≤g (x) ≤h (x) и limx → af (x) = limx → ah (x). limx → af (x) = limx → ah (x).
Теорема 2.7
Теорема сжатия
Пусть f (x), g (x), f (x), g (x) и h (x) h (x) определены для всех x ≠ ax ≠ a над открытый интервал, содержащий и . Если
f (x) ≤g (x) ≤h (x) f (x) ≤g (x) ≤h (x)
для всех x ≠ ax ≠ a в открытом интервале, содержащем a и
limx → af (x) = L = limx → ah (x) limx → af (x) = L = limx → ah (x)
, где L – действительное число, тогда limx → ag (x) = L.limx → ag (x) = L.
Пример 2.24
Применение теоремы о сжатии
Примените теорему сжатия, чтобы вычислить limx → 0xcosx.limx → 0xcosx.
Решение
Поскольку −1≤cosx≤1−1≤cosx≤1 для всех x , мы имеем – | x | ≤xcosx≤ | x | – | x | ≤xcosx≤ | x |. Поскольку limx → 0 (- | x |) = 0 = limx → 0 | x |, limx → 0 (- | x |) = 0 = limx → 0 | x |, из теоремы сжатия получаем limx → 0xcosx = 0.limx → 0xcosx = 0. Графики f (x) = – | x |, g (x) = xcosx, f (x) = – | x |, g (x) = xcosx и h (x) = | x | h (x) = | x | показаны на рисунке 2.28.
Рисунок 2.28 Графики f (x), g (x), f (x), g (x) и h (x) h (x) показаны вокруг точки x = 0.x = 0.
Контрольно-пропускной пункт 2.19
Используйте теорему сжатия, чтобы вычислить limx → 0x2sin1x.limx → 0x2sin1x.
Теперь мы используем теорему сжатия, чтобы найти несколько очень важных ограничений. Хотя это обсуждение довольно продолжительное, эти ограничения оказываются неоценимыми для развития материала как в следующем разделе, так и в следующей главе. Первый из этих ограничений – это limθ → 0sinθ.limθ → 0sinθ. Рассмотрим единичный круг, показанный на рис. 2.29. На рисунке мы видим, что sinθsinθ – это координата y на единичной окружности, и она соответствует отрезку линии, показанному синим цветом. Радианная мера угла θ – это длина дуги, которую он проходит на единичной окружности. Следовательно, мы видим, что при 0 <θ <π2,0
Рис. 2.29. Синусоидальная функция показана в виде линии на единичной окружности.
Поскольку limθ → 0 + 0 = 0limθ → 0 + 0 = 0 и limθ → 0 + θ = 0, limθ → 0 + θ = 0, используя теорему сжатия, мы заключаем, что
limθ → 0 + sinθ = 0.limθ → 0 + sinθ = 0.
Чтобы увидеть, что limθ → 0 − sinθ = 0limθ → 0 − sinθ = 0, заметим, что для −π2 <θ <0,0 <−θ <π2 − π2 <θ <0,0 <−θ <π2 и следовательно, 0 sinθ> θ.0> sinθ> θ. Применение теоремы сжатия дает желаемый предел. Таким образом, поскольку limθ → 0 + sinθ = 0limθ → 0 + sinθ = 0 и limθ → 0 − sinθ = 0, limθ → 0 − sinθ = 0,
limθ → 0sinθ = 0.limθ → 0sinθ = 0.
(2.16)
Далее, используя тождество cosθ = 1 − sin2θcosθ = 1 − sin2θ для −π2 <θ <π2, −π2 <θ <π2, мы видим, что
limθ → 0cosθ = limθ → 01 − sin2θ = 1.limθ → 0cosθ = limθ → 01 − sin2θ = 1.
(2.17)
Теперь посмотрим на предел, который играет важную роль в последующих главах, а именно на limθ → 0sinθθ.limθ → 0sinθθ. Чтобы оценить этот предел, мы используем единичный круг на рис. 2.30. Обратите внимание, что на этом рисунке к рисунку 2.30 добавлен еще один треугольник. Мы видим, что длина стороны, противоположной углу θ в этом новом треугольнике, равна tanθ.tanθ. Таким образом, мы видим, что для 0 <θ <π2, sinθ <θ
Рисунок 2.30 Функции синуса и тангенса показаны линиями на единичной окружности.
Разделив на sinθsinθ во всех частях неравенства, получим
1 <θsinθ <1cosθ.1 <θsinθ <1cosθ.
Эквивалентно
1> sinθθ> cosθ.1> sinθθ> cosθ.
Поскольку limθ → 0 + 1 = 1 = limθ → 0 + cosθ, limθ → 0 + 1 = 1 = limθ → 0 + cosθ, мы заключаем, что limθ → 0 + sinθθ = 1.limθ → 0 + sinθθ = 1. Применяя манипуляции, подобные тем, которые использовались при демонстрации того, что limθ → 0 − sinθ = 0, limθ → 0 − sinθ = 0, мы можем показать, что limθ → 0 − sinθθ = 1.limθ → 0 − sinθθ = 1. Таким образом,
limθ → 0sinθθ = 1.limθ → 0sinθθ = 1.
(2,18)
В примере 2.25 мы используем этот предел, чтобы установить limθ → 01 − cosθθ = 0.limθ → 01 − cosθθ = 0. Этот предел также окажется полезным в следующих главах.
Пример 2.25
Оценка важного тригонометрического предела
Вычислить limθ → 01 − cosθθ.limθ → 01 − cosθθ.
Решение
На первом этапе мы умножаем на сопряжение, чтобы мы могли использовать тригонометрическую идентичность для преобразования косинуса в числителе в синус:
limθ → 01 − cosθθ = limθ → 01 − cosθθ · 1 + cosθ1 + cosθ = limθ → 01 − cos2θθ (1 + cosθ) = limθ → 0sin2θθ (1 + cosθ) = limθ → 0sinθθ · sinθ1 + cosθ = 1 · 02 = 0.limθ → 01 − cosθθ = limθ → 01 − cosθθ · 1 + cosθ1 + cosθ = limθ → 01 − cos2θθ (1 + cosθ) = limθ → 0sin2θθ (1 + cosθ) = limθ → 0sinθθ · sinθ1 + cosθ = 1 · 02 = 0.
Следовательно,
limθ → 01 − cosθθ = 0. limθ → 01 − cosθθ = 0.
(2,19)
КПП 2.20
Вычислить limθ → 01 − cosθsinθ.limθ → 01 − cosθsinθ.
Студенческий проект
Получение формулы для площади круга
Некоторые из геометрических формул, которые мы считаем само собой разумеющимся сегодня, были впервые получены методами, которые предвосхищают некоторые методы исчисления.Греческий математик Архимед (ок. 287–212; до н. Э.) Проявил особую изобретательность, используя многоугольники, вписанные в круги, чтобы приблизить площадь круга по мере увеличения числа сторон многоугольника. Он никогда не приходил в голову с идеей предела, но мы можем использовать эту идею, чтобы увидеть, что его геометрические конструкции могли предсказывать о пределе.
Мы можем оценить площадь круга, вычислив площадь вписанного правильного многоугольника. Представьте себе правильный многоугольник, состоящий из n треугольников.Взяв предел, когда угол при вершине этих треугольников стремится к нулю, вы можете получить площадь круга. Чтобы в этом убедиться, выполните следующие действия:
Выразите высоту h и основание b равнобедренного треугольника на рисунке 2.31 через θθ и r .
Рисунок 2.31
Используя выражения, полученные на шаге 1, выразите площадь равнобедренного треугольника через θ и r .
(Замените (1/2) sinθ (1/2) sinθ на sin (θ / 2) cos (θ / 2) sin (θ / 2) cos (θ / 2) в своем выражении.)
Если правильный многоугольник со сторонами n вписан в круг радиуса r , найдите связь между θ и n . Решите это для n . Имейте в виду, что в круге 2 π радиан. (Используйте радианы, а не градусы.)
Найдите выражение для площади многоугольника со сторонами n через r и θ .
Чтобы найти формулу для площади круга, найдите предел выражения на шаге 4, когда θ стремится к нулю. ( Подсказка: limθ → 0 (sinθ) θ = 1) .limθ → 0 (sinθ) θ = 1).
Техника оценки площадей регионов с помощью полигонов пересматривается во введении в интеграцию.
Раздел 2.3 Упражнения
В следующих упражнениях используйте законы пределов для оценки каждого предела. Обоснуйте каждый шаг, указав соответствующий предельный закон (законы).
83.
limx → 0 (4×2−2x + 3) limx → 0 (4×2−2x + 3)
84.
limx → 1×3 + 3×2 + 54−7xlimx → 1×3 + 3×2 + 54−7x
85.
limx → −2×2−6x + 3limx → −2×2−6x + 3
86.
limx → −1 (9x + 1) 2limx → −1 (9x + 1) 2
В следующих упражнениях используйте прямую замену для оценки каждого предела.
88.
limx → −2 (4×2−1) limx → −2 (4×2−1)
89.
limx → 011 + sinxlimx → 011 + sinx
90.
limx → 2e2x − x2limx → 2e2x − x2
91.
limx → 12−7xx + 6limx → 12−7xx + 6
92.
limx → 3lne3xlimx → 3lne3x
В следующих упражнениях используйте прямую подстановку, чтобы показать, что каждый предел приводит к неопределенной форме 0 / 0,0 / 0. Затем оцените предел.
93.
limx → 4×2−16x − 4limx → 4×2−16x − 4
94.
limx → 2x − 2×2−2xlimx → 2x − 2×2−2x
95.
limx → 63x − 182x − 12limx → 63x − 182x − 12
96.
limh → 0 (1 + h) 2−1hlimh → 0 (1 + h) 2−1h
97.
предм → 9т − 9т − 3лим → 9т − 9т − 3
98.
limh → 01a + h − 1ah, limh → 01a + h − 1ah, где a – ненулевая действительная константа
99.
limθ → πsinθtanθlimθ → πsinθtanθ
100.
limx → 1×3−1×2−1limx → 1×3−1×2−1
101.
limx → 1 / 22×2 + 3x − 22x − 1limx → 1 / 22×2 + 3x − 22x − 1
102.
limx → −3x + 4−1x + 3limx → −3x + 4−1x + 3
В следующих упражнениях используйте прямую подстановку, чтобы получить неопределенное выражение. Затем используйте метод из примера 2.23, чтобы упростить функцию и определить предел.
103.
limx → −2−2×2 + 7x − 4×2 + x − 2limx → −2−2×2 + 7x − 4×2 + x − 2
104.
limx → −2 + 2×2 + 7x − 4×2 + x − 2limx → −2 + 2×2 + 7x − 4×2 + x − 2
105.
limx → 1−2×2 + 7x − 4×2 + x − 2limx → 1−2×2 + 7x − 4×2 + x − 2
106.
limx → 1 + 2×2 + 7x − 4×2 + x − 2limx → 1 + 2×2 + 7x − 4×2 + x − 2
В следующих упражнениях предположим, что limx → 6f (x) = 4, limx → 6g (x) = 9, limx → 6f (x) = 4, limx → 6g (x) = 9 и limx → 6h (x ) = 6.limx → 6h (x) = 6. Используйте эти три факта и законы пределов для оценки каждого предела.
107.
limx → 62f (x) g (x) limx → 62f (x) g (x)
108.
limx → 6g (x) −1f (x) limx → 6g (x) −1f (x)
109.
limx → 6 (f (x) + 13g (x)) limx → 6 (f (x) + 13g (x))
110.
limx → 6 (h (x)) 32limx → 6 (h (x)) 32
111.
limx → 6g (x) −f (x) limx → 6g (x) −f (x)
112.
limx → 6x · h (x) limx → 6x · h (x)
113.
limx → 6 [(x + 1) · f (x)] limx → 6 [(x + 1) · f (x)]
114.
limx → 6 (f (x) · g (x) −h (x)) limx → 6 (f (x) · g (x) −h (x))
.
[T] В следующих упражнениях используйте калькулятор, чтобы построить график каждой кусочно определенной функции, и изучите график, чтобы оценить заданные пределы.
115.
f (x) = {x2, x≤3x + 4, x> 3f (x) = {x2, x≤3x + 4, x> 3
limx → 3 − f (x) limx → 3 − f (x)
limx → 3 + f (x) limx → 3 + f (x)
116.
g (x) = {x3−1, x≤01, x> 0g (x) = {x3−1, x≤01, x> 0
limx → 0 − g (x) limx → 0 − g (x)
limx → 0 + g (x) limx → 0 + g (x)
117.
h (x) = {x2−2x + 1, x <23 − x, x≥2h (x) = {x2−2x + 1, x <23 − x, x≥2
limx → 2 − h (x) limx → 2 − h (x)
limx → 2 + h (x) limx → 2 + h (x)
В следующих упражнениях используйте следующие графики и законы пределов для оценки каждого предела.
118.
limx → −3 + (f (x) + g (x)) limx → −3 + (f (x) + g (x))
. 119.
limx → −3− (f (x) −3g (x)) limx → −3− (f (x) −3g (x))
. 120.
limx → 0f (x) g (x) 3limx → 0f (x) g (x) 3
121.
limx → −52 + g (x) f (x) limx → −52 + g (x) f (x)
. 122.
limx → 1 (f (x)) 2limx → 1 (f (x)) 2
123.
limx → 1f (x) −g (x) 3limx → 1f (x) −g (x) 3
124.
limx → −7 (x · g (x)) limx → −7 (x · g (x))
125.
limx → −9 [x · f (x) + 2 · g (x)] limx → −9 [x · f (x) + 2 · g (x)]
Для следующих задач оцените предел с помощью теоремы сжатия. По возможности используйте калькулятор для построения графиков функций f (x), g (x), f (x), g (x) и h (x) h (x).
126.
[T] Верно или нет? Если 2x − 1≤g (x) ≤x2−2x + 3,2x − 1≤g (x) ≤x2−2x + 3, то limx → 2g (x) = 0.limx → 2g (x) = 0.
127.
[T] limθ → 0θ2cos (1θ) limθ → 0θ2cos (1θ)
128.
limx → 0f (x), limx → 0f (x), где f (x) = {0, xrationalx2, xirrrationalf (x) = {0, xrationalx2, xirrrational
129.
[T] В физике величина электрического поля, создаваемого точечным зарядом на расстоянии r в вакууме, определяется законом Кулона: E (r) = q4πε0r2, E (r) = q4πε0r2, где E представляет величину электрического поля, q – заряд частицы, r – расстояние между частицей и местом измерения напряженности поля, а 14πε014πε0 – постоянная Кулона: 8.988 × 109 Н · м2 / C2,8.988 × 109 Н · м2 / C2.
Воспользуйтесь графическим калькулятором для построения графика E (r) E (r), учитывая, что заряд частицы q = 10−10.q = 10−10.
Вычислить limr → 0 + E (r) .limr → 0 + E (r). В чем физический смысл этой величины? Это физически актуально? Почему вы оцениваете справа?
130.
[T] Плотность объекта определяется его массой, деленной на его объем: ρ = m / V ρ = m / V.
Используйте калькулятор для построения графика зависимости объема от плотности (V = m / ρ), (V = m / ρ), предполагая, что вы исследуете что-то массой 8 кг (m = 8).m = 8).
Оцените limρ → 0 + V (ρ) limρ → 0 + V (ρ) и объясните физический смысл.
Вычисление стало проще: как решить задачи предельного исчисления
Что такое задачи предела исчисления?
Решение или оценка функций в математике может выполняться с использованием прямой или синтетической подстановки. Студенты должны иметь опыт оценки следующих функций:
1. постоянные функции, такие как:
f (x) = c, где c – любое действительное число
f (x) = 7 или y = 7
2.полиномиальные функции, такие как:
f (x) = 3×5 – x2 + 6x – 2
Иногда вычисление функции может привести к неопределенной форме, такой как 1/0 или ∞ / ∞. Концепция пределов заключается в оценке функции , когда x приближается к значению , но никогда не принимает это значение.
Чтобы решить предел, см. 4 примера предельных задач, включающих прямую подстановку.
При построении графика решения уравнения в исчислении, такого как пример 1, график будет проходить через значение y 4/3, когда x равно значению 1.Линия будет прямой линией, а график, как говорят, будет непрерывным при x = 1.
Пределы, требующие упрощения
Некоторые ограничения потребуют упрощения, прежде чем их можно будет решить:
Если прямая замена дает 0/0, undefined , вы должны разложить на множители и уменьшить.
Лим x2 – 4
х → 2 х – 2
Предел существует, даже если функция не определена. Предел для этого примера – 4.
Чтобы решить неопределенный предел, см. Примеры 5 и 6 ограничений, которые нуждаются в упрощении.
Если прямая подстановка дает ∞ / ∞, undefined , то разделите на наибольшую степень.
лим 3x + 1
х → ∞ 5х + 6
Предел существует, даже если функция не определена. Предел для этого примера – 3/5.
Чтобы решить неопределенный предел, см. Примеры 7 и 8 ограничений, которые нуждаются в упрощении.
Несуществующие границы
Некоторые ограничения имеют форму, называемую пределом , которого не существует. Это означает, что функция f (x) не приближается к единственному значению a при x → a, и мы говорим, что предел f (x) при x → a не существует.На графике будет разрыв или разрыв в точке, где x = a. Функция прерывистая при x = a. Следующий предел не существует, поскольку x приближается к 2.
Лим x2 + 4
х → 2 х – 2
Проблема такого рода имеет форму, которая приводит к 0/0, и обычно в числителе и знаменателе есть множитель, использующий значение a, к которому приближается x.
Чтобы решить ограничение, имеющее форму 0/0, см. Пример 9 несуществующих ограничений.
Существует также частных случаев пределов , которые необходимо решить, связанных с разностью радикалов в числителе и знаменателе. Разложение на множители многочленов, таких как разность квадратов или разность кубов, помогает упростить эти функции до решаемых пределов.
Я знаю, что ты не хочешь это слышать, но практика помогает достичь совершенства! Если вам все еще сложно понять это, решите несколько разных примеров и потренируйтесь распознавать все формы.
Этот пост является частью серии: Решение задач исчисления с пределом и производными
В этой серии статей показано, как решить несколько типов задач исчисления пределов.Решены частные случаи пределов и описаны соответствующие графики. Решение задач исчисления с пределом и производной становится понятным в этом руководстве. См. Примеры того, как найти производную с помощью правил для производных.
Как решать задачи о предельных значениях исчисления
Как решать частные случаи предельных задач исчисления
Примеры того, как найти производную в исчислении
Решенные примеры пределов – как решить пределы
Решение «Пределы» или любой «Предел исчисления» требует простого владения описанными здесь методами.В этом разделе вы найдете все, что вам нужно знать о решении вопросов о пределах JEE и проблемах вычисления, связанных с пределами. В Vedantu эксперты подготовили список всех возможных случаев проблем, который является основным ресурсом для решения лимитов. Используя эти методы, вы сможете решить любую задачу, связанную с ограничениями в исчислении. Вы также найдете PDF-файлы с решенными ограничениями и советы по каждому типу ограничений в расчетах. Однако, если вы по-прежнему хотите получать больше уроков, охватывающих все аспекты вычислений, прямо на свою электронную почту, обратитесь к экспертам Vedantu.
Как преодолевать пределы
Давайте начнем изучать идею, лежащую в основе ограничений и методов решения проблем. Ниже приведены различные ограничения функции:
Оценить пределы с помощью прямой подстановки
Оценить пределы с использованием факторинга и отмены
Оценить пределы путем расширения и упрощения
Оценить пределы
0003
0003
0003 путем объединения дробей
Оцените пределы путем умножения на сопряженное
Тип 1: Пределы путем прямой подстановки
Это простейшие задачи, связанные с ограничениями в исчислении.В этих задачах от вас требуется только подставить значение, к которому приближается независимое значение. В качестве ограничивающих примеров и решений:
Lim x²
x → a
В случае, если ‘f’ является многочленом, а ‘a’ является областью определения f, мы просто заменяем ‘x’ на ‘a’ для получения: –
Lim x²
x → a – a²
Используемая здесь методика связана с концепцией непрерывности.Вы также можете решить ограничения по непрерывности.
Тип 2: Лимиты по факторингу
Это интересный способ решения ограничений. В этих пределах, если вы попытаетесь произвести замену, вы получите неопределенность. Например:
Lim x² x² – 1 / x-1
x → 1
Если вы просто замените x на 1 в математическом уравнении, вы получите 0/0. Так что же можно сделать? Мы можем использовать свои алгебраические навыки, чтобы упростить выражение.В приведенном ранее примере числитель можно разложить на множители:
Lim x² x² – 1 / x-1 = lim (x-1) (x + 1) / x-1 = lim (x + 1) = 2
x → 1 x → 1 x → 1
Вы легко обнаружите эти типы проблем, если увидите частное двух многочленов. Вы можете попробовать эту технику, если есть сомнения.
Тип 3: Ограничения путем рационализации
Этот тип техники включает пределы с квадратными корнями. В этих типах пределов мы используем алгебраический прием, называемый рационализацией, для определения пределов.Например:
Lim 1- √x / 1-x
x → 1
Если мы просто заменим, мы получим 0/0, и мы не сможем это разложить на множители. Стратегия состоит в том, чтобы умножить и разделить дробь на соответствующее выражение. (Имейте в виду, что если вы умножите и разделите число на один и тот же элемент, вы получите такое же число). В этом случае мы используем идентификатор, указанный ниже:
(√a – √b) (√a + √b) = a – b
Вам нужно только выполнить произведение слева, чтобы проверить это.Итак, когда вы заметите сумму или разность двух квадратных корней, вы можете использовать предыдущую идентичность для случая. Два фактора слева – это то, что мы называем сопряженными выражениями.