Как решать производная функции: Как найти производную функции, примеры решения

Применение понятия “Производная функции” | Презентация к уроку по алгебре (11 класс):

Слайд 1

Научно-исследовательская работа по теме: «Применение производной в заданиях ЕГЭ» Авторы: ученики 11 класса «Б» Славинская Юлия, Помаскин Владимир Руководитель: учитель математики ВКК Гончарова Светлана Евгеньевна МБОУ средняя школа № 1 с. Анучино 2012 год

Слайд 2

Цель: Показать актуальность включения темы “ Производная и ее применение” в задания для проведения ЕГЭ по математике.

Слайд 3

Задачи: Показать важность знаний исторического и теоретического материала по теме «Производная». Определить процент учащихся, владеющих данным материалом и применяющих его при решении задач различного уровня сложности путем проведения анкетирования. Проанализировать основные способы решения заданий, рекомендованных для ЕГЭ по математике Способствовать развитию познавательной активности учащихся и интереса к изучаемым понятиям при помощи информационных технологий.

Слайд 4

План исследования Изучение и отбор литературы. Анализ заданий, рассматриваемых на ЕГЭ по данной теме. Проведение анкетирования среди учащихся 11 классов.Формулировка выводов.

Слайд 5

Гипотеза: Тема «Производная и её применение» является значимой в курсе изучения математики в 10 — 11 классах и при дальнейшем обучении в высших учебных заведениях.

Слайд 6

Содержание : 1.Исторические сведения- 7 2.Теоретический материал- 11 – Что такое производная-12 – Как найти производную- 13 – Таблица производных- 14 – Производная произведения. Формулы- 15 – Производная частного. Формулы- 17 – Вычисление производных простых функции- 19 – Вычисление производных сложных функции- 22 3. Решение заданий из сборника по подготовке к ЕГЭ 2011 года – 32 4. Заключение – 42 5. Используемая литература – 43

Слайд 7

Исторические сведения В конце 12 века великий английский учёный Исаак Ньютон доказал что путь и скорость связаны между собой формулой: V(t)=S’(t) и такая связь существует между количественными характеристиками самых различных процессов исследуемых: физикой, химией, биологией, и техническими науками. Это открытие Ньютона стало поворотным пунктом в истории естествознания.

Слайд 8

Честь открытия основных законов математического анализа наравне с Ньютоном принадлежит немецкому математику Готфриду Вильгельму Лейбницу. К этим законам Лейбниц пришел, решая задачу проведения касательной к произвольной кривой, т.е. сформулировал геометрический смысл производной, что значение производной в точке касания есть угловой коэффициент касательной или tg угла наклона касательной с положительным направлением оси ОX.

Слайд 9

Термин производная и современные обозначения y’ , f ’ ввёл Ж.Лагранж в 1797г . В классическом дифференциальном исчислении производная чаще всего определяется через понятия теории пределов, однако исторически теория пределов появилась позже дифференциального исчисления. Русский термин «производная функции» впервые употребил В. И. Висковатов.

Слайд 10

Василий Иванович Висковатов (26 декабря 1779 (6 января 1780), Санкт-Петербург — 8 (20) октября 1812, Санкт-Петербург) — русский математик. Известный специалист в области математического анализа и вариационного исчисления, один из активных последователей С. Г. Гурьева в пропаганде новых передовых научных идей. Выпущен из Артиллерийского и Инженерного Шляхетского Кадетского Корпуса в 1796 года штык-юнкером в корпусные офицеры. С 1803 года признан крупным математиком, избран академиком Петербургской Академии наук. С 1810 года — профессор чистой и прикладной математики в Институте Корпуса инженеров путей сообщения. Впервые употребил русский термин “производная функции”. Назад

Слайд 11

Теоретический материал по теме «ПРОИЗВОДНАЯ»

Слайд 12

Производные – это такие функции, которые получаются из заданных функций путем вычисления предела разностного отношения. Разностным отношением называется отношение разности значения функции к разности значений переменной. Возникает вопрос? Почему производная есть тоже функция? Дело в том, что предел функции мы можем вычислить только в точке, а значение предела есть число f'(x0). Но если менять это число x0, то f'(x0) будет тоже функцией от x0.

Слайд 13

Как найти производную? 1. Необходимо знать таблицу производных основных элементарных функций. 2. Уметь видеть, как составная функция строится из основных элементарных функций. 3. Знать формулы производной составных функций – то есть производных суммы, произведения сложной функции и часного сложной функции (производной суперпозиции).

Слайд 14

Таблица производных

Слайд 15

Производная произведения. Формула Формула производной произведения читается следующим образом: производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой функции на производную другой функции: u'(x)·v'(x)=u'(x)·v(x)+u(x)·v'(x) Итак рассмотрим пример: Найти производную функции ex·sin(x) Приводим формулы из таблицы производных: ( ex)’=ex, (sin(x))’=cos(x). Мы видим, что данная функция – составная. Она составлена из произведения двух функций, поэтому мы должны применить формулу производной произведения. Для этого мы берем первый сомножитель и находим его производную: (ex)’ Далее, умножаем эту производную на второй сомножитель (ex)’·sin(x)

Слайд 16

Берем второй сомножитель, а точнее – его производную: (sin(x))’ Умножаем производную второго сомножителя на первый сомножитель ex·(sin(x))’ Далее, складываем эти два полученные выражения (ex·sin(x))’=(ex)’·sin(x)+ex·(sin(x))’ Сравните это выражение с основной формулой u'(x)·v'(x)=u'(x)·v(x)+u(x)·v'(x). Как видим, очень похоже. Тепрерь мы пришли, наконец, к предыдуще задаче, которую уже умеем решать. В самом деле? осталось только подставить подставить вместо (ex)’ выражение ex, а вместо (sin(x))’ cos(x) и провести преобразования: (ex·sin(x))’=(ex)’·sin(x)+ex·(sin(x))’=ex·sin(x)+ex·cos(x)=ex·(sin(x)+cos(x)) Все, производная найдена, наша задача решена окончательно! назад

Слайд 17

Производная частного функций Формула производная частного, формула производной отношения двух функций записывается следующим образом: [u(x)/v(x)]’=[u'(x)·v(x)-u(x)·v'(x)]·[1/v2(x)] Итак пример: Найти прозводную функции f(x)=(√x)/x2 Мы прекрасно видим, что данная функция является отношением, частным двух функций. Поэтому мы применяем формулу производной частного. Как и ранее нужно взять производную числителя и умножить ее на производную знаменателя: (√x)’·x2 Берем числитель и умножаем его на производную знаменателя (√x)·(x2)’ Берем разность первого полученного выражения и второго и делим эту разность на квадрат знаменателя или умножаем на единицу деленную на квадрат знаменателя: [(√x)’·x2-(√x)·(x2)’]·[1/x2] Сравните это выражение с выражением [u'(x)·v(x)-u(x)·v'(x)]·[1/v2(x)]

Слайд 18

Далее, подставляем уже известные выражения производных числителя и знаменателя и упрощаем выражение полученной производной: [(√x)’·x2-(√x)·(x2)’]·[1/(x2)2]=[(1/2√x)·x2-(√x)·2x]·[1/(x2)2]=[(1/2x½)·x2-(x½)·2x]·[1/(x2)2]=[½·x(2-½)-2·x2+½]·[1/x4]=[½·x3/2-2·x3/2]·[1/x4]=-[(3/2)·x3/2]·[1/x4]=-(3/2)·x-5/2 Здесь мы воспользовались тем, что корень квадратный есть степень с показателем (1/2), при умножении степеней их показатели складываются, при делении степеней – показатели вычитаются, а при возведении степени в степень показатели перемножаются. Также при делении разности на некоторый знаменатель каждый член этой разности делится на знаменатель и берется их разность. назад

Слайд 19

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ ПРОСТЫХ ФУНКЦИЙ Пример 1. Комментарий. После применения теоремы о производной суммы (Теорема 3) образовалось три производных. Первая производная табличная, вторая сводится к табличной после вынесения константы за знак производной (ТЕОРЕМА 2), третья производная равна нулю, так как дифференцируется константа.

Слайд 20

Пример 2 . Комментарий. После применения теорема о производной произведения (ТЕОРЕМА 4) возникло две производных. Первая производная сводится к табличным производным в результате применения теоремы о производной суммы (ТЕОРЕМА 3). Вторая производная является табличной.

Слайд 21

Пример 3. Комментарий. После применения теоремы о производной частного (ТЕОРЕМА 5) образовалось две производных. Вторая производная табличная, а первая в результате использования теоремы о производной суммы (ТЕОРЕМА 3) сводится к табличным производным.

Слайд 22

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ Пример 1. Вычислить производную от функции Данную функцию можно представить как функцию от функции следующим образом: Согласно теореме о сложной функции (Теорема 6) имеем Заметим, что все производные, возникшие после взятия производной от сложной функции, являются табличными. Подставляя далее вместо функции u её выражение, окончательно получим: Обычно все сказанное записывают в следующей укороченной форме: назад

Слайд 23

Теорема 2. Константу можно вынести за знак производной, то есть назад

Слайд 24

Теорема 3. Производная суммы любого числа функций равна сумме производных этих функций. Для трех функций, например, имеем: назад

Слайд 25

Теорема 4. Производная произведения двух функций равна назад

Слайд 26

Теорема 5. Производная частного двух функций равна назад

Слайд 27

Теорема 6. Пусть y=F(u), где u=j(x), тогда назад

Слайд 28

В11 Найдите точку максимума функции Задачи для дополнительного решения Найдите точку минимума функции Решение: Найдём производную данной функции и найдем критические точки, для этого решим уравнение Д= 49 + 240 = 289 х= – 4 , х = При переходе через точку -4 производная меняет знак с «+» на «-», Значит х = -4 является точкой максимума. Ответ: -4 Вывод 1 Исторический материал показывает, что метод дифференциального исчисления, который был создан в XVII и XVIII вв., является инструментом, посредством которого стало возможно ставить и решать новый класс научных проблем. Поэтому каждому ученику, решившему продолжить обучение в старшем звене школы необходим набор знаний по данной теме.

Слайд 29

Анкетирование учащихся 1. Запишите формулы нахождения производных Линейной функции; Степенной функции; Тригонометрической функции; Сложной функции; Логарифмической функции. 2. Запишите 3 правила нахождения производной функции. 3. Какие точки называются точками максимума и минимума? 4. Чему равна производная в критической точке? 5. Какой метод решения неравенств применяется при нахождении точек максимума и минимума? Решить индивидуальные задания.

Слайд 30

В11 Найдите точку максимума функции Задачи для дополнительного решения Найдите точку минимума функции Решение: Найдём производную данной функции и найдем критические точки, для этого решим уравнение Д= 49 + 240 = 289 х= – 4 , х = При переходе через точку -4 производная меняет знак с «+» на «-», Значит х = -4 является точкой максимума. Ответ: -4 Результаты анкетирования учащихся 11 классов (всего – 39 человек) Вопросы правильно С ошибками 1 Запишите формулы нахождения производных Линейной функции; Степенной функции; Тригонометрической функции; Сложной функции; Логарифмической функции. 35 4 2 Запишите 3 правила нахождения производной функции. 27 12 3 Какие точки называются точками максимума и минимума? 36 3 4 Чему равна производная в критической точке? 39 – 5 Какой метод решения неравенств применяется при нахождении точек максимума и минимума? 33 6 6 Решение индивидуального задания. 26 13

Слайд 31

В11 Найдите точку максимума функции Задачи для дополнительного решения Найдите точку минимума функции Решение: Найдём производную данной функции и найдем критические точки, для этого решим уравнение Д= 49 + 240 = 289 х= – 4 , х = При переходе через точку -4 производная меняет знак с «+» на «-», Значит х = -4 является точкой максимума. Ответ: -4 Вывод 2 Анкетирование учащихся показало , что около 30 процентов учащихся имеют пробелы в знаниях по данной теме, не все умеют применять правила в практической работе. Значит необходимо повторить теоретический материал и систематически решать задания с использованием производной.

Слайд 32

Задания из сборников по подготовке к ЕГЭ

Слайд 33

В8 На рисунке изображены график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции в точке . Решение: выбираем две точки на прямой: А(0;-1), В(4;-5). Так как уравнение прямой имеет вид у= кх + в, то подставляем координаты точек в данное уравнение и решаем систему , состоящую из двух уравнений 0к+в= -1; 4к+в= -5, из первого уравнения в= -1, подставляем во второе 4к-1=- 5, откуда к= -1. По геометрическому смыслу производной f1 (х) = k , Значит значение производной в точке равно -1. 2 способ. По формуле Лагранжа f1(x) = , подставляем координаты точек в формулу и получаем f1(x) = Ответ: f1(x) = -1

Слайд 34

В8 На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале [-7; 7] . Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки. Решение : по признаку возрастания функции если производная принимает положительные значения, то на данном промежутке функция возрастает, то есть график производной находится выше оси ОХ. В соответствующих промежутках х равно -5,-6, 0,1,2,3,4,5,6. Значит сумма целых точек входящих в эти промежутки равна 9, Ответ: 9

Слайд 35

В8 На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале [-6; 6] . Найдите точку экстремума функции на интервале [0; 4] . Решение: точка экстремума – это точка максимума или минимума и в ней производная равна нулю. На интервале [0;4] производная равна нулю при х = 2 Ответ: 2 В8 На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у=6 . Решение : если касательная к графику данной функции параллельна прямой у = 6, то их угловые коэффициенты равны, т.е. к1=к2 =0, значит и производная в данных точках равна нулю (геометрический смысл производной). Из рисунка видим, что производная равна нулю в точках максимума и минимума и точке перегиба, т.е. в 5 точках. Ответ: 5

Слайд 36

В8 На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна В8 На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . В какой точке отрезка принимает наименьшее значение. Решение: производная принимает отрицательное значение в промежутках убывания функции. По графику видим количество целых точек, в которых производная функции отрицательна равно 8 Ответ: 8 Решение: на отрезке [-4; -1] производная Положительная, значит функция возрастает. Значит она принимает наименьшее значение в левой точке отрезка, т. е. при х = -4. Ответ: -4

Слайд 37

В8 На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Найдите сумму точек экстремума функции . Решение: точка экстремума – это точка максимума или минимума и в ней производная равна нулю. Из рисунка видно, что точек экстремума 6, это х= -4; -1; 0; 1; 4; 5. Сумма этих чисел равна 5. Ответ: 5 В8 На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите количество точек максимума функции на отрезке . Решение: в точках максимума производная равна 0 и меняет знак с «+» на «-». Таких точек на рисунке 2, это х = 0, х = 3. Они Принадлежат заданному отрезку [-3;4] Ответ: 2

Слайд 38

В8 На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Найдите сумму точек экстремума функции . Решение: точка экстремума – это точка максимума или минимума и в ней производная равна нулю. Из рисунка видно, что точек экстремума 6, это х= -4; -1; 0; 1; 4; 5. Сумма этих чисел равна 5. Ответ: 5 В8 На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите количество точек максимума функции на отрезке . Решение: в точках максимума производная равна 0 и меняет знак с «+» на «-». Таких точек на рисунке 2, это х = 0, х = 3. Они Принадлежат заданному отрезку [-3;4] Ответ: 2

Слайд 39

В8 На рисунке изображен график производной функции определенной на интервале . Найдите количество точек экстремума функции на отрезке . Решение: в точках экстремума, то есть точках максимума и минимума производная равна нулю. В данном задании производная равна нулю в трёх точках. Ответ: 3 В8 На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой или совпадает с ней. Решение: если касательная к графику данной функции параллельна прямой у = -3х-11, то их угловые коэффициенты равны -3, значит производная по геометрическому смыслу производной также равна -3. По графику производной находим, что количество точек, удовлетворяющих этому условию равно 4. Ответ: 4

Слайд 40

Задачи для самостоятельного решения В11. Найдите точку минимума функции . В11. Найдите точку максимума функции . В11. Найдите наименьшее значение функции на отрезке . В11. Найдите наименьшее значение функции на отрезке .

Слайд 41

В11 Найдите точку максимума функции Задачи для дополнительного решения Найдите точку минимума функции Решение: Найдём производную данной функции и найдем критические точки, для этого решим уравнение Д= 49 + 240 = 289 х= – 4 , х = При переходе через точку -4 производная меняет знак с «+» на «-», Значит х = -4 является точкой максимума. Ответ: -4 Вывод 3 В решениях заданий, встречаемых в сборниках по подготовке к ЕГЭ по математике применяются формулы и правила нахождения производной, геометрический и механический смысл производной, понятие критической точки, признаки возрастания и убывания функции методы нахождения наибольшего и наименьшего значений функции, точек максимума и минимума. Для успешной сдачи ЕГЭ по математике необходимо прорешать большой объём заданий различного уровня сложности.

Слайд 42

Заключение Данная работа показывает: что тема «Производная и ее применение» актуальна и значима в настоящее время. Это следует из того, что человек в повседневной деятельности постоянно сталкивается с решением задач, которые могут быть полностью описаны с помощью функций на математическом языке. Производную применяют не только в математике, но и в экономике, физике. Производная функции используется всюду, где есть неравномерное протекание процесса.

Слайд 43

В11 Найдите точку максимума функции Задачи для дополнительного решения Найдите точку минимума функции Решение: Найдём производную данной функции и найдем критические точки, для этого решим уравнение Д= 49 + 240 = 289 х= – 4 , х = При переходе через точку -4 производная меняет знак с «+» на «-», Значит х = -4 является точкой максимума. Ответ: -4 Используемая литература: В. А. Гусев, А. Г. Мордкович «Математика»; 2. В.А. Петров «Математический анализ в производственных задачках»; 3. Соловейчик И.Л., Лисичкин В.Т. «Математика»; 4. «Открытый банк задач ЕГЭ по математике» ; «Летопись МИФИ».

Геометрический смысл производной

Не откладывайте! ЗАГОВОРИТЕ на Английском!

ЗАМУЧИЛИ БОЛИ В СПИНЕ?

Александр | 2012-10-09

Геометрический смысл производной. Задачи на экзамене связанные данной темой у выпускников вызывают некоторые затруднения. Большинство же из них, на самом деле, очень просты. В этой статье разберём задания, в которых требуется найти производную при заданном графике функции  и касательной к графику в определённой точке

*При чём в этих задачах на эскизе явно отмечены как минимум две точки, через которые эта касательная проходит. Что нужно знать для решения?

Геометрический смысл производной

Построим произвольный график некой функции y = f (x)  на координатной плоскости, построим касательную в точке x_о, обозначим угол между прямой о осью ox как α (альфа)

Из курса алгебры известно, что уравнение прямой имеет вид:

То есть производная функции  y = f(x) в точке x₀ равна угловому коэффициенту касательной:

А угловой  коэффициент в свою очередь равен тангенсу  угла α (альфа), то есть:

Угол α (альфа) может быть меньше, больше 90 градусов или равен нулю.  

Проиллюстрируем, два случая:

1.    Угол наклона касательной больше 90 градусов (тупой угол).

2.    Угол наклона касательной равен нулю градусов (касательная параллельна оси ох).

 

То есть задачи, в которых дан график функции, касательная к этому графику в определённой точке, и требуется найти производную в точке касания, сводятся к нахождению углового коэффициента касательной (либо тангенса угла наклона касательной, что одно и тоже).

Ниже рассмотрим  решение таких задач через нахождение тангенса угла между касательной и осью абсцисс (осью ох), ещё один способ решения (нахождение производной через угловой коэффициент) рассмотрим в недалёком будущем. Также будем рассматривать задачи, где требуется знание свойств производной для чтения графика функции. Не пропустите! 

Обратите внимание, что на координатной плоскости обозначены две точки через которые проходит касательная – это очень важный момент (можно сказать ключевой в этих задачах).  

Что ещё потребуется — это знание формулы приведения для тангенса тупого угла.

На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции y = f(x)  в точке  x₀.

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Для того, чтобы найти тангенс этого угла, построим прямоугольный треугольник, где отрезок ограниченный двумя точками на графике, будет являться гипотенузой, а катеты параллельны осям.  В данной задаче это точки  (–5; –4), (1; 5).

Напомню: тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

Катеты определяем по числу клеток.

Угол наклона касательной к оси абсцисс равен углу BAC, так как катет АС параллелен оси ох. Значит

Ответ: 1,5

На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции y = f(x)  в точке  x₀.

Задача аналогична предыдущей. Так же строим прямоугольный треугольник, где отрезок ограниченный двумя точками на графике, будет являться гипотенузой. В данной задаче это точки  (–5; –7), (3; 3).

Катеты также определяем по числу клеток.

Угол наклона касательной к оси абсцисс равен углу ВАС, так как катет АС параллелен оси ох. Значит

Ответ: 1,25

На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции y = f(x)  в точке  x₀.

Строим прямоугольный треугольник, где отрезок ограниченный двумя точками на графике, будет являться гипотенузой. В данной задаче это точки  (–3; 3) и  (5; 11).  Из точки (5;11) построим продолжение катета так, чтобы  получился внешний угол.

Так как CD параллельна оси ох, то угол ABD равен углу наклона касательной к оси ох.  Таким образом, мы будем вычислять тангенс угла ABD. Отметим, что он больше 90 градусов, поэтому здесь необходимо воспользоваться формулой приведения для тангенса:

Значит

*Длины катетов считаем по количеству клеток.

Ответ: -1,75

На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции y = f(x)  в точке  x₀.

Решите задачу самостоятельно.

Ответ: -1,75

На рисунке изображен график функции y = f(x). Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 10. Найдите значение производной функции в точке х₀ = 10.

Построим касательную, проходящую через начало координат и точку графика с абсциссой равной 10. Обозначим угол наклона касательной как альфа, а смежный с ним угол как бета.

Значение производной в точке х₀ = 10 равно тангенсу угла наклона касательной к оси абсцисс. То есть, для нахождения производной достаточно вычислить тангенс  угла  альфа. Воспользуемся формулой приведения:

Тангенс угла бета можем найти из прямоугольного треугольника, катеты которого равны 6 и 10:

Ответ: — 0,6

На первый взгляд задачи, связанные с использованием производной входящие в ЕГЭ по математике, довольно разнообразны. Но на самом деле для их решения нужно изучить совсем небольшой «кусочек» теории. На этом всё. Второй способ решения представленных задач обязательно разберем. Надеюсь, статья была полезна.

На этом всё! Успеха вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Категория: Производная Графики | ЕГЭ-№7Производная

НЕ ОТКЛАДЫВАЙ! Заговори на английском!

ДОЛОЙ обидные ошибки на ЕГЭ!!

Подготовка к ЕГЭ, онлайн-обучение с Фоксворд!

Замучили боль и скованность в мышцах спины?

*Нажимая на кнопку, я даю согласие на рассылку, обработку персональных данных и принимаю политику конфиденциальности.

2 и пусть A(x,y) — любая точка на кривой, тогда вы можете взять точку B (x + D x, y + D y), где значения D x и D y чрезвычайно малы. (D означает дельта.) Изучите кривую и концепцию наклона, чтобы найти наклон AB.

Ниже вы увидите, что наклон кривой m представлен выражением 2x. Подставив x, мы можем найти наклон в любой конкретной точке.

Нахождение наклона кривой

Нахождение производной по пределу изменения наклона

Производная функции y= f(x) является пределом функции при D x -> 0 и записывается как:

Lim Dy/ Dx = lim [ f(x + Dx) – f(x) ]/( x + Dx – x )

D x->0 Dx ->0

Чтобы понять концепцию предела и решения предела, когда x приближается к 0, вы можете попрактиковаться в примерах в статье How to Solve Calculus Ограничение проблем.

Приведенный выше метод нахождения производной по определению называется дельта-процессом.

Этот метод можно использовать для нахождения производной следующего:

1. f(x) = 3x + 2

m = 3

2. f(x) = 3×2 – 2x + 1

m = 6x – 2

3. f(x) = -x2 – 5x + 1

m = -2x – 5

Примеры нахождения производной с использованием дельта-процесса

Дельта-процесс можно свести к короткой методике, называемой степенным правилом:

Если y = xn , то y’ = nxn-1

Примечание. Существуют другие обозначения для производной функции по x:

y’

f'(x)

DxY

Dy /dx

D f(x)/dx

Примеры нахождения производной по степенному правилу:

1. y = 7×4

y’ = 28×3

2. f(x) = 8/x5

f(x) = 8 x -5

f'(x) = -40 x -6

3. y = 3×2 -6x + px

y’ = 6x -6 + p

4. y = √x + 1/√x

y = x1/2 + x-1/2

y’ = ½ x-1/2 – ½ x-3/2

Примеры нахождения производной Использование правила произведения

Как найти производную с помощью правила произведения

Пусть f(x) и g(x) представляют 2 функции:

D[ f(x) g(x) ] /dx= f(x) ) d[g(x)]/dx + g(x) d[f(x)]/dx

Или выразить иначе: (f * g )’ = f * g’ + g * f’

Примеры нахождения производной по правилу произведения:

1. f (x) = 3×2 (√x – x )

f'(x) = (3×2)(1/2 x-1/2- 1) + (√x – x )( 6x)

2. f (x) = (4 – x2) ( 1/ х + х)

f'(х) = (4 – х2) (-х-2 + 1) + (1/х + х) (-2х)

3. у = (3х2) (1 – х ) (7×3 – x)

y’ = (3×2) (1 – x) (21×2 – 1) + (7×3 – x) [( 3×2)(-1) + (1 – x)(6x)]

Нахождение производной с использованием правил для производных

В исчислении используется несколько правил для нахождения производной. В этой статье приведены примеры использования правила степени и правила произведения. Постоянное правило, частное правило и цепное правило также будут использоваться для решения производных задач.

Большинство задач в исчислении используют основные правила для производных, а не весь дельта-процесс для решения производных. Применение правильного правила к задаче исчисления — это навык, который учащиеся развивают, отрабатывая примеры с использованием всех производных правил. Ознакомьтесь с основными правилами исчисления производных здесь.

Практика в поиске производных

Чтобы попрактиковаться в нескольких примерах поиска производной с использованием правил степени, произведения, частного и цепочки, загрузите примеры задач и решений в разделе «Примеры поиска производной с помощью правил исчисления». Эти практические примеры помогут учащимся грамотно использовать и применять каждое правило для нахождения производной.

Как только эти 4 правила будут поняты, изучающий исчисление может перейти к расширению своих знаний, изучая концепцию интеграции. Для большей практики как в дифференциации, так и в интеграции, учащиеся могут загрузить приложение Calculus для своего iphone, чтобы помочь с дополнительными примерами и практическими тестами. В статье The Best Iphone Math Apps описывается это приложение Calculus AB Review.

Понимание и применение концепции производных включает решение многих примеров. Когда эти примеры затем применяются к таким проблемам, как проблемы с ускорением, учащиеся могут использовать свои основные навыки решения проблем в практических приложениях. Эта практика о том, как найти производную, поможет студентам, изучающим исчисление, уверенно решать проблемы.

Весь контент, включая изображения, принадлежит автору.

Этот пост является частью серии: Решение предельных и производных задач исчисления

В этой серии показано, как решать несколько типов предельных задач исчисления. Решаются частные случаи пределов и описываются соответствующие графы. В этом руководстве дается понятное решение задач исчисления с пределом и производными. См. примеры того, как найти производную, используя производные правила.

1. Как решить задачи предельных вычислений
2. Как решить особые случаи задач предела исчисления
3. Примеры того, как найти производную в Calculus

. Калькулятор – Symbolab

www.symbolab.com › … › Функции › Функции

Бесплатные функции Калькулятор вогнутости – найдите интервалы вогнутости функции шаг за шагом. 92+1) | Mathway

www.mathway.com › Popular-задачи › Исчисление

Вогнутость на (√3,∞) ( 3 , ∞ ), так как f”(x) f ” ( x ) положительно. Шаг 8. График вогнут вниз, когда вторая производная отрицательна и вогнута …

Ähnliche Fragen

Как найти вогнутость вверх и вниз?

Как решить вогнутость вверх и вогнутость вниз?

Примеры вогнутости вверх и вогнутости вниз?

Как узнать, является ли многочлен вогнутым вверх или вниз?

Калькулятор точки перегиба

calculate-online. net › Калькулятор точки перегиба

Онлайн-калькулятор точки перегиба, который отображает интервалы вогнутости, их заменители и точки перегиба для заданного квадратного уравнения.

Калькулятор точек перегиба

mathforyou.net › онлайн › исчисление › перегиб

Онлайн калькулятор находит точки перегиба функции с пошаговым решением. … На отрезке – выпуклостью вниз (или вогнутостью вверх).

Бесплатный калькулятор точки перегиба – Mathepower

www.mathepower.com › точка перегиба

Введите произвольную функцию. Mathepower шаг за шагом дифференцирует его и ищет точки перегиба.

Интервалы вогнутости с графическим калькулятором – YouTube

www.youtube.com › смотреть

26.08.2009 · ВЕБ-САЙТ: http://www.teachertube.com Интервалы вогнутости с графическим калькулятором.
Дата: 2:57
Прислан: 26.08.2009

Калькулятор вогнутости вверх и вниз – Beauty Blossom

jkpface.